• Introdução• Determinação do Centro de Massa,• Centro de massa e simetrias,• 2a Lei de Newton/sistema de partículas.• Velocidade/Aceleração do centro de massa
Referência:• Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, Vol 1.
Cap. 09 da 7a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. • Tipler, Paul. Física, Vol 1 cap. 08. 4a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
1ºAula – Cap. 09Sistemas de partículas
Movimento do Centro de Massa
O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o centro de massa descreve uma parábola como uma partícula.
O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o centro de massa descreve uma parábola como uma partícula.
Movimento do Centro de Massa
O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o centro de massa descreve uma parábola como uma partícula.
Movimento do Centro de Massa
O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o centro de massa descreve uma parábola como uma partícula.
Movimento do Centro de Massa
☺Há um ponto, denominado centro de massa do sistema, que se move
como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nele, e as forças externas atuantes sobre o sistema estivessem agindo exclusivamente
sobre ele.☺O movimento de qualquer corpo, ou qualquer sistema de partículas, pode
ser descrito em termos do movimento do centro de massa.m1
m2
x
y M = m1 + m2
A coordenada do centro de massa é Xcm dada por:
m1 x1 + m2 x2Xcm = _______________________
m1 + m2
Centro de Massa
Cálculo do centro de massa
21
2211
mmxmxmxCM +
+= Média ponderada das posições, tendo as massas como pesos
Exemplos:
(a)2
2121
xxxmm CM+
=⇒= xxCM
121 xxmm CM(b) ≈⇒>> x
xCM
(c) Em geral, o centro de massa é um ponto intermediário entre x1 e x2:
2CM1 xxx <<
Lm
LmmxCM 32
320
=×+×
=xxCMm
x=02mx=L
2/3 1/3
m 0 m 4 kg 4m 3 m 0 kg 2
m 0 m 0 kg 1
333
222
111
=========
yxmyxm
yxm
m 9.0m 421
402310
m 3.2m 421
442010
=++
×+×+×=
=++
×+×+×=
CM
CM
y
x
Exemplo de cálculo de centro de massa de um sistema de partículas
Centro de Massa: É a posição média de toda a massa do corpo ou sistema. Num corpo homogêneo e simétrico o centro de massa está no centro geométrico.
m
m
m
2m
m
CM
1/3
2/3
⇒⇒Baricentro do triângulo:
Interseção das medianas
⇒
Exemplo: partículas de massas iguais formando um triângulo
Centro de massa e simetrias:
Note que o centro de massa pode cair numa região onde não há massa!
• Se um corpo possui um ponto, uma linha ou um plano de simetria, o CM situa-se nesse ponto, linha ou plano.
CM
Centro de simetria
Note que para que um ponto, linha ou plano seja de simetria, é preciso que, para cada elemento de massa, exista um outro igual na posição simétrica em relação ao ponto, linha ou plano.
Planos de simetria
Linhas de simetria
CM
CENTRO DE GRAVIDADE de um corpo é o ponto de aplicação do seu peso. Corpos que admitam eixos de simetria, o centro de gravidade localiza-se na interseção destes eixos.
Num campo gravitacional uniforme o CM coincide com o CG.
CENTRO DE GRAVIDADE
Para placas planas e homogêneas o centro de gravidade pode ser determinado através da equação:
A1 x1 + A2 x2 A1 y1 + A2 y2Xcg = _______________________ Ycg = _____________________
A1 + A2 A1 + A2
x
y
x1 x2x
y
A1
A2
Placas planas e homogêneas:
Determine as coordenadas ( xcg, ycg) do centro de gravidade da placa plana e homogênea da figura indicada.
Placas planas e homogêneas:
)ba()ba2(
3hycm +
+=
A ordenada “y” do centro de massa de uma placa triangular, homogênea e de espessura constante é igual a um terço da altura (figura). Mostre que a ordenada do centro de massa de uma placa trapezoidal, homogênea e de espessura constante, em função da altura h do trapézio e de suas bases a e b pode ser dada por:
x
y
A1 A2
x2
Placa Plana com orifício:
21
2211cg AA
xAxAx
−
−=
21
2211cg AA
yAyAy
−−
=
Placa Plana com orifício:
21
2211cg AA
xAxAx
−
−=
21
2211cg AA
yAyAy
−−
=
A figura mostra uma placa metálica uniforme P de raio 2R da qual foi retirado um disco de raio R. pelo processo de estampagem, em uma linha de produção industrial. Localize o centro de massa "CM" usando o sistema de coordenadas xymostrado.
Resp. a) xcm = R/3, ycm = 0.
rcm = L/2
∫= dm.xM1xcm
Comprimento L e massa M
dx
λ = M/L
Se um corpo consiste de uma distribuição contínua de massa, podemos dividi-lo em porções infinitesimais de massa dm e a soma transforma-se numa integral:
• xcm
Centro de massa de corpos contínuos uniformes
Centro de massa de corpos contínuos uniformes
∫∑ →==
xdmM
xmM
xN
iiiCM
111
Se um corpo consiste de uma distribuição contínua de massa, podemos dividi-lo em porções infinitesimais de massa dm e a soma transforma-se numa integral:
∫→ ydmM
yCM1
∫→ zdmM
zCM1
Se além disso o corpo tiver densidade uniforme:
⇒== dVVMdVdm ρ
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
∫
∫
∫
zdVV
z
ydVV
y
xdVV
x
CM
CM
CM
1
1
1
Integrais triplas!Não precisaremos por enquanto.
Silbury Hill – Inglaterra(4600 anos atrás)
∫= zdVV
zCM1
Centro de massa de corpos contínuos uniformes
Silbury Hill – Inglaterra(4600 anos atrás)
Exemplo: Centro de massa de corpos contínuos uniformes
• 2a Lei de Newton para um sistema de partículas.
• Velocidade do centro de massa,
• Aceleração do centro de massa.
• Centro de massa e velocidade constante.
Referência:• Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, Vol 1.
Cap. 09 da 7a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. • Tipler, Paul. Física, Vol 1 cap. 08. 4a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
Movimento do Centro de Massa
2a Lei de Newton para um sistema de partículas:
Considere um sistema de partículas cujas massas são m1, m2, ., mn, e sejam v1, v2, ..., vn, respectivamente,suas velocidades num certo instante. Neste instante, o centro de massa possui velocidade vCM dada por uma média ponderada das velocidades das partículas do sistema:
21
2211CM mm
vmvmv
+
+=
quantidade de movimento total do sistema
movimentodequantidadev)mm( CM21 =+
A quantidade de movimento de um sistema de partículas é igual à quantidade de movimento do centro de massa, considerando que toda a massa do sistema está concentrada nele.
• Considere duas partículas de massas m1 e m2 em uma dimensão:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
←
←
)(2122
22
2
)(1212
12
1
ext
ext
FFdt
xdm
FFdt
xdm
Note como distinguimos forças internas (F1←2 e F2←1) de forças externas (F1(ext) e F2
(ext)).
)(2
)(112212
22
221
2
1extext FFFF
dtxdm
dtxdm +++=+⇒ ←←
Da 3a lei de Newton, F1←2= - F2←1
)()(2
)(12
22
221
2
1extextext FFF
dtxdm
dtxdm =+=+⇒
F1(ext) F2
(ext)
F1←2 F2←1
Somando-se as equações termo a termo:
F(ext) é a força externa resultante. As forças internas se cancelam.
1R21
2
11 Fdt
xdmam =⇒
2a Lei de Newton para um sistema de partículas:
• Considere duas partículas de massas m1 e m2 em uma dimensão:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
←
←
)(2122
22
2
)(1212
12
1
ext
ext
FFdt
xdm
FFdt
xdm
Note como distinguimos forças internas (F1←2 e F2←1) de forças externas (F1(ext) e F2
(ext)).
)(2
)(112212
22
221
2
1extext FFFF
dtxdm
dtxdm +++=+⇒ ←←
Da 3a lei de Newton, F1←2= - F2←1
)()(2
)(12
22
221
2
1extextext FFF
dtxdm
dtxdm =+=+⇒
F1(ext) F2
(ext)
F1←2 F2←1
Somando-se as equações termo a termo:
F(ext) é a força externa resultante. As forças internas se cancelam.
1R21
2
11 Fdt
xdmam =⇒
2a Lei de Newton para um sistema de partículas:
( ) )(2
22112
extFdt
xmxmd=
+⇒=+ )(2
22
221
2
1extF
dtxdm
dtxdm
Usando aDefinição:
21
2211
mmxmxmxCM +
+= tal que
2
2
2
2
21)( )(
dtxdM
dtxdmmF CMCMext =+=
onde M=m1+m2 é a massa total do sistema.
O sistema age como se toda massa estivesse concentrada no ponto xCM (centro de massa)
2
2)(
dtxdMF CMext = Em particular, se F(ext)=0, a velocidade do CM é
constante.ctev
dtdx
CMCM ==
2a Lei de Newton para um sistema de 2 partículas
F1(ext) F2
(ext)
F1←2 F2←1
F(ext)M⇒
xCM
2211CM21 xmxmx)mm( +=+
2a Lei de Newton para um sistema de partículas:
Exemplo em que o centro de massa tem velocidade constante
Dois patinadores no gelo (sem atrito com o chão) encontram-se inicialmente a uma distância de 12 m. Eles puxam as extremidades de uma corda até se encontrarem. Em que ponto eles se encontram? O resultado depende das forças exercidas por eles?
Só há forças internas ao sistema ⇒ O centro de massa tem velocidade constante.
m=80 kg m=60 kg
⇒=+
×+×= m 1,5m
60806012800
CMxOs patinadores se encontrarão a 5,1 m da posição inicial do patinador da esquerda, não importam as forças exercidas por eles.
Movimento do centro de massa.
Movimento do centro de massa.
Movimento do centro de massa.
Movimento do centro de massa.
Um projétil é disparado sobre um campo horizontal, comuma velocidade inicial de 24,5 m/s sob um ângulo de 36,9º. No ponto mais elevado da trajetória o projétilexplode e se divide em dois fragmentos de massas iguais. Um deles cai na vertical até o solo. Em que ponto outro fragmento atinge o solo?
Resp. R = 58,8 m e x = 1,5R = 88,2 m.
2
2)(
dtdM CMext rF =
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
=++++++
=
=++++++
=
=++++++
=
∑
∑
∑
=
=
=
N
iii
N
NNCM
N
iii
N
NNCM
N
iii
N
NNCM
zmMmmm
zmzmzmz
ymMmmm
ymymymy
xmMmmm
xmxmxmx
121
2211
121
2211
121
2211
1
1
1
L
L
L
L
L
L
∑=
=⇒N
iiiCM rm
Mr
1
1
2
2
2
2
22
2
221
2
1
)(
dtdM
dtdm
dtdm
dtdm CMN
N
ext rrrrF =+++= L
O sistema responde à resultante das forças externas como se a massa total M estivesse toda concentrada no centro de massa.
2a Lei de Newton para um sistema de partículas
Generalização para 3 dimensões:
Considere a situação ao lado, em que uma patinadora empurra um corrimão (força F) e adquire velocidade e energia cinética no processo. Nessa situação:
a) Energia (muscular) é gasta pela patinadora, que se transforma em energia cinética. Há apenas transferência de energia entre partes do sistema, não entre o sistema e o ambiente externo.
b) A situação envolve um sistema de partículas e não uma partícula apenas: as diferentes partes da patinadora movem-se diferentemente.
Para analisar essa situação, utilizamos a 2a lei de Newton para um sistema de partículas, em que este é substituído por toda sua massa concentrada no Centro de Massa
dtdM CM(ext) vF =
Forças externas e mudanças de energia interna:
O trabalho realizado pela força no centro de massa ao deslocá-lo de uma distância d se traduz numa mudança da energia cinética da patinadora:
KFd Δ=φcos
mecEUKFd
Se parte do trabalho é utilizada para aumento de energia potencial (p. ex., a patinadora sobe uma rampa), o resulta se generaliza:
Δ=Δ+Δ=φcos
intcos EEFd mec
Essa energia foi perdida pela patinadora, que despendeu energia interna na mesma proporção:
Δ−=Δ=φ
Forças externas e mudanças de energia interna: