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MECÂNICA
Mecânica Clássica Cinemática – Movimento em uma dimensão Posição e deslocamento Velocidade Aceleração
222
MECÂNICAEntender o movimento é um dos objetivos da Física
A Mecânica estuda o movimento e as suas causas
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Mecânica Clássica
formulou as leis fundamentais do movimento
As contribuições mais importantes para a Mecânica Clássica foram dadas por Isaac Newton (1642-1727)
foi um dos criadores do cálculo diferencial e integral
As leis de Newton não podem ser aplicadas:
• na dinâmica de sistemas muito pequenos (física quântica)
• em situações que envolvem velocidades próximas da velocidade da luz, que é 299 792 458 m/s 300 000 km/s (relatividade)
444
MECÂNICA CLÁSSICA
CINEMÁTICA
DINAMICA
estuda os movimentos sem levar em conta as causas do movimento
estuda as forças e os movimentos originados por essas forças
Força
(Mecânica Newtoniana)
555
CINEMÁTICA
Movimento em uma dimensão
O movimento representa uma mudança contínua da posição de um corpo
O movimento ao longo do eixo x (orientado)
Todo movimento é definido em relação à um referencial
x x
Utilizaremos o MODELO DE PARTÍCULA porque o tamanho do corpo real não tem consequência na análise do seu movimento
666
Um corpo é localizado pela sua posição ao longo de um eixo orientado,
relativamente a um ponto de referência (o observador), em geral a
origem (x = 0)
Posição
-3 -2 -1 0 1 2 3 x (m)
777
Deslocamento
O deslocamento unidimensional de um objeto num intervalo de tempo
(tf - ti) é a diferença entre a posição final (xf ) no instante tf e a posição
inicial (xi) no instante ti
Exemplo 1
Corrida de 100 m
x = xf - xi
t = tf – ti
deslocamento
intervalo de tempo
888
Exemplo 2. Corrida de 100 metros. O corredor parte de xi= 0 m para xf= 100 m.
x = xf - xi = 100 m - 0 = 100 m
Exemplo 3. Uma pessoa a andar se desloca do ponto xi= 200 m para xf= 100 m.
x = xf - xi = 100 - 200 = - 100 m
O deslocamento do corredor é
O deslocamento da pessoa é
999
Velocidade média
A velocidade média é a distância x = xf - xi percorrida pela partícula
num intervalo de tempo t = tf - ti
x
t
Temos a noção intuitiva de velocidade como sendo o espaço percorrido por um corpo num certo tempo
t
xvm
xfxi
tfti
t
xv
ou
1010
posição x como uma função do tempo t
x
t
x1
x2
t1 t2 t
x
Deslocamento : x = xf - xi
t
xv
declive de uma secanteVelocidade média:
1111
A velocidade média nos dá informações sobre um intervalo de tempo
• Se movimento à esquerda, ou no sentido de decréscimo de x)
• Se movimento para a direita, ou no sentido de crescimento de x
00 m vx
00 m vx
m
11h 20.0t
m 5x m/h 25
h 0.20
m 5mv
t
xv
121212
Exemplo 4. Na corrida de 100 m, o corredor nos primeiros 5.01 s, percorre 40 m e depois percorre 60 m. O tempo total da corrida é de 10.5 s. Determinar : a) a velocidade média do corredor até o instante de 5.01 s . b) a velocidade média do corredor após este instante e até o final da corrida. c) a velocidade média do corredor em todo o intervalo do tempo de duração da corrida.
a) De 0 a 5.01 s : x = xf - xi= 40 - 0 = 40 m e t = tf – ti= 5.01 s- 0 = 5.01 s
m/s 0.8s 01.5
m 40
t
xvm
b) De 5.01 a 10.5 s:
c) Em todo o intervalo (de 0 a 10.5 s) :
x = xf - xi= 100 m – 40 m = 60 m e t = tf – ti= 10.5 s - 5.01 s = 5.49 s
m/s 9.10s 49.5
m 60
t
xvm
x = xf - xi= 100 m – 0 = 100 m e t = tf – ti= 10.5 s – 0 m = 10.5 s
m/s 5.9s 0.51
m 100
t
xvm
131313
Exemplo 5. Uma partícula em movimento ao longo do eixo x está localizada no ponto xi = 12 m em ti= 1 s e no ponto xf = 4 m em tf = 3 s. Encontre o deslocamento e a velocidade média da partícula durante esse intervalo de tempo.
x = xf - xi= 4 m – 12 m = - 8 m e t = tf – ti= 3 s – 1 s = 2 s
m/s 4s 2
m 8
t
xvm A partícula se moveu para a esquerda com essa
velocidade
Exemplo 5. É apresentado na Figura 1 o gráfico do deslocamento versus tempo para uma certa partícula em movimento ao longo do eixo x. Encontre a velocidade média nos intervalos de tempo (a) 0 a 2 s, (b) 0 a 4s, (c) 2 s a 4 s, (d) 4 s a 7 s, (e) 0 a 8 s.
Figura 1
141414
(b) 0 a 4 s
x = xf - xi= 5 m - 0 = 5 m
t = tf – ti= 4 s - 0 s = 4 s
m/s 2.1s 4
m 5
t
xvm
(c) 2 s a 4 s
x = xf - xi= 5 m – 10 m = - 5 m
t = tf – ti= 4 s - 2 s = 2 s
m/s 5.2s 2
m 5
t
xvm
(a) 0 a 2 s
x = xf - xi= 10 m - 0 = 10 m
t = tf – ti= 2 s - 0 s = 2 s
m/s 5s 2
m 10
t
xvm
151515
(d) 4 s a 7 s
x = xf – xi = - 5 m - 5 m = - 10 m
t = tf – ti = 7 s - 4 s = 3 s
m/s 3.3s 3
m 01
t
xvm
(e) 0 a 8 s
x = xf – xi = 0 - 0 = 0
t = tf – ti = 8 s - 0 = 3 s
0s 8
0
t
xvm
161616
Velocidade instantânea
É a velocidade que a partícula tem a cada instante
A velocidade instantânea é a derivada da posição (x) em relação ao tempo (t)
xevv
Velocidade na direção x:x
xe t
dt
dx
t
xv
t
0
lim
1717
Velocidade instantânea é a média sobre um intervalo de tempo infinitesimal :
vdt
dx
t
xtttf
and 0 , i
v é o declive da tangente para o gráfico x versus t
Fisicamente , v é a taxa de variação de x, dx/dt.
dt
dx
t
xv
t
0
lim
x
tt
18
0
)(tf
dt
tdgb
dt
tdfa
)()()()( tgbtfa
dt
tdf )(
constantea
nt 1nnt
tsin t cos
tcos t sinte te
tln 1t
ALGUMAS DERIVADAS IMPORTANTES
191919
Entretanto, elas podem ser bastante diferentes !
Em algumas situações
Velocidade escalar média
A velocidade escalar média é uma forma diferente de descrever a rapidez com que uma partícula se move. Ela envolve apenas a distância percorrida, independentemente da direção e sentido:
tvem
totaldistância
mem vv
O P
Exemplo: A partícula parte de O, em ritmo constante, atinge P:
20
Exemplo 6: A partícula parte de O, em ritmo constante, atinge P e retorna a O, depois de decorrido um tempo total e ter percorrido uma distância total L1t
Neste caso: 0mv1t
Lvem e
t
x
1t21t
2
L
O P
2121
A velocidade escalar é o módulo da velocidade; ela é destituída de qualquer indicação de direção e sentido
Velocidade escalar
Exemplo 7: O velocímetro de um carro marca a velocidade escalar instantânea e não a velocidade, já que ele não pode determinar a direção e o sentido
2222
Movimento retilíneo uniforme
Chama-se movimento retilíneo uniforme ao movimento em que a velocidade é constante
é a posição da partícula no instante inicial t = t0
é a velocidade com que a partícula se desloca
a equação do movimento retilíneo uniforme
Equação horária
é constante
0
0
tt
xtxv
0x
v
v
Para t0 = 0 temos
tvxtx 0
22a equaçãoPara t0 0 temos )( 00 ttvxtx
23
Diagrama do movimento de um carro com velocidade constante
A seta vermelha indica o vetor velocidade
2424
x
t t
v
Graficamente temos
Equação da Recta
tvxtx 0
Velocidade constante
cv
constante cv
Espaço variável
00
24
0x
Movimento retilíneo uniforme MRU
Recta paralela ao eixo do tempo
25
Exemplo 8
26
)( 00 ttvxtx
Este é o problema inverso.
v(t–t0) é a área sob a curva da velocidade em função do tempo (v = constante )
onde v(t) é a velocidade instantânea em t.
ttvx )(t
)(tv
t0
v
Cálculo de x(t) a partir de v(t) para o MRU
272727
Exemplo 9. O treinador de uma corredora determina sua velocidade enquanto ela corre a uma taxa constante. O treinador inicia o cronómetro no momento em que ela passa por ele e pára o cronómetro depois da corredora passar por outro ponto a 20 m de distância. O intervalo de tempo indicado no cronómetro é de 4.4 s. a) Qual é a velocidade da corredora? b) Qual é a posição da corredora 10 s após ter passado pelo treinador?
m/s 5.4s 4.4
0-m 200
t
xxv
a) Qual é a velocidade da corredora?
00 x t = 4.4 st0=0tvxx 0
b) Qual é a posição da corredora 10 s após ter passado pelo treinador?
m 45s) m/s)(10 5.4(00 tvxx
282828
Exemplo 10. Encontre a velocidade instantânea da partícula descrita na Figura 1 nos seguintes instantes: (a) t = 1.0 s, (b) t = 3.0 s, (c) t= 4.5 s, e (d) t= 7.5 s.
Figura 1
(a) t = 1.0 s
tvxx 0
Sabemos que entre 0 e 2 s a velocidade é constantex0 = 0 t0 = 0 x = 10 m t = 2 s
m/s 0.5
s 2
0-m 100
t
xxv
(b) t = 3.0 s
)( 00 ttvxx
x0 = 10 m t0 = 2 s x = 5 m t = 4 s
m/s 5.2s 2- s 4
m 10-m 5
0
0
tt
xxv
292929
(c) t = 4.5 s
(d) t = 7.5 s
v= 0
)( 00 ttvxx
x0 = - 5 m t0 = 7s x = 0 m t = 8 s
m/s 5s 7- s 8
m) (-5 - 0
0
0
tt
xxv
303030
Aceleração média
Quando a velocidade da partícula se altera,
diz-se que a partícula está acelerada
t
va x
m
A aceleração média é a variação da velocidade num intervalo de tempo t
if
if
tt
vva
mou
xv
t
va x
ou a notação
313131
Exemplo 11. Considere o movimento do carro da Figura 2. Para os dados apresentados na Figura 2, calcule a aceleração média do carro.
Figura 2
if
if
tt
vvam
2m/s 5.70s 0.2
m/s 30m/s 15
A velocidade escalar diminui com o tempo
a
a
v
O carro está desacelerando
323232
Aceleração instantânea
Em algumas situações a aceleração média pode variar em intervalos de tempo diferentes
portanto é útil definir a aceleração instantânea
xeaa
Aceleração na direção xx
xe
2
2
dt
xd
dt
dx
dt
d
dt
dva
dt
dv
t
va
t
0
lim
33
ALGUMAS INTEGRAIS IMPORTANTES
)(tf
)()( tGbtFa )()( tgbtfa dttftF )(
1, ntn1/1 nt n
tsin /cos t
tcos /sin tte /te
tln1t
atconstantea
(Uma constante arbitrária deve ser adicionada a cada uma dessas integrais)
343434
Movimento retilíneo uniformemente variado
Um movimento é uniformemente variado quando a aceleração é constante
• se a velocidade da partícula aumenta com o tempo o movimento é uniformemente acelerado
• se a velocidade da partícula diminui com o tempo o movimento é uniformemente retardado
é a velocidade da partícula em t = 0
a é a aceleração da partícula
a é constante
atvtv 0
0v
0
0
tt
vtva
para t0 = 0 temos
a equaçãoPara t0 0 temos )( 00 ttavtv
35
Substituindo
obtemos
Integrando:
200 2
1attvxtx
dt
dxtv
dtatdtvdxatvdt
dx 00
tdtadtvdx 0
Obtemos:
atvtv 0em
36
Exemplo 12
a seta superior indica o vetor velocidade e a seta inferior, o vetor aceleração constante
Diagrama de movimento para um carro cuja aceleração é constante na direção de sua velocidade
Diagrama do movimento para um carro cuja aceleração é constante na direção oposta à velocidade em cada instante
37
38383838
v
0 t t
a
Graficamente temos
Equação da recta
tavtv 0
Aceleração constante
a
constante a
Velocidade variável
0v
0 t
x
Espaço variável
0
0x
200 2
1attvxtx
Parábola
Movimento retilíneo uniformemente variado MRUV
39
Exemplo 13: Aceleração positiva
40
Exemplo 14: Aceleração negativa
41
)(tv
)(tv
t
No limite N e t0:
0t it
Área
v(ti)
0t t
Dividimos o intervalo (t-t0) num número grande N de pequenos intervalos t
Cálculo de x(t) a partir de v(t) para o MRUV
ttvx )(
ttvx ii )(Área dum retângulo i
ixxxxxtxtx N3210 ...)()(
Somando a área de todos os retângulos:
que corresponde a área sob a curva.
t
'')()(0
0 dttvtxtxt
t
''0
dttvdxxt
t
i e
42
dt
tdxtv
)()(
• A velocidade é obtida derivando-se a posição em relação ao tempo
Assim
geometricamente, a velocidade é o coeficiente angular da reta tangente à curva da posição versus tempo no instante considerado.
• O deslocamento é obtido pela integração da velocidade
geometricamente, o deslocamento é a área sob a curva da função velocidade versus tempo.
(a velocidade é a derivada em ordem ao tempo da posição)
t
t
tdtvxtx0
)()( 0
43
Exemplo 15. Um avião parte do repouso e acelera em linha reta no chão antes de levantar voo. Percorre 600 m em 12 s. a) Qual é a aceleração do avião? b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s?
a) Qual é a aceleração do avião?
200 2
1attvxx 0 0 x 0 0 v (parte do repouso)
2
2
1atx
Substituindo os valores na equação0 0 x 0 0 v
2
222m/s 3.8
s 144
m 1200
s 12
m 60022
t
xa
b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s?
atvv 00 0 v (parte do repouso)
m/s 100s 12m/s 3.8 2 atv