11
Introduction
1 - Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques
2 - Propagation des OEM dans un milieu diélectrique parfait
3 - Propagation des OEM dans un milieu bon conducteur
4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement 4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteurconducteur
5 - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude
6 - Absorption
7 - Dispersion
Ch. 3 Propagation des OEM dans les milieux
matériels
Bloc 6
22
Milieu intermédiaire l.i.h. , non magnétique
jL≈ jDtan Δ≈1
3ème situation :
4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur
33
E=E m e− j ωt−k z
Etablir l’équation de dispersion pour l’OEM associée au champ ci-dessus dans un milieu partiellement conducteur, l.i.h., de permittivité et de conductivité . Montrer que l’on obtient :
Exercice 1
k²=ω²c²ε r j ωμo σ
44
E=E m e− j ωt−k z
k²=ω²c²ε r j ωμo σ
1. réelle = o (continu)
4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur
3 cas de figure selon que est réelle, imaginaire ou complexe
k² complexe k complexe
1. imaginaire k² réel > 0
k imaginaire
1. complexe k² complexe k complexe
k² réel < 0
k réel
55
4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur
imaginaire k² réel > 0
k imaginaire = jk’’k² réel < 0
k réel
E=E m e− j ωt−k z
k²=ω²c²ε r j ωμo σ
Le milieu n’est pas absorbantLe milieu n’est pas absorbant, l’indice est réel il peut y avoir dispersion
on peut calculer v, n, ,…
E=E m e− j ωt−k z =Em e
− jωt e−k '' z
L’onde ne se propage pasne se propage pas dans le milieu, l’amplitude du champ décroît
onde évanescentev, ,..ne sont pas définies
1er cas de figure :
66
E=E m e− j ωt−k z
k²=ω²c²ε r j ωμo σ
kk = k’ + = k’ + jk’’jk’’
réelle = o (continu)
4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur
k '= 1
2ωc ε r11 σ²
ω2 ε 2
k = { {1} over { sqrt {2} } } { {ω} over {c} } sqrt {ε rSub { size 8{r} } } sqrt { - 1+ sqrt {1+ { {σ²} over {ω rSup { size 8{2} } ε rSup { size 8{2} } } } } } {} # right no } } lbrace } {}¿
{¿ ¿¿
¿
Pour les détails du calcul, voir le diaporama « démonstrations bloc 6
«
2ème cas de figure :
On peut calculer , v, n, …
77
E=E m e− j ωt−k z
k²=ω²c²ε r j ωμo σ
kk = k’ + jk’’ = k’ + jk’’
complexe
4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur
Pour les détails du calcul, voir le diaporama « démonstrations bloc 6
«
3ème cas de figure :
On peut calculer , v, n, …
Il faut développer l’expression de dans l’équation de dispersion avant de la résoudre
88
Introduction
1 - Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques
2 - Propagation des OEM dans un milieu diélectrique parfait
3 - Propagation des OEM dans un milieu bon conducteur
4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur
5 - Comportement de 5 - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude avec la fréquence : modèle de Drude 1 - Electrons libres 2 - Electrons faiblement liés
6 - Absorption
7 - Dispersion
Ch. 3 Propagation des OEM dans les milieux
matériels
99
j L=∑iρ i v i= ρ ev e= ne − e v e
jL=σ E
5-1 – Comportement deavec la fréquence : électrons libres
Méthode pour déterminer :
1. Déterminer jL et utiliser la loi d’Ohm
2. Déterminer la vitesse des porteurs pour avoir jL
3. Utiliser le principe fondamental de la dynamique pour déterminer la vitesse des porteurs.
1010
Modèle de Drude Comportement des
électrons «libres»électrons «libres» dans les conducteurs soumis à un champ électromagnétique
PFD appliqué à un e- «libre»
md² rdt ²
=−e Ev∧B −mτ
v−mωo ²rm g
Force de Lorentz
Force de frottements
Force de rappel
élastique
Déplacement de e- %
position en l’absence de
champ
Vitesse d’entraîneme
nt sous champ
5-1 – Comportement deavec la fréquence : électrons libres
1111
Modèle de Drude
md² rdt ²
=−e Ev∧B −mτ
v−mωo ²rm g
Force de frottements
Force de rappel
élastique
Hypothèses : mg << eE mo²r << eE Bv ~ Ev/c <<E
md² rdt ²
=−e E−mτv Temps de
relaxation moyen entre 2 collisions
10-14 s
Justification des hypothèses ?
5-1 – Comportement deavec la fréquence : électrons libres
1212
md² rdt ²
=−e E−mτv
d vdt
vτ=−
em
E
v=−emτ Ev oexp −
tτ
Résolution de l’équation différentielle pour E champ constant et uniforme (indépendant de r et t) ?
5-1 – Comportement deavec la fréquence : électrons libres
Démonstration dans le diaporama démonstrations du bloc 6
1313
v=−emτ Ev oexp −
tτ
10-14 s v≈−emτ E=μ E
Hypothèse : E champ constant et uniforme (indépendant de r et t)
jL= ρev e=ne−e v e
j L=n e −e − e m
τ E=n e e²
mτ E=σ E
Conductivité définie en
continu
Mobilité des électrons
libres
5-1 – Comportement deavec la fréquence : électrons libres
1414
d vdt
vτ=−
em
E
d vdt
=− jωv
v=v oe− jωt
Hypothèse : E champ sinusoïdal progressif
− jω v vτ=−
em
E
E=E m e− jωt e j k z
Hypothèse : Oscillations forcées des e- libres sous le champ E
(à la même fréquence)
v=−e
m 1τ− jω
E=−eτ
m 1− j ωτ E
jL=ne−e v=nee²τ
m1− j ωτ E=σ E σ=
ne e²τ
m 1− j ωτ complexe
5-1 – Comportement deavec la fréquence : électrons libres
1515
σ=ne e²τ
m 1− j ωτ
σ=ne e²τ
m=σ o
σ=ne e²τ
m 1− j ωτ
• << 1 < 1012 rad/s
J est en phase avec E
• >> 1 > 1016 rad/s
σ=ne e²τ
− jm τω= j
σ oωτ
J est en quadrature retard sur E
• 1012 rad/s < < 1016
rad/s
J est en retard sur E de tel que :
J=σ oωτ
Em .e− jωt e jkzej π
2
ϕ = Arc tan ωτ
Continu
Ne dépend pas de f
5-1 – Comportement deavec la fréquence : électrons libres
1616
Quelle est l’expression de la conductivité du cuivre dans le domaine des rayons X dont la longueur d’onde dans le vide est o = 1pm?
En déduire l’expression de l’équation de dispersion et celle du vecteur d’onde associé.
Caractériser la propagation de ces rayons X dans le cuivre .
Connaissez-vous une application de ce phénomène ?
Exercice 2
1717
Introduction
1 - Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques
2 - Propagation des OEM dans un milieu diélectrique parfait
3 - Propagation des OEM dans un milieu conducteur
4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur
5 - Comportement de 5 - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude avec la fréquence : modèle de Drude 1 - Electrons libres 2 - Electrons faiblement liés2 - Electrons faiblement liés
6 - Absorption
7 - Dispersion
Ch. 3 Propagation des OEM dans les milieux
matériels
1818
Modèle de Drude Comportement des électrons élastiquement «liés»électrons élastiquement «liés» dans les
milieux soumis à un champ électromagnétique PFD appliqué à un e- «lié»
md² rdt ²
=−e Ev∧B −mτ
v−mωo ²rm g
Force de rappel
élastique
Hypothèses : mg << eE Bv ~ Ev/c <<E
d² rdt ²
=−em
E−1τd rdt
−ωo ² r
Temps de relaxation moyen entre 2
collisions
10-10 - 10-15
s
Pulsation propre
o 1016rad/s
5-2 – Comportement deavec la fréquence : électrons liés
1919
d² rdt ²
=−em
E−1τd rdt
−ωo ² r
E champ sinusoïdal progressif E=E m . e− jωt e j k z
Hypothèse : Oscillations forcées des e- élastiquement liés à la même fréquence que le champ
jL=ne−e v=− jne e²ω
m ωo ²−ω²− jωτ
E=σ E
σ=− jne e²ω
mωo ²−ω²− jωτ
v=jωe
mωo ²−ω²− jωτ
E
5-2 – Comportement deavec la fréquence : électrons liés
Démonstration dans le
diaporama démonstrations
du bloc 6
complexe
2020
σ=− jne e²ω
m ωo ²−ω²− jωτ
k²=ω²c²ε r j ωμo σ
Il faut discuter en fonction de en comparant les ordres de grandeur des termes du dénominateur
<< o
o
>> o
5-2 – Comportement deavec la fréquence : électrons liés
2121
Introduction
1 - Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques
2 - Propagation des OEM dans un milieu diélectrique parfait
3 - Propagation des OEM dans un milieu conducteur
4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur
5 - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude
6 - Absorption6 - Absorption 1- Puissance dans un milieu absorbant 2 - Coefficient d’absorption
7 - Dispersion
Ch. 3 Propagation des OEM dans les milieux
matériels
2222
Montrer que le théorème de Poynting dans les milieux matériels s’écrit :
div R=−∂u em∂ t
−σ . E ²
dW em
dt=−∯
S
R . d s−∭V
σ . E ² . dτ
En déduire le bilan d’énergie :
Exercice 3
2323
dW em
dt=−∯
S
R . d s−∭V
σ . E ² . dτ
Variation de l’énergie
électromagnétique dans le volume V
Puissance dissipée par les courants JL circulant dans V
(effet Joule)Puissance rayonnée par l’OEM à travers S fermée entourant
V
6-1 - Puissance transportée dans un milieu absorbant
Théorème de Poynting
2424
1 – Puissance dissipée dans un milieu conducteur
dW em
dt=−∯
S
R . d s−∭V
σ . E ² . dτ
Puissance dissipée dans le conducteurP moy=∭
V
σ o .⟨ E ² ⟩ .dτ
Milieu l.i.h. : o
−k z} } cos \( ωt - k'z \) } {}¿
E=E me¿
¿
−2k z} } cos² \( ωt - k'z \) } {}¿
E²=Em ² e¿
¿−2k z} } . dτ} {}
¿
Pmoy=∭V
σ o .Em ²
2.e ¿
¿
2525
Exercice 4
−k z} } e rSup { size 8{ - j \( ωt - k'z \) } } } {}¿
E x=Emx e¿
¿
A l’aide des équations de Maxwell en notation complexe, donner l’expression complexe du champ B associé au champ E ci dessus. Exprimer le déphasage de B par rapport à E.
k=k e z=∣k∣. e jϕ e z
−2k z} } } {}¿
⟨R z ⟩=1
2μE mx ² .
k 'ω
.e¿
¿
A l’aide des expressions complexes de B et E ci-dessus, montrer que le vecteur de Poynting s’écrit :
En déduire la puissance moyenne transportée par l’onde (par unité de surface).
2626
Introduction
1 - Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques
2 - Propagation des OEM dans un milieu diélectrique parfait
3 - Propagation des OEM dans un milieu conducteur
4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur
5 -5 - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude
6 - Absorption6 - Absorption 1- Puissance dans un milieu absorbant 2 - Coefficient d’absorption
7 - Dispersion
Ch. 3 Propagation des OEM dans les milieux
matériels
2727
−2k z} } } {}¿
Pmoy z Pmoy z=0
=e¿
¿
• Le coefficient d’absorption caractérise un milieu absorbant absorbant
• Il est défini (en puissance ou en intensité), pour une onde atténuée, par :
z : direction de propagation
Pmoy z Pmoy z=0
=e−αz
α=− 1zLn
P z P z=0
s’exprime en Néper/m (Np/m) ou en m-1
s’exprime aussi en décibel/m (dB/m)α dB /m =−10z
log 10 [P z
P z=0 ]
6-2 - Coefficient d’absorption
2828
Pmoy z Pmoy z=0
=I z
I z=0 =e−αz α=− 1
zLn
P z P z=0
=2k’’ est lié à l’indice d’extinction n’’ = = c.k’’/
Exemple : semi-conducteur GaAs
6-2 - Coefficient d’absorption
Loi de Beer-Lambert
2929
Introduction
1 - Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques
2 - Propagation des OEM dans un milieu diélectrique parfait
3 - Propagation des OEM dans un milieu bon conducteur
4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur
5 - - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude
6 - Absorption
7 - Dispersion7 - Dispersion 1- Vitesse de groupe 2 – Relation de Rayleigh
Ch. 3 Propagation des OEM dans les milieux
matériels
3030
Milieux dispersifs vv(())
7 - Dispersion
Emetteurs non monochromatiques largeur de raie
Emission d’un paquet d’ondes Représentation d’une OEM réelle sous la forme d’une
superposition d’OPPM (analyse de Fourier) Se propageant dans la même direction De même amplitude De vecteurs d’onde différents (pulsations différentes)
1 - Vitesse de groupe
3131
Soit o la pulsation centrale associée à ko
k∈[ k o−Δk2; k o
Δk2
]
ω∈[ωo−Δω2;ωo
Δω2
]
Δω <<ω o
7-1 - Vitesse de groupe
Démonstration dans le diaporama démonstrations du bloc 6
Expression du champ associé au paquet d’onde (PO) ?
3232
E PO =ej ko z−ωo t . ∫
k o−Δk2
k oΔk2
Emk .ej k−ko z−
dωdk
t .dk
Terme sinusoïdal se propageant à la
vitesse de phase vv = = oo/k/koo
Enveloppe de Enveloppe de l’amplitudel’amplitude se
propage
à la vitesse v = dv = d/dk/dk
Vitesse de groupe : vg
7-1 - Vitesse de groupe
3333
E PO =ej ko z−ωo t . ∫
k o−Δk2
k oΔk2
Emk .ej k−ko z−
dωdk
t .dk
EnveloppeEnveloppe se propage
À la vitesse v = v = dd/dk/dk
Énergie transportée par le paquet d’ondes <E²>
partie de l’enveloppe où E est max
énergie se déplace à la vitesse vg
Vitesse de propagation de l’énergie :
vg
7-1 - Vitesse de groupe
3434
animation
En regardant bien l’animation :
Comment repère-t-on la vitesse de groupe ?
Comment repère-t-on la vitesse de phase ?
Exercice 5
3535
k² = ².µor=².r/c²
Etablir l’expression de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe pour une OEM se propageant dans un milieu diélectrique caractérisé par l’équation de dispersion :
Exercice 6
3636
Introduction
1 - Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques
2 - Propagation des OEM dans un milieu diélectrique parfait
3 - Propagation des OEM dans un milieu bon conducteur
4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur
5 - - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude
6 - Absorption
7 - Dispersion7 - Dispersion 1- Vitesse de groupe 2 – Relation de Rayleigh
Ch. 3 Propagation des OEM dans les milieux
matériels
3737
Relation traduisant la dispersion, liant les vitesses de groupe et de phase ; 2 expressions équivalentes
v g=v ϕ .1
1− dndλo
.λon
7-2 – Relation de Rayleigh
v g= v ϕ− λdv ϕdλ
Démonstration dans le diaporama démonstrations du bloc 6
: mesurée dans le milieu
o : mesurée
dans le vide
λ=λon
3838
Fin du bloc 6….
Début du bloc 7…. Quizz 6Quizz 6
Problème N°3 à rédiger…