Systèmes monophasés
2
2 Plan
•Fonctions Périodiques
•Grandeurs sinusoïdales
•Importance du régime sinusoïdal
•Réponse d’un circuit linéaire à une excitation sinusoïdale
•Exemple
Systèmes monophasés
3
2 Fonctions Périodiques
Une fonction périodique est une fonction qui vérifie la relation f(t)=f(t+nT), où n est un nombre entier et T la période mesurée en unité de temps.
Systèmes monophasés
4
2 Quelques définitions
Valeur crête ou amplitude A:valeur maximale d’une fonction périodique
Systèmes monophasés
5
2 Quelques définitions
Valeur crête à crête:écart maximal d’amplitude atteint durant une période
Systèmes monophasés
7
2 Quelques définitions
•Valeur efficace:
En anglais: rms value (Root Mean Square)
La valeur efficace est toujours positive !
2 2 21 2 ....... n
eff
X X XX X
n
Systèmes monophasés
8
2 Quelques définitions
•Facteur de forme:
Régime Sinusoidal :
eff
moy
XFX
0.707 1.110.632
eff m
moy m
X XFX X
•Facteur de crête:
Régime Sinusoidal :
max
moy
XFX
1.4140.632
m m
moy m
X XFX X
Systèmes monophasés
10
2 Fonctions sinusoïdales : fréquence
Fréquence: Nombre de cycle par unité de temps
Systèmes monophasés
11
2
L’unité de mesure la fréquence: le Hertz (Hz)
Un Hertz correspond à la fréquence d’un phénomène périodique dont la période T est une seconde
Heinrich Hertz (1857-1894), physicienallemand. Ses travaux confirmèrent lathéorie électromagnétique de la lumièrede Maxwell.
Fonctions sinusoïdales : fréquence
Systèmes monophasés
12
2 Fonction sinusoïdale: fréquence angulaire ou pulsation
Fréquence angulaire ou pulsation: ω
Unité rad/s
Systèmes monophasés
13
2 Fonction sinusoïdale: valeurs moyenne et efficace
• Valeur moyenne
• Valeur efficace
Systèmes monophasés
15
2 Déphasage entre deux grandeurs sinusoïdales
• Déphasage entre u(t) et i(t): ϕ = α − β• Remarque: on considère toujours la valeur principale du déphasage comprise entre –π et π.
•ϕ > 0 tension en avance sur le courant•ϕ < 0 tension en retard sur le courant
Systèmes monophasés
16
2 Échauffement d’une résistance
Lorsque la tension est sinusoïdale, la puissance moyenne dissipée dans une résistance est égale à l’intégrale, sur une période, du produit du courant et de la tension instantanés.
Systèmes monophasés
19
2 Échauffement d’une résistance
La valeur efficace a été définie de sorte qu’un volt continu ou 1 volt alternatif produise le même échauffement dans une résistance!
Systèmes monophasés
20
2 Importance du régime sinusoïdal
La production d’énergie électrique fournit une tension sinusoïdale: conversion énergie mécanique – énergie électrique: rotation d’un bobinage placé dans un champmagnétique
Systèmes monophasés
21
2 Importance du régime sinusoïdal
La seule fonction périodique qui possède une dérivée et une intégrale analogue
Systèmes monophasés
22
2 Importance du régime sinusoïdal
La somme de deux fonctions sinusoïdales est une fonction sinusoïdale
Systèmes monophasés
23
2
Développement en série de Fourier: représentation d’unsignal périodique f(t) par des fonctions sinusoïdales
Importance du régime sinusoïdal
Systèmes monophasés
24
2Représentation d’un signal périodique par desfonctions sinusoïdales:
Exemple :
Fonction sinusoïdale redressée:
2 Premiers termes de la série de Fourier:
Systèmes monophasés
25
2Représentation d’un signal périodique par desfonctions sinusoïdales:
Exemple :
Fonction sinusoïdale redressée:
4 premiers termes de la série de Fourier
Systèmes monophasés
26
2Représentation d’un signal périodique par desfonctions sinusoïdales:
Exemple :
Fonction triangulaire
4 premiers termes de la série de Fourier
Systèmes monophasés
27
2 Importance du régime sinusoïdal
Transformation de Fourier:Généralisation de la série de FourierAnalyse fréquentielle de signaux nonpériodiques
Systèmes monophasés
31
2
• Evaluer la valeur efficace, la fréquence et la période de la tension appliquée u(t)• Déterminer analytiquement le courant dans chacun des éléments et celui fourni par la source• Tracer chacun de ces courants
Exemple 1
Ri Ci Li( ) 170cos 157,16
u t t
17046,80,722
RC FL H
Systèmes monophasés
33
2
Cet exemple nous montre que la solution pour uncircuit simple est déjà laborieuse et deviendraitvite inutilisable pour des problèmes complexes.
Exemple 1
Systèmes monophasés
34
2
• Phaseurs et nombres complexe• Nombres complexes
– Notions d’algèbre complexe– Formule d’Euler– Dérivation et intégration
• Phaseurs– Définition– Opérations élémentaires
• Impédance et admittance
Circuits en régime sinusoïdal
Systèmes monophasés
35
2 Phaseurs et nombres complexes
Phaseur: moyen simple de représenter des tensions et courants sinusoïdaux. Cette méthode a été proposée par C.P. Steinmetz et est basée sur la relation d’Euler
Charles Proteus Steinmetz (1865-1923),ingénieur électricien américain d’origineallemande. Il développa la méthodesymbolique pour les calculs en courantalternatif.
Transformation dePhaseurs
max 0( ) cosv t V t V
Systèmes monophasés
37
2 Nombres complexes: définition
• On appelle nombre complexe z toute expression de la forme
Avec
z a jb
1j 2 1j
3j j 4 1j …….etc
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), astronome,mathématicien et physicien allemand. Ilintroduisit le calcul complexe en 1801
Systèmes monophasés
38
2
• Égalité de deux nombres complexes
•Conjugué complexe de
Notions d’algèbre complexe
Systèmes monophasés
40
2
• Division
•Conjugué complexe des opérations élémentaires
Notions d’algèbre complexe
Systèmes monophasés
41
2
Nombres complexes:
représentation géométrique
z a jb On appelle a la partie réelle, et b la partie imaginaire du nombre complexe z. Re( ) Im( )a z b z
Représentation dans le plan complexe:
Systèmes monophasés
42
2
: Module du nombre complexe
: Argument du nombre complexe
Nombres complexes:
représentation géométrique
Systèmes monophasés
43
2
Nombres complexes:
D’autres propriétés
Distance entre deux nombre complexes:
Systèmes monophasés
44
2
Nombres complexes:
Formule d’Euler
Leonhard Euler (1707-1783), mathématicien suissemort à Saint-Pétersbourg
Systèmes monophasés
49
2 Représentation complexe d’une grandeur sinusoïdale
Rappel: Formule d’Euler
Soit une fonction sinusoïdale
:valeur instantanée complexe
Systèmes monophasés
51
2 Le phaseur
Dans un circuit électrique linéaire en régime sinusoïdal permanent,tous les courants et les tensions ont la même pulsation ω. Le termeexp(jωt) est donc commun à toutes les grandeurs (courants et tensions) du circuit. Toute grandeur peut être caractérisée uniquement par son amplitude (valeur efficace) X et sa phase θ.
Systèmes monophasés
52
2 Le phaseur
Dans un circuit électrique linéaire en régime sinusoïdal permanent,tous les courants et les tensions ont la même pulsation ω. Le termeexp(jωt) est donc commun à toutes les grandeurs (courants et tensions) du circuit. Toute grandeur peut être caractérisée uniquement par son amplitude (valeur efficace) X et sa phase θ.
Systèmes monophasés
61
2 Dérivation et intégration d’une grandeur sinusoïdale
• L’utilisation d’une représentation complexe des grandeurssinusoïdales permet de remplacer les opérations dedérivation et d’intégration par une multiplication ou unedivision par jω.
• Ainsi une équation intégro-différentielle se transforme enune équation algébrique!
Systèmes monophasés
64
2 Impédance et admittance
L’impédance complexe d’un bipôle en régime permanent sinusoïdal:
L’admittance complexe d’un bipôle en régime permanent sinusoïdal:
Systèmes monophasés
71
2
•Evaluer la valeur efficace, la fréquence et la période de la tension appliquée u(t)• Déterminer analytiquement le courant dans chacun des éléments et celui fourni par la source• Tracer chacun de ces courants
Ri Ci Li( ) 170cos 157,16
u t t
17046,80,722
RC FL H
Exemple
Systèmes monophasés
72
2
• Source avec impédance interne• Réseaux d’impédances
– Impédances en série– Impédance en parallèle
• Diagramme de phaseur et d’impédance• Lieu complexe• Diviseurs de tension et de courant• Théorèmes de Thévenin et de Norton en régime Sinusoïdal• Exemples
Systèmes monophasés
73
2
Généralisation de la notion de résistance interne: impédance interne
iZ
0U
I
uZU
0 iU U Z I
Source avec impédance interne
Systèmes monophasés
74
2 Source avec impédance interne
Représentation équivalente en terme de source de courant
1i
i
YZ
I
U1
uu
YZ
0I
0
1i
i
i
YZ
I I Y U
Systèmes monophasés
75
2 Equivalence sources de tension/courant
1i
i
YZ
I
U1
uu
YZ
0I
iZ
0U
I
uZU
0 0
000
i
ii
U Z IUI Y UZ
Systèmes monophasés
76
2 Mise en série d’impédances (d’admittances)
1Z2Z 3Z nZ s kZ Z
1
n
s kk
Z Z
1 1
1 1 11s n n
sk
k k k
YZ Z
Y
Systèmes monophasés
77
2
1Y 2Y nY..............p kY Y
1
n
P kk
Y Y
1 1
1 1 11P n n
Pk
k k k
ZY Y
Z
Mise en parallèle d’impédances (d’admittances)
Systèmes monophasés
89
2 Théorème de Thévenin en régime sinusoïdal
Toutes les sources ont la même fréquence
Systèmes monophasés
90
2 Théorème de Norton en régime sinusoïdal
Toutes les sources ont la même fréquence
Systèmes monophasés
95
2
•Puissance instantanée en régime sinusoïdal• Puissance active P• Puissance réactive Q• P et Q pour une résistance, une inductance, une capacité• P et Q pour une impédance• Puissance apparente S• Facteur de puissance• Correction du facteur de puissance• Exemple
Circuits en régime sinusoïdal IV
Systèmes monophasés
115
2 Amélioration du facteur de puissance
•En général, dans l’industrie, les charges sont de nature inductive
• Pour tirer le maximum des équipements, la puissance réelle doit se rapprocher le plus possible de la puissance apparente, i.e. on doit minimiser la puissance réactive
Systèmes monophasés
116
2
•Dans le triangle des puissances, la longueur S doit tendre vers celle de P et φ doit être aussi petit que possible.
• On diminue cet angle en ajoutant des condensateurs en parallèle avec la charge: c’est la correction du facteur de puissance.
Amélioration du facteur de puissance
Systèmes monophasés
117
2
•Réduit la puissance réactive et le courant absorbé par la charge.• La puissance active transitée par les transformateurs est optimisée.• Réduit la chute de tension dans les conducteurs.• Réduit les pertes de puissance dans les conducteurs lors• La section de conducteur peut être réduite au minimum (économies).• Le prix de base de l'énergie électrique (kWh) augmente si le FP est faible. • Moins de puissance doit être généré (avantages environnementaux).
Avantage de l’amélioration du facteur de puissance