1
La moyenne : des formules en pagaille
ou un choix raisonné ?
Chr. Vandeschrick
Midis de la Recherche – 14 mai 2013
2
Avertissement
■ Méthode exposée / suivie / adaptée ici parfois explicitée par ailleurs (les « Italiens », Antoine, internet…)
mais de manière peu « conviviale » sans en tirer toutes les conséquences sur les plans
● théorique : concepts, définitions…● pratique : comment utiliser la méthode face à des données
bref, l’hésitant(e) peut continuer dans ses doutes !
3
Moyenne et pédagogie : constats (1)
■ Énumération accumulative de formules succession de formules (mais parfois uniquement la formule arithmétique !)
sans logique apparente (ou si peu) peu de systématisation (parfois après l’arithmétique ; cf. Justens ou Grais)
4
Moyenne et pédagogie : constats (2)
■ Énumération accumulative de formules ■ Règles d’utilisation : un musée des horreurs !■ Confusion entre mode de calcul et définition !
5
Objectif de l’exposé
■ Proposer une méthode pour DÉTERMINER la formule du calcul de la moyenne dans n’importe quel cas concret faisant sens par rapport aux observations sans recours à des maths de haut vol
■ Grâce à cette méthode : la logique entre les différentes formules choix aisé de la bonne formule définition et mode de calcul bien distingués bref, l’hésitant n’a plus à… hésiter + commentaires sur les unités de mesure
équation aux dimensions ou analyse dimensionnelles
6
Méthode : principes généraux
■ Tout repose sur une définition unique de la moyenne■ Par application de cette définition
à différents cas concrets les différentes formules vont apparaitre « naturellement »
■ Remarque : la formule recherchée doit être fonction des valeurs observées (xi ou xp) du nombre d’observations (n) même s’il existe un raccourci pour le calcul effectif
7
Apprivoisons les données et les concepts
Cas 1 Cas 2
Généralités sur le phénomène en jeu
• taux de change (€ $)• 3 opérations de change
• descendance à 50 ans• pour les femmes d’une localité
Données
• 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€• 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€• 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€
• 6 femmes avec 0 eft(s)/fem.• 14 femmes avec 1 eft(s)/fem.• 9 femmes avec 2 eft(s)/fem.
La moyenne recherchée
Taux de change moyen pour les 1.500 € échangés
Descendance moyenne parmi les 29 femmes
8
Méthode : deux cas en parallèle
Cas 1 Cas 2
• 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€ →750 $• 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€ →350 $• 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€ →975 $
• 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. → 0 eft• 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. → 14 efts• 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. → 18 efts
Action de la variable sur les unités sous observation
En agissant sur un €, le taux de change produit des $
En agissant sur une femme, la descendance produit des efts
En agissant sur les 500 €, le taux de change produit 750 $
En agissant sur 9 femmes, la descendance produit 18 efts
En agissant sur les « i », la variable produit son effet
Appliquée aux « i », la variable produit son effet
9
Méthode : deux cas en parallèle
Cas 1 Cas 2
• 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€ →750 $• 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€ →350 $• 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€ →975 $
• 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. → 0 eft• 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. → 14 efts• 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. → 18 efts
Éléments en jeu
En agissant sur un €, le taux de change produit des $
En agissant sur une femme, la descendance produit des efts
• Variable = taux de change • Variable = descendance
• Les « i » = les € changés • Les « i » = les femmes
• Effet de la var. sur les « i » = $ • Effet de la var. sur les « i » = efts
10
Méthode : deux cas en parallèle
Cas 1 Cas 2
• 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€ →750 $• 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€ →350 $• 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€ →975 $
• 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. → 0 eft• 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. → 14 efts• 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. → 18 efts
Unités de mesure des éléments en jeuEn agissant sur un €, le taux de change produit des $
En agissant sur une femme, la descendance produit des enfants
Dans les 2 cas, l’action se traduit par une multiplication
• nombres : 500 * 1,5 = 750• nbre & UM : 500 € * 1,5 $/€ = 750 $• UM : € * $/€ = $
• 9 * 2 = 18• 9 f * 2 e/f = 18 e• f * e/f = e
Systèmes d’unités « physiques » COHÉRENTS
qui assurent la validité des écritures
11
Méthode : deux cas en parallèle
Cas 1 Cas 2
• 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€ →750 $• 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€ →350 $• 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€ →975 $
• 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. → 0 eft• 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. → 14 efts• 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. → 18 efts
Retour à la lecture des donnéesEn agissant sur un €, le taux de change produit des $
En agissant sur une femme, la descendance produit des enfants
• 500 € sont observés à raison de 1,5 $/€
• pour 500 « i », la variable vaut 1,5 $/€
• 9 f sont observées à raison de 2 e/f
• pour 9 « i », la variable vaut 2 e/f
12
Méthode : deux cas en parallèle
Cas 1 Cas 2
• 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€ →750 $• 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€ →350 $• 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€ →975 $
• 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. → 0 eft• 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. → 14 efts• 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. → 18 efts
Effet partiel de la variable par ligne• 500 € * 1,5 $/€ = 750 $
• n1 * x1 = 750 $ (effet partiel 1)
• n2 * x2 = 350 $ (effet partiel 2)
• n3 * x3 = 975 $ (effet partiel 3)
• 6 f * 0 e/f = 0 e
• n1 * x1 = 0 e (effet partiel 1)
• n2 * x2 = 14 e (effet partiel 2)
• n3 * x3 = 18 e (effet partiel 3)
13
Méthode : deux cas en parallèle
Cas 1 Cas 2
• 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€ →750 $• 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€ →350 $• 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€ →975 $
• 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. → 0 eft• 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. → 14 efts• 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. → 18 efts
« Effet global » de la variable sur la population sous observation
• n1 * x1 = 750 $
• n2 * x2 = 350 $
• n3 * x3 = 975 $
• n1 * x1 = 0 e
• n2 * x2 = 14 e
• n3 * x3 = 18 e
•
•
pp
P
1ppp x*nx*nEG
332211 x*nx*nx*nEG
$075.2$975$350$750EG e32e18e14e0EG
14
Définition de la moyenne. Enfin !
■ La moyenne = la valeur de la variable qui, affectant l’ensemble des « i », conserve l’effet global (de la variable sur l’ensemble des « i »).
■ Unités de mesure de la moyenne = unités de la variable
■ Appliquons la définition aux 2 cas
15
Méthode : deux cas en parallèle
Cas 1 Cas 2
• 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€ →750 $• 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€ →350 $• 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€ →975 $
• 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. → 0 eft• 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. → 14 efts• 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. → 18 efts
Application de la définition
REMPLACER dans la formule de l’effet global (EG), les valeurs observées (xp) par la moyenne tout en conservant la valeur de EG
Soit la formule ARITHMÉTIQUE dite « pondérée » par les effectifs
n*xn*xx*nx*nEG pppp
n
x*nxx*nn*x pp
pp
16
Méthode : deux cas en parallèle
Cas 1 Cas 2
• 01/01 : 500 € au taux de 1,5 $/€ →750 $• 01/07 : 250 € au taux de 1,4 $/€ →350 $• 01/12 : 750 € au taux de 1,3 $/€ →975 $
• 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. → 0 eft• 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. → 14 efts• 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. → 18 efts
Application de la formule
Moyenne = répartition ÉQUITABLE • de l’effet global (2.075 $ ou 32 enfants)• entre les individus sous observation (1.500 € ou 29 femmes)
Calculer une moyenne = • voir ce que donnerait la FICTION mathématique • de la répartition équitable de l’EG entre les « i » : à chaque « i », la même chose !
n
x*nx pp
3833,1500.1075.2
x 1034,12932
x $/€ e/f
17
Méthode : résumé
■ D’abord identifier : la variable (caractéristique dont on cherche la moyenne)
les unités physiques de la variable (ou unités de mesure)
les « i » l’effet partiel par application de la variable aux « i » l’effet global par combinaison des effets partiels
■ Remplacer les xp par la moyenne dans la formule de l’EG
■ Résoudre l’équation pour isoler la moyenne
■ Résultat : une formule adaptée aux circonstances
18
Méthode : deux autres cas en parallèle
Cas 3 Cas 4
Question posée aux enfants d’un village : « Combien d’enfants a ta maman ? »
• 10 ont répondu : « M’man a 2 enfants »• 21 ont répondu : « M’man a 3 enfants »• 12 ont répondu : « M’man a 4 enfants »
Rem.: à tous les enfants du village ! pas de problème de collecte ! ne pas transformer les données !
La population d’une localité est passée de1.000 à 1.386 en 3 ans
• CM1 = 1,10 (année 1 : 1.000 → 1.100)
• CM2 = 1,20 (année 2 : 1.100 → 1.320)
• CM3 = 1,05 (année 3 : 1.320 → 1.386)
Rem. : 1.386 = 1.000 * CM1 * CM2 * CM3
Moyenne recherchée
Descendance moyenne des mères ? (mère : femme ayant au moins 1 enfant) Coefficient multiplicateur moyen?
19
Méthode : deux autres cas en parallèle
Cas 3 Cas 4• 10 ont répondu : « M’man a 2 enfants »• 21 ont répondu : « M’man a 3 enfants »• 12 ont répondu : « M’man a 4 enfants »
• CM1 = 1,10• CM2 = 1,20• CM3 = 1,05
Identifications préliminairesVariable : descendance coefficient multiplicateur
UM var. : enfants/femme (nombre pur)1/temps (On y reviendra)
« i » : 43 enfants 3 années
Effet part. : appliquée aux enfants,la var. produit des femmes
ou
MAIS gardons la 1re expression
appliquée aux années,la var. produit une D de population
f5f/e2
1*e10
x1
*n1
1 100.110,1*000.1
f5ef
5,0*e10x1
*n1
1
20
Méthode : deux autres cas en parallèle
Cas 3 Cas 4• 10 ont répondu : « M’man a 2 enfants »• 21 ont répondu : « M’man a 3 enfants »• 12 ont répondu : « M’man a 4 enfants »
• CM1 = 1,10• CM2 = 1,20• CM3 = 1,05
Identifications préliminaires
Effet glob. :
Calcul de la moyenne
Formule harmonique dite « pondérée »
Formule géométrique dite « simple »
p
p x1
*nEG ixEG
p
p
pp
p
x
n*
nx
n*x
1
x
1*n
x1
*n
ni
ni
xx
xxx
21
Formule géométrique : commentaires
Unité de mesure ou physique du CM ?
Conclusion
(en ayant choisi la formule la plus pratique pour le propos)
000.1386.1
05,1*20,1*10,1EG05,1*20,1*10,1*000.1386.1
3
1
33i 000.1
386.1000.1386.1
xx
ans3
1
.hab000.1
.hab386.1x
tempsduinverse'lde.exp
ans
1ans
1
purnombre
purnombre.hab.hab
CMduphysiqueunité
22
Formule géométrique : commentaires
Unité physique du CM : autre voie
• 1.386 et 1.000 sont exprimés en habitants• 3, en années• la parenthèse doit être un nombre pur qui
o multiplie un nombre d’hab. pour donner un nombre d’hab.o solution : x doit être un nombre pur exposant l’inverse du temps
Système d’unités « physiques » COHÉRENT validité du calcul
3X*000.1386.1
tstanhabipurnombre*tstanhabitstanhabi
x*.hab000.1
x*.hab000.1x*.hab000.1.hab386.13
ans
ans3ans3*
ans
1
23
Formule géométrique : commentaires
Unité physique du CMLe coefficient multiplicateur s’exprime :
• en « nombre pur exposant l’inverse du temps » (nbre pur inverse du temps)• et pas en « nombre pur » !
Le piège
Si n = 1,
Racine unième est sans effet numérique sur le résultats
• et donc ignorée dans la phase calcul,
• MAIS pourtant bien présente Du danger de ne pas prendre la formule générale…
0année
1année1
0année
1annéen
initialeannée
finaleannée
Pop
Pop
Pop
Pop
Pop
PopCM
• Temps : indispensable pour que CM soit actif !• Il doit donc apparaitre dans les calculs
24
Méthode : des exemples en vrac
Taux de croissance en démographie (si t années)
Calcul du taux Effet global Moyenne
1. Hypothèse exponentielle
0
10 Pop
Poplnr ireEG
t
rr i
25
Méthode : des exemples en vrac
1. Hypothèse exponentielle (si t années)
Unités de mesure
La taux de croissance s’exprime en « inverse du temps » (1/temps)
Doute ?
• la parenthèse doit être un nombre pur • « t » s’exprime en temps• le taux doit s’exprimer en inverse du temps ! Et pas en % !
0
10 Pop
Poplnr ireEG
t
rx i
EGeeePopPop
e*PopPop r*trr
0
tr0t
ii
t
PopPop
ln
relnPopPop
lnePopPop 0
t
r*t
0
tr*t
0
t
r*t0t e*PopPop
26
Méthode : des exemples en vrac
Taux de croissance en démographie (si t années)
Calcul du taux Effet global Moyenne
1. Hypothèse exponentielle
2. Hypothèse géométrique
Conclusion : o ce n’est pas une formule géométrique au sens strict, même si…o unités de mesure :
• 1 + ri = CMi ou EG = nombre pur
• donc nombre pur exposant l’inverse du temps
0
10 Pop
Poplnr ireEG
n
rr i
1PopPop
r0
10
0
ti Pop
Popr1EG 1r1r t
i
27
Méthode : des exemples en vrac
Taux de croissance en démographie (si t années)
Calcul du taux Effet global Moyenne
3. Hypothèse linéaire, la plus amusante
Conclusion : formule sans nom, mais ça sent un peu la géométrique
Bien plus sympa pour le calcul, mais les ri « invisibles » !
)PopPop(*5,0PopPop
r10
010
i
i
r2r2
EG
1r2r2
1r2r2
*2r
t
i
i
t
i
i
0
t
i
i
PopPop
r2r2
EG
1
PopPop
1PopPop
*2r
t0
t
t0
t
28
Méthode : des exemples en vrac
Taux de croissance en démographie (si t années)
Calcul du taux Moyenne
3. Hypothèse linéaire, la plus amusante
Et pour les unités de mesure ? Une idée ?
• Pop0 & Pop1 , en habitants … qui se suppriment mutuellement haut et bas
• Reste l’unité de mesure de « 1 », soit année… qui est au dénominateur
• Et donc UM = l’inverse du temps !
• [ ] forcément en nbre pur• « 2 » en 1/temps,
ce qui est démontrable
Conclusion : UM taux linéaire = inverse du temps
1r2r2
1r2r2
*2r
t
i
i
t
i
i
an1*PopPop*5,0PopPop
r10
010
29
Méthode : le quotient de mortalité
Quotients non unitaires entre 2 âges révolus successifs
Formules Remarques
Unités de mesure de qx :
• en décès par individu : qx = dx / Sx
• en nombre pur (%) : probabilité• en exposant l’inverse du temps
Fonction du 2e degré dont une racine = la moyennePour rappel : « a » est fonction des qx
Je ne connais pas le nom de cette formule de calcul de la moyenne !
2
x
x2xx
qq2*S
q*qqq*Sd
a*S
q*qqq*Sd
x
1xx1xxx2xx
« a » calculable
0qq2a
qq2*Sa*S2
2xx
30
Méthode : le quotient de mortalité
Une autre formuleÉventuellement plus « simple »
Formule 1 Formule 2
Remarques :
• équivalence des deux formules : démontrable
• formule 2 ≠ formule géométrique
• UM : aisé de démontrer que :
px : est un coefficient multiplicateur
px s’exprime donc en nombre pur exposant l’inverse du temps
comme px + qx = 1 mêmes unités de mesure pour px & qx !
0qq2a
qq2*Sa*S2
2xx
1xx
1xx
q1*q11
p*p1q
31
Toutes pondérées ou alors… aucune !
Données : 5 femmes de 50 ans et + ont été interrogées à propos du nombre d’enfants qu’elles ont eu : 3, 6, 0, 1 et 2
Il s’agit d’une formule arithmétique dite « NON PONDÉRÉE » !
Qu’en penser ?
La moyenne = le total des enfants divisé par le nombre les femmes• elle s’exprime en enfant(s) par femme (e/f)
• les xi sont aussi des e/f, ainsi que leur somme
• dès lors : , ce qui n’est pas logique !
• ça coince au niveau des unités de mesure : système pas cohérent pas de doute pour le dénominateur : femmes donc numérateur pas bon !
n
x
521063
nxxxxx
x i54321
ef
f/ex
32
Toutes pondérées ou alors… aucune !
Données : 5 femmes de 50 ans et + ont été interrogées à propos du nombre d’enfants qu’elles ont eu : 3, 6, 0, 1 et 2
En fait, chaque xi
• est d’application pour une femme
• doit être multiplié par un poids de 1 dont l’unité de mesure = femme
•
• dès lors :
• ce qui un système logique au niveau des unités physiques
• écriture satisfaisante selon ce critère, tout comme pour la formule pondérée
n
x
521063
nxxxxx
x i54321
fe
ff/e*f
x
n
x*1x*1x*1x*1x*1x 54321
33
Toutes pondérées ou alors… aucune !
Données : 5 femmes de 50 ans et + ont été interrogées à propos du nombre d’enfants qu’elles ont eu : 3, 6, 0, 1 et 2
Conclusions : TOUTES les formules sont pondérées
• poids = le nombre de « i » auxquels s’applique une valeur de la variable
• formule « non pondérée » = formule dont tous les POIDS = 1…
• c’est donc aussi une formule… pondérée
• dont les poids unitaires sont inopérants numériquement
• MAIS TRÈS EFFICACES POUR LA COHÉRENCE DU SYSTÈME D’UNITÉS DE MESURE
34
Vous n’aimez que la formule arithmétique…
Toujours possible d’y revenir
Ex. 1 : taux de change $/€ connu pour des $ échangés
• logiquement, formule harmonique :
• mais si inversion du taux de change : $/€ €/$
• formule arithmétique :
• ne pas oublier d’inverser le résultat
• double transformation que… la formule harmonique fait d’un seul coup !
Ex. 2 : le CM et la formule géométrique• en passant par les logarithmes, formule arithmétique• ne pas oublier de retransformer le résultat• quelque part, la formule géométrique fait tout d’un coup !
€
€$1
*$
€$€
*$
35
Vous n’aimez que la formule arithmétique…
Toujours possible d’y revenir
Mathématiquement, je crois que cela se dit (http://fr.wikipedia.org/wiki/Moyenne) :
Si nous notons « * » la loi de composition qui donne le total pour deux individus, alors la valeur moyenne de n individus est la valeur, la même pour tous, qu'ils devraient avoir pour que leur total suivant la loi « * » reste inchangé ; c'est donc la solution de l'équation :
Cette équation peut être résolue s'il existe un isomorphisme (que nous noterons « » ) ramenant la loi « * » à l'addition.
Exemples :• Si (x) = ln(x) moyenne géométrique• Si (x) = xm et m = 1 moyenne harmonique
x*x*x*x*xx*x*x*x*x 54321
36
Méthode : exemples de règles « fantaisistes »
Dans la littérature, des règles.Mais que valent-elles vraiment ?
PY B. (2007), Statistique descriptive… & Exercices corrigés…, Economica, p. 108 et p. 58
o La règle :• quand le étudié varie comme la variable arithmétique• quand le varie comme l’inverse de la variable harmonique
o Exemple 1 : aller : 60 km/h ; retour : 30 km/h. Vitesse moyenne ?o Commentaires :
• étudié = vitesse dont on cherche la moyenne
• variable : selon PY, le temps ! Pourquoi ? distance est constante : aller et retour même distance
temps est variable : vitesse ≠ sur une même distance
étonnant que la variable ne soit pas la vitesse…
• f. harm. car variable au dénominateur de km/h
• qui aurait aussi été la formule selon la méthode !
Ex. 1 PY
étudié Vitesse
Variable Temps
Formule Harmonique
Calcul
Commentaire RAS
40
301
601
2x
37
Méthode : exemples de règles « fantaisistes »
PY B. (2007), Statistique descriptive… & Exercices corrigés…, Economica, p. 108 et p. 58
o La règle :• Quand le étudié varie comme la variable arithmétique• Quand le varie comme l’inverse de la variable harmonique
o Exemple 2 : 1 heure à du 60 km/h et une autre à du 30 km/h. Vitesse moyenne ?
o Commentaire : variable = distance car ici une heure à chaque fois
donc temps invariable dans les 2 étapes, mais distance varie !
Commentaire : selon la méthode proposée, même choix
tout va bien alors ? Autres exemples non traités par PY
Ex. 1 PY EX. 2 PY
étudié Vitesse Vitesse
Variable Temps Distance
Formule Harmonique Arithmétique
Calcul
Commentaire RAS RAS
40
301
601
2x
452
3060x
Méthode : exemples de règles « fantaisistes »
PY B. (2007), Statistique descriptive… & Exercices corrigés…, Economica, p. 108 et p. 58
o La règle :• Quand le étudié varie comme la variable arithmétique• Quand le varie comme l’inverse de la variable harmonique
o Exemple 3 : 80 km/h sur 40 km et 24 km/h. sur 12 km. Vitesse moyenne ?
o Solution immédiate : 52 km en 1 heure 52 km/h.o Selon Py : distance variable lors des 2 étapes arithmétique, mais 67,08 ≠ 52
o Selon la méthode : harmonique, qui donne d’ailleurs 52 km/h
Ex. 1 PY EX. 2 PY Ex. 3
étudié Vitesse Vitesse Vitesse
Variable Temps Distance Distance
Formule Harmonique Arithmétique Arithmétique
Calcul
Commentaire RAS RAS Bon calcul :
40
301
601
2x
45
2
3060x
08,67
1240
24*1280*40x
52
2412
8040
1240x
Méthode : exemples de règles « fantaisistes »
PY B. (2007), Statistique descriptive… & Exercices corrigés…, Economica, p. 108 et p. 58
o La règle :• Quand le étudié varie comme la variable arithmétique• Quand le varie comme l’inverse de la variable harmonique
o Exemple 4 : 1 h. 30 à du 70 km/h et 2 heures à du 100 km/h. Vitesse moyenne ?
o Selon Py : distance et temps variables lors des 2 étapes ???? règle de PY carrément inopérante !
o Selon la méthode : arithmétique
Ex. 1 PY EX. 2 PY Ex. 3 Ex. 4
étudié Vitesse Vitesse Vitesse Vitesse
Variable Temps Distance Distance Distance et temps
Formule Harmonique Arithmétique Arithmétique Règle inopérante !
Calcul
Commentaire RAS RAS Bon calcul : Bon calcul :
40
301
601
2x
45
2
3060x
08,67
1240
24*1280*40x
52
2412
8040
1240x
14,87
25,1
100*270*5,1x
40
Méthode : exemples de règles « fantaisistes »
Dans la littérature, des règles.Mais que valent-elles vraiment ?
PY B. (2007), Statistique descriptive… & Exercices corrigés…, Economica, p. 108 et p. 58
o Confusion
• entre variable sous observation dont on cherche la moyenne
• unités sous observation pour lesquelles on connait la variableo Règle non fonctionnelle !
41
Méthode : exemples de règles « fantaisistes »
Dans la littérature, des règles.Mais que valent-elles vraiment ?
ANTOINE C. (1998), La moyenne. Que sais-je, PUF, p. 109.
o « Toute vitesse moyenne est moyenne harmonique des vitesses ».o Oui, si vitesse connue pour distanceo Non, si vitesse connue pour des temps de parcourso Solution pour justifier la règle :
• si nécessaire, inversion de la vitesse pour arriver à l’harmonique
• ce qui serait applicable pour tous les cas… « arithmétiques »o Bye-bye l’arithmétique » !
Par ailleurs : règle d’ANTOINE infirmée par exemple traité pour la règle de PY
42
Méthode : exemples de règles « fantaisistes »
Dans la littérature, des règles.Mais que valent-elles vraiment ?
SPIEGEL W. (1984), Théorie et applications de la statistique. 14e éd., Série Schaum, McGraw-Hill, p. 60, ex. 34.
o « Si rapports : géométrique + appropriée que l’arithmétique »o Argument :
• avec arithmétique, les résultats ne s’inversent pas.• avec géométrique, si !
o MAIS :• moyenne obtenue ne fait pas sens par rapport aux données initiales• bien utilisées, arithmétiques & harmoniques donnent des résultats
inverses faisant sens avec les données initiales l’argument de SPIEGEL pour privilégier la géométrique tombe…
43
Conclusions générales
o Une seule DÉFINITION, mais de nombreuses FORMULES et donc :• incorrect de parler de la moyenne arithmétique, harmonique…
• correct de parler du concept de moyenne (unique) des formules arithmétique, harmonique… de la moyenne
o Définition ≠ formule :• définition : l’objectif du paramètre
• formule : recette pour atteindre l’objectif vu les ingrédients
o Identification de la formule appropriée via une méthode :• un peu de réflexion sur les données
• méfiance par rapport aux « règles », par ailleurs inutiles !
o Toutes les formules sont pondérées :
• si poids égaux et unitaires, formule « non pondérée », si cela amuse…
• si poids inégaux, ils doivent apparaitre dans la formule
44
Méthode : le quotient de mortalité
Formules approchées
Si formule arithmétique Si formule géométrique
• ce qui revient à négliger qx*qx+1
• acceptable tant que les q sont « petits »
• ce qui revient à supposer que :
• ce qui est peu acceptable
0qq2aaq*qqq2
1xx1xx
2
qqq 1xx
21xx q*qq
1xx1xx
1xx1xx1xx
q*q*2qq
q*qq*qqq
45
Méthode : le quotient de mortalité
Si formule arithmétique Si formule géométrique
• On néglige qx*qx+1• ok si :
Conclusions :o arithmétique toujours plus proche de la moyenneo sauf si les quotients sont égaux ce qui n’est pas surprenanto plus un(les) quotient(s) est(sont) élevé(s), moins la différence est grande
tout en restant en général bien visible
1xx1xx q*q*2qq
Valeurs des quotients Q moyen Différence relative
qx qx+1 Fonction Arithm. Géomét. Arithm. Géomét.
0,000001 0,000001 0,000001 0,000001 0,000001 0,000% 0,000%0,000001 0,00001 0,000006 0,000006 0,000003 0,000% 42,504%0,000001 0,0001 0,000051 0,000051 0,000010 0,002% 80,199%0,000001 0,001 0,000501 0,000501 0,000032 0,025% 93,683%0,000001 0,01 0,005013 0,005001 0,000100 0,251% 98,005%0,000001 0,1 0,051317 0,050001 0,000316 2,566% 99,384%
1 1 1,000000 1,000000 1,000000 0,000% 0,000%0,9 1 1,000000 0,950000 0,948683 5,000% 5,132%
46
Méthode : le quotient de mortalité
Si formule arithmétique Si formule géométrique
• On néglige qx*qx+1• ok si :
Conclusions :o produit toujours plus faible que la somme… évidemment
o somme vaut presque toujours plus que deux fois le produit, même bien plus
• sauf si les 2 quotients = 1…
• plus proche de 2 avec des quotients fort élevés
o plus les quotients sont élevés, moins la différence est grande
1xx1xx q*q*2qq
qx qx+1 Somme Produit Som./Prod.
0,000001 0,000001 0,000002 1E-12 2.000.000
0,000001 0,00001 0,000011 1E-11 1.100.000
0,000001 0,0001 0,000101 1E-10 1.010.000
0,000001 0,001 0,001001 1E-09 1.001.000
0,000001 0,01 0,010001 0,00000001 1.000.100
0,000001 0,1 0,100001 0,0000001 1.000.010
1 1 2 1 2
0,9 1 1,9 0,9 2,111