Nova School of Business and Economics
Apontamentos Álgebra Linear
1
1 – Espaços Vectoriais
1 Espaço Vectorial
Conjunto de elementos que verifica as seguintes propriedades:
Existência de elementos: Contém pelo menos um elemento.
Soma:
Fecho: A soma de quaisquer dois elementos de é um elemento de .
Comutatividade: A ordem por que é feita a soma de vectores de não afecta o
resultado.
Associatividade: Numa soma de pelo menos vectores de , a prioridade atribuída a
cada soma não afecta o resultado.
( ) ( )
Existência de elemento neutro: Existe um elemento de cuja soma com cada
elemento de não o altera.
Existência de elemento simétrico: Cada elemento de pode ser somado com outro
para resultar no elemento neutro da soma.
( )
Multiplicação por números reais:
Fecho: A multiplicação de qualquer número real por qualquer elemento de é um
elemento de .
Associatividade: Numa multiplicação entre pelo menos números reais e
elemento de , a prioridade atribuída a cada multiplicação não afecta o resultado.
( ) ( )
Distributividade em : A multiplicação entre uma soma de números reais e um
elemento de é igual à soma da multiplicação de cada um dos números reais por esse
elemento.
( )
Definição
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1 – Espaços Vectoriais
2
Distributividade no espaço: A multiplicação de um número real pela soma de
elementos de é igual à soma da multiplicação desse número real por cada um dos
elementos.
( )
Existência de elemento neutro: A multiplicação de por cada elemento de resulta
nesse elemento.
Ex.: é um espaço vectorial, porque verifica as seguintes propriedades:
Existência de elementos: ( )
Soma: ( ) ( ) ( )
Fecho: ( ) ( ) ( )
Comutatividade: ( ) ( ) ( )
( )
Associatividade: ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( )
Existência de elemento neutro: ( ) ( ) ( )
( )
Existência de elemento simétrico: ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Multiplicação por números reais: ( ) ( )
Fecho: ( ) ( )
Associatividade: ( ) ( )( ) ( ) ( ( )) ( )
Distributividade em : ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Distributividade no espaço: ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( )
Existência de elemento neutro: ( ) ( ) ( )
2 Subespaço vectorial de um espaço vectorial
Subconjunto de , que é um espaço vectorial.
{
Definição
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1 – Espaços Vectoriais
3
Ex.: *( ) + é um subespaço vectorial de porque verifica todas as
propriedades de um espaço vectorial.
3 Subespaços vectoriais e propriedades de espaços vectoriais
Um subconjunto de um espaço vectorial é um subespaço vectorial de se e só se for:
Não vazio: Contém pelo menos um elemento
Fechado para a soma: A soma de quaisquer dois elementos de é um elemento de
Fechado para a multiplicação por números reais: A multiplicação de qualquer número
real por qualquer elemento de é um elemento de .
Ex.: *( ) + é um subespaço vectorial de porque é:
Não vazio: ( )
Fechado para a soma: ( ) ( ) ( ) ( )
( )
Fechado para a multiplicação por escalares números reais: ( )
( ) ( )
4 Subespaços vectoriais e o vector nulo
Qualquer subespaço vectorial contém o elemento nulo do espaço vectorial a que pertence.
Ex.: *( ) + não é um subespaço vectorial de porque não contém a
origem de , ( ).
5 Intersecção de dois conjuntos e ( )
Conjunto de elementos que pertencem a e a .
* +
Ex.: * + * +
* +
Facto
Definição
Facto
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1 – Espaços Vectoriais
4
6 Reunião de dois conjuntos e ( )
Conjunto de elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos e .
* +
Ex.: * + * +
* +
7 Soma de dois conjuntos e ( )
Conjunto de elementos que resultam da soma de um elemento de com um elemento de
.
* +
Ex.: * + * +
* +
8 Soma directa de dois conjuntos e ( )
Soma de e , se e forem subespaços vectoriais de um espaço vectorial , e a
intersecção entre eles for o vector nulo de .
{
* +
Ex.: *( ) + *( ) +
*( )+
9 Combinação linear de vectores, , , e , de um conjunto
Soma do produto de cada um dos vectores por um número real.
Ex.: ( ) é uma combinação linear de ( ), ( ) e ( ) porque ( )
( ) ( ) ( ).
Definição
Definição
Definição
Definição
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5
10 Sistema de geradores de um espaço vectorial
Conjunto de vectores a partir dos quais se obtêm todos os vectores de , fazendo com eles
todas as combinações lineares possíveis.
* + ⟨ ⟩
* +
Ex.: *( ) + *( )+ , subespaço vectorial de , tem como
sistema de geradores, por exemplo, *( )+, porque fazendo todas as combinações
lineares possíveis do vector( ), obtemos todos os vectores de .
11 Conjunto de vectores, , , e , linearmente dependente
Conjunto de vectores em que pelo menos um deles é uma combinação linear dos restantes,
ou conjunto apenas constituido pelo vector nulo de um espaço vectorial.
* + * + * +
* +
Ex.: *( ) ( ) ( )+ é linearmente dependente porque ( ) ( ) ( ).
12 Conjunto de vectores, , , e , linearmente independente
Conjunto de vectores em que nenhum deles é uma combinação linear dos restantes.
* +
* +
Ex.: *( ) ( )+ é um conjunto de vectores linearmente independente porque é
impossível obter o vector ( ) a partir de uma combinação linear do vector ( ), bem
como o vector ( ) a partir de uma combinação linear do vector ( ).
13 Independência linear, combinações lineares e vector nulo
Um conjunto de vectores é linearmente independente se e só se a única combinação linear
dos seus vectores que iguala o vector nulo do espaço que o contém é aquela cujos
coeficientes são todos 0.
* +
Definição
Definição
Definição
Facto
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6
( ) ( )
* +
( ) ( )
Ex. 1: O conjunto *( ) ( )+ é um conjunto de vectores linearmente independente
porque a única solução de ( ) ( ) ( ) é .
Ex. 2: O conjunto *( ) ( )+ é um conjunto de vectores linearmente dependente
porque as soluções de ( ) ( ) ( ) são do tipo , pelo que, por
exemplo, é uma solução, não sendo assim a única solução .
14 Base de um espaço vectorial
Conjunto de vectores de que é:
Um sistema de geradores de : ( )
Linearmente independente: linearmente independente
Ex.: O conjunto *( ) ( )+ é uma base de porque é:
Um sistema de geradores de : ( )
Linearmente independente: linearmente independente
15 Dimensão de um espaço vectorial ( ( ))
Número de vectores que qualquer base de tem. Número de elementos de vectores de
que é possível escolher arbitrariamente.
( )
Ex.: *( ) +, subespaço vectorial de , tem dimensão 1 porque todas as
suas bases (como, por exemplo, o conjunto *( )+) têm 1 vector. Por outro lado, na
procura de vectores de , é possível escolher 1 coordenada, tendo a outra que ser igual a
esta.
16 Dimensão de um subespaço vectorial nulo
Qualquer subespaço que contenha apenas o vector nulo de um espaço vectorial tem
dimensão , na medida em que nenhum dos elementos do seu único vector pode ser
escolhido.
* + ( )
Definição
Definição
Facto
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7
Ex.: *( )+, subespaço vectorial de , tem dimensão 0.
17 Dimensão, independência linear e geração de um espaço vectorial
Qualquer conjunto de vectores gera um espaço vectorial se:
( )
linearmente independente
Ex.: O conjunto *( ) ( )+ gera *( ) +, subespaço
vectorial de , porque:
( ) ( )
( ) (é possível escolher arbitrariamente 2 das coordenadas dos vectores
de )
linearmente independente
18 Teorema das Dimensões
Se e são subespaços vectoriais do mesmo espaço vectorial, então:
( ) ( ) ( ) ( )
Ex.: *( ) + ( )
*( ) + ( )
( )
*( )+ ( )
( ) ( ) ( ) ( )
19 Coordenadas de um vector de um espaço vectorial numa base
de
Conjunto ordenado de coeficientes necessários para escrever como combinação linear dos
vectores de .
* +
( )
( )
Ex.: *( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( )+
Facto
Facto
Definição
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1 – Espaços Vectoriais
8
( ) ( )
( ) : ( ) ( ) ( ) ( )
( ) : ( ) ( ) ( ) ( )
.
/
: ( )
( ) ( ) ( )
20 Produto interno de dois vectores, e , de ( )
Soma do produto das coordenadas homólogas de e .
( ) ( )
∑ ( )
Ex.: ( ) ( )
21 Propriedades do produto interno de dois vectores, e , de
( )
Associatividade em : ( ) ( ) ( )
Comutatividade:
Distributividade: ( )
Exs.:
Associatividade em : (( ) ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ( ))
Comutatividade: ( ) ( ) ( ) ( )
Distributividade: ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
22 Norma Euclideana de um vector, , de (‖ ‖)
Medida do comprimento de .
( )
‖ ‖ √ √∑ ( )
√
Ex.: ‖( )‖ √
Propriedades
Definição
Definição
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1 – Espaços Vectoriais
9
23 Coseno do ângulo formado entre dois vectores, e , de
( )
‖ ‖‖ ‖
Ex.: (( ) ( ) ) ( ) ( )
‖( )‖‖( )‖ √
24 Projecção ortogonal de sobre , vectores de ( ( ))
Vector resultante da transformação de num vector paralelo a .
( )
‖ ‖
Ex.: ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
‖( )‖ ( )
25 Vectores e , de , perpendiculares ou ortogonais ( )
Vectores cujo produto interno é .
Ex.: ( ) ( ) ( ) ( )
26 Ortogonalidade mútua e independência linear de factores
Qualquer conjunto de vectores mutuamente perpendiculares que não contenha o vector
nulo é linearmente independente.
* +
Ex.: *( ) ( ) ( )+ ( )
{
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Fórmula
Definição
Definição
Facto
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1 – Espaços Vectoriais
10
27 Base ortonormada de um espaço vectorial
Base de constituída por vectores mutuamente perpendiculares e de norma .
* +
{
* + ‖ ‖
Ex.: {.√
√
/ .
√
√
/} é uma base ortonormada de porque é constituída por
vectores perpendiculares e de norma .
28 Algoritmo de Gram-Schmidt para a obtenção de uma base
ortonormada de um espaço vectorial
Ortogonalização: Obtenção de uma base ortogonal * + de , de
dimensão , a partir de outra base * + de .
Definição de : Escolher para primeiro vector de o primeiro vector de .
Obtenção dos restantes vectores de : Calcular , substituindo por na fórmula
abaixo indicada. Calcular , substituindo por . Continuar a calcular os vectores de ,
substitundo pelos restantes números naturais, de forma crescente, até .
∑ [ ( )] [ ( ) ( ) ( )]
Normalização: Depois de obtida a base * +, obter uma base
* + ortonormada de , multiplicando cada vector de pelo inverso
da sua norma
* + ‖ ‖
Ex.: * + *( ) ( ) ( )+ base de
Ortogonalização:
( )
( ) ( ) ( )( ) (
)
[ ( ) ( )] ( )
[ ( )( ) .
/( )] ( )
* + {( ) (
) ( )}
1
2
Definição
Algoritmo
1
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1 – Espaços Vectoriais
11
Normalização:
‖ ‖
( )
‖( )‖ (
√
√
√
)
‖ ‖
. /
‖. /‖ (
√
√
√
)
‖ ‖
( )
‖( )‖ (
√
√
)
* + {( √
√
√
) (
√
√
√
) (
√
√
)}
29 Complemento ortogonal de um conjunto , em ( )
Conjunto de vectores de que são perpendiculares a todos os vectores de .
* +
Ex.: *( ) +
*( ) +
30 Perpendicularidade e bases de espaços vectoriais
Um vector é perpendicular a todos os vectores de um espaço vectorial se e só se for
perpendicular a todos os vectores de qualquer uma das suas bases.
* +
Ex.: *( ) + *( )+
*( ) + porque todos os elementos de são perpendiculares a ( ).
31 Vector diferença de um plano , de
Vector que é a diferença entre dois vectores de .
Ex.: é o plano de que passa por ( ), ( ) e ( ). ( ) é um vector
diferença de porque é a diferença entre os vectores ( ) e ( ), que pertencem a .
Definição
Definição
Facto
2
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1 – Espaços Vectoriais
12
32 Vector normal a um plano , de
Vector que é perpendicular a todos os vectores diferença de .
( )
Ex.: é o plano de que contém ( ), ( ) e ( ). ( ) é um vector normal a
porque é perpendicular a qualquer vector diferença de .
33 Vector normal a um plano e vectores do plano
Um vector é normal a um plano de se e só se for perpendicular a pelo menos
vectores diferença do plano não paralelos.
{
* +
( )
* +
Ex.: é o plano de que contém por ( ), ( ) e ( ). ( ) e
( ) são dois vectores diferença de não paralelos. ( ) é perpendicular a estes
dois vectores, logo é um vector normal a , sendo por isso também perpendicular a todos os
outros vectores diferença de .
34 Equações de um Plano , de , que contém e é normal a
Normal: ( )
Cartesiana: ∑ ( )
Ex.: Equações do plano de que contém ( ) e é normal a ( ):
Normal: (( ) ( )) ( )
Cartesiana:
35 Distância Euclideana entre dois vectores, e , de ( ( ))
Norma Euclideana do vector diferença entre e .
( ) ( )
( ) ‖ ‖ √∑ ,( ) -
√( ) ( )
( )
Definição
Definição
Facto
Fórmula
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1 – Espaços Vectoriais
13
Ex.: (( ) ( )) √( ) ( )
36 Distância Euclideana entre um vector, , e um plano de , que
contém e é normal a ( ( ))
Norma Euclideana do vector diferença de menor comprimento possível entre e um vector
de .
( ) |( ) |
‖ ‖
Ex.: ( ) ( ) ( )
( ) |(( ) ( )) ( )|
‖( )‖
37 Distância Euclideana entre dois planos paralelos, e , de
( ( ))
Norma Euclideana do vector diferença de menor comprimento possível entre um vector de
e um vector de . Distância Euclideana entre um vector de e o plano . Distância
Euclideana entre um vector de e o plano .
( ) ( ) |( ) |
‖ ‖ |( ) |
‖ ‖ ( )
Ex.: ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) |(( ) ( )) ( )|
‖( )‖ |(( ) ( )) ( )|
‖( )‖
( )
Definição
Definição