7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
1/21
Mr Miroslav Kuka
Vesna M. Mijailovi}
ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE
za VII I VIII razred
sa teorijskim osnovama i re{enjima
MMI
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
2/21
PREDGOVOR
Ovom zbirkom zadataka obuhva}eno je celokupno gradivo matematike koje
u~enici treba da savladaju u osnovnoj {koli, na nivou VII i VIII razreda. Posebno smo
obratili pa`nju da sadr`aji zadataka u~enicima budu pristupa~ni, tako da pomo}u njih
mogu da shvate pojedine matemati~ke zakonitosti, njihovu me|usobnu povezanost,
svakodnevnu primenljivost itd. S obzirom na namenu, svaki zadatak u ovoj zbirci ima
re{enje. U ve}ini re{enja je pored toga ostalo ne{to nedore~eno, tako da }e u~enikimati svuda po ne{to da zaklju~i sam. Ovakav na~in re{avanja zadataka trebalo bi uvek
primenjivati, jer se tako uveliko umanjuju kumulativne gre{ke pri ra~unanju, {to je na
svim, a posebno na osnovno{kolskom uzrastu ~esta pojava.
Zbirka je koncepcijski zami{ljena i kao priru~nik sa teorijskim uvodom svake
od obuhva}enih matemati~kih celina, {to sa svoje strane, po mi{ljenju autora, pored
homogenizacije gradiva i njima komplementarnih zadataka, inicira i razvija
interesovanje u~enika za tako koncipirane sadr`aje.
Na kraju smatramo svojim prijatnim dugom da se najsrda~nije zahvalimo
svojim porodicama, recenzentima, prof. Verici Radojkovi}, dipl. astrofizi~aru Tatjani
Milovanov, ing. informatike Veri Stojanovi}, Zlatku Leki}u i Ljiljani Milojevi} na
podr{ci, sugestijama i tehni~koj realizaciji ovako koncipirane zbirke zadataka.
Autori
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
3/21
SADR@AJ
VII RAZRED
1. REALNI BROJEVI1.1. KVADRAT RACIONALNOG BROJA
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 3
Zadaci za samostalan rad................................................................ 4
Re{enja ..................................................................... ........................ 5
1.2. RE[ENJE JEDNA^INEx2
=a, (a 0). KVADRATNI KOREN.IRACIONALNI BROJ
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 7
Zadaci za samostalan rad................................................................ 8
Re{enja ..................................................................... ........................ 9
1.3. REALNI BROJEVI. BROJEVNA PRAVA. JEDNAKOST aa =2
1.4. PRIBLI@NA VREDNOST REALNOG BROJA
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 12
Zadaci za samostalan rad............................................................... . 14
Re{enja ............................................................................ ................. 15
1.5. OSNOVNA SVOJSTVA OPERACIJA SA REALNIM BROJEVIMA
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 16
Zadaci za samostalan rad............................................................... . 17
Re{enja ............................................................................ ................. 18
Skup realnih brojeva (dodatak)............ ........................................... 18
Re{enja ............................................................................ ................. 19
2. PITAGORINA TEOREMA I NJENA PRIMENA2.1. PITAGORINA TEOREMA2.2. PRIMENA PITAGORINE TEOREME
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 21
Zadaci za samostalan rad............................................................... . 23
Re{enja ............................................................................ ................. 24
2.2.1 PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA KVADRAT2.2.2. PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA PRAVOUGAONIK
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 29
Zadaci za samostalan rad............................................................... . 30
Re{enja ............................................................................ ................. 31
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
4/21
2.2.3. PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOKRAKI IJEDNAKOSTRANI^NI TROUGAO
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 33Zadaci za samostalan rad............................................................... . 35
Re{enja ............................................................................ ................. 36
2.2.4. PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA ROMB2.2.5. PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA KRUG
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 39
Zadaci za samostalan rad............................................................... . 40
Re{enja ............................................................................ ................. 40
2.2.6. PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOKRAKI IPRAVOUGLI TRAPEZ
2.2.7. PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA KOCKU I KVADAR
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 42Zadaci za samostalan rad............................................................... . 43
Re{enja ............................................................................ ................. 44
3. RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZ3.1. STEPEN ^IJI JE IZLO@ILAC PRIRODNI BROJ3.2. ALGEBARSKI IZRAZ. BROJNA VREDNOST IZRAZA
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 48Zadaci za samostalan rad................................................................ 50
Re{enja ..................................................................... ........................ 51
3.3. MONOM. KOEFICIJENT3.4. POJAM POLINOMA. SVO\ENJE POLINOMA
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 53Zadaci za samostalan rad............................................................... . 54
Re{enja ............................................................................ ................. 54
3.5. SABIRANJE MONOMA I POLINOMA3.6. ODUZIMANJE MONOMA I POLINOMA
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 55Zadaci za samostalan rad............................................................... . 56
Re{enja ............................................................................ ................. 57
3.7. MNO@ENJE MONOMA I POLINOMA3.8. DELJENJE MONOMA I POLINOMA
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 59
Zadaci za samostalan rad............................................................... . 61
Re{enja ............................................................................ ................. 62
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
5/21
3.9. KVADRAT BINOMA I RAZLIKA KVADRATA3.10. RASTAVLJANJE POLINOMA NA ^INIOCE
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 64Zadaci za samostalan rad............................................................... . 66
Re{enja ............................................................................ ................. 68
4. MNOGOUGAO4.1. POJAM MNOGOUGLA I BROJ DIJAGONALA MNOGOUGLA4.2. UGLOVI MNOGOUGLA
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 71
Zadaci za samostalan rad............................................................... . 72Re{enja ............................................................................ ................. 73
4.3. KONSTRUKCIJA PRAVILNIH MNOGOUGLOVA4.4. OBIM MNOGOUGLA4.5. POVR[INA MNOGOUGLA4.6. POVR[INA PRAVILNOG MNOGOUGLA
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 75
Zadaci za samostalan rad............................................................... . 80
Re{enja ............................................................................ ................. 81
5. KRUG
5.1. CENTRALNI I PERIFERNI UGAO KRUGATeorijske osnove sa primerima ........................................................ 87
Zadaci za samostalan rad............................................................... . 87
Re{enja ............................................................................ ................. 88
5.2. OBIM KRUGA5.3. DU@INA KRU@NOG LUKA
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 90
Zadaci za samostalan rad............................................................... . 92
Re{enja ............................................................................ ................. 93
5.4. POVR[INA KRUGA
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 96Zadaci za samostalan rad............................................................... . 96
Re{enja ............................................................................ ................. 98
5.5. KRUG, KRU@NI ISE^AK, KRU@NI ODSE^AK, KRU@NI PRSTEN5.6. POVR[INA KRU@NOG ISE^KA I KRU@NOG PRSTENA
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 100
Zadaci za samostalan rad................................................................ 101
Re{enja ..................................................................... ........................ 102
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
6/21
Krug - razni zadaci ...................................................................... ..... 103
Re{enja ............................................................................ ................. 104
6. NEKE OSNOVNE FUKCIJE6.1. PRAVOUGLI KOORDINATNI SISTEM U RAVNI. KOORDINATNE
TA^KE
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 107
Zadaci za samostalan rad................................................................ 109
Re{enja ..................................................................... ........................ 110
6.2. FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI. TABLI^NO,
ANALITI^KO I GRAFI^KO PREDSTAVLJANJE FUNKCIJE DIREKTNEPROPORCIONALNOSTI
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 113Zadaci za samostalan rad................................................................ 116
Re{enja ..................................................................... ........................ 118
6.3. OBRNUTA PROPORCIONALNOST, FUNKCIJAy=x
k
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 120
Zadaci za samostalan rad................................................................ 121
Re{enja ..................................................................... ........................ 122
6.4. PROPORCIJA I NJENA PRIMENATeorijske osnove sa primerima ........................................................ 125Zadaci za samostalan rad................................................................ 125
Re{enja ..................................................................... ........................ 126
7. SLI^NOST7.1. MERENJE DU@I, SMERLJIVE I NESMERLJIVE [email protected]. RAZMERA DU@I. PROPORCIONALNE DU@I
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 130Zadaci za samostalan rad................................................................ 131
Re{enja ..................................................................... ........................ 132
7.3. TALESOVA TEOREMA
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 134
Zadaci za samostalan rad................................................................ 135Re{enja ..................................................................... ........................ 136
7.4. SLI^NOST TROUGLOVA
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 138
Zadaci za samostalan rad................................................................ 140
Re{enja ..................................................................... ........................ 142
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
7/21
VIII RAZRED
1. TA^KA, PRAVA I RAVAN1.1. ODNOS TA^KE I PRAVE, TA^KE I RAVNI, ODRE\ENJA PRAVE I
ODRE\ENOST RAVNI1.2. ODNOS RAVNI I PRAVE, ODNOS PRAVIH
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 151
Zadaci za samostalan rad................................................................ 154
Re{enja ..................................................................... ........................ 155
1.3. ORTOGONALNA PROJEKCIJA1.4. DIEDAR I ROGALJ
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 157
Zadaci za samostalan rad................................................................ 160
Re{enja ..................................................................... ........................ 161
2. LINEARNE JEDNA^INE I NEJEDNA^INE SA JEDNOMNEPOZNATOM
2.1. LINEARNE JEDNA^INE (OP[TI POJMOVI). EKVIVALENTNEJEDNA^INE
2.2. RE[AVANJE LINEARNE JEDNA^INE SA JEDNOM NEPOZNATOM INJENA PRIMENA
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 164Zadaci za samostalan rad................................................................ 167
Re{enja ..................................................................... ........................ 169
2.3. LINEARNE NEJEDNA^INE (OP[TI POJMOVI). EKVIVALNETNENEJEDNA^INE
2.4. RE[AVANJA LINEARNE NEJEDNA^INE SA JEDNOM NEPOZNATOM
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 176
Zadaci za samostalan rad................................................................ 177
Re{enja ..................................................................... ........................ 179
3. PRIZMA3.1. OP[TI POJMOVI
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 186
Zadaci za samostalan rad................................................................ 187
Re{enja ..................................................................... ........................ 187
3.2. POVR[INA I ZAPREMINA PRIZME
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 189
Zadaci za samostalan rad................................................................ 189
Re{enja ..................................................................... ........................ 192
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
8/21
4. PIRAMIDA4.1. OP[TI POJMOVI
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 202
Zadaci za samostalan rad................................................................ 203
Re{enja ..................................................................... ........................ 203
4.2. POVR[INA I ZAPREMINA PIRAMIDE
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 207
Zadaci za samostalan rad................................................................ 207
Re{enja ..................................................................... ........................ 209
5. LINEARNA FUNKCIJA5.1. FUNKCIJAy=kx + n
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 217
Zadaci za samostalan rad................................................................ 217
Re{enja ..................................................................... ........................ 218
5.2. GRAFIK LINEARNE I NULA FUNKCIJE
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 220
Zadaci za samostalan rad................................................................ 222
Re{enja ..................................................................... ........................ 225
5.3. GRAFI^KO PRIKAZIVANJE STATISTI^KIH PODATAKA, SREDNJEVREDNOSTI
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 234
Zadaci za samostalan rad................................................................ 235
Re{enja ..................................................................... ........................ 236
6. SISTEM LINEARNIH JEDNA^INA SA DVE NEPOZNATE6.1. RE[ENJE I EKVIVALENTNOST SISTEMA LINEARNIH JEDNA^INA
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 238
Zadaci za samostalan rad................................................................ 240
Re{enja ..................................................................... ........................ 241
6.2. GRAFI^KI NA^IN RE[AVANJA SISTEMA LINEARNIH JEDNA^INA
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 243
Zadaci za samostalan rad................................................................ 244
Re{enja ..................................................................... ........................ 245
6.3. METODE RE[AVANJA SISTEMA DVE LINEARNE JEDNA^INE SA DVENEPOZNATE
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 247
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
9/21
Zadaci za samostalan rad................................................................ 248
Re{enja ..................................................................... ........................ 249
6.4. PRIMENA SISTEMA LINEARNIH JEDNA^INA SA DVE NEPOZNATE
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 252
Zadaci za samostalan rad................................................................ 252
Re{enja ..................................................................... ........................ 253
7. VALJAK7.1. OP[TI POJMOVI
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 258Zadaci za samostalan rad................................................................ 258
Re{enja ..................................................................... ........................ 259
7.2. POVR[INA I ZAPREMINA VALJKA
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 262
Zadaci za samostalan rad................................................................ 262
Re{enja ..................................................................... ........................ 264
8. KUPA8.1. OP[TI POJMOVI
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 271Zadaci za samostalan rad................................................................ 271
Re{enja ..................................................................... ........................ 272
8.2. POVR[INA I ZAPREMINA KUPE
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 274
Zadaci za samostalan rad................................................................ 275
Re{enja ..................................................................... ........................ 276
9. LOPTA9.1. OP[TI POJMOVI
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 282Zadaci za samostalan rad................................................................ 282
Re{enja ..................................................................... ........................ 282
9.2. POVR[INA I ZAPREMINA LOPTE
Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 283
Zadaci za samostalan rad................................................................ 283
Re{enja ..................................................................... ........................ 284
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
10/21
ZA[TO I KAKO RADITI ZADATKE IZ MATEMATIKE?
Poznavanje neke nau~ne discipline ne sastoji se u tome da se zapamte ilireprodukuju opisi pojava i formulacije njihovih zakonitosti, ve} u sposobnosti da se naosnovu tih zakonitosti mogu re{avati konkretni problemi. U tome i jeste razlikaizme|u stru~nog i lai~kog znanja. Dakle, samo izradom zadataka i primenom teorijekoja prethodno mora biti usvojena ({to je preduslov da se zadaci uop{te mogu re{iti),mogu}e je kod u~enika u {kolskom procesu posti}i ono ~emu se i te`i: da se znanjekoje je usvojeno pravilno i efikasno upotrebi, da se pove`u i shvate pojmovi, da sekoriste}i postoje}e znanje iniciraju ideje za nova otkri}a itd.
Proces re{avanja zadataka u velikoj meri je sli~an istra`iva~kom radu. Sli~nost
je u tome {to se u oba slu~aja do rezultata dolazi na osnovu odgovaraju}ih znanja,uo~avanja bitnih elemenata problema, logi~kog razmi{ljanja i zaklju~aka, pri ~emu ima{ta mo`e da ima presudnu ulogu. Drugim re~ima, re{avanje zadataka - problemasadr`i u ve}oj ili manjoj meri elemente kreativnosti, {to predstavlja dodatnu, veomava`nu komponentu procesa obrazovanja.Ali, vratimo se postavljenom pitanju:kako i na koji na~in raditi zadatke iz matematike?
^itanje (i to vrlo pa`ljivo) zadataka jedan je od osnovnih preduslova da sezadatak pravilno re{i. Ponekad je potrebno zadatak pro~itati i vi{e puta da bise shvatilo {ta je u zadatku poznato, a {ta je potrebno izra~unati. Rezultatpravilnog ~itanja zadatka treba da bude shvatanje o kakvom se problemu radi,{ta je u okviru njega poznato, a {ta treba odrediti.
Pravilno postaviti zadatak, tj. navesti poznate veli~ine i njihove brojnevrednosti, kao i veli~ine kojima treba odrediti brojnu vrednost. Me|u datimveli~inama uspostaviti matemati~ke relacije ~ijim re{enjem dolazite do izrazakoji predstavlja op{te re{enje, iz koga se, zamenom brojnih podataka,izra~unava kona~an rezultat.
Nacrtati sliku kojom bi se predstavio problem, jer ona ~esto omogu}ava da semnogo lak{e vidi ono {to se "napamet" te`e shvata i primenjuje.
Biti uveren u svoje sposobnosti primene nau~enog i potvr|ivati ih na svakomkonkretnom primeru.Nadamo se da smo ovom kratkom analizom za{to i kako raditi zadatke bar
malo pomogli u te`nji da se shvati uloga i zna~aj pravilne izrade zadataka izmatematike. Jedino {to se od u~enika o~ekuje jeste da ulo`e ve}i napor da usvojena
teorijska znanja na ~asovima oplemene kroz ra~unske zadatke za samostalan rad.Unapred se radujemo njihovom uspehu.
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
11/21
5. 4. POVR[INA KRUGA
Povr{ina pravilnog mnogougla data je obrascem
P O r= 1
2,
gde je O obim pravilnog mnogougla, a rpolupre~nik upisane kru`nice.
U datom krugu (sl.6), polupre~nika r, upisan je najprejednakostrani~an trougao ABC (sa polupre~nikom upi-sanog kruga r1). Po{to se, dalje, broj stranica udvoji,dobije se pravilan {estougao (polupre~nik upisanog
kruga r2), a zatim, posle ponovnog udvajanja brojastranica, pravilan dvanaestougao (polupre~nik upisa-nog kurga r3) i tako dalje.
Iz te slike zapa`a se slede}e: kad se broj stranicapravilnog mnogougla upisanog u krugu polupre~nika
r stalno udvaja (pove}ava), onda se njegova povr{inasve manje razlikuje od povr{ine datog kruga, a polu-pre~nik kruga upisanog u mnogouglu (r1, r2, r3 . . .) odpolupre~nika r.
Ako se, dakle, zamisli da se ovo udvajanje (pove}avanje) broja stranica neograni~enonastavlja, onda se povr{ina upisanog mnogougla postepeno poklapa sa povr{inom datog
kruga, a obim upisanog mnogougla sa obimom datog kruga.Drugim re~ima, povr{ina kruga dobije se iz navedenog obrasca za povr{inu pravilnogmnogougla kad se uvrsti: O=2r.
Na taj na~in se dobije:
P r r= 1
22 ,
ili kad se skrati sa 2 i izvr{i nazna~eno mno`enje:
P=r2.
Povr{ina kruga se dobije kad se polupre~nik digne na kvadrat i dobijeni broj pomno`ise sa .
Primer 4: Izra~unati povr{inu kruga ~iji je polupre~nik r=4 dm.P=42 3,14=16 3,14=50,24 dm2.
ZADACI ZA SAMOSTALAN RAD
1. Obim kruga je: a) 18 cm b) 62,8 dm c) 11 m. Izra~unaj povr{inu kruga.2.* Odredi povr{inu kruga ~iji su merni brojevi O i P jednaki.
96 M. Kuka, V. Mijailovi} Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima
Sl. 6
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
12/21
3. Stranice pravougaonika su 4 cm i 3 cm. Odredi povr{inu kruga opisanog oko tog pra-vougaonika.
4. Od komada drveta treba ise}i najve}u kru nu plo~u. Dimenzije plo~e drveta su 120 cm i80 cm. Koliko procenata materijala je otpalo.
5. Povr{ina kruga upisanog u kvadrat je 12,56 cm2. Kolika je povr{ina kvadrata?
6. Katete pravouglog trougla su 5 cm i 12 cm. Izra~unaj:
a) Povr{inu opisanog kruga oko kvadrata;
b) Povr{inu kruga upisanog u kvadrat.
7.* Izra~unaj obim kruga u funkciji njegove povr{ine.
8.* a) Izra~unaj razliku povr{ine {estougla i upisanog
kruga u {estougao.b) Izra~unaj razliku povr{ina opisanog kruga oko{estougla i povr{ine {estougla.
9.* Izra~unaj povr{inu osen~ene figure sl.1
10. Izra~unaj povr{ine osen~enih figura:
DM = MC AB = 8 cmBN = CN AB = 4ra = 4 cm AO = OC = CO1 = O1B
11. Izra~unaj povr{ine osen~enih figura u zavisnosti od stranice kvadrata.
Krug 97
a = 4 dmb = 3 dm
Sl. 2 Sl. 3 Sl. 4 Sl. 5
Sl. 6 Sl. 7 Sl. 8
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
13/21
12. Izra~unaj povr{inu osen~ene figure u zavisnosti od stranice jednakostrani~nog trougla.
RE[ENJA
1. a) 18 = 2r b) 62,8 = 3,14 2r c) 11 = 2r 2.* 2r = r2r= 9 cm 62,8 = 6,28 r r= 5,5 m 2 = rP = r2 r= 10 dm P = 5,52 r= 2P = 81 cm2 P = 100 dm2 P = 30,25 m2
3. (sl. 13) d = a b2 2+ r=d
2= 2,5 cm
d = 16 9+ P = 2,52d = 5 cm P = 6,25 cm2
4. PPL = a b PK= r2 2r= 80PPL = 120 80 PK = 1600PPL = 9600 cm
2 PK = 5024 cm2
9600 100%5024 x
x = 52,33%100% 52,33% = 47,57% otpadak materijala
5. 6. c = a b2 2+ 7.* P = r2
c = 13 cm r2 =P
ro =c2
= 6,5 cm r= P
Po = r2 O(P) = 2r
Po = 42,25 cm2 O(P)=2 P
Pu = 4 O(P)= 2 P
ru =a b c+
2
98 M. Kuka, V. Mijailovi} Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima
r2 = 12,56r2 3,14 = 12,56r2 = 4
ru = 2 cma = 2ru = 4 cmP = 16 cm
2
Sl. 13
Sl. 9 Sl.10 Sl. 11 Sl. 12
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
14/21
8.* a) P6 Puk =
3 3
2
3 3
2
3
2
3 3
2
3
4
3
23
2
22
22
2 2 2ar
a a a a au =
= =
ra
u =3
2
b) ro = a Pok P6 = r2
3 3
2
3 3
2
3 3
2
22
22a a
aa= =
9. PF = P Po =a b hc = =
2 4
4 3
2
2 4 2 4
46 1 2 1 48
22
, ,, , cm2
r hP
c
P
a bc= = =
+=
= =
2 2 2 6
5
12
52 4
2 2,
10. a) sl.2 b) sl. 2
r= 2 cm =a
2PF =
1
2Pvelikog kruga
PP
2
3
4PF o= + P
1
2ABF = 2
PF = + 16
2
3
44 ( )PF =
1
24
2r
PF = (8 + 3) cm PF = 8 r2c) sl. 4 d) sl. 5
PP
2F = PF =
1
464
1
216
PF =a2
2PF = 16 8, PF = 8 cm2
11. a) P P1
4PF O= = =
aa
a22
2
41
4
b) Figura se sastoji od 8 odse~aka, izra~una}emopovr{inu jednog odse~ka.
P1
4P POD O= =
= 1
4 2 2 2
1
2
1
4 4 8
2 2 2a a a a a
POD = =
a a a2 2 2
16 8 8 21
PF =
=
88 2
12
12
2a a
c) P P PF O= + = +
+
a a a22
2
21
4 =
12. a) P P PF = =
1
3
3
4
1
3 2
3
4
1
3 4 43
3
2 2 2 2 2a a a a a = =
b)
( )P P P PF O= + =
=> 1
2 2
3
4
3
6
2 22
a a a +
1
2 4
3
4
3
36
2 2 2a a a +
Krug 99
Uz zad. 11b
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
15/21
PF = =
= =a a a a a a a a a2 2 2 2 2 2 2 2 2
8
3
4 12
3 3 2
24
3
24 2
+
+ 6 + 6 ( )4
3 + 6
c) PF =2
3(Pok Puk) =
2
3
3
3
3
6
2
3
3
9
3
36
2 22 2a a a a
=
ra
o =3
3r
au =
3
6
PF =2
3 3 12
2
3
4
12
2
3
3
12 6
2 2 2 2 2 2a a a a a a
=
= =
d) P P PF O= = =
1
6
1
6
3
4 6
3
42
22
aa
a
(kod PO je r = a)
5. 5. KRUG, KRU@NI ISE^AK, KRU@NI ODSE^AK, KRU@NI PRSTEN
Deo ravne povr{ine koji je ograni~en kru`nicom naziva se krug.
Kru`ni ise~ak je deo kruga ome|en sa dva polupre~nika i odgovaraju}im kru`nimlukom. Taj luk (AB, sl.7) naziva se luk kru`nog ise~ka.
Kru`ni odse~ak je deo kruga ograni~en jednom tetivom (AB, sl. 8) i odgovaraju}imkru`nim lukom (AB).
Dve kru`nice su koncentri~ne ako imaju zajedni~ko sredi{te (kao na sl.9). Dve kru`nicesa razli~itim sredi{tima su ekscentri~ne.
Deo kruga izme|u dve koncentri~ne kru`nice naziva se kru`ni prsten (sl.9).
5. 6. POVR[INA KRU@NOG ISE^KA I KRU@NOG PRSTENA
a) Povr{ina kru`nog ise~ka (sl. 5, str. 92) izra~unava se na ovaj na~in:Povr{ina (P1) kru`nog ise~ka u kome je sredi{ni ugao 1
0 iznosi 360ti deo povr{ine
kruga, dakle Pr
=2
360
.
100 M. Kuka, V. Mijailovi} Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima
Sl. 7 Sl. 8 Sl. 9
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
16/21
Povr{ina kru`nog ise~ka ~iji sredi{ni ugao iznosi stepeni ve}i je puta od P1:
P =r2
360
.
Primer 5: Izra~unati povr{inu kru`nog ise~ka ~iji je polupre~nik r=2 dm, a sredi{ni ugao = 80
P = =4 3 1 4 8 0
3602 78
,, dm2.
Kru`ni prsten je deo ravni ograni~en sa dve koncentri~nekru`nice, to jest sa dve kru`nice koje imaju zajedni~ko
sredi{te (sl.10).Ako je polupre~nik manje kru`nice r, a ve}e R, onda jepovr{ina kru`nog prstena, jednaka razlici povr{ina datihkrugova: P=R2 r2, {to se obi~no pi{e u obliku:
P= (R2r2).
Primer 6: Izra~unati povr{inu kru`nog prstena ako je
r=1 dm, R=21
2dm.
P=3,14(2,5212)=3,14 5,25=16,4856 dm2.
ZADACI ZA SAMOSTALAN RAD
1. Izra~unaj povr{inu kru`nog ise~ka ako je:a) r= 3 cm = 60 b) r= 1 dm = 72
2. Izra~unaj povr{inu i obim kru`nog ise~ka kome odgovara centralni ugao od 120, ar= 16 cm.
3. Izra~unaj centralni ugao ako je:a) povr{ina ise~ka a r= 4 cm.b) povr{ina ise~ka je , = 90, izra~unaj r.
4. Oko kvadrata stranice a = 4 cm opisan je i upisan krug. Izra~unaj povr{inu dobijenogprstena.
5. Oko jednakostrani~nog trougla stranicea = 6 cm opi-san je i upisan krug. Izra~unaj povr{inu prstena.
6.* Oko pravilnog {estougla stranice a opisan je i upisankrug. Izra~unaj povr{inu dobijenog prstena u funk-ciji stranice a.
7.* Izrazi povr{inu osen~ene figure(sl. 1) u funkciji stra-nice a.
Krug 101
Sl. 10
Sl. 1
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
17/21
8. Izra~unaj povr{inu osen~enog dela kru`nog prstena (sl. 2). = 60 OA = 5 cm OC = 2 cm
9. Izra~unaj povr{inu i obim odse~ka (sl. 3), ako jeAO = 4 cm. AOB = 60
10.*Ako je stranica kvadrata ABCD, 10 cm, odredi povr{inu osen~enog dela figure (sl. 4).
RE[ENJA
1. a) Pisr
= = =2
360
9 60
360
3
2
cm2 b) P = = =
r2
360
1 72
360 5
cm2
2. Pisr
= = =2
360
256 120
360
256
3
cm2
O = 2r+ l = 2 16 +16 120
18032 1
3
= +
cm
3. a) = 16
360b) = 90
2r 360
360 = 16 14
=2r
=90
4
r2 = 4
= 22 30' r= 2 cm
4. rd
o =2
4 2
22 2= = cm
ra
u =2
2= cm
( ) ( )Ppr o ur r= =
2 22
2
2 2 2
Ppr = 4
5. ra
o =3
3
6 3
32 3= = cm
ra
u =3
6
6 3
63= = cm
( ) ( )Ppr o ur r= = 2 2 4 3 3 9 =
102 M. Kuka, V. Mijailovi} Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima
Sl. 2 Sl.3 Sl. 4
Sl. 5
Sl. 6
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
18/21
6. r ha
u = =3
2cm
ro = a
( )Ppr o ur r a a a a= = 2 2 2 2 223
4
1
4 4
= =
7. sl. 1 PF = P. Pis =a a2 23
2
60
360
PF = ( )3 36 6 6
3 32 2 2a a a
=
* Romb ~iji je jedan ugao 60 sastoji se od 2 jednakostrani~na trougla pa je
P.=
2 3
4
3
2
2 2a a
=8. sl. 2 PF = ( ) ( )1
6
1
6
1
625 4
21
6
7
2P OA OC2 2pr = = = =
9. sl. 3 POD = Pis P =16 60
360
16 3
4
8
34 3
=
POD = 42
33
cm2 OOD = AB + l = 4 +4 60
180
AB = OA = OB OOD =44
34 1
3+ = +
cm
10.*sl. 4 PF = 2Pis = 2360 180
100 45
18025
2 2
=
=
=r r
cm2
= 45r= 10 cm
KRUG razni zadaci
1.* Izra~unaj povr{inu osen~ene figure (sl. 1) u funkciji stranice kvadrata (a).2.* Izra~unaj povr{inu i obim osen~ene figure (sl. 2) u funkciji stranica pravougaonikaa
i b, a = 2b.3. Kvadrat na slici 3 izdeljen je na 3 dela. Izrazi u procentima povr{ine svakog dela u
odnosu na povr{inu kvadrata.
Krug 103
Sl. 1 Sl. 2 Sl.3
Sl. 7
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
19/21
4. Izra~unaj povr{inu i obim igrali{taprikazanog na sl. 4.AB = 100 mBC = 50 m
5. Izra~unaj povr{inu i obim osen~ene figuresa slike 5. = 22 30'OA = 1 cm
6.* Tri podudarna kruga dodiruju se spolja. Izra~unati povr{inu dela izme|u krugova ufunkciji r.
7. Izra~unaj povr{inu i obim figure (slika 6.)8.* Doka`i da je:
PS1 + PS2 = P ACB (sl.7) ("Hipokritovi mese~i}i")
RE[ENJA
1. PF = Podse~ka (ograni~enim tetivom DB i lukom DB, jer jepolovina figure P1 jednaka odse~ku DR DR).
PF =1
4P PDAB =
1
4 22
2
aa
PF = ( )a a a2 2 2
4
2
4 4
2 =
104 M. Kuka, V. Mijailovi} Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima
Sl. 4
Sl. 5
Sl. 6 Sl. 7
Sl. 1
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
20/21
2. sl. 2 PF =1
2PO+ Po + (P 2 Pods) =
1
2 2 2
1
2
2 22a b ab b
+
+
(a = 2b) PF =1
2
2
2 42
1
2
2 22b b b b b
+ +
PF =b b
b b2 2
2 2
2 42
1
2 + +
PF = b2
42
+
3. sl. 3 P1 = 50% povr{ine kvadrata jer je P1 =a 2
2
, P = a2
a
a
2
2
2
1
1
2
50= = %
P2 = ( )a a a2 2 2
4 2 4 2 =
( )P
P
a
a
2
2
2
4
1
428 5= = =
2 2, %
P3 = aa
a22
2
41
4 =
100% (50% + 28,5%) = 21,5%
4. P = P + PO+Po = AB BC +AB
2
BC
2
2
+
2
P = 100 50 + 50 2 + 252 = 5000 + 2500 + 625 = 5000 + 3125
P = 25 (200 + 125) = 125 (40 + 25) = 625 (8 + 5) m2
OF = OO + Oo = 2r1 + 2r2 = 2 50 +2 25 = 100 +50 =150 m
5. r= OA = 1 cm = 22 30'
PF = PO + Pis =rr2
2
360
22 30
360 16
15
16
=
= =
'cm2
6. O1O2O3 je jednakostrani~an a = 2r
PF = P 1
2P =
ar
r r2 22 23
4
1
2
4 3
4 2 =
PF = r2 3
2
cm2
7. AB = 2; MN = NP = PQ = QM = 2~etvorougao MNPQ je kvadratPF = PMNPQ povr{ina kruga upisanog u
kvadrat MNPQ = 4 ise~ka r=2
2
PF = ( )2 22
22
42
2
22
= =
Krug 105
Sl. 8
7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII
21/21
8.* Ako "mese~i}e" dopunimo odse~cima 1 i 2 dobi}emo dva polukruga konstruisananad katetama a i b i imamo polukrug nad hipotenuzom. Iz toga sledi:
P PS S1 1+ =
+
+1
2 2 2 2 2
2 2 2a b c ab
= P
= +
+
2 4 4 4 2
2 2 2a b c ab
= P
=+
+2 4 4 2
2 2 2a b c ab= P
=
+
2 4 4 2
2 2c c ab
= P
0 +ab
2= P
ab
2= P T
106 M. Kuka, V. Mijailovi} Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima