1
Propagation 3MNT
1. Propagation des OEM dans le vide2. Polarisation des OEM3. Propagation des OEM dans les milieux
matériels4. Réflexion et réfraction des OEM5. Propagation guidée des OEM
OEM : Ondes électromagnétiques
Plan du cours sur le semestre
2
IntroductionIntroduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 2 - Equations de propagation du champ électromagnétique
dans le vide 3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide
Propagation des OEM dans le vide
Chapitre 1
Bloc 1
3
Introduction
Généralités OEM : fin XIXème : Hertz, Maxwell, Michelson…
Caractéristiques des OEM : Absence de support matériel pour la propagation Invariance de la vitesse de propagation (référentiel galiléen)
Hypothèses des OEM étudiées dans ce chapitre 1 :
Dans le vide Milieu illimité
4
Relation entre la longueur d’onde et la fréquence f ?
C : célérité des OEM dans le vide illimité C = 3,00 10C = 3,00 1088 m.s m.s-1-1
cTfc
Introduction
5
Visible
400 ; 800 nm
Spectre électromagnétique
6
Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide1 - Equations de Maxwell dans le vide
1- Rappels sur les opérateurs1- Rappels sur les opérateurs 2- Expression des équations de Maxwell
2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide
3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide
Propagation des OEM dans le videCh. 1
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4 opérateurs principaux :
• gradient
• divergence
• rotationnel
• laplacien
1 - Rappels sur les opérateurs
1 – Equations de Maxwell dans le vide
8
Opérateur gradient
L ’opérateur s ’applique sur un L ’opérateur s ’applique sur un scalairescalaire est un est un vecteurvecteur Il traduit la variation d ’une grandeur dans Il traduit la variation d ’une grandeur dans
l ’espacel ’espace Il est orienté dans la direction et le sens de la Il est orienté dans la direction et le sens de la
plus forte variation croissante de cette plus forte variation croissante de cette grandeurgrandeur
Il est lié à la différentielle de f , quelque soit le Il est lié à la différentielle de f , quelque soit le système de coordonnées, par :système de coordonnées, par :
Il est toujours orthogonal aux surfaces sur Il est toujours orthogonal aux surfaces sur lesquelles f est constantelesquelles f est constante
fgrad
grad
M0d.fgraddf
9
Exercice 1
Exprimer le champ électrique E au point M situé entre les armatures d’un condensateur plan en fonction de la différence de potentiel appliquée sur les armatures
V1 V2
V1 > V2
. M
10
V1 V2
V1 > V2
E
Grad V
xx1 x2
)xx(EVV 1221
Voir corrigé : document démonstrations bloc 1
Exercice 1
11
Ses composantes en coordonnées cartésiennes sont :Ses composantes en coordonnées cartésiennes sont :
zf
yfxf
fgrad
Opérateur gradient
12
Opérateur gradient
Ses composantes en coordonnées sphériques Ses composantes en coordonnées sphériques ??
13
y
x
z
0
M
z
A
Coordonnées sphériques ?...
Coordonnées sphériques du point M (r, , )
Base vectorielle :
er
e
e
Projection de M dans le
plan équatorial
r = 0M
= 0A
Animation 3D
Tangent au méridien
passant par M
e,e,er
14
Opérateur gradient en coordonnées sphériques
Cette expression n’est pas à savoir…
15
Exercice 2
En coordonnées sphériques, le vecteur A donné ci-dessous dérive-t-il d’un potentiel ?
Si oui, l’exprimer sous la forme et déterminer la grandeur scalaire f .
rn er.A
fgradA
n et sont positifs
16
Aide pour l’exercice 2 …
La grandeur scalaire f existe-t-elle ? Si oui, de quelle(s) variable(s) dépend-t-elle ?
Ecrire l’égalité vectorielle en coordonnées sphériques…. Et résoudre l’équation…
rn er.A
A chercher pour la prochaine séance d’exercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.
17
Opérateur qui s ’applique sur un vecteurOpérateur qui s ’applique sur un vecteur
est un scalaireest un scalaire Vdiv
En coordonnées cartésiennes :En coordonnées cartésiennes :
zV
y
V
xV
Vdiv zyx
V.gradVdiv
Opérateur divergence
Produit scalaire de l’opérateur vectoriel
gradient et du vecteur V
18
Opérateur divergence
Son expression en coordonnées sphériques ?Son expression en coordonnées sphériques ?
Cette expression n’est pas à savoir…
19
y
x
z
0
M
z
A
Coordonnées sphériques
er
> 0
n > 1
rn er.A
En coordonnées sphériques, calculer div A
Exercice 3
A chercher pour la prochaine séance d’exercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.
20
Opérateur dont l’existence est liée au Opérateur dont l’existence est liée au flux flux par par l’intermédiaire du théorème de l’intermédiaire du théorème de Green-Ostrogradski Green-Ostrogradski
Le flux du champ à travers une surface Le flux du champ à travers une surface ferméefermée S S est égal à l’intégrale triple de dans le volume est égal à l’intégrale triple de dans le volume délimité par Sdélimité par S
En savoir plus sur …l’opérateur divergence
BBdiv
VVolumeSferméeSurface
d.Bdivds.B
Flux de B à travers S
21
Théorème de Green-Ostrogradski
VVolumeSferméeSurface
d.Bdivds.B
B
B = 0 à l’extérieur du solénoïde
Volume V du cylindre
Surface S fermée : enveloppe du cylindre (paroi cylindrique+2 faces
horizontales)
Exemple : champ magnétique constant régnant dans un solénoïde
Surface fermée ?
22
y
x
z
0
M
z
A
Coordonnées sphériques
er
> 0
n > 1
rn er.A
Exprimer le flux de A à travers une sphère de rayon R, centrée en O.
Calculer sa divergence dans le volume V de la sphère.
Vérifier le résultat en utilisant le théorème de Green – Ostrogradski
Exercice 4
A chercher pour la prochaine séance d’exercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.
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L ’opérateur s ’applique à un vecteurL ’opérateur s ’applique à un vecteur
C ’est le produit vectoriel de l ’opérateur gradient C ’est le produit vectoriel de l ’opérateur gradient avec le vecteuravec le vecteur
est un vecteurest un vecteur
VgradVrot
Vrot
rot
est toujours orthogonal au vecteurest toujours orthogonal au vecteurVrot V
Opérateur rotationnel
24
Opérateur rotationnel
Expression en coordonnées cartésiennes :Expression en coordonnées cartésiennes :
VgradVrot Exprimer le produit vectoriel ….
25
Opérateur rotationnel
Son expression en coordonnées cartésiennes est :Son expression en coordonnées cartésiennes est :
xy
zx
yz
Vy
Vx
Vx
Vz
Vz
Vy
Vrot
VgradVrot
26
Opérateur rotationnel
Son expression en coordonnées sphériques ?Son expression en coordonnées sphériques ?
Cette expression n’est pas à savoir…
27
Coordonnées cylindriques de M (r, , z)
Base vectorielle :
y
x
z
0
M
z
A er
r=0A
e
animation 3 D cyl...
zr e,e,e
Coordonnées cylindriques
Ne pas confondre r et
28
Opérateur rotationnel
Son expression en coordonnées Son expression en coordonnées cylindriques ?cylindriques ?
Cette expression n’est pas à savoir…
29
> 0
n > 1
er.B n
Exprimer le rotationnel de B en coordonnées cylindriques.
y
x
z
0
M
z
A er
r=0A
e
Exercice 5
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Son existence est liée à la Son existence est liée à la circulationcirculation du vecteur par du vecteur par l ’intermédiaire du théorème del ’intermédiaire du théorème de StokesStokes
La circulation du vecteur sur une courbe fermée La circulation du vecteur sur une courbe fermée CC est égale au flux de son rotationnel à travers n ’importe est égale au flux de son rotationnel à travers n ’importe quelle surface quelle surface SS s ’appuyant sur s ’appuyant sur CC
V
En savoir plus sur …l’opérateur rotationnel
ds.VrotM0d.VC S
Circulation du vecteur V le long de la courbe
C
Flux du rotationnel de V à travers S
31
Théorème de Stokes
ds.VrotM0d.VC S
Vrot
Circonférence C entourant le
disque de surface S
Disque de surface S
V
32
> 0
n > 1
er.B n
Déterminer la circulation de B sur un cercle de rayon R, d’axe (O,z).
y
x
z
0
M
z
A
Coordonnées cylindriques
er
r=0A
e
Exercice 6
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Laplacien scalaire
Il s ’applique sur un Il s ’applique sur un scalairescalaire f f
Le laplacien de f (noté Le laplacien de f (noté f) est un f) est un scalairescalaire
f est la divergence du gradient de ff est la divergence du gradient de f
zf
yfxf
fgrad
)fgrad(divf Expression en coordonnées cartésiennes :Expression en coordonnées cartésiennes :
)zf
(z
)yf
(y
)xf
(x
f
²zf²
²yf²
²xf²
f
zV
y
V
xV
Vdiv zyx
34
Expression en coordonnées sphériques
Laplacien scalaire
Cette expression n’est pas à savoir…
35
y
x
z
0
M
z
A
Coordonnées sphériques
er
Calculer (r n)
Exercice 7
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Il s’applique sur un Il s’applique sur un vecteurvecteur
Le laplacien vectoriel de (noté )Le laplacien vectoriel de (noté ) est est un un vecteurvecteur
Ses composantes sont les laplaciens scalaires Ses composantes sont les laplaciens scalaires des composantes dedes composantes de
Laplacien vectoriel
V
V
V
37
Laplacien vectoriel
zzzz
yyyy
xxxx
V²z²
V²y²
V²x²
V
V²z²
V²y²
V²x²
V
V²z²
V²y²
V²x²
V
V
Expression en coordonnées cartésiennes :Expression en coordonnées cartésiennes :
V².gradV
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Quelques relations importantes :
0)Vrot(div
0)fgrad(rot
V)Vdiv(grad)Vrot(rot
frot.ggrot.f)fg(div
Pour information : Document avec les principales relations sur dans les documents déposés sur la plateforme
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Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide1 - Equations de Maxwell dans le vide
1 – 1 – Rappels sur les opérateurs 2 – Expression des équations de Maxwell2 – Expression des équations de Maxwell
2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide
3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide
Propagation des OEM dans le vide
Chapitre 1
40
Dans le vide, le champ Dans le vide, le champ électromagnétiqueélectromagnétique est est décrit par le champ décrit par le champ électrique électrique et le champ et le champ magnétiquemagnétique
Dans le vide, il n ’y a ni charges, ni courantsDans le vide, il n ’y a ni charges, ni courants
Les constantes caractéristiques du vide sont :Les constantes caractéristiques du vide sont : sa sa permittivité diélectriquepermittivité diélectrique sa sa perméabilité magnétiqueperméabilité magnétique
19o m.F
10361
17o m.H104
2 - Expression des équations de Maxwell
1 – Equations de Maxwell dans le vide
41
4 équations postulées par Maxwell en 18644 équations postulées par Maxwell en 1864
2 équations dites 2 équations dites « structurelles « structurelles » définissent la » définissent la structure du champ électromagnétique en reliant structure du champ électromagnétique en reliant les champsles champs
2 équations 2 équations relient les champs aux sourcesrelient les champs aux sources de ces de ces champs : leur expression dépend du milieu où champs : leur expression dépend du milieu où règne le champ électromagnétiquerègne le champ électromagnétique
2 - Expression des équations de Maxwell
1 – Equations de Maxwell dans le vide
42
2 équations structurelles :
les 2les 2 équations « structurelles »équations « structurelles » reliant les champs reliant les champs ont laont la même expression dans tous les milieuxmême expression dans tous les milieux : :
0Bdiv
tB
Erot
43
2 équations liant les champs aux sources
Dans le vide il n’y a pas de sources Dans le vide il n’y a pas de sources (ni charges, ni (ni charges, ni courants)courants) : :
Équation de Équation de Maxwell - GaussMaxwell - Gauss : :
Équation de Équation de Maxwell - AmpèreMaxwell - Ampère : :
0Ediv
tE
²c1
tE
Brot oo
• Équation de Équation de Maxwell - GaussMaxwell - Gauss : liant : liant div Ediv E aux charges aux charges
• Équation de Équation de Maxwell - AmpèreMaxwell - Ampère : liant : liant rot Brot B aux courants aux courants
44
Equations locales Elles définissent le champ électromagnétique en un
point M
Vide : homogène, isotrope Équations valables en tout point du vide ou règne le
champ
2 - Expression des équations de Maxwell
1 – Equations de Maxwell dans le vide
45
Aller un peu plus loin….
Une propriété fondamentale du champ magnétique est liée à Une propriété fondamentale du champ magnétique est liée à
la relation : la relation :
div = 0 B
0nds.BS
Volume
d.Bdivds.B
Théorème de Green-Ostrogradski
B est un champ à flux flux
conservatifconservatif
Le flux algébrique total de B à travers la surface fermée S est nul : le flux entrant dans S compense le flux
sortant
46
S est la surface totale du cylindre, et n un vecteur unitaire, normal à S, orienté vers l ’extérieur de S
Le flux radial de B à travers la paroi latérale cylindrique est nul (pourquoi ?....)
Si B est parallèle à l ’axe du cylindre, le flux entrant par la face latérale gauche compense le flux sortant par la face droite
La surface étant la même, B est donc constant…
0nds.BS
Volume
d.Bdivds.B
B n
n
Aller un peu plus loin….
47
0Ediv
Le champ électrique est à flux conservatif
dans le videdans le vide
Aller un peu plus loin….
48
A l’aide de l’équation de Maxwell appropriée, déterminer l’expression du champ magnétique associé au champ E dont l’expression en coordonnées cartésiennes est :
Représenter le champ électromagnétique en 0 et en un point M (x,y,z) quelconque au même instant.
0
0
)y2
tcos(.E
E
o
Exercice 8
A chercher pour la prochaine séance d’exercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.
49
Quizz1… Equations de Maxwell dans le vide
Fin du 1er bloc..
….Quizz ….