URCAMP- SANTANA DO LIVRAMENTO
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URCAMP-SANTANA DO LIVRAMENTO
ENGENHARIA CIVIL
RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Um estudo sobre Toro
Elizabeth Veleda Consideraes bsicasSero consideradas tenses de toro (tangenciais ou de cisalhamento) devido ao momento torsor atuante no eixo axial do elemento estrutural estudado. Em geral, tenses de toro aparecem em vigas, prticos e grelhas, combinadas com tenses de flexo.Vigas Curvas e Grelhas
Escada Helicoidal
Qz Mz
Qy My
Nx Mx
Todos os esforos solicitantes
Uma pea submetida apenas toro apresenta um giro de suas sees, mas o eixo da pea se mantm reto. Um ensaio pode ser feito com folhas de papel enroladas como um canudo: ao torcer o canudo h um escorregamento longitudinal, alm de um giro relativo entre as sees transversais. Logo aparecem foras de cisalhamento, cortantes, com as tenses de cisalhamento correspondentes.
Quando uma barra sofre toro, as sees planas perpendiculares ao eixo longitudinal no permanecem planas. Este fenmeno chamado de distoro.
Pela distribuio das tenses em uma seo circular, conclui-se que a massa da seo resistente deve estar distribuda em toda a periferia, induzindo sees resistentes com formas:
A seo vazada , sem a menor dvida, aquela que fornece a mxima rigidez toro acoplada a um mnimo consumo de material estrutural (isto , menor peso).
Este esforo solicitante exerce sobre a pea uma tendncia de rotao das diversas sees em torno do eixo dos x(axial). O momento de toro ser positivo se o observador olhar a seo na sua parte interior e as fibras girarem no sentido horrio. Momento de toro Mt provoca tenses tangencias ou de cisalhamento.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Como operar com os momentos torores
O traado dos diagramas de momentos torores similar ao traado de diagramas de esforos cortantes:
Tenses e deformaes na toro.As deformaes nas estruturas reais so pequenas e valida a lei de Hoock. Uma fibra genrica ABC originalmente retilnea, encurva-se segundo uma hlice cilndrica de pequena curvatura ADE aps a aplicao da toro. O ngulo de giro ou toro relativo entre duas sees genricas afastadas entre si de uma unidade de comprimento denominado ngulo unitrio de toro. O ngulo de giro ou toro entre duas sees extremas de uma pea denominado ngulo total de toro.
/L= /1 ou = .LO arco formado pelo deslocamento do ponto B para a posio D = . Sendo uma hlice cilndrica de pequena curvatura, podemos admitir que os giros relativos das diversas sees em relao a uma de referencia so proporcionais a distancia entre elas, ou seja:
/L= /1 ou = .L Considerando os ngulos de toro so pequenos (pequenas deformaes), o arco formado pelo deslocamento do ponto B para a posio D ao longo do processo de toro pode se escrever:
AB tan = . Sendo a distncia da fibra genrica ABC ao centro da seo.Como o comprimento AB unitrio e a tangente de a distoro especfica do material, resulta:= . Considerando o material elstico linear, valida a lei de Hoock
(=G. ( =G. . A expresso acima corresponde a uma distribuio de tenses tangenciais contidas em um plano das sees transversais, linear em relao distncia do ponto considerado ao centro da seo. A orientao das tenses em circunferncia, no sentido da toro aplicada.
Considerando que a resultante das tenses em uma seo transversal deve ser igual solicitao atuante nesta seo:Mt= ( dA
Onde dA um diferencial de fora aplicado em um diferencial de rea dA distante do centro da seo, gerando um diferencial de momento de toro de . . dASubstituindo a tenso tangencial atuante pela ditribuio encontrada resulta:Mt=G2 dA
Mt=G2 dA Mt=GI0I0 o momento de inrcia polar da seo.
(= Mt. / I0 = Mt/G . I0
I0 seo circular
I0 seo coroa circular (rext)4-(rint)4 Na seqncia so dados exemplos de materiais e suas respectivas tenses mximas de trabalho:
Ao (=350 MPa (3500 kgf/cm2) tenso normal =80 MPa (800 kgf/cm2) tenso de cisalhamento
Madeira (=9 MPa (90 kgf/cm2) tenso normal =1.2 MPa (12 kgf/cm2) tenso de cisalhamento
Concreto(=15 MPa (150 kgf/cm2) tenso normal compresso(=1.5 MPa (15kgf/cm2) tenso normal trao=0.6 MPa (6 kgf/cm2) tenso de cisalhamento
1. Dimensionar um tubo de seo circular cheia que recebe um momento de toro de 19,7 kN.m. Adotando-se uma tenso de cisalhamento (=80 Mpa.
(= Mt. / I0
I0= Mt. / ( I0 seo circular=r raio externo =19,7.r/80000 r3=.19,7.2/(.80000)r=0,053m
2. Momento de toro devido ao vento. Um tubo metlico de seo circular de raio externo igual a 10 cm e espessura de 0.8cm recebe um momento de toro igual a 50 KN.m. Qual a tenso a que est sujeito? A tenso admissvel de cisalhamento (=80 Mpa.Pergunta-se se est em segurana.
= 0.10m raio externoI0 seo coroa circular (rext)4-(rint)4 (0.10)4-(0.092)4
I0=0.00004455
(torcao= Mt. / I0
(torcao= 50. 0.1/ 0.00004455
(torcao=112.23 Mpa Se considerarmos as tenses tangenciais devido ao esforo cortantecortante/Vento=2.66kN/m2x(5.0mx1.50m)
cortante/Vento=19.95 kN: (cort=19.95 kN/[ (rext)2-(rint)2] (cort=4147.68kN/m2
(total= (cort+ (torcao(total=112.23 +4.147Mpa> (=80 Mpa (total=116.14 Mpa no est em seguranaRedimensione os dimetros da coluna para que haja segurana.
I0= Mt. rext/ ( com I0 seo coroa circular (rext)4-(rint)43. Projetar...Passarela com toro devido a excentricidade das cargas originrias dos braos transversais de comprimentos diferentes.
Toro em sees fechadas de paredes fina (tubos)Em tubos onde a espessura da parede pequena comparada com a largura total da seo, admite-se que as tenses tangenciais causadas pela toro so aproximadamente constantes ao longo da espessura da parede. E a expresso da tenso de cisalhamento ser desenvolvida:O fluxo de cisalhamento ser f= (.e
Onde e a espessura da parede
O momento ser a integral do fluxo na reaMt=f.r.ds
Porm, r.ds o dobro da rea do tringulo formado na figura, de modo que a integral resulta duas vezes a rea limitada pelo contorno mdio da parede do tubo.Mt= f 2
Mt=((.e) 2
(= Mt/(2..e)Mt- momento de toro e - espessura da parede
=rea delimitada pelo contorno mdio da paredeSe considerarmos o projeto de tubo de geometria circular de parede fina:(= Mt/(2..e) ficar (para parede circular de espessura e) (= Mt/(2..rm2.e)4. O tubo de parede fina indicado. Calcular a tenso media em A para os momentos indicados:
O exame visual dos modelos deixa claro como distinto o comportamento dos elementos de seo circular quando comparados aos de seo retangular. As tenses de cisalhamento na toro se apresentam com diferentes formulaes.
Toro seo retangularO problema das sees retangulares no simples, pois, nos vrtices nula e na regio central dos lados atinge o valor mximo dado pela expresso abaixo:
(max= .( 3+1.8.) ou
(max=
O ngulo de toro por unidade de comprimento se para a seo retangular:
=
e - coeficientes que dependem da relao b/cG-mdulo de elasticidade transversal
b/c1.01.51.752.02.53.04.06.08.0
0.2080.2310.2390.2460.2580.2670.2820.2990.307
0.1410.1960.2140.2290.2490.2630.2810.2990.307
Apresentao de momentos de inrcia de sees com formas comuns.
5. Calcule a tenso mxima para a seo retangular de uma viga de madeira, sujeita a um momento de toro igual a 11,25kN.m.
Dimenses da viga:
(max= (max= (max=1202.5 kN/m2 (max=1,2Mpa
6. O problema apresentado no desenho abaixo:
Viga de madeira Pinho do Paran
(=8.7 MPa (87kgf/cm2) tenso normal na flexo (=0.69 MPa (6.9 kgf/cm2) tenso de cisalhamento
Calcular os momentos fletores, momentos de toro, e esforos cortantes na seo mais desfavorvel e verificar a segurana da viga/grelha.
Critrio de cisalhamento na toro:
(max= .( 3+1.8.) ou
(max=
Critrio de cisalhamento relativo aos esforos cortantes:
(maxima=1.5
Critrio de flexo
=.y _ Tenso normal na flexo Mz- - momento ao redor do eixo dos z (regra da mo direita) I-momento de inrcia baricentrico em relao ao eixo dos z.7. O problema apresentado para a verificao da segurana. A grelha similar ao projeto anterior foi executada em eucalipto:
Viga de madeira Eucalipto Citriodora
(=17 MPa (170kgf/cm2) tenso normal na flexo =1.5 MPa (15 kgf/cm2) tenso de cisalhamento
Calcular os momentos fletores, momentos de toro, e esforos cortantes na seo mais desfavorvel e verificar a segurana da pea.
8. Um eixo de seo circular de dimetro igual a 12 cm deve transmitir um torque de 10kN.m. O peso especifico do eixo 78kN/m3. Tem 4.0m de comprimento e est apoiado em mancais extremos. Determine o valor das tenses e compare com as admissveis do material.Ao (=240 MPa (2400 kgf/cm2) tenso normal =80 MPa (800 kgf/cm2) tenso de cisalhamento
Critrio de cisalhamento na toro:
(= Mt. / I0
I0 seo circular=r raio externoCritrio de flexo
=.y
_ Tenso normal na flexo Mz- - momento ao redor do eixo dos z (regra da mo direita) atuante na seo.
I-momento de inrcia baricentrico em relao ao eixo dos z.
tenses de cisalhamento
Relembrando:
As tenses de cisalhamento obedecem ao princpio da reciprocidade:
Se em uma dada face vertical atua uma tenso tangencial convergente aresta comum a esta face, haver uma outra tenso na face horizontal, convergente, com mdulo igual ao da tenso original.
Mx
((
4.6m
z
x
y
4.0m
Carga uniformemente distribuda devido ao peso prprio: 78kN/m3x(. R2)
Carga concentrada de 5kN
Seo transversal:
0. 20m x 0.40m
1.1m
2.5m
Carga uniformemente distribuda de 3.5kN/m
Includo o peso prprio
Seo transversal:
0. 15m x 0.30m
Carga uniformemente distribuda de 2.5kN/m com peso proprio
0.7m
3.0m
c=0.30m
b=0.45m
c-lado menor
b-lado maior
Lm- o comprimento do contorno mdio
f.ds
ds
r
tenses de cisalhamento
7 kN.m
17 kN.m
5 kN.m
Momentos torores
MTc=-10 kN.m
MTb=12 kN.m
MTa=5 kN.m
Mx=MT+ momento toror
Mz=MF+ momento fletor
Qy esforo cortante
Raio externo igual a 10 cm e espessura de 0.8cm
1.50m
5.0m
Q=2.66kN/m2 vento
Momento/Vento=2.66kN/m2x(5.0mx1.50m)x2.50m
x
Se ocorrer uma fora frontal ao prtico, como a do vento o pilar seguramente estar sujeito toro no pilar.
(( ((((((((((((
Mz=MF+ momento fletor
Qy esforo cortante
Nx esforo normal
2.2m
Q=3.3kN/m2
Momentos torores
_1375548502.unknown
_1375828460.unknown
_1375873636.unknown
_1375830129.unknown
_1375828581.unknown
_1375822786.unknown
_1375828011.unknown
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