1
kuncikolompadaNilai
KNkolompadaNilaibarisIndeks
...
.....
Ir. Tito Adi Dewanto
Cara dan formulasi masalah ke dalam persamaan linier sama dengan metode grafik.
Perbedaan pada langkah-langkah untuk pemecahan optimal. Kelebihan metode Simpleks
dibanding dengan metode sebelumnya (metode Grafik) adalah metode ini bisa digunakan
untuk memecahkan masalah yang memiliki variable lebih dari dua macam.
Langkah-langkah Metode Simpleks :
Langkah 1: Formulasikan ke dalam SPL
Contoh Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 3X1 + 4X2
Batasan – batasan : (1) 2X1 + X2 6000
(2) 2X1 + 3X2 9000
(3) X1 0 ; X2 0
Langkah 2 : Mengubah Fungsi Tujuan dan Batasan
Maksimumkan Z = 3X1 + 4X2 diubah menjadi
Maksimumkan Z - 3X1 - 4X2 = 0
Batasan 2X1 + X2 6000 diubah menjadi
2X1 + X2 + S1 = 6000 S adalah slack variable yang
mengubah tanda menjadi =
2X1 + 3X2 9000
2X1 + 3X2 + S2 = 9000
Fungsi Tujuan Maksimumkan Z - 3X1 - 4X2 = 0
Batasan-batasan (1) 2X1 + X2 + S1 = 6000
(2) 2X1 + 3X2 + S2 = 9000
(3) X1 , X2 , S1, S2 0
Langkah 3 : Menyusun Persamaan-persamaan ke dalam table
V.D Z X1 X2 S1 S2 N.K
Z
S1
S2
1
0
0
-3 -4 0 0
2 1 1 0
2 3 0 1
0
6000
9000
Langkah 4 : Memilih Kolom Kunci
Pilih kolom pada baris Z nilai negative terkecil.
Lingkari kolom tsb untuk kemudahan
Langkah 5 : Memilih Baris Kunci
Pilih baris kunci, yaitu baris yang punya indeks + terkecil.(lalu lingkari)
2
.
Didapat angka kunci yaitu 3
Indeks terkecil baris S2 (jadi X2)
Langkah 6: Mengubah Nilai Baris Kunci
Ubah nilai pada baris kunci dengan membaginya angka kunci (3)
Ubah VD dengan variable yg kolomnya terpilih sbg kolom kunci. (S2 X2)
Langkah 7: Mengubah Nilai diluar baris kunci
3
Langkah 8 : Melanjutkan Perbaikan
Selama masih ada nilai negative pada baris Z maka ulangi langkah 3-7.
Bila tidak ada negative lagi berarti sudah Optimal
Arti: Produk I dihasilkan 2.250 unit (X1 = 2250), produk II=1500 unit (X2=1.500)
Sumbangan terhadap laba sebesar Rp 12.750 (Z=12.750)
C. Ketentuan Tambahan
1. Terdapat 2 atau lebih Nilai Negatif Terkecil pada baris Z
Bebas pilih nilai Z terkecil (hasil akan sama), Misalnya table sbb :
2. Terdapat 2 baris atau lebih Memiliki Indeks Negatif Terkecil
Bebas pilih Indeks Negative Terkecil.(Optimal sama)
3. Multiple Optimal Solutions
Bila diperoleh 2 atau lebih solusi dengan nilai Z optimal sama.
4
D. Penyimpangan dari Bentuk STANDAR
1. Fungsi Tujuan Bersifat Meminimumkan Nilai Z.
Ubah menjadi memaksimumkan, fungsi tujuan kali (-1)
Minimumkan Z = 3X1 + 4 X2
Maksimumkan [Z = 3X1 + 4 X2] . (-1)
Maksimumkan –Z = - 3X1 - 4 X2 atau Maksimumkan –Z + 3X1 + 4 X2 = 0
2. Batasan Bertanda Sama Dengan (=)
............0,)3(
900032)2(
..60002)1(
43
21
21
21
21
XX
XX
XX
XXZ
....................0,)3(
900032)2(
..60002)1(
043
21
221
121
121
XX
SXX
RXX
MRXXZ
5
3. Batasan Dengan Tanda Lebih Besar atau Sama Dengan ()
6
7
8
Analisis Sensitivitas
Menghitung akibat-akibat perubahan kendala dan fungsi tujuan pada nilai tujuan (hasil),
pada metode simpleks menggunakan tabel optimal.
A. Marginal Value
Adalah nilai baris Z pada kolom slack variable
Contoh Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 3X1 + 4X2
Batasan : (1) 2X1 + X2 6000
(2) 2X1 + 3X2 9000
(3) X1 0 ; X2 0
Jawaban Optimal :
VD Z X1 X2 S1 S2 NK
Z
X1
X2
1
0
0
0 0 ¼ 5/4
1 0 ¾ - ¼
0 1 - ½ ½
12.750
2.250
1.500
X1= 2.250 X2= 1.500 Z=12.750
Marginal Value input pertama adalah S1 yaitu sebesar ¼
Apabila nilai kanan kendala I ditambah 10 unit maka nilai Z bertambah
10.( ¼ )=2,5
Marginal Value input pertama adalah S2 yaitu sebesar 5/4
Apabila kendala II dilonggarkan 1 unit maka nilai Z bertambah 5/4 atau
1,25.
B. Mencari nilai Optimal Baru Setelah Perubahan
NK baru baris i = NK lama-nilai kolom i (tambahan = i).
Pada kendala I bila ditambah dengan i : 2X1+X2 6.000 + i
maka nilai kanan berubah (bila i=100)
(1)
Baris
(2)
NKlama
(3)
Nilai S1
(4)
NK baru
(5)
Z
X1
X2
12.750
2.250
1.500
¼
¾
- ½
12.750+ ¼ i
2.250+ ¾ i
1.500+ (-½i)
12.775
2.325
1.450
perubahan yang terjadi tidak boleh melanggar kondisi feasible, sehingga
semua variable harus positif yang berarti:
2.250+ ¾ I 0 1.500+(- ½ ) I 0
¾ i -2.250 ½ I 1500
I -3000 I 3000
jadi penggunaan tabel optimal hanya dapat dilakukan apabila
-3000 I 3000
sehingga nilai kanan kendala I
minimum adalah 3000 = (6000-3000)
maksimum 9000 = (6000+3000),
kalau melebihi batas itu maka ada variable (Xj) yang
bernilai negative, berarti tidak feasible.
9
Tes Formatif 2
Diketahui fungsi tujuan memaksimumkan z = 5x1 + 3x2
Batasan-batasan : (1) 3x1 + 5x2 ≤ 15
(2) 5x1 + 2x2 ≤ 10
(3) x1 , x2 ≥ 0
Tabel optimal permasalahan tersebut sbb:
V.D Z X1 X2 S1 S2 N.K
Z
X2
X1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0,2632
0,2632
-0,1053
0,8421
-0,1579
0,2632
12,37
2,368
1,053
Dari data tersebut jawab pertanyaan berikut :
1. Marginal value input pertama adalah …..
A. 0,2632
B. 0,368
C. 0,8421
D. 12,37
2. Berdasarkan marginal value input pertama maka apabila nilai kanan kendala 1
ditambah 10 unit maka nilai Z bertambah …..
A. 12,37
B. 8,421
C. 3,68
D. 2,632
3. Apabila kendala kedua dilonggarkan 1 unit maka nilai Z akan bertambah …
A. -0,1579
B. 0,2632
C. 0,8421
D. 1,053
4. Apabila nilai kanan ken dala pertama ditambah dengan i maka penambahan nilai
kanan kendala 1 akan berkisar ….
A. -8,99 ≤ i ≤ 10
B. 8,99 ≤ i ≤ 10
C. 10 ≤ i ≤ 46,99
D. -46,99 ≤ i ≤ 10
5. Maksimal nilai kendala 1 adalah …….
A. 10
B. 15
C. 25
D. 35