1
Licence d’informatiqueLicence d’informatiqueAlgorithmique des graphesAlgorithmique des graphes
Problèmes d’ordonnancement.
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2
Problèmes d’ordonnancementProblèmes d’ordonnancement
Données : Un projet composé de n tâches
n
n
ddd
AAA
,,,: durées
,,,
21
21
Chaque tâche peut être soumise à un ensemble de contraintes
Deux « tâches » fictives : début, fin (durées nulles)
3
ContraintesContraintes
• Relations entre des événements liés à l’exécution des tâches
• Exprimées par des relations sur les dates de début d’exécution des tâches
finn
n
tttt
finAAAdeb
21
21
0(inconnu)début
tâche
4
La tâche Aj commence au plus tôt à la fin de Ai Aj commence
ExemplesExemplesSéquentialité :
fin de Ai
tj
au plus tôt ti + di
Séquentialité avec délai :
La tâche Aj commence au plus tôt unités de temps après la fin de Ai
Aj commence
tj
au plus tôt
fin de Ai
ti + di
unités detemps après
+
5
La tâche Aj commence au plus tard à la fin de Ai Aj commence
ExemplesExemplesDate butoir :
fin de Ai
tj
au plus tard
ti + di
Synchronisation :
La tâche Aj commence exactement à la fin de Ai Aj commence
tj
exactement
=
fin de Ai
ti + di
soit : iji dtt
iji
iij
dtt
dtt
6
L’événement « les 3/4 de l’exécution de Aj » coïncide avec « la moitié de l’exécution de Ai »
ExemplesExemplesSynchronisation plus complexe :
tj + 0.75 dj = ti + 0.5 di
ijji
ijij
ddtt
ddtt
5.075.0
5.075.0
les 3/4 de l ’exécution de Aj
coïncide avec la moitié de l ’exécution de Ai
7
Contraintes non-déterministesContraintes non-déterministes
Contrainte qui peut être satisfaite par un choix(non-déterministe)
Exemple : Paire de disjonction (exclusion mutuelle)
Les tâches Aj et Ai ne peuvent être simultanément en exécution
tj ti + di OU ti tj + dj
8
Contraintes non-déterministes
Contraintes déterministes :
Système conjonctif d’inéquations de la formeréel) (nombre connue quantité uneest où ijijij aatt
Système disjonctif d’inéquations de la forme
)( OU OU )(
ET
ET )( OU OU )(
rsrspqpq
klklijij
attatt
attatt
9
Les problèmes à contrainte déterministes sont plus « faciles »
à traiter
10
Ordonnancements : Ordonnancements : Formulation des problèmesFormulation des problèmes
Ordonnancement :
projetdu exécution d'fin de date
tâchela de exécution d'début de date:1
0) (projet du exécution d'début de date
:où ),,,,,(Vecteur 21
fin
ii
deb
finndeb
t
Atni
t
tttttT compatible :
solution du système de contraintes (conjonctif ou non)
11
Ordonnancements : Ordonnancements : Deux problèmes « centraux »Deux problèmes « centraux »
Déterminer un ordonnancement compatible se terminant le plus tôt possible(c.-à-d. de durée d’exécution minimale)
Problème 1 :
Problème 2 :
Déterminer un ordonnancement compatible se terminant avant une date finale donnée(c.-à-d. de durée d’exécution majorée par une durée donnée)
12
Ordonnancements à contraintes Ordonnancements à contraintes déterministes: déterministes:
Modélisation par graphe « potentiel-tâche »Modélisation par graphe « potentiel-tâche »
Sommets tâches
Arcs (valués) inéquations
ijij att i jija
13
Contraintes implicites :Contraintes implicites :
00: debi tti
relatives au début :
aucune tâche ne commence avant le début!
deb i0
Inutile (redondante) si le sommet i reçoit déjà un arc de valeur positive ou nulle :
0)()0( ijijij tattt
deb i0
j 0jia0
14
Contraintes implicites :Contraintes implicites :
iifin dtti :
relatives à la fin : le projet ne peut être terminé avant que toutes les tâches soient terminées
Inutile (redondante) si un arc de valeur di est déjà issu du sommet i :
iifiniijijijjjfin dttdaattdtt )()()(
i finid
fini
jiij da
id
jd
15
Tâche Durée ContraintesA 6 début au plus tôt 3 jours après le début du projet
début au plus tard 2 jours après le début de BB 9 début au plus tôt 5 jours après le début du projet
début au plus tôt 4 jours après le début de CC 10 début au plus tôt 4 jours après le début du projetD 9 début au plus tôt à la fin de A
début au plus tôt 3 jours après la fin de B E 16 début au plus tôt à la fin de B
L’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
Exemple de modélisation
16
Tâche A 6 début au plus tôt 3 jours après le début du projet
début au plus tard 2 jours après le début de BB 9 début au plus tôt 5 jours après le début du projet
début au plus tôt 4 jours après le début de CC 10 début au plus tôt 4 jours après le début du projetD 9 début au plus tôt à la fin de A
début au plus tôt 3 jours après la fin de B E 16 début au plus tôt à la fin de B
L’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin
17
A 6 début au plus tôt 3 jours après le début du projetdébut au plus tard 2 jours après le début de B
B 9 début au plus tôt 5 jours après le début du projetdébut au plus tôt 4 jours après le début de C
C 10 début au plus tôt 4 jours après le début du projetD 9 début au plus tôt à la fin de A
début au plus tôt 3 jours après la fin de B E 16 début au plus tôt à la fin de B
L ’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
3 debA tt
Arc (deb, A, 3)
18
A début au plus tard 2 jours après le début de BB 9 début au plus tôt 5 jours après le début du projet
début au plus tôt 4 jours après le début de CC 10 début au plus tôt 4 jours après le début du projetD 9 début au plus tôt à la fin de A
début au plus tôt 3 jours après la fin de B E 16 début au plus tôt à la fin de B
L ’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
22 ABBA tttt
Arc (A, B, -2)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
19
B 9 début au plus tôt 5 jours après le début du projetdébut au plus tôt 4 jours après le début de C
C 10 début au plus tôt 4 jours après le début du projetD 9 début au plus tôt à la fin de A
début au plus tôt 3 jours après la fin de B E 16 début au plus tôt à la fin de B
L ’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
5 debB tt
Arc (deb, B, 5)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
20
B début au plus tôt 4 jours après le début de CC 10 début au plus tôt 4 jours après le début du projetD 9 début au plus tôt à la fin de A
début au plus tôt 3 jours après la fin de B E 16 début au plus tôt à la fin de B
L ’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
4 CB tt
Arc (C, B, 4)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
21
C 10 début au plus tôt 4 jours après le début du projetD 9 début au plus tôt à la fin de A
début au plus tôt 3 jours après la fin de B E 16 début au plus tôt à la fin de B
L ’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
4 debC tt
Arc (deb, C, 4)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
22
D 9 début au plus tôt à la fin de A début au plus tôt 3 jours après la fin de B
E 16 début au plus tôt à la fin de B L ’événement « 8 jours après le début de E »
intervient au plus tôt 2 jours après le début de FF 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
6 AD tt
Arc (A, D, 6)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
durée de A : 6
6
23
D début au plus tôt 3 jours après la fin de B E 16 début au plus tôt à la fin de B
L ’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
1239 BBD ttt
Arc (B, D, 12)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
durée de B : 9
6
12
24
E 16 début au plus tôt à la fin de B L ’événement « 8 jours après le début de E »
intervient au plus tôt 2 jours après le début de FF 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
9 BE tt
Arc (B, E, 9)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
durée de B : 9
6
12
9
25
E L’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
628 FEFE tttt
Arc (F, E, -6)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
6
12
9
-6
26
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
10 CF tt
Arc (C, F, 10)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
6
12
9
-6
durée de C : 10
10
27
G 13 début au plus tôt à la fin de Ddébut au plus tôt 8 jours après le début de F
H 4 début au plus tôt à la fin de Edébut au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
9 DG tt
Arc (D, G, 9)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
6
12
9
-6
durée de D : 9
10
9
28
G début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
8 FG tt
Arc (F, G, 8)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
29
H 4 début au plus tôt à la fin de Edébut au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
16 EH tt
Arc (E, H, 16)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
durée de E : 16
16
30
H début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
8 FH tt
Arc (F, H, 8)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
31
H début au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
3 GH tt
Arc (G, H, 3)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
32
-2
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
Contraintes implicites : début
Déjà toutes prises en compte
33
-2
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
12
-6
8
6
9
10
9
16
8
3
Contraintes implicites : fin
Tâches A, B, C, D, E : durées déjà prises en compte
durées :
6
9
10
9
16
6, 9, 10, 9, 16
34
-2
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
12
-6
8
6
9
10
9
16
8
3
Contraintes implicites : fin
Tâche F :
durée : 15 15 Ffin tt Arc (F, fin, 15)
15
35
-2
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
12
-6
8
6
9
10
9
16
8
3
Contraintes implicites : fin
Tâche G :
durée : 13 13 Gfin tt Arc (G, fin, 13)
15
13
36
-2
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
12
-6
8
6
9
10
9
16
8
3
Contraintes implicites : fin
Tâche H :
durée : 4 4 Hfin tt Arc (H, fin, 4)
15
13
4
37
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4
le graphe « Potentiel-Tâche »
38
Résolution des problèmesRésolution des problèmes
possède les propriétés suivantes :1. Il est compatible2. Si T est un ordonnancement compatible, alors
ii ti : En particulier,fin est minimum
Problème 1
),,,,( 1 finndeb avec ii : valeur maximale des chemins
de deb à i
Ordonnancement « au plus tôt »
39
),,,,( 1 finndeb
ii : valeur maximale des chemins de deb à i
est compatibleEn effet :
Dans le problème (MAX,+), les valeurs optimales i
constituent la SOLUTION minimale du système d’équations
),(max:1
01
ijvi jj
i
40
),,,,( 1 finndeb
ii : valeur maximale des chemins de deb à i
est compatible
),(max:1
01
ijvi jj
i
jiji aij :),(:Donc
41
),,,,( 1 finndeb 2. Si T est un ordonnancement compatible, alors
ii ti :
En effet :
Le vecteur T est solution du système d’équations
),(max:1
01
ijvtti
t
jj
i
42
),,,,( 1 finndeb
2. Si T est un ordonnancement compatible, alors
ii ti :
De plus :Dans le problème (MAX,+), les valeurs optimales i
constituent la solution MINIMALE du système d’équations
),(max:1
01
ijvtti
t
jj
i
43
),,,,( 1 finndeb
2. Si T est un ordonnancement compatible, alors
ii ti :
Donc :
),(max:1
01
ijvtti
t
jj
i
Dans le problème (MAX,+), les valeurs optimales i
constituent la solution MINIMALE du système d’équations
44
Résolution des problèmesRésolution des problèmes
L’ordonnancement défini par
)',',,','( 1 finndeb avec
ii
findeb
Ffindebi
F
':,
,',0' i = valeur maximale des chemins de i à fin
possède les propriétés suivantes :
1. Il est compatible
Problème 2 Soit F une date finale donnée, Ffin
2. Si T est un ordonnancement compatible avec
ii ti ':Ft fin
Ordonnancement « au plus tard » relatif à la date finale F
45
),,,,( 1 finndeb
ii : valeur maximale des chemins de i à fin dans le graphe G
Dans le problème (MAX,+), les valeurs optimales i
constituent LA solution MINIMALE du système d’équations
),(max:1
01
jivi jj
i
valeur maximale des chemins de fin à i dans le graphe transposé Gt
46
)',',,','( :où D' 1 finndeb
est compatible
),(max:1
01
jivi jj
i
ijji aji :),(:Donc
ijji aFFji '':),(:d-à-c
ijij aji '':),(:d-à-c
47
)',',,','(' 1 finndeb
2. Si T est un ordonnancement compatible, alors
ii ti ':
Démonstration analogue à celle du problème 1(détails dans le polycopié)
48
Ce n’est JAMAIS le cas! (sauf, peut-être, si toutes les tâches avaient des durées nulles)
Algorithmes de résolutionAlgorithmes de résolution
• BELLMANN-KALABA : toujours possible
• DIJKSTRA ?
Condition pour (MAX,+) :
Tous les arcs ont des valeurs 0
jamais possible
49
Algorithmes de résolutionAlgorithmes de résolution
• BELLMANN-KALABA : toujours possible
• DIJKSTRA ? jamais possible
• L’algorithme ORDINAL-RACINE ?
Conditions : graphe sans circuit sommet de départ racine du graphe
50
Un graphe potentiel-tâche est-il sans circuit?
Pas nécessairement!
Mais :
Il ne doit pas avoir de circuit de valeur > 0
51
Il ne doit pas avoir de circuit de valeur > 0
ab
cd
x
y
z
t
0)( tzyxv
)(0
vtzyx
ttt
ztt
ytt
xtt
da
cd
bc
ab
Contradiction!
52
Il ne doit pas avoir de circuit de valeur > 0
Si tous les arcs sont de valeur > 0(sauf peut-être ceux issus de deb ou aboutissant à fin)alors le graphe potentiel-tâche est sans circuit
ou
il n’y a pas d’ordonnancement compatible
53
Méthode préconisée :Méthode préconisée :
si on soupçonne des circuits, deux phases:
1. « supprimer » les arcs de valeur 0 (non issus de
deb) Appliquer l’algorithme ordinal-racine.
2. « réintroduire» les arcs de valeur 0
Pour chaque arc, procéder aux ajustements des valeurs des extrémités.
54
Principe de l’algorithme ordinalPrincipe de l’algorithme ordinal(rappel)(rappel)
C’est du Marimont à partir des points d’entrée, avec prise en compte des valeurs des arcs
• deb « marqué » 0• Soit x un sommet non marqué, dont tous les prédécesseurs sont marqués.
Marquer x avec la valeur (définitive)
)(max deur prédécesse
yxyxy
x a
55
Exemple : le problème modélisé précédemment
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4
deb
On ne soupçonne pas de circuit (malgré des arcs de valeur <0)
56
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4
Algorithme ordinal
(0)
(4)
(3)
(8)
(14)
(20)
(29)
(17)
(33) (42)
Ordonnancement au plus tôt
Deb A B C D E F G H fin
0 3 8 4 20 17 14 29 33 42
57
findeb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4
Algorithme ordinal à partir de la fin
Ordonnancement au plus tôt
Deb A B C D E F G H fin
0 3 8 4 20 17 14 29 33 42
(0)(4)
(13)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
Valeurs max vers fin 42 32 34 38 22 20 21 13 4 0
Ordonnancement au plus tard 0 10 8 4 20 22 21 29 38 42
58
On rajoute une contrainte supplémentaire
H ne se termine pas plus tard que 4 u.t. après la fin de F
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4
11198 HFFH tttt
Arc (H, F, -11)
-11
Durée de F = 15, durée de H = 8
59
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)
(4)
(3)
(8)
(14)
(20)
(29)
(17)
(33) (42)-11
Mise à jour de l’ordonnancement au plus tôt
?
?11 HF tt NON! 2211 HF tt
22
60
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)
(4)
(3)
(8)
(14)
(20)
(29)
(17)
(33) (42)-11
Mise à jour de l’ordonnancement au plus tôt
?
?8 FG tt NON! 308 FG tt
22 30
61
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)
(4)
(3)
(8)
(14)
(20)
(29)
(17)
(33) (42)-11
Mise à jour de l’ordonnancement au plus tôt
?
?3 GH tt OUI!
22 30
62
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)
(4)
(3)
(8)
(14)
(20)
(29)
(17)
(33) (42)-11
Mise à jour de l’ordonnancement au plus tôt
?
?13 Gfin tt NON!
22 30
4313 Gfin tt
43
63
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)
(4)
(3)
(8)
(14)
(20)
(29)
(17)
(33) (42)-11
Mise à jour de l’ordonnancement au plus tôt
?
6 FE tt OUI!
22 30
43
64
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)
(4)
(3)
(8)
(14)
(20)
(29)
(17)
(33) (42)-11
Mise à jour de l’ordonnancement au plus tôt
?
?15 Ffin tt OUI!
22 30
43
65
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)
(4)
(3)
(8)
(14)
(20)
(29)
(17)
(33) (42)-11
Mise à jour de l’ordonnancement au plus tôt Mise à jour terminée.
22 30
43
Nouvelle date finale « au plus tôt » : 43
66
Mise à jour de l’ordonnancement au plus tard/date finale 43
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?11 FH NON! 1011 FH
10
?
67
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?3 HG OUI!
10
?
68
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?8 HF OUI!
10
?
69
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?16 HE NON!
10
?
2616 HE
26
70
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?6 EF OUI!
10
?
26
71
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?9 EB NON!
10
?
26
359 EB
35
72
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?4 BC NON!
10
?
26
394 BC
35
39
73
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?4 Cdeb NON!
10
?26
434 Cdeb
35
39
43
74
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?5 Bdeb OUI!
10
?26
35
39
43
75
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?2 BA NON!
10?
2635
39
43
332 BA
33
76
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?3 Adeb OUI!
10
?
2635
39
43
33
77
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
10
2635
39
43
33
Terminée
78
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
-11
10
2635
39
43
33
Nouvel ordonnancement « au plus tard »/date finale 43 :Deb A B C D E F G H fin
Ancien 0 10 8 4 20 22 21 29 38 42 Nouveau 0 10 8 4 21 17 22 30 33 43