Elettromagnetismo quasi stazionario
www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm(versione del 23-2-2008)
2
Elettromagnetismo non stazionario
● Equazioni fondamentali
● Equazioni di legame materiale per un mezzo lineare isotropo
( )iEEJ
HB
ED
+σ=μ=ε=
t
t
t
c
c
∂ρ∂
−=⋅∇
=⋅∇+∂∂
=×∇
ρ=⋅∇∂∂
−=×∇
J
BJD
H
DΒ
E
0
3
Elettromagnetismo non stazionario
● Il campo elettrico E non è conservativoL’integrale di linea del campo elettrico (tensione) tra due punti A e B dipende dal percorsoNon può essere espresso come differenza di potenziale
● La densità di corrente J non è solenoidale
● E’ solenoidale la densità di corrente totale JT costituita dalla somma delle densità di corrente di conduzione e di spostamento
tc
∂ρ∂
−=⋅∇ J
cρ=⋅∇ D0=⋅∇=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⋅∇ TtJ
DJ
tT ∂∂
+=D
JJ
∫Γ
⋅=ΓAB
dlTAB tE ˆ)(
4
Elettromagnetismo non stazionario
● E non è conservativo
Non si può definire in modo univoco la tensione tra due terminali
Non vale la legge di Kirchhoff per le tensioni
● J non è solenoidale
La corrente attraverso la sezione trasversale di un tubo di flusso di Jin generale non è costante
Non vale la legge di Kirchhoff per le correnti
● Le interazioni tra i componenti di un sistema elettromagnetico non possono essere descritte in termini di tensioni e correnti
● In particolare, non è possibile esprimere la potenza assorbita o erogata da un componente mediante le tensioni e le correnti ai terminali
In condizioni non stazionarie il modello circuitale non è valido
5
Potenziali elettromagnetici
● B è solenoidale può essere espresso come rotore di un potenziale vettore A
● Dalla legge di Faraday si ottiene
Si può esprimere il vettore E + ∂A/∂ t come gradiente di un potenziale scalare V
V−∇=∂∂
+t
AE
0=⋅∇ B AB ×∇=
t∂∂
−=×∇B
Et∂×∇∂
−=×∇)( A
E 0=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+×∇t
AE
6
Campo elettrico non stazionario
● Il campo elettrico può essere espresso come somma di un componente conservativo e uno non conservativo
● Valutando l’integrale di E su una linea chiusa si ottiene
ncctEE
AE +=
∂∂
−−∇= V
4342143421
∫
∫∫∫
⋅∂∂
−=
⋅∂∂
−
=
⋅∇−=⋅ΓΓΓ
S
dSt
dlt
dldl
nΒ
tA
ttE
ˆ
ˆ
0
ˆVˆ
7
Determinazione dei potenziali
● In un mezzo lineare isotropo omogeneo la legge di Ampere-Maxwell può essere posta nella forma
● Si inseriscono le espressioni di B e di E in funzione dei potenziali A e V
t∂∂
με+μ=×∇E
JB
2
22 V
)(tt ∂
∂με−
∂∂∇
με−μ=⋅∇∇+∇−A
JAA
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∇−∂∂
με+μ=×∇×∇tt
AJA V
JAA
A μ−=∂
∂με+⋅∇∇−
∂∂
με−∇ )V
(2
22
tt
8
Determinazione dei potenziali
● Per definire in modo univoco il potenziale vettore si deve assegnare il valore della sua divergenza
● In questo caso conviene imporre la condizione
● In questo modo si ha
Il potenziale vettore magnetico soddisfa un’equazione delle onde non omogenea
t∂∂
με−=⋅∇V
A Scelta di Lorentz
JA
A μ−=∂∂
με−∇2
22
tJA
AA μ−=
=∂
∂με+⋅∇∇−
∂∂
με−∇44 344 21
0
)V
(2
22
tt
9
Determinazione dei potenziali
● In un mezzo lineare isotropo omogeneo la legge di Gauss può essere posta nella forma
● Si inserisce nell’equazione l’espressione di E in funzione dei potenziali A e V, quindi, tenendo conto della scelta di Lorentz, si ottiene
Anche il potenziale scalare elettrico soddisfa un’equazione delle onde non omogenea
ερ
=⋅∇ cE
ερ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∇−⋅∇ c
t
AV
ερ
−=∂
⋅∂∇+∇ c
t
AV2
ερ
−=∂
∂με−∇ c
t 2
22 V
Vt∂
∂με−=⋅∇
VA
10
Determinazione dei potenziali
● Si può dimostrare che le soluzioni delle equazioni delle onde sono
● La costante c rappresenta la velocità della luce nel mezzo in cui ha sede il campo elettromagnetico
● In particolare nel vuoto si ha
ερ
−=∂
∂με−∇
μ−=∂∂
με−∇
c
t
t
2
22
2
22
VV
JA
A
με=
1c
m/s2997924581
00
0 =εμ
=c
τ−ρ
πε=
τ−
πμ
=
∫
∫
τ
τ
dr
crtt
dr
crtt
c
PQ
PQ
PQ
PQ
)/(Q,
4
1)V(P,
)/(Q,
4)(P,
JA
11
Confronto con il caso stazionario
ερ
−=∇
μ−=∇
cV2
2 JA
τρ
πε=
τπ
μ=
∫
∫
τ
τ
dr
dr
c
PQ
PQ
(Q)
4
1V(P)
(Q)
4(P)
JA
Condizioni stazionarie
τ−ρ
πε=
τ−
πμ
=
∫
∫
τ
τ
dr
crtt
dr
crtt
c
PQ
PQ
PQ
PQ
)/(Q,
4
1)V(P,
)/(Q,
4)(P,
JA
ερ
−=∂
∂με−∇
μ−=∂∂
με−∇
c
t
t
2
22
2
22
VV
JA
A
Condizioni non stazionarie
12
Potenziali ritardati
● A e V sono costituiti dalla somma di infiniti contributi ciascuno dei quali rappresenta un’onda sferica generata nel punto Q che si propaga con velocità c
● Il campo elettrico e il campo magnetico nel punto P all’istante t non sono determinati dai valori all’istante t di J e ρc
● L’effetto della presenza di una densità di corrente o di carica in un punto Q viene avvertito nel punto P con un ritardo proporzionale alla distanza tra i punti considerati
τ−ρ
πε=
τ−
πμ
=
∫
∫
τ
τ
dr
crtt
dr
crtt
c
PQ
PQ
PQ
PQ
)/(Q,
4
1)V(P,
)/(Q,
4)(P,
JA
13
Approssimazione quasi stazionaria
● Si considera il caso in cui le grandezze elettromagnetiche variano nel tempo con legge sinusoidale e quindi si ha
● Variazioni di tipo più generale possono essere espresse mediante sovrapposizione di funzioni sinusoidali (serie o integrali di Fourier)
● Le considerazioni relative al caso sinusoidale possono essere estese a situazioni più generali riferendole alla massima frequenza che occorre considerare
[ ][ ](Q)cos(Q))(Q,
(Q)cos(Q))(Q,
JM
Mc
tt
tt
ϕ+ω=
ϕ+ωρ=ρ ρ
JJ
Tf
π=π=ω
22
ω = pulsazionef = frequenzaT = periodo
14
Approssimazione quasi stazionaria
● Se ρc varia con legge sinusoidale si ha
● T indica il periodo e tD il tempo di ritardo dal punto Q al punto P
● Un’espressione analoga vale per J
[ ] [ ]
[ ] [ ] ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ πϕ+ωρ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ πϕ+ωρ=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ωϕ+ωρ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ωϕ+ωρ=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ϕ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−ωρ=−ρ
ρρ
ρρ
ρ
T
tt
T
tt
c
rt
c
rt
c
rt
c
rt
DM
DM
PQM
PQM
PQM
PQC
2sen(Q)sen(Q)2cos(Q)cos(Q)
sen(Q)sen(Q)cos(Q)cos(Q)
(Q)cos(Q))(Q,
c
rt PQ
D =ωπ
=2
T
15
Approssimazione quasi stazionaria
● Se in tutti i punti del sistema vale la condizione
risulta
Quindi si ha
QP ∀∀=>>c
rtT PQ
D
[ ]
[ ] )(Q,(Q)cos(Q))(Q,
)(Q,(Q)cos(Q))(Q,
ttc
rt
ttc
rt
JMPQ
cMPQ
c
JJJ =ϕ+ω≅−
ρ=ϕ+ωρ≅−ρ ρ
02sen
12cos
≅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
≅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
T
t
T
t
D
D
τρ
πε≅
τπ
μ≅
∫
∫
τ
τ
dr
tt
dr
tt
c
PQ
PQ
)(Q,
4
1)V(P,
)(Q,
4)(P,
JA In ogni istante t il campo elettromagnetico
coincide con il campo stazionario generato da distribuzioni di carica e di corrente co-stanti con densità J(Q,t) e ρc(Q,t)
16
Limiti di validità dell’approssimazione quasi stazionaria
● Se la massima distanza tra due punti del sistema è dmax, il massimo ritardo di propagazione è
L’approssimazione quasi stazionaria è valida se, alla massima frequenza che interessa considerare, il periodo delle grandezze elettromagnetiche è molto grande rispetto al massimo ritardo di propagazione
● La condizione può essere posta nella forma
La massima dimensione del sistema deve essere molto piccola rispetto alla lunghezza d’onda corrispondente alla massima frequenza che interessa considerare
maxDtT >>
λ==<<f
ccTdmax
c
dtD
maxmax =
λ = lunghezza d’onda
17
Limiti di validità dell’approssimazione quasi stazionaria
30 mm100 ps10 GHz
300 mm1 ns1 GHz
3 m10 ns100 MHz
30 m100 ns10 MHz
300 m1 μs1 MHz
3 km10 μs100 kHz
15 km50 μs20 kHz
30 km100 μs10 kHz
300 km1 ms1 kHz
3000 km10 ms100 Hz
6000 km20 ms50 Hz
λ = c0ΤTf
18
Limiti di validità dell’approssimazione quasi stazionaria
● In condizioni quasi stazionarie si approssimano i potenziali con le soluzioni delle equazioni
Le derivate seconde rispetto a t dei potenziali devono essere trascurabili
● La presenza di queste derivate dipende dalla presenza simultanea delle derivate temporali di B e D nelle equazioni di Maxwell
Se si annulla almeno una di queste derivate si annullano le derivate seconde
Le derivate seconde sono trascurabili se in ogni punto è verificata almeno una delle condizioni
ερ
−=∇μ−=∇)(
)V()()( 22 tttt cJA
0V
02
2
2
2
≅∂
∂≅
∂∂
tt
A
00 ≅∂∂
≅∂∂
tt
BDoppure
19
Limiti di validità dell’approssimazione quasi stazionaria
● Si considera il caso in cui B e D sono funzioni sinusoidali del tempo
● In questo caso le loro derivate sono funzioni sinusoidali del tempo con ampiezza proporzionale all’ampiezza di B e D
In queste condizioni si può assumere che le derivate siano trascurabili nelle regioni in cui B e D sono trascurabili
[ ][ ](P)cos(P))(P,
(P)cos(P))(P,
DM
BM
tt
tt
ϕ+ω=ϕ+ω=
DD
BB
[ ]
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π
+ϕ+ωω=ϕ+ωω−=∂∂
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π
+ϕ+ωω=ϕ+ωω−=∂∂
2(P)cos(P)(P)sen(P)
2(P)cos(P)(P)sen(P)
DMDM
BMBM
ttt
ttt
DDD
BBB
20
Esempio
Induttore
Generatore
Condensatore
Resistori
0≠∂∂
t
Β
0
0
≅∂∂
≅∂∂
t
tD
Β
0≠∂∂
t
D0≠
∂σ∂tC
0≅∂σ∂tC
Conduttoreideale
21
Circuiti in condizioni quasi stazionarie
● Se la frequenza è sufficientemente bassa, si può assumere che sia
● In queste condizioni il sistema può essere ancora descritto mediante un modello circuitale a condizione che le superfici limite dei componenti siano definite in modo che derivate di B e di D siano diverse da zero solo al loro interno (Ad esempio, non si può racchiudere in una superficie limite una sola armatura di un condensatore)
● In questo modo, anche le derivate dei flussi di B e di D attraverso le superfici limite sono nulle
0≠∂∂
t
Βnegli induttori nelle rimanenti regioni0≅
∂∂
t
Β
0≠∂∂
t
Dnei condensatori nelle rimanenti regioni0≅
∂∂
t
D
22
Circuiti in condizioni quasi stazionarie
Regione esterna:
00 ≅∂∂
≅∂∂
tt
DΒeComponenti:
All’interno delle superfici limite, in ogni puntoè verificata almeno una delle condizioni
00 ≅∂∂
≅∂∂
tt
DΒoppure
23
Circuiti in condizioni quasi stazionarie
● Nella regione esterna e sulle superfici limite E è conservativo e Jè solenoidale
Si possono definire in modo univoco le tensioni e le correnti aiterminali dei componenti
Valgono le leggi di Kirchhoff (se si considerano linee chiuse e superfici chiuse interamente contenute nella regione esterna)
● Come in regime stazionario, si può esprimere il flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie limite di un componente nella forma
Sono ancora valide le espressioni delle potenze scambiate dai componenti in funzione delle tensioni e delle correnti che sono state ricavate nel caso stazionario
∫∫ ⋅=⋅×SS
dSdS nJnHE ˆVˆ
24
Induttore
● Ipotesi:
Avvolgimento costituito da un conduttore filiforme Γ con sezione Δse conducibilità σLa derivata di B rispetto a t assume valori apprezzabilmente diversi da zero solo all’interno della superficie chiusa S
La derivata di D rispetto a t può essere considerata ovunque nulla
0≠∂∂
t
Β
S
Γ
Superficie limite
00 ≅∂∂
≅∂∂
tt
DΒ
A
B
25
Induttore
● J è ovunque solenoidale la corrente ha lo stesso valore i = JΔs in ogni sezione del conduttore
● All’esterno di S E è irrotazionale la tensione tra i terminali A e Bdell’induttore può essere valutata integrando il campo elettrico lungo una linea arbitraria Γ0 esterna alla superficie S
∫Γ
⋅=B
A 0
ˆ dlvAB tE
0≠∂∂
t
Β
00 ≅∂∂
≅∂∂
tt
DΒ
0Γ
S
Γ
Superficie limite
A
B
i
26
Induttore
● Applicando la legge di Ohm al conduttore Γ si ha
● Si sottrae e si somma a primo membro l’integrale di E su Γ0
● I primi due termini della rappresentanola circuitazione di E sulla linea chiusa formata da Γ e Γ0
Ris
dlidl
s
sJdl =
Δσ=
ΔΔ
σ=⋅ ∫∫∫
ΓΓΓ
B
A
B
A
B
A
t̂E
0Γ
S
Γ
A
B
i
Ridldldl =⋅+⋅−⋅ ∫∫∫ΓΓΓ
B
A
B
A
B
A 00
ˆˆˆ tEtEtE
Ridldl =⋅+⋅ ∫∫ΓΓ∪Γ
B
A 00
ˆˆ tEtE
27
0Γ
S
Γ
A
B
i
Induttore
● Per la legge di Faraday
● All’esterno di S la derivata di B rispetto a t è trascurabile il valore dell’integrale non dipende dalla particolare linea Γ0 considerata
Quindi si ottiene
dove
rappresenta l’induttanza dell’avvolgimento Γ
dt
diLRivRiv
dt
dABAB +==+
Φ−
iL
Φ=
dt
ddl
Φ−=⋅∫
Γ∪Γ 0
t̂E Φ = flusso di B concatenato con la linea Γ∪Γ0
28
Induttore ideale
● Se la resistenza dell’avvolgimento, R, è trascurabile è possibile rappresentare il componente con un induttore ideale
● Se la resistenza non è trascurabile si può rappresentareil componente mediante un bipolo equivalente formatoda un induttore ideale e un resistore collegati in serie
dt
diLRiv +=
(v e i orientate secondo la convenzione dell’utilizzatore)
)()( tLit =Φ
dt
dtv
Φ=)(
Simbolo
dt
diLtv =)(
Equazione caratteristica
29
Induttore ideale
● Integrando l’equazione caratteristica a partire da un istante iniziale t0si può esprimere la corrente in funzione della tensione
● In generale si può assumere che valga la condizione
(in pratica esiste sempre un istante iniziale prima del quale la correntee la tensione sono identicamente nulle)
L’espressione della corrente può essere posta nella forma
∫∞−
ττ=t
dvL
ti )(1
)(
0)(lim =−∞→
tit
∫∫∫ ττ+=τττ
=ττt
t
t
t
t
t
dvL
titidd
diLdv
000
)(1
)()()(
)( 0
30
AB
Energia magnetica di un circuito filiforme
● Si considera un circuito costituito da un conduttore filiforme Γ con sezione Δs e conducibilità σ, sede di un campo impresso Ei che agisce tra le sezioni A e B
● Si assume che per t = 0 la corrente e il campo magnetico siano nulli
● Mediante un processo quasi stazionario, nell’intervallo [0 t0] la corrente viene portatada zero fino al valore i0
● Il lavoro compiuto nell’intervallo [0 t0]dalle forze del campo impresso è
dove
∫∫ ∫ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ⋅
Γ
00
00 A
tt B
i eidtdtsdlJE
sidleB
A
i Δ⋅=⋅= ∫Γ
tJtE ˆˆ
31
Energia magnetica di un circuito filiforme
● Si applica la legge di Faraday
● Facendo uso della relazione costitutiva
si ottiene
● Questa relazione si può porre nella forma
dove
∫ ∫Γ
⋅−=⋅ dSdt
ddl
S
nBtE ˆˆ
ii EJ
EEEJ −σ
=⇒+σ= )(
∫∫∫ ⋅+ΔΔ
⋅σ
=⋅ΓΓ S
B
A
i dSdt
ddl
s
sdl nBt
JtE ˆˆˆ
AB
dt
dRie
Φ+=
∫Γ Δσ
=s
dlR
32
Energia magnetica di un circuito filiforme
● Il lavoro compiuto del campo impresso nell’intervallo [0 t0] è quindi
● Il primo integrale a secondo membro rappresenta l’energia dissipata per effetto Joule (e dipende dall’andamento della corrente tra 0 e t0)
● Se la relazione tra i e Φ è biunivoca ( mezzo privo di isteresi) l’ultimo integrale dipende solo dal valore del flusso all’istante t0 e rappresenta l’energia accumulata nel campo magnetico
corrisponde al lavoro compiuto dal campo impresso per creare il campo magnetico prodotto dalla corrente i0
viene restituita interamente se la corrente viene riportata a zero
● In un mezzo lineare isotropo ( Φ = Li) l’energia magnetica vale
∫∫∫Φ
Φ+=000
00
2
0
iddtRieidttt
2000
20
0 2
1
2
1
2
10
LiiL
dL
WM =Φ=Φ
=ΦΦ
= ∫Φ
33
Energia magnetica di un insieme di circuiti filiformi
● Si può dimostrare che, nel caso di un sistema costituito da N circuiti filiformi, l’espressione dell’energia magnetica è
● Se il campo magnetico ha sede in un mezzo lineare isotropo si ha
● Nel caso particolare di due soli circuiti, l’espressione dell’energia è
∑∑∑∑=
≠===
+=Φ=N
k
N
kjj
jkkj
N
kkk
N
kkkM iiMiLiW
1 11
2
1 2
1
2
1
2
1
∑ ∫=
Φ
Φ=N
kM
k
idW1 0
22221
211 2
1
2
1iLiMiiLWM ++=
34
Energia del campo magnetico
● L’energia magnetica di un circuito filiforme può essere espressa anche in funzione dei campi B e H
● Il flusso concatenato con il circuito è
● L’elemento di area dS individua un tubodi flusso di B concatenato con il circuito
● Si può esprimere la corrente i in funzione di H applicando la legge di Ampere ad una linea di campo γ di B coincidente con l’asse del tubo di flusso (se il mezzo è isotropo γ è anche una linea di campo di H)
∫Φ
Φ=0
0
idWM
∫∫ ⋅=⋅=ΦSS
dSBdS ntnB ˆˆˆ
∫∫γγ
=⋅= Hdldli tH ˆ
35
Energia del campo magnetico
● Utilizzando le espressioni di i e Φ e tenendo conto del fatto che il volume di un tratto infinitesimo di tubo di flusso èsi ottiene
Quindi l’espressione dell’energia magnetica è
● Questa espressione vale anche per mezzi non lineari, purché la relazione tra B è H sia biunivoca (mezzi privi di isteresi)
● Per un mezzo lineare isotropo (B = μH) si ha
● Si può dimostrare che queste espressioni, ottenute per un circuito filiforme, valgono anche per distribuzioni di corrente più generali
dSdld nt ˆˆ ⋅=τ
∫∫ ∫∫∫τγγ
τ=⋅=⋅=ΦC
HdBddSdBHdldSdBHdlidSS
ntnt ˆˆˆˆ
∫ ∫∫τ
Φ
τ=Φ=C
HdBdidWM
B
00
0
∫∫∫τττ
τμ
=τ=τμ=CCC
dB
HBddHWM
22
2
1
2
1
2
1
36
Energia del campo magnetico
● Si può interpretare come densità di energia associata al campo elettrostatico la quantità
● wM rappresenta l’area compresa tra la curva B(H) e l’asse delle ordinate
∫=τ
=0B
0
HdBd
dWw M
M
Mezzo lineare Mezzo non lineare
37
Perdite per isteresi
● Nel caso di un mezzo con isteresi, l’energia spesa per creare il campo è(partendo da i e H nulli) è maggiore di quella che viene restituita se la corrente i, e quindi H, sono riportati a zero
In questo caso viene assorbita in modo irreversibile, e quindi dissipata, l’energia per unità di volume
∫∫ΓΓ
−=R
HdBHdBwD
B
B
B
0 20
0
1
Densitàdi energiaassorbita Densità
di energiadissipata
Densitàdi energiarestituita
38
Perdite per isteresi
● Si fa variare periodicamente la corrente in modo che il materiale ferromagnetico siasoggetto a cicli di isteresi
● Complessivamente in ogni ciclo viene as-sorbita, per unità di volume, l’energia
Dissipazione di energia (convertita in calore)
● Il valore dell’energia dissipata in un ciclo corrisponde all’area delimitata dal ciclo di isteresi
∫Γ
= BHw dD
39
Perdite per isteresi
∫Γ12
BH d ∫Γ21
BH d
1 → 2 2 → 1
40
Forza di un elettromagnete
● F = risultante delle forze agenti sull’ancora dovute all’elettromagnete
● Fe = forza esterna necessaria a mantenere l’ancora in equilibrio
● Si può valutare Fe (e quindi F) applicando uno spostamento virtuale dx(nella direzione di Fe) all’ancora
● Bilancio energetico:
dLm = lavoro meccanico compiuto da Fe
dLE = vidt = idΦ = lavoro elettrico (fornito da generatori esterni)
Φ = Nϕ = flusso concatenato
dWM = variazione dell’energia magnetica
MEm dWdLdL =+
0μ>>μ
41
Forza di un elettromagnete
● Quindi si ha
● Per calcolare Fe (e quindi F) si può considerare una trasformazione infinitesima nella quale il flusso viene mantenuto costante (dΦ = 0)
● Il risultato non dipende dalla particolare trasformazione considerata, infatti nel caso generale si ottiene
dLiLidiidLLdiidxFe2
2
1)( +=++
dx
dLiFF e
2
2
1−==
)2
1( 2LididdxFe =Φ+
Me dWiddxF =Φ+
dx
dLi
dx
dL
LLdx
d
dx
dWFF M
e2
2
22
cost 2
1
2
1
2
1−=
Φ−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Φ===
=Φ
42
Forza di un elettromagnete
● Facendo uso della legge di Hopkinson
(R = riluttanza del circuito magnetico)
e della definizione di induttanza
si può esprimere la forza agente sull’ancoranella forma
R
2N
i
N
iL =
ϕ=
Φ=
dx
d
dx
diN
dx
dLiF
RRR
22
222
2
1
2
1
2
1ϕ==−=
Ni=ϕR
0μ>>μ
43
Forza di un elettromagnete
● Se è possibile trascurare la riluttanza dei tratti formati dal materiale ad alta permeabilità, R è data la somma delle riluttanze dei due traferri
● Se il campo magnetico è uniforme si ha
● Quindi si può esprimere F come
● La forza è data dal prodotto dell’area dei traferri (2S) per la quantità
S
x
0
2
μ=R
HB
S oo
=μ
=μϕ
20
22
0
22
42
1
x
SiN
Sdx
dF
μ=
μϕ
=ϕ=R
SHF 22
1 20 ⋅μ=
202
1HPM μ= (pressione magnetica)
44
Condensatore
● Ipotesi:
La derivata di D rispetto a t assume valori apprezzabilmente diversi da zero solo all’interno della superficie chiusa SLa densità di carica assume valori apprezzabilmente diversi da zero solo sulle armature del condensatore
La derivata di B rispetto a t può essere considerata ovunque nulla
00 ≅∂∂
≅∂∂
tt
DΒ 0≠∂∂
t
D
Superficie limiteA
B
iA
iB
n̂
S
45
Condensatore
● La corrente di spostamento attraverso la superficie S è nullaSu S J è solenoidaleLa corrente iA è uguale in ogni istante alla corrente iB
● Il campo elettrico è identico, in ogni istante, ad un campo stazionario
Vale la relazione
● Dall’equazione di continuità, conside-rando la superficie SA, si ottiene
C
tQtvdl AB
)()(ˆ
B
A
==⋅∫ tE
dt
dQdSi
AS
A =⋅−= ∫ nJ ˆ
iiiiidS BABA
S
===+−=⋅∫ 0n̂J
+Q
−Q
A
B
iA
iB
n̂
S
An̂
SA
46
Condensatore
● Combinando le due ultime equazioni si ottiene la relazione costitutiva del condensatore
● Integrando rispetto al tempo si può esprimere la tensione in funzione della corrente
oppure, assumendo
∫ ττ+=t
t
diC
tvtv0
)(1
)()( 0
∫∞−
ττ=t
diC
tv )(1
)(
0)(lim =−∞→
tvt
)()( tCvtQ =
dt
dQti =)(
Simbolo
dt
dvCti =)(
Equazione caratteristica
(v e i orientate secondo la convenzione dell’utilizzatore)
47
2n̂1n̂
S1 S2
t̂
i i
Γ
t∂∂D
Corrente di spostamento
● Si considerano due superfici aventi per contorno la linea ΓS1 esterna al condensatoreS2 passante tra le armature del condensatore
● La densità di corrente totale è solenoidale
● La corrente di spostamento attraversoS1 è nulla
● La corrente di conduzione attraversoS2 è nulla
0ˆ21
=⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∂
+∫∪SS
dSdt
nD
J
∫∫ ⋅∂
=⋅21
21 ˆˆSS
dSdt
dS nD
nJ
48
Corrente di spostamento
● La circuitazione del campo magnetico sulla Γ è uguale alla corrente totale concatenata con la linea
● In condizioni quasi stazionarie le linee di campo di H non sono concatenate con i tubi di flusso di J, ma con quelli di JT
● Il flusso di JT attraverso S1 è dovutoalla sola corrente di conduzione
● Il flusso di JT attraverso S2 è dovutoalla sola corrente di spostamento
∫∫∫ ⋅∂∂
=
=
⋅=⋅Γ 21
21 ˆˆˆSS
dSt
i
dSdl nD
nJtH
43421
2n̂1n̂
S1 S2
t̂
i i
Γ
t∂∂D
49
Componenti resistivi e componenti dinamici
● Componenti privi di memoria (resistivi)
Le equazioni caratteristiche sono algebriche
Le equazioni mettono in relazione valori delle correnti e delle tensioni allo stesso istante
I componenti introdotti nello studio dell’elettrodinamica stazionaria rientrano tutti in questa categoria
● Componenti dotati di memoria (dinamici)
Le equazioni caratteristiche sono differenziali
Le equazioni coinvolgono valori delle tensioni e delle correnti relativi a istanti diversi
Induttori e condensatori rientrano in questa categoria
50
Induttore – Proprietà di memoria
● Corrente all’istante t = t0
● Flusso all’istante t = t0
● Corrente per t > t0
Per determinare la corrente per t > t0 occorre conoscerela corrente (o il flusso) per t = t0l’andamento della tensione per t ≥ t0
Il valore della corrente (o del flusso) all’istante t0 riassume il comportamento del componente per t ≤ t0
∫∞−
ττ==0
)v(1
)i( 00
t
dL
tI
000 )( LIt =Φ=Φ
∫∫
∫∫∫
ττ+Φ=ττ+=
=ττ+ττ=ττ=∞−∞−
t
t
t
t
t
t
tt
dLL
dL
I
dL
dL
dL
t
00
0
0
)v(1
)v(1
)v(1
)v(1
)v(1
)i(
00
51
Condensatore – Proprietà di memoria
● Tensione all’istante t = t0
● Carica all’istante t = t0
● Tensione per t > t0
Per determinare la tensione per t > t0 occorre conoscerela tensione (o la carica) per t = t0l’andamento della corrente per t ≥ t0
Il valore della tensione (o della carica) all’istante t0 riassume il comportamento del componente per t ≤ t0
∫∞−
ττ==0
)i(1
)v( 00
t
dC
tV
000 )( CVtQQ ==
∫∫
∫∫∫
ττ+=ττ+=
=ττ+ττ=ττ=∞−∞−
t
t
t
t
t
t
tt
dCC
Qd
CV
dC
dC
dC
t
00
0
0
)i(1
)i(1
)i(1
)i(1
)i(1
)v(
00
52
Circuiti resistivi e circuiti dinamici
● Circuiti resistivi: circuiti formati esclusivamente da componenti resistivi
le equazioni del circuito costituiscono un sistema di equazioni algebriche
i valori delle tensioni e delle correnti (risposte) in un certo istante dipendono solo dai valori delle grandezze impresse dei generatori indipendenti (ingressi) allo stesso istante
● Circuiti dinamici: circuiti che contengono almeno un componente dinamico (induttore o condensatore)
le equazioni del circuito costituiscono un sistema di equazioni differenziali
i valori delle risposte a un certo istante dipendono anche dagliandamenti degli ingressi negli istanti precedenti
53
Energia assorbita o erogata da un componente
● Energia assorbita da un componente nell’intervallo [t1 t2]
● Energia assorbita da un componente fino all’istante t
● Energia erogata da un componente nell’intervallo [t1 t2]
● Energia erogata da un componente fino all’istante t
∫=2
1
)(p),(w 21
t
t
aa dtttt
∫∞−
ττ=t
aa dt )(p)(w
),(w)(p),(w 2121
2
1
ttdtttt a
t
t
ee −== ∫
)(w)(p)(w tdt a
t
ee −=ττ= ∫∞−
pa = potenza assorbita
pe = potenza erogata
54
Componenti attivi e passivi
● Per classificare come attivi o passivi i componenti dinamici occorre generalizzare la definizione introdotta per i componentiresistivi
● Componente passivo:per tutti i possibili andamenti delle tensioni e delle correnti descrittive compatibili con le relazioni costitutive risultawa(t) ≥ 0 ∀t
● Componente attivo:esistono andamenti delle tensioni e delle correnti descrittive compatibili con le relazioni costitutive tali che, per alcuni valoridi t, risultawa(t) < 0
Un componente attivo è un componente in grado di generare energia elettrica
55
Componenti passivi
● Energia assorbita fino all’istante t2
● Per un componente passivo deve essere
we(t1,t2) può essere positiva il componente può erogare energia nell’intervallo [t1 t2]
per un componente passivo l’energia erogata in un intervallo [t1 t2] non può superare l’energia assorbita fino all’istante iniziale dell’intervallo
)(w),(w)(p)(p)(p)(w 1212
12
1
2
tttdttdttdttt aa
t
a
t
t
a
t
aa +=+== ∫∫∫∞−∞−
),(w)(w0)(w),(w0)(w 2111212 ttttttt eaaaa ≥⇒≥+⇒≥
56
Componenti passivi
● Un componente passivo può accumulare (almeno in parte) l’energia assorbita e, in seguito, restituire l’energia accumulata
un comportamento di questo tipo implica un vincolo i valori delle tensioni e correnti nell’intervallo [t1 t2] da cui dipende we(t1,t2) e i valori nell’intervallo [−∞ t1] da cui dipende wa(t1)
il componente deve essere dotato di memoria
per un componente privo di memoria deve essere verificata la condizionewa(t1,t2) ≥ 0 ∀t1, t2
questo richiede che sia anche pa ≥ 0 in ogni istante e per ogni condizione di funzionamento, coerentemente con la definizione di componente passivo introdotta nello studio dell’elettrodinamica stazionaria
57
Induttore – Comportamento energetico
● Potenza assorbita:
● Energia assorbita fino all’istante t
L’energia assorbita fino all’istante t è determinata se è noto il valore all’istante t della corrente o del flusso
Se L > 0 l’energia assorbita fino all’istante t è ≥ 0 ∀ t
Se L > 0 l’induttore è un componente passivo
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=== )(i2
1i)i()i()v()(p 2 tL
dt
d
dt
dtLttta
L
ttLdL
d
ddt
tt
aa
)(
2
1)(i
2
1)(i
2
1)(p)(w
222 Φ
==τ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ τ
τ=ττ= ∫∫
∞−∞−
58
Induttore – Comportamento energetico
● Energia assorbita nell’intervallo [t1 t2]
Dipende solo dai valori di i (o di Φ) agli istanti t1 e t2
Non dipende dall’andamento di v e i nell’intervallo [t1 t2]
● Per un induttore passivo (L > 0)
L’energia assorbita nell’intervallo [t1 t2] è negativa se |i(t1)| > |i(t2)|
L’energia erogata nell’intervallo [t1 t2] non può superare l’energia assorbita fino a t1
L’induttore accumula l’energia assorbita ed è in grado di restituirla integralmente
[ ] [ ])()(2
1)(i)(i
2
1)(p),(w 1
22
21
22
221
2
1
ttL
ttLdttttt
t
aa Φ−Φ=−== ∫
[ ] )(w)(i2
1)(i)(i
2
1),(w),(w 11
22
21
22121 ttLttLtttt aae =≤−=−=
59
Condensatore – Comportamento energetico
● Potenza assorbita:
● Energia assorbita fino all’istante t
L’energia assorbita fino all’istante t è determinata se è noto il valore all’istante t della tensione o della carica
Se C > 0 l’energia assorbita fino all’istante t è ≥ 0 ∀ t
Se C > 0 il condensatore è un componente passivo
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=== )(v2
1v)v()i()v()(p 2 tC
dt
d
dt
dtCttta
C
tQtCdC
d
ddt
tt
aa
)(
2
1)(v
2
1)(v
2
1)(p)(w
222 ==τ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ τ
τ=ττ= ∫∫
∞−∞−
60
Condensatore – Comportamento energetico
● Energia assorbita nell’intervallo [t1 t2]
Dipende solo dai valori di v (o di Q) agli istanti t1 e t2
Non dipende dall’andamento di i e v nell’intervallo [t1 t2]
● Per un condensatore passivo (C > 0)
L’energia assorbita nell’intervallo [t1 t2] è negativa se |v(t1)| < |v(t2)|
L’energia erogata nell’intervallo [t1 t2] non può superare l’energia assorbita fino a t1
Il condensatore accumula l’energia assorbita ed è in grado di restituirla integralmente
[ ] [ ])(Q)(Q2
1)(v)(v
2
1)(p),(w 1
22
21
22
221
2
1
ttC
ttCdttttt
t
aa −=−== ∫
[ ] )(w)(v2
1)(v)(v
2
1),(w),(w 11
22
21
22121 ttCttCtttt aae =≤−=−=
61
Induttore – Proprietà di continuità
● In un induttore, se la tensione v(t) è limitata, la corrente i(t) è una funzione continua del tempo
● Dimostrazione: Dato che
la proprietà deriva direttamente dalla proprietà di continuità della funzione integrale
● Dal punto di vista fisico una discontinuità della corrente non èpossibile in quanto comporterebbe una discontinuità dell’energia accumulata
● L’energia accumulata deve essere una funzione continua del tempo (postulato di continuità dell’energia) perchè una sua discontinuità richiederebbe che la potenza scambiata dal componente tendesse a infinito
∫∞−
ττ=t
dL
t )v(1
)i(
62
Condensatore – Proprietà di continuità
● In un condensatore, se la corrente i(t) è limitata, la tensione v(t)è una funzione continua del tempo
● Dimostrazione: Dato che
la proprietà deriva direttamente dalla proprietà di continuità della funzione integrale
● Come nel caso dell’induttore, dal punto di vista fisico una discontinuità della tensione del condensatore non è possibile perchè sarebbe in contrasto con il postulato di continuitàdell’energia
∫∞−
ττ=t
dC
t )i(1
)v(
63
Induttori in serie
N induttori in serie equivalgono a un induttore con induttanza
∑=
=N
kk
1
vv
),,1(ii Nkk K==
),,1(i
v Nkdt
dL k
kk K==
dt
dL
dt
dL
dt
dL S
N
kk
N
k
kk
iiiv
11
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛== ∑∑==
Relazionicostitutive
LKI
LKV
∑=
=N
kkS LL
1
64
Induttori in parallelo
N induttori in parallelo equivalgono a un induttore con induttanza
∑=
=N
kk
1
ii
),,1(vv Nkk K==
),,1()(v1
i NkdL
t
kk
k K=ττ= ∫∞−
∫∫∑∑ ∫∞−∞−== ∞−
ττ=ττ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=ττ=
t
P
tN
k k
N
k
t
kk
dL
dL
dL
)v(1
)v(1
)(v1
i11
Relazionicostitutive
LKV
LKI
∑=
= N
k k
P
L
L
1
11
65
Condensatori in serie
N condensatori in serie equivalgono a un condensatore con capacità
∑=
=N
kk
1
vv
),,1(ii Nkk K==
),,1()(i1
v NkdC
t
kk
k K=ττ= ∫∞−
∫∫∑∑ ∫∞−∞−== ∞−
ττ=ττ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=ττ=
t
S
tN
k k
N
k
t
kk
dC
dC
dC
)i(1
)i(1
)(i1
v11
Relazionicostitutive
LKI
LKV
∑=
= N
k k
S
C
C
1
11
i
66
Condensatori in parallelo
N condensatori in parallelo equivalgono a un condensatore con capacità
∑=
=N
kk
1
ii
),,1(vv Nkk K==
),,1(v
i Nkdt
dC k
kk K==
dt
dC
dt
dC
dt
dC P
N
kk
N
k
kk
vvvi
11
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛== ∑∑==
Relazionicostitutive
LKV
LKI
∑=
=N
kkP CC
1