1
Especificações de Filtros
Especificação em tempo contínuo
Especificação em tempo discreto
Resposta em frequência de um filtro
210log20
atenuação
ARegião
irrelevante
2
FIR e IIR
FIR – Finite Impulse Response Filter
(Resposta ao Impulso Finita)
IIR – Infinite Impulse Response Filter
(Resposta ao Impulso Infinita)
N
k
kk
M
m
mmM
mm
N
kk
za
zbzHmnxbknya
0
0
00 .
.)(][.][.
M
m
mm
M
mm zbzHmnxbny
00
.)(][.][
Só tem zeros sempre sempre estáveisestáveis
Contêm zeros e pólos
M – ordem M – ordem do filtrodo filtro
N – ordem do filtroN – ordem do filtro
3
FIR vs IIR
FIR São sempre estáveis Permitem facilmente fase linear Podem necessitar de ordem elevada
IIR Menor peso computacional
4
Projecto de Filtros IIR
Conversão de Filtros Analógicos
•Aproveita os resultados dos sistemas analógicos
Transformação Bilínear
• Um mapa do plano-s para o plano-z
1
1
1
12
z
z
Ts
zesT
Mapa exacto seria (AD-DSP-DA):
)2/tan(2 T
Provoca uma transformação na frequência
)2/arctan(2 T
5
Transformação Bilínear
Transforma o semi-plano complexo esquerdo no circulo unitário!
Sistemas estáveis resultam em sistemas estáveis
Transformação na frequência:
Especificações devem ser ajustadas de forma a compensar a transformação
sT
sTz
)2/(1
)2/(1
1
1
1
12
z
z
Ts
6
Invariância ao Impulso
k
tsK
TL
k K
K tueAthss
AsH K ][)()(
1
k
nkK
TZ
k k
K nuzAnhzz
AzH ][
1)(
1
Tsk
kez
amostragem
7
Filtros Butterworth
São filtros que têm uma característica de amplitude maximamente plana na banda de passagem.
Têm a seguinte resposta em amplitude:
Nc
c jjjH
2
2
)/(1
1)(
A sua transformada de Laplace é constituída apenas por pólos nas posições:
N
kkss
sH
1
)/1(
1)(
)12)(2/( NkNjCk es
NCC jH 22
)//(1)(
8
Filtros Chebyshev
Permitem oscilações na banda de passagem de forma permitir a utilização de filtros de menor ordem relativamente ao Butterworth.
)/(1
1)(
22
2
cNc VjH
1)(0 xV xxV )(1
12)( 22 xxV
)()(2)( 11 xVxxVxV NNN NCN
C jH 2122)/(4/1)(
9
Filtros passa-banda
Projecto em tempo continuo Transformação passa-baixo passa banda Escolher o tal que,
Especificações ou mais apertadas
212
SSo
212
PPo
sB
sSBaixoPassaBandaPassa STsT 2
02)()(
12 PPB
2220 4
12
1PassLowPassLow
BB
BPassLow
20
2
12
PassLowP
11
PassLowP
12
12
1/2PP
SS
PassLowS
10
Filtros passa-banda
1P 2P2S
1P
1S
12
12
PP
SS
S
212
SSo 12 PPB
Deve-se escolher P1 e P2 de forma que:
212
PPo
Mas garantindo que P1< P1real e
P2> P2real
11
Projecto de Filtros FIR
deeHnh jjdd )(
2
1][
Método da Janela
Especificação de uma resposta ideal na frequência e determinação da resposta impulsiva correspondente:
)( jd eH
Multiplicação por janela:Pode ser infinita e não causal
truncagem
][][][ nwdnhnh d
cc ,0
0,1][
Mnnw
janela
Janela rectangular:
Atraso da janela
2/Md
12
Janela Rectangular
]2/sin[
]2/)1(sin[)( 2/
MeeW Mjj
13
Outras Janelas
cc ,0
0,1][
Mnnw
cc ,0
2/0,/22
2/0,/2][ MnMn
MnMnnw
RectangularBartlett (triangular)
cc ,0
0),/2cos(5.05.0][
MnMnnw
Hanning
Hamming
cc ,0
0),/2cos(46.054.0][
MnMnnw
Blackman
cc ,0
0),/4cos(08.0)/2cos(5.042.0][
MnMnMnnw
14
JanelasRectangular
(o riple ou a atenuação nunca baixam de 20dB
por maior que seja a ordem! Fenómeno de
Gibbs)
triangular
Hanning
Hamming
Blackman
15
Janelas
16
Janela de Hanning
)(.2
2
2
2)()(
]'[))/'2cos(5.05.0(]'[
][))/2cos(5.05.0(][
jR
j
R
R
eWMM
eW
nwMnnw
nwMnnw
)( jR eW
)( jeW
2/' Mnn
]2/sin[
]2/)1(sin[)(
M
eW jR
WR – Janela Rectangular
W – Janela Hanning
17
Janela Kaiser
cc ,0
0,)(
])]/)[(1([][
0
2/120 Mn
I
nInw
ps
10log20A
21,0.0
5021),21(07886.0)21(5842.0
50),7.8(1102.04.0
A
AAA
AA
285.2
8AM
Funções de Bessel
modificadas de ordem zero
É simples obter e M dadas as especificações
Permite trocar largura do lobo principal por amplitude do
lobo secundário
21
Ordem do filtro
(dB)
18
Projecto Equiriple de FIR
Janela rectangular minimiza
deHeH jjd
22 )()(
2
1
Outro critério é o do erro máximo)()(max jj
d eHeH
Parks-McClellan algorithm
324.2
13)log(10 21M
Filtros de oscilação constante (equiriple)
Resulta em filtros de menor ordem do que pelo método das janelas
19
Projecto Equiriple
Erro quadrático mínimo (janela rectangular) Óptimo sinais de banda larga, ex: ruído branco
Equiriple (erro máximo mínimo) Garante que qualquer sinal fora da banda é atenuado
pelo menos A dB Projecto para o pior caso, ie, sinais de banda estreita
junto à banda de transição