2. LINEARNA ALGEBRA- nastavak
1. GAUSS- JORDANOVA METODA
Gauss-Jordanova metoda je metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi. To je metoda
transformacije matrica u njima ekvivalentne matrice pomoću određenih „alata“ odnosno
elementarnih transformacija. Njih provodimo nad proširenom matricom sustava.
-CILJ: dobiti jediničnu matricu (jedinice na glavnoj dijagonali,a iznad i ispod su nule)
-ALATI: 1. zamjena redaka- smijemo mijenjati samo retke!
2. množenje i dijeljenje retka brojem
3.množenje retka brojem i dodavanje drugom retku
Postupak:
-sustav jednadžbi prebacujemo u matricu sustava
-u svaki redak pišemo koeficijente koji nam se nalaze uz nepoznanice
- u svakom stupcu element na dijagonali svodimo na jedinicu, a ostale elemente u stupcu svodimo na
nulu i to provodimo dokle god možemo!
KRONECKER- CAPELLI-JEV TEOREM: Kriterij za egzistenciju rješenja sustava linearnih jednadžbi
je ako je rang matrice sustava jednak rangu proširene matrice sustava:
STRUKTURA rješenja sustava linearnih jednadžbi:
-ako sustav linearnih jednadžbi ima rješenje, ono može biti jedinstveno ili parametarsko:
1. Jedinstveno rješenje je rješenje u kojemu svaka nepoznanica poprima samo i
isključivo jednu vrijednost. Npr. . Sustav s jedinstvenim rješenjem
nazivamo regularan ili CRAMEROV sustav. Kod takvog sustava matrica tog sustava je
kvadratna i njena je determinanta različita od nule.
2. Parametarsko rješenje je rješenje u kojem barem jedna nepoznanica može poprimiti
više tj. beskonačno mnogo rješenja, a to vidimo po tome što nam na kraju barem
jedna nepoznanica bude zapisana pomoću neke druge nepoznanice. Npr. .
Kod parametarskih rješenje matrica sustava ne mora bit kvadratna. Ako je ipak
matrica takvog sustava kvadratna, njena je determinanta jednaka nuli.
Ako na kraju dobijemo matricu kojoj rang matrice sustava nije jednak rangu proširene matrice
sustava, tada taj sustav nema rješenja. Sustav koji nema rješenja nazivamo: neregularan, singularan,
nekonzistentan, nesuglasan, kotradiktoran. To je situacija u kojoj nam se pojavi da su nule jednake
nekom broju, odnosno npr. što je neistinita tvrdnja jer 0≠5. Netko u tom
sustavu laže! Tada sustav nema rješenja.
2. INVERZ MATRICE
Inverz matrice pronalazi se postupkom invertiranja. Postoje dva načina traženja inverza matrice:
1. Pomoću G-J transformacija: matricu A proširimo (iscrtkanom crtom) sa desne strane sa
jediničnom matricom odgovarajućeg formata (istog kao što je matrica A). Nad takvom
proširenom matricom provodimo Gauss-Jordanove transformacije sve dok sa lijeve strane ne
dobijemo jediničnu matricu, a tada nam je matrica koja je ostala s desne strane upravo taj
inverz kojeg smo tražili. Napomena: ako s lijeve strane proširene matrice mijenjamo stupce,
zamjenu odgovarajućih stupaca moramo provesti i na desnoj strani. To izgleda ovako:
2. Pomoću matrice algebarskih komponenti koju još nazivamo adjungirana matrica
(adjunkta). Inverz se računa po formuli:
. Adjunktu je najlakše izračunati ako se
radi o matrici 2x2 pa su to uglavnom slučajevi gdje koristimo ovaj postupak traženja inverzne
matrice. Adjunktu dobijemo tako da elementima na glavnoj dijagonali zamijenimo mjesta, a
elementima na sporednoj dijagonali promijenimo predznake.
2.1. Dodatno: Općeniti postupak računanja adjunkte: za matricu A i jedan njezin element aij
prvo odredimo matricu Ai.j koja se dobije tako da iz matrice A izbrišemo redak i stupac u
kojem se nalazi element aij. Zatim odredimo determinantu te matrice. Onda odredimo
element nove matrice aij* tako da izračunatu determinantu pomnožimo odgovarajućim
predznakom i postupak ponovimo za sve elemente matrice A: .
Nakon toga, matricu s elementima aij* transponiramo i dobili smo adjunktu (sjeti se:
transponirati znači retke pretvoriti u stupce!)
SINGULARNA I REGULARNA MATRICA:
a) Za matricu kažemo da je REGULARNA ako ima inverz tj. ako postoji matrica
za koju vrijedi (gdje je jedinična matrica). Osnovni kriterij
da bi matrica bila regularna je ako je pripadna determinanta te matrice različita od nule
tj. . Rang matrice tada je maksimalan.
b) Za matricu kažemo da je SINGULARNA ako nije regularna Kod singularne matrice
pripadna determinanta je jednaka nuli . Rang tada nije maksimalan.
3. RANG MATRICE
Rang matrice je najveći broj linearno nezavisnih redaka ili stupaca te matrice. (linearna zavisnost je
kada se jedan redak/stupac može prikazati kao linearna kombinacija drugih, dakle ovdje to nije
moguće)
Rang matrice određuje se tako da matricu svodimo na trokutasti oblik pomoću G-J metode (najčešće
gornje trokutasta matrica) jer želimo da su nam elementi ispod (ili iznad) glavne dijagonale nule. Iz
trokutastog oblika matrice potom iščitavamo rang: rang je jednak broju elemenata na glavnoj
dijagonali koji su RAZLIČITI od nule. Ili, rang je jednak broju „stepenica“, a stepenicu radimo ispod
svakog broja na glavnoj dijagonali koji nije nula, kada vidimo nulu nacrtamo „pod“.
Rang matrice je broj neponištenih redaka/stepenica svaki redak ima svoju stepenicu.
Kažemo da matrica ima rang ako je r maksimalan broj linearno nezavisnih redaka (stupaca) matrice.
Rang po stupcima jednak je rangu po recima. Rang matrice A označavamo sa r(A). Rang matrice
tražimo tako da ju pomoću elementarnih transformacija svedemo na kanonsku matricu ranga r.
4. DETERMINANTE
Određivanje determinante je zapravo „rješavanje matrice“ , tj. determinanta je preslikavanje koje
kvadratnim matricama pridružuje realan broj. Dakle od matrice (skup elemenata zapisanih u tablicu)
napravi jedan broj i to neka ti bude „vrijednost“ matrice. Determinanta matrice je realan broj
za koji vrijedi gdje je skup svih permutacija
, a je predznak koji se pridružuje svakoj permutaciji.
SVOJSTVA DETERMINANTE:
1. Ako su u retku/stupcu sve nule tada je det A≠0
2. Ako su dva retka/stupca jednaka ili proporcionalna, det A=0
3. Ako je determinanta gornje trokutasta tada je determinanta jednaka umnošku elemenata na
dijagonali
4. Red/stupac determinante možemo pomnožiti brojem i dodati drugom redu (kao kod G-J!)
5. Matrica i njena transponirana matrica imaju iste determinante detA=detAT
6. Ako zamijenimo dva stupca ili dva retka determinante, tada determinanta mijenja predznak
7. Za kvadratne matrice vrijedi BINET-CAUCHY-JEV TEOREM da je determinanta umnoška
kvadratnih matrica jednaka umnošku determinanti tih matrica
Ovisno o veličini matrice čiju determinantu računamo, postoje tri načina za izračunavanje vrijednosti
determinante:
1) Ako imamo kvadratnu matricu M2 tada determinantu računamo po pravilu ad-bc (to je isto
Laplaceov razvoj, ali najjednostavnija varijanta):
2) Ako imamo kvadratnu matricu M3 tada determinantu računamo pomoću Sarrusovog pravila
(pamti kao: glavne dijagonale minus sporedne): Postupak se provodi tako da nadopišemo prva dva
stupca determinante, a zatim računamo (zbroj umnožaka na glavnim dijagonalama)-(zbroj umnožaka
na sporednim dijagonalama).
3) Ako imamo kvadratnu matricu M4 ili veću, tada koristimo Laplaceov razvoj determinante, kako bi
vrijednost determinante reda nxn definirali pomoću vrijednosti determinante nižeg reda, koju onda
računamo po pravilu 1. ili 2. Laplaceov razvoj glasi : . Pri
rješavanju takvih zadataka, biramo red ili stupac sa što više nula kako bi što veći broj pribrojnika u
navedenoj sumi bio nula. se naziva podmatrica odnosno algebarski komplement elemenata
koju dobijemo tako da izbacimo redak i stupac koji sadrži element . Nakon što izbacimo taj redak i
stupac, preostaje nam determinanta 3x3 koju razvijamo po proizvoljnom j-tom stupcu i svaku od tih
determinanti, ako ju ne množi nula, dalje rješavamo po Laplaceovom razvoju ili preko Sarrusovog
pravila.
5. VEKTORI
Vektor je jednostupčana matrica dimenzije n koja nam ujedno govori i koliko vektor ima elemenata.
Vektor A tako možemo zapisati kao gdje označava vektorski prostor kojemu taj vektor
pripada.
S vektorima možemo raditi sve isto što i s matricama (+,-, *sa skalarom), ali kod vektora imamo još
dodatnu operaciju, skalarno množenje koju možemo naći i pod nazivom skalarni produkt vektora.(To
nije isto što i množenje skalarom!) Uvjet za skalarni produkt vektora je da vektori budu jednakih
dimenzija . Skalarni produkt vektora je zbroj umnožaka odgovarajućih koordinata, ili
možemo reći pojednostavljeno množenje matrica. Uzmemo element a1 prvog vektora, pomnožimo
ga s b1 i to redom zbrajamo sa pomnoženim a2*b2 itd. Matematički zapisano to izgleda ovako:
Ako se prisjetimo vektora iz srednje škole (tko ih je učio ), tada skalarni produkt vektora možemo
povezati sa geometrijskom okomitosti vektora. Ako vrijedi da je skalarni produkt , tada su
vektori okomiti (druga riječ ortogonalni).
Još jedna stvar koju treba znati kod vektora je tzv. NORMA vektora. Da nam bude lakše shvatiti što je
to, sada na vektor zaista gledamo kao usmjerenu dužinu u geometrijskom prostoru.
Zanima nas dujina tog vektora (kao duljina dužine). Ta duljina je broj koji se naziva norma. Ili, norma
vektora je funkcija koja vektoru pridružuje njegovu duljinu. Najpoznatiji način za dobivanje
norme je „Euklidska norma“ koja se računa po formuli:
. Tj. norma
se dobije kao korijen zbroja kvadriranih elemenata vektora. A je vektor iz prostora , a ili
samo je oznaka za normu vektora.
SVOJSTVA NORME:
1. Norma vektora je uvijek veća ili jednaka nuli
2. Ako vektor množimo skalarom c tada vrijedi: odnosno normu množimo
apsolutnom vrijednošću skalara
3. Ako je norma vektora 0, tada se radi o nul-vektoru, a isto kao i kod nul-matrice, to je vektor
čiji su svi elementi 0
4. Vrijedi nejednakost trokuta: odnosno duljina zbroja dvaju vektora
uvijek je manja od zbroja posebno duljine vektora a i vektora b jer sjetimo se, vektori se
geometrijski zbrajaju po pravilu trokuta
Osim norme, drugi pojam vezan uz vektore je METRIKA, a to je funkcija po kojoj računamo udaljenost
između dva vektora (ili općenito, između dva elementa nekog skupa; ne mora biti samo između
vektora). Metriku odnosno udaljenost između dva vektora označavamo s i računamo preko
norme tj. duljine razlike vektora:
LINEARNA KOMBINACIJA VEKTORA X, Y je vektor gdje su realni brojevi (može biti
i više od dva vektora).
a) Vektori su linearno ZAVISNI ako se jedan može prikazati kao linearna kombinacija drugog (ili
drugih ako ih ima više). Vektor je linearno zavisan o vektorima X1, X2, …, Xk ako
se vektor A može prikazati kao linearna kombinacija tih vektora tj. ako postoje realni brojevi
c1, c2,…,ck takvi da je A= c1 X1+ c2 X2+…+ ck Xk odnosno da postoje neki koeficijenti kojima
možemo pomnožiti te vektore i kada ih zbrojimo dobiti vektor A.
b) Vektori su linearno NEZAVISNI ako se niti jedan od njih ne može prikazati kao linearna
kombinacija drugog/preostalih (ako ih ima više). Također za skup vektora X1, X2, …, Xk
kažemo da su linearno nezavisni ako sustav jednadžbi c1 X1+ c2 X2+…+ ck Xk=0 ima samo
trivijalno rješenje,a to znači da je jedino rješenje sustava c1 = c2 =…=ck =0.
6. INPUT-OUTPUT ANALIZA
Neka je gospodarstvo neke zemlje podijeljeno u n sektora. Koristimo slijedeće oznake:
Qi je oznaka za ukupnu količinu proizvoda u nekom i-tom sektoru.
Qij je oznaka za količinu outputa i-tog sektora koja će prijeći u j-ti sektor.
qi je količina finalne potražnje i-tog sektora.
i=1,2,…,n j=1,2,…,n
Input output tablica tada izgleda ovako:
Vektor outputa Qi Međusektorska potražnja Qij Finalna potražnja qi
Q1 Q11 … Q1n q1
Qn Qn1 … Qnn qn
Jedna od temeljnih pretpostavki input-output modela je da je za svaki redak vektor outputa jednak
zbroju međusektorske potražnje i finalne potražnje:
To nam daje odgovor na pitanje koliko trebamo proizvoditi (Q1) da bi međusektorska i finalna
potražnja bile zadovoljene.
MATRICA TEHNIČKIH KOEFICIJENATA A je fiksni dio svake input-output tablice.
-popunjava se po formuli
Tehnički koeficijent nam govori kolika je količina proizvoda i-tog sektora
potrebna da se proizvede jedinica proizvoda j-tog sektora.
MATRICA TEHNOLOGIJE T:
U opisanom modelu želimo da ekonomske veličine budu nenegativne tj. da inverz matrice
tehnologije ima sve nenegativne elemente . Da bi se to postiglo matrica tehnologije
mora zadovoljavati Hawkins-Simonov uvjet koji kaže: kako bi matrica imala sve
nenegativne elemente, sve vodeće minore matrice moraju biti pozitivne.
Sada da još objasnimo što su vodeće minore. Vodeće minore matrice su vrijednosti determinanti
kvadratnih podmatrica koje obuhvaćaju jedan, dva odnosno sva tri elementa glavne dijagonale. Svaka
vodeća minora je za jednu dimenziju veća od prethodne, te niz nastavljamo dok ne dođemo do
determinante cijele zadane matrice. Tj. krenemo od matrice koja se sastoji od samo jednog broja,
početnog elementa gore lijevo i računamo njenu determinantu što je samo apsolutna vrijednost tog
broja. Zatim to proširimo na matricu 2x2 pa računamo njenu determinantu. Pa na matricu 3x3 pa
njenu determinantu itd. dok na kraju ne obuhvatimo cijelu matricu. Ako su svi tako izračunati brojevi
odnosno vodeće minore pozitivni, onda i inverz takve matrice tehnologije T ima sve nenegativne
članove.