_Philia_Vol.08-02경향과대책 자연계 39

경향과대책●●●

자연계

2008학년도고려대학교정시논술심층분석[자연계]

2009학년도수리논술출제경향

2008학년도 고려대학교 정시 모집 자연계 논술은 지난 2008년 2학기 수시 논술의

경우와 마찬가지로 과학 교과와 수리 분야의 통합교과형으로 출제되었다. 또한 그 범위

는 선택과목으로 인한 문제점을 고려하여 과학의 경우, 과학 과목 I의 내용을 기준으로

출제된 것으로 보인다. 그러나 각 과학 과목 Ⅱ를 선택하지 않았더라도 선행 지식의 유

무와 관계없이 창의성만을 발휘한다면 해결할 수 있는 부분을 일부 포함한 것으로 판단

된다.

수학의 경우, 제시문과 논제에 사용된 소재와 개념이 이미 고등 학교 교과서를 통해

익숙하게 다루어진 것이 아니여서 학생들이 해결에 필요한 수학적인 전략을 세우는 데

약간의어려움이있었으리라판단된다.

수학 교과에서는 기하학적 구조, 미적분의 개념, 명제와 논리, 정수의 성질 등이 통합

된 논제가 출제되었으며, 주어진 기하학적 구조로부터 적분의 개념과 정수의 성질을 논

리적 판단을 통해 유추해 내는 능력을 측정하고자 하였다. 그리고 평면 기하에서 나타나

는 여러 가지 성질들과 정적분의 정의를 이용하여 주어진 두 선분 사이의 각을 적절한

함수의 정적분으로 표현하는 과정을 기술하고 있다. 특히 이 부분은 생소하고 처음 접하

는모양이라답을하는데어려움이있었으리라판단된다.

이 문제는 평면 기하에서 나타나는 점과 직선과의 거리를 제시문에 주어진 좌표를 이

용하여 표현할 수 있는지 묻고 있으며, 제시문에서 주어진 두 선분 사이의 각을 함수로

표현한 후 정적분으로 표현할 수 있음을 이해하고 증명하는 문제로 출제되었다. 그리고

다음 제시문에서 벡터의 각 성분이 자연수일 때, 이 벡터의 성분들의 최대공약수가 이

벡터와다른 어떤 벡터와의 내적으로 주어진다는 사실을 기술하고 있다. 또한 명제와 논

리, 공간벡터, 최대공약수등에대한복합된상황의이해를요구하고있으며, 벡터의내

적의성질을이용하여주어진약속을증명하는연역적인추론문제를출제하였다.

즉, 이번 고려대 정시 논술 문제는 난이도의 조절에 어려움이 있어 보이며 논술적인

요소보다본고사형의수리논술로굳혀진듯하다. 이제직접문제를살펴보기로하자.

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자연계

[정리 1] S에속하는모든점 R이→OP·→OQ≤→OP·→OR를만족하면→OP·→OQ는 l의약

수이다.

[정리 2] S에 속하는 모든 점 R이→OP·→OQ≤→OP·→OR를 만족하면→OP·→OQ는 l, m, n

의최대공약수이다.

그림 2

논제 01. 제시문 (가)의 (2)와 (4)가 성립함을설명하시오.

논제 02. 대우를 이용하여 제시문 (나)의 [정리 1]이 성립함을 보이고, [정리 1]을

이용하여 [정리 2]가 성립함을설명하시오.

예시답안

논제 01

식 (2)의 증명은직선의방정식과점과직선사이의거리를이용하면다음과같이

간단하게거리공식을구할수있다.

직선 AB의방정식 y-y1= (x-x1)을 정리하면

x-y+y1- x1=0

이므로원점 O에서직선 AB까지의거리 d는

이제식 (1), (3)과 정적분의정의를이용하여식 (4)를 찾아보면다음과같다.

원 O의반지름의길이가 1이므로 `∠AOB` = Q0Q n =∑k=1

n

Q k-1Q k이고

y2-y1x2-x1

y2-y1x2-x1

y2-y1x2-x1

2008학년도정시논술고사

그림 1

(가)그림1과같이좌표평면위에원점 O`를 중심으로하고반지름이 1인원이있다.

이 원의바깥쪽에있는두점 A(x1,y1)와 B(x2,y2)가 <∠OAB< π를 만족한다. 선

분 AB`를 n등분하는점들을▷P1, P2,…, Pn-1이라하고▷P0=A, Pn=B`라 하자. 이원

이선분 OPk-1과만나는점을Q k-1이라하고선분 OPk와만나는점을Q k라하자. Q k-1

에서 원에 접하는 직선이 선분 OPk와 만나는 점을 Sk라 하고, Q k에서 선분 OPk-1에

내린수선의발을 Rk-1이라하면호의길이 Q k-1Q k는

Rk-1Q k ≤ `Q k-1Q k ≤ Q k-1 Sk (k =1, 2,`…, n ) (1)

를 만족한다. 원점 O`와 직선 AB 사이의거리를 d라할때

d= (2)

이다. 따라서

sin(∠OPk-1A)= (k =1, 2,… , n ) (3)

이다. (1)과 (3)을 이용하면다음성질도성립함을보일수있다.

∠AOB=∫0

1

` dt (4)

(나) 그림과 같이 평면 α위에 있지 않은 한 점 P(l, m, n)를 지나는 직선이 평면 α와

원점 O에서 수직으로 만난다. 점 P의 좌표 l, m ,n은 모두 자연수이다. 평면 α로 나

누어지는 공간의 부분 중 점 P를 포함하는 부분을 V라 하고 V는 평면 α위의점들을

포함하지 않는다고 하자. V에 속하는 점들 중 좌표의 성분이 모두 정수인 점들의 집

합을 S라하고 Q를 S에속하는한점이라할때다음의정리가성립한다.

|x1 y2-x2 y1|{x1+t(x2-x1)}

2+{y1+t(y2-y1)}2

|x1 y2-x2 y1|AB OPk-1

|x1 y2-x2 y1|

AB

π2

(

(

V

α

O

P

d= = =|x1 y2-x2 y1|

AB

|x2y1-x1y2|

(x2-x1)2+(y2-y1)

2

|y1- x1|

( )2+1

y2-y1x2-x1

y2-y1x2-x1

( (

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자연계

식 (1)에서 R k-1Qk≤Q k-1 Q k ≤ Q k-1 Sk이므로

∑k=1

n

Rk-1Q k≤∑k=1

n

Q k-1Q k≤∑k=1

n

Q k-1S k

∑k=1

n

sin(∠Rk-1OQ k )≤∠AOB`≤∑k=1

n

sin(∠Rk-1OQ k )OSk (a)

이 성립한다.

식 (a)의 왼쪽부등식을사인법칙를이용하여정리하면`

= 이고

sin(∠Rk-1OQ k)= 이다.

점 Pk의좌표를 Pk(x1+ (x2-x1),` y1+ (y2-y1))(k = 0,1,2,`…, n)라고하면

limn→∞∑

k=1

n

sin(∠Rk-1OQ k)= limn→∞∑

k=1

n

= limn→∞∑

k=1

n

=|x1 y2-x2 y1| limn→∞∑

k=1

n

= limn→∞∑

k=1

n |x1 y2-x2 y1|

{x1+ (x2-x1)}2+{y1+ (y2-y1)}2

=∫0

1

` dt

그런데식 (1)에 의해서

limn→∞∑

k=1

n

sin(∠Rk-1OQ k)≤∠AOB

이성립하므로

∫0

1

` dt≤∠AOB

`이 성립한다.

|x1 y2-x2 y1|{x1+t(x2-x1)}

2+{y1+t(y2-y1)}2

|x1 y2-x2 y1|{x1+t(x2-x1)}

2+{y1+t(y2-y1)}2

kn

kn

1

OPk2

Pk-1Pk

OPk-1 OPk

|x1 y2-x2 y1|

AB

|x1 y2-x2 y1|Pk-1Pk

OPk-1 AB OPk

kn

kn

|x1 y2-x2 y1|Pk-1Pk

OPk-1 AB OPk

OPk-1 AB OPk

|x2y1-x1y2|Pk-1Pk

sin(∠Rk-1OQ k)

또한, 식 (1)의 오른쪽식에서

limn→∞∑

k=1

n

sin(∠Rk-1OQ k) OS k =|x1 y2-x2 y1| limn→∞∑

k=1

n

=|x1 y2-x2 y1| limn→∞∑

k=1

n

이므로

∠AOB ≤∫0

1

dt

또한성립한다.

따라서식 (4)를 증명할수있다.

논제 02

제시문 (나)에서주어진 [정리 1]의 대우명제를만들어보면다음과같다.

즉, “→OP·→OQ`가 l의 약수가아니면→OP·→OQ`> →OP·→OR`을 만족하는 점 R이 S에 적

어도 하나 존재한다.”이므로 이 명제와제시문 (나)를 이용하면 다음 두 가지 사실을

알수있다.

그림 3

먼저, 제시문에서평면α로나누어지는공간의부분중점 P`를 포함하는부분이 V`이

므로 위치벡터→OP와 예각을 이루는 영(원점)이 아닌 위치벡터의 끝점은 모두 V`의

원소이다. 그런데 영이 아닌 두 벡터가 이루는 각이 예각이 될필요충분조건은 두 벡

터의내적이양수이므로다음이성립한다.

영(원점)이 아닌점 X (x, y, z) ∈ V`⇔→OP·→OX= lx+my+nz>0 (1)

그리고점 Q의좌표를 Q(a, b, c) ∈ S ⊂V`라고 하면조건 (1)에 의해다음이성립한

다.

→OP·→OQ`= al+bm+cn>0 (l,m,n은자연수, a, b, c는정수)

|x1 y2-x2 y1|{x1+t(x2-x1)}

2+{y1+t(y2-y1)}2

1

OP2

k

OS k

OP2

k

((

Ix+my+nz=0

S ⊂V

α

O

P(I, m, n)

Q(a, b, c)

44 경향과대책 자연계_Philia_Vol.08-02경향과대책●●●

자연계

→OP·→OQ`가 l의약수가아니라고가정하였으므로나눗셈정리에의해

l=q(→OP·→OQ )+r (q는``정수, 0< r < →OP·→OQ ) (2)

이다.그리고

r=l-q(→OP·→OQ )=l-q(al+bm+cn)

=(1-qa)l+(-qb)m+(-qc)n=(l,`m, n)·(1-qa,` -qb,`-qc)

이므로점 (1-qa,`-qb, -qc)을 R로택하면

r = →OP·→OR 이다. 그러므로조건 (1)와 조건 (2)에 의하여→OP·→OQ` > →OP·→OR 을만족하는점 R`(1-qa,-qb,-qc)이 S`에 존재함을확인할수있

다.

따라서 [정리1]을 증명하였다.

이제정리2를증명해보자.

l, m, n의 최대공약수를 u라 할 때, l =l1u, m=m1u, n=n1u(l1, m1, n1은 서로소)로 나

타낼수있으므로→OP·→OQ` = al+bm+cn=(al1+bm1+cn1)u 이므로 u는→OP·→OQ`의 약수이다.

반대로→OP·→OQ가 u의약수임을보이자.

[정리 1]의 대우를 증명하는 과정에서 (1,0,0)∈ V`대신 (0,1, 0)∈ V, (0,0,1)

∈ V`을 택하면 마찬가지 방법으로 →OP·→OQ는 m, n의 약수임이 증명된다. 따라서→OP·→OQ는 l,`m, n의 공약수이다. 그런데 공약수는 최대공약수의 약수이므로→OP·→OQ는 u의약수이다.

따라서→OP·→OQ=u는 l,`m, n의최대공약수이다.

글_ 이 동 흔

남강고등학교수학과교사. 전국수학교사모임저널편집국장.