1. VARIAÇÃO DA ENERGIA POTENCIALÉ t b lh li d d l l id d t t d tÉ o trabalho realizado para deslocar um corpo, com velocidade constante, de um ponto a outro num campo conservativo ( ) . 0W F dl= =∫

.dU d= −F l

Obs. sobre o sinal (-): um corpo, imerso num campo, fica sujeito á ação de uma força (F), para deslocá-lo com velocidade constante deve-se aplicar uma força (-F).

.dU dF l

2. DIFERENÇA DE POTENCIAL ( - ) bV aVÉ o trabalho realizado, por unidade de carga, para deslocar uma carga de prova, com , p g , p g p ,velocidade constante, de um ponto ‘a’ até um ponto ‘b’.

. . . .dU d q ddV dq q q

− −= = = = −

F l E l E l, logoq q q

.b

b a a

UV V V dq∆

∆ = − = = −∫ E lq

Onde:V – Potencial elétrico (ou simplesmente, potencial)

• Unidade: Volt (V), sendo que 1(V) = 1(J/C), logo a unidadedo campo E pode ser expressa em (V/m).p p p ( )

• Linhas de força apontam na direção do maiorpara o menor potencial (potencial decrescente)

• Potencial de uma carga puntiforme:g pconsidere uma carga de prova que sedesloca com velocidade constante num campoelétrico E, gerado por uma outra carga

0q

puntiforme Q, logo a variação da energia potencial:

KQdU d E d dF l 0 0. . . .²rQdU d q E dr q dr

r= − = = −F l

1 1²

b

b a a

KQV V V dr KQr r r

∆ = − = − = −

∫a

b ar r r ∫

Se definirmos um potencial zero quando ,o potencial num ponto r será:

r =∞o potencial num ponto r será:

( )rKQV =( )r r

O potencial de uma carga puntiforme é o trabalho por unidade de carga para trazer uma p g p f p g pcarga positiva desde o infinito até uma distância r, com velocidade escalar constante.

• Uma unidade de energia conveniente a nível atômico é o elétron-volt (eV), sendo que

19 191 1,6 10 . 1,6 10eV x C V x J− −= =

i t é 1 V lt d létisto é, 1 Volt vezes a carga do elétron.

EXEMPLO: Calcular o potencial elétrico devido a um próton a uma distância 100,59 10r x m−= (distância da primeira órbita de Bohr) e a energia potencial quando

se coloca um elétron nesta posição.

Solução:

( )( )9 199 10 1 6 10K −

O potencial é dado por: ( )( )10

9.10 1,6.1027,2

0,59.10KqV Vr −= = =

A energia é dada por: 19 18. 1,6.10 .27,2 4,36.10U qV J− −= = − = −

3. POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGASPUNTIFORMES

O potencial devido a um sistema de cargas puntiformes é igual a soma dos potenciais,no ponto devido as cargas puntiformes individuaisno ponto, devido as cargas puntiformes individuais.

. iK qVr

=∑i ior

Energia potencial eletrostática de um sistema de cargas puntiformes é o trabalho necessáriopara transportar uma carga, com velocidade constante, do infinito até uma posição final.

0. i

i io

K qW qr

= ∑

EXEMPLO: Três cargas puntiformes positivas deestão nos vértices de um quadrado de lado 3m, como mostra

fi C l l i l é i d d

2 Cµ

a figura. Calcular o potencial V no vértice desocupado e otrabalho necessário para trazer uma carga positiva e colocá--la no vértice desocupado.

Solução:O potencial devido as três cargas é:

KqKq Kq 31 2

1 2 3

6 6 69 2.10 2.10 2.109.10

3 3

KqKq KqVr r r

− − −

= + +

= + +

4

3 3 3 21,62.10 V

=

O trabalho necessário para trazer uma carga até o vértice será:

( )( )( )( )6 4 2. 2.10 1,62.10 3, 24.10W qV J− −= = =

4. SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS

Vi t b lh f t d t lét i d l d• Vimos que o trabalho efetuado contra o campo elétrico para deslocar uma carga de provaé e a variação de potencial

• Se o deslocamento for perpendicular a E, então o potencial não se altera

0q . .U q∆ = − ∆E l .V∆ = − ∆E l

l∆ ( )0V∆ =p p , p

•A maior variação do potencial ocorre quando é paralelo ou anti-paralelo ao campo E.Quando é paralelo e tomarmos o limite temos:

( )

V∆ l∆l∆

lim V dVEl dl

∆= − = −

∆

• Um vetor que tem a direção da maior variação da função escalar (paralelo ao campo E) e que tem módulo igual a derivada da função com relação a distância como a fórmula anteriorque tem módulo igual a derivada da função com relação a distância, como a fórmula anterioré chamado de gradiente da funçãogradiente da função (no caso anterior ‘do potencial’).

• Numa superfície equipotencial, o potencial elétrico não se altera e o deslocamento de umap q p pcarga sobre esta superfície não efetua trabalho.

5. CÁLCULO DO POTENCIAL ELÉTRICOExistem 3 formas de calcular o potencial elétrico num ponto:

1 Devido a uma distribuição de carga em que se conhece E(l):1. Devido a uma distribuição de carga em que se conhece E(l):

.V d∆ = −∫E l

2. Devido a uma distribuição de cargas puntiformes:

iKqV =∑

3. Tratando de um elemento de carga dq como parte de uma distribuição finita de

i io

Vr

=∑

g q p çcargas (garante que potencial no infinito seja finito ou nulo)

.K dqV = ∫Vr∫

EXEMPLO: Calcular o potencial elétrico a uma distância x de um plano infinito carregado uniformemente com cargas positivas.

Solução:

O campo elétrico de um plano infinito carregado é dado por:O campo elétrico de um plano infinito carregado é dado por:

02XE σε

=

Logo, o potencial será:( )XV

( ) ( )0

x

XxV V E dx− = −∫( ) ( )0 0 Xx ∫

002

xdxσ

ε= −∫

0

02xσ

ε= −

Onde V(0) é o potencial do plano infinito.

EXEMPLO: Calcular o potencial a uma distância ‘x’ sobre o eixo de um anel de raio ‘a’ carregado com uma carga Q uniformemente distribuida.g g Q

Solução:

O potencial no ponto x devido ao anel será a integral sobre o comprimento do anel levando-se em consideração o potencial d id l d ddevido a um elemento de carga dq a uma distância 2 2s a x= +

dVEXdVEdx

= −

1 2KQ x = − ( )3/ 2 22 ² ²

xx a

= +

( )3/ 2KQx

=( )3/ 2² ²x a+

EXEMPLO: Calcular o potencial sobre o eixo de um disco de raio R, com densidade superficial de carga σ

Solução:

O potencial de uma espira de raio r largura dr e carga é (exemplo anterior):2dq r drσ πO potencial de uma espira de raio r, largura dr, e carga é (exemplo anterior):.2 .dq r drσ π=

KdqdVs

=

Logo:

2 20

2 .R K r drV dVx rσ π

= =+

∫ ∫2 2

01/ 2

RK x rσπ +

=

( )( )2 22K x R xσπ= + −

E campo elétrico:dV

2 22 1dV xE K

dx x Rσπ

= − = −

+

EXEMPLO: Calcular o potencial sobre o eixo de uma casca esférica de raio R, e carga total Q uniformemente distribuída com densidade σ

Solução:

Escolhemos um anel de carga com larguraEscolhemos um anel de carga com larguraRdθ e comprimento 2 rsenπ θ A área desteanel é:

2 . 2 ²dA Rsen Rd R sen dπ θ θ π θ θ= =2 . 2dA Rsen Rd R sen dπ θ θ π θ θ

A carga elétrica neste anel é:

2 ²dQ dA R sen dσ σ π θ θ= =

Vimos que o potencial devido a este anel é:Vimos que o potencial devido a este anel é:

KdQdV =2 ²K R sen ddV σ π θ θ

= (I)s s

( )

Por outro lado podemos relacionar as variáveis s e por:θ

² ² ² 2R R θ dif i d h² ² ² 2 coss r R rR θ= + − ∴que diferenciando chega-se a

2 2s rRsen dθ θ= ↔ sdssen drR

θ θ = (II)rR

Substituindo (II) em (I) (elimina-se da equação), temosθ

2 ²r Rr R K R d++ 2 ² 2

r R

r R r R

K R sds sdV K Rs rR r

σ π σ π+

− −

= = ∫ ∫

2 4 ²2K R K R KQRσ π σ π= = =2R

r r r= = =

Para pontos fora da casca funciona como se fosse uma carga puntiforme na origem.

Para pontos dentro da casca muda o limite inferiorPara pontos dentro da casca muda o limite inferior.

2 4 ²2 2R r

s K R K R KQdV K R rR R

σ π σ πσ π+

= = = = ∫

R rr r R R− ∫

OBS.:

• Apesar do campo elétrico ser nulo dentro da casca esférica, o potencial é constante.

• A seguir mostraremos um modo mais fácil de se calcular o potencial devido a uma casca esférica.

Sabemos que o campo elétrico devido a uma casca esférica é radial e é como se a carga fosseSabemos que o campo elétrico devido a uma casca esférica é radial e é como se a carga fosse puntiforme no centro da esfera:

²XKQE = para x>R

²x

Onde a carga , que é a carga total sobre a superfície. Logo:

4 ²Q Rπ σ=

0

4 ²( )²

r K R KQV r dxx rπ σ

= =∫ , para r>R

O potencial dentro da esfera deve ser igual ao potencialO potencial dentro da esfera deve ser igual ao potencial sobre a casca esférica, uma vez que o campo elétrico é nulo, logo,

Q( ) KQV rR

= para r<R

EXEMPLO: Calcular o potencial devido a uma esfera de raio R, carga total Q, com densidade volumar uniforme de carga igual a:

34Q

Rρ =

Solução: O campo elétrico fora da esfera é o mesmo de uma carga puntiforme

3

3Rπ

2

KQErr

=

e, portanto, o potencial será dado por ( ) KQV rR

=

O campo elétrico dentro da esfera é dado por: 3

KQrErR

=

r

Como o campo elétrico no interior da esfera é nulo, o potencial não será constante e deve aumentar quando deslocarmos uma carga de prova em direção ao seu centro (efetuar trabalho) logo:(efetuar trabalho), logo:

23 3

0

1( ) (0)2

r KQr KQV r V dr rR R

− = − = −∫O potencial V(0) não pode ser zero (pois ( ) 0V∞= ), pode-seescolher V(0) de tal forma que ocorra continuidade V em r=R, isto é:

23

1 3(0) (0)2 2

KQ KQ KQV R VR R R

− = − ⇒ =

Logo, o potencial no interior da esfera será:2

2( ) (3 )2KQ rV r

R R= −

2R R

EXEMPLO: Calcular o potencial a uma distância x de um fio comprido retilíneo carregado uniformemente com densidade linear de carga λSolução: O campo elétrico a uma distância x devido a um fio retilíneo comprido carregado é: 2KEx

xλ

=

Se o potencial a um a distância a é V(a), então o potencial a uma distância r do fio será dada p ( ), ppor:

2( ) ( ) 2 lr K rV V d Kλ λ∫( ) ( ) 2 ln

aV r V a dx K

x aλ− = = −∫

O potencial diminui com a distância mas não pode ser zero portanto podemos( ) 0V ∞ =O potencial diminui com a distância mas não pode ser zero, portanto podemos selecionar, convenientemente, V(a)=0, logo:

( ) 0V ∞

( ) 2 ln rV r Kλ= −( ) 2 lnV r Ka

λ= −

6. REPARTIÇÃO DE CARGAS

A diferença de potencial entre dois condutores, separados no espaço e com diferentes potenciais, depende da forma geométrica deles e de sua separação e do excesso de carga

d d lem cada um deles.

A carga elétrica de dois condutores com potenciais diferentes, após o contato,se distribui de modo que, no equilíbrio eletrostático, o campo seja nulo no interior de ambos.

Repartição de carga: é o processo de transferência de carga de um condutor para outro até que tenham o mesmo potencial.

Gerador de Van Graff:

Baseia-se no princípio de que as cargas elétricas p p q gtendem a se deslocar para a superfície externa de uma casca esférica. Pode-se aumentar o potencial desta casca

carregando-a internamente ( )KQR

através de um orifício (coloca-se carga interna e elas se deslocam para a superfície para atingir o equilíbrio eletrostático).

R

Quando o campo elétrico (diferença de potencial) é muito alto, as moléculas de ar neste campo tendem a ficar ionizadas e o ar se torna condutor ocorrendo uma descarga elétrica p g(descarga em corona). Este efeito é limitado pela rigidez dielétrica do ar (que corresponde

a um campo de para o ar e a descarga ocorre quando max 3 / 3 /E MN C MV m≈ =

KQ KQ

Poder de Ponta: quanto menor o raio de curvatura de uma superfície condutora, maior

2( ) max . max( )KQ KQV R E RR R

= > =

será a densidade de carga e o campo elétrico . ( )QÁrea ↓ 2( )KQ

R ↓

Na figura abaixo, temos um condutor anesférico;

• O campo elétrico na extremidade A é maior que em B

• A densidade de carga na extremidade A é maior que em B

• O potencial elétrico nas extremidades A e B são iguais

Portanto,

• A ruptura do dielétrico ocorre na região cujo raio da superfície tem menor curvatura

• A ruptura do dielétrico pode ocorrer em potenciais baixos desde que o condutor tenhaA ruptura do dielétrico pode ocorrer em potenciais baixos desde que o condutor tenha pontas agudas.

A d b l di•Andreza sousa e bruno claudio