Az ábrán egy épülő ház tetőszerkezetét látjuk. A „mester” szerint ez akkor lesz a legstabilabb, ha a „ferde” CD nyeregtetőt annak F felezőpontjában, rá merőlegesen támasztják alá egy gerendával. Milyen hosszú legyen a g gerenda?
1. feladat
2
9 ;4F )3 ;8( DCv
A gerenda egyenesének egyenlete:
2
37
2
273238 yx
0y 16
37x
22
2
9
16
374
g
4
351 m 68,4
2. feladat Egy térképhez rögzített koordináta-rendszerben az A és B falvak koordinátái A(0; 7), B(6; 5). Az országút egyenlete:
63 yx
Hová helyezzék a buszmegállót az országúton, hogy az a két falutól egyenlő távolságra legyen ?
)6 ;3(F
1)- ;3( 2)- ;6( ABv
AB felezőmerőlegesének egyenlete:
3693 yx 33 xy
23
133 xx
8
15x 8
21y
8
21 ,
8
15M
3. feladat Az ABCD négyzet BC oldalának B-hez közelebbi harmadoló pontja H. A CD oldal C-n túli meg-hosszabbításán legyen E pont, melyre CE egyenlő a négyzet oldalának a felével. Igazoljuk, hogy a BE
és AH egyenesek M metszéspontja illeszke-dik a négyzet köré ír-ható körére!
Az AM egyenes egyenlete:
3
xy
)1 ;2
1(BEv
A BE egyenes egyenlete: 12
1 yx
16
1 xx
5
6x
5
2y )
5
2 ;
5
6(M
)5
2 ;
5
6(M
2
1
2
1
2
122
yx
2
1
2
1
5
2
2
1
5
622
?
?
22
10
1
10
7
100
1
100
49
2
1
4. feladat Készítsünk virágot ! Legyen A halmaz a sík azon P(x; y) pontjainak a halmaza, mely pontokra 122 yx A B halmaz a sík azon P(x; y) pontjainak a halmaza, mely pontokra
Szemléltesse egy koordinátarendszerben a B \ A halmaz elemeit !
yxyx 22
0 ,0 1.) yx
yxyx 22
022 yxyx
04
1
2
1
4
1
2
122
yx
2
1
2
1
2
122
yx
2
1 ;
2
1K
2
2r
122 yx yxyx 22
5. feladatHány db olyan pozitív egész k szám van, melyre az
0256422 kykxyx
egyenletű körnek nincs közös pontja az x ten-gellyel, de van közös pontja az y tengellyel ?
0256422 kykxyx
A kör x tengellyel alkotott metszéspontjaira: 0y
02562 kxx
Ha a körnek nincs közös pontja az x tengellyel,
akkor ez utóbbi egyenlet diszkriminánsa negatív:
025642 k 32k
Hasonlóképpen; 02564 az 2 kyy egyenlet
diszkriminánsa nem negatív:
0256416 2 k 8k
328 k
Tehát a feltételeknek 24731 db egész szám
felel meg.
6. feladat Egy háromszög két csúcsa: A(0; 2), B(-2; 0), a harma-
dik csúcsa az
0164822 yxyx
egyenletű körön van. Határozza meg a harmadik csúcs
koordinátáit úgy, hogy a háromszög területe maximális
legyen!
A háromszög területe akkor maximális, ha a hiányzó C csúcsa a legtávolabb van az AB egyenestől. Ezt a pontot az AB-re merőleges, O-n átmenő egyenes metszi ki a körből.
1) ;1(ABv 6 yx
0164)6(8)6( 22 yyyy
222,1 y )22 ;24( C
7. feladat
Egy parabola két pontja: A és B. Ezek
merőleges vetülete a vezéregyenesen:
A* és B*. Igazolja, hogy a fókusz-
ponton átmenő, AB-re merőleges
egyenes felezi az A*B* szakaszt!
p
xxxxAB 2
;21
22
12v
vagy másképpen
p
xxAB 2
;1 12v
Ez a vektor a rá merőleges, F-en átmenő egye-nesnek normál-vektora, tehát az egyenes egyen-lete:
2221212 p
p
xxy
p
xxx
412 xx
2221212 p
p
xxy
p
xxx
412 xx
A vezéregyenes egyenlete:
2
py
Tehát a két egyenes metszéspontjára:
4221212 xxp
p
xxx
242 1212 xxxx
x
Ez pedig éppen azt fejezi ki, hogy az F-en át AB-re állított merőleges felezi az A*B* szakaszt.