Γραμμική ΄Αλγεβρα

Μη-τετραγωνικά συστήματα - Υπολογισμός λύσεων

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

24 Οκτωβρίου 2014

Προσοχή

Απο εδώ και πέρα έχουμε

n 6=m

΄Ανω κλιμακωτός πίνακας

΄Ενας πίνακας είναι σε άνω κλιμακωτή μορφή αν

Ï όλες οι μηδενικές σειρές του βρίσκονται στον κάτω μέρος του,και

Ï το πρώτο μη-μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής, το οποίολέγεται οδηγό στοιχείο, βρίσκεται στα δεξιά του οδηγού

στοιχείου της προηγούμενης γραμμής.

Παράδειγμα: $ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 $ ∗ ∗ ∗ ∗0 0 0 $ ∗ ∗0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

$ = μη-μηδενικό στοιχείο ή οδηγό στοιχείο, * = οτιδήποτεστοιχείο

΄Ανω κλιμακωτός πίνακας

΄Ενας πίνακας είναι σε άνω κλιμακωτή μορφή αν

Ï όλες οι μηδενικές σειρές του βρίσκονται στον κάτω μέρος του,και

Ï το πρώτο μη-μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής, το οποίολέγεται οδηγό στοιχείο, βρίσκεται στα δεξιά του οδηγού

στοιχείου της προηγούμενης γραμμής.

Παράδειγμα: $ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 $ ∗ ∗ ∗ ∗0 0 0 $ ∗ ∗0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

$ = μη-μηδενικό στοιχείο ή οδηγό στοιχείο, * = οτιδήποτεστοιχείο

΄Ανω κλιμακωτός πίνακας

΄Ενας πίνακας είναι σε άνω κλιμακωτή μορφή αν

Ï όλες οι μηδενικές σειρές του βρίσκονται στον κάτω μέρος του,και

Ï το πρώτο μη-μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής, το οποίολέγεται οδηγό στοιχείο, βρίσκεται στα δεξιά του οδηγού

στοιχείου της προηγούμενης γραμμής.

Παράδειγμα: $ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 $ ∗ ∗ ∗ ∗0 0 0 $ ∗ ∗0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

$ = μη-μηδενικό στοιχείο ή οδηγό στοιχείο, * = οτιδήποτεστοιχείο

΄Ανω κλιμακωτός πίνακας

΄Ενας πίνακας είναι σε άνω κλιμακωτή μορφή αν

Ï όλες οι μηδενικές σειρές του βρίσκονται στον κάτω μέρος του,και

Ï το πρώτο μη-μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής, το οποίολέγεται οδηγό στοιχείο, βρίσκεται στα δεξιά του οδηγού

στοιχείου της προηγούμενης γραμμής.

Παράδειγμα: $ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 $ ∗ ∗ ∗ ∗0 0 0 $ ∗ ∗0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

$ = μη-μηδενικό στοιχείο ή οδηγό στοιχείο, * = οτιδήποτεστοιχείο

Παράδειγμα

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 6 2

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 0 0

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

= 1 0 0

2 1 0−1 2 1

1 3 3 20 0 3 10 0 0 0

Παράδειγμα

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 6 2

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 0 0

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

= 1 0 0

2 1 0−1 2 1

1 3 3 20 0 3 10 0 0 0

Παράδειγμα

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 6 2

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 0 0

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

=

1 0 02 1 0−1 2 1

1 3 3 20 0 3 10 0 0 0

Παράδειγμα

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 6 2

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 0 0

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

= 1 0 0

2 1 0−1 2 1

1 3 3 20 0 3 10 0 0 0

Παράδειγμα

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 6 2

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 0 0

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

= 1 0 0

2 1 0−1 2 1

1 3 3 20 0 3 10 0 0 0

Παραγοντοποίηση A=PLU (n 6=m)

Κάθε n×m πίνακας A μπορεί να αναλυθεί σεγινόμενο ενός πίνακα αντιμετάθεσης P, ενός κάτωτριγωνικού πίνακα L με μονάδες στην διαγώνιο καιενός άνω κλιμακωτού πίνακα U.

Ï Ο P καθορίζεται απο τις εναλλαγές γραμμών πουαπαιτεί η διαδικασία της απαλοιφής με οδήγηση.

Ï Ο L έχει τους πολλαπλασιαστές της απαλοιφήςκάτω απο την διαγώνιο.

Ï Ο U τα στοιχεία του A όπως αυτά προκύπτουνμετά την απαλοιφή.

Ορισμοί

xγενικη: όλες οι λύσεις του Ax= b

xoµoγενoυς: όλες οι λύσεις του Ax= 0xειδικη: μια οποιαδήποτε λύση του

Ax= bΕλεύθερες μεταβλητές: όλες οι

συνιστώσες της λύσης που

δεν αντιστοιχούν σε στήλη

με οδηγό.

Ορισμοί

xγενικη: όλες οι λύσεις του Ax= bxoµoγενoυς: όλες οι λύσεις του Ax= 0

xειδικη: μια οποιαδήποτε λύση τουAx= b

Ελεύθερες μεταβλητές: όλες οι

συνιστώσες της λύσης που

δεν αντιστοιχούν σε στήλη

με οδηγό.

Ορισμοί

xγενικη: όλες οι λύσεις του Ax= bxoµoγενoυς: όλες οι λύσεις του Ax= 0xειδικη: μια οποιαδήποτε λύση του

Ax= b

Ελεύθερες μεταβλητές: όλες οι

συνιστώσες της λύσης που

δεν αντιστοιχούν σε στήλη

με οδηγό.

Ορισμοί

xγενικη: όλες οι λύσεις του Ax= bxoµoγενoυς: όλες οι λύσεις του Ax= 0xειδικη: μια οποιαδήποτε λύση του

Ax= bΕλεύθερες μεταβλητές: όλες οι

συνιστώσες της λύσης που

δεν αντιστοιχούν σε στήλη

με οδηγό.

Υπολογισμός Γενικευμένης Λύσης Ax= b

1. Απαλοιφή στο Ax= b (Ax= b⇒Ux= c)

2. Μηδένισε τις ελεύθερες μεταβλητές και λύσε

(xειδικη)3. Θέσε b= 0 και διαδοχικά, σε κάθε ελεύθερημεταβλητή 1 θέτοντας ταυτόχρονα τις υπόλοιπες

μεταβλητές ίσες με 0 και βρες μια ομογενή λύση

(xoµoγενoυς)

4. xγενικη = xειδικη+xoµoγενoυς

Υπολογισμός Γενικευμένης Λύσης Ax= b

1. Απαλοιφή στο Ax= b (Ax= b⇒Ux= c)2. Μηδένισε τις ελεύθερες μεταβλητές και λύσε

(xειδικη)

3. Θέσε b= 0 και διαδοχικά, σε κάθε ελεύθερημεταβλητή 1 θέτοντας ταυτόχρονα τις υπόλοιπες

μεταβλητές ίσες με 0 και βρες μια ομογενή λύση

(xoµoγενoυς)

4. xγενικη = xειδικη+xoµoγενoυς

Υπολογισμός Γενικευμένης Λύσης Ax= b

1. Απαλοιφή στο Ax= b (Ax= b⇒Ux= c)2. Μηδένισε τις ελεύθερες μεταβλητές και λύσε

(xειδικη)3. Θέσε b= 0 και διαδοχικά, σε κάθε ελεύθερημεταβλητή 1 θέτοντας ταυτόχρονα τις υπόλοιπες

μεταβλητές ίσες με 0 και βρες μια ομογενή λύση

(xoµoγενoυς)

4. xγενικη = xειδικη+xoµoγενoυς

Υπολογισμός Γενικευμένης Λύσης Ax= b

1. Απαλοιφή στο Ax= b (Ax= b⇒Ux= c)2. Μηδένισε τις ελεύθερες μεταβλητές και λύσε

(xειδικη)3. Θέσε b= 0 και διαδοχικά, σε κάθε ελεύθερημεταβλητή 1 θέτοντας ταυτόχρονα τις υπόλοιπες

μεταβλητές ίσες με 0 και βρες μια ομογενή λύση

(xoµoγενoυς)

4. xγενικη = xειδικη+xoµoγενoυς

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

→ 1 0 0

0 1 01 1 1

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

=0

00

⇒

Λύσεις ομογενούς

s1 =

−3

1000

,s2 =

−2

0−4

10

,s3 =

10301

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

→ 1 0 0

0 1 01 1 1

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

=0

00

⇒

Λύσεις ομογενούς

s1 =

−3

1000

,s2 =

−2

0−4

10

,s3 =

10301

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

→ 1 0 0

0 1 01 1 1

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

=0

00

⇒

Λύσεις ομογενούς

s1 =

−3

1000

,s2 =

−2

0−4

10

,s3 =

10301

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

→ 1 0 0

0 1 01 1 1

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

=0

00

⇒

Λύσεις ομογενούς

s1 =

−3

1000

,

s2 =

−2

0−4

10

,s3 =

10301

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

→ 1 0 0

0 1 01 1 1

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

=0

00

⇒

Λύσεις ομογενούς

s1 =

−3

1000

,s2 =

−2

0−4

10

,s3 =

10301

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

x=5

27

1 0 0

0 1 01 1 1

y1y2y3

=5

27

→y1

y2y3

=5

20

1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

=5

20

xειδικη =

x1x2x3x4x5

=

50200

⇒

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

x=5

27

1 0 0

0 1 01 1 1

y1y2y3

=5

27

→y1

y2y3

=5

20

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

=5

20

xειδικη =

x1x2x3x4x5

=

50200

⇒

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

x=5

27

1 0 0

0 1 01 1 1

y1y2y3

=5

27

→y1

y2y3

=5

20

1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

=5

20

xειδικη =

x1x2x3x4x5

=

50200

⇒

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

x=5

27

1 0 0

0 1 01 1 1

y1y2y3

=5

27

→y1

y2y3

=5

20

1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

=5

20

xειδικη =

x1x2x3x4x5

=

50200

⇒

xγενικη = xειδικη+xoµoγενoυς

xγενικη = c1

−3

1000

+c2

−2

0−4

10

+c3

10301

+

50200

xγενικη = xειδικη+xoµoγενoυς

xγενικη = c1

−3

1000

+c2

−2

0−4

10

+c3

10301

+

50200

xγενικη = xειδικη+xoµoγενoυς

xγενικη = c1

−3

1000

+c2

−2

0−4

10

+c3

10301

+

50200