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Hierarchical Graph-Drawing
Eine Technik für das Zeichnen gerichteter Graphen
Referent: Benjamin Stähr
Autoren des Quelltextes: Gansner, Koutsofios, North, Vo
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Inhalt
1. Einführung in das Thema „Zeichnen von gerichteten Graphen“
2. Ein Überblick über die Technik
3. Optimale Schichtzuweisung
4. Knotenreihenfolge in Schichten
5. Knotenkoordinaten
6. Kanten zeichnen
7. Zusammenfassung und Ausblick
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Ästhetische Zeichenkriterien
Hierarchische Struktur hervorheben
Wenn möglich zeigen alle Kanten in die gleiche allgemeine Richtung
Erleichtert es gerichtete Pfade zu finden und hebt Quellen und Senken hervor
Q
S
Q
S
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Ästhetische Zeichenkriterien
Vermeide optische Anomalien
z.B. Kantenüberschneidungen und scharfe Knicke in Kanten sind zu
vermeiden
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Ästhetische Zeichenkriterien
• Zeichne möglichst kurze Kanten
Vereinfacht das Finden verwandter Knoten
Konform zur Vermeidung optischer Anomalien
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Ästhetische Zeichenkriterien
• Bevorzuge Symmetrie und Balance
spielt nur sekundäre Rolle
wird an einigen wenigen Stellen des vorgestellten Algorithmus verwendet
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Ästhetische Zeichenkriterien
Es ist unmöglich alle diese Kriterien gleichzeitig zu optimieren
Entwurf von schnellen Heuristiken, die in vielen Fällen gute Layouts produzieren
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Problemstellung
• Eingabe ist ein gerichteter Graph G = (V,E)– Enthält evtl. Kreise und Mehrfachkanten– o.B.d.A. ist G zusammenhängend– Die Attribute des Graphen sind:
xsize(v),ysize(v): Größe einer den Knoten v umgebenden Bounding Box
v ysize(v)
xsize(v)
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Problemstellung
nodesep(G): Minimaler horizontaler Abstand zwischen zwei Knotenboxen
ranksep(G): Minimaler vertikaler Abstand zwischen zwei Knotenboxen
w(e): Kantengewicht der Kante e
u v
nodesep(G)
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Ein Überblick über den Algorithmus
• Jedem Knoten v wird ein Rechteck mit den Mittelpunktkoordinaten (x(v),y(v)) zugewiesen
• Jeder Kante e wird eine Reihe von B-Spline Kontrollpunkten (x0(e),y0(e)),...,(xn(e),yn(e)) zugewiesen
• Layout hauptsächlich nach den vier ästhetischen Zeichenkriterien
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Ein Überblick über den Algorithmus
Die vier Phasen des Algorithmus sind:1. Rank: weist jedem Knoten eine Schicht
im Graphen zu2. Ordering: setzt die Reihenfolge der
Knoten innerhalb jeder Schicht3. Position: weist jedem Knoten seine
absoluten Koordinaten zu4. Make Splines: Zeichnet die Kanten des
Graphen
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3. Optimale Schichtzuweisung
• „Rank“ weist jedem Knoten eine ganzzahlige Schicht zu
• Hier muss evtl. min. Längenbeschränkung
beachtet werden
v G( )v
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Den Graph azyklisch machen
• Für eindeutige Schichtzuweisung muss ein Graph azyklisch sein
• Azyklisch machen Kreise brechen durch temporäre Umkehrung von Kanten
• DFS partitioniert den Graphen in Baumkanten und Nicht-Baumkanten
• Nicht-Baumkanten in Cross-, Forward- und Backkanten
• Durch umkehren von Backkanten Graph kreisfrei
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Den Graph azyklisch machen
• Sinnvoll wäre es ein kleines oder minimales Kantenset umzudrehen
• „Feedback Arc Set“ jedoch leider NP-vollst.
• Lösung: DFS-Heuristik, welche Kanten umdreht, die in vielen Kreisen enthalten sind
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Baumkante
Backkante
Crosskante
Forwardkante
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Problem Definition
• Nach Ästhetischen Zeichenkriterien ist ein Ziel des Algos kurze Kanten zu zeichnen
• Gewünscht also optimale Schichtzuweisung z.B. mit min. Gesamtkantenlänge
• ILP:
u.d.N.:• Gewichtsfkt.
( , )
min ( , )( ( ) ( ))v w E
v w w v
( ) ( ) 1w v
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Netzwerk Simplex
• Worstcase-Laufzeit nicht polynomiell, aber in der Praxis sehr schnell
• Definitionen:– Feasible: Schichtzuweisung erfüllt die min.
Längenbedingungen – Slack: Differenz der aktuellen und
minimalen Länge einer Kante– Tight: Kante deren Slack = 0 ist
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Netzwerk Simplex
Erzeugung einer Schichtzuweisung durch einen
Spannbaum des Graphen:– Wähle Startknoten, weise ihm eine Schicht
zu– Nachbarknoten erhält den Wert eines
bewerteten Knoten +/- der min. Länge der sie verbindenden Kante, je nach Kantenrichtung
– Fortfahren bis alle Knoten eine Schichtzuweisung haben
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Netzwerk Simplex
• Ein Spannbaum ist feasible, wenn seine Schichtzuweisung feasible ist
• Alle Kanten im eben erzeugten Spannbaum sind tight
• Der Wert eines „Schnittes“ (bekannt aus EA) durch den Graphen ist s =
( , ), ,
( , )u v u Q v S
u v
2
4
11
5
s = 6
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Netzwerk Simplex
Für jede Spannbaumkante wird der Wert eines
Schnittes ermittelt. Dabei wird die Kante
eleminiert und der Spannbaum bricht dadurch
in Quellen- und Senkenkomponente
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Netzwerk Simplex
• Normalerweise impliziert ein negativer Wert eines Schnittes, dass die gewichtete Kantenlänge - durch Verlängerung der Baumkante bis eine der anderen Kanten tight wird - reduziert werden kann
• Diese wird neue Baumkante
• Dadurch neuer feasible Spannbaum
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Netzwerk Simplex
• Baumkanten mit negativen Schnittwerten werden durch Nicht-Baumkanten ersetzt, bis die Baumkanten pos. Schnittwerte haben
• Theoretisch wird eine Anti-Zyklen-Technik benötigt, um endl. Laufzeit zu garantieren
• Der resultierende Spannbaum entspricht einer opt. Schichtzuweisung
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4. Knotenreihenfolge in Rängen
• Kanten zwischen Knoten, die mehr als einen Rang auseinander liegen werden ersetzt durch Kantenketten mit jeweils Länge 1,virtuelle Knoten werden hinzugefügt
• Reflexive Kanten werden ignoriert• Multi-Kanten werden vereinigt• Es werden Heuristiken benutzt, da bereits für
zwei Schichten minimieren der Kantenüberschneidungen NP-vollst. Ist
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Lösungsschema
• Startsortierungen werden errechnet• Iterationssequenz um Reihenfolgen zu
verbessern– Jede Iteration geht von der ersten bis zur
letzten Schicht vor, oder umgekehrt– Jeder Knoten erhält eine Gewichtung
aufgrund der relativen Position der mit ihm verbundenen Knoten auf der vorhergehenden Schicht
– Danach werden die Schichten neu sortiert
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LösungsschemaPopuläre Gewichtsfunktionen:• Barycenter:
– Definiert das Gewicht eines Knoten v als den Durchschnitt der Ordnungszahlen der Knoten der letzten Schicht, die mit v verbunden sind.
• Median:– Wie Barycenter, allerdings wird der Median
der Ordnungszahlen verwendet.– Liefert bessere Ergebnisse,
Approximationsfaktor von 3
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Lösungsschema
• Hier benutzte Methode basiert auf Median• Wenn zwei Mediane existieren wird
interpolierter Wert verwendet, der die Seite mit dichter gepackten Knoten bevorzugt
• Zus. Heuristik für lokales Optimum (20% - 50% weniger Kreuzungen)
a b
c d
ab
c d
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5. Knotenkoordinaten• Jeder Knoten erhält in diesem Schritt x- und
y-Koordinaten
• LP:
u.d.N.:
dabei:
• : Interne Gewichtung um das Zeichnen langer, gerader Kanten zu bevorzugen
( , )
min ( ) ( ) w ve v w
e e x x
( , )b ax x a b
( ) ( )( , ) ( )
2
xsize a xsize ba b nodesep G
( )e
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Kantentypen
1. Beide Knoten der Kante sind reale Knoten
2. Ein Knoten ist realer, einer virtueller Knoten
3. Beide Knoten sind virtuelle Knoten
Seien e,f,g Kanten der drei Typen, dann gilt:
( ) ( ) ( )e f g
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Lösung mit Simplex Verfahren
• Resultierendes LP ist total unimodular und kann daher in einem Schritt per Simplex gelöst werden
• Transformation bläht den Graphen leider auf Größe |V| |E| + |E²| auf
Große Graphen können nicht mehr mit effizientem Platzbedarf gespeichert werden
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Heuristischer AnsatzEigentlich Iterationen folgender Heuristiken1. Medianpos:
2. Minedge: ähnlich, nur für reale Knoten2. Minnode: Lokale Optimierung obiger
Methoden3. Minpath: Begradigt Ketten
virtueller Knoten(Spaghetti-Effekt verhindern)
4. Packcut: Zeichnet Knoten möglichst kompakt
8
8
2
3
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Simplex verbessern• Heuristik ist leider schwer zu implementieren
und arbeitet oft suboptimal doch wieder Simplex
• Idee: Simplex aus 3. wiederverwenden und x-Koordinaten als Schichten ansehen
• Dazu muss G in einen Hilfsgraph G‘ transformiert werden
v w
u
v w
u
e
ev
eu
e(v,w)
e
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Simplex verbessern
• Optimale Lösung für G‘ induziert optimale Lösung für G
• Es sind Verbesserungen möglich, die den Simplex um ca. 500 bis 1000% beschleunigen
• Damit schneller als heuristische Lösung
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Weiterführende TechnikenNeuerer Algorithmus nach Buchheim, Jünger und Leipert (1999)
• Verhindert spätere Bildung eines Spaghetti-Effekts in den Kanten
• Möglich dadurch, dass jede Kante nur zwei Knicke hat und dazwischen vertikal verläuft
• Lösungsansätze heuristisch und mit Simplex möglich, den hier vorgestellten Ansätzen recht ähnlich
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6. Kanten zeichnen• Kanten zwischen Knoten werden am
einfachsten durch jeweils alle virtuellen Knoten gezeichnet
• Nachteil: Übersichtlichkeit leidet etwas, Graph ist optisch nicht perfekt
• Lösung: Verwendung von Splines
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Berechnung von Splines
B5 BB5
p0
p1
p2
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7. Zusammenfassung und Ausblick • Der vorgestellte Algorithmus ist klar
strukturiert und programmiertechnisch gut umsetzbar
• Sowohl Laufzeit als auch Zeichenergebnis sind zufriedenstellend
• Splines müssten nicht benutzt werden, wenn ein anderer Ansatz zur Berechnung der x,y-Koordinaten gewählt würde
• Evtl. wäre „Kommunikation“ zwischen den einzelnen Schritten wünschenswert um Ergebnis zu verbessern