Aljabar
AljabarMateri Kuliah Aljabar 2013
c©Copyright 2013
Jurusan Matematika-MIPAInstitut Teknologi Sepuluh Nopember,
Surabaya
10 Pebruari 2013
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Daftar Isi
1 Pengertian Grup2 Subgrup3 Koset4 Teorema Isomorpisma5 Tindakan Suatu grup G pada X 6= ∅6 Grup Permutasi7 Internal Direct Product dan Struktur Grup8 Ring, Daerah Integral dan Lapangan9 Ring Polinomial10 Faktorisasi Tunggal
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Abstrak
Abstrak
Abstrak
Dalam catatan kuliah ini diberikan beberapa materi dari matakuliah aljabar untuk program sarjana S2 jurusan matematikaFMIPA-ITS. Materi kuliah berupa perencanaan yang disajikan agarmempermudah peserta ajar dalam proses belajar mengajar. Pesertaajar diharapkan mempersiapkan diri melalui pemahaman yangdipunyai sebelumnya dan menambah kekurangan pemahamanpengetahuannya yang dirasa kurang saat proses belajar mengajar dikelas. Juga agar mempermudah proses belajar mengajar digunakanalat bantu perangkat lunak SageMath versi 5.0.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Rencana Materi Kuliah
Rencana Materi Kuliah
Pengertian suatu grup, contoh-contoh dan sifat-sifat.
Pengertian Subgrup, contoh-contoh dan sifat-sifat.
Pengertian koset kiri dan koset kanan, grup faktor (grupkuasi) dan contoh-contoh.
Grup permutasi contoh-contoh dan sifat-sifat.
Homomorpisma, Isomorpisma grup, contoh-contoh dan sifat
Tindakan suatu grup contoh-contoh dan sifat-sifat.
Internal Direct Product Group dan Struktur Group.
Ring, Field, Daerah Integral dan Polinomial atas Ring.
Daerah Ideal Utama dan Daerah Euclid.
Daerah Faktorisasi Tunggal.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Pengertian Grup
Grup
Suatu grup adalah suatu himpunan G 6= ∅ bersama-sama dengansuatu operasi biner ∗ : G × G → G yang biasanya dinotasikan oleha ∗ b sedemikian hingga sifat-sifat berikut dipenuhi:
1. (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) untuk semua a, b, c ∈ G .
2. Ada e ∈ G , sedemikian hingga e ∗ g = g = g ∗ e untuk semuag ∈ G .
3. Untuk setiap g ∈ G ada g−1 yang memenuhig ∗ g−1 = e = g−1 ∗ g .
Tambahan pula, bila masih memenuhi a ∗ b = b ∗ a untuk semuaa, b ∈ G , maka grup G dinamakan grup abelian/komutatif.Komentar dan diskusi?
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Pengertian Grup
Contoh-Contoh
1. Himpunan-himpunan bilangan bulat Z, bilangan rasional Q,bilangan riil R dan bilangan kompleks C bersama-samaoperasi biner penambahan merupakan grup komutatif.
2. Himpunan bilangan Q− {0} dengan operasi biner perkalianmerupakan grup abelian.
3. Himpunan GL(n,R) matriks nonsingular n× n dengan operasiperkalian matriks merupakan grup tak-komutatif.
4. Himpunan matriks n × n dengan determinan sama dengan 1(SL(n,R)) bersama-sama dengan operasi biner perkalianmatriks merupakan grup tak-komutatif.
5. Misalkan S = {1, 2, . . . n} dan Sn adalah himpunan darisemua fungsi satu-satu pada f : S → S . Maka Sn denganoperasi komposisi fungsi merupakan suatu grup, grup inidinamakan suatu grup permutasi.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Pengertian Grup
Lanjutan Contoh-Contoh
6. Diberikan grup G = {e, a, b, c} dengan operasi biner diberikanoleh tabel berikut
∗ e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
Dari tabel diatas, terlihat bahwa G adalah grup komutatifdengan elemen netral e. Setiap elemen punya invers:a−1 = a, b−1 = b dan c−1 = c .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Pengertian Grup
Contoh 7
Diberikan himpunan Z6 ={
e2πn | n = 0, 1, 2, 3, 4, 5
}
adalah
himpunan bilangan kompleks denga |z | = 1 untuk semua z ∈ Z6.Dalam gambar berikut z ∈ Z6 digambarkan sebagai titik berwarnamerah.
1−1
b
b
b
b b
b2π6
Dengan operasi perkalian Z6 adalah grup komutatif dengan elemennetral 1.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Pengertian Grup
Lanjutan Contoh
8. Himpunan Zn bilangan bulat modulo n dengan operasi biner penambahanmerupkan grup komutatif.
9. Himpunan Zp − {[0]} bilangan bulat modulo p dengan p bilangan primabersama-sama dengan operasi biner perkalian merupakan grup abelian.
10. Himpunan
H =
{(
1 a
0 1
)∣
∣
∣
∣
a ∈ Z
}
dengan operasi perkalian matriks merupakan suatu grup.
11. Himpunan Zn = {(a1, a2, . . . , an) | ai ∈ Z} dengan operasi biner tambah
didefinisikan oleh(a1, a2, . . . , an) + (b1, b2, . . . , bn)
def= (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn) adalah
suatu grup.
12. Himpunan {1,−1, i ,−i} dengan i =√−1 dan himpunan
{z ∈ C | |z | = 1} dengan operasi kali adalah grup.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Pengertian Grup
Beberapa Sifat Grup
Catatan : Untuk sederhananya penulisan a ∗ b cukup ditulis ab, penulisan suatugrup G dengan operasi biner ∗ biasanya ditulis (G , ∗) cukup ditulis grup G .
Beberapa sifat suatu grup
Penghapusan kurung, dikarenakan operasi biner ∗ adalah assosiatif, makapenulisan (a ∗ b) ∗ (c ∗ d) = ((a ∗ b) ∗ c) ∗ d = (a ∗ (b ∗ c)) ∗ d ditulisa ∗ b ∗ c ∗ d . Misalkan n > 3 dan g , h ∈ G dengan
g = (g1 · · · gi )(gi+1 · · · gn), h = (g1 · · · gj )(gj+1 · · · gn).Tanpa mengurangi generalitas, misalkan i ≤ j untuk i = j jelas g = h. Jadi,misalkan i < j , maka kurung dapat disusun sebagai berikut
g = (g1 · · · gi ) ((gi+1 · · · gj )(gj+1 · · · gn)) ,h = ((g1 · · · gi )(gi+1 · · · gj )) (gj+1 · · · gn).
Misalkan A = (g1 · · · gi ),B = (gi+1 · · · gj ),C = (gj+1 · · · gn), didapatg = A(BC) = (AB)C = h.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Pengertian Grup
Sifat
Sifat
Misalkan G suatu grup, maka :
(1.) Elemen netral e ∈ G adalah tunggal.
(2.) Untuk setiap a ∈ G invers dari a yaitu a−1 = b adalahtunggal.
Bukti
(1.) Misalkan e1 juga elemen netral di G , maka e1 = e1e = e. Jadielemen netral tunggal.(2.) Misalkan b1 juga invers dari a, maka ab = ba = e danab1 = b1a = e. Didapat b = eb = (b1a)b = b1(ab) = b1e = b1.Dengan demikian elemen invers adalah tunggal.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Pengertian Grup
Lanjutan Sifat
Sifat
Misalkan G suatu grup:
(3.) Bila a, b ∈ G maka ada dengan tunggal x dan y sehinggaax = b dan ya = b.
(4.) Bila gx = gy , maka x = y untuk g , x , y ∈ G .
(5.) Bila xg = yg , maka x = y untuk g , x , y ∈ G .
(6.) Bila a, b ∈ G , maka berlaku (ab)−1 = b−1a−1
(7.) Untuk semua g ∈ G , berlaku (g−1)−1 = g .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Pengertian Grup
Bukti Sifat (3.)-(7.)
Bukti
(3.) Bila ax0 = b, maka a−1(ax0) = a−1b. Sehingga didapat x0 = a−1b.Sebaliknya bila x = a−1b, maka ax = a(a−1b) atau ax = b. Jadipersamaan ax = b mempunyai penyelesaian tunggal x = a−1b. Dengancara serupa bisa ditunjukkan bahwa ya = b mempunyai penyelesaiantunggal y = ba−1.
(4.) Dari persamaan gx = gy kedua ruas kalikan dari kiri dengan g−1, didapatx = y.
(5.) Dari persamaan xg = yg kedua ruas kalikan dari kanan dengan g−1,didapat x = y.
(6.) Dari persamaan (ab)−1(ab) = e kedua ruas berturut-turut kalikan darikanan dengan b−1 dan a−1, didapat (ab)−1 = b−1a−1.
(7.) g(g−1) = (g−1)g = e, jadi (g−1)−1 = g .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Pengertian Grup
Order Grup dan Order Elemen
Misalkan G suatu grup, order dari G ditulis |G | menyatakanbanyaknya elemen dari himpunan G . Sebelum diberikan pengertianorder dari suatu elemen g ∈ G , diberikan lebih dulu pengertian gn
dimana nZ sebagaimana berikut ini:
1. g0 def= e, diman e elemen netral.
2. gn def= ggg . . . g
︸ ︷︷ ︸
n
, dimana n > 0.
3. gn+1 def= gng , dimana n > 0.
4. gn def= g−1g−1g−1 . . . g−1
︸ ︷︷ ︸
−n
, dimana n < 0.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Pengertian Grup
Sifat
Selanjutnya dapat ditunjukkan: (1.) gm+n = gmgn dan (2.) (gm)n = gmn untuksemua m, n ∈ Z.
Bukti(1.) Dengan induksi pada n. Misalkan n taknegatif dan tanpa mengurangikegeneralitasan, misalkan m + n ≥ 0 , didapat gm+0 = gme = gmg0 dan denganmenggunakan hipotesis induksi didapat
gm+(n+1) = g (m+n)+1 = gm+ng = gmgng = gmgn+1.
Dari hasil ini didapat gm−ngn = g (m−n)+n = gm, dengan demikian
gm−n = gm(gn)−1 = gmg−n,
hal ini nenunjukkan bahwa (1.) dipenuhi juga untuk n negatif.(2.) Misalkan n taknegatif, sebagaimana penggunaan induksi pada n yang dilakukansebelumnya didapat (gm)0 = e = g0m dan
(gm)n+1 = (gm)ngm = gmngm = gmn+m = gm(n+1).
Untuk n negatif dapat dilakukan sebagaimana pada (1.).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Pengertian Grup
Order Elemen dan Beberapa Sifat
Order Elemen
Misalkan G suatu grup dan g ∈ G . Order dari g dinotasikandengan |g | yang menyatakan bilangan bulat positip terkecil nsehingga memenuhi gn = e dengan e adalah elemen netral. Bilatidak ada n yang demikian maka |g | = +∞.
Sifat
1. Bila |g | = n, maka gm = e bila dan hanya bila m kelipatandari n.
2. Bila |g | = n dan h = gm, maka |h| =n
fpb(m, n).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Pengertian Grup
Bukti Sifat
Bukti
1. Bila m = nk, maka gm = gnk = (gn)k = ek = e. Selanjutnya misalkan gm = e
dan andaikan m = nk+ r dengan 0 < r < n, maka
e = gm = gnk+r = (gn)kgr = ekgr = gr,
kontradiksi dengan kenyataan |g| = n. Jadi haruslah r = 0 atau m = nk.
2. Dipunyai gm = h, gn = e. Misalkan d = fpb(m, n), maka m = dm1, n = dn1,dimana fpb(m1, n1) = 1. Jadi
hn1 = gmn1 = gdm1n1 = gdn1m1 = gnm1 = em1 = e.
Berikutnya misalkan hk = e, maka didapat gmk = e, oleh karena itu mk
merupakan kelipatan dari n. Jadi dm1k merupakan kelipatan dari dn1 atau m1k
kelipatan dari n1. Karena m1 dan n1 prima relatif, maka k merupakan kelipatandari n1. Berdasarkan teorema sebelumnya, maka |h| = n1 atau
|h| = n
d=
n
fpb(m, n).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Pengertian Grup
Beberapa Catatan Order Elemen
Catatan
1. Bila g ∈ G dan |g | = +∞, maka gn, n = 0, 1, 2, 3, . . .semuanya adalah berbeda, bila tidak maka ada m dan ndengan m 6= n, misalkan dalam hal ini m > n sehinggagm = gn. Didapat gm−n = e. Jadi ada k = m − n sehinggagk = e, hal ini bertentangan dengan |g | = +∞.
2. Bila |g | = n, maka e, g , g2, g3, . . . , gn−1 semuanya berbedasatu dengan yang lainnya, bila tidak demikian maka adag t = e dengan 0 < t < n, hal ini bertentangan dengankenyataan bahwa n bilangan bulat positip terkecil yangmemenuhi gn = e.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Subgrup
Subgrup
Subgrup
Misalkan G suatu grup dan H ⊆ G dengan H 6= ∅, dikatakanbahwa H merupakan subgrup dari G bila H sendiri merupakangrup dengan operasi biner yang sama dengan di G . Hal inidinotasikan oleh H < G .
Cara mudah menentukan himpunan H adalah subgrup dari grup Gadalah dengan sifat sebagai berikut:
Sifat
Misalkan G adalah suatu grup. Himpunan H adalah subgrup dariG bila dan hanya bila untuk sebarang a, b ∈ H maka
ab−1 ∈ H (a−1b ∈ H).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Subgrup
Bukti Sifat Subgrup
Bukti
Misalkan H < G , didapat bila a, b ∈ H maka b−1 ∈ H. Karena diH berlaku juga operasi biner maka ab−1 ∈ H. Selanjutnya misalkanberlaku untuk sebarang a, b ∈ H berakibat ab−1 ∈ H, akanditunjukkan H < G . Misalkan bahwa a ∈ H, maka dengan hipotisisdidapat e = aa−1 ∈ H. Jadi e ∈ H dan misalkan g sebarang di H,maka g−1 = eg−1 ∈ H. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa di Hberlaku suatu operasi biner yaitu ab ∈ H untuk semua a, b ∈ H.Misalkan a, b ∈ H berdasarkan hasil sebelumnya maka b−1 juga diH. Berdasarkan hipotisis maka ab = a(b−1)−1 ∈ H. Sifatassosiatif di H diwarisi dari G (sebab H ⊆ G ).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Subgrup
Contoh-Contoh Subgrup
1. Bila G suatu grup, maka E = {e} trivial subgrup dari G .Sedangkan subgrup dari G yang selain E dan G sendiri dinamakansubgrup sejati (proper subgrup).
2. Himpunan matriks SL(n,R) dengan operasi biner perkalian matriksadalah subgrup dari grup GL(n,R).
3. Himpunan matriks SL(n,R) dengan operasi biner perkalian matriksadalah subgrup dari grup GL(n,R).
4. Himpunan H = { 12m |m ∈ Z} dengan operasi perkalian merupakan
subgrup dari grup Q∗ = Q− {0}.
5. Bila G suatu grup dan senter dari G didefinisikan oleh
Z (G) = {a ∈ G | ab = ba, untuk semua b ∈ G}.
Z (G) adalah subgrup dari G .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Subgrup
Sifat Subgrup
Sifat Subgrup
Bila {Hα} adalah koleksi dari subgrup dari G , maka⋂
αHα juga
merupakan subgrup dari G .
Bukti
Misalkan H =⋂
αHα, jelas bahwa H 6= ∅ sebab e ∈ H. Juga bila
a, b ∈ H, maka a, b ∈ Hα untuk setiap α hal ini berakibatab−1 ∈ Hα untuk setiap α. Maka dari itu ab−1 juga di H. Terlihatbahwa bila a, b ∈ H berakibat bahwa ab−1 ∈ H, maka dari itu Hadalah subgrup dari G .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Subgrup
Generator (Pembangun)
Misalkan G suatu grup dan S adalah himpunan bagian dari G .Notasi 〈S〉 menyatakan semua subgrup dari G yang memuat S .Jadi 〈S〉 itu sendiri merupakan subgrup dari G yang memuat S .Dalam hal ini
〈S〉 =⋂
S⊂Hα
Hα
dan dinamakan subgrup yang dibangun oleh S , sedangkan Sdinamakan generator dari 〈S〉. Grup 〈S〉 ini adalah subgrup terkecildari G yang memuat S , yaitu bila H adalah suatu subgrup dari Gyang memuat S , maka H harus juga memuat 〈S〉. Khususnya bilaS = {a}, maka 〈S〉 = 〈a〉 dinamakan subgrup siklik yang dibangunoleh elemen a.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Subgrup
Beberapa Sifat
Sifat
Diberikan suatu grup G
1 Bila S ⊂ G , maka< S > = {as11 . . . asmm | ai ∈ S, si ∈ Z,m ≥ 1},
2 < a > = {ak | k ∈ Z}
Bukti
1 Tulis H = {as11 . . . asmm | ai ∈ S, si ∈ Z,m ≥ 1} dan misalkan sebaranga = a
s11 . . . asmm , b = b
p11 . . . bpnn ∈ H, didapat
ab−1 = as11 . . . asmm b
−pnn . . . b−p1
1 ∈ H. Jadi H < G dan untuk sebarang a ∈ S,maka a = a1 ∈ H yaitu S ⊂ H. Akibatnya < S >⊂ H. Disamping itu,S ⊂< S > dan < S > adalah subgrup dari G , maka semua hasil kali dan inverselemen-elemen dari S berada di < S >. Jadi H ⊂< S >. Didapat H =< S >.
2 Bila S = {a}, maka H dalam (1) menjadi H = {ak |k ∈ Z} dan didapat< a > = {ak |k ∈ Z}. Bila operasi biner adalah tambah, maka< S > = {s1a1 + . . .+ smam | ai ∈ S, si ∈ Z,m ≥ 1} dan < a > = {ka|k ∈ Z}.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Subgrup
Contoh-Contoh
Contoh
1 Diberikan S = {2, 3} ⊂ Z dengan operasi biner tambah subgrup dari Z yangdibagun oleh S adalah 〈S〉 = {2s1 + 3s2|s1, s2 ∈ Z}. Karena 1 = 2(−1) + 3(1),maka 1 ∈ 〈S〉. Jadi untuk setiap n ∈ Z, n.1 ∈ 〈S〉. hal ini menunjukkan bahwa〈S〉 = Z atau 〈S〉 = 〈1〉.
2 Diberikan S = {4, 6} ⊂ Z dengan operasi biner tambah subgrup dari Z yangdibagun oleh S adalah 〈S〉 = {4s1 +6s2|s1, s2 ∈ Z} = {2(2s1 +3s2)|s1, s2 ∈ Z}.Berdasarkan hasil (1), didapat 〈S〉 = {2n|n ∈ Z} = 2Z atau< S >=< 2 >. Jadi < S > adalah himpunan bilangan bulat genap.
3 Himpunan bilangan bulat modulo n, Zn =⟨1⟩.
4 Untuk setiap k ∈ Z dengan k dan n prima relatif, himpunan bilangan bulat
modulo n, Zn =⟨
k⟩
.
5 Diberikan G suatu grup dan x ∈ G . Sentralisir dari x didefinisikan olehC(x) = {a ∈ G | ax = xa} adalah subgrup dari G dan C(x) = G bila dan hanyabila x ∈ Z(G). Perhatikan juga C(x) selalu memuat subgrup 〈x〉.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Subgrup
Lanjutan Contoh-Contoh
Contoh
6. Bila G suatu grup dan a,b ∈ G , maka [a,b] = a−1b−1ab dinamkan komutatordari a dan b. Subgrup H yang dibangun oleh semua elemen komutator dari Gdinamakan subgrup komutator , juga ditulis sebagai [G ,G ] = H.
7. Suatu cara yang mudah untuk mendeskripsikan grup melalui generator danhubungannya yang diberikan. Misalnya grup quaternion adalah grup dengan 8elemen. Ada dua generator a dan b dengan hubungan :a4 = e; b2 = a4; b−1ab = a−1. Grup quarternion ini adalah
Q = {e, a, a2, a3, b, ab, a2b, a3b}.
8. Grup dihedral dengan order 2n, dinotasikan oleh D2n adalah grup yang dibangunoleh x dan y dengan hubungan : xn = e; y2 = e; yxy−1 = x−1. Grup D2n
diberikan oleh
D2n = {ex , x2, . . . , xn−1, y , yx , yx2, . . . , yxn−1}.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Subgrup
Sifat
Sifat
Setiap grup siklik G adalah komutatif.
Bukti
Bila G =< a >= {ak |k ∈ Z}, maka untuk setiapx = am, y = an ∈< a > didapatxy = aman = am+n = an+m = anam = yx . Jadi G adalah grupkomutatif.
Sifat ini tidak berlaku sebaliknya. Grup-grup yang komutatif tetapitidak siklik adalah Q,R,C dengan operasi biner penambahan jugaQ∗ = Q− {0},R∗ = R− {0} dan C∗ = C− {0} dengan operasibiner perkalian.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Subgrup
Sifat Kesiklikan Subgrup
Sifat
Setiap subgrup dari suatu grup siklik G = 〈a〉 adalah siklik.
Bukti
Misalkan H < G , bila H = {e} jelas H siklik. Bila H 6= {e}, maka ada bilanganbulat s 6= 0 sehingga as ∈ H dan juga (as)−1 = a−s ∈ H. MisalkanT = {t ∈ Z+|at ∈ H} dengan sifat keterurutan dari bilangan bulat Z+, maka T
mempunyai elemen terkecil t0. Jadi at0 ∈ H. Misalkan b ∈
⟨
at0⟩
, maka untuksuatu m ∈ Z, b = (at0)m ∈ H . Terlihat bahwa
⟨
at0⟩
⊂ H. Sebaliknya, misalkan
h ∈ H, maka ada bilangan bulat k sehingga h = ak . Selanjutnya denganmenggunakan algorithma pembagian untuk bilangan bulat didapat k = t0q + r
untuk beberapa q, r ∈ Z dengan 0 ≤ r < t0. Didapat ar = ak(at0)−q ∈ H.
Bilangan r = 0, sebab bila tidak, maka ada bilangan yang lebih kecil dari t0,yaitu r < t0 yang memenuhi ar ∈ H. Hal ini bertentangan dengan at0 ∈ H. Jadih = ak = (at0)q ∈
⟨
at0⟩
. Terlihat bahwa H ⊂⟨
at0⟩
. Sehingga didapatH =
⟨
at0⟩
. Jadi H siklik.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Subgrup
Sifat Kesiklikan Grup
Sifat
Misalkan G = 〈a〉 adalah grup siklik dan |G | = n, maka G = {e, a, a2, . . . , an−1}dengan an = e.
Bukti
Misalkan G = {ak |k ∈ Z}, karena |G | = n (berhingga), maka ak = ah atau ak−h = e
untuk beberapa h < k dengan h, k ∈ Z. Misalkan T = {t ∈ Z+|at = e} dan l adalahelemen terkecil di T . Jelas bahwa {e, a, a2, . . . , al−1} ⊂ G . Dalam hal ini dapatditunjukkan bahwa semua elemen e, a, a2, . . . , al−1 adalah berbeda. Selanjutnya akanditunjukkan bahwa G ⊂ {e, a, a2, . . . , al−1}. Misalkan g ∈ G , maka g = am untuksuatu m ∈ Z. Dengan menggunakan algorithma pembagian untuk bilangan bulatdidapat m = lq + r untuk beberapa q, r ∈ Z dengan 0 ≤ r < l . Didapatam = (al )qar = eqar = ar ∈ {e, a, a2, . . . , al−1}. Jadi G ⊂ {e, a, a2, . . . , al−1}.Karena |G | = n, maka n = l dan an = al = e.
Catatan : Dari hasil sifat ini, terlihat bahwa elemen pembangun G yaitu a mempunyai
sifat an = e atau order dari elemen a adalah n yang ditulis |a| = n (sebab n bilangan
bulat positip terkecil yang memenuhi an = e).Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Subgrup
Contoh
Contoh
Dalam GL(2,R), bila
A =
(
0 1−1 0
)
dan B =
(
1 10 1
)
, maka
A2 =
(
−1 00 −1
)
,A3 =
(
0 −11 0
)
,A4 =
(
1 00 1
)
dan
B2 =
(
1 20 1
)
,B3 =
(
1 30 1
)
, . . . ,Bn =
(
1 n
0 1
)
.
Sehingga didapat 〈A〉 = {I ,A,A2,A3} < GL(2,R) dan
〈B〉 =
{(
1 k
0 1
)∣
∣
∣
∣
k ∈ Z
}
< GL(2,R).
Dalam hal ini order elemen A dan B adalah |A| = 4 dan |B| = +∞.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Subgrup
Homomorpisma Grup
Misalkan G dan H adalah grup dan f : G → H adalah suatu fungsi. Fungsi fdinamakan suatu homomorpisma grup bila f (ab) = f (a)f (b) untuk semuaa, b ∈ G . Suatu homomorpisma grup yang bijektif dinamakan isomorpisma grup
dan G isomorpik dengan H ditulis G ∼= H. Bila f suatu homomorpisma grup,misalkan
Ker(f ) = {g ∈ G | f (g) = eH}dan
Im(f ) = {h ∈ H | h = f (g), untuk beberapa g ∈ G}.
Ker(f ) dinamakan kernel dari homomorpisma f dan Im(f ) dinamakan image
dari f .
Sifat
Misalkan G dan H adalah grup dan f : G → H adalah suatuhomomorpisma grup, maka Ker(f ) subgrup dari G dan Im(f )subgrup dari H.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Subgrup
Bukti Sifat
Bukti
Perhatikan bahwa f (eG ) = f (eG eG ) = f (eG )f (eG ), gunakan kanselasi di H didapatf (eG ) = eH . Jadi
eH = f (eG ) = f (aa−1) = f (a)f (a−1)
untuk semua a ∈ G . Dengan demikian f (a−1) = f (a)−1 untuk semua a ∈ G .Selanjutnya misalkan a, b ∈ Ker(f ). Maka
f (ab−1) = f (a)f (b−1) = f (a)f (b)−1 = eH eH = eH .
Jadi ab−1 ∈ Ker(f ) dan Ker(f ) adalah subgrup dari G .Dengan cara serupa, bila f (a), f (b) ∈ Im(f ), maka
f (a)f (b)−1 = f (ab−1) ∈ Im(f ).
Jadi Im(f ) adalah subgrup dari H.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
Koset dan Partisi
Berikut ini diberikan pengertian suatu koset. Dalam hal ini terlihat bahwa bila H
suatu subgrup dari grup G , maka H memisahkan G kedalam berbagai macamhimpunan yang saling asing.
Sifat
Misalkan H adalah suatu subgrup dari suatu grup G . Untuk setiap dua elemena, b ∈ G didifinisikan relasi biner a ∼ b bila dan hanya bila ab−1 ∈ H (a−1b ∈ H).Relasi biner ∼ ini adalah suatu relasi ekivalen.
Bukti
1 Untuk setiap a ∈ G maka aa−1 = e ∈ H (refleksif).
2 Bila ab−1 ∈ H, maka ba−1 = (ab−1)−1 ∈ H. Jadi bila a ∼ b maka b ∼ a
(simetrik).
3 Bila ab−1 ∈ H dan bc−1 ∈ H, maka ac−1 = ab−1bc−1 ∈ H. Jadi bila a ∼ b
dan b ∼ c, maka a ∼ c (transitif).
Jadi relasi ∼ membagi keseluruhan grup G menjadi klas-klas ekivalen yang saling asing(disjoint eqivalence classes).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
Pengertian Koset
Koset
Misalkan G suatu grup dan H adalah subgrup dari grup G . Misalkan g
sebarang tetapi tetap (fixed) di G , didefinisikan
Hgdef= {hg |h ∈ H}
maka Hg dinamakan koset kanan dari H di G . Sedangkan bila
gHdef= {gh|h ∈ H}
maka gH dinamakan koset kiri dari H di G .
Sifat
Untuk setiap dua elemen a dan b di grup G dan H < G , maka:
1 Bila a ∼ b maka Ha = Hb (aH = bH).
2 Bila a ≁ b maka Ha ∩ Hb = ∅ (aH ∩ bH = ∅).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
Bukti Sifat
Bukti
1 Misalkan a ∼ b, maka ab−1 = h0 untuk suatu h0 ∈ H, didapata = h0b atau b = h−1
0 a. Misalkan sebarang ha ∈ Ha, makadidapat ha = h(h0b) = (hh0)b ∈ Hb. Jadi Ha ⊂ Hb. Misalkansebarang hb ∈ Hb, maka hb = h(h−1
0 a) = (hh−10 )a ∈ Ha. Jadi
Hb ⊂ Ha. Maka dari itu didapat Ha = Hb.
2 Misalkan a ≁ b dan andaikan g ∈ Ha ∩ Hb, maka a = h−11 g
untuk suatu h1 ∈ H dan b−1 = g−1h2 untuk suatu h2 ∈ H.Didapat ab−1 = h−1
1 gg−1h2 = h−11 h2 ∈ H. Jadi a ∼ b,
kontradiksi dengan kenyataan bahwa a ≁ b. Jadi haruslahHa ∩ Hb = ∅.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
Sifat
Sifat
Misalkan H adalah subgrup dari G dan a, b ∈ G , maka
1 aH = bH bila dan hanya bila a−1b ∈ H
2 Ha = Hb bila dan hanya bila ab−1 ∈ H
Bukti
1 Misalkan a−1b ∈ H dan b = ah untuk beberapa h ∈ H , bh′ = a(hh′)untuk semua h′ ∈ H dan ah1 = (ah)(h−1h1) = b(h−1h1) untuksemua h1 ∈ H . Jadi aH = bH . Sebaliknya, misalkan aH = bH ,maka b = be = ah untuk beberapa h ∈ H . Jadi a−1b = h ∈ H .
2 Bukti dapat dilakukan seperti pada bukti (1).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
Sifat
Sifat
Misalkan H < G dan gH adalah sebarang koset kiri dari H di G , maka|H | = |gH |.
Bukti
Pemetaan f : H → gH dengan f (h)def= gh, ∀h ∈ H . Pemetaan f adalah
satu-satu, yaitu bila f (h) = f (h1) atau gh = gh1, maka didapat h = h1dan pemetaan f pada, yaitu bila diberikan sebarang gh ∈ gH , maka pilihh ∈ H sehingga f (h) = gh. Jadi pemetaan f adalah satu-satu pada,maka dari itu |H | = |gH |.
Juga dapat ditunjukkan bahwa untuk setiap g ∈ G , fungsi
f : gH → Hg−1 adalah bijektif. Jadi |gH | = |Hg |.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
Indeks dari H di G
Misalkan H < G dan [G : H]def= {gH|g ∈ G} himpunan dari semua koset kiri dari H di G , dalam hal ini
dinamakan indeks dari H di G .
Teorema Lagrange
Misalkan H < G dan |G | berhingga, maka |G | = |[G : H]| |H|
Bukti
Misalkan |G | = m, |H| = n dan |[G : H]| = k. Dari hasil sebelumnya didapat bahwa
|gH| = n, ∀gH ∈ [G : H],
maka didapat n + n + n + . . . + n︸ ︷︷ ︸
k
= m atau kn = m. Jadi |[G : H]| |H| = |G |.
Kesimpulan
1 Bila |G | < ∞ dan a ∈ G , maka |a| membagi |G |.2 Bila |G | = n, maka an = e, ∀a ∈ G .
3 Bila |G | = p dan p prima, maka G siklik.
4 Bila K < H < G , maka |[G : K ]| = |[G : H]| |[H : K ]|.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
COntoh-Contoh
Contoh
1. Diberikan Z dengan operasi biner tambah, H = 2Z adalah subgrupdari Z. Koset kanan H+a = H bila a bilangan bulat genap danH+a 6= H bila a bilangan bulat ganjil.
2. Diberikan R∗ dengan operasi biner perkalian, subgrupH = {−1, 1} = {x ∈ R∗ | |x | = 1}. Koset dari H dalam R∗ adalahhimpunan Ha = {−a, a|a ∈ R∗}.
3. Diberikan C∗ dengan operasi biner perkalian, subgrupH = {z ∈ C | |z | = 1}. Koset dari H dalam C∗ adalah himpunanHr = {z ∈ C | |z | = r} dengan r ∈ R+.
4. Diberikan grup Z dan subgrup H = nZ bilangan bulat kelipatan n.Maka koset dari H+m adalah semua bilangan bulat yang mempunyaisisa m bila dibagi n.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
Contoh-Contoh
Contoh
5. Diberikan grup permutasi dari 3 elemen
G = S3 = {e, a, a2, b, ab, a2b},
dengan
a =
(
1 2 32 3 1
)
dan b =
(
1 2 32 1 3
)
Bila H = 〈b〉, maka koset kiri dari H di G adalah
H = {e, b}, aH = {a, ab}, a2H = {a2, a2b},
sedangkan koset kanan adalah
H = {e, b}, Ha = {a, ba = a2b}, Ha
2 = {a2, ba2 = ab}.
Dalam contoh ini, koset kiri tidak sama dengan koset kanan.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
Contoh-Contoh
Contoh
6. Diberikan G = GL(2,R) dan H = SL(2,R). Maka A,B ∈ GL(2,R)adalah didalam koset kiri yang sama dari H bila dan hanya bilaA−1B ∈ H, artinya bahwa det(A−1B) = 1. Ini terjadi bila dan hanya biladet(A) = det(B). Dengan cara yang sama, A dan B didalam koset kananyang sama dari H bila dan hanya bila det(A) = det(B). Jadi pada contohini, koset-koset kiri dari H juga merupakan koset-koset kanan dari H.Suatu himpunan representasi koset adalah
{[
a 00 1
] ∣
∣
∣
∣
a ∈ R− {0}}
.
Jadi, himpunan semua koset dari H di G berkorespondensi satu-satudengan himpunan bilangan real taknol.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
contoh-Contoh
Contoh
7. Grup dengan order ≤ 5 Diberikan grup G dengan |G | ≤ 5. Bila|G | = 1, 2, 3 atau 5, maka G adalah siklik. Selanjutnya untuk |G | = 4maka setiap a ∈ G dengan a 6= e mempunyai order 2 atau 4. Bila G
mempunyai suatu elemen a dengan order 4, maka G = 〈a〉 dan G siklik.Bila G tidak mempunyai elemen yang beroder 4, maka G = {e, a,b, c}dengan a2 = b2 = c2 = e sebab setiap elemen yang bukan e harusberorder 2. Selanjutnya bila ab = e, maka ab = a2. Akibatnya b = a halini tidak mungkin sebab a 6= b. Dengan cara yang sama ab tidak akansama dengan a atau b. Jadi haruslah ab = c. Suatu argumen yang samadapat ditunjukkan bahwa ba = c, ac = b = ca, bc = a = cb. Dalam halini G dinamakan grup-4 Klein. Dari pembahasan didapat ada 4 macamgrup siklik dan satu grup-4 Klein.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
Konjuget dan Klas Konjugasi
Pada pembahasan sebelumnya ditunjukkan bahwa koset-koset kiri/kanan dari suatugrup membentuk suatu partisi di G yang diuraikan oleh suatu relasi ekivalen pada G .Ada relasi ekivalen penting lainya yang didefinisikan pada G , sebagaimana diberikanberikut ini.
Konjuget dan Konjugasi
Misalkan G suatu grup dan a, b ∈ G , maka a dinamakan kojuget dari b bila ada suatug ∈ G yang memenuhi b = gag−1 (g−1ag). Mudah dicek bahwa konjugasi adalahsuatu relasi ekivalen pada G . Klas ekivalen yang terbentuk dinamakan klas konjugasi ,Notasi [a]C menyatakan klas konjugasi dari elemen a ∈ G .
Sifat
Misalkan G adalah suatu grup dan a ∈ G maka
|[a]C | = |[G : C(a)]| ,
dengan C(a) adalah setralisir dari elemen a, yaitu
C(a) = {g ∈ G | ga = ag}.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
Bukti
Bukti
Karena
gag−1 = hah−1 ⇔ g−1h ∈ C (a)
⇔ gC (a) = hC (a),
ada suatu fungsi bijektif
φ : [a]C → [G : C (a)] = himpunan koset kiri dari C (a),
didefisikan olehφ(gag−1) = gC (a).
Hal ini menujukkan bahwa
|[a]C | = |[G : C (a)| .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
Kesimpulan
Persamaan Klas
Misalkan G grup dengan order berhingga, maka
|G | = |Z(G)|+∑
a/∈Z(G)
|[G : C(a)]|
Bukti
Karena |[a]C | = 1 bila dan hanya bila a ∈ Z(G) dan [a]C adalah konjugasi dari elemena ∈ G dan merupakan suatu partisi di G , maka
|G | =∑
a∈G
|[a]C |
= |Z(G)|+∑
a/∈Z(G)
|[a]C |
= |Z(G)|+∑
a/∈Z(G)
|[G : C(a)]| .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
Subgrup Normal dan Automorpisma
Bila G suatu grup, misalkan P∗(G) menyatakan himpunan dari semua himpunantakkosong dari G dan didefisikan suatu perkalian pada P∗(G) sebagai
ST = {st | s ∈ S, t ∈ T},
dengan S,T ∈ P∗(G). Karena perkalian di G adalah assosiatif, maka perkalian di
P∗(G) juga assosiatif. Bila S = {s}, maka {s}T atau T{s} ditulis sT atau Ts.
Khususnya, bila H adalah subgrup dari G dan a ∈ G , maka koset kiri aH adalah suatu
hasil perkalian di P∗(G). Himpunan bagian {e} ∈ P∗(G) memenuhi eS = Se = S
untuk semua S ∈ P∗(G). Jadi {e} ∈ P∗(G) elemen identitas terhadap perkalian di
P∗(G) dan perkalian di P∗(G) adalah assosiatif, tetapi P∗(G) dengan operasi
perkalian bukan grup, kecuali untuk kasus trivial G = {e}. Bila S ∈ P∗(G), misalkan
S−1 = {s−1 | s ∈ S}. Catatan bahwa S−1 bukan invers dari S terhadap perkalian di
P∗(G) kecuali S hanya memuat satu elemen. Bila H < G , maka HH = H dan
H−1 = H.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
Sifat
Misalkan H,K ∈ P∗(G) dengan H dan K adalah subgrup dari G . Sifat berikutmenunjukkan bahwa HK adalah subgrup dari G .
Sifat
Bila H dan K adalah subgrup dari G , maka HK adalah subgrup dari G bila dan hanyabila HK = KH.
Bukti
Bila HK < G , maka HK memuat semua semua elemen invers dari HK . JadiHK = (HK)−1 = K−1H−1 = KH. Sebaliknya, misalkan HK = KH. Didapat(HK)−1 = KH = HK , jadi semua elemen di HK mempunyai invers. Juga(HK)(HK) = HKHK = HHKK = HK hal ini menunjukkan bahwa HK tertutupterhadap operasi perkalian. Sifat elemen netral dan assosiatif jelas. Jadi HK adalahsubgrup dari G .
Perhatikan bahwa HK = KH bukanlah suatu pengertian komutatif, tetapi merupkan
persamaan himpunan bagian dari G .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
Ruang Koset
Bila H adalah suatu subgrup dari G , maka G/H ⊆ P∗(G) adalah himpunan darisemua koset kiri dari H di G dan dinamkan ruang koset dari H di G . Misalkan duakoset kiri dari H yaitu aH dan bH. Bila (aH)(bH) = cH, maka ab ∈ cH dengandemikian cH = abH. Oleh karena itu bila G/H tertutup terhadap perkalian, makaharuslah (aH)(bH) = abH untuk semua a, b ∈ G .
Sifat
Bila H suatu subgrup dari G , maka (aH)(bH) = abH untuk semua a, b ∈ G bila danhanya bila cHc−1 = H untuk semua c ∈ G .
Bukti
Misalkan cHc−1 = H untuk semua c ∈ G , maka cH = Hc untuk semua c ∈ G . Jadi
(aH)(bH) = a(Hb)H = a(bH)H = abH.
Sebaliknya, bila (aH)(bH) = abH untuk semua a, b ∈ G , makacHc−1 ⊆ cHc−1H = cc−1H = H untuk semua c ∈ G . Karena c−1 ∈ G , ganti cdengan c−1, didapat c−1Hc ⊆ H. Selanjutnya sebelah kiri kalikan dengan c dansebelah kanan dengan c−1 didapat H ⊆ cHc−1. Jadi cHc−1 = H untuk semua c ∈ G .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
Subgrup Normal
Subgrup Normal
Suatu subgrup N dari G dinamakan subgrup normal dari G dinotasikan dengan N ⊳ G
bila aNa−1 = N untuk semua a ∈ G .
Catatan, pernyataan dalam sifat yang telah dibahas menunjukkan bahwa N adalah subgrup normal di G bila dan
hanya bila aNa−1 ⊆ N untuk semua a ∈ G . Hal ini tentunya lebih mudah untuk mengecek dari pada aNa−1 = N.
Juga pengertian N adalah subgrup normal di G adalah ekivalen dengan aN = Na untuk semua a ∈ G .
Sifat
Bila N ⊳ G , maka ruang koset G/N ⊆ P∗(G) membentuk suatu grup dengan operasiperkalian di P∗(G).
Bukti
Sudah ditunjukkan bahwa G/N tertutup terhadap perkalian dan assosiatif di P∗(G).Misalkan sebarang aN ∈ G/N dan N = eN didapat(eN)(aN) = eaN = aN = aeN = (aN)(eN). Jadi N ∈ G/N adalah elemen identitasdari G/N. Juga (aN)(a−1N) = aa−1N = eN = N = a−1aN = (a−1N)(aN). Terlihatbahwa a−1N adalah invers dari aN.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
Grup Faktor (Grup Kuasi)
Grup Kuasi
Bila N ⊳ G , maka G/N dinamakan grup kuasi dari G oleh N.
Catatan, bila N ⊳ G dan |G | < ∞, maka dari Teorema Lagrange didapat
|G/N| = |[G : N]| = |G |/|N|.
Contoh
1. Bila G grup komutatif, maka setiap subgrup dari G adalah subgrup normal.
2. SL(n,R) adalah subgrup normal dari GL(n,R), sebab bila A ∈ GL(n,R) danB ∈ SL(n,R), maka
det(ABA−1) = (detA)(detB)(det A)−1 = 1.
Jadi ABA−1 ∈ SL(n,R) untuk semua A ∈ GL(n,R) dan B ∈ SL(n,R).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
Lanjutan Contoh
Contoh
3. Bila a =
(1 2 32 3 1
)
, maka H =< a >= {e, a, a2} adalah subgrup
normal dari S3. Bila b /∈ H , maka koset dari H adalah H dan bH .
4. Misalkan b =
(1 2 32 1 3
)
, maka K =< b >= {e, b} dan koset kiri
dari K adalah K , aK = {a, ab}, a2K = {a2, a2b}, dimana
a =
(1 2 32 3 1
)
. Didapat
K (aK ) = {e, a}{a, ab} = {a, ab, a2, a2b} 6= aK .
Jadi perkalian dua koset dari K bukan suatu koset dari K . Hal inidisebabkan K bukan subgrup normal dari S3 yaitu aKa−1 6= K .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Koset
Sifat
Sifat
Misalkan f : G → H suatu homomorpisma grup, maka Ker(f ) ⊳ G .
Bukti
Misalkan a ∈ G dan b ∈ Ker(f ). Maka
f (aba−1) = f (a)f (b)f (a−1) = f (a)ef (a)−1 = e,
jadi aba−1 ∈ Ker(f ) untuk semua b ∈ Ker(f ) dan a ∈ G dengan demikian Ker(f )adalah subgrup normal dari G .
Fakta sifat yang dibahas ini menguraikan semua subgrup normal dari suatu grup G . Misalkan N ⊳ G dandidefinisikan suatu fungsi
π : G → G/N
oleh π(a) = aN untuk setiap a ∈ G . Dengan definisi perkalian pada G/N didapat
π(ab) = abN = (aN)(bN) = π(a)π(b).
Jadi π adalah suatu homomorpisma grup yang dinamakan proyeksi natural atau pemetaan natural dari G ke G/n.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Teorema Isomorpisma Pertama
Teorema Isomorpisma Pertama
Misalkan f : G → H suatu homomorpisma grup dengan K = Ker(f ). MakaG/K ∼= Im(f ).
Bukti
Difinisikan suatu fungsi f : G/K → Im(f ) dengan f (aK) = f (a). Fungsi iniwell-defined, sebab aK = bK bila dan hanya bila a−1b ∈ K yang berartif (a−1b) = eH atau f (a) = f (b). Juga
f ((aK)(bK)) = f (abK) = f (ab) = f (a)f (b) = f (aK)f (bK),
jadi f suatu homomorpisma grup dan f satu-satu sebab bila aK ∈ Ker(f ),maka f (aK) = f (a) = eH . Jadi a ∈ K , dengan dikian aK = K . hal inimenunjukkan Ker(f ) = K yang mana K adalah elemen identitas di G/K . Jadif satu-satu, dengan demikian f adalah suatu isomorpisma grup. JadiG/K ∼= Im(f ).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Teorema Isomorpisma Kedua
Sifat
Misalkan H, K adalah subgrup dari G . Bila H atau K adalah subgrup normal di G , maka HK adalah suatusubgrup dari G .
Bukti
Misalkan K ⊳ G , maka aK = Ka untuk semua a ∈ G . Kususnya, hK = Kh untuk semua h ∈ H ⊂ G . JadiHK = KH, oleh karena itu HK adalah suatu subgrup dari G .
Teorema Isomorpisma Kedua
Misalkan H,N subgrup dari G dengan N ⊳ G , maka H/(H ∩ N) ∼= HN/N.
Bukti
Misalkan π : G → G/N adalah pemetaan natural dan π0 adalah pembatasan dari π pada H. Maka π0 adalahsuatu homomorpisma dengan Ker(π0) = H ∩ N. Jadi
H/(H ∩ N) = H/Ker(π0) ∼= Im(π0).
Tetapi image dari π0 adalah himpunan dari semua koset dari N yang mempunyai representasi di H. Maka dari ituIm(π0) = HN/N.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Teorema Isomorpisma Ketiga
Teorema Isomorpisma Ketiga
Misalkan H ⊳ G ,N ⊳ G dan N ⊆ H, maka
G/H ∼= (G/N)/(H/N).
Bukti
Difinisikan suatu fungsi f : G/N → G/H dengan f (aN) = aH untuk setiapaN ∈ G/N. Dapat ditunjukkan bahwa difinisi ini well-defined dan suatuhomomorpisma grup. Maka
Ker(f ) = {aN | aH = H} = {aN | a ∈ H} = H/N.
Homomorpisma f adalah surjektif, maka Imf = G/H. Dengan menggunakan Teoremaisomorphisma pertama didapat
G/H ∼= (G/N)/(H/N).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Teorema
Teorema
Misalkan pemetaan f : G → H adalah suatu isomorpisma grup,maka
1 f −1 : H → G adalah suatu isomorpisma.
2 |G | = |H|.
3 Bila G abelian maka H abelian.
4 Bila G siklik, maka H siklik.
5 Bila g ∈ G dengan |g | = m, maka |f (g)| = m.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Bukti
Bukti
1. Karena f bijektif, maka f −1 ada. Misalkan x , y ∈ H, maka ada a, b ∈ G
sehingga x = f (a) dan y = f (b). Didapat
xy= f (a)f (b)= f (ab) ⇒ f −1(xy)=ab= f −(x)f −1(y),∀x , y ∈ H.
Jadi pemetaan f −1 : H → G adalah suatu homomorpisma grup. Karena f
bijektif, maka f −1 juga bijektif. Jadi f −1 adalah suatu isomorpisma grup.
2. Karena f : G → H bijektif, maka banyaknya elemen di G sama denganbanyaknya elemen di H.
3. Diketahui bahwa G abelian. Misalkan x , y ∈ H, karena f pada maka adaa, b ∈ G sehingga x = f (a) y = f (b). Didapat
xy = f (a)f (b) = f (ab) = f (ba) = f (b)f (a) = yx .
Terlihat bahwa unutk setiap x , y ∈ H berlaku xy = yx , jadi H abelian.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Lanjutan Bukti
Bukti
4. Misalkan G = 〈g〉 = {gm |m ∈ Z} dan f (g) = h0 untuk suatu h0 ∈ H. Ambilsebarang h ∈ H, maka ada n0 ∈ Z sehingga h = f (gn0 ), dimana
f (gn0 ) =
{
f (g) . . . f (g) = hn00 , n0 ≥ 0
f (g)−1 . . . f (g)−1 = h−n00 , n0 < 0.
Jadi untuk setiap h di H, h = hm00 dengan m0 ∈ Z, hal ini menunjukkan bahwa
H = 〈h0〉 = {hn0 |n ∈ Z}.5. Bila |g | = m dan |f (g)| = n, maka eH = f (eG ) = f (gm) = f (g)m , sehingga
didapat ada bilangan bulat positip k0 yang memenuhi m = k0n. Disamping itu,eH = f (g)n = f (gn). Karena f satu-satu dan eH = f (eG ), maka gn = eG . Jadiada bilangan bulat positip k1 yang memenuhi n = k1m. Dari m = k0n dann = k1m, didapat m = k0k1m atau k0k1 = 1. Karena masing-masing k0 dan k1adalah bilangan bulat positip, maka haruslah k0 = k1 = 1. Oleh karena itum = k0n = 1.n = n.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Contoh
1
−1
S3 Q∗
A3
A3τ
f
1. Diberikan grup permutasi S3 dan grup bilangan rasional tanpa nol Q∗.Didefinisikan suatu pemetaan f : S3 → Q∗ oleh
f (σ) =
{
1, bila σ genap
−1, bila σ ganjil, untuk setiap σ ∈ S3.
Bila σ, τ kedunya genap atau keduanya ganjil,maka στ genap oleh karena ituf (στ) = 1 = 1.1 = f (σ).f (τ) atau f (στ) = 1 = −1.− 1 = f (σ).f (τ). Bila σgenap dan τ ganjil, maka στ ganjil oleh karena ituf (στ) = −1 = 1.(−1) = f (σ).f (τ). Terlihat bahwa f adalah homomorpismagrup dari S3 ke Q∗ dengan ker(f ) = f −1(1) = A3. Jelas bahwa ker(f ) ⊳ S3 danim(f ) = {1,−1} adalah subgrup dari Q∗. Sedangkan f −1(−1) = A3τ untuksetiap permutasi ganjil τ ∈ S3,
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Contoh
b
b
b
R∗R+
−1, 1
−2, 2
−π, π
1
2
π
b
b
b
f
2. Diberikan himpunan bilangan real R, himpunan R∗ = {x ∈ R | x 6= 0}dan himpunan R+ = {x ∈ R | x > 0}. Didefinisikan suatu pemetaanf : R∗ → R+ oleh f (x) = |x |, ∀x ∈ R∗ dimana dengan operasi perkaliandi R∗ dan R+ didapat f (x .y) = |x .y | = |x |.|y | = f (x).f (y), ∀x , y ∈ R∗
Terlihat bahwa f adalah suatu homomorpisma grup dari (R∗, .) ke (R+, .)dengan f pada. Selanjutnya ker(f ) = {x ∈ R∗ | |x | = 1} = {1,−1}.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Contoh
f1
2
√5
ker(f )
ker(f )(1 + i)
ker(f )(1 + 2i)
bb
b
b
bb
C∗ R+
3. Diberikan himpunan bilangan kompleks C, himpunanC∗ = {z ∈ C | z 6= 0} dan himpunan R+ = {x ∈ R | x > 0}.Didefinisikan suatu pemetaan f : C∗ → R+ oleh f (z) = |z |, ∀z ∈ C∗
dimana dengan operasi perkalian di C∗ dan R+ didapatf (z .w) = |z .w | = |z |.|w | = f (z).f (w),∀z ,w ∈ C∗. Terlihat bahwa f
adalah suatu homomorpisma grup dari (C∗, .) ke (R+, .) dengan f pada.Selanjutnya ker(f ) = {z ∈ C∗ | |z | = 1}.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Contoh
Contoh
4. Untuk menunjukan bahwa Z4∼= 〈i〉, definisikan suatu pemetaan
f : Z4 → 〈i〉 oleh f (n) = in.
Pemetaan f adalah satu-satu pada, sebab
f (0) = 1f (1) = if (2) = −1f (3) = −i
dan f adalah suatu homomorpisma, sebab
f (m + n) = im+n = im.in = f (m).f (n), ∀m, n ∈ Z4.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Contoh
Contoh
5. Walaupun S3 dengan Z6 mempunyai banyak elemen yang sama,tetapai S3 ≇ Z6. Untuk menunjukan hal ini sebagai berikut. Telahdiketahuai bahwa S3 tidak komutatif sedangkan Z6 komutatif.Misalkan a, b ∈ S3 dengan ab 6= ba dan andaikan bahwa pemetaanf : Z6 → S3 adalah suatu isomorpisma. Oleh karena itu ada m dann di Z6 sehingga f (m) = a, f (n) = b. Didapat
ab = f (m)f (n) = f (m + n) = f (n +m) = f (n)f (m) = ba.
Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa ab 6= ba. JadiS3 ≇ Z6.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Contoh
Contoh
6. Grup (R,+) adalah isomorpik dengan grup (R+, .). Sebab adapemetaan
f : R → R+ dengan f (x) = ex , ∀x ,R.
Pemetaan f satu-satu pada, sebab diberikan sebarang y ∈ R+, pilihx ∈ R, yaitu x = ln y sehingga didapat f (x) = ex = e ln y = y , jadif pada. Selanjutnya bila f (x1) = f (x2), maka
ex1 = ex2 ⇒ ex1e−x2 = 1 ⇒ ex1−x2 = 1 ⇒ x1 − x2 = 0 ⇒ x1 = x2.
Jadi f satu-satu. Terlihat bahwa f satu-satu dan pada (bijektif).Selanjutnya, f (x1 + x2) = ex1+x2 = ex1ex2 = f (x1)f (x2). Jadi fadalah homomorpisma. Karena f homomorpisma dan bijektif, makaf adalah isomorpisma.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Teorema Korespondensi
Teorema Korespondensi
Misalkan N ⊳ G dan pemetaan natural π : G → G/N. Maka fungsi H 7→ H/Nmendifinisikan suatu korespondensi satu-satu diantara himpunan semuasubgrup H dengan N ⊆ H. Korespondensi ini memenuhi sifat:
1 H1 ⊆ H2 bila dan hanya bila H1/N ⊆ H2/N dan dalam hal ini
|[H2 : H1]| = |[H2/N : H1/N]| .
2 H ⊳ G bila dan hanya bila H/N ⊳ G/N
Bukti
MisalkanS1 = {H |H < G dan N ⊆ H}
danS2 = {X |X < G/N}.
Selanjutnya definisikan α : S1 → S2 oleh α(H) = H/N = Im(π|H).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Lanjutan Bukti
Bukti
Misalkan H1/N = H2/N dengan H1,H2 ∈ S1. Akan ditunjukkan H1 = H2. Misalkanh1 ∈ H1, maka h1N ∈ H2/N. Jadi h1N = h2N dengan h2 ∈ H2. Jadi H1 ⊆ H2 dengancara yang sama dapat ditunjukkan bahwa H2 ⊆ H1, dengan demikian H1 = H2. Olehkarena itu α satu-satu. Bila K ∈ S2, maka π−1(K) ∈ S1 dan α(π−1(K)) = K , jadi αsurjektif. Jadi α adalah suatu korespondensi satu-satu diantara S1 dan S2. Selanjutnyafakta H1 ⊆ H2 bila dan hanya bila H1/N ⊆ H2/N adalah jelas. Dengan menggunakanhasil sebelumnya, himpunan koset aH1 untuk a ∈ H2 dapat ditunjukkanberkorespondensi satu-satu dengan himpunan koset aH1/N untuk a ∈ H2/N. Dengandemikian
|[H2 : H1]| = |[H2/N : H1/N]| .
Berikutnya misalkan H ⊳ G , maka H/N ⊳ G/N sebab
(aN)(H/N)(aN)−1 = (aHa−1)/N = H/N.
Sebaliknya, misalkan H/N ⊳ G/N, maka bila π1 : G/N → (G/N)/(H/N) adalahpemetaan natural, didapat Ker(π1 ◦ π) = H. Jadi H ⊳ G .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Sifat
Sifat berikut sederhana tetapi berguna bagi kriteria kenormalan darisuatu grup.
Sifat
Misalkan H < G dengan |[G : H ]| = 2, maka H ⊳ G .
Bukti
Misalkan a ∈ G . Bila a ∈ H , maka aHa−1 = H . Bila a /∈ H , makaG = H ∪ aH sebab |[G : H ]| = 2. Tetapi juga G = H ∪ Ha sebab|[G : H ]| = 2. Jadi aH = Ha akibatnya aHa−1 = H untuk semua a ∈ Gdengan demikian H ⊳ G .
Suatu isomorpisma grup φ : G → G dinamakan suatu automorpisma dan
notasi Aut(G) menyatakan himpunan dari semua automorpisma dari G .
Dengan operasi biner komposisi fungsi Aut(G) adalah suatu grup
faktanya bahwa Aut(G) adalah subgrup dari grup permutasi SG .Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Contoh
Contoh
1 Aut(Z) ∼= Z2. Sebab, misalkan φ ∈ Aut(Z). Maka bila φ(1) = rdidapat φ(m) = mr . Jadi Z = Im(φ) = 〈r〉. Maka dari itu r = ±1.Dengan demikian
φ(m) = m atau φ(m) = −m
untuk semua m ∈ Z.
2 Misalkan G = {(a, b) | a, b ∈ Z}. Maka Aut(G) tidak abelian, sebab
Aut(G) ∼= GL(2,Z) =
{[a bc d
]∣∣∣∣ab, c , d ∈ Z, ad − bc = ±1
}
3 Contoh berikut dapat digunakan sebagai latihan. Misalkan Vadalah Klein group-4. Maka Aut(V ) ∼= S3.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Inner dan Outer Automorpisma
Bila a ∈ G didefinisikan Ia : G → G oleh Ia(b) = aba−1 , naka Ia ∈ Aut(G). Suatu automorpisma dari G yangmempunyai bentuk Ia untuk beberapa a ∈ G dinamakan suatu inner automorpisma atau konjugasi dari G .Sedangkan semua automorphisma yang lain dinamakan outer automorpisma dari G . Misalkan Inn(G) adalahhimpunan dari semua inner automorpisma dari G . Didifinisikan suatu fungsi Φ : G → Aut(G) oleh Φ(a) = Ia,maka Im(Φ) = Inn(G).
Sifat
Funngsi Φ adalah suatu homomorpisma grup dengan Im(Φ) = Inn(G) dan
Ker(Φ) = Z(G),
dengan Z(G) adalah senter dari G yaitu
Z(G) = {a ∈ G | ab = ba untuk semua b ∈ G}.
Bukti
Untuk sebarang x ∈ G didapat
Φ(ab)(x) = Iab(x) = (ab)x(ab)−1 = a(bxb−1)a−1 = Ia(Ib(x)) = Φ(a)(Φ(b)(x)) = Φ(a) ◦ Φ(b)(x). JadiΦ(ab) = Φ(a)Φ(b). Maka dari itu Φ adalah suatu homomorpisma grup. Sisa bukti jelas.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Kesimpulan dan Contoh
Kesimpulan Inn(G) ∼= G/Z (G).
Contoh
1 Grup S3 mempunyai Z (S3) = {e}. Jadi Inn(S3) ∼= S3/{e} = S3.Ingat bahwa S3 = {e, a, a2, b, ab, a2b} dengan a, b memenuhia3 = e = b2 dan ba = a2b. Elemen a dan a2 mempunyai order 3dan b, ab, a2b mempunyai order 2. Jadi bila φ ∈ Aut(S3), makaφ(a) ∈ {a, a2} dan φ(b) ∈ {b, ab, a2b}. Karena S3 dibangun oleh{a, b}, maka automorpisma φ secara lengkap ditentukan oleh φ(a)dan φ(b). Jadi |Aut(S3)| ≤ 6 dan dapat disimpulkan
Aut(S3) = Inn(S3) ∼= S3.
2 Bila G abelian maka setiap nontrivial automorpisma dari G adalahsuatu outer automorpisma.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Sifat
Sifat
Aut(Zn) ∼= U(n), dengan U(n) = {m | 1 ≤ m < n, (m, n) = 1}
Bukti
Perhatikan bahwa U(n) dengan operasi perkalian modulo n adalah grup dan grupZn = 〈1〉 dengan operasi tambah modulo n. Misalkan φ ∈ Aut(Zn). Karena 1 adalahgenerator dari Zn, maka secara lengkap φ ditentukan oleh φ(1) = m. Karena φ suatuisomorpisma dan |1| = n, maka |m| = n. Misalkan d = Kpk(m, n). maka n| n
dm. Jadi
ndm = nm
d= 0 di Zn. Karena n adalah kelipatan terkecil dari m yang memberikan
nmd
= 0 di Zn, maka haruslah d = 1. Jadi m ∈ U(n). Juga setiap m ∈ U(n)menentukan suatu pemetaan φm : Zn → Zn dengan φm(r) = rm. Dapat ditunjukkanbahwa φm ∈ Aut(Zn). Dengan demikian didapat korespondensi satu-satu darihimpunan Aut(Zn) ↔ U(n) yang diberikan oleh φm ↔ m. Korespondensi ini adalahsuatu isomorpisma grup, sebab untuk setiap r ∈ Zn didapat
φm1φm2 (r) = φm1(φm2 (r)) = φm1(m2r) = m1m2r = φm1m2 (r).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Representasi Permutasi
Bila X sebarang himpunan takkosong, maka SX = {f : X → X | f bijektif} adalahsuatu grup dengan operasi biner komposisi fungsi. Grup SX dinamakan grup simetripada X atau grup dari permutasi dari X . Suatu grup permutasi adalah subgrup dariSX untuk beberapa X . Theorema berikut menunjukkan bahwa semua grup dapatdisajikan sebagai grup permutasi untuk suatu pilihan yang tepat dari X .
Teorema Cayley
Setiap grup G isomorpik dengan subgrup simetri dari SG .
Bukti
Difinisikan Φ : G → SG oleh Φ(a) = fa dengan fa(g) = ag untuk setiap g ∈ G . Dapatditunjukkan bahwa masing-masing fa adalah bijektif pada G , jadi fa ∈ SG . Φ adalahhomorpisma grup, sebab untuk setiap g ∈ G
Φ(ab)(g) = fab(g) = (ab)g = a(bg) = fa(fb(g)) = Φ(a)Φ(b)(g)
dan Ker(Φ) = {a ∈ G |Φ(a) = fa = fe} = {a ∈ G | ag = eg , ∀g ∈ G} = {a = e}. JadiΦ surjektif. Didapat G ∼= Im(Φ) ⊆ SG .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Catatan
Homomorpisma Φ dinamakan representasi regular kiri dari G . Bila |G | < ∞, maka Φsuatu isomorpisma hanya bila |G | ≤ 2. Sebab bila |G | > 2, maka |SG | = |G |! > |G |.Suatu representasi dari G adalah sebarang homomorpisma φ : G → SX untukbeberapa himpunan X . Representasi regular kiri adalah contoh untuk X = G Contohpenting lain, yang mana |X | secara substansi lebih kecil dari |G |. Hal ini diperoleh bilaX = G/H yang mana H adalah suatu subgrup dari G dan tidak harus H subgrupnormal dari G . Jadi ruang koset G/H hanya suatu himpunan, tidaklah perlu G/Hsuatu grup. Difisikan ΦH : G → SG/H oleh ΦH(a)(bH) = abH.
Sifat
Bila H suatu subgrup dari G , maka ΦH : G → SG/H adalah suatu homomorpismagrup dan Ker(ΦH ) adalah subgrup normal terbesar yang termuat dalam H.
Bukti
Bila abH = acH, maka bH = cH, jadi ΦH (a) adalah fungsi satu-satu di G/H dansurjektif. Sebab, ΦH(a)(a
−1bH) = bH. Jadi ΦH(a) ∈ SG/H . Sebagaimana telahditunjukkan dalam Teorema Cayley, ΦH adalah homomorpisma grup.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Lanjutan Bukti
Lanjutan Bukti
Jadi Ker(ΦH ) ⊳ G dan bila a ∈ Ker(ΦH ), maka aH = ΦH (a)(H) = H. Jadi a ∈ H.Dengan demikian Ker(ΦH ) adalah suatu subgrup normal dan Ker(ΦH ) ⊆ H.Selanjutnya bila N ⊳ G dan N ⊆ H, misalkan a ∈ N. MakaΦH (a)(bH) = abH = baH = bH sebab b−1ab = a ∈ N ⊆ H. Jadi a ∈ Ker(ΦH )dengan demikian N ⊳Ker(ΦH ) dan Ker(ΦH ) adalah subgrup normal terbesar yangtermuat dalam H.
Kegunaan sifat ini dapat dilihat pada kesimpulan berikut.
Kesimpulan
Misalkan H < G dengan |G | < ∞ dan |G | tidak membagi |[G : H]|!. Maka ada suatusubgrup N ⊆ H dengan N 6= {e} dan N ⊳ G .
Bukti
Misalkan N adalah representasi permutasi ΦH . Dari sifat sebelumnya N adalahsubgrup normal terbesar dan N ⊆ H. Telah diketahui bahwa G/N ∼= Im(ΦH ) < SG/H .Jadi |G |/|N| = |Im(ΦH )| | |SG/H | = |[G : H]|!. Karena |G | tidak membagi |[G : H]|!,maka haruslah |N| > 1. Jadi N 6= {e}.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Kesimpulan
Kesimpulan
Misalkan H < G dengan |G | < ∞ sedemikian hingga
(|H|, (|[G : H]| − 1)!) = 1,
maka H ⊳ G .
Bukti
Misalkan N = Ker(ΦH ). Maka N ⊆ H dan G/N ∼= Im(ΦH ). Jadi
(|G |/|N|) | |[G : H]|! = (|G |/|H|)! .
Maka dari itu(|G |/|H|).(|H|/|N|) | |[G : H]|!,
jadi (|H|/|N|) | (|[G : H]| − 1)!. Tetapi
|H| dan (|[G : H]| − 1)!
tidak mempunyai faktor persekutuan, maka dari itu haruslah |H|/|N| = 1. Jadi H = N.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Teorema Cauchy
Kesimpulan
Misalkan p adalah bilangan prima terkecil yang membagi |G |. Maka setiap subgrup dari G dengan indeks p adalahsubgrup normal.
Bukti
Misalkan H < G dengan |[G : H]| = p dan r = |H| = |G |/p. Maka setiap pembagi prima dari r lebih besar atausama dengan p, jadi dari kesimpulan sebelumnya (|H|, (|[G : H]| − 1)!) = (r, (p− 1)!) = 1. Maka dari itu H ⊳G .
Teorema Cauchy
Misalkan G grup dengan |G | < ∞ dan p suatu bilangan prima yang membagi |G |. Maka G mempunyai subgrupdengan order p.
Bukti
MisalkanX = {a = (a0, a1, · · · , ap−1 | ai ∈ G , a0a1 · · · ap−1 = e}.
Didapat suatu representasi dari Zp pada X dengan homomorpisma φ : Zp → SX diberikan oleh
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Teorema Isomorpisma
Lanjutan Bukti
Lanjutan Bukti
φ(i)(a) = φ(i)(a0, a1, · · · , ap−1) = (ai , ai+1, · · · ap−1, a0, · · · , ai−1).
Catatan bahwa (ai · · · ap−1) = (a0 · · · ai−1)−1, jadi φ(i)(a) ∈ X . Selanjutnya dapat
didefinisikan suatu relasi ekivalen pada X oleh a ∼ b bila φ(i)a = b untuk beberapa i .Maka X dipartisi kedalam klas ekivalen. Dalam hal ini masing-masing klas ekivalenberisi tepat satu elemen atau p elemen dari X . Bila n1 banyaknya klas ekivalen dengansatu elemen dan np menyatakan banyaknya klas ekivalen dengan p elemen, maka
|X | = n.1 + np .p
Selanjutnya X mempunyai m = |G |p−1 elemen, sebab dapat dipilih sebaranga0, · · · , ap−1 dan ap−1 = (a0 · · · ap−2)−1 tunggal. Jelas bahwa m adalah kelipatandari p, dengan demikian n1 harus dapat dibagi oleh p. Selanjutnya n1 ≥ 1 sebab adasuatu klas ekivalen {(e, · · · , e}. Maka dari ada klas ekivalen yang lain dengan tepatsatu elemen, semua klas ekivalen ini adalah {a, · · · , a} dan berkenaan dengan definisianggota X , maka haruslah a ∈ G dan memenuhi ap = e. Dengan kata lain ada elemena ∈ G dengan |a| = p. Dengan demikian didapat H = 〈a〉 adalah subgrup dari Gdengan |H| = p dan p membagi |G |.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Tindakan Suatu grup G pada X 6= ∅
Tindakan Suatu grup G pada X 6= ∅
Definisi
Misalkan G suatu grup dan himpunan takkosong X . Suatu tindakan dari G pada X adalah suatu representasipermutasi Φ : G → Sx . Umumnya ditulis gx untuk Φ(g)(x). Fakta bahwa Φ adalah suatu homomorpisma berartibahwa g(hx) = (gh)x untuk semua g, h ∈ G dan x ∈ X sedangkan ex = x dengan e ∈ G adalah elemenidentitas. Berkenaan dengan sebarang x ∈ X ada Gx ⊆ X dan suatu subgrup G(x) dari G yang didifinisikansebagai berikut:
1 Gx = {gx | g ∈ G} dinamakan orbit dari ari x .
2 G(x) = {g ∈ G | gx = x} dinamakan stabiliser dari x .
Sifat
Misalkan G bertindak pada himpunan berhinnga X , maka
|Gx| = |[G : G(x)]| , untuk setiap x ∈ G .
Bukti
Karenagx = hx ⇔ g
−1h ∈ G(x) ⇔ gG(x) = hG(x),
ada suatu fungsi bijektif φ : Gx → G/G(x) yang didefinisikan oleh φ(gx) = gG(x). Jadi |Gx| = |[G : G(x)]|.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Tindakan Suatu grup G pada X 6= ∅
Klas Ekivalen dalam suatu Tindakan G
Sifat
Misalkan x1, x2 ∈ X dikatakan bahwa x1 berelasi dengan x2 yaitux1 ∼ x2 bila ada g ∈ G yang memenuhi gx1 = x2. Relasi ini adalahrelasi ekivelen. Kelas ekivelen dari x1 adalah Gx1.
Bukti
Untuk setiap x ∈ X , maka ex = x , jadi x ∼ x . Selanjutnya bilax1 ∼ x2, maka untuk g ∈ G yang sesuai didapat gx1 = x2.Sehingga, g−1(gx1) = g−1x2 atau x1 = g−1x2. Jadi x2 ∼ x1.Berikutnya misalkan x1 ∼ x2 dan x2 ∼ x3, maka untuk g1, g2 ∈ Gyang sesuai didapat g1x1 = x2 dan g2x2 = x3. Sehingga diperoleh(g2g1)x1 = g2(g1x1) = g2x2 = x3. Jadi x1 ∼ x3. Selanjutnya kelasdari x1 adalah {gx1 | g ∈ G} = Gx1.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Tindakan Suatu grup G pada X 6= ∅
Sifat
Sifat
Misalkam grup G bertindak pada suatu himpunan berhingga X . Maka
|X | =N∑
i=1
|[G : G(xi )]| ,
dengan N adalah banyaknya orbit dari G pada X .
Bukti
Dari hasil sebelumnya diketahui bahwa orbit dari G pada X membentuksuatu partisi pada X . Bila banyaknya orbit dari G pada X adalah N danxi ∈ Gxi adalah satu representasi dari orbit Gxi , maka
|X | =N∑
i=1
|Gxi | =N∑
i=1
|[G : G(xi )]| .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Tindakan Suatu grup G pada X 6= ∅
Sifat
Sifat
Misalkan G bertindak pada himpunan berhingga X dan Nmenyatakan banyaknya orbit dari G pada X . Untuk sebarang gtetap di G didifinisikan
I (g)def= |{x ∈ X | gx = x}|,
maka
N =1
|G |
∑
g∈GI (g).
Catatan: Bila N = 1, maka dikatakan bahwa G bertindak secaratransitif pada X , yaitu untuk setiap x1, x2 ∈ G ada g ∈ G sehinggagx1 = x2.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Tindakan Suatu grup G pada X 6= ∅
Bukti
Bukti
Difinisikan suatu fungsi
T : G × X → {0, 1} oleh T (g , x)def=
{
1, gx = x
0, gx 6= x.
Sehingga, untuk sebarang g tetap di G didapat
I (g) =∑
x∈X
T (g , x)
dan untuk sebarang x tetap di X didapat
|G(x)| =∑
g∈G
T (g , x).
Selanjutnya tetapkan representasi dari N orbit disjoint dari G dalam X yaitux1, x2, . . . , xN .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Tindakan Suatu grup G pada X 6= ∅
Lanjutan Bukti
Bukti
Didapat
∑
g∈G
I (g) =∑
g∈G
∑
x∈X
T (g , x)
=∑
x∈X
∑
g∈G
T (g , x)
=∑
x∈X
|G(x)| =∑
x∈X
|G ||Gx |
=N∑
i=1
∑
x∈Gxi
|G ||Gx |
=N∑
i=1
∑
x∈Gxi
|G ||Gxi |
=N∑
i=1
|Gxi ||G ||Gxi |
=N∑
i=1
|G |
= N.|G |.
Terlihat bahwa N =1
|G |∑
g∈G
I (g).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Tindakan Suatu grup G pada X 6= ∅
Contoh
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1Suatu tongkat terdiri dari dua bagian, yaitu bagian 1 dan bagian 2. Bila padamasing-masing bagian akan diwarnai dengan 3 warna yang berbeda, yaitu merah,hitam, biru. Maka berapa banyak cara yang berbeda dari hasil pewarnaan togkattersebut bila aturan pewarnaan adalah satu bagian dari tongkat hanya boleh diwarnaioleh satu warna saja.
Jawab Ada sebanyak 32 = 9 cara pewarnaan, yaitu
x1 = mm, x2 = hh, x3 = bb, x4 = mh, x5 = hm, x6 = mb, x7 = bm, x8 = hb, x9 = bh,
dimana m = merah, h = hitam, b = biru. Dari hasil pewarnaan ini terlihat yang
berbeda ada 6, sebagaimana diberikan dalam gambar.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Tindakan Suatu grup G pada X 6= ∅
Lanjutan Jawaban
Jawaban yang diberikan sebelumnya kita cek dengan teori yang telah dibahas
berkaitan dengan tindakan suatu grup terhadap suatu himpunan takkosong. Dalam
hal ini himpunan X 6= ∅ adalah X = {x1, x2, . . . , x9} dan grup G adalah grup
permutasi dari dua elemen yaitu G = {(), (1, 2)}. Grup G bertindak pada X sebagai
berikut: ()xi = xi , i = 1, . . . , 9, (1, 2)x1 = x1, (1, 2)x2 = x2, (1, 2)x3 = x3, (1, 2)x4 =
x5, (1, 2)x5 = x4, (1, 2)x6 = x7, (1, 2)x7 = x6, (1, 2)x8 = x9, (1, 2)x9 = x8. Selanjutnya
tentukan orbit dari masing-masing xi ; yaitu Gxi = G ⇒ |Gxi | = 2, i = 1, 2, 3 dan
Gxi = {()} ⇒ |Gxi | = 1, 3 < i ≤ 9. Banyaknya orbit yang berbeda menyatakan
bayaknya cara pewarnaan yang berbeda, misalkan N. Sehingga didapat:
N =1
|G |9∑
i=1Gxi =
1
2(2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) = 6. Terlihat, hasilnya sama
dengan hasil yang diperoleh sebelumnya. Bisa juga dihitung sbg:
I () = X ⇒ |I ()| = 9, I (1, 2) = {x1, x2, x3} ⇒ |I (1, 2)| = 3. Jadi
N =1
|G |∑
g∈G
=1
2(9 + 3) = 6.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Tindakan Suatu grup G pada X 6= ∅
Contoh
Contoh
Berapa banyaknya cara perwanaan yang berbeda pada sisi-sisi segitiga sama sisidengan empat warna yang berbeda merah, hitam, biru dan hijau. Cara pewarnaanpada satu sisi hanya boleh diwarnai oleh satu warna saja.
Jawab
Banyaknya cara yang terjadi adalah 43 = 64 cara. Misalkan X adalah himpunan daricara pewarnaan sisi-sisi segitiga, jelas bahwa |X | = 64 dan grup yang berindak pada X
adalah G = S3. Grup G sama dengan grup < {a, b} > dimana a3 = (), b2 = () danba = a2b. Jadi G = {(), a, a2, b, ab, a2b} dan |I ()| = 64, |I (a)| = 4 (semua sisi harussama dan ada 4 warna yg berbeda), |I (a2)| = 4 (alasan sama seperti a), |I (b)| = 16(dua sisi yg dicerminkan harus berwarna sama ada 4 pilihan dan sisi yg lain bisasebarang warna (kali 4 pilihan)), |I (ab)| = 16 dan |I (a2b)| = 16 (alasan seperti b).Sehingga didapat orbit yang berbeda
N =1
6(64 + 4 + 4 + 16 + 16 + 16) = 20. Jadi banyaknya pewarnaan yang berbeda
adalah 20.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Grup Permutasi
Grup Permutasi
Grup PermutasiMisalkan S = {1, 2, . . . n} dan Sn adalah himpunan dari semua fungsi satu-satu padaf : S → S. Maka Sn dengan operasi komposisi fungsi merupakan suatu grup, grup inidinamakan suatu grup permutasi Selanjutnya misalkanf (1) = a1, f (2) = a2, . . . , f (n) = an, dimana aj ∈ S dengan j = 1, 2, . . . , n. Keadaanyang demikian ini dinotasikan oleh:
f =
(1 2 . . . n
a1 a2 . . . an
)
.
Bila f , g , h ∈ Sn, maka komposisi dari f dan g ditulis fg juga di Sn, f (gh) = (fg)h,elemen netral di Sn fungsi identitas:
e =
(1 2 . . . n
1 2 . . . n
)
dan bila f ∈ Sn, maka invers fungsi ini adalah f −1 diberikan oleh
(a1 a2 . . . an1 2 . . . n
)
.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Grup Permutasi
Contoh
ContohMisalkan S = {1, 2, 3} maka |S3| = 3! = 6. Elemen-elemen dari S3 adalah:
e =
(1 2 31 2 3
)
, a =
(1 2 31 3 2
)
, b =
(1 2 32 1 3
)
,
c =
(1 2 32 3 1
)
, d =
(1 2 33 1 2
)
, f =
(1 2 33 2 1
)
.
Sedangkan
ab =
(1 2 31 3 2
)(1 2 32 1 3
)
=
(1 2 33 1 2
)
= d,
ba =
(1 2 32 1 3
)(1 2 31 3 2
)
=
(1 2 32 3 1
)
= c
a−1 =
(1 2 31 3 2
)
= a,d−1 =
(1 2 32 3 1
)
= c.
Grup S3 tidak komutatif sebab ab 6= ba.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Grup Permutasi
Sikel dan Notasi Sikel
Sikel dan Notasi sikelMisalkan S = {1, 2, 3, . . . , n} dan ai , aj , . . . dst adalah elemen-elemen di S. Bilaf ∈ Sn dengan sifat f (a1) = a2, f (a2) = a3, . . . , f (ak−1) = ak , f (ak) = a1 danf (aj ) = aj untuk j 6= 1, 2, 3 . . . , k. Pemutasi semacam f ini dinamakan suatu sikel
atau sikel-k dan dinotasikan oleh f = (a1, a2, a3, . . . , ak). Dalam hal ini k merupakanpanjang dari sikel f . Bila suatu sikel panjangnya satu, maka sikel ini adalah identitas(elemen netral). Dua sikel f dan g adalah disjoint bila representasi dari masing-masingsikel tidak ada yang sama dan berlaku fg = gf .ContohMisalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dan
f =
(1 2 3 4 5 6 7 82 4 6 5 1 7 3 8
)
,
maka f (1) = 2, f (2) = 4, f (4) = 5, f (5) = 1 ⇒ g = (1, 2, 4, 5) dan
f (3) = 6, f (6) = 7, f (7) = 3 ⇒ h = (3, 6, 7). Jadi f = gh = hg , disini terlihat bahwa
permutasi f merupakan komposisi dari sikel g dan h yang saling asing.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Grup Permutasi
Lanjutan Contoh
Lanjutan Contoh..Permutasi
σ =
(
1 2 3 4 5 6 76 3 5 1 4 2 7
)
= (1, 6, 2, 3, 5, 4, )
dan
τ =
(
1 2 3 4 5 61 4 2 3 5 6
)
= (2, 4, 3)
σ adalah sikel dengan panjang 6 sedangkan τ adalah sikel dengan panjang 3.Tidak semua permutasi merupakan sikel, misalnya
(
1 2 3 4 5 62 4 1 3 6 5
)
= (1, 2, 4, 3)(5, 6).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Grup Permutasi
Lanjutan Contoh
Lanjutan Contoh..Notasi sikel memudahkan memperoleh komposisi dari sikel-sikel. Diberikan dua sikelσ = (1, 3, 5, 2) dan τ = (2, 5, 6), maka στ = (1, 3, 5, 6). Bila µ = (1, 6, 3, 4), makaσµ = (1, 6, 5, 2)(3, 4). Untuk sikel-sikel yang saling asing, maka komposisinya sangatmudah, misalnya dua sikel a = (1, 3, 5) dan b = (2, 7), maka komposisiab = (1, 3, 5)(2, 7). Masing-masing sikel σ, τ dan µ dapat diungkapkan sebagai
σ1 7→ 33 7→ 55 7→ 22 7→ 14 7→ 46 7→ 6
,
τ2 7→ 55 7→ 66 7→ 21 7→ 13 7→ 34 7→ 4
dan
µ1 7→ 66 7→ 33 7→ 44 7→ 12 7→ 25 7→ 5
Untuk sikel-sikel yang saling asing a dan b, juga didapat
ab = (1, 3, 5)(2, 7) = (2, 7)(1, 3, 5) = ba. Hal ini berlaku untuk sebarang sikel-sikel
yang saling asing sebagaimana ditunjukkan berikut ini.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Grup Permutasi
Teorema
Toerema
Misalkan σ dan τ adalah dua sikel yang saling asing di SX . Maka στ = τσ.
Bukti
Misalkan σ = (a1, a2, . . . , am) dan τ = (b1, b2, . . . , bn). Harus ditunjukkanbahwa στ (x) = τσ(x),∀x ∈ X . Bila x tidak di {a1, a2, . . . , am} atau juga tidakdi {b1, b2, . . . , bn}, maka σ(x) = x dan τ (x) = x . Oleh karena itu
στ (x) = σ(τ (x)) = σ(x) = x = τ (x) = τ (σ(x)) = τσ(x).
Selanjutnya, misalkan bahwa x ∈ {a1, a2, . . . , am}, maka x = ai untuk suatui ∈ {1, 2, . . . ,m} dan σ(ai) = a(i mod m)+1. Sehingga didapatστ (x) = στ (ai) = σ(τ (ai)) = σ(ai) = a(i mod m)+1 = τ (a(i mod m)+1) =τ (σ(ai)) = τ (σ(x)) = τσ(x). Dengan cara yang sama bila x ∈ {b1, b2, . . . , bn},didapat στ (x) = τσ(x).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Grup Permutasi
Teorema
Torema
Setiap permutasi σ ∈ SX merupakan hasil dari komposisi sikel-sikel yang saling asing.
Bukti
Misalkan X = {1, 2, . . . , n} dan sebarang permutasi σ ∈ SX . DifinisikanX1 = {σ(1), σ2(1), . . .}. Himpunan X1 berhingga, sebab X berhingga. Selanjutnyamisalkan i adalah bilangan bulat pertama di X dengan i /∈ X1 dan difinisikanX2 = {σ(i), σ2(i), . . .}. Lagi, himpunan X2 ini berhingga. Proses ini dilanjutkansehinga didapat himpunan yang saling asing X3,X4, . . .. Proses ini dijamin akanberhenti sebab X berhingga, misalkan proses sampai r . Bila σi adalah sikel yangdidefinisikan oleh
σi (x) =
{σ(x) x ∈ Xi
x x /∈ Xi ,
maka σ = σ1σ2 . . . σr . Karena X1,X2, . . . ,Xr adalah saling asing, maka σ1, σ2, . . . , σr
adalah sikel-sikel yang saling asing juga.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Grup Permutasi
Relasi Biner ∼σ
Definisi
Misalkan σ ∈ Sn, n ≥ 1. Pada S = {1, 2, . . . , n} didefinisikan suatu relasi biner∼σ oleh a ∼σ b, bila b = σka untuk beberapa k ∈ Z.
Contoh
Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dan
f =
(
1 2 3 4 5 6 7 82 4 6 5 1 7 3 8
)
,
maka 1 ∼f 2, 1 ∼f 4, 1 ∼f 5 dan 3 ∼f 6, 3 ∼f 7. Terlihat bahwa yang beradadalam satu sikel adalah sama terhadap relasi ∼f . Ada 3 sikel dalam f yaitu(1, 2, 4, 5), (3, 6, 7) dan (8). Sikel-sikel ini jelas saling asing sehingga mempartisihimpunan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} menjadi tiga bagian sesuai banyaknya sikel.Hasil ini mengarah bahwa relasi ∼f adalah relasi ekivalen sebagaimanaditunjukkan berikut ini.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Grup Permutasi
Sifat
Sifat
Relasi ∼σ sebagaiman yang telah didefinisikan sebelumnya adalah relasiekivalen pada himpunan S .
Bukti
Relasi ∼σ adalah refleksif, sebab untuk setiap a ∈ S σ0a = a. Relasi ∼σ adalahsimetri, sebab bila a ∼σ b, a, b ∈ S , maka b = σka untuk beberapa k ∈ Z.Sehingga didapat a = σ−kb atau b ∼σ a. Relasi ∼σ adalah transitif, sebab bilaa ∼σ b dan b ∼σ c dengan a, b, c ∈ S , maka b = σma dan c = σnb untukbeberapa m, n ∈ Z. Sehingga didapat c = σnσma = σn+ma atau a ∼σ c.
Notasi sikel untuk merepresentasikan suatu permutasi akan memudahkan,
selanjutnya permutasi identitas donotasikan oleh ( ). Suatu sikel dengan
panjang dua dinamakan transposisi.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Grup Permutasi
Contoh
Contoh
Sikel (2, 3, 4, 6, 8) dapat ditulis sebagai hasil komposisi transposisi sebagaiberikut (2, 3, 4, 6, 8) = (2, 8)(2, 6)(2, 4)(2, 3). Penulisan komposisi transposisiini tidak tunggal. Komposisi yang lain adalah(2, 3, 4, 6, 8) = (2, 3)(3, 4)(4, 6)(6, 8). Begitu juga permutasi berikut ini(1, 6)(2, 5, 3) = (1, 6)(2, 3)(2, 5) = (1, 6)(4, 5)(2, 3)(4, 5)(2, 5). Dari beberapahasil ini terlihat tidak ada cara merepresentasikan permutasi sebagai hasilkomposisi transposisi secara tunggal. Misalnya, permutasi identitas dapatdituliskan sebagai (1, 2)(1, 2), (1, 3)(2, 4)(1, 3)(2, 4) dan beberapa cara yanglainnya. Bagaimanapun hal ini, memberikan suatu hasil bahwa tidak adapermutasi dapat ditulis sebagai hasil komposisi transposisi yang banyaknyagenap dan sekaligus juga ganjil. Misalnya, berbagai penyajian dari permutasi(1, 6) adalah (2, 3)(1, 6)(2, 3) atau (3, 5)(1, 6)(1, 3)(1, 6)(1, 3)(3, 5)(5, 6),tetapi hal ini memperlihatkan bahwa permutasi (1, 6) selalu akan merupakanhasil komposisi transposisi yang banyaknya ganjil.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Grup Permutasi
Lemma
Lemma
Setiap permutasi merupakan hasil komposisi dari transposisi.
Bukti
Hali, ini cukup dibuktikan sebagai berikut :
(a1, a2, . . . , as) = (a1, as)(a1, as−1) . . . (a1, a2).
Diberikan permutasi σ ∈ Sn. Didefisikan tanda dari σ dinotasikan oleh sgn(σ) adalahbilangan
sgn(σ) =∏
i<j
σ(i)− σ(j)
i − j
Contoh
Permutasi identitas ( ) dari Sn , maka sgn( ) = 1, sebab 1 =∏
i<j
i−ji−j
. Sedangkan permutasi σ = (1, 2), maka
sgn(σ) = −1, sebab 1 =∏
i<j
i−ji−j
untuk i, j > 2 dan −1 =σ(1)−σ(2)
1−2= 2−1
1−2.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Grup Permutasi
Teorema
Teorema
Misalkan σ, τ ∈ Sn , maka sgn(στ) = sgn(σ)sgn(τ)
Bukti
sgn(στ) =∏
i<j
στ(i)− στ(j)
i − j
=∏
i<j
σ(τ(i))− σ(τ(j))
τ(i)− τ(j)
∏
i<j
τ(i) − τ(j)
i − j
=∏
i<j
σ(τ(i))− σ(τ(j))
τ(i)− τ(j)sgn(τ)
Perhatikan bahwa, untuk 1 ≤ k < l ≤ n berlakuσ(k)−σ(l)
k−l=
σ(l)−σ(k)l−k
. Karena σ, τ adalah permutasi, maka
ada b 6= a dengan τ(i) = a, τ(j) = b. Sehingga didapat στ(i) = σ(a), στ(j) = σ(b). Jadiστ(i)−στ(j)τ(i)−τ(j)
=σ(a)−σ(b)
a−bdan
∏
i<j
στ(i)−στ(j)τ(i)−τ(j)
=∏
a<b
σ(a)−σ(b)a−b
= sgn(σ). Maka dari itu, didapat
sgn(στ) = sgn(σ)sgn(τ).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Grup Permutasi
Grup Alternating
Himpunan An merupkan himpunan bagian dari himpunan Sn, yaituhimpunan dari semua permutasi genap. Himpunan An ini merupakansuatu subgrup dari Sn sebagaimana ditunjukkan dalam Teorema berikut.Selanjutnya An dinamakan grup alternating. Grup alternating merupkansuatu grup yang penting dalam pembehasan grup permutasi.
Teorema
Teorema : Himpunan An adalah suatu subgrup dari grup Sn.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Grup Permutasi
Bukti
Bukti
Karena hasil kali dari dua permuatasi genap adalah permutasi genap,maka An tertutup. Identitas adalah permutasi genap jadi berada di An.Bila σ adalah permutasi genap, maka
σ = σ1σ2 . . . σr ,
dimana σi adalah suatu transposisi untuk setiap i = 1, 2, . . . , r dan radalah bilangan bulat genap. Karena invers dari suatu transposisi adalahtransposisi yang sama dengan transposisi itu sendiri, maka
σ−1 = σrσr−1 . . . σ1.
Jadi σ−1 juga di An.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Grup Permutasi
Proposisi
Proposisi
Banyaknya permuatasi genap di Sn untuk n ≥ 2 sama dengan banyaknyapermutasi ganjil, jadi |An| = n!
2
Bukti
Misalkan Bn adalah himpunan semua permutasi ganjil. Akan ditunjukkan adapemetaan bijektif dari Bn ke An. Pilih sebarang tetap σ ∈ Bn, definisikanpemetaan
λσ : Bn → An
dengan λσ(τ ) = στ,∀τ ∈ Bn. Misalkan bahwa λσ(τ ) = λσ(µ), maka στ = σµatau τ = µ. Jadi λσ adalah satu satu. Selanjutnya ambil sebarang α ∈ An, pilihpermutasi β = σ−1α. Jelas bahwa β ∈ Bn (sebab σ−1 permutasi ganjil dan αpermutasi genap). Sehingga didapat λσ(β) = σβ = σσ−1α = α. Jadi λσ
adalah pada. Karena λσ adalah satu-satu dan pada, maka λσ adalah bijektif.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Grup Permutasi
Contoh
Contoh
Grup alternating A4 adalah subgrup dari grup permutasi S4. Ada duabelas elemen di A4 yaitu:
() (1, 2)(3, 4) (1, 3)(2, 4) (1, 4)(2, 3)(1, 2, 3) (1, 3, 2) (1, 2, 4) (1, 4, 2)(1, 3, 4) (1, 4, 3) (2, 3, 4) (2, 4, 3).
Terlihat bahwa, elemen-elemen dari A4 kecuali elemen netral mempunyaiorder 2 atau 3. Delapan elemen merupakan sikel dengan panjang tigajadi berorder 3 sedangkan tiga elemen sisanya selain () adalah berorder 2.Walaupun 6 membagi 12 = |A4|, tetapi tidak ada elemen yang beroder 6sebagai anggota A4.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Grup Permutasi
Grup Dihedral
Subgrup dari permutasi grup Sn selain An adalah grup dihedral Dn
yaitu grup permutasi yang mempertahankan bentuk geometri darisegi-n beraturan terhadap rotasi dan pencerminan. Titik sudutpada segi-n beraturan ditandai dengan 1, 2, 3, . . . , n. Ada tepat npilihan untuk mengganti titik yang pertama. Bila titik yangpertama diganti oleh k , maka titik yang kedua diganti oleh k + 1atau k − 1. Jadi ada 2n kemungkinan penggantian dari titik sudutsegin-n beraturan supaya tetap mempertahankan bentuk. Jadigrup Dn mempunyai order sebayak 2n.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Grup Permutasi
Sifat
Sifat
Grup dihedral Dn untuk n ≥ 3 terdiri dari semua hasil kali dua elemen rotasi r danpencerminan s yang memenuhi : rn = e, s2 = e dan srs = r−1 dimana e adalahelemen netral.
Bukti
Ada n kemungkinan rotasi: e, 360◦
n, 2. 360
◦
n, . . . , (n − 1). 360
◦
n. Dalam hal ini rotasi
r = 360◦
n. Rotasi r ini membangun semua rotasi yaitu
rk = k. 360◦
n, k = 0, 1, 2 . . . , (n − 1). Selanjutnya n pencerminan dinotasikan oleh
s1, s2, . . . , sn, dimana sk menyatakan pencerminan yang menyebabkan titik sudut ke-ktetap. Ada dua kasus pencerminan bergantung pada n genap atau ganjil. Bila genap,maka ada dua titik tetap terhadap pencerminan. Bila ganjil, maka hanya ada satutitik tetap terhadap pencerminan. Jadi bila n = 2m, maka si = si+m untuk 1 ≤ i ≤ m.Order sk adalah dua. Misakan s = s1, maka s2 = e dan rn = e. Bila tiktik sudutpertama diganti oleh k dan sudut titik kedua oleh k + 1, maka hal ini dilakukan olehrotasi rk , tetapi bila sudut pertama diganti oleh k dan sudut titik kedua oleh k − 1maka hal ini dilakukan oleh perkalian rk s. Hal ini menunjukkan bahwa Dn dibangunoleh {r , s}. Penjelasan serupa didapat bahwa (srs = r−1?).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Grup Permutasi
Contoh
Contoh
Grup dihedral segi empat beraturan D4 dengan rotasi diberikan oleh
r = (1, 2, 3, 4)r2 = (1, 3)(2, 4)r3 = (1, 4, 3, 2)
dan pencerminan diberikan oleh
s1 = (2, 4) dan s2 = (1, 3).
Dua elemen lainnya adalah
rs1 = (1, 2)(3, 4) dan r3s1 = (1, 4)(2, 3).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Internal Direct Product dan Struktur Grup
Produk Langsung (Direct Product)
Motifasi: Suatu Empat Persegi Panjang membentuk grup simetri.
1 2
34
h
v
r
r = rotasi 180◦
G(�) = {e, r , h, v = rh}. Tabel dari grup G :
* e r h v
e e r h v
r r e v h
h h v e r
v v h r e
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Internal Direct Product dan Struktur Grup
Lanjutan Motifasi
Dengan menggunakan Teorema Lagrange, kemungkinan subgrup dari G berorder1, 2, 4. Misalkan
H1 = {e, r} dan H2 = {e, h}
didapatH1 × H2 = {(e, e), (r , e), (e, h), (r , h)}
Tabel dari grup H1 × H2:
* (e, e) (r, e) (e, h) (r, h)
(e, e) (e, e) (r, e) (e, h) (r, h)(r, e) (r, e) (e, e) (r, h) (e, h)(e, h) (e, h) (r, h) (e, e) (r, e)(r, h) (r, h) (e, h) (r, e) (e, e)
Didapat tabel
* e r h rh
e e r h rh
r r e v h
h h v e r
rh rh h r e
Tabel yang terakhir identik dengan tabel dari grup G .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Internal Direct Product dan Struktur Grup
G Isomorpik dengan Produk Langsung
Didapat suatu hubunganφ : H1 × H2 → G
dengan (x , y) 7→ xy . Pemetaan φ adalah isomorpisma grup, dengan demikian
G ∼= Z2 × Z2∼= C2 × C2,
dengan C2 adalah suatu grup siklik berorder 2. Grup simetri berikut
S3 = {e, (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3), (1, 3, 2)}
mempunyai dua subgrup siklik
H1 = {e, (1, 2)} dan H2 = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}.
DidapatH1 × H2
∼= Z2 × Z3∼= C2 × C3 ≇ S3.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Internal Direct Product dan Struktur Grup
G Isomorpik dengan Produk Langsung
Timbul suatu pertanyaan, apa syarat suatu grup G supaya isomorpik denganproduk langsung dari subgrup-subgrupnya?
Misalkan H1 < G dan H2 < G dan didefinisikan pemetaan
φ : H1 × H2 → G
dengan φ(h1, h2) = h1h2, ∀(h1, h2) ∈ H1 × H2. Pemetaan φ adalah suatuisomorpisma grup, sebagai akibatnya
1 Pemetaan φ adalah satu-satu pada.
2 Pemetaan φ adalah homomorpisma grup.
Pada : Image dari φ adalah himpunan dengan elemen-elemen h1h2 denganh1 ∈ H1 dan h2 ∈ H2, yaitu
H1H2 = {h1h2 | h1 ∈ H1, h2 ∈ H2} .
Jadi dalam hal ini G = H1H2 . Sehingga didapat, bila φ adalah suatu
isomorpisma grup, maka G = H1H2 .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Internal Direct Product dan Struktur Grup
G Isomorpik dengan Produk Langsung
Satu-satu : Misalkan bahwa
φ(h1, h2) = φ(k1, k2)
karena φ adalah satu-satu, maka (h1, h2) = (k1, k2). Hal ini berakibat h1 = k1dan h2 = k2. Tetapi
φ(h1, h2) = h1h2 dan φ(k1, k2) = k1k2.
Jadi h1h2 = k1k2 ⇒ h1 = k1 dan h2 = k2. Hal ini menjelaskan bahwa pemetaanφ satu-satu, maka setiap elemen dari G dapat diungkapkan secara tunggaldalam bentuk h1h2 dengan h1 ∈ H1 dan h2 ∈ H2. Selanjutnya dapatditunjukkan bahwa H1
⋂
H2 = {e} sebagai berikut:Misalkan h ∈ H1
⋂
H2, jadi h = he, h ∈ H1, e ∈ H2 dan h = eh, e ∈ H1, h ∈ H2.Maka dari itu
φ(h, e) = φ(e, h).
Karena φ satu-satu, maka (h, e) = (e, h). Sehingga didapat h = e.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Internal Direct Product dan Struktur Grup
G Isomorpik dengan Produk Langsung
Dengan demikian bila φ adalah suatu isomorpisma grup, maka H1
⋂
H2 = {e}.
Sifat morpisma dari φ :
φ ((h1, h2)(k1, k2)) = φ(h1, h2)φ(k1, k2)
φ(h1k1, h2k2) = (h1h2)(k1k2)
h1k1h2k2 = h1h2k1k2.
Didapat k1h2 = h2k1. Hal ini menunjukkan bahwa setiap elemen dari H1
komutatif dengan setiap elemen dari H2.
Subgrup H1 adalah subgrup normal dari grup G dapat ditunjukkan sebagai
berikut. Misalkan a ∈ G , maka a = h1h2 dengan h1 ∈ H1 dan h2 ∈ H2.
Selanjutnya misalkan sebarang g ∈ aH1a−1, maka didapat g = aha−1 dengan
h ∈ H1.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Internal Direct Product dan Struktur Grup
G Isomorpik dengan Produk Langsung
Jadi
g = aha−1
= h1h2h(h1h2)−1
= h1(h2h)h−12 h−1
1
= h1h(h2h−12 )h−1
1
= h1hh−11 ∈ H1.
Hal ini berakibat bahwa aH1a−1 ⊆ H1 dan jelas bahwa H1 ⊆ aH1a
−1 ⊆ H1.Jadi aH1a
−1 = H1, dengan demikian aH1 = H1a. Hal ini menunjukkan bahwaH1 ⊳ G . Dengan cara serupa dapat ditunjukkan bahwa H2 ⊳ G . Sehinggadidapat: bila φ suatu isomorpisma, maka H1 ⊲ G dan H2 ⊲ G .Secara keseluruhan didapat:Bila φ didefinisikan sebagai φ : H1 × H2 → G denganφ(h1, h2) = h1h2,∀(h1, h2) ∈ H1 × H2 adalah suatu isomorpisma grup, maka
1 G = H1H2
2 H1 ∩ H2 = {e}3 H1 ⊳ G dan H2 ⊳ G .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Internal Direct Product dan Struktur Grup
Hasi Kali Langsung Luar dan Dalam
Misalkan G1,G2, . . . ,Gk adalah group, maka hasil kali
G = G1 × G2 × . . .× Gk = {(g1, g2, . . . , gk) | gi ∈ Gi}
dinamakan hasil kali langsung luar (external direct product). Sedangkan hasilkali
G = G1 × G2 × . . .× Gk = {(g1, g2, . . . , gk) | gi ∈ Gi}dinamakan hasil kali langsung dalam (internal direct product), bila memenuhi
1 G = G1G2 · · ·Gk
2 (G1G2 · · ·Gi ) ∩ Gi+1 = {e}, i = 1, 2, 3, . . . , (k − 1)
3 gigj = gjgi untuk semua gi ∈ Gi dan gj ∈ Gj dengan i 6= j .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Internal Direct Product dan Struktur Grup
Sifat
Sifat
Misalkan G1,G2 adalah grup, dan
G = G1 × G2 = {(g1, g2) | g1 ∈ G1, g2 ∈ G2}
maka|(g1, g2)| = kpk {|g1|, |g2|} .
Bukti
Misalkan (g1, g2) ∈ G1 × G2 dan r = kpk {|g1|, |g2|}, s = |(g1, g2)|. Didapat
(g1, g2)r = (g r
1 , gr2 ) = (e1, e2),
dengan demikian r = n0s untuk beberapa n0 bilangan bulat positip. Khususnyar ≥ s. Tetapi (g s
1 , gs2 ) = (g1, g2)
s = (e1, e2), dengan demikian s = n1|g1| dans = n2|g2|. Jadi s merupakan kelipatan persekutuan dari |g1| dan |g2|, dengandemikian s ≥ r . Sehingga dari r ≥ s dan s ≥ r didapat s = r .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Internal Direct Product dan Struktur Grup
Contoh
Pengkajian Grup dengan order berhingga erat kaitannya dengan grup bilangan bulatmodulo n. Selain grup Zn terhadap operasi +, grup U(n) = {q ∈ Zn | (q, n) = 1}dengan operasi × juga penting dalam kajian struktur dari pada grup berhingga.ContohDalam bilangan bulat modulo 24, diberikan grup U(24)
U(24) = {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}
Semua elemen dari U(24) selain 1 mempunyai order sama dengan 2. Dengan demikianwalaupun U(24) merupakan grup komutatif, tetapi bukan grup siklik. Selanjutnyadiberikan subgrup siklik dari grup U(24)
H = {1, 13}, K = {1, 17} dan L = {1, 11};
dan G = HK = {1, 13, 17, 5}, maka G ∼= H × K ∼= C2 × C2∼= Z2 × Z2. Jelas G bukan
subgrup siklik dari grup U(24). Selanjutnya didapat
GL = {1, 13, 17, 5, 11, 23, 19, 7} = U(24).
Karena GL = U(24), G ∩ L = {1},G ⊳ U(24) dan L ⊳ U(24), maka
U(24) ∼= G × L ∼= H × K × L ∼= C2 × C2 × C2.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Internal Direct Product dan Struktur Grup
Contoh
ContohTentukan banyaknya elemen-elemen yang berorder 5 dalam Z25 × Z5.
JawabDari pembahasan sifat sebelumnya didapat Bila (a, b) ∈ Z25 × Z5, maka
5 = |(a, b)| = kpk{|a|, |b|}.
Didapat |a| = 5 dan |b| = 1 atau |b| = 5 dan |a| = 1. Ada tiga kasus
1 |a| = 5 dan |b| = 5. Ada 4 pilihan dari a dan 4 pilihan dari b. Hal inimemberikan ada 16 elemen berorder 5
2 |a| = 5 dan |b| = 1. Ada 4 pilihan dari a dan hanya 1 pilihan dari b. Jadi ada 4elemen berorder 5.
3 |a| = 1 dan |b| = 5. Ada hanya satu pilihan dari a dan 4 pilihan dari b. Jadi ada4 elemen beroder 5.
Dengan demikian dari tiga kasus didapat ada sebanyak 24 elemen yang berorder 5.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Internal Direct Product dan Struktur Grup
Contoh
ContohTentukan banyaknya subgrup siklik yang berorder 10 dalam Z100 × Z25.JawabDihitung dulu banyaknya elemen (a, b) ∈ Z100 ×Z25 yang berorder 10. Ada dua kasus
1 |a| = 10, |b| = 1 atau |b| = 5. Karena Z100 harus mempunyai subgrup yangberorder 10 dan sebarang grup siklik beroder 10 ada 4 generator. Maka ada 4pilihan dari a. Dengan cara serupa, ada 5 pilihan dari b. Hal ini memberikansebanyak 20 kemungkinan dari (a, b).
2 |a| = 2, |b| = 5. Setiap grup siklik dengan order 2 hanya ada satu, jadi hanyaada 1 pilihan dari a. Sedangkan dari b ada 4 pilihan. Jadi ada 4 kemungkinandari (a, b).
Jadi, Z100 × Z25 mempunyai sebanyak 24 elemen yang beroder 10. Karena
masing-masing subgrup siklik dengan order 10 mempunya 4 elemen yang beroder 10
dan tidak ada diantarnya dua dari subgrup ini mempunyai elemen berorder 10 secara
bersama, maka hanya ada24
4= 6 subgrup siklik yang berorder 10.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Internal Direct Product dan Struktur Grup
Contoh
Contoh berikut akan menguraikan sifat penting kesiklikan dari external direct product.
ContohDiberikan grup
Z2 × Z2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} .
Order elemen dari Z2 × Z2 selain elemen (0, 0) adalah dua. Jadi Z2 × Z2 bukan grupsiklik (sebab tidak ada elemen yang berorder 4). Jadi Z2 × Z2 ≇ Z4. Sedangkan grup
Z2 × Z3 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)} .
Order elemen (1, 1) yang mungkin adalah 2, 3 atau 6,
2(1, 1) = (0, 2), 3(1, 1) = (1, 0) dan 6(1, 1) = (0, 0).
Jadi order dari (1, 1) adalah 6. Didapat
〈(1, 1)〉 = {(1, 1), (0, 2), (1, 0), (0, 1), (1, 2), (0, 0)} = Z2 × Z3.
Dengan demikian Z2 × Z3 adalah grup siklik dan Z2 × Z3∼= Z6.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Internal Direct Product dan Struktur Grup
Sifat
Sifat
Diberikan dua grup siklik G dan H dengan masing order berhingga. Grup G × H
adalah siklik bila dan hanya bila |G | dan |H| relatif prima.
Bukti
Misalkan |G | = m dan |H| = n, jadi |G × H| = mn. Misalkan bahwa G × H adalahsiklik, akan ditunjukkan bahwa m dan n relatif prima. Karena G × H siklik, maka adasuatu elemen (g , h) ∈ G × H berorder mn. Didapat mn = |(g , h)| = kpk{|g |, |h|}.Selain itu |g | membagi m dan |h| membagi n, juga kpk{|g |, |h|} membagi kpk{m, n}.Karena selalu benar bahwa kpk{m, n} ≤ mn, didapat kpk{m, n} = mn. Jadi,fpb{m, n} = 1. Hal ini menunjukkan bahwa m dan n adalah relatif prima. Selanjutnyamisalkan G = 〈g〉 dan H = 〈h〉. Bila fpb{m, n} = 1, maka|(g , h)| = kpk{m, n} = mn = |G × H|. Jadi (g , h) adalah suatu generator dari G × H.Jadi 〈(g , h)〉 = G × H. Maka dari itu G × H adalah grup siklik.
Sebagai akibat dan dengan menggunakan argumentasi induksi didapat kesimpulan
berikut.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Internal Direct Product dan Struktur Grup
Kesimpulan
Kesimpulan
1 Grup G1 × G2 × · · · × Gn adalah siklik dengan Gi adalah siklik dan |Gi |berhingga untuk semua i = 1, 2, . . . , n bila dan hanya bila |Gj | dan |Gk |relatif prima untuk j 6= k .
2 Misalkan m = n1n2 · · · nk , Zm∼= Zn1 × Zn2 × · · · × Znk bila dan hanya bila
nj dan nk relatif prima untuk j 6= k .
Dengan menggunakan hasil-hasil yang telah dibahas, didapat
Z2 × Z2 × Z3 × Z5∼= Z2 × Z6 × Z5
∼= Z2 × Z30.
Dengan cara yang sama didapat
Z2 × Z2 × Z3 × Z5∼= Z2 × Z6 × Z5
∼= Z2 × Z3 × Z2 × Z5∼= Z6 × Z10.
Jadi Z2 × Z30∼= Z6 × Z10. Tetapi Z2 × Z30 ≇ Z60.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Internal Direct Product dan Struktur Grup
Contoh
Diberikan grup U(n) = {m |m dan n relatif prima} dan didefiniskan subgrup
Uk(n) = {x ∈ U(n) | x = 1 mod k}.
Misalnya
U(105) = {1, 2, 4, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 22, 23, 26, 29, 31, 32, 34, 37,38, 41, 43, 44, 46, 47, 52, 53, 58, 59, 61, 62, 64, 67, 68, 71,73, 74, 76, 79, 82, 83, 86, 88, 89, 92, 94, 97, 101, 103, 104}
|U(105)| = 48, maka
U7(105) = {1, 8, 22, 29, 43, 64, 71, 92} dan |U7(105)| = 8.
Berikut diberikan suatu sifat penting dan suatu kesimpulan dari grup U(n).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Internal Direct Product dan Struktur Grup
Sifat dan Kesimpulan
Sifat
Misalkan U(n) = U(rs) dan r dan s relatif prima, maka
U(n) = Ur (n)Us (n) ∼= U(r) × U(s).
Kesimpulan
Misalkan m = n1n2 · · · nk dengan fpb{ni nj} = 1 untuk i 6= j , maka
U(m) = U mn1
(m)U mn2
(m) · · · U mnk
(m)
∼= U(n1) × U(n2) × . . . × U(nk ).
Contoh
U(105) = U(15 · 7) = U15(105) U7(105)
= {1, 16, 31, 46, 61, 76} {1, 8, 22, 29, 43, 64, 71, 92}∼= U(7) × U(15).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Internal Direct Product dan Struktur Grup
Contoh
Contoh
U(105) = U(5 · 21) = U5(105)U21(105)
= {1, 11, 16, 26, 31, 41, 46, 61, 71, 76, 86, 101} {1, 22, 43, 64}∼= U(21) × U(5).
U(105) = U(3 · 5 · 7) = U3(105)U5(105)U7(105)
= {1, 71} {1, 22, 43, 64} {1, 16, 31, 46, 61, 76}∼= U(3) × U(5) × U(7).
ContohTentukan dua digit dari 49111. Karena 49 ∈ U(100), maka nilai yang dicari adalah49111 mod 100. Karena
U(100) ∼= U(4) × U(25) ∼= Z2 × Z20,
dan 20(a, b) = (20a, 20b) = (0, 0) untuk semua (a, b) ∈ Z2 × Z20, maka x20 = 1untuk semua x ∈ U(100). Jadi, dengan mod 100, didapat
49111 =(4920
)54911 = 4911 =
(72)11
= 722 = 720 72 = 49, (sebab 7 ∈ U(100)).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Ring
Suatu ring (R,+, .) adalah suatu himpunan R bersama dengan dua operasibiner + dan · pada R yang memenuhi sifat-sifat berikut. Untuk setiapa, b, c ∈ R:
(i) (a + b) + c = a + (b + c), assosiatif terhadap penjumlahan
(ii) a + b = b + a, komutatif terhadap penjumlahan
(iii) ada 0 ∈ R sedemikian hingga 0 + a = a + 0 = a, keberadaan elemennetral terhadap penjumlahan.
(iv) ada −a ∈ R sedemikian hingga a+ (−a) = −a+ a = 0, keberadaanelemen invers terhadap penjumlahan.
(v) (a.b).c = a.(b.c), assosiatif terhadap perkalian
(vi) ada 1 ∈ R sedemikian hingga 1.a = a.1 = a, keberadaan elemen identitasterhadap perkalian
(vii) a.(b + c) = a.b + a.c dan (b + c).a = b.a + c.a, distributif. Selanjutnyaring (R,+, .) cukup ditulis ring R. Bila ring R mempunyai lagi sifat
(viii) a.b = b.a untuk semua a, b ∈ R, komutatif terhadap perkalian, maka ringR dikatakan ring yang komutatif.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Contoh
ContohHimpunan Z,Q,R dan C terhadap operasi penjumlahan dan perkalianmasing-masing adalah merupakan ring yang komutatif.
1. Himpunan bilangan bulat modulo n, Zn dengan dua operasi biner
[a] + [b]def= [a + b]
dan[a].[b]
def= [a.b]
untuk setiap a,b ∈ Zn adalah suatu ring komutatif
2. HimpunanQ(
√2) = {a + b
√2 | a, b ∈ Q}
terhadap operasi biner penjumlahan dan perkalian adalah suatu ringkomutatif.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Sifat
Sifat
Bila R suatu ring, maka untuk semua a,b ∈ R:
(i) a.0 = 0.a = 0
(ii) a.(−b) = (−a).b = −(a.b)
(iii) (−a).(−b) = a.b
(iv) (−1).a = −a
(v) (−1).(−1) = 1.
Bukti
(i) Gunakan distributif, a.0 = a.(0 + 0) = a.0 + a.0. Tambahkan dengan −(a.0)kedua ruas, didapat a.0 = 0. Dengan cara serupa didapat 0.a = 0.
(ii) Hitung a.(−b) + a.b = a.(−b + b) = a.0 = 0. Sehingga didapata.(−b) = −(a.b).
(iii) Dipunyai bahwa (−a).(−b) = −(a.(−b)) = −(−(a.b)) = a.b.
(iv) Dari (ii), (−1).a = −(1.a) = −a.
(v) Gunakan (iii), (−1).(−1) = 1.1 = 1.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Daerah Integral dan Lapangan
Suatu sifat berguna dari sistem bilangan adalah bila ab = 0, maka a = 0 ataub = 0. Sifat ini mengijinkan bahwa penghapusan elemen taknol, sebab bilaab = ac dan a 6= 0, maka a(b − c) = 0, jadi b = c. Bagaimanapun sifat initidak berlaku untuk semua ring. Suatu contoh dalam Z4, didapat [2].[0] = [0]dan tidak selalu bisa dilakukan penghapusan [2].[1] = [2].[3], sebab biladilakukan diperoleh [1] 6= [3]. Hal ini menjelaskan bahwa pembagian olehelemen taknol tidak selalu berlaku pada semua ring.
Misalkan R suatu ring komutatif, suatu elemen a ∈ R dikatakan suatu pembagi
nol bila ada suatu elemen taknol b ∈ R yang memenuhi a.b = 0. Suatu ring
komutatif R dinamakan suatu Daerah Integral, bila tak memuat elemen
pembagi nol. Atau dengan kata lain, suatu ring komutatif adalah suatu daerah
integral bila a.b = 0 selalu berakibat bahwa a = 0 atau b = 0.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Contoh
Contoh
Himpunan Q,R dan C adalah daerah integral, tetapi Z4 bukan sebab [2] ∈ Z4 adalah pembagi nol, begitu jugaMn(R) bukan daerah integral, sebab
(0 10 0
)2=
(0 00 0
)
.
Sifat
Bila a suatu elemen taknol dari suatu daerah integral R dan a.b = a.c , maka b = c .
Bukti
Bila a.b = a.c , maka a.(b − c) = a.b − a.c = 0. Karena R adalah suatu daerah integral, maka R tak memuatpembagi nol. Dan karena a 6= 0, maka haruslah (b − c) = 0 atau b = c .
Secara umum bisa dikatakan bahwa, dalam suatu ring adalah memungkinkan untuk melakukan penambahan,
pengurangan dan perkalian, tetapi tidak selalu mungkin untuk bisa melakukan pembagian walaupun dengan elemen
taknol.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Lapangan/Field
Suatu sistem bilangan yang paling berguna adalah yang bisadilakukan pembagian oleh elemen taknol. Suatu lapanganadalah suatu ring yang mana elemen-elemen taknolmembentuk suatu grup komutatif terhadap operasi perkalian.Dengan kata lain, suatu lapangan adalah suatu ring komutatifR yang memenuhi lagi sifat :
(ix) Untuk setiap elemen taknol a ∈ R ada a−1 ∈ R sehinggaa.a−1 = a−1.a = 1.
Ring Q,R dan C semuanya adalah lapangan, tetapi himpunanbilangan bulat bukan lapangan.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Sifat
Proposisi
Setiap lapangan adalah suatu daerah integral, yaitu tidak mempunyai elemen pembagi nol.
Bukti
Misalkan dalam suatu lapangan F berlaku a.b = 0. Bila a 6= 0, maka ada suatu invers a−1 ∈ F dan
b = (a−1.a).b = a−1.(a.b) = a−1.0 = 0. Terlihat bahwa bila a 6= 0 dan a.b = 0 berakibat b = 0. Jadi abukan elemen pembagi nol. Oleh karena itu F adalah suatu daerah integral.
Teorema
Setiap daerah integral dengan elemen berhingga adalah suatu lapangan.
Bukti
Misalkan daerah integral D = {x0, x1, . . . , xn} dengan x0 = 0 dan x1 = 1. Untuk sebarang xi 6= 0, himpunanxiD = {xi x0, xi x1, . . . , xi xn} adalah sama dengan D sendiri. Sebab bila xi xj = xi xk , maka xj = xk , jadi semuaelemen xi x0, xi x1, . . . , xi xn adalah berbeda. Tetapi xiD ⊂ D, jadi haruslah xiD = D. Oleh karena itu ada
elemen xj yang memenuhi xi xj = x1 = 1, sehingga didapat x−1i
= xj . Jadi D adalah suatu lapangan.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Teorema
Teorema
Himpunan Zn adalah lapangan bila dan hanya bila n adalah bilangan prima.
Bukti
Misalkan n prima dan [a].[b] = [0] di Zn. Maka n | ab. Jadi
n | a atau n | b,
yaitu[a] = [0] atau [b] = [0].
Jadi Zn adalah Daerah Integral dan karena Zn berhingga, maka Zn adalahlapangan. Misalkan Zn adalah lapangan dan andaikan n bukan prima, makan = rs dimana 1 < r , s < n. Didapat [r ] 6= [0] dan [s] 6= [0], tetapi[r ].[s] = [rs] = [0]. Terlihat bahwa Zn mempunyai pembagi nol, bertentanganbahwa Zn adalah lapangan. Jadi haruslah n prima.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Subring dan Homomorpisma Ring
Bila S himpunan bagian tak kosong dari suatu ring R, maka S dikatakan subring dariR bila untuk semua a, b ∈ S berlaku:
(i) a+ b ∈ S
(ii) −a ∈ S
(iii) a.b ∈ S
(iv) 1 ∈ S
Kondisi (i) dan (ii) berakibat bahwa (S,+) adalah subgrup dari (R,+) dan bisadiganti oleh kondisi a− b ∈ S.
Proposisi
Bila S adalah subring dari ring R, maka S adalah ring.
Bukti
Kondisi (i) dan (iii) menjamin S tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.Kondisi (i) dan (ii) menjamin bahwa (S,+) adalah subgrup dari (R,+), jadi (S,+)adalah suatu grup. Kondisi (iv) menperlihatkan bahwa 1 ∈ S. Sisa kondisi yanglainnya diwarisi dari kenyataan bahwa R adalah ring.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Contoh
Contoh:Z,Q dan R adalah subring dari C. Misalkan D adalah himpunan matriks diagonalberukuran n × n dengan elemen-elemen riil. Maka D adalah subring dari Mn(R)himpunan semua matriks berukuran n × n dengan elemen-elemen rill. Sebabpenjumlah, pengurangan dan perkalian dari dua matriks diagonal menghasilkan lagimatriks diagonal. Catatan bahwa D adalah ring komutatif, walaupun Mn(R) bukanring komutatif.
ContohTunjukkan bahwa Q(
√2) = {a+ b
√2 | a, b ∈ Q} adalah suatu subring dari R.
Penyelesaian . Misalkan a+ b√2, c + d
√2 ∈ Q(
√2), maka
(i) (a + b√2) + (c + d
√2) = (a + c) + (b + d)
√2 ∈ Q(
√2).
(ii) −(a + b√2) = (−a) + (−b)
√2 ∈ Q(
√2).
(iii) (a + b√2)(c + d
√2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)
√2 ∈ Q(
√2).
(iv) 1 = 1 + 0√2 ∈ Q(
√2).
Terlihat bahwa Q(√2) adalah subring dari R.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Homomorpisma Ring
Misalkan (R ,+, .) dan (S ,⊕, ◦) masing-masing adalah ring, makafungsi f : R → S dikatakan suatu homomorpisma ring bila untuksemua a, b ∈ R :
(i) f (a + b) = f (a)⊕ f (b).
(ii) f (a.b) = f (a) ◦ f (b).
Bila homomorpisma ring f adalah satu-satu pada, maka f disebutisomorpisma ring. Dalam hal ini ring R dan S dikatakan salingisomorpik dan ditulis R ∼= S .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Contoh
Contoh
Fungsi f : Z → Zn yang didifinisikan oleh f (x) = [x ] adalah suatuhomomorpisma ring dari Z ke Zn. Fungsi f : Z24 → Z4 denganf ([x ]24) = [x ]4 adalah suatu homomorpisma ring. Pertama bisaditunjukkan bahwa f terdifinisi dengan baik. Bila [x ]24 = [y ]24,maka x ≡ y mod 24 dan 24 | (x − y). Jadi 4 | (x − y) dan[x ]4 = [y ]4. Selanjutnya dalam f berlaku
(i). f ([x ]24 + [y ]24) = f ([x + y ]24) = [x + y ]4 = [x ]4 + [y ]4 =f ([x ]24) + f ([y ]24).
(ii). f ([x ]24.[y ]24) = f ([x .y ]24) = [x .y ]4 = [x ]4.[y ]4 =f ([x ]24).f ([y ]24).
(iii). f ([1]24) = [1]4.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Karakteristik dari Daerah integral D
Misalkan D adalah daerah Integral, D dikatakan berkarakteristik berhingga bila adabeberapa bilangan bulat positip m > 0 dan beberapa a 6= 0 di D yang memenuhima = 0. Dalam hal ini elemen terkecil p yang memenuhi pa = 0 untuk beberapaa ∈ D dinamakan karakteristik dari D. Bila tidak ada m yang memenuhi ma = 0dikatkan D berkarakteristik nol. Perhatikan hal berikut:
pa = a+ a+ a+ · · ·+ a︸ ︷︷ ︸
p
= 0.
Maka untuk sebarang x ∈ D berlaku
0 = (pa)x = (a + a+ a+ · · ·+ a︸ ︷︷ ︸
p
)x
= ax + ax + ax + · · ·+ ax︸ ︷︷ ︸
p
= a(x + x + x + · · ·+ x︸ ︷︷ ︸
p
) = a(px)
karena a 6= 0 dan D tidak memuat pembagi nol, maka haruslah
px = 0, ∀x ∈ D.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Kernel
Misalkan f suatu homomorpisma ring
f : R → R′
dengan 1 dan 1′ masing-masing adalah elemen satuan di R dan R′, maka didapat
f (x) = f (1.x) = f (1)f (x).
Karena di suatu ring, umumnya tidak berlaku hukum kanselasi terhadap perkalian,maka tidak dapat disimpulkan f (1) = 1′. Tetapi bila R′ adalah daerah integral danf (x) 6= 0, maka diperoleh
0 = f (x)− f (1)f (x) = [1′ − f (1)]f (x).
Karena f (x) 6= 0, maka 1′ − f (1) = 0 atau f (1) = 1′. Selanjutnya kernel dari f adalah
ker(f ) = {x ∈ R | f (x) = 0′},
misalkan sebarang x ∈ ker(f ) dan r ∈ R, maka
f (r .x) = f (r)f (x) = f (r).0′ = 0′.
Jadi rx ∈ ker(f ), ∀r ∈ R.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Ideal
Misalkan R adalah suatu ring dan I ⊂ R dengan (I ,+) adalah subgrup dari R, maka I
dikatakan ideal dari R bila ar , ra ∈ I untuk setiap a ∈ I dan r ∈ R. Selanjutnyamisalkan (R,+,×) adalah suatu ring komutatif dan untuk sebarang a ∈ R dengan a
tetap didefinisikan
(a)def= {ra | r ∈ R}.
Himpunan (a) adalah subgrup dari R sebab: untuk setiap x , y ∈ (a), maka adar0, r1 ∈ R sehingga
x − y = r0a− r1a = (r0 − r1)a = ra, dengan r0 − r1 = r ∈ R
terlihat bahwa x − y ∈ (a). Jadi (a) subgrup dari R. Selanjutnya ambil sebarang x di(a) dan r di R, maka ada r0 yang memenuhi
rx = r(r0a) = (rr0)a, dengan rr0 ∈ R.
Terlihat bahwa rx ∈ (a) untuk setiap r ∈ R dan x ∈ (a) dan dari hasil sebelumnya
((a),+) adalah subgrup dari R, dengan demikian (a) adalah ideal dari R.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Ideal Terkecil
Ideal (a) adalah ideal terkecil di R yang memuat a dan a dinamakan generator dariideal (a).
Contoh: Bila F adalah suatu lapangan, maka F hanya mempunyai satu ideal yaitu (0),tidak ada ideal yang lain diantara (0) dan F . Misalkan ideal yang lain dari F adalah I
dengan I 6= (0). Bila a ∈ I dengan a 6= 0, maka a ∈ F dan juga a−1 ∈ F . Jadia−1a = 1 ∈ I . Selanjutnya ambil sebarang r ∈ F , maka r = r .1 ∈ I , dengan demikianF ⊂ I . Tetapi, juga I ⊂ F . Jadi I = F . Dari contoh ini, secara umum didapat sifatberikut
Sifat:
Bila R adalah suatu ring komutatif dengan elemen satuan yang hanya mempunyai
ideal (0) dan R sendiri, maka R adalah suatu lapangan.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Pemetaan Proyeksi Natural
Bila I adalah suatu ideal dari ring R, maka grup faktor R/I terdifinisi dengan baiksebab I ⊳ R terhadap operasi biner tambah. Misalkan π : R → R/I adalah pemetaanproyeksi natural yang didefinisikan oleh π(r) = r + I . Perlu dingat bahwa operasitambah di R/I diberikan oleh (r + I ) + (s + I ) = (r + s) + I . Sedangkan perkaliandalam R/I didefinisikan oleh (r + I )(s + I ) = rs + I . Perluh dicek bahwa difinisi iniadalah bebas dari pilihan representasi koset. Sebab bila r + I = r ′ + I dans + I = s′ + I , maka r ′ = r + a dan s′ = s + b dengan a,b ∈ I . Didapat
r ′s′ = (r + a)(s + b)
= rs + as + rb + ab
= rs + c,
dengan = as + rb + ab ∈ I (sebab I ideal). Jadi rs + I = r ′s′ + I dengan demikian
perkalian koset terdifinisi dengan baik. Dengan difinisi π : R → R/I adalah suatu
homomorpisma ring I = Ker(π) adalah kernel dari homomorpisma.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Teorema
Teorema Isomorpisma Pertama. Misalkan f : R → S suatu homomorpisma ring.Maka R/f ∼= Im(f ).
Bukti. Misalkan K = Ker(f ), dififinisikan f : R/K → Im oleh f (a+ K) = f (a) dapatdicek bahwa difinisi ini well defined isomorpisma grup. Tinggal mengecek operasiperkalian koset
f ((a + K)(b + K)) = f (ab + K) = f (ab) = f (a)f (b) = f (a+ K)f (b + K),
jadi f adalah suatu homomorpisma ring dengan demikian suatu isomorpisma.
Teorema isomorpisma kedua. Misalkan R adalah ring , I ⊆ R adalah suatu ideal danS ⊆ R subring. Maka S + I adalah suatu subring dari R, I adalah suatu ideal dariS + i , S ∩ I adalah suatu ideal dari S. Ada suatu isomorpik ring
(S + I )/I ∼= S/(S ∩ I ).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Bukti
Bukti. Misalkan s, s′ ∈ S dan a, a′ ∈ I , maka
(s + a)(s′ + a′) = ss′ + (as′ + sa′ + aa′) ∈ S + I ,
jadi S + I tertutup terhadap perkalian. Dari pembahasan grup jelas bahwa S + I
adalah grup komutatif terhadap operasi tambah. Dengan demikian S + I adalahsubring dari R. Fakta dari I suatu ideal dari S + I dan S ∩ I suatu ideal dari S adalahjelas. Misalkan π : R → R/I suatu homomorpisma natural dan π0 adalah pembatasandari π pada S. Maka π0 adalah suatu homomorpisma ring dengan Ker(π0) = S ∩ I .Dengan menngunakan teorema isomorpisma pertama didapat
S/(S ∩ I ) = S/Ker(π0) ∼= Im(π0).
Tetapi Im(π0) adalah himpunan dari semua koset dari I dengan representasi di S. JadiIm(π0) = (S + I )/I . Dengan demikian
(S + I )/I ∼= S/(S ∩ I ).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Teorema
Teorema Isomorpisma Ketiga. Misalkan R adalah suatu ring, I dan J adalah ideal dariR dengan I ⊆ J. Maka J/I adalah ideal dari R/I
R/J ∼= (R/I )/(J/I ).
Bukti. Difinisikan suatu fungsi
f : R/I → R/J
olehf (a + I ) = a+ J.
Mudah dicek bahwa f well defining homomorpisma ring. Maka
Ker(f ) = {a+ I | a+ J = J} = {a+ I | a ∈ J} = J/I .
Dengan menggunakan teirema isomorpisma pertama didapat
R/J ∼= (R/I )/(J/I ).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Ring Baru dari Ring Lama
Dibahas pengkontruksian ring baru dari beberapa ring yangdiberikan. Hal ini meliputi produk langsung dari ring, ring matriks,ring polinomial, ring dari barisan dan deret pangkat formal.Mungkin yang paling penting klas dari pengkontruksian ring daribeberapa ring yang diberikan adalah klas dari ring kuasi (ringpembagi). Produk dari dua ring berkaitan dengan cartesian produk(perkalian silang) dari dua himpunan.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Ring Produk
Bila (R ,+, .) dan (S ,+, .) dua ring, maka produk dari ring (R × S ,+, .),
dimana himpunan R × S = {(r , s) | r ∈ R , s ∈ S} dan operasi biner
didifinisikan oleh (r1, s1) + (r2, s2) = (r1 + r2, s1 + s2) dan
(r1, s1).(r2, s2) = (r1.r2, s1.s2). Dapat ditunjukkan bahwa R × S adalah
suatu ring dengan elemen nol (0R , 0S), dimana masing-masing 0R dan 0Sadalah elemen nol di R dan S dan elemen identitas terhadap perkalian
adalah (1R , 1S) dengan masing-masing 1R dan 1S adalah elemen
identitas terhadap perkalian di R dan S . Produk dari ring dapat
dilakukan secara iteratif sampai beberapa kali, contoh (Rn,+, .) adalah
ring komutatif yang merupakan produk dari R sendiri.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Contoh
DiberikanZ2 = {0, 1} dan Z3 = {0, 1, 2},
makaZ2 × Z3 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}
Masing-masing Z2 dan Z3 adalah ring dari himpunan bilangan bulat
modulo 2 dan modulo 3. Dapat ditunjukkan bahwa Z2 × Z3 adalah suatu
grup yang isomorpik dengan grup Z6. Teorema berikut menjelaskan
bahwa Z2 × Z3 adalah suatu ring yang isomorpik dengan ring Z6.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Teorema
Teorema
Ring Zm × Zn isomorpik dengan ring Zmn bila dan hanya bila gcd(m, n) = 1.
Bukti
Bila gcd(m, n) = 1, maka fungsi f : Zmn → Zm × Zn yang didifinisikan olehf ([x]mn) = ([x]m, [x]n) adalah suatu isomorpisma grup. Fungsi f jugamempertahankan perkalian, yaitu
f ([x]mn.[y ]mn) = f ([xy ]mn) = ([xy ]m, [xy ]n)
= ([x]m.[y ]m, [x]n.[y ]n)
= ([x]m, [x]n).([y ]m, [y ]n)
= f ([x]mn).f ([y ]mn).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring, Daerah Integral dan Lapangan
Kesimpulan
Kesimpulan :Misalkan n = p
n11 p
n22 . . . pnr
r adalah dekomposisi dari bilangan bulat n kedalampangkat prima yang berbeda, maka
Zn∼= Z
pn11
× Zpn22
× . . .× Zpnrr.
Bila R suatu ring komutatif, maka bisa dibentuk suatu ring dari matriks
berukuran n × n dengan elemen-elemen di R yang dinotasikan oleh
(Mn(R),+, .). Penjumlahan dan perkalian matriks diperlakukan sama seperti
dalam matriks dengan elemen-elemen riil. Suatu contoh, (Mn(Z2),+, .) adalah
ring dari matriks berukuran n× n dengan elemen-elemen 0 dan 1. Penjumlahan
dan perkalian matriks diperlakukan dalam modulo 2.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Ring Polinomial
Misalkan R adalah suatu ring komutatif, suatu polinomial p(x) dalam x atasring R adalah suatu ekspresi yang diungkapkan oleh bentuk
p(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n,
dengan ai ∈ R dan i ∈ N. Elemen ai disebut koefisien dari x i dalam p(x). Duapolinomial f (x) dan g(x) sama bila semua koefisien dari xn sama untukmasing-masing polinomial dimana n ≥ 0. Khususnya
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n = 0,
polinomial nol bila dana hanya bila semua ai = 0.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Derajad Polinomial
Bila n adalah bilangan bulat terbesar dimana an 6= 0, maka dikatakan p(x)mempunyai derajad sama dengan n dan ditulis deg(p(x)) = n. Bila semuakoefisien dari p(x) sama dengan nol, maka p(x) dinamakan polinomial nol danderajadnya tak didifinisikan.
Contoh, 4x2 −√3 adalah polinomial atas R berderajad 2, ix4 − (2 + i)x3 + 3x
adalah polinomial atas C berderajad 4 dan x7 + x5 + x4 + 1 adalah polinomial
atas Z2 berderajad 7. Bilangan 5 adalah polinomial atas Z berderajad 0,
polinomial nol dan polinomial dengan derajad sama dengan 0 dinamakan
polinomial konstan.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Penjulahan dan Perkalian Ring Polinomial
Himpunan semua polinomial dalam x dengan koefisien dari ring komutatif Rdinyatakan oleh R[x], yaitu
R[x] = {a0 + a1x + . . .+ anxn | ai ∈ R, n ∈ N}.
Himpunan R[x] mempunyai struktur ring dan disebut ring polinomial dengankoefisien di R sedangkan penjumlahan dan perkalian dari p(x), q(x) ∈ R[x]dengan
p(x) =
n∑
i=0
aixidan q(x) =
m∑
i=0
bixi
diberikan oleh:
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Penjumlahan dan Perkalian RingPolinomial
p(x) + q(x) =
max{m,n}∑
i=0
(ai + bi )xi
dan
p(x).q(x) =m+n∑
k=0
ckxk dimana ck =
∑
i+j=k
aibj .
Dengan penjumlahan dan perkalian sebagaimana diberikan diatas,(R [x ],+, .) memenuhi semua aksioma ring komutatif.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Contoh
Suatu contoh, dalam Z5[x ] yaitu polinomial ring dengan koefisienbilangan bulat modulo 5, didapat
(2x3 + 2x2 + 1) + (3x2 + 4x + 1) = 2x3 + 4x + 2
dan
(2x3 + 2x2 + 1).(3x2 + 4x + 1) = x5 + 4x4 + 4x + 1.
Bila bekerja dalam Zn[x ], koefisien direduksi ke modulo n.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Proposisi
Proposisi
Bila R adalah suatu daerah integral dan p(x), q(x) ∈ R[x ] dengan masing masing p(x)dan q(x) bukan polinomial nol, maka
deg(p(x).q(x)) = deg(p(x)) + deg(q(x)).
Bukti
Misalkan deg(p(x)) = n, deg(q(x)) = m dan p(x) = a0 + . . .+ anxn,
q(x) = b0 + . . .+ bmxm, dimana an 6= 0 dan bm 6= 0. Maka koefisien pangkat
tertinggi dalam x dari perkalian p(x).q(x) adalah an.bm. Koefisien an.bm tidak samadengan nol sebab R daerah integral (tidak memuat pembagi nol). Jadideg(p(x).q(x)) = n +m = deg(p(x)) + deg(q(x)).
Bila koefisien ring bukan suatu daerah integral, derajad dari hasil suatu perkalian
polinomial bisa lebih kecil dari derajad hasil penjumlahan, misalnya
(2x3 + x).(3x) = 3x2 dalam Z6.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Kesimpulan
Kesimpulan
Bila R suatu daerah integral, maka R[x ] juga daerah integral.
Bukti
Bila p(x), q(x) ∈ R[x ] bukan polinomial nol, maka dari hasil Proposisi sebelumnyaterlihat bahwa p(x).q(x) juga bukan polinomial nol. Jadi R tidak memuat pembaginol.
Pengkontruksian ring polinomial bisa diiterasi untuk memperoleh suatu polinomialdalam n indeterminate x1, x2, . . . , xn dengan koefisien di ring R. Secara induksididifinisikan R[x1, x2, . . . , xn] = R[x1, x2, . . . , xn−1][xn]. Misalnya suatu polinomialf ∈ R[x , y ] = R[x ][y ], yaitu
f = f0 + f1y + f2y2 + . . .+ fny
n,
dimana fi = fi (x) ∈ R[x ] dan bila ditulis fi = a0i + a1ix + a2ix2 + . . . untuk setiap i ,
maka f = f (x , y) = a00 + a10x + a01y + a20x2 + a11xy + a02y
2 + . . . Jelas bahwa
R[x1, x2, . . . , xn] daerah integral bila R adalah daerah integral.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Barisan dalam Ring
Misalkan R ring komutatif dan barisan < a0, a1, a2, . . . > dengan ai ∈ R dinotasikanoleh < ai >. Bila penjumlahan (+) dan konfolusi (*) dari barisan masing-masingdidifinisikan oleh
< ai > + < bi >=< ai + bi > dan
< ai > ∗ < bi > =
⟨∑
j+k=i
ajbk
⟩
= < a0bi + a1bi−1 + . . .+ aib0 > .
Maka (RN,+, ∗) adalah ring komutatif dan merupakan daerah integral bila R adalahdaerah integral.Bukti: Penjumlahan jelas assosiatif dan komutatif. Elemen nol adalah< 0 >=< 0, 0, . . . > dan invers dari < ai > adalah < −ai >. Selanjutnya
(< ai > ∗ < bi >)∗ < ci > =
⟨∑
j+k=i
ajbk
⟩
∗ < ci >
=
⟨∑
l+m=i
∑
j+k=m
ajbk
cl
⟩
=
⟨∑
j+k+l=i
ajbkcl
⟩
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Lanjutan Bukti
Dengan cara serupa didapat
< ai > ∗(< bi > ∗ < ci >) =
⟨∑
j+k+l=i
ajbkcl
⟩
Terlihat bahwa (< ai > ∗ < bi >)∗ < ci >=< ai > ∗(< bi > ∗ < ci >) dan
< ai > ∗(< bi > + < ci >) =
⟨∑
j+k=i
aj (bk + ck)
⟩
=
⟨∑
j+k=i
ajbk
⟩
+
⟨∑
j+k=i
ajck
⟩
= < ai > ∗ < bi > + < ai > ∗ < ci > .
Konvolusi jelas komutatif sebab R ring komutatif. Identitas adalah < 1, 0, 0, . . . >,
sebab < 1, 0, 0, . . . > ∗ < a0, a1, a2, . . . >=< 1a0, 1a1 + 0a0, 1a2 + 0a1 + 0a0, . . . >=<
a0, a1, a2, . . . > Jadi (RN,+, ∗) adalah ring komutatif.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Lanjutan Bukti
Misalkan masing-masing aq dan br adalah elemen pertama yang tak nol dalam barisan< ai > dan < bi >, maka posisi elemen ke-q + r dalam barisan konvolusi< ai > ∗ < bi > diberikan oleh :∑
j+k=q+r
= a0bq+ra1bq+r−1 + . . .+ aqbr + aq+1br−1 + . . .+ aq+rb0 =
0+ 0+ . . .+ aqbr +0+ . . .+0 = aqbr , bila R adalah daerah integral, maka aqbr 6= 0.Oleh karena itu
∑
j+k=q+r
ajbk 6= 0. Jadi ring dari barisan tidak memuat pembagi nol. �
Ring dari barisan tidak akan mempunyai struktur lapangan, sebab < 0, 1, 0, 0, . . . >tidak mempunyai invers. Faktanya bahwa, untuk setiap barisan < bi >, didapat< 0, 1, 0, 0, . . . > ∗ < b0, b1, b2, b3, . . . >=< 0, b0, b1, b2, . . . > terlihat bahwa hasilkonvolusi bukan barisan identitas. Suatu deret formal dalam x dengan koefisien di ringkomutatif R adalah ∞∑
i=0
aixi , dimana ai ∈ R.
Berbeda dengan suatu polinomial, deret pangkat ini bisa mempunyai sejumlah
takhingga suku-suku yang tak nol.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Deret Formal
Himpunan semua deret formal dinotasikan oleh R[[x ]]. Istilah formal digunakan untukmengindikasi bahwa kekonvergenan dari deret tidak dipertimbangkan. Termotifasi olehRN, penjumlahan dan perkalian dalam R[[x ]] didifinisikan oleh
∞∑
i=0
aixi +
∞∑
i=0
bixi =
∞∑
i=0
(ai + bi )xi
dan( ∞∑
i=0
aixi
)
.
( ∞∑
i=0
bi xi
)
=
∞∑
i=0
∑
j+k=i
ajbk
x i .
Dapat diselidiki bahwa himpunan semua deret formal adalah suatu ring (R[[x ]],+, .)
dan polinomial ring R[x ] dengan sejumlah suku-suku taknol yang berhingga adalah
subring dari ring R[[x ]]. Suatu fakta bahwa barisan ring (RN,+, ∗) adalah isomorpik
dengan ring deret formal (R[[x ]],+, .). Fungsi f : RN → R[[x ]] yang didifinisikan oleh
f (< a0, a1, a2, . . . >) = a0 + a1x + a2x2 + . . . jelas fungsi satu-satu pada. Dari difinisi
penjumlahan, perkalian dan konvolusi dalam ring RN dan R[[x ]], maka f adalah
isomorpisma ring.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Lapangan Pecahan
Lapangan Pecahan:Elemen-elemen dalam setiap ring selalu bisa dilakukan penjumlahan, perkaliandan pengurangan, tatapi tidak selalu bisa dilakukan pembagian.Bagaimanapun, bila ring adalah suatu daerah integral maka memungkinkanuntuk memperluasnya sehingga pembagian oleh elemen taknol bisa dilakukan.Dengan kata lain, selalu bisa dikontruksi suatu lapangan yang memuat ringyang diberikan sebagai subring. Hal ini bisa dilihat dari bilangan rasional dalamlapangan Q yang dibentuk dari bilangan bulat dalam daerah integral Z.
Teorema: Bila R suatu daerah integral, adalah mungkin untuk mengkonstruksisuatu lapangan Q sehingga memenuhi
(i) R isomorpik dengan subring R ′ dari Q.
(ii) Setiap elemen dari Q bisa ditulis sebagai p.q−1 untuk p, q yang sesuaidimana p, q ∈ R ′.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Bukti
Bukti : Misalkan himpunan R × R∗ = {(a, b) | a,b ∈ R, b 6= 0}. Termotifasioleh fakta bahwa a
b= c
ddalam Q bila dan hanya bila ad = bc, didifinisikan
suatu relasi ∼ pada R × R∗ oleh
(a, b) ∼ (c, d) bila dan hanya bila ad = bc di R.
Pertama ditunjukkan bahwa relasi ∼ adalah relasi ekivalen.
(i) Karena ab = ba, maka (a, b) ∼ (a, b).
(ii) Bila (a, b) ∼ (c, d), maka ad = bc. Hal ini berkibat bahwa cb = da, jadi(c, d) ∼ (a, b).
(iii) Bila (a, b) ∼ (c, d) dan (c, d) ∼ (e, f ), maka ad = bc dan cf = de. Halini berakibat 0 = bcf − bcf = (ad)f − b(ed) = (af − be)d . Karena d 6= 0dan R tidak memuat pembagi nol, maka af = be atau (a,b) ∼ (e, f ).
Terlihat bahwa ∼ adalah relasi ekivalen.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Lanjutan Bukti
Notasikan klas ekivalen yang memuat (a, b) dengan abdan himpunan klas ekivalen
dengan Q. Seperti dalam Q, penjumlahan dan perkalian dalam Q didifisikan oleh:
a
b+
c
d=
ad + bc
bddan
a
b.c
d=
ac
bd.
Operasi ini didifinisikan pada suatu representasi tertentu, sehingga harus dicek apakah
difinisi ini ’well defined’. Bilaa
b=
a′
b′dan
c
d=
c′
d ′ , maka ab′ = a′b dan cd ′ = c′d.
Didapat (ad + bc)(b′d ′) = (ab′)dd ′ + bb′(cd ′) = (a′b)dd ′ + bb′(c′d) =(a′d ′ + b′c′)(bd) = (bd)(a′d ′ + b′c′) atau
ad + bc
bd=
a′d ′ + b′c′
b′d ′ .
Hal ini memperlihatkan bahwa penjumlahan adalah well defined. Juga didapat
acb′d ′ = a′c′bd atau acbd
= a′c′
b′d′. Terlihat bahwa perkalian juga well defined.
Selanjutnya diselidiki bahwa (Q,+, .) adalah suatu lapangan. Elemen nol adalah 01
dan identitas adalah 11. Sifat distributif juga berlaku, sebab :
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Lanjutan Bukti
a
b.( c
d+
e
f
)
=a
b.cf + de
df=
a(cf + de)
bdf
=a(cf + de)
bdf.b
b=
ac
bd+
ae
bf
=a
b.c
d+
a
b.e
f.
Invers setiap elemen taknola
badalah
b
a. Sisa sifat yang lain untuk lapangan langsung
bisa dicek. Ring R isomorpik dengan subring R′ ={ r
1| r ∈ R
}
dari ring Q dengan
pemetaan isomorpisma yang memetakan setiap r ∈ R dengan tunggalr
1∈ R′. Setiap
elemena
bdi lapangan Q bisa ditulis sebagai
a
b=
a
1.1
b=
a
1
(b
1
)−1
. Bila ring R = Z
adalah himpunan bilangan bulat dalam pengkontruksian diatas, maka didapat
himpunan bilangan rasional Q sebagai lapangan pecahan. Bila R suatu daerah
integral, lapangan pecahan dari polinomial ring R[x ] dinamakan lapangan dari fungsi
rasional dengan koefisien di R.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Konvolusi Pecahan
Pembahasan berikut berkaitan dengan pemakaian dari lapangan pecahan yang pentingdalam pemakaian di analisis. Dikontruksi lapangan pecahan dari suatu himpunanfungsi kontinu. Untuk itu diperkenalkan apa yang dinamakan fungsi delta δ(x) yangmempunyai sifat bahwa
δ(x) = 0 bila x 6= 0 dan
∞∫
−∞
δ(x)dx = 1.
Bila digunakan pengertian fungsi sebagaimana biasa, fungsi semacam δ(x) tidak ada.Dalam hal ini, diberikan suatu alternatif difinisi sebagai berikut:
δk (x) =
{1k
bila 0 ≤ x ≤ k.0 untuk x yang lainnya
Masing-masing fungsi δk(x) bernilai nol untuk x diluar interval 0 ≤ x ≤ k danmempunyai sifat :
∞∫
−∞
δk(x)dx = 1.
Dalam masalah praktis, nilai k adalah kecil, yaitu k mendekati nol.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Konvolusi Pecahan
Misalkan C [0,∞) adalah himpunan dari fungsi bernilai riil yang kontinu dalam interval0 ≤ x < ∞. Didifinisikan operasi penjumlahan dan konvolusi pada himpunan ini,sehingga struktur (C [0,∞),+, ∗) hampir daerah integral; konvolusi tidak mempunyaisuatu identitas, sehingga sifat (vi) dari ring gagal dipenuhi. Bagaimanapun hal inimasih memungkinkan untuk melekatkan struktur ini menjadi lapangan pecahan.Matematikawan Polandia, Jan Mikusinski mengkontruksi lapangan pecahan ini danelemen-elemennya dinamakan operator atau fungsi terumumkan (generalizedfunctions). Fungsi delta adalah fungsi terumumkan dan merupakan identitas darikonvolusi dalam lapangan pecahan. Difinisikan penjumlahan dan konvolusi dari duafungsi f dan g di C [0,∞) oleh
(f + g)x = f (x) + g(x) dan (f ∗ g)(x) =
∞∫
−∞
f (t)g(x − t)dt.
Konvolusi fungsi ini analog dengan konvolusi barisan, bisa dilihat sebagai suku ke-idari barisan
< ai > ∗ < bi > sebagai
i∑
t=0
atbi−t .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Pembagian Bilangan Bulat
Metode ”pembagian panjang” dari bilangan bulat adalah untuk memperoleh hasil bagidan sisa pembagian. Kenyataan ini adalah selalu mungkin sebagaimana dinyatakanberikut ini.
Sifat Pembagian Bilangan Bulat
Bila a dan b > 0 adalah bilangan bulat taknol, maka ada tunggal bilangan bulat q danr sehingga a = qb + r dan 0 ≤ r < b.
Bukti
Misalkan X = {a− tb|t ∈ Z, a − tb ≥ 0}. Misalkan r adalah bilangan terkecil di X ,maka r = a− qb untuk beberapa q ∈ Z. Ditunjukkan bahwa r < b. Andaikan, r ≥ b,maka 0 ≤ r − b = a− (q +1)b. Terlihat bahwa r − b di X . Hal ini kontradiksi dengankenyataan r terkecil di X . Jadi haruslah r < b. Untuk menunjukkan ketunggalan,misalkan a = q′b + r ′ dimana 0 ≤ r ′ < b. Bisa diasumsikan bahwa r ≤ r ′. Maka0 ≤ r ′ − r = (q′ − q)b < b (sebab r ′ − r < r < b). Jadi (q′ − q)b = 0 atau q′ = q
dan juga r ′ = r .
Kesimpulan : Bila a dan b bilangan bulat dan b 6= 0, maka dengan tunggal ada q dan
r sehingga a = qb + r dan 0 ≤ r < |b|.Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Ring Euclide
Suatu daerah integral R dinamakan suatu ring Euclide bila untuk setiapelemen taknol a ∈ R ada bilangan bulat taknegatif δ(a) sedemikianhingga
(i) Bila a dan b elemen taknol di R , maka δ(a) ≤ δ(ab).
(ii) Untuk setiap pasangan elemen a, b ∈ R dengan b 6= 0, ada elemenq, r ∈ R sehingga a = qb + r dimana r 6= 0 atau δ(r) < δ(b).
Ring bilangan bulat Z adalah ring Euclide bila diambil δ(b) = |b| untuk
semua b ∈ R . Suatu lapangan F adalah suatu ring Euclide bila δ(a) = 1
untuk semua elemen tak nol a ∈ F .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Algoritma Pembagian Untuk Polinomial
Sifat
Misalkan f (x), g(x) ∈ F [x ] dengan F suatu lapangan. Bila g(x) taknol, maka dengantunggal ada q(x), r(x) ∈ F [x ] sehingga f (x) = q(x).g(x) + r(x) dimana r(x) = 0 ataudeg(r(x)) < deg(g(x)).
Bukti
Bila f (x) taknol atau deg(f (x)) < deg(g(x)), maka tulis f (x) = 0.g(x) + f (x).Terlihat algoritma dipenuhi. Bila deg(r(x)) = deg(g(x)) = 0, maka f (x) = a0 dan
g(x) = b0. Tulis f (x) = a0b−10 g(x). Algoritma dipenuhi. Untuk yang lainnya
dibuktikan secara induksi pada derajad dari f (x). Misalkan bahwa bila dibagi denganpolinomial tetap g(x) algoritma pembagian dipenuhi untuk derajad yang kurang atausama dengan n. Misalkan f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n dang(x) = b0 + b1x + . . .+ bmxm dengan an 6= 0 dan bm 6= 0. Bila n < m sudahditunjukkan algoritma dipenuhi. Selanjutnya misalkan bahwa n ≥ m dan tulisf1(x) = f (x)− anb
−1m xn−mg(x) dalam hal ini terlihat bahwa deg(f1(x)) < n.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Lanjutan Bukti
Lanjutan Bukti
Dengan menggunakan hipotesa induksi didapat
f1(x) = q1(x).g(x) + r(x),
dimana r(x) = 0 atau deg(r(x)) < deg(g(x)). Jadi
f (x) = anb−1m x
n−mg(x) + f1(x)
= {anb−1m x
n−m + q1(x)}.g(x) + r(x),
hal ini sesuai dengan bentuk yang diinginkan. Algoritma melalui induksi bisadilakukan mulai dari n = m − 1 bila m 6= 0 atau n = 0 bila m = 0.Ketunggalan dari g(x) dan r(x) bisa ditunjukkan seperti pada algoritmapembagian bilangan bulat.
Polinomial hasil bagi dan sisa bisa dihitung dengan cara ”pembagian panjang”.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Contoh
ContohBagi x3 + 2x2 + x + 2 dengan x2 + 2 di Z3[x ].
Penyelesaian Dengan menggunakan ”pembagian panjang didapat”
x3 + 2x2 + x + 2 = (x + 2)(x2 + 2) + (2x + 1).
Bila suatu polinomial dibagi oleh polinomial berderajad satu, sisa pembagian harussuatu konstan. Konstan ini bisa diperoleh sebagai berikut.
Teorema (Teorema sisa) : Polinomial f (x) bila dibagi oleh (x − a) di F [x ] sisanyaadalah f (a).
Bukti Gunakan algoritma pembagian, didapat: ada q(x), r(x) ∈ F [x ] dengan
f (x) = q(x)(x − a) + r(x), dimana r(x) = 0 atau derajad dari r(x) kurang dari satu.
Jadi sisa pembagian adalah konstan r0 ∈ F dan f (x) = q(x)(x − a) + r0.
Substitusikan a kedalam x , didapat f (a) = r0.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Teorema Faktor
Sifat
Polinomial (x − a) adalah faktor dari f (x) di F [x] bila dan hanya bila f (a) = 0.
Bukti
Berdasarkan hasil sebelumnya didapat f (x) = q(x)(x − a) untuk beberapaq(x) ∈ F [x] bila dan hanya bila f (x) mempunyai sisa 0 bila dibagi oleh (x − a).Hal ini menunjukkan bahwa, bila dan hanya bila f (a) = 0.
Suatu elemen a ∈ F dikatakan akar dari suatu polinomial f (x) bila f (a) = 0.
Teorema faktor menunjukkan bahwa (x − a) adalah faktor dari f (x) bila dan
hanya bila a adalah akar dari f (x).
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Teorema
Teorema
Suatu polinomial berderajad n atas suatu lapangan F mempunyai akar-akar tidak lebihdari n.
Bukti
Dibuktikan dengan induksi pada derajad n. Suatu polinomial berderajad nol terdirihanya suatu konstan taknol oleh karena itu tidak mempunyai akar. Asumsikan bahwateorema benar untuk n − 1 dan misalkan bahwa f (x) ∈ F [x ] polinomial berderajad n.Bila f (x) tidak mempunyai akar-akar, maka teorema dipenuhi. Bila f (x) mempunyaiakar-akar, misalkan a salah satu akar tsb. Gunakan teorema faktor, didapatf (x) = (x − a)g(x) Dengan hasil sebelumnya bahwa, derajad dari g(x) adalah n − 1.Karena F lapangan maka tidak memuat pembagi nol. Jadi f (b) = 0 bila dan hanyabila (b − a) = 0 atau g(b) = 0. Maka dari itu setiap akar dari f (x) adalah samadengan a atau merupakan akar dari g(x). Dengan hipotisis induksi g(x) mempunyaiakar-akar tidak lebih dari n − 1. Jadi f (x) mempunyai akar-akar tidak lebih dari n.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Contoh
Contoh : Tunjukkan bahwa ring bilangan bulat gaussianZ[i ] = {a+ bi | a, b ∈ Z, i =
√−1} adalah ring euclidian dengan δ(a + bi) = a2 + b2.
Penyelesaian : Z[i ] adalah suatu subring dari C himpunan bilangan kompleks olehkarena itu merupakan daerah integral. Bila z ∈ Z[i ], maka δ(z) = zz dimana z adalahkonjuget dari z . Untuk setiap z 6= 0, δ(z) > 0 dan untuk setiap z ,w ∈ Z[i ]δ(z .w) = δ(z).δ(w). Untuk menunjukkan algoritma pembagian di Z[i ], misalkan z
dan w bilangan bulat gaussian dimana w 6= 0. Maka zw
adalah suatu bilangan
kompleks c + di dengan c, d ∈ Q. Pilih a, b ∈ Z sehingga |c − a| ≤ 12dan
|d − b| ≤ 12. Juga z
w= a + bi + [(c − a) + i(d − b)]. Jadi
z = (a+ bi)w + [(c − a) + i(d − b)]w . Selanjutnya
δ([(c − a) + i(d − b)]) = δ((c − a) + i(d − b))δ(w)
= {(c − a)2 + (d − b)2}δ(w)
≤ (1
4+
1
4)δ(w) < δ(w).
Jadi Z[i ] adalah suatu ring euclide.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Algoritma Euclide
Algoritma pembagian mengijinkan untuk memperumum konsep pembagian danpembagi persekutuan terbesar ke sebarang ring euclid. Selanjutnya bisa dihasilkansuatu algoritma eulcid yang bisa digunakan untuk menghitung pembagi persekutuanterbesar. Bila a, b, q adalah elemen-elemen dari suatu daerah integral sehingga a = qb
dikatakan bahwa b membagi a atau b adalah faktor dari a dan ditulis b | a. Suatucontoh adalah, (2 + i) | (7 + i) dalam Z[i ], sebab 7 + i = (3− i)(2 + i).
Teorema
Misalkan a, b, c ∈ R dengan R adalah daerah integral:
(i) Bila a | b dan a | c, maka a | (b + c).
(ii) Bila a | b, maka a | b.r untuk setiap r ∈ R.
(iii) Bila a | b dan b | c, maka a | c.
Bukti
Bukti jelas mengikuti pengertian dari pembagian.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Pembagi Persekutuan Terbesar
Analog dengan Z, bila a, b ∈ R dengan R daerah integral, maka elemen g ∈ R
dikatakan pembagi persekutuan terbesar dari a dan b ditulis sebagaig = gcd(a, b) yang memenuhi:
(i) Bila g | a dan g | b.(ii) Bila c | a dan c | b, maka c | g .Elemen l ∈ R dikatakan kelipatan persekutuan terkecil dari a, b ∈ R ditulisl = lcm(a,b) bila memenuhi :
(i) Bila a | l dan b | l .(ii) Bila a | k dan b | k , maka l | k .
Suatu contoh, 4 dan −4 adalah pembagi persekutuan terbesar dari 12 dan 20
sedangkan 60 dan −60 adalah kelipatan persekutuan terkecilnya.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Teorema
Misalkan R adalah ring euclid. Setiap elemen a, b ∈ R mempunyai suatu pembagipersekutuan terbesar g . Lagipula, ada s, t ∈ R sehingga: g = sa+ tb.
Bukti : Bila a = b = 0, maka r | 0 untuk setiap r ∈ R. Misalkan bahwa setidaknya
satu dari a dan b taknol. Dengan menggunakan aksioma keterurutan, misalkan g 6= 0
yang mana δ(g) adalah minimal dalam himpunan I = {xa+ yb | x , y ∈ R}. Bisa
ditulis, g = sa+ tb untuk beberapa s, t ∈ R. Karena R ring euclid, a = hg + r , dimana
r = 0 atau δ(r) < δ(g). Oleh karena itu r = a− h(sa + tb) = (1− hs)a − htb ∈ I .
Karena g elemen dimana δ(g) adalah terkecil di I , maka haruslah r = 0 dan g | a.Dengan cara serupa diperoleh g | b. Bila c | a dan c | b, maka a = kc dan b = lc.
Maka dari itu: g = sa+ tb = skc + tlc = (sk + tl)c. Terlihat c | g , jadi g = gcd(a, b).
Teorema ini menyatakan bahwa pembagi persekutuan terbesar ada pada setiap ring
euclid. Tetapi cara memperolehnya tidak diberikan. Berikut ini diberikan algoritma
memperoleh pembabagi sekutu terbesar.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Teorema
Teorema:Misalkan a, b ∈ R dengan R ring eulcid dan b 6= 0. Dengan menggunakan algoritmapembagian secara berulang didapat:
a = bq1 + r1 dimana δ(r1) < δ(b)
b = r1q2 + r2 dimana δ(r2) < δ(r1)
r1 = r2q3 + r3 dimana δ(r3) < δ(r2)
...
rk−2 = rk−1qk + rk dimana δ(rk ) < δ(rk−1)
rk−1 = rkqk+1 + 0.
Bila r1 = 0, maka b = gcd(a, b), rk = gcd(a, b) untuk yang lainnya. Selanjutnya,
elemen s, t ∈ R sedemikian hingga gcd(a, b) = sa+ tb bisa diperoleh dengan memulai
persamaan rk = rk−2 − rk−1qk secara berurutan.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Bukti
Bukti: Algoritma harus berhenti, sebab δ(b), δ(r1), δ(r2), . . . adalah barisan turun daribilangan bulat taknegatif, jadi rk+1 = 0 untuk beberapa k + 1. Bukti algoritma dapatmengikuti pembagian algoritma dari bilangan bulat. �
Contoh: Dapatkan pembagi sekutu terbesar 713 dan 235 dalam Z dan dapatkan duabilangan s dan t yang memenuhi 713s + 256t = gcd(713, 253).
Penyelesaian: Dengan menggunakan algoritma pembagian didapat:(i) 713 = 2.253 + 207 a = 713, b = 253, r1 = 207(ii) 253 = 1.207 + 46 r2 = 46(iii) 207 = 4.46 + 23 r3 = 23(iv) 46 = 2.23 + 0 r4 = 0
Dari hasil terakhir didapat gcd(713, 253) = 23. Untuk memperoleh bilangan s dan tgunakan persamaan (i)-(iii). Didapat
23 = 207 − 4.46 (dari (iii))
= 207 − 4(253 − 207) (dari (ii))
= 5.207 − 4.253
= 5.(713 − 2.253) − 4.253 (dari (i))
= 713(5) + 253(−14)
Terlihat bahwa, s = 5 dan t = −14.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Contoh
Contoh: Dapatkan gcd g(x) dari a(x) = 2x4 + 2 dan b(x) = x5 + 2 di Z3[x ] dandapatkan s(x), t(x) ∈ Z3[x ] sehingga g(x) = s(x).(2x4 + 2) + t(x).(x5 + 2).Penyelesaian: Dengan pengulangan algoritma pembagian didapat
(i) x5 + 2 = (2x).(2x4 + 2) + (2x + 2)
(ii) 2x4 + 2 = (x3 + 2x2 + x + 2).(2x + 2) + 1
(iii) 2x + 2 = (2x + 2).1 + 0
Jadi gcd(a(x), b(x)) = 1. Dari persamaan (ii) dan (i) didapat
1 = 2x4 + 2− (x3 + 2x2 + x + 2)(2x + 2)
= 2x4 + 2− (x3 + 2x2 + x + 2)[x5 + 2− (2x)(2x4 + 2)]
= (2x4 + x3 + 2x2 + x + 1)(2x4 + 2) + (2x3 + x2 + 2x + 1)(x5 + 2)
Maka s(x) = 2x4 + x3 + 2x2 + x + 1 dan t(x) = 2x3 + x2 + 2x + 1.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Ring Polinomial
Contoh
Contoh
Dapatkan gcd g(x) dari a(x) = x4 + x3 + 3x − 9 danb(x) = 2x3 − x2 + 6x − 3 di Q[x ].
Penyelesaian
Dengan algoritma pembagian didapat
a(x) = (1
2x +
3
4)b(x)−
9
4x2 −
27
4
dan
b(x) = (−8
9x +
4
9)(−
9
4x2 −
27
4).
Jadi gcd(a(x), b(x)) = −94x
2 − 274 .
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Faktorisasi Tunggal
Faktorisasi Tunggal
Satu sifat penting dari bilangan bulat dalah teorema dasar aritmatik yang
menyatakan bahwa setiap bilangan bulat yang lebih besar dari satu bisa ditulis
sebagai hasil kali dari sejumlah berhingga bilangan prima. Lagi pula hasil kali
ini adalah tunggal. Pembahasan berikut ini dibuktikan hasil serupa untuk ring
euclid. Misalkan R adalah suatu ring komutatif. Suatu elemen u dinamakan
unit dari R bila ada v ∈ R sehingga uv = 1. Terlihat bahwa elemen unit dalam
ring R adalah elemen yang punya invers terhadap perkalian. Himpunan dari
elemen-elemen ini dinotasikan oleh R∗. Bila R adalah lapangan, maka setiap
elemen taknol punya invers. Jadi R0 = R − {0}. Elemen-elemen unit dalam
bilangan bulat adalah ±1. Bila F lapangan, suatu elemen unit dalam
polinomial F [x] adalah konstan taknol, yaitu polinomial dengan derajad sama
dengan nol. Elemen-elemen unit dalam ring gaussian adalah Z[i ]∗ = {±1,±i}.Berikut ini diberikan sifat dari himpunan R∗.
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Faktorisasi Tunggal
Teorema
Teorema: Untuk setiap ring komutatif R, maka R∗ dengan operasi perkalian adalahsuatu grup komutatif.
Bukti: Misalkan u1, u2 ∈ R∗ dan u1v1 = u2v2 = 1, maka(u1u2)(v1v2) = (u1v1)(u2v2) = 1.1 = 1. Sifat yang lainnya jelas. �
Dua elemen dalam suatu ring euclid bisa mempunyai banyak gcd. Misalnya, dalamQ[x ], x + 1, 2x + 2 dan 1
3x + 1
3merupakan gcd. dari x2 + 2x + 1 dan x2 − 1.
Perhatikan bahwa masing-masing gcd. bisa diperoleh dari yang lainnya melaluiperkalian dengan elemen yang punya invers.
Teorema : Misalkan a, b ∈ R dengan R daerah integral. Bila a | b dan b | a, makaa = ub dimana u adalah unit.
Bukti: Karean a | b, maka b = va untuk v ∈ R. Sehingga bila a = 0, maka b = 0.
Jadi a = b. Bila a 6= 0, maka a = ub untuk u ∈ R (sebab b | a). Sehingga didapat
a = ub = u(va) = (uv)a atau (uv − 1)a = 0. Karena a 6= 0 dan R tidak memuat
pembagi nol, maka haruslah uv − 1 = 0 atau uv = 1. Jadi u adalah unit. �
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar
Aljabar
Daftar Pustaka
Daftar Pustaka
E.B. Vinberg, ” A Course in Algebra ”, AmericanMathematical Society Providence, Rhode Island, (2003)
Harvey E. Rose, ” A Course on Finite Groups ”,Springer-Verlag London Limited, (2000)
William A. A., Steven H.W, ” ALGEBRA An Aprroach viaModule Theory ”, Springer-Verlag, (1999)
Stephan Folders, ” Fundamental Sructures of Algebra andDiscrete Mathematics ”, John Wiley and Sons, Inc, (1994)
Norman R. Reilly, ” Introduction to Applied Algebraic Systems”, OXFORD University Press,(2009)
William may, ” Introduction to Polya Enumeration Theory ”,Johns Hopkins University, (2004)
Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
Aljabar