Download pdf - 1= e...The Institute of Electronics, Information and Communication Engineers NII-Electronic Library Service 7KH d QVWLWXWH RI (OHRWURQLRV >* d QIRUPDWLRQ DQG &R b XQLRDWLRQ (QJLQHHUV

The Institute of Electronics, Information and Communication Engineers

NII-Electronic Library Service

The 工nstitute 　 of 　 Eleotronios ，工nformation 　 and 　 Co unioation 　 Engineers

論文学生論文特集

混合整数計画法による旅客損失を最小化する鉄道の運転整理と計算

時間短縮式

田村啓† 佐藤　圭介††a ）富井　規雄†b）

ATrain 　Timetable　Rescheduling　MIP 　Formulation　wi 七h　Addi 七ional　Inequalities

Minimizing　Inconvenience　to　Passengers

Kei　TAMURA † Keisuke　SATO ††a ） and 　Norio　TOMII †b）　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，

　あらまし　災害や事故などで鉄道の列車ダイヤが乱れると，事態収束のため，一連のダイヤ変更からなる運転

整理が行われるが，

その量と複雑さからコンピュータシステムの支援が望まれている．本論文では，単純な遅延

の解消ではなく旅客の視点にたつ運転整理を目的に，一人の旅客がダイヤ乱れ時に被る不便度と平常時に感じて

いる不便度との差分を旅客損失と定義し，その総和を最小化する，混合整数計画法に基づいたアルゴリズムと計

算時間短縮式を提案する．本論文の定式化は，先行研究と同様に，運転整理手段とそれに影響される運転整理ダ

イヤからなる列車運行部分と，運転整理ダイヤに対して定まる旅客の利用経路を意味する旅客行動部分とを，一

体的に表現する．列車運行については，運転整理手段として列車の順序変更に加えて種別変更と折返し変更が実

施可能で，旅客行動については，拡張された評価指標を用いるため，

モデルの規模が増大するが，解空間を縮小

する制約式を導入して計算時間を揶える．実路線を含むデー

タに対して，様々な運転整理手段を用いて旅客の存

在を考慮した運転整理ダイヤが実時間で作成できることを，計算機実験により示す．

　キーワード　鉄道の運転整理，混合整数計画問題，旅客行動，最短路，解空間

1．　まえがき

　鉄道は各列車の各駅での到着時刻や出発時刻などか

らなる列車ダイヤに従って運行されるが，災害や事故

などで列車ダイヤに乱れが生じると，事態収束のため，

運転整理と呼ばれる一連の列車ダイヤの変更が行われ

る［1］．

　現在のところ，列車運行の予測シミュレーション部

分などはコンピュータシステムの支援があるが，その

業務の大半は担当者の人力に委ねられている．業務の

量と複雑さから更なる支援が望まれているが，それに

は次のような難しさがある．

t 千葉工業大学情報科学部，習志野市

　 Facu 正ty 　 of 　Information 　 and 　qomputer　Science｝Chiba 　Jnsti−

　 tute　of 　Technolo 菖y，2−17 −1　Tsudanuma ，　Narashino −shi ，275 −

　 0016Japan廿（公財）鉄道総合技術研究所信号・情報技術研究部，国分寺市

　 Signalling　 and 　 Transport 　Information 　Technol gy 　Division，　 Railway 　 Technical　Research 　Ins七itute｝2−8−38　 Hikari −cho 、　 Kokubunji −shi ，185 −8540 　Japan

a ）E −mail ： keisate ◎ rtri ．or ．jpb）E−mail ： tomii ◎ cs 、it−chiba 、ac ．jp

●

●

●

●

ダイヤ変更には様々な手段と組み合わせがある．

リアルタイム性が要求される．

運行本数が多い都市圏では大規模な問題になる．

旅客が被る不便と行動変化を考える必要がある．

　なかでも最後の要件が重要と考えられる．列車の遅

延を解消する観点だけにたつと，例えば，列車を運休

させればその列車の遅延はなくなるが，旅客が次の列

車を待つ時間が長くなる．また，

全列車について遅延

を回復させるように運行させれば，特定の駅で列車の

出発間隔が不均一になり，旅客間で待ち時間に偏りが

発生する．これらは旅客の被る不便を増大させる．

　本論文では，旅客がダイヤ乱れ時に被る不便度と平

常時に感じている不便度との差分を旅客損失とし，そ

の総和を最小化する運転整理アルゴリズム［2］，［3］と計

算時間短縮のための追加制約式を提案する．このアル

ゴリズムは，駅や配線などの施設，平常時の所定ダイ

ヤ，旅客の需要，ダイヤ乱れの各情報を入力として，

混合整数計画問題圏に定式化し，その解を運転整理

ダイヤとして出力する．

　混合整数計画問題とすることで，メタヒュー

リス

電子情報通信学会論文誌　D 　Vol．」97−D 　NQ．3　pp．393−404　◎

一般社団法人電子情報通信学会 2014393

N 工工一Eleotronio 　Library 　




電子情報通信学会論文誌 2014／3vol．　J97−D　No ・3

ティクスでは得られる保証の少ない，最適解や精度情

報付き解の導出が可能になる．

　定式化は文献［5］と比較して新たに幾つかのダイヤ

変更手段に対応しており，現状の担当者と同等の機能

を備えている。旅客の行動については，拡張された評

価指標を用いることで，現実がより正しく反映されて

いる．このためモデルの規模が増大するが，追加制約

式の導入により計算時間を抑えて実用に供するアルゴ

リズムにし，実路線を含むデー

タを用いた計算機実験

により有用性を確認する．

2．運転整理の現状

　2．1　運転整理で用いられる手段

　運転整理の実務で用いられる手段には，列車の（部

分）運休，種別変更，駅での番線変更，折返し変更，

順序変更，間隔調整などがある．主な手段について，

図 1 に示す，横軸に時間，縦軸に駅並びをとり，各列

車の各駅での到着時刻と出発時刻を線で結んだ列車ダ

イヤ図を用いて説明する（文献［1］も参照されたい）．

　種別変更とは，列車の種類を快速列車から普通列車

にするなどして，本来停車しない駅に停車させること

である．そのような駅で多数の旅客が列車を待ってい

る場合に効果的な手段となる．逆の例も考えられる．

　番線変更とは，列車が駅で停車ないし通過する番線

を変更することを指す．

　折返し変更の例を図 1 左に示す．1本目の列車は A

駅到着後に最寄りの車庫に入庫し（薄△ 印），2 本目の

列車は同駅で折返しをして反対方向の列車として運行

される予定であった（薄線）．ここで，2 本目の列車が

遅れたため，1 本目を折返しにして 2 本目を入庫させ

て，遅れを波及させなくしている（黒線，黒 △ 印）．

　順序変更を図 1 右を用いて説明する．所定ダイヤで

は， Y 駅で快速列車（太薄線）が普通列車（細黒線）

を追い抜く予定であったが，快速列車の Z 駅出発が遅

れたため，追い抜く駅を X 駅に変更している（太黒

S聖a．X 广尸

s竃a．Y

　r广尸

§ta・尸

　　　図 1　折返し変更（左）と順序変更（右）

Fig ．1　Change 　of 　turnback （left）and 　 change 　 of 　de−

　　　 parting 　order （right ）．

線）．言い換えると，Y 駅での出発順序を変更し，普

通列車を先に出発させている．さもないと，普通列車

は Y 駅で快速列車を待つことになり，余計な遅延が発

生する．

　実務ではこれらの手段を多数の列車に対して複雑に

組み合わせて適用する必要があること，また，単に列，

車の遅延を少なくすればよいわけではなく，利用者の

数や動きを念頭において利用者の迷惑をなるべく少な

くするような運転整理ダイヤを作らなければならない

ことに，運転整理の難しさがある．

　2．2　運転整理最適化の先行研究

　運転整理の最適化はこれまで多数研究されている［6］．

近年では，遅延時間を最小化すべく，文献［7］におい

て，列車運行の選択グラフによる表現とメタヒュー

リ

スティクスを用いた解法が提案されている．一方で，

厳密な最適解を得るために，混合整数計画問題として

の定式化が文献［81でなされている．文献［9］は運転整

理手段として番線変更と順序変更を行う．しかしなが

ら，これらは旅客の視点を陽には考慮していない．

　これに対して，文献［10］はダイヤ乱れにより生じ

る旅客の不満を定義し，メタヒュー

リスティクスで不

満の総和を最小化している．そのなかでは，列車運行

を pERT （Program 　Evaluation 　and 　Review　Tech−

nique ）で表現し，運休を含む多くの運転整理手段を

駆使している．旅客視点による混合整数計画モデルと

して，文献［11］では旅客の被る遅延の総和を最小化

しているが，ダイヤ乱れにより旅客の利用経路は変わ

らないという仮定を置いている．旅客行動の変化は文

献［12｝で，列車の1頂序変更は文献［13］でそれぞれ扱わ

れているが，両者は同時には考慮されていない．

　順序変更は，旅客にとっては目的地に早着する列車

の変更であるため，旅客行動に大きく影響する．それ

を考慮したのが文献［5］で提案された，旅客の旅行時

間増加量の総和を最小化する混合整数計画モデルであ

る．このモデルは，運転整理手段とそれに影響される

運転整理ダイヤからなる列車運行部分と，運転整理ダ

イヤに対して定まる旅客の利用経路を意味する旅客行

動部分とを，一

体的に表現している．運転整理手段と

しては順序変更に加えて番線変更に対応している．し

かしながら，列車の進行方向として

一方向のみを対象

とし，旅客の乗換は一度までという仮定を置いている．

実時間内に解くことのできる問題のサイズも小さい．

394





論文／混合整数計画法による旅客損失を最小化する鉄道の運転整理と計算時間短縮式

耄鬮

＝贐書三

國｝　図 2 配　　線

Fig2 　　コ匪 ack 呈ayQut ．

3．研究の対象

　本論文では，文献［5］を発展させた，旅客損失の総

和を最小化する混合整数計画モデル［2］，圖と計算時間

短縮のための追加制約式を提案する．列車運行につい

’ては，順序変更と番線変更に加えて種別変更と折返し

変更が実施可能で，旅客行動については，列車の乗換

回数の制限がなく，評価指標は旅行時間から乗車時間，

待ち時間，乗換回数の重み付き線形和へと拡張されて

いる．このためモデルの規模が増大するが，追加制約

式の導入により計算時間を抑える．

　本論文で用いる仮定は，実在する多くの路線の特徴

に基づき，次のようにする．

　 ● 　列車ダイヤ：快速列車（快速）と普通列車（普

通）の 2 種類があり，必要に応じて，快速を普通に，

普通を快速にという列車の種別変更ができる．

　 ● 　路線：図 2 に示すような配線を対象とする．2

本の線路があり，各線路はどちらか一方の進行方向の

列車が走行する（複線）．駅には各方向につき番線が

一つか二つあり，

二つある駅では番線変更と順序変更

ができる．終端駅では折返しができる．

　 ● 　旅客行動：旅客はそれぞれが被る不便度が最小

となる利用経路（出発駅から目的駅までの駅と乗車列

車の列）を選択する．目的地と反対方向の列車には乗

車しない．本論文では，旅客が

，ある利用経路で移動

する場合に感じる不便度を，次式で定義する．

（乗車時間（分））＋ α x （駅での待ち時間（分））

　　　　　　　　　　　　＋ β × （乗換回数）．

これは文献［14］で定められ広く利用されている式か

ら，列車混雑率に関する項を除いたものである．ここ

で α ＝ 1，β＝ 0 と置くと旅行時間になる，

4．混合整数計画問題による定式化と解法

　4．1　記　　　法

　本論文のモデルで使用する記法を表 1 に示す．このな

かで，旅客の出発駅（Origin）と到着駅（Destination ）

の組を OD ペアと呼ぶ．

　4 ．2 　列車運行に関する制約式

　列車運行に関する制約式のうち，まず列車単体に対

するものを記述する．最も基本的な制約は，ある列車

がとりうる種別（列車種別〉は一つというものである．

Σ e・，・一・

e∈ E

∀r ∈ R．（1）

同様に，ある列車がある駅で使用する番線は一

つで

ある．

Σ 峠一・ ∀b ∈ B ∀r ∈ Rb ∀・ ∈ s・〔2）te∈ K8

列車は終着駅で折返しをしないか，あるいは，折返し

をする場合には，一

つの列車へと折返しする．

Σ 9・、，T2 ≦ ・

r2 ∈RSuc（T 、｝

∀r1 ∈ R ．（3）

折返しとなる列車について，折返し元の列車は一つで

ある．

　　　Σ 9・、，・。

− 1rl ∈｛r ∈ R

　l　r2 ∈ RSuc（r ｝｝

∀r2 ∈ Rsuch 　that｛r ∈ Rlr2 ∈ RSuc（r ）｝≠ ・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4）

列車 rl の折返し列車が r2 ならば（9r、，r2 ＝ 1），両列

車は終着駅で同じ番線を使用する（諒1一罅2

＝ 0）．

そうでなければ番線が異なってもかまわない．

一（1 − 9r、，。、）≦鐐1一瞭2 ≦ 1　一　9。、，。 2

∀b ∈ B ∀r 、 ∈ R 、 ∀r、 ∈ RSu。（r 、）∀fO∈ κ肝

「m （b）．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（5）

到着時刻 α ＃，出発時刻 d＃で表される運転整理ダイヤ

では，列車は所定ダイヤの時刻 A＃，D ＃よりも早く運

行することはない．列車をどの時刻まで遅らせてもよ

いかは，問題の解空間を縮小させるために制限を設け

たいが，その制限がダイヤ乱れで最低限遅れてしまう

時間よりも厳しいと，混合整数計画問題が実行不可

能になる．そこで，何らかの別の方法で求めた実行可

能な運転整理ダイヤの時刻 A ；，DS があるものとして

（詳細は 4．5 で議論する），そこに最大許容時間 JM、x

を加えた時刻までは列車を遅らせてよいものとする．

395





電子情報通信学会論文誌 2014／3VbL 　J97−D　No．3

　表 1 記　　　法

Table 　l　 Notations ．

集合と　 B

要素　　　　　OPP （b）　　　　 R

　　　　 Rb

　　　　 R 詈≠　　　　 Rsucfr

｝

　　　　 5

　　　　 Start（b）　　　　 Term （b）

　　　　 Ne × t（b78）

　　　　磯＞

　　　　 ST・a 〔b，の　　　　 TraNext （b，　s ）　　　　KX

　　　　 E　　　　 ES　　　　 ES ・d

　　　　卜一E　　　　〜　　　　 T

列車進行方向集合（：＝｛t

上り’，

e

下り’｝）

b ∈ B の逆方向（Opp （c

上り・）・≡‘下り・

iOpp （‘下り・）：

＝‘上り・）

列車集合

b ∈ B の方向に走行する列車の集合

b ∈ B の方向に走行する 2 本の異なる列車の組の集合（：＝

｛（rl ，r2 ）∈ R 豹 rl ≠ r2 ｝）

r ∈ R の終着後の折返し候補となる列車の集合

駅集合

b ∈ B の方向の始発駅

b ∈ B の方向の終着駅

b ∈ B の方向にある s ∈ S の次駅

b ∈ B の方向に移動する旅客の OD ベアの集合

b ∈ B の方向に移動する旅客が乗換可能な駅集合b ∈ B の方向に移動する旅客が s ∈ S を出発した次に乗換可能な．駅b ∈ B の方向に進行する列車が s ∈ S で使用可能な番線集合

列車種別集合（；＝｛c

快速・，‘普通

・｝）

．駅 5 ∈ S に停車する列車種別の集合

旅客が d へ向かうのに s で乗車可能な列車種別の集合（（s ，d）∈ 3 霧．〉）

二つの列車種別間の優等関係（t

快速，辷

E ‘快速・，‘快速 7

辷E 「

普通・，‘普通・辷

E ‘普通・）

旅客の出現離散時刻集合おゾ

　

むド

ρ

霞2μ

だ．

A（だ

r

ゆ

M

理

数定所定ダイヤにおける r ∈ R の s ∈ S での到着・出発時刻

所定ダイヤにおける t ∈ T で出現する OD ペア（o，d）∈ sZ〈〉

の旅客の不便度

何らかの実行可能な運転整理ダイヤにおける r ∈ R の s ∈ S での到着・出発時刻

事．象間で確保すべき最小あるいは最大問隔

十分に大きな正の数

t ∈ T で出現する OD ペア（o ，d）∈ 晴　　の旅客数

変数　 a §，d算　　　　er、e　　　　瞭

　　　　9z ・，’ 2

　　　　臆詔l

　　　　l協　　　　議鞍

『1

　　　　・＃lfr2d

切

丁

δ

ro

ム

7

〃

r ∈ R の s ∈ 3 での到着・出発時刻

r ∈ R の種別が e ∈ E であるか否かの 0−1 変数

r ∈ Rb が k ∈ K ぎを使用するか否かの 0−1 変数

rl ∈ R の折返し列車が r2 ∈ RSuc〔r1 ）

であるか否かの 0−1 変数

rl ∈ Rb が．r2 ∈ Rb よりも先に s ∈ S ＼｛Term （b）｝を出発するか否かの 0−1 変数

rl ∈ Rb が r2 ∈ ROpp

の出発よりも先に Term （b）に到着するか否かの一1 変数

r2 ∈ ROpp〔b）

が r1 ∈ Rb の到着よりも先に Term （b）を出発するか否かの一1 変数

t ∈ T で出現する OD ペア（o，　d）∈ 曙〈〉の旅客が o で r ∈ Rb に乗車するか否かの 0−1 変数

d へ向かう旅客が S ∈ ST，、（b，d）で r1 ∈ Rb から r2 ∈ Rb に乗換するか否か

（r1 ＝ r2 の場合は乗車し続けるか否か）の 0−1 変数（（s，d）∈ sZ＜＞

＞

旅客が e で r ∈ Rb に乗車する時点から d までの部分利用経路で感じる不便度（（s ，d）∈ sg．〉

）

t ∈ T で出現する OD ペア（o，d）∈ 5農〉の旅客が o で r ∈ Rb に乗車する場合の旅客損失

　　　　　　　A ジ≦ α鼻≦導＋ IM。．

　　∀b ∈ B ∀r ∈ Rb ∀s ∈ S ＼｛Start（b）｝，　（6）

D ＃≦ d＃≦ D ＃・＋ IM、x

　　∀b∈ B ∀r ∈ Rb ∀s ∈ S ＼｛Term （b）｝．　（7）

駅 s を出発して b の方向に進む列車が，次駅に到

着するまでに必要な最小運転時間曙，．は，列車種

別 e にも依存する．この制約を論理式で表現すると

er，e ＝ 1 ⇒ α （b’s 〕− d＃≧ Ji，e となるが（er，e ； 0

ならば制約なし），これを文献［4］を参考にして，十分

に大きな正の定数 M を用いて線形不等式化する．

　α墜（b・s）− d塁≧ 嬬，e− M （1　一　er，。）

　　∀b ∈ B ∀r ∈ Rb ∀s ∈ S ＼｛Term（b）｝∀e ∈ E ．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（8）

同様に，列車種別によって駅に停車するか通過するか

が変わる．駅 3 に停車する種別ならば，最小停車時間

JS を確保し（式（9）），通過する種別ならば，駅の到

着と出発を同時刻にする（式（10））．

Is乏r，e ≦ dr− a 募∀r ∈ R ∀s ∈ 3 ∀e ∈ ES ，　（9）

0 ≦ d笋一a ジ≦ M （1 −一　er，e ）

　　　　∀r ∈ R ∀5 ∈ 8 ∀e ∈ E ＼ES．　　（10）

列車が終端駅で折返しするならば，最小折返し時間

窺lm を確保する：

dl；「m （bL

・」「m （の

≧驫m （b〕一

脚一9r、、。、）

　　　　∀b ∈ B ∀γ・1 ∈ Rb ∀r2 ∈ RSuc（r ユ）

・　（11）

列車が終端駅で折返しするならば，折返し元と折返し

396






先の列車の到着と出発の時刻をそれぞれ同じにする．

これは不必要な制約だが，式（21），（22）を簡易に記述

するために導入する．

一M （1 − 9。、，。 2 ）≦ ・」；「m 〔b）一

・ll「m （b｝

　≦ ハ∬（1 − 97ユ，r2 ）

　　∀b ∈ B ∀rl ∈ Rb ∀r2 ∈ RSuc（r1 ＞，

− M （1 − 9．、，T 、）≦ d諏：「m （b）− dl！

「m （b〕

　≦ ハ4‘（1

− 9rl，r2 ）

　　 ∀b ∈ B ∀r1 ∈ Rb ∀r2 ∈ RSuc〔町｝・

（12）

（13）

　次に，2 本の列車間で生じる制約を記述する，終端

駅以外では，一

方が先に駅を出発する．終端駅では，

列車の到着と反対方向の列車の出発とで順序を考える．

嫡，。、描募，，。、＝ 1

∀b ∈ B ∀（r 、，r 、）∈ RZ

≠∀s ∈ S ＼｛T・・m （b）｝，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（14）

mTr「m （b〕

＋　mTe「m 〔b）　＝ 1

「 1 ，P2　　　　　「 2 ，「 1

　　　　　　　∀b ∈ B ∀rl ∈ Rb ∀r2 ∈ ROPP（b）・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（15）

種別 e1 が種別 e2 よりも優先度が同じか高い場合を考

える．ある駅において，種別が e1 の列車が種別が e2

の列車よりも先に出発するならば，次の．駅でも同様の

順序関係となる．

・騁・5 ）

≧ ・；、ガ（2 − e。、，e 、

− e，、，．、）

∀b ∈ B ∀（r 、，r ，）∈ 曝 ∀・ ∈ S ＼｛T ・・m （b）｝

　　　　 such 　that　Next（b，　s）≠ Term （b）

　　 ∀（el ，e2 ）∈ E2　such 　that　el ≧こE　e2 ．　（16）

列車 rl の折返し列車が r2 ならば，　 rl の終端1駅到着は

r2 の同駅出発よりも先である．

9，、，r2 ≦鐔渦b）

　　　　 ∀b ∈ B ∀r・ ∈ Rb ∀r ・ ∈ RSuc（。、）・（17）

2 本の列車の間に最小の到着間隔（1蜘（b，s ））と出発

間隔（JB，）を確保する・

・呼t〔b・5L

・浄t（b，　s ）≧ 1舷

xt （b，　s ）− M （1

−・＃、，r 、）

∀b ∈ B ∀（r ・，r ・）∈ 曝 ∀s ∈ SX ｛T・・m （b）｝，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「（18）

d9、

− d＃、 ≧ IB，− M （1 − xX ，r，）

∀b∈ B ∀（r 、，・，）∈ 鴫 ∀・ ∈ S ＼｛Te・m （b）｝．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（19）

2本の列車が駅 3 で同じ番線を使用するために，前方

列車が出発してから後方列車が到着するまで最小間隔

壊D を空ける．同方向の列車については始発駅の場合

（式（20））とそれ以降の駅の場合（式（21））を考え，

終端駅では更に到着列車と反対方向の出発列車との間

隔を考える（式（22））．

　α§a 「t（b）一

（i鼻Ia「t（b＞

　　≧　∬貸冒齔（b）

　−　M （3 弼都lb）一瞭、

一瞭、）

　　∀b ∈ B ∀（r 、 lr 、）∈ 鴫 ∀k ∈ K 妻ta吐（b）

，（20）

　α駐（b，s ）一己騨fxt（b・s 》

　　≧ 雄t（b・5LM

（3 − x ；、，

。、

一娩一・勾

　　　　　　　　　∀b ∈ B ∀（r ・，・・）∈ 鴫

　　　∀・ ∈ SX ｛T ・・m （b）｝∀h ∈ K 歴ψ ，5 ），〔21）

・」：「m （b）− dP　

「m （b）

　　≧囎醐一M （1 一耳：慨

b））

　　　　　∀b ∈ jB ∀「1 ∈ Rb ∀「2 ∈ ROpp（b）．　（22）’

列車が終端駅に到着してから反対方向の列車が出発す

るまで，最小間隔 ∬訟m

を確保する．

dJ；「m （b）一

・1：’m （b）≧ ∫歃

m （b）− M （1一鐔瓢

b｝）

　　　　 ∀b ∈ B ∀「1 ∈ Rb ∀「2 ∈ ROpp（b）・　（23）

　4．3　旅客行動に関する制約式

　表 1 の変数裾ノ，魂告2を用いて

，旅客行動に関する

制約式を記述し，それに伴い発生する旅客損失に関す

る変数 τ尹μ

，瞬ノの値を定める．本論文の旅客行動を

表す O−1変数のサイズは 0 （IS12［TllRl）＋ 0 （IS12［R12）であり，文献［5］の O （iS121TllRl）＋ 0 （IS121T［IR12）から大幅に減っている．

　旅客行動の基本的な制約として，旅客は出発駅にて

1 本の列車に乗車する．

Σ潔司 ∀b ・ B ∀（・，d）・畷〉

∀t∈ T ・

r ∈ Rb

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（24）

旅客は自分の出現時刻以前に発車する列車には乗車し

ない（d9 く t ⇒ 之£タ＝0）・

397





電子情報通信学会論文誌 2014／3vol ．　J97−D 　No ．3

β鯛≦ d雲／t

　　 ∀b ∈ B ∀（・，の ∈ 破〉∀t ∈ T ∀r ∈ Rb．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（25）

列車種別が旅客の出発駅を通過するものである，また

は乗車すると（途中でどう乗換をしても）目的駅を通

過してしまうものならば，その列車には乗車しない．

z留≦ 1 − ene

　　　　∀bEB ∀（・，d）∈ 畷〉

∀耗丁

　　　　　　　∀r ∈ Rb ∀・ ∈ E ＼E ° μ ．（26）

途中の乗換可能駅でも，式（24）一（26）と同様の制約が

ある．ここで JT，a は乗換にかかる時間である．

Σ ・塩一・

r2 ∈Rb

　　　∀う∈ B ∀d ∈ s ∀s ∈ ST，。（b，の

　　　　　　　　　　　　∀T1 ∈ Rb，

dジ、

一α算

、≧ IT，、

− M （1一魂1。 2）　　　∀う∈ B ∀d ∈ θ ∀8 ∈ STra

（b，の

　　　　　　　　　∀（・・，・・）∈ 曝，

z溜。 2 ≦ 1 − er2，e

　　　∀b ∈ B ∀d ∈ 5 ∀S ∈ STra（b，　d）

　　　∀（rl ，r2 ）∈ Rl ∀θ ∈ E ＼E3 μ．

（27）

（28）

（29）

　旅客の利用経路のうち，出発駅ないし途中駅 s で列

車 r に乗車する時点から，目的駅 d までの部分経路で

感じる不便度 τ尹μ を考える、その値は

，s−d 間に乗換

可能駅がない場合，乗車時間のみで構成される．

τ声，d ； α砦一鵡

∀b ∈ B ∀（s ，d）∈ θ畫＜＞

　 such 　that 　TraNext（b，　s）¢ S 丁「a （bl　d）∀r ∈ Rb・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（30）

これらの駅の問に乗換可能駅 Tra　Next（b，　s）がある場

合，乗換の有無で不便度は変わる．旅客が同じ列車に

乗車し続けるならば，げμ の値は，列車 r の駅 s か

ら Tra　Next（bl　s）までの乗車時間，　 TraNext（b，　s）での

（乗車した状態での）停車時間，TraNext（b，　s）以降の

不便度を表す TJ「aNext （b’s ）’d

から構成される．

7尹・d　≧　a∫

「aNeXt 〔b・5 ）　− d夛

　＋（dl「aNe 焔の一

・」「臼 Next （b ，　

s ））

　＋・」「aNext 〔b，　

s 〕・d − M （1 −・贈

N 叡 t（bls ），d）

∀う∈ β ∀（・，の ∈ 8ぎ＜＞

　 such 　that　TraNext（う，　s）∈ STra（b，　d）∀r ∈ Rb ・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（31）

旅客が TraNext（b，　s）で列車 rl から列車 r2 へ乗換す

るならば，TraNext（b，　s）での停車時間の代わりに，待

ち時間の α 倍と乗換ペナルティβが加算される．

舜d≧ ・JlaNext（b，s ）− d；

，

　＋ α × （d募aaNe）（t（b・5 ）一

α瓦aNext （b，

　s ））＋ β

　＋・君aNe ×t圓・d − M （1

−・騰

×t鯛，ら

∀う∈ B ∀（・，の ∈ θぎく＞

　　　such 　that　Tra　Next（b，　s）∈ STra（b ，d）

　　　　　　　　　　　∀（r ・，T ・）∈ 磅≠

．（32）

　時刻 t で出発駅 o に現れ，列車 r に乗車して目的駅

d へ向かう旅客の損失は，弱β：＝ max ｛α × （岬

一t）＋

τ尹μ 一A2’d

，e｝× β鋼で与えられる．これは，整理ダ

イヤにおける o での待ち時間の α 倍と，

o で r に乗車

する時点から d までの不便度の和から，所定ダイヤで

の不便度 ASId を引き，それが負になる場合は損失を

0 とみなす．そして，旅客が o で r に乗車するならば，

当該経路の旅客損失の値を岨ノに代入する，この式を

線形化すると次のようになる．

鰐 ≧ α ・（d：一オ）＋磆，d − A7 ，

d − M （1 一如∀b ∈ B ∀（・，d）∈ 8ぎく〉 ∀tET ∀・ ∈ R 、，（33）

瑠 ≧ o

　∀う∈ B ∀（o ，d）∈ 5詩〈〉

∀t∈ 1「∀r ∈ Rb．　（34）

　 4．4　計算時間短縮のための追加制約式

　冗長だが解空間を縮小する制約式を導入して，計算

時間を短縮させる．まず，2 本の列車 r1 ，r2 が同種別で

あり，時刻 t で駅 o に出現した旅客について t ≦ D 雰1

だとする．このとき，式（7）より，旅客は r1 には乗り

遅れはしない．更に，mgi ，。2＝ 1 ならば，式（16）よ

り，rl は o 以降の駅でも r2 より先に出発する．よっ

て，旅客は r2 に乗車しない．

398






鶚 ≦ 3 − xg、，。、

− er、，。

一・e・，

・，e

　　　　　　　∀bEB ∀（・，d）∈ 磯〉 ∀t ∈ T

∀（r 、 lr ・）∈ 囁・u ・hth ・tt ≦ DS、

∀e ∈ E ° ・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（35）

2 本の列車が異種別のときは，α ≧ 1，つまり列車を

待つ不便度が乗車する不便度以上の場合に限定して考

える．列車 rl は O ，　d に停車し，　 r2 は 0 に停車し，　 r1

が o と d の一つ手前の駅で r2 より先に出発するなら

ば，旅客の o での rl の待ち時間が短いかつ rl が先に

d に到着するので，

r2 には乗車しない．

・艦 ≦ 4 − m9、lr 、

− xf、，

r、

− e・、，・、

− er、。 2

　　　　　　　　　　　∀b∈ B ∀（・，の ∈ 3齧．〉

　　　　　　　否 ∈ Ssuch　that　Next（b，3）＝d

　　∀t∈ T ∀（r 、，r、）∈ Rk ・u ・hth ・tt ≦ D ：、

　∀e 、 ∈ E °

∩ Ed ∀・、 ∈ E °

such ・that・e 、 ≠ ・、．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（36）

旅客は同種別の列車に乗換しない．

・脇 ≦2 − er、 1。略、，。

　　　　　∀b ∈ B ．∀d ∈ S ∀S ∈ STra（b，d ）

　　　　　　　∀（r 、，r 、）∈ 曝 ∀e ∈ E ．〔37）

快速に乗って乗換可能．駅まで来た旅客について，目的

駅が快速停車駅ならば乗換しない．

・鵠、 ≧ e。、，・騰

　∀b∈ B 　∀d ∈ Ssuch 　that ‘・映速・

∈ Ed

　　　　　　　　∀s ∈ ST，a （b，、d〕 ∀r ∈ Rb・（38）

ほかに乗換しないケースでは，α ≧ 1，rl

，r2 とも d に

停車し，r1 が r2 より先に d に到着する場合がある．

・鑑、≦ 3 一魂。，

一 ε、

− e。、，，2

　　　　　∀わ∈ B ∀d ∈ S ∀8 ∈ STra（b，d）

　　　　百 ∈ Ssuch 　that 　Next（b，ε ）＝ d

　　　　∀（r 、，r、）∈ 瑠≠

∀｛・、，・・｝∈ Ed ．（39）

OD ペア（o ，　d1）と（o ，

　d2）について，　 o には普通のみ

停車するなどで，出現駅での旅客行動が同じになるな

らば，F （O ，

　dl）＝F （O ，　d2）と置き，変数をまとめる．

0 ，dl　　　　 o μ29ちr　　

； Zt，r

∀う∈ B ∀（o ，　di），（・，

d、）∈ 3号〈＞

　　　　　 such 　that　F （o ，dl）；」F「（o ，

　d2）

　　　　　　　　　　　∀孟 ∈ 1「　∀r ∈ Rb．　　（40）

　4．5　目的関数と解法

　混合整数計画問題の目的関数として，列車運行に関

する変数と制約式のみを用いて，単純な（到着）遅延

総和最小化（DMP ）を次のように定義できる．

mi ・ Σ Σ Σ （・；− A ＃）

　　　　 b ∈Br ∈ Rb 　s ∈ 8＼｛Start（b）｝

s．t．（1）一（23），

　　　　e，，。，

u ；・’e

，9。、，，、，x ＃、，r 、∈ ｛0，

1｝．

これに旅客行動に関する変数と制約式を加えた，旅客

損失総和最小化（PDP ）を次に示す．

mln Σ Σ Σ理’d（Σ 勲

　　　b∈B （・，d）∈sZ

＜＞

t∈T　

「 ∈ Rb

s．t．　　（1）一（40），

　　　偏 u 戴 9w 、，媒、、r 、謂，鑑、∈ ｛O，

1｝・

　これらを用いて，本論文の主眼である旅客損失を最

小にする運転整理の解法として，次の手順を提案する．

ステップ 1 ：　（所定ダイヤでの旅客不便度計算〉

　　各 r ∈ R，s ∈ S について，α＃：＝ノ4乳み：＝：D 鼻

　　とおく．

　　各 b ∈ B，（O ，

d） ∈ 曙く〉，t ∈ T について

，

　　A ：’d

：＝0 とおく．

　　（PI）P ）を解く．

　　各 b ∈ B，（o ，の ∈ 5ξ＜＞ 7t ∈ T について，

　　A鱈一Σr ∈。、卿とおく・

ステップ 2 ：　（遅延最小化）

　　ダイヤ乱れ情報を与える．

　　各 r ∈ R，s ∈ 5 について，　A 夛，

D 呉：＝ QO とおく．

　　（D ハ4P ）を解く．

ステップ 3 ：　（旅客損失最小化〉

　　各 r ∈ R ，s ∈ 3 について，（DMP ）の解から　　　　　　　　　　　　　　　　　　A　　．4瓢＝ ar

，D ＃：＝ d＃とおく．

　　IM。 x の値を与える．

　　（PDP ）を解く．

399





電子情報通信学会論文誌 201413vol ．　J97−D 　No ．3

ステップ 1 では，所定ダイヤにおける旅客の不便度

A7・d を，ダイヤ乱れの前にあらかじめ計算する．これ

には，列車の時刻を所定ダイヤに固定して，不便度 0

からの増分を最小化する（PDP ）を解くことで，所定

ダイヤ上での旅客の利用経路と不便度が求まることを

利用する．ステップ 2 では，ダイヤ乱れの情報を与え

たあと，遅延をどの程度回復できるかを知るために，

式（6），（7）の右辺を無視して（DMP ）を解く．得られ

た解は参照用の実行可能な運転整理ダイヤとみなせる．

ステップ 3 では，（DMP ）の解を式（6），（7）の．4馬D 募

に代入する．そこに最大許容時間 IM。x を加えた時刻

まで列車を遅らせることを認めて，（PDP ）を解く．

5．計算機実験

　5．1　対象路線と計算結果

　本論文の混合整数計画モデルを，仮想的な路線（ケー

ス 1）と JR 中央線の一部区間（ケー

ス 2）に適用して，

その有用性を検証する．旅客不便度式のパラメー

タは文

献［14］に従い α ＝ 2，β＝ 10 とし，定数 M の値は 300

とする．実験には， CPU が Core　i7−3930K ，メモリ

が 16GB ，　 OS が 64 ビット版 windows 　7 の計算機と，

混合整数計画ソルバとして Gurobi　Optimizer　5．5．O

を使用する．

　ケース 1 について，図 3 左上に所定ダイヤを示す．

これは 5 駅と上下方向 8 本ずつの列車からなり，太線

が快速，細線が普通を表す．快速は所定ダイヤでは C

駅で普通を追い抜くが，運転整理では全駅で追い抜き

可能とする．A 駅で列車 12 が折返しして列車 6 になる

など，幾つかの列車は終端駅で折返しをする．旅客の

OD ペアと出現時刻の組（o ，　d

，　t）は 569組になり，変

数の総数は（1）MP ）が 1，447，（PDP ）が 11，639，制

約式の総数は（DMP ）が 7，505

，（PDP ）が 145，339

になる（式（35）一（40）を含む）．

　この所定ダイヤに対して，何らかの理由によって（車

1　　 2　　　 3　　 4　　　　 5八．．．． 1

．：．．．…　　　　　．．．

層．．：　　　　　　．

　 i

．B

11 　　　　　　　　　　　　　　　　．　　．．．．．　　　．旨　　　　　　．　　　　　　．

コ　．≡ ．．．．．層唱．巴．．．．．．1 引．．．．

C …．　　　　匚」：．．．匚 1 ［．．：　　　　　　．　　　　　　 1 1

：引．．．．．三．」．．　　　　　」　．

D． … …

　　　．唱

．」「．」引．．．望．．．．唱．」コ．．．．．．．．． 1i．．．層．．．．

E題　　　　　　　　　　　　．　　　　　．

斜　　12　　　 13　　興　　　 1 1

Pranned 　timetable Solution　fDr （1ワMP ）

Solution　for（PDP ）with 　IMa、＝5，10 　　　　　　　　　　　Solution　for（PDP ）with 　JMax ＝ 15

　　　　　　　　　　　　　　図 3 ケー

ス 1 のダイヤ図

　　　　　　　　　　　　　 Fig．3　Diagram50f 　case 　No ．1．

400






両の一時的な不具合などを想定）列車 2 の A 駅出発が

30 分遅れる場合を考え，（DMP ）と，　 IM。x＝ 5

，10

，15

についての（PDP ）を解く．

　図 3 右上に（DMP ），左下に ∬M 、 x ＝ 5 及び 10 のと

きの（PDP ）（結果は同じであった〉，右下に IM、x

＝ 15

のときの（PPP ）の解をそれぞれ示す．（DMP ）の解

では，列車 2 が A 駅で 30 分番線を占有するので，列

車 3 と列車 4 については，番線を変更して定刻で出発

している。列車 1 の折返し列車を列車 2 から列車 14

に変更して，遅延の波及を最小限にとどめている．順

序変更により，列車 13 は B 駅で列車 14 に追い抜か

れて遅延しているが，折返しの列車 9 には影響してい

ない．列車 14 の折返しとなる列車 8 の遅延も減少し

ている．注目すべきは，列車 15 が，列車種別を快速

に変更されて，E 駅を列車 16 より後に出発している

ことである．列車 15 の折返し元は列車 1 から列車 3

に変更になったため，E 駅出発が遅延するが，快速に

なったことで B 駅で定刻に戻っている．この運転整理

ダイヤでは，普通列車 13 と普通列車 17 の間隔が空き

すぎていることが問題となる，

　一

方，IM。．＝ 5

，10 のときの（PDP ）の解では，　 E

駅から D 駅や B 駅へ向かう旅客の不便度を考慮して，

列車 15 の列車種別は普通のままになっている．しか

し，列車 15 の E 駅出発が列車 16 より先になってお

り，列車 16 の折返しの列車 10 に軽微な遅延が残って

いる．これは，IM。、の値が小さく，列車 15 の B 駅発

車時刻は（DMP ）の解から最大で 10 分までしか遅ら

せられないが，種別が普通であるため

，逆算して E 駅

の出発が早くなっているからである．ただし，この問

題は IMax ＝ 15 のときには解決されている．そのほか，

（PDP ）では列車8 が列車 7 を D 駅で追い抜いている，

　ケース 2 では，中央線の新宿から立川までについて，

土・休日の昼間の 80 分間を対象とする．図 4 左上に

所定ダイヤを示す．太線が特別快速（特快），細線が

快速と呼ばれる列車種別だが，特快は本論文の種別 e

で言うところの快速に，快速は普通に相当する．本論

文では番線が複数あることで特快が快速を追い抜き可

能な駅のうち，所定ダイヤや小規模のダイヤ乱れ時に

追い抜きが実施される中野，三鷹，国分寺の各駅で追

い抜きを可能とする．これらの特快停車駅の問の駅で

は列車川頁序が変わらないため，記述が煩雑になるのを

避ける目的で，中野〜三鷹間にある快速のみの停車駅

の代表を荻窪，三鷹〜国分寺間の代表を東小金井，国

分寺〜立川間の代表を国立とする．吉祥寺，武蔵境，

武蔵小金井，西国分寺と，土・休日の昼間は列車が通

過する高円寺，阿佐ヶ谷，西荻窪は省略する，旅客の

OD ベアと出現時刻の組は 1，511 組になり，変数の総

数は（DMP ）が 2，959 ，（PDP ）が 15

，581，制約式の

総数は（DMP ）が 39，185 ，（PDP ）が 647

，606 になる

（式（35）一（40）を含む）．

　この所定ダイヤに対して，

なんらかの理由で列車

2 の新宿出発が 30分遅れる場合を考え，（DMP ）と，

IM。x ＝ 1，＿

，6 についての（PDP ）を解く．

　図 4 右上に（DMP ），左下に IM。 x ＝ 4，5 （結果は同

じであった），右下に ∬M 、，＝ 6 のときの（PDP ）の解

を示す．（DMP ）の最適解では，列車 3 から列車 8 は

番線変更して新宿を定刻に発車している．立川から新

宿への列車も，遅延の影響がないため定刻で走行して

いる．列車 2 は三鷹で列車 8 を，国分寺で列車 7 を追

い抜く．列車 9 （特快）は，同じく特快の列車 2 のす

ぐ後を走行しているため，列車 9 の乗客が非常に少な

くなっている．これに対して，

IMax ＝ 1，＿

，3 のとき

の（PDP ）の解は，（DMP ）からわずかに変化しただ

けで，列車順序は変わらない．これは

，順序変更をす

ると，IMa、で定めた，列車を遅らせる限界を超えるた

めである．この状況が解消されるのは IM。x＝ 4

，5 の

ときで，国分寺〜立川間で特快列車 2 と特快列車 9 の

問に快速列車 7 が走行している．更に fM。 x＝6 では，

列車 10 が新宿を列車 9 より先に出発し，どの駅間で

も特快列車 2 と特快列車 9 の間には 1 本の快速が走行

している．

　以上の実験結果から，本論文で定式化した種別変更

や折返し変更が正しく機能していることが見て取れる．

また，旅客損失を最小化することで，種別ごとに見て

列車の問隔が均等になり，旅客行動モデルと評価指標

も適切であるといえる．特に，本数の少ない同種別の

列車が続けて運行されないことは運転整理の実務でも

意識されていることであり，実験により得られた結果

は実務でも受け入れられるものと考えられる．

　 5．2 計算時間

　各実験ケー

スについて，（DMP ）と IMa．の値の違

いによる（PDP ）の目的関数値と計算時間を表 2 に

示す．表内で（PDP ）については，本論文で提案した

計算時間短縮のための追加制約式（35）一（40）を含む場

合，代わりに文献［3］で提案された追加制約式を加え

た場合，式（35）一（40）を含まない場合について，

それ

ぞれの計算時間を記載する．括弧で示した時間は，全

体の計算時間のうち最適解が発見されるまでに要した

401





電子情報通信学会論文誌 2014／3　vol，　J97−D 　No．3

Shite　4　　2345 　　6　7　　 8　　9 肇Oju

Naka【臥

曝kube

餓瞼ka

Higaslti一κ6ga麟

Kbku．tRtnii

晦戉・ c廡

Tachレka糊　霊1肇2 哩3

銚恥 1舞kuNaka

陥

oφ一kubd

Miteke

HigashF恥 gand

141516窪718　19　2021　 Planned　timetable

Kdku一加頭

挿川卜

tachiTaCh

』

kawa　 l1G213 　　1415161718 　19　2【｝2f

　　　　Solution　for（PDP ）with 　IMe．＝4 ，5

　　　　　　　　　　　　　　　　　　図 4

　　　　　　　　　　　　　　　　 Fig，4

Shilt，　t　　　345 　　6　7　　8291GjukuNakane

曝kubO

Mitaka

HigashFKogan襃

kロ．加呼

瑜廊．tac厩

Tacltトkawa　 11霊213 　　捶415161718 　 19　2021

　　　　　　　 Solution　for〔PMP ）

S 厩鑛＿t 　 345 　67 　 82 窒09iuk驢

Nekene

o 事一

k凵bd

Mitake

Higash ト

KOganci

雛

蠶

朧　　　　　 fll213 　　1415161 ア18　19 　2G2a

　　　　　　　　 Solution　for （PDP ）with 　IMax ＝ 6

ケース 2 のダイヤ図

Diagrams 　of 　case 　No ．2．

時間であり，そこから計算終了までの時間は，その解

が最適解であることの証明に費やされている．表中の

＊印は， 900 秒で最適解の発見または計算が終了せず，

計算を打ち切っていることを示す．

　どちらのケースでも，（DMP ）は短時間で解けてお

り，実行可能な運転整理ダイヤを得る方法として適当

といえる．一方で（PDP ）については，　 IM、．の値が大

きくなるにつれ，解空間が広がるので計算時間は増え

ているが，ケー

ス 1 では最適解発見までにかかる時

間に比べて最適性の証明にかかる時間の増加量が大き

い．表には記載されていないが，

ケース 2 でも最適解

に非常に近い暫定解は短時間で導出されている．旅客

行動の 0− 1 変数のうち，旅客の出現駅での列車選択

変数堵ノのサイズが 0 （IS121TIIRI）と大きいうえに，

式（25），（28），（31）一（34）と目的関数によって

，混合整

数計画ソルバが問題を線形緩和して得る最適解の下界

が弱いために，このような現象が発生している．本論

文の不便度パラメータ設定値は α ＝＝2，β＝ 10 であ

り，文献圖での α ＝1，β ；1 よりも計算される不便

度 τ〆，雪瑠の値が大きくなるため，定数．M の値を大

きく設定せざるを得ないことも，計算時間がかかる要

因になっている．式（35）一（40）があることで，追加制

402






Table 　2

　表 2　目的関数値と計算時間

Objective 　values 　and 　cornputation 　times ・

ケース　問題 IMax　　目的関数値　　　　　　　追加制約式ごとの計算時間（秒〉

　　（DMP ）（PDP ）　式（35）一（4D ）　文献［3］の式　　式なし

1　（DMP ）　一

　　（PDP ）　　 5

　　（PDP ）　 10

　　（PDP ）　 15

工72　　　4，501210　　　3，586210 　　　3 ，

586

208 　　　3，522

一　　　　　一　　　　一　　　　　一　　　2．2　　　（1．O）　2、4 　　　（2．0）　　 1．8252 、7 　　（15．0）　790．0454．〔）　　（23，）　　　　

＊

（1．0）　　　3．7　　　（3．0）（13．0）　　

＊

　　（＊

）

　（＊

）　　＊

　　（＊

）

2　（DMP ）　一

　　（PDP ）　　 1

　　（PDP ）　　 2

　　（PDP ）　　 3

　　（PDP ）　 4

　　（PDP ＞　　 5

　　（PDP ＞　　 6

217 　　19，980226　　15

，140

226　　15，ユ40226　　15，140240 　　15

，020

240 　　15，020261 　　14，620

425

．616．421．688．1434，8

　　一　　　　

一　　　　　

一　　　1．5　　　（1．0）

　（4．0＞　　　3．3　　　（3．0）　　　9．1　　　（9．0）　（5．0＞　　　6．7　　　（6．0）　　95．6　　（76．0）（11．0）　　19．1　　（ユ0，0）　442．2　（437．0）（21 ．0）　　25．2　　（24 ，0）　　　　

＊

　　　　（＊）

（72．0）　218 ．4　（192，0）　　　　＊

　　　　（＊

）

（292 ．0）　　　　＊

　　　　（＊

）　　　　＊

　　　　（＊

）

括弧内：最適解が発見されるまでの時間＊；9DO 秒で求まらずに計算打ち切り

約式がない場合や文献［3］の追加制約式を加えた場合

に比べて，広い解空間に対して最適解の導出が実時間

内にできており，本論文の追加制約式は非常に有効と

判断できる．ソルバが分枝限定処理で灸。や M ＃1，。 2の

値を 1 に固定したときに，

一部の星焙魂事、

の値が 0

に制限され，分枝限定木の膨張が抑えられている．

　本論文の手法を計算時間の点から見ると，柔軟な運

転整理ダイヤと計算時間とのトレードオフをうまくと

る必要はあるが，実務にも充分に適用可能と考える．

6，む　す　び

　本論文では，鉄道の運転整理に対して，旅客がダイ

ヤ乱れ時に被る不便度と平常時のそれとの差である旅

客損失の総和を最小化する，混合整数計画法に基づい

たアルゴリズムと計算時間短縮式を提案した．先行研

究と比較して，列車運行の部分では，列車の順序変更

に加えて種別変更と折返し変更が実施可能になり，旅

客行動の部分では，列車の乗換回数の制限がなくなり，

評価指標が乗車時間，待ち時間，乗換回数の重み付き

線形和へと拡張されたことで，モデルの規模が増大し

たが，解空間を縮小する制約式を導入して計算時間の

短縮を図った．実路線を含むデータを対象にした計算

機実験の結果，導入した追加制約式が適切に機能し，

実時間内で先行研究よりも広い解空間に対して最適解

が導出でき，旅客の視点にたった運転整理ダイヤが作

成されることを確認した．

　今後の課題として，列車混雑に関連して発生する現

象を混合整数計画モデルに反映することが考えられる．

過剰な混雑は列車の更なる遅延を引き起こすとともに，

旅客行動にも影響を与えるが，その定量的な関係の解

明から取り組むことになる．また，解の探索範囲を更

に広げたときでも実時間内で解の最適性の証明ができ

るよう，目的関数の下界を早く改善させる策を講じる

必要がある．

　謝辞　本論文の改善にあたり2 名の匿名の査読者か

らの貴重なコメントに感謝する．なお，第三著者は科

研費（C）24510199 の助成を受けている．

　　　　　　　　　　文　　　献

　国　電気学会・鉄道における運行計画・運行管理業務高度化に

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403





電子情報通信学会論文誌 2014／3VoL 　J97−D　No ．3

　　 taneous 　disruption 　 recovery 　 of 　 a 　train 　 timetable 　 and

　　 crew 　roster 　in　real 　time ，’i　Comput ．　Oper，　Res ．

，vol ．32

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［10］富井規雄，田代善昭，田部典之，平井　力，村木国満，“利

　　用者の不満を最小にする列車運転整理アルゴリズムノ’情処

　　学論：数理モデル化と応用，voL46，　no 、SIG 　2（TOM 　11）1

　　 pp ．26−38，　Jan ．2005 ．

［11］ A ，Sch6bel，　Optimization　in　Public　T￥ansportation ，　　 Springer，　 New 　YQrk，2006 ，

［12］ T ．Dollevoet ，　 D ．　 Huisman ，　 M ．　 SchrnidtT　 and 　 A ．

　　 Sch6bel，　‘：Delay　management 　 with 　rerouting 　Qf

　　 Passengers ，

，i　T士ansportation 　Science，　voL46 ，　no ．1，

　　 pp ．74−89｝Feb ，2012 ．

［13］ M ．Schachtebeck　and 　A ．　Sch6be17 “To 　wait 　or 　not 　to

　　 wait − and 　who 　goes　first？ Delay　management 　with

　　 priority　decisions，11

野 ansportation 　Science ，　 vol ．44，　　 no ．3，　pp ．307 −321 ，Aug ．2010 ．

［141 国土交通省鉄道局（監修），鉄道プロジェクトの評価手法

　　マニュアル 2012 改訂版，運輸政策研究機構，東京，20 ⊥2．

　　　　　　（平成 25 年 5 月 22 日受付，8 月 10 日再受付）

富井　規雄

　1978 京都大学大学院工学研究科情報工

学専攻了，同年日本国有鉄道，1987 （財）

鉄道総合技術研究所を経て，

2007 より千

葉工業大学情報科学部教授，京都大学博士

（情報学）．情報処理学会，人工知能学会，電気学会，日本 OR 学会各会員．著書とし

て，列単ダイヤのひみつ（成山堂），鉄道のスケジニL 一リング

アルゴリズム（NTS 出版）など．

田村　　啓

　 2012 千葉工業大学情報科学部情報工学

科卒．現在同大学院情報科学研究科修士課

程在学中．鉄道の運転整理の研究に従事，

佐藤　圭介　　（正員）

　2006 筑波大学大学院システム情報工学

研究科社会システム工学専攻修士号取得．同年（財）鉄道総合技術研究所入所．鉄道

の運転整理・運用整理の最適化アルゴリズ

ムの研究開発に従事．日本 OR 学会会員．

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