1. Un rang de données multicolores
2. Deux permutations des n premiers entiers
3. b permutations des k premiers entiers
4. Choix de n points dans [0,1]
TESTS NON PARAMETRIQUES
N positions, s couleurs, Mi points par couleur :
= modèle des suites multicoloresHo : distribution aléatoire des s couleurs dans le rangHa : au moins une couleur a une position différente des autresOn compare les rangs moyens:
RM( ) =
1 2 4 8115
RM( ) = 39/5 RM( ) = 55/5
Test de Kruskal-Wallis
Séries multicolores
Altitude des plants de 3 genres de plantes alpines:
Bleues : 26, 29, 33, 38, 44Blanches : 30, 35, 37, 41, 51Mauves : 34, 42, 45, 49, 53
Effet de l’altitude sur la composition: comparaison de 3 moyennes
En passant aux rangs :Bleues : 1, 2, 4, 8, 11Blanches : 3, 6, 7, 9, 14Mauves : 5, 10, 12, 13, 15
Comparaison de 3 rangs moyens
Test de Kruskal-Wallis
Somme des rangs à s couleursN valeurs, s classes, Mi valeurs dans la classe isomme des rangs de la classe i =SRi = Ri
M i Ni1
s
Ri N(N 1)2i1
s
Principe : comparer les RMi : Ri/Mi
SCE int er M i(RiM i
N 12i1
s
)2
Test de Kruskal-Wallis
Principe
H 12
N(N 1)M i(
RiM i
N 12i1
s
)2
H 12
N(N 1)M i
Ri2
M i2
i1
s
12
N(N 1).2 M i
RiM i
(N 1)2i1
s
12
N(N 1)M i
(N 1)2
4i1
s
H 12
N(N 1)Ri2
M ii1
s
12
NRi
i1
s
3(N 1)N
M i
i1
s
H 12
N(N 1)Ri2
M ii1
s
12
N
N(N 1)2
3(N 1)N
N
Test de Kruskal-Wallis
Statistique H
Si s = 3 et Mi ≤ 5 => table de Kruskal-Wallis
Sinon
H : s 12
Lorsque Ho est rejetée: au moins une moyenne diffère des autres.
Test de Kruskal-Wallis
H 12
N(N 1)Ri2
M ii1
s
3(N 1)
Statistique H
MB = 5 RB = 26MV = 5 RV = 39MR = 5RR = 55
H 12
15(151)(262
5392
5552
5) 3(151)4,22
Table: pour Mi = 5,5,5: H = 8 => = 0,009
H = 4,5 => = 0,102
Hobs = 4,22 => > 0,102
Ho acceptée
Test de Kruskal-Wallis
Exemple
Correction pour ex-aequos
e = nombre de groupes d’ex-aequosui : nombre d’ex-aequos dans le ième groupe
Rang attribué au groupe: rang moyen
Test identique
Test de Kruskal-Wallis
NN
uu
HH e
iii
corr
31
3 )(1
Surfaces foliaires de trois groupes de plantes T, A, B:T: 70, 65, 69, 66, 67, 68, 65, 65, 68, 67 NT = 10A: 65, 67, 66, 67, 69, 65, 64, 64, 68, 65 NA = 10B: 59, 61, 63, 64, 63, 61, 62, 62, 60, 65 NB = 10
59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70B B B B B B B A A A A T B B B A A T A T T A A T T A T T T T
Test de Kruskal-Wallis
Ex-aequos: exemple
59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70Rang 1 2 3,5 5,5 7,5 10 15 19,5 22,5 26 28,5 30ui 2 2 2 3 7 2 4 3 2
RT = 15*3 + 19,5 + … = 220RA = 184RB = 61
(ui3 ui)
i1
e
5(23 2) 2(33 3) ...220
Hcorr = 18,26
H = 17,94
22seuil5,99
Ho rejetée
Test de Kruskal-Wallis
Ex-aequos: exemple
Autres tests sur un rang multicolore
Agrégats de couleurs: nombre de suites multicolores
Regroupements aux deux extrémités: variance des rangs
1 couleur d’un côté: test de Jonckheere
Deux permutations des n premiers entiers
Corrélation non paramétrique
Exemple: 10 élèves classés selon leurs résultats dans deux disciplines
Notes: corrélation rRangs: corrélation des rangs
Histoire Français A 8 10B 1 5C 6 6D 4 8E 3 1F 7 9G 2 4
H 10 7 I 5 2
J 9 3
Relation entre les classements dans les deux disciplines?
Corrélation de rang de Spearman
Basé sur la distance entre les deux permutations:
Histoire Français di8 10 -21 5 -46 6 04 8 -43 1 27 9 -22 4 -210 7 35 2 39 3 6
Distance:
di2
i1
N
-1 ≤ ≤ 1
NN
dN
ii
31
261
Test de
Ho : = 0 absence de corrélation ou indépendanceHa : ≠ 0 corrélation ou dépendance
* N ≤ 30: sous Ho: Table de Spearman
* N > 30: sous Ho:
obs (N 1) :N(0,1)
obs seuil
Corrélation de rang de Spearman
Exemple
= 0,382 seuil (N = 10, = 0,05) = 0,648
Ho acceptée: pas de relation entre les deux classements=> pas de classement consensus des élèves
Corrélation de rang de Spearman
2 permutations = 2 variables: compter les ex-aequos séparément
ui = nombre d’ex-aequos dans le ième groupe
u'(ui
3 ui)12
v'(ui
3 ui)12
Pour la première variable Pour la deuxième variable
Correction pour ex-aequos
Corrélation de rang de Spearman
'12)1('12)1(
)''(66)1(
22
1
22
vNNuNN
vudNNN
ii
corr
b permutations des k premiers entiers
Test de Friedman
Modèle, plan d’expérience
Modèle: b (≥ 3) permutations (critères de jugement) des k premiers entiers (échantillons) : cohérence entre les critères de jugement (corrélation multiple)? Différence entre les échantillons?
Ex: k élèves classés dans b matièresk variétés de café testées par b goûteursk médicaments administrés à b patients
=> ANOVA 2 SR non paramétrique
Présentation des données: b permutations, k échantillons
P1 ……… PbEch 1…Ech i…Ech k
R1
Ri = SR Ech i
(somme des rangs de chaque permutation : k(k+1)/2
Test de Friedman
Statistique
Q12
bk(k 1)Ri2
i1
k
3b(k 1)
Sous Ho:
Q : k 12
Ex-aequos: par critère de jugement (colonne): ui : nombre d’ex-aequos dans la ième permutation
Qcorr Q
1(ui
3 ui)i1
b
bk(k 2 1)
Test de Friedman
Exemple
7 arbres mesurés chacun par 4 méthodes
M1 M2 M3 M4A1 30 17 21 25A2 12 10 18 14A3 18 13 15 12A4 10 11 9 8A5 25 26 23 24A6 18 16 21 22A7 14 12 16 18
Test de Friedman
- comparer les 4 méthodes par 7 critères de jugement (arbres)k = 4, b = 7 (7 permutations en ligne)Ri = 20, 14, 18, 18
Q = 1,629 < Ho acceptée: pas de biais dans les méthodes
- comparer les 7 arbres par 4 critères de jugement (méthodes)k=7, b=4
32 7,815
Exemple
Test de Friedman
Choix de n points dans [0,1]
fobs : distribution observée centrée réduite
fthéor : distribution théorique
T = distance entre
fthéor et fobs
Comparaison de fonctions de répartition
T = max(fobs(i-1)-fthéor(i), fobs (i)-fthéor (i))
T > Tseuil : Ho rejetée
Test de Kolmogorov
fobs(i-1)
fobs(i)
i
Distribution observée x1, x2, …, xn.
Ho : distribution observée conforme à une distribution donnée