1
TOPOGRAFÍA
Telmo Palancar
I
ÍNDICE
TOPOGRAFÍA-DEFINICIÓN 1
Vinculación de la topografía con otras ciencias 1
Ciencias Básicas que utiliza la Topografía 1
Ciencias que aplican los conocimientos obtenidos con la Topografía 2
UNIDADES 3
Múltiplos y submúltiplos del metro 3
Medidas Inglesas 4
Unidades de superficie 4
Unidades angulares 4
Relación entre sistema natural y sexagesimal 5
Relación entre sistema natural y centesimal 5
Relación entre sistema centesimal y sexagesimal 5
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 6
Teorema del coseno 7
Teorema del seno 8
Problema de los triángulos obtusángulos 8
Determinación de la superficie por Herón 10
TEORÍA DE ERRORES 12
Introducción 12
Causas de los errores 12
a)Humanos 12
b)Ambientales 12
c)Instrumentales 13
Equivocaciones o errores groseros 13
Errores propiamente dichos 13
a)Errores sistemáticos 13
b)Errores accidentales 14
Media aritmética y desvíos 14
a)El valor más probable: La media 14
b)Errores aparentes, desvíos o residuos 14
Postulados de Gauss 16
Medidas de dispersión 16
a)Error probable 17
b)Error medio aritmético 17
c)Error medio cuadrático de una observación o desvío estándar 17
d)Varianza o Error medio del promedio 19
Propagación de errores 23
a)Error de una suma 23
b)Error de una serie 24
c)Error de un producto 25
Error máximo admisible ó Tolerancia 26
ESCALAS 28
Definición e importancia 28
Relación de superficies 29
II
Escalas gráficas 29
VACILACIÓN PLANIMÉTRICA 30
Poder resolutivo del ojo humano 30
Vacilación planimétrica 31
ALINEACIONES 33
a)Alineación desde el extremo 34
a1)Relleno 34
a2)Prolongación 34
b)Alineación desde el centro 35
MEDICIÓN DIRECTA DE DISTANCIAS 36
Métodos expeditivos 36
Medición a pasos 36
Odómetro 36
Método regular 37
Medición con cinta 37
Cinta ruleta 37
Cinta de agrimensor o de tambor 37
Procedimiento a seguir al utilizar la cinta de agrimensor 38
FUNDAMENTOS GENERALES DE LA MEDICIÓN
ELECTRÓNICA DE DISTANCIAS 41
Introducción 41
Principio matemático 41
Clasificación de los IEMD 42
Telurómetro 42
Geodímetro de luz visible o Telémetro Electroóptico 43
Rayos IR 45
Estación Total 46
MEDICIÓN ANGULAR EXPEDITIVA 48
Goniómetros de ángulo fijo 48
Escuadras ópticas 48
Utilización de las escuadras ópticas en el levantamiento de puntos
por coordenadas rectangulares 48
Brújula Forestal 49
Declinación Magnética 54
EFECTO DE LA CURVATURA TERRESTRE EN
PLANIMETRÍA 58
MÉTODOS PLANIMÉTRICOS 60
Triangulación y trilateración 61
Triángulación 61
Intersección directa o hacia adelante 61
Intersección lateral 67
Intersección inversa, hacia atrás o Pothenot 68
Hansen 69
Trilateración 69
Poligonación 73
III
Poligonal cerrada 73
Poligonal abierta 74
Radiación y Detalles 78
Radiación 78
Levantamiento de detalles por coordenadas rectangulares 80
Red de triangulación fundamental Argentina 81
MÉTODOS DE CÁLCULO DE ÁREAS 84
Métodos numéricos 84
Descomposición en triángulos y uso de la ecuación de Herón 84
Radiación o polar 85
Normales a una alineación interna 87
Polígono exterior 89
Abscisas y ordenadas (Método de los trapecios) 90
Métodos gráficos 90
Método de la cuadrícula 90
Fajas paralelas 91
Fórmula de Bezout o método de los trapecios 91
Fórmula de Simpson 93
Fórmula de Poncelet 96
Método mecánico. Uso del planímetro polar 98
Determinación de áreas mediante programas de computadora 104
PLANILLA DE CÁLCULO DE COORDENADAS Y
SUPERFICIE 106
Verificación del cierre angular 106
Cálculo de los acimutes 107
Cálculo de las proyecciones 108
Reglas de redondeo 109
Cálculo del error 111
Compensación del error 113
Compensación a partir de la magnitud de los lados 113
Compensación a partir de la magnitud de las proyecciones 115
Proyecciones corregidas 117
Cálculo de coordenadas 118
Cálculo de superficies 119
Comprobación: Proyección de los lados sobre el eje Y 122
Expresión de la superficie en unidades agrarias 123
ALTIMETRÍA 125
Efecto de la curvatura terrestre en altimetría 125
Efecto de la curvatura y refracción atmosférica 127
NIVELACIÓN 129
Nivelación Barométrica 129
Nivelación Trigonométrica 131
NIVELACIÓN GEOMÉTRICA 135
Fundamento o principio 135
Pendiente 136
Instrumental utilizado 137
IV
Nivel de anteojo o equialtímetro 137
Principio de funcionamiento 137
Nivel esférico 137
Nivel tubular 139
Precisión de los niveles 141
Tornillos de enfoque 141
Limbo horizontal 142
Miras 143
Miras de visual inversa 145
Estadimetría 145
Lecturas de mira 146
Error de colimación 147
Definición 147
Compensación 148
Comprobación 149
Corrección 151
Nivelación simple 152
Nivelación compuesta 153
Transporte de cota 153
Nivelación por rodeo 154
Error de la nivelación. Tolerancia 155
Limitaciones de la nivelación geométrica 156
Planilla de campo 157
PERFILES 162
Forma de representar los perfiles 164
Aplicaciones de los perfiles 167
NIVELACIÓN AREAL 171
Nivelación areal por cuadrícula 171
Marcación de la cuadrícula 171
Nivelación 172
Construcción del plano de curvas de nivel 175
a)Localización del punto más alto y más bajo 175
b)Elección de equidistancia 175
c)Determinación de las curvas a trazar 175
d)Interpolación 176
Nivelación areal por radiación o taquimetría con nivel 178
Distancia máxima instrumento mira 187
Número mínimo de estaciones a efectuar para nivelar una
determinada área 188
CARTOGRAFÍA 193
Formas de la Tierra 193
Superficies desarrollables 194
Propiedades de las proyecciones cartográficas 195
Tipos de proyecciones 195
Proyección Cilíndrica 196
Proyección cónica 196
V
Proyección acimutal 196
Coordenadas Geográficas 197
Proyección utilizada por la Cartografía Argentina 198
Coordenadas Gauss-Krüger 199
Agrandamiento relativo 202
Nomenclatura de las cartas IGM 203
Interpretación de la carta 206
a.-Escala 206
b.-Croquis de situación de la hoja 207
c.-Nómina de puntos trigonométricos y auxiliares 207
d.-Convergencia de meridianos y declinación magnética 209
Salto de cuadrícula 209
e.-Símbolos cartográficos 210
f.-Curvas de nivel 211
Clases de curvas 211
Carta Imagen 212
SISTEMAS DE COORDENADAS LOCALES 217
Ecuaciones de Rotación 217
Ecuaciones de Traslación 218
FORMAS DE RELIEVE 223
Hoya 223
Cerro, mamelón o mogote 224
Línea de máxima pendiente 224
Bajo, valle, desfiladero, quebrada o cañón 224
Dorsal 225
Punto de silla, punto de paso, puerto o portezuelo 225
Obtención de perfiles a partir de curvas de nivel 226
Marcación de una cuenca topográfica 227
REPLANTEO 228
Replanteo planimétrico 228
Replanteo de puntos 228
Replanteo de líneas con obstáculos 228
Replanteo de un círculo de centro inaccesible 229
Replanteo de curvas 230
Tablas de Gaunin 231
Replanteo altimétrico 234
Replanteo de una curva de nivel o de una curva de cota constante 234
Replanteo de una curva con gradiente constante 235
FOTOGRAFÍA AÉREA 238
Visión estereoscópica 239
Superposición entre distintas fotografías y entre distintas corridas 239
Rectificación 241
Estereoscopio de bolsillo o de refracción 241
Estereoscopio de espejos o de reflexión 242
Fotointerpretación 243
SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL (GPS) 244
VI
Introducción 244
Fundamentos 244
Cálculo de la distancia Satélite-Receptor GPS 246
Sincronización del tiempo 247
Componentes del sistema GPS 248
Errores 249
Errores en los satélites 249
Errores en la trayectoria de la señal 250
Geometría satelital 250
Receptores 250
Corrección diferencial 250
UTILIZACIÓN DE NAVEGADORES SATELITALES (GPS) EN
APLICACIONES AGRÍCOLAS Y FORESTALES 251
Introducción 251
Descripción del GPS 251
Páginas de información 253
Página de satélites 254
Página de mapa 255
Opciones para los campos seleccionables 257
Página de Navegación 258
Página de Altímetro 260
Página de Trayecto 262
Página de Menú Principal 263
Marcar Waypoint 263
Buscar 265
Rutas 266
Tracks (Recorridos) 268
Configuración 269
Accesorios 270
APLICACIONES DE LA TECNOLOGÍA GPS EN LA
AGRICULTURA 272
Introducción 272
Aplicaciones generales fuera del campo agronómico 272
Aplicaciones agrícolas 272
Ubicación de puntos 272
Determinación de áreas 273
Guiado de maquinaria agrícola 273
Banderillero satelital 273
Autoguiado 275
Monitoreo de rendimiento de cosecha 275
Mapas de rendimiento 277
Mapas de calidad (proteína y aceite) 279
Análisis, administración y almacenamiento de la información 279
Muestreo dirigido de suelos 281
Tecnología de dosis variable 282
Siembra y fertilización de base variable 283
VII
Monitoreo de siembra 283
Fertilización variable usando NDVI 285
El círculo de la agricultura de precisión 286
Otras aplicaciones 287
Control de velocidad de cosecha y siembra 287
Registro y seguimiento de las tareas desarrolladas 287
Monitoreo del grano cosechado 287
BIBLIOGRAFÍA 288
1
TOPOGRAFÍA - DEFINICIÓN
La palabra Topografía deriva de dos vocablos griegos: Topos (lugar) y grafía
(descripción). La Topografía es la Ciencia que estudia el conjunto de procedimientos
utilizados para determinar las posiciones de distintos puntos sobre la superficie de la
Tierra para poder así representarla en un plano y de esa forma “describir un lugar”.
También constituye objeto de estudio de la Topografía el instrumental y los métodos
utilizados en las mediciones así como los errores que se cometen con los mismos. La
Topografía es una Ciencia medidora, en la que se efectúan mediciones de longitudes y
ángulos y con estos valores se calculan otros como las superficies.
Puede dividirse a la Topografía en dos grandes ramas:
-Planimetría: Incluye el estudio de los métodos para la determinación y
representación planimétrica de los detalles terrestres, sin importar su cota o altura.
-Altimetría: Incluye el estudio de los métodos para la determinación y
representación de la cota o altura de los distintos puntos de la superficie terrestre,
vinculados a su ubicación plana.
Vinculación de la Topografía con otras ciencias
Ciencias Básicas que utiliza la Topografía
En la Topografía se utilizan conocimientos básicos que se estudian en otras
Ciencias. Algunas de las Ciencias Básicas de las que la Topografía toma conocimientos
son:
Matemáticas: Se acude frecuentemente a los conceptos de Trigonometría y
Geometría para el cálculo de superficies de parcelas que forman distintos polígonos
(triángulos, trapecios, rectángulos, paralelogramos, otros polígonos) o segmentos que
representen distancias horizontales o verticales.
Estadística: el estudio de los errores cometidos en las distintas mediciones es
abordado desde la Teoría de la distribución de los errores accidentales del Cálculo
Estadístico.
Física: Frecuentemente se emplean al realizar mediciones, instrumentos que
constan de anteojos astronómicos, por lo que resulta necesario el conocimiento de los
Principios de la Óptica Geométrica. Asimismo, la medición moderna de distancias a
partir de distanciómetros utiliza como principio de funcionamiento las ondas
electromagnéticas. También las señales del sistema de posicionamiento Global (GPS) y
las imágenes satélites se transmiten a partir de ondas electromagnéticas. El estudio de la
transmisión de este tipo de ondas es abordado en el ámbito de la Física.
Cartografía: la Cartografía constituye una Ciencia per se en la que se estudian
las distintas formas de representar la Tierra en un plano. La Cartografía es una Ciencia
auxiliar de la Topografía ya que brinda información de partida de distinto tipo (suelos,
hidrografía, curvas de nivel, catastro) que permite describir de antemano un determinado
predio o parcela sin necesidad de realizar mediciones a campo. La correcta
interpretación de la información cartográfica también es objeto de estudio de la
Topografía.
Teledetección-Fotointerpretación: Con la puesta en órbita de los satélites
artificiales y a partir de la obtención de imágenes de la superficie terrestre tomadas por
sensores que se encuentran sobre los mismos, se ha logrado ampliar la información
2
existente relacionada al uso de la tierra, predicción de rendimientos, afectación por
plagas, sequías, incendios, inundaciones y la evolución de estos parámetros en el tiempo.
Con el paso del tiempo y el progreso tecnológico van apareciendo sensores que brindan
imágenes cada vez de mayor resolución y que permiten obtener información de los
distintos parámetros de interés en diferentes bandas del espectro electromagnético. De
ciertos lugares existen también fotografías aéreas de mayor nivel de detalle y escala que
brindan un mayor nivel de detalle que las imágenes satelitales.
Ciencias que aplican los conocimientos obtenidos en Topografía
Los estudios y mediciones efectuados en el marco de la Topografía brindan
información a numerosas Ciencias que, a partir de estos datos, pueden tomar decisiones
a nivel proyectual. Algunas de las Ciencias que utilizan los conocimientos vertidos por
la Topografía son:
Riego y Drenaje: A partir de las nivelaciones realizadas y de la determinación
del relieve del terreno se deciden por dónde y a qué altura se deben construir canales de
riego y drenaje. Las nivelaciones de áreas permiten también calcular las pendientes
medias para efectuar a posteriori trabajos de sistematización del terreno con vistas al
riego por inundación (riego por melgas). Todos los trabajos relacionados con el
movimiento de agua deberían implicar necesariamente un trabajo topográfico de
nivelación previo.
Manejo y Conservación de Suelos: El estudio del relieve para la determinación
de las pendientes erosivas y la posible construcción de terrazas implica asimismo el
estudio del relieve a partir de nivelaciones y construcción de planos de curvas de nivel.
Manejo de Cuencas Hídricas: La determinación de cuencas de aporte de agua
requiere del conocimiento de las diferentes Formas de Relieve y de la interpretación de
los planos de curvas de nivel.
Fruticultura, Silvicultura: Cuando se efectúan plantaciones de especies frutales
y forestales las mismas se hacen siguiendo un determinado patrón de ordenamiento. La
correcta ubicación de los distintos ejemplares se logra a partir de mediciones lineales y
alineaciones estudiadas en Topografía.
Construcciones Rurales: Cuando se desee llevar adelante un determinado
proyecto de construcción a nivel de predio será necesario el relevamiento previo de las
mejoras existentes. Para ubicar la obra a construir serán necesarias tareas de replanteo
que implicarán mediciones topográficas.
Mecanización Agraria: Con el advenimiento de la tecnología GPS, el trabajo de
muchas máquinas agrícolas y diferentes datos recolectados por las mismas son
vinculados a su posición geográfica y georeferenciados. Esta tecnología, denominada
globalmente como Agricultura de Precisión permite recolectar información
georeferenciada y guardarla y administrarla en los denominados “Sistemas de
información geográfica” (SIG en español ó GIS en inglés). Con los mismos se logran
obtener y administrar los denominados “Mapas de rendimiento”, “Mapas de siembra”,
etc. El estudio del sistema GPS, sus alcances y limitaciones así como la utilización de
los SIG es abordado por la Topografía.
3
UNIDADES
En las operaciones topográficas se realizan mediciones de distancias, ángulos y
desniveles. En las mediciones se compara la distancia, ángulo o desnivel que se desea
medir con la unidad de medida empleada, sea el metro, grado sexagesimal u otra. A lo
largo de la historia, el hombre se ha visto en la necesidad de medir y ha utilizado
distintas unidades. Así los egipcios utilizaron como unidades el largo del brazo (vara), el
largo del pie, el ancho del pulgar (pulgada), la longitud del paso, etc. A medida que el
tiempo fue pasando cada pueblo fue creando sus propias unidades de medida y éstas
diferían de un lugar a otro, dificultando y entorpeciendo el intercambio comercial.
Debido a esto, en Francia a fines del siglo XVIII se reconoció la necesidad y
conveniencia de crear una unidad de medida única internacional. La Academia de
Ciencias de París fue la encargada de establecer esta unidad que fue denominada
“metro” (del griego medir) y a la que se asignó una longitud igual a la diez millonésima
parte de un cuarto de meridiano terrestre. Para materializar dicha medida se construyó
una barra de platino rectangular cuyos extremos distaban en la nueva unidad de medida
(1m).
Con el tiempo se observó que la unidad elegida tenía ciertos inconvenientes y
defectos por lo que fue sufriendo diversas redefiniciones. La última definición del metro
es “la distancia que recorre la luz (que posee velocidad constante) en 1/299792458
segundos”
Múltiplos y submúltiplos del metro
De acuerdo a las longitudes medidas es conveniente en ciertas ocasiones recurrir
a los múltiplos y submúltiplos del metro. Los mismos son volcados en la Tabla 1.
Múltiplos
Nombre Símbología Valor
Kilómetro Km 1000m
Hectómetro Hm 100m
Decámetro Dm 10m
Submúltiplos
Nombre Símbología Valor
Decímetro dm 0,1m
Centímetro cm 0,01m
Milímetro mm 0,001m
Micrón 0,000001m
Tabla 1: Múltiplos y submúltiplos del metro
Como puede observarse en la Tabla 1 para pasar de una unidad lineal a la
siguiente inferior o superior es suficiente con multiplicar o dividir por diez
respectivamente (lo que equivale a correr la coma un lugar a la derecha o izquierda).
Existen medidas antiguas (ya en desuso) que es necesario conocer pues han sido
muy usadas y aún suelen utilizarse.
Vara = 0,866m
Cuadra = 150 varas = 150 . 0,866m = 129,9m
4
Legua = 40 cuadras = 40 . 129,9m = 5196m
El valor de 0,866m de la vara fue el más utilizado pero existieron numerosos valores de vara que
se usaron en distintos lugares (vara rosarina = 0,848m, vara de Bustinza = 0,836m) y de allí proviene el
dicho “Hay que medir siempre con la misma vara”.
Medidas Inglesas
Aún es frecuente la utilización de medidas inglesas en determinadas aplicaciones.
Las más comúnmente utilizadas son
Yarda = 3 pies ingleses = 36 pulgadas = 0,914m
Nombre Valor
Milla inglesa 1609,33m
Yarda 0,914m
Pie inglés 0,305m
Pulgada 2,54cm
Tabla 2: Algunas unidades inglesas
Unidades de superficie
En la medición de superficies suelen utilizarse las unidades lineales elevadas al
cuadrado (m2, cm
2, km
2). Obsérvese que para pasar de una unidad a la siguiente superior
o inferior se debe dividir o multiplicar por 100 respectivamente (correr la coma de a dos
lugares). Así para pasar 1200m2 a dm
2 se multiplica por 100 y se obtienen 120000dm
2.
Es muy común la utilización de las llamadas unidades agrarias de superficie. Ellas son la
hectárea (ha), el área (a) y la centiárea (ca). La hectárea equivale a la superficie de un
cuadrado de 100m de lado y posee por lo tanto una superficie de 10000m2. El área se
corresponde con la superficie de un cuadrado de 10m de lado (100m2). Finalmente la
centiárea es igual al m2. Una unidad de superficie muy usada es el acre que equivale a
una superficie de 4046,8m2.
Unidades angulares
Son tres los sistemas más frecuentemente utilizados en la medición de ángulos.
Ellos son el sistema natural (que tiene por unidad al radián), el sistema sexagesimal (con
el grado sexagesimal como unidad) y el sistema centesimal (cuya unidad es el grado
centesimal).
En la Tabla 3 puede verse la correspondencia entre los tres sistemas.
Sistema Unidad Un giro vale Un recto vale
Natural 1 rad 2 rad / 2 rad
Sexagesimal 1° 00’ 00’’ 360° 00’ 00’’ 90° 00’ 00’’
Centesimal 1g
00m
00s
400g 00
m 00
s 100
g 00
m 00
s
Tabla 3: Sistemas de unidades angulares
En el sistema sexagesimal el grado(°) surge de dividir al ángulo recto en 90
partes. A su vez el grado se divide en 60 partes y cada una de estas partes constituye un
5
minuto (1’). También cada minuto se divide en 60 partes y cada una de éstas constituye
un segundo (1’’).
En el sistema centesimal el grado(g) surge de dividir al ángulo recto en 100
partes. A su vez cada grado se divide en 100 partes y cada una de estas partes constituye
un minuto (1m
). Cada minuto se divide en 100 partes y cada una de éstas constituye un
segundo (1s).
En el sistema natural el radián (que es la unidad) se define como el ángulo
inscripto en una circunferencia de manera tal que su arco es igual al radio de la misma.
Así una circunferencia de un metro de radio tendrá un perímetro igual a 2 . . r = 6,28m
y tendrá un arco de un metro (igual al radio) cuando el ángulo formado sea de 1 radián.
Las relaciones existentes entre las unidades de los distintos sistemas son:
Relación entre sistema natural y sexagesimal
2 . rad ---------------360° 00’ 00’’
1 rad------------------ x = 1 rad . 360° 00’ 00’’ / 2 . rad = 57°17’44,8’’
1 rad = 57°17’44,8’’
1° = 0,0174 rad
Relación entre sistema natural y centesimal
2 . rad ---------------400g 00
m 00
s
1 rad------------------ x = 1 rad . 400g 00
m 00
s / 2 . rad = 63
g 66
m 20
s
1 rad = 63g 66
m 20
s
1g = 0,0157rad
Relación entre sistema centesimal y sexagesimal
400g 00
m 00
s---------------360° 00’ 00’’
1g----------------------------1
g . 360° 00’ 00’’ / 400
g 00
m 00
s = 0° 54’00’’
1g = 0° 54’00’’
1° = 1g 11
m 11
s
Problemas
Se midió un polígono de 4 lados. Las medidas de sus lados fueron: AB=
223,78m; BC= 0,21578km; CD= 1,76097cuadras y DA= 236,31yardas. Calcular el
perímetro y expresarlo en leguas. Rta: 884,30m = 0,1702leguas.
Un lote de forma rectangular tiene uno de los lados con una longitud igual a
234,5m. El otro lado es 2,7 veces más grande. Calcular la superficie y expresarla en
unidades agrarias y acres. Rta: 14ha 84a 74ca = 36,69acres.
¿Cuántos grados centesimales suman los ángulos internos de un polígono de 8
lados? Rta: 1200g 00
m 00
s
Se midió un ángulo que resultó ser /4 radianes menor a la suma de los ángulos
internos de un cuadrilátero. Expresar el valor del ángulo en grados sexagesimales. Rta:
315° 00’ 00’’.
6
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
En Topografía es frecuente la necesidad de resolver triángulos. Esta operación
consiste en determinar la magnitud de los lados y ángulos de un triángulo a partir de
algunos datos conocidos del mismo. El número mínimo de elementos necesarios para
resolver un triángulo es tres. Así, puede resolverse un triángulo si se conoce la longitud
de sus tres lados, o la longitud de dos lados y un ángulo, o la de un lado y dos ángulos.
Sin embargo, no se puede llegar a resolver dicha figura si se cuenta sólo con los tres
valores angulares, ya que existirían infinitas soluciones (triángulos semejantes). Ver
Figura 1.
B
M
A N C
Figura 1: Triangulos semejantes ABC y AMN. El ángulo en M es igual al ángulo en B y
el ángulo en N es igual al ángulo en C. A es compartido por ambos triángulos.
En los triángulos rectángulos (que poseen un ángulo recto o de 90º) puede
utilizarse la trigonometría para la resolución de los mismos.
P
sen tg
O A
R = 1
cos
Figura 2: Triángulo rectángulo OAP inscripto en una circunferencia de radio = 1
En la Figura 2 se observa el triángulo rectángulo OAP (recto en el vértice A). En
el mismo se cumplen las siguientes igualdades.
sin 𝛼 =𝑃𝐴
𝑂𝑃=
𝐶𝑂
𝑅
siendo CO = cateto opuesto a y R = radio vector = 1
7
cos =AO
OP=
CA
R
siendo CA = cateto adyacente al ángulo
Por semejanza de triángulos puede decirse que
tan
𝑅=
𝑃𝐴
𝐴𝑂=
𝐶𝑂
𝐶𝐴= tan
Existe una regla nemotécnica para recordar estas propiedades trigonométricas
que es la palabra SORCARTOA donde
SOR = Sin = Opuesto/Radio vector (ó hipotenusa)
CAR = Cos = Adyacente/Radio vector (ó hipotenusa)
TOA = Tan = Opuesto / Adyacente
Otra propiedad que se puede aplicar en el triángulo rectángulo es el teorema de
Pitágoras CO2 + CA
2 = R
2 PA
2 + OA
2 = OP
2 sin
2 + cos
2 = 1
2 = 1
Estas propiedades son válidas sólo para triángulos rectángulos, y si bien se han
demostrado utilizando una circunferencia de radio 1, son aplicables también a triángulos
rectángulos inscriptos en circunferencias de radio distinto de 1. El hecho de que los triángulos rectángulos cumpliesen con todas las funciones trigonométricas
que no cumplían el resto de los triángulos los volvía “mágicos” para los antiguos griegos. De allí
proviene la creencia de que pasar por debajo de una escalera trae mala suerte ya que una escalera
apoyada en una pared vertical forma un triángulo rectángulo.
Figura 3: Una escalera apoyada en un muro vertical forma un triángulo rectángulo
Existen propiedades que permiten resolver todo tipo de triángulos, aún los que no
son rectángulos. Ellas son el teorema del coseno y el teorema del seno.
Teorema del coseno
Con el teorema del coseno puede obtenerse el valor de uno de los ángulos de un
triángulo conociendo la medida de sus 3 lados.
a
b
c
Figura 4: Triángulo del que se conocen sus lados a, b y c
𝛿
8
A partir del triángulo de la Figura 4 se enuncia el teorema del coseno
a2 = b
2 + c
2 - 2 . b . c . cos
Se puede despejar
𝛼 = cos−1b2 + c2 − a2
2 . b . c
Debe recordarse que el ángulo es el opuesto al lado a
Teorema del seno
El teorema del seno sostiene que en los triángulos se mantiene constante la
relación existente entre el seno de sus ángulos y sus lados opuestos.
Así en el triángulo de la (Figura 4) se puede afirmar que
sin 𝛼
𝑎=
sin 𝛽
𝑏=
sin 𝛿
𝑐
Por lo tanto, a partir de un triángulo del que se conocen 3 de sus elementos (salvo
sus 3 ángulos) pueden conocerse los elementos restantes a partir de estos teoremas. Debe
señalarse que siempre deben calcularse los ángulos internos por el teorema del coseno y
del seno y finalmente sumarlos y verificar que el resultado sea igual a 180º. De esta
forma puede verificarse que los cálculos han sido bien realizados. Si en cambio, el
último ángulo se calculase por diferencia con 180º no existiría la posibilidad de verificar
si se cometió un error en los cálculos.
La suma de los ángulos internos de un polígono debe ser 180º . (n-2) siendo n el
número de lados del polígono (Triángulo 180º . (3-2) = 180º; cuadrilátero 180 . (4-2) =
360º).
Problema con los triángulos obtusángulos
Cuando el triángulo que se resuelve tiene un ángulo mayor a 90º debe tenerse
cierta precaución en los cálculos para evitar cometer errores.
Supóngase que debe resolverse un triángulo del cual se conoce la longitud de sus
lados. Así AB = 30,23m ; BC = 12,18m y CA = 19,72m (Figura 5)
A
B
C
Figura 5: Triángulo obtusángulo en C
Debe determinarse inicialmente por el teorema del coseno el ángulo (vértice A)
9
BC2 = AB
2 + CA
2 – 2 . AB . CA . cos
𝛼 = cos−1AB2 + CA2 − BC2
2 . AB . CA
= 14º 29’ 1,7’’
Luego se determina (vértice B) y (vértice C) por el teorema del seno
𝐵𝐶
𝑠𝑖𝑛𝛼=
𝐶𝐴
𝑠𝑖𝑛𝛽
𝛽 = sin−1𝐶𝐴. 𝑠𝑖𝑛𝛼
𝐵𝐶
= 23º 53’ 13,2’’
𝐵𝐶
𝑠𝑖𝑛𝛼=
𝐴𝐵
𝑠𝑖𝑛
= sin−1𝐴𝐵. 𝑠𝑖𝑛𝛼
𝐵𝐶
= 38º 22’ 14,9’’
Por ultimo debe verificarse que la suma de los ángulos internos sea igual a 180º.
+ + = 14º 29’ 1,7’’ + 23º 53’ 13,2’’ + 38º 22’ 14, 9’’ = 76º 44’ 29,8’’ 180º
Se visualiza que la sumatoria no coincide con 180º. Sin embargo no se ha
cometido ningún error en los cálculos. El problema radica en que uno de los ángulos es
mayor a 90º y cuando se realiza la operación inversa seno la calculadora reduce el valor
a un ángulo del primer cuadrante. Puede verse en la Figura 6 que el valor del seno de un
ángulo de 45º es el mismo que el valor del seno de 135º (su complemento con 180º).
También un ángulo de 405º (360º + 45 º) ó de 495º (360º + 135º) tienen el mismo valor
de seno = 0,70711. Por lo tanto si se realiza la operación inversa seno de 0,70711 podría
ser resultado de tal operación 45º ó 135º ó 405º, etc. Existen infinitos valores angulares
cuyo seno produce un valor de 0,70711. La calculadora va a dar siempre el valor angular
mínimo que va a estar reducido en este caso al primer cuadrante (0 a 90º).
135º
45º
Figura 6: El seno de 45° y de 135° arroja el mismo valor
10
Debe entonces determinarse cuál de los ángulos es mayor a 90º. Si existe en el
triángulo un ángulo mayor a 90º evidentemente será el ángulo opuesto al lado mayor. En
el ejemplo citado, se trata evidentemente del ángulo , opuesto al lado AB que es el más
largo (ver Figura 5). El ángulo no es 38º 22’ 14,9’’ sino su diferencia con 180º =
180º - 38º 22’ 14,9’’ = 141º 37’ 45,1’’. Puede verificarse que el seno de 38º 22’ 14,9’’ es
igual al seno de 141º 37’ 45,1’’ = 0,620748.
Si se realiza nuevamente la suma de los tres ángulos se obtendrá:
+ + = 14º 29’ 1,7’’ + 23º 53’ 13,2’’ + 141º 37’ 45,1’’ = 180º
verificando así el cálculo correcto de los tres ángulos.
Determinación de la superficie por Herón
Puede ser necesario determinar la superficie de un triángulo. Podría aplicarse la
ecuación b . h / 2 (base por altura sobre 2) pero puede ser que no se conozca la altura del
triángulo. Así en el triángulo de la Figura 5, se conocen la longitud de los lados (que
podrían ser tomados como bases) pero se ignora cualquiera de las alturas. Ver Figura 7.
a
h =?
b
c
Figura 7: Cálculo de la superficie del triángulo
Si se conocen los tres lados del triángulo puede determinarse la superficie
aplicando el teorema de Herón que se enuncia de la siguiente manera
𝑆 = 𝑝. 𝑝 − 𝑎 . 𝑝 − 𝑏 . (𝑝 − 𝑐)
donde p = semiperímetro del triángulo
𝑝 =𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
siendo a, b y c la longitud de los lados del triángulo
De esta manera puede calcularse el área de un polígono midiendo los lados y las
diagonales para dividir al polígono en distintos triángulos. Luego, utilizando la
expresión de Herón, podrá determinarse la superficie de cada uno de los triángulos.
Problema
Se midieron los lados del pentágono ABCDE y sus diagonales (ver Figura 8 y
Tabla 4).
11
A B
E C
D
Figura 8: Pentágono del que se conocen sus lados y diagonales
Lado Longitud
AB 40,55m
BC 35,73m
CD 45,76m
DE 34,29m
EA 39,77m
Diag AC 55,62m
Diag AD 57,93m
Tabla 4: Planilla de medición de lados del pentágono ABCDE
Determinar los ángulos en cada vértice y la superficie total del polígono
Rta:
A 122º38’14’’ Triángulo Superficie
B 93º 24’ 57’’ ABC 723,14m2
C 115º 36’ 32’’ ACD 1187,34m2
D 105º 39’ 49’’ ADE 665,24m2
E 102º 40’ 28’’ Total 2575,72m2
Sumatoria 540 0ha 25a 76ca
Tabla 5 y Tabla 6: Ángulos y superficie resultante del polígono ABCDE
12
TEORÍA DE ERRORES
Introducción
La Topografía es una Ciencia en la que se efectúan mediciones
permanentemente. Todas las mediciones se encuentran afectadas por errores y el valor
exacto de una magnitud (distancia, ángulo, desnivel) nunca podrá ser hallado, dadas las
limitaciones sensoriales humanas (principalmente poder resolutivo del ojo) y de los
instrumentos que se utilizan para efectuar dichas mediciones. No obstante, aunque el
valor verdadero de una magnitud no pueda ser hallado, y los valores determinados con
las mediciones sean siempre aproximados, en las mediciones rara vez se busca llegar al
valor verdadero, sino que se acepta en las mismas pequeñas discrepancias o errores de
acuerdo a la finalidad de la medición. Así por ejemplo, si las mediciones que se realizan
de un determinado lote tienen como finalidad calcular su superficie para la compra de
insumos (semillas, fertilizante) que serán empleados en la implantación de un cultivo, el
error que se podrá cometer será mucho mayor que si el objetivo final de la medición
fuese el alquiler o la venta de dicha parcela. De esta manera, un determinado error puede
resultar aceptable para determinados objetivos e inaceptable para otros. Asimismo, la
aceptabilidad puede variar con la dimensión de la magnitud determinada. Por ejemplo,
un error de 10cm puede resultar inaceptable al medir una distancia de 130m con cinta de
agrimensor pero resulta totalmente aceptable si la distancia que se está cuantificando es
de 15000m. Lógicamente la tolerancia varía con el método e instrumental empleado en
la medición. Un error de 1m en 100m de distancia es una diferencia aceptable si se está
determinando dicha distancia a pasos, pero es inaceptable si se utiliza la cinta de
agrimensor. Para poder determinar cuando un error es considerado aceptable y cuando
no, es necesario el estudio de la teoría de errores.
Causas de los errores
El origen de los errores puede resultar de algunos de estos factores y/o de la
combinación de los mismos.
a) Humanos:
La capacidad de lectura de un operario sobre cualquier instrumento se encuentra
limitada por la resolución del ojo, por lo que lecturas inferiores a determinadas
magnitudes se vuelven irrealizables. Por ejemplo, mediciones en un plano de valores
inferiores a 0,2mm, apreciaciones inferiores al mm en una mira o de fracciones de grado
en el limbo graduado de una brújula.
b) Ambientales:
Las variaciones en la temperatura, humedad, refracción atmosférica, magnetismo
y otras condiciones ambientales pueden generar problemas durante la medición. Por
ejemplo, una cinta de agrimensor de 50m pudo haberse contrastado a 20ºC (es decir que
presenta los 50m de longitud a dicha temperatura) pero si durante una medición las
temperaturas son mayores o menores a 20ºC la cinta, por ser metálica, se dilatará o
contraerá con lo cual se acumularán errores por defecto o exceso respectivamente.
Asimismo, las condiciones de limpieza o enmalezado que presente el terreno a medir
facilitarán en menor o mayor medida la posibilidad de que la cinta sufra desviaciones
laterales o verticales con respecto a la verdadera línea de medición.
13
c) Instrumentales:
Los instrumentos que se utilizan tienen limitaciones en su graduación y también
pueden tener fallas constructivas que deriven en errores de medición. Por ejemplo, en
una cinta de agrimensor de 50m la menor graduación se corresponde con los 20cm, por
lo que para apreciar valores menores debe recurrirse a instrumental accesorio o a
estimaciones. Además, en algún momento la cinta puede haberse cortado y al repararla
puede haber quedado más corta o larga que los 50m originales, por lo que en cada
cintada se incurrirá en un error por exceso o defecto respectivamente.
Equivocaciones o errores groseros
Si bien vulgarmente se les puede llamar errores, en el ámbito de la Topografía no
se los considera como tal. Los operarios que realizan las mediciones por ser humanos
son falibles, se pueden equivocar. Las equivocaciones cometidas pueden estar dadas por
negligencia (distracciones) y/o cansancio luego de extensas jornadas de medición. Una
equivocación frecuente consiste en la transposición de números, por ejemplo en vez de
anotar el valor 567,95m, apuntar 576,95m. Otra equivocación frecuente surge de leer el
valor incorrecto en la cinta de agrimensor (en la cinta de agrimensor aparece la distancia
a ambos extremos de manija por lo que solo una de ambas es la válida en una medición
efectuada en un determinado sentido), así en lugar de leer 28m, puede leerse
incorrectamente 22m que es el valor en el lado opuesto de la cinta. Otra causa de
equivocación puede ser la incorrecta utilización del número de fichas del zaguero o
delantero en el cálculo de la medición del último tramo medido, que derivarán en
equivocaciones de 50m o más. Todas estas equivocaciones generan desvíos de tal
magnitud que invalidan las mediciones por lo que las mismas deben repetirse.
Precisamente, para asegurar la ausencia de equivocaciones en una medición se recurre a
repetir la misma una o más veces y realizar el contraste entre ellas.
Errores propiamente dichos
Son los considerados errores en el ámbito topográfico. Se clasifican en:
a) Errores sistemáticos:
Son debidos a alguna causa física cuantificable y siguen una ley físico-
matemática por lo que se pueden calcular y corregir. Mientras las condiciones del
sistema se mantengan constantes, los mismos se mantendrán constantes y se acumularán
por lo que se suelen denominar “acumulativos” (por poseer el mismo signo y valor). En
otras ocasiones pueden compensarse parcialmente. Una cinta de 50m a la que le faltan
2cm luego de haber sido empalmada ejemplificaría un error sistemático acumulativo, ya
que en cada cintada se sobreestimará la medición en 2cm. En este caso podría calcularse
la corrección sencillamente multiplicando dicho error sistemático por el número de
cintadas empleado en una medición. Un ejemplo de error sistemático variable es el del
error por dilatación en la cinta de agrimensor. Puede suceder que al determinar una
distancia se comience el trabajo a 15ºC y al finalizarlo la temperatura haya alcanzado los
25ºC. Los efectos de contracción y dilatación de la cinta habrán causado errores
sistemáticos en primera instancia por exceso y finalmente por defecto con lo cual los
errores sistemáticos se habrán compensado al menos parcialmente. Para la corrección de
14
este error sistemático debería conocerse la temperatura durante el período de medición y
el coeficiente de dilatación de la cinta utilizada.
b) Errores accidentales:
Son debidos al azar por lo que también se los llama aleatorios. Son los únicos
que son inevitables, ya que los sistemáticos pueden calcularse (debido a que responden a
leyes físicas) y compensarse. Pueden ser tanto positivos como negativos con lo que se
compensan parcialmente por lo que suelen llamarse también errores compensatorios. Un
ejemplo de estos errores es la estimación de la lectura del mm en una mira graduada al
cm. En determinadas ocasiones el operario estimará por exceso, y en otras por defecto.
Se distribuyen siguiendo las leyes de las probabilidades, con una distribución normal. Se
los suele clasificar en verdaderos y aparentes. Si se pudiese conocer el valor exacto (X)
de una determinada magnitud, su diferencia con una medición efectuada (xi) indicaría el
error verdadero de dicha medición
𝑒𝑖 = 𝑋 − 𝑥𝑖
Como el valor exacto de una magnitud no se puede conocer, tampoco pueden
determinarse los errores verdaderos y se recurre a la determinación del valor más
probable que resulta del cálculo de la media aritmética o promedio de una serie de
mediciones.
Media aritmética y desvíos
a) El valor más probable: La media
La expresión de cálculo de la media aritmética es
𝑋 =𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛=
∑𝑥1
𝑛
donde x1 ; x2 ; x3 ; ... ; xn representan los valores medidos en cada repetición y n es el
número de observaciones efectuadas.
b) Errores aparentes, desvíos o residuos
Recibe el nombre de residuo o también desvío (vi) la diferencia existente entre
cada una de las mediciones realizadas y el promedio calculado con las mismas. Su
expresión es:
𝑣𝑖 = 𝑋 − 𝑥𝑖
La media aritmética o promedio cumple con dos propiedades con respecto a los
desvíos:
a) anula la sumatoria de los desvíos: vi = 0 lo que puede comprobarse de la
siguiente manera
Si la media es
15
𝑋 =𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛
y el valor de cada desvío es
𝑣1 = 𝑋 − 𝑥1
𝑣2 = 𝑋 − 𝑥2
𝑣𝑛 = 𝑋 − 𝑥𝑛
sumando las desvíos se obtiene que
𝑣1 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑛 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ +𝑥𝑛
𝑛− 𝑥1 +
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ +𝑥𝑛
𝑛− 𝑥2 + ⋯ +
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ +𝑥𝑛
𝑛− 𝑥𝑛
La fracción del término que se encuentra entre paréntesis (la media) se repetirá n
veces (tantas como observaciones se hayan realizado) resultando
𝑣1 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑛 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ +𝑥𝑛
𝑛 . 𝑛 − 𝑥1 − 𝑥2 − ⋯− 𝑥𝑛
𝑣1 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑛 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ +𝑥𝑛 − 𝑥1 − 𝑥2 − ⋯− 𝑥𝑛
demostrándose por lo tanto que vi = 0
b) minimiza la sumatoria de los cuadrados de los desvíos vi2 = mínimo
Si se graficasen los desvíos de una serie de mediciones en una diagrama de
distribución donde en el eje de abscisas se coloque la frecuencia de aparición () y en el
de ordenadas la magnitud del residuo (v) con su respectivo signo resultaría en una curva
de distribución normal o campana de Gauss como la que se observa en la Figura 9.
Figura 9: Curva de distribución normal de los residuos de una medición
Punto de
inflexión
16
Postulados de Gauss
Observando el diagrama de distribución normal de los desvíos, Gauss enunció
algunos postulados generales sobre la probabilidad de ocurrencia de errores.
a)el valor más probable corresponde a la media aritmética (el error más probable
es “0”)
b)la probabilidad de ocurrencia de un error es inversamente proporcional a su
magnitud (es más probable cometer errores de pequeña magnitud que errores de gran
magnitud)
c)los errores positivos y negativos de la misma magnitud tienen igual
probabilidad de aparición (obsérvese la simetría de la curva) con lo que se deduce que el
valor más probable es la media.
d)la probabilidad de que un error esté comprendido entre + y - es 1 (todos los
errores que se pueden cometer se encuentran comprendidos debajo de la curva ya que la
curva es asintótica al eje de las ordenadas).
Estos postulados fueron enunciados por Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855). Este
brillante matemático estudió la teoría de los errores y dedujo la curva normal de la
probabilidad, llamada también por eso curva o campana de Gauss. También realizó
importantes aportes en la astronomía, la física (se lo considera uno de los padres de la
astrofísica), geodesia e invención (telégrafo eléctrico, magnetómetro). Durante su vida,
se reconoció que era el matemático más grande de los siglos XVIII y XIX. Su obra en
las matemáticas contribuyó a formar una base para encontrar la solución de problemas
muy complicados de las ciencias físicas y naturales. Ha sido reconocido por los
alemanes como uno de los genios más brillantes de su historia a tal punto de que en el
billete de diez marcos aparecía su rostro acompañado con la famosa curva de
distribución normal (Ver Figura 10).
Figura 10: Billete de diez marcos con la imagen de Gauss
(obsérvese a la izquierda el detalle de la campana)
Medidas de dispersión
La dispersión de los errores cometidos en una serie de mediciones puede dar una
indicación acerca de la precisión relativa de estas medidas. Una de ellas es la dispersión
total, es decir la diferencia entre el máximo valor medido y el mínimo. Otras medidas de
17
dispersión son el error probable, el error medio aritmético, el error medio cuadrático
(desvío estándar) y el error medio del promedio (varianza).
a) Error probable
Es el que en se encuentra en el centro de una serie ordenada de errores cometidos
(sin considerar el signo), es decir que existen igual cantidad de errores mayores y
menores que el error probable. Esto implica que hay un 50% de probabilidades de que
el error cometido en una medición se encuentre entre -ep y +ep.
b) Error medio aritmético
Es el error promedio realizado en una serie de mediciones calculándose como
𝑒𝑎 =∑ 𝑣𝑖
𝑛
No se lo utiliza con tanta frecuencia como el error medio cuadrático.
c) Error medio cuadrático de una observación o desvío estándar
Se lo simboliza con la letra griega sigma () o con la letra “m”. Indica la
dispersión de un conjunto de observaciones representando un índice de la precisión de
una medición por lo que suele denominárselo “índice de precisión”. Se lo llama “de una
observación” pues refiere a cualquiera de las observaciones efectuadas ya que todas
merecen igual grado de fe. Su expresión de cálculo es
𝜎 = ∑𝑣𝑖
2
𝑛 − 1
En la Figura 9 puede verse que el valor corresponde con la abscisa del punto de
inflexión de la curva de distribución normal. Un conjunto de observaciones con un
desvío estándar pequeño representa una medición con una mayor precisión que otra serie
con un desvío estándar mayor, ya que los errores de la primera se encuentran menos
dispersos. Observando la Figura 11 puede verse el menor valor de de la curva superior
y la consecuente mayor concentración de los errores cercanos al valor “0”. Cabe aclarar
que una medición puede ser precisa y tener una exactitud baja. La exactitud representa la
aproximación de los valores medidos con los reales. Por ejemplo, si en una medición
lineal se utiliza una cinta con 49,97m y no se consideran los 3cm que le faltan para los
50m puede ocurrir que al medir una distancia se podría llegar a los valores 466,75m y
466,77m. Dichos valores son precisos pues la diferencia entre ellos, es decir la
dispersión, es pequeña, pero poco exactos por no considerar el error sistemático de
0,03m * 9 cintadas = 0,27m producto de utilizar una cinta más corta en la medición. La
precisión se podría calcular como 0,02/466,76 = 1/23338. La exactitud se calcularía
como 0,27/466,76 = 1/1729. Puede verse que si bien la precisión es elevada la exactitud
es baja. Por lo tanto en toda medición debe prestarse especial a ambos parámetros:
precisión y exactitud.
18
Figura 11: Distribuciones normales con distinta desviación estándar e igual media
En la Figura 12 se encuentra representado el % de área bajo la curva de
distribución normal entre errores de igual valor pero de signo contrario. Así, existe un
50% de probabilidad de que un error sea igual o inferior a 0,6745 (a este error se lo
denomina error probable y existe igual posibilidad de superarlo o no en una medición).
Un error equivalente o inferior al error cuadrático medio () tiene una probabilidad de
ocurrencia del 68,27%, uno equivalente o inferior a 2 una probabilidad del 95% y uno
de 3 un 99,7% de probabilidades. En la Figura 11 puede verse en sombreado el área
representando la probabilidad de ocurrencia de un error entre - y +, representando en
todas ellas un 68,27% del área total. El valor 3 es el más utilizado en Topografía como
criterio para rechazar mediciones individuales que superen dicho error. Expresado en
otros términos, el error 3 implica que en un conjunto de 1000 mediciones, sólo 3
superarían el error 3 (997 no lo superarían). Esto quiere significar que es muy poco
Punto de
inflexión
Punto de
inflexión
19
probable superar un error 3 si la medición ha sido correctamente realizada. En caso de
superarlo es muy probable que se esté en la presencia de una equivocación.
Error
Figura 12: Relación entre error y % debajo de la curva de distribución normal
d) Varianza o Error medio del promedio
Se lo designa con la letra “M”. Representa la precisión con que queda
determinada la media. Es el cuadrado del desvío estándar aunque generalmente se lo
calcula mediante la expresión
𝑀 =𝜎
𝑛
Puede verse que el error de la media varía en razón inversa de la raíz cuadrada
del número de repeticiones, por lo que para duplicar la exactitud (reducir el error a la
mitad) deben hacerse cuatro veces más repeticiones.
Ejemplo
Supóngase la realización de 2 series de 10 mediciones efectuadas por dos
comisiones de trabajo sobre una misma longitud. Los datos son volcados en la Tabla 7 y
en la misma se han calculado la media, los desvíos, el cuadrado de los desvíos y la suma
de los cuadrados.
20
Serie 1 Serie 2
Longitud (m) Residuo (v) v2 Longitud (m) Residuo (v) v
2
537,58 -0,10 0,01 537,75 0,01 0,0001
537,68 0,00 0,00 537,66 -0,08 0,0064
537,61 -0,07 0,0049 537,70 -0,04 0,0016
537,76 0,08 0,0064 537,74 0,00 0,0000
537,66 -0,02 0,0004 537,75 0,01 0,0001
537,68 0,00 0,0000 537,72 -0,02 0,0004
537,70 0,02 0,0004 537,92 0,18 0,0324
537,77 0,09 0,0081 537,73 -0,01 0,0001
537,64 -0,04 0,0016 537,71 -0,03 0,0009
537,72 0,04 0,0016 537,72 -0,02 0,0004
𝑋1 = 537,68
vi = 0
vi =0,46 v
2 = 0,0334 𝑋2
= 537,74 vi = 0
vi =0,40 v
2 = 0,0424
Tabla 7: Serie de 10 mediciones de una longitud realizada por 2 grupos de trabajo
La dispersión total puede calcularse como
vmáx1 - vmín1 = 0,09 – (-0,10) = 0,19 para la serie 1 y
vmáx2 - vmín2 =0,18 – (-0,08) = 0,26 para la serie 2
El error medio aritmético es
ea1 = vi / n = 0,46 / 10 = 0,046 para la serie 1 y
ea2 = 0,40 / 10 = 0,040 para la serie 2
En primera instancia pareciera ser que la serie 2 es más precisa pues el error
medio aritmético es menor pero como se ha expresado precedentemente el mejor índice
de precisión es el del error medio cuadrático.
El error medio cuadrático se calculará como
𝜎1 = 𝑣𝑖2
𝑛 − 1=
0,0334
9= 0,06𝑚 para la serie 1 y
𝜎2 = 0,0424
9= 0,07𝑚para la serie 2
21
Puede verse que es la serie 1 la que tiene mayor precisión ya que posee un menor
desvío estándar. Para verificar que todas las mediciones estén en el rango de error
aceptable debería calcularse el triple del error medio cuadrático resultando
máx1 = 31 = 3 . 0,06m = 0,18m para la serie 1 y
máx2 = 32 = 3 . 0,07m = 0,21m para la serie 2
Pueden compararse los valores de los desvíos obtenidos en cada una de las series
con estos desvíos máximos admitidos y se verifica que ninguno de los dos es superado.
No obstante puede advertirse el notable acercamiento al error máximo admitido (máx)
por parte de la séptima observación de la segunda serie (537,92 m) que discrepa en
0,18m de la media. La utilización de 3 como criterio para aceptar o no un error
cometido en una medición es válida cuando se realiza un gran número de observaciones.
En Topografía habitualmente se reiteran entre 2 y 4 veces las mediciones y
excepcionalmente 10 veces con lo que n resulta ser relativamente chico lo que sumado a
un desvío importante de la media (gran vi) elevado al cuadrado resultará en un
importante con lo que el valor 3 puede resultar muy permisivo. Por lo tanto, para poder
eliminar la observación 7 de la serie 2 debería recurrirse a aumentar el número de
observaciones de manera de aumentar n y disminuir lo que resultaría en un incremento
de los costos operativos. Suele recurrirse entonces a la utilización de alguno de los
siguientes criterios de eliminación
a)Criterio de la “exclusión provisoria”
Como su nombre lo indica consiste en eliminar provisoriamente la observación
que supuestamente contiene el error grosero y realizar los cálculos con los valores
restantes determinando promedio (𝑋 ), desvío estándar () y error máximo admisible
(3). Finalmente se compara el desvío de la observación supuestamente errónea con 3
debiendo ser inferior a dicho valor para considerársela aceptable.
En el ejemplo de la segunda serie se excluiría la séptima observación resultando
𝑋′2 =4839,48m
9= 537,72𝑚
’2 = 0,0064
8= 0,028𝑚 ≅ 3𝑐𝑚
Error máximo admisible = ’máx2 = 3 = 3 . 3 cm = 9 cm
Por lo tanto, al ser el desvío de la séptima observación (18cm) mayor que el error
máximo admisible (9cm), esta observación es excluida ya que se considera que se ha
cometido un error grosero en su determinación.
Si se procediera a excluir el primer valor de la serie 1 que es el que posee el
mayor desvío (10cm), se obtendría una media de 537,69m, un ’2 de 0,05m y un 3’2 de
22
0,15m lo que implicaría que ninguno de los valores observados (tampoco el primero)
deben ser excluidos de la serie.
El criterio de la exclusión provisoria si bien es eficaz puede resultar objetable ya
que puede incidir la impresión subjetiva del calculista al presumir que una observación
puede ser equivocada.
b)Criterio de Chauvenet
No requiere ninguna exclusión previa con lo que se elimina la impresión
subjetiva del calculista. Consiste en eliminar las observaciones cuyos desvíos tengan una
probabilidad de aparición inferior a 1/2n (donde “n” es el número de observaciones).
El error por lo tanto en cualquiera de las dos series debería tener una
probabilidad de aparecer de 1 −1
2𝑥10 = 0,95 = 95% que como se aprecia en la Figura 12
corresponde a 2. Por lo tanto el error máximo admisible será 2 . 0,06m = 12cm para la
serie 1 y para la serie 2 será de 2 . 0,07m = 14cm. En la serie 1 no hay ningún valor que
supere el error máximo admisible pero en la serie 2, la séptima observación supera dicho
valor con lo cual debe ser descartada.
Luego de descartar la observación 7 de la segunda serie, el nuevo desvío estándar
ha resultado ser ’2 = 3cm que comparado con el desvío estándar de la primer serie 1 =
6cm indica que la segunda es la de mayor precisión. El criterio de exclusión de la
séptima observación de la segunda serie ha variado el concepto original que sostenía que
la primer serie era la más precisa.
Por último la varianza o error medio del promedio será
𝐌𝟏 = 𝝈
𝒏=
𝟎, 𝟎𝟔𝒎
𝟏𝟎= 𝟎,𝟎𝟐𝒎 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐚 𝐬𝐞𝐫𝐢𝐞 𝟏 𝐲
M2 = 𝜎
𝑛=
0,03𝑚
9= 0,01𝑚 para la serie 2
Por lo que el resultado final podrá ser expresado como:
L1 = 537,68m +/- 2cm
L2 = 537,74m +/- 1cm
Para calcular la precisión o error relativo (Er) de la medición se relaciona el error
del promedio de la medición (varianza M) con la medida realizada (L).
Er1 = 𝑀
𝐿=
0,02𝑚
537,68𝑚≅
1
27000≅ 0,0037%
Er2 = 𝑀
𝐿=
0,01𝑚
537,74𝑚≅
1
54000≅ 0,0019%
23
Si posteriormente se realizase la medición de la longitud en cuestión con un
método mucho más preciso, que permitiese determinar la distancia en el orden del
milímetro y se encontrase que la longitud es 537,732 +/- 1mm. Si bien sigue sin
conocerse el valor exacto, este valor puede ser asumido como tal para las dos series de
mediciones realizadas anteriormente debido a que su precisión es muy superior. Con
estos datos puede calcularse entonces la exactitud de cada serie de mediciones de
acuerdo a la ecuación
Ex1 =537,68m – 537,732m
537,732m=
−0,052m
537,732m≅ −
1
10000
Ex2 = 537,74m – 537,732m
537,732m=
−0,008m
537,732m≅ −
1
67000
Puede observarse que la serie 2 es más exacta además de ser más precisa. En
general, cuanto mayor es la precisión, mayor es la exactitud (salvo que no se tengan en
cuenta errores sistemáticos que podrían desplazar al promedio del valor verdadero). Una
elevada exactitud en cambio, siempre es sinónimo de una gran precisión.
Propagación de errores
Habitualmente con las mediciones realizadas se efectúan cálculos. Así, con la
longitud de los lados de un polígono se puede calcular su perímetro, o su superficie si se
han determinado también los ángulos internos. Como cada una de las mediciones
efectuadas no es exacta y contiene errores, es esperable que las magnitudes calculadas
también los posean. La propagación de errores consiste en la determinación del error
cometido en un cálculo de una magnitud a partir de valores medidos que contienen
errores.
a) Error de una suma
Refiere al error que tendrá un valor calculado a partir de la suma de magnitudes
medidas, cada una de las cuales posee un error determinado.
En esta situación se verifica que cada una de las longitudes poseerá un error (s)
equivalente a la suma de los errores cometidos durante la misma (a, b, c).
s1 = a1 + b1 + c1 +....
s2 = a2 + b2 + c2 +....
sn = an + bn + cn +....
Elevando al cuadrado cada miembro quedará
s12 = a1
2 + b1
2 + c1
2 + .... + 2 . a1 . b1 + 2 . a1 . c1 + 2 . b1 . c1 + …
s22 = a2
2 + b2
2 + c2
2 + .... + 2 . a2 . b2 + 2 . a2 . c2 + 2 . b2 . c2 + …
sn2 = an
2 + bn
2 + cn
2 + .... + 2 . an . bn + 2 . an . cn + 2 . bn . cn + …
Si se suma miembro a miembro y se divide por el número de sumandos n para
pasar a errores medios se obtiene
24
𝑠2
𝑛=𝑎2
𝑛+𝑏2
𝑛+𝑐2
𝑛+ ⋯ + 2.
productos binarios
𝑛
De acuerdo al tercer postulado de Gauss a cada error positivo se opone otro igual
negativo. Debido a esto, al agruparse de a dos de todas las maneras posibles, la suma de
los productos binarios tiende a anularse. Llamando c, ac, bc y cc a los errores medios
cuadráticos de la suma y de los sumandos queda
c2
= ac2 + bc
2 + cc
2 + …
Resultando el error medio cuadrático (desvío estándar) de la suma igual a
𝜎𝑐 = 𝑎𝑐2 + 𝑏𝑐
2 + 𝑐𝑐2 + ⋯
Un ejemplo sería el cálculo del perímetro de un polígono en el que se emplea la
longitud de cada lado en la determinación del mismo.
Ejemplo: Debe calcularse el perímetro de un triángulo a partir de la medición de
sus lados a (722,66m +/- 0,10m), b (539,21m +/-0,15m) y c (611,44m +/- 0,13m) y
también el desvío estándar esperado en la misma.
L = a + b + c = 722,66m + 539,21m + 611,44m = 1873,31m
Esum = +/- 0,102 + 0,152 + 0,132 = +/- 0,22m
L = 1873,31m +/- 0,22m
b) Error de una serie
Es un caso semejante al de la suma, solo que cada una de las magnitudes
utilizadas posee un error semejante. Por lo tanto, la ecuación utilizada para el cálculo del
error de la serie es
Eserie = +/− Ea2 + Eb2 + Ec2 + . . . + En2
Como Ea = Eb = Ec = .... = En
Eserie = ± n . E2 = ±E 𝑛
Este concepto es utilizado en el cálculo del error de la media (varianza) de un
conjunto de mediciones ya que para el mismo se utiliza un mismo método y el error de
cada observación se presume que es el mismo e igual a .
𝐸𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =Eserie
𝑛=
𝑛. 𝜎2
𝑛=
𝜎. 𝑛
𝑛= 𝜎 𝑛
12−1 = 𝜎 𝑛 −
12 =
𝜎
𝑛
25
𝐸𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝑀 =𝜎
𝑛
También es utilizado en el cálculo de la tolerancia de cierre angular, pues en la
determinación de los ángulos de una poligonal los errores que se cometen en la medición
de cada ángulo se consideran semejantes.
Ejemplo: Al medir una distancia de 100m con el método del paso regular se
comete un error de aproximadamente 1m. Debe determinarse cual será el error al medir
una distancia de 2500m con este método.
𝐸𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 = ±𝐸 𝑛 = ±1𝑚 25 = ±5𝑚
c) Error de un producto
Al multiplicar dos magnitudes medidas a y b, cada una de ellas con su respectivo
error ea y eb, para el cálculo de una tercer variable, se propagará el error de acuerdo a la
ecuación
Eprod = ± 𝑎2. 𝑒𝑎2 + 𝑏2 . 𝑒𝑏
2
Ejemplo: para el cálculo de la superficie de una parcela rectangular se han
medido sus lados con sus respectivos errores resultando a = 195,62m +/- 0,06m y b =
428,33m +/- 0,04m. Debe calcularse la superficie y el error esperado en el área. En la
Figura 13 puede verse un esquema de lo expresado, las barras verticales representan el
error en b (la izquierda el error negativo y la derecha el positivo), mientras que las
horizontales el error en a (la superior el negativo y la inferior el positivo).
b
a
Figura 13: Propagación del error en el cálculo de una superficie
Por ser un rectángulo para calcular el área se utiliza
S = a . b = 195,62m . 428,33m = 83790m2
Para calcular el error
26
Eprod = ± 𝑎2. 𝑒𝑎2 + 𝑏2. 𝑒𝑏
2 = 195,622. 0,062 + 428,332 . 0,042
Eprod = +/- 20,76m2
Por lo tanto la superficie se puede expresar como
S = 83790 +/- 20,76m2
o bien
S = 83769m2 a 83811m
2
Error máximo admisible ó Tolerancia
Los errores que se cometen en las mediciones son comparados con la tolerancia
que es el máximo error admitido en una medición con un instrumental dado y en
determinadas condiciones de medición. Cuando el error que se comete en una
determinada medición supera el valor de la tolerancia, se considera que en la medición
se han efectuado errores groseros o equivocaciones, por lo que la medición debe ser
repetida. Por esto, se vuelve muy importante el cálculo del error y de la Tolerancia a
campo, antes de regresar de una tarea de levantamiento, pues de detectarse el error en
gabinete se incurriría en gastos extra de tiempo y dinero para retornar al lugar de
medición y realizarla nuevamente. En caso de que el error cometido sea inferior a la
Tolerancia la medición se considerará aceptable y el error se podrá compensar de
acuerdo a reglas específicas para cada tipo de operación. Las expresiones de tolerancia
correspondientes a cada tipo de medición serán analizadas en las secciones vinculadas a
cada una de ellas.
Problema
De dos series de medición realizadas con cinta de agrimensor debe calcularse
para cada una de ellas el valor más probable, el error medio aritmético, el error medio
cuadrático (desvío estándar) y el error de la media (varianza). Asimismo debe
determinarse cual de las dos series es más precisa y si existen valores que deben ser
eliminados de acuerdo al criterio de Chauvenet. Si así ocurriese, deberían recalcularse
todos los parámetros para poder comparar las series.
Serie 1 Serie 2
Longitud (m) Residuo (v) v2 Longitud (m) Residuo (v) v
2
1286,55 1286,60
1286,53 1286,52
1286,49 1286,49
1286,45 1286,62
1286,49 1286,58
1286,57 1286,46
1286,53 1286,54
1286,55 1286,51
27
1286,46 1286,61
1286,57 1286,35
X1 = vi = 0
vi = v
2 = X2 =
vi =
vi = v
2 =
Tabla 8: Problema propuesto de errores
1 = 2 =
M1 = M2 =
28
ESCALAS
Definición e importancia
Uno de los objetivos de la Topografía es representar una porción de terreno con
todos sus detalles. Para poder hacerlo en un plano de dimensiones considerablemente
menores a las del terreno que se desea representar es necesario recurrir a la utilización de
escalas. La escala es una relación de magnitud lineal entre las medidas del plano y las
del terreno. La escala en un plano se indica con la letra E y se expresa generalmente
mediante una fracción o cociente en el cual el numerador (generalmente igual a 1)
representa la magnitud del plano y el denominador (generalmente un numero entero y
múltiplo de 10) indica el valor que corresponde al terreno. Por ejemplo:
𝐸 =1
𝐷=
1
2000= 1: 2000
(D = Denominador de la escala)
Esta escala 1:2000 está indicando que las magnitudes lineales en el terreno son
2000 veces más grandes que en el plano. Obsérvese que la escala es adimensional (la
unidad del numerador es la misma que la del denominador y por lo tanto el cociente es
adimensional). Para la escala en cuestión puede decirse que 1cm del plano representa
2000cm en el terreno. También es válido decir que 1m del plano son 2000m del terreno
y la relación de magnitudes se mantiene.
Generalmente se efectúan dos operaciones al trabajar con escalas:
-interpretar un plano que está construido a una cierta escala
-construir un plano a una determinada escala
Cuando se quiera conocer cual es la magnitud en el terreno que representa una
distancia medida en un plano será suficiente con multiplicar la distancia medida por el
denominador de la escala. Así, una distancia de 15,6cm medida en un plano a escala
1:1000 representa una distancia en el terreno de 15,6cm . 1000 = 15600cm = 156 m.
Si se está construyendo un plano a una determinada escala y se desea conocer
que distancia en el plano deberá representarla será suficiente con dividir la distancia del
terreno por el denominador de la escala. Si se debe representar un lado AB de longitud
124,48m en un plano a escala 1:500 la distancia en el plano será igual a 124,48m / 500 =
0,249m = 24,9cm.
Se considera que cuando mayor es el denominador de la escala menor es la
misma y por lo tanto mayor es la reducción con respecto al tamaño original. Así, una
escala 1:1000 es mayor que una escala 1:5000. Una misma distancia del terreno se verá
5 veces más reducida en un plano construido a escala 1:5000 que en un plano a escala
1:1000.
Problema
¿Cuántos cm medirá el perímetro de un polígono de 5 lados en un plano a escala
1:2000 si las medidas de sus lados en el terreno son las siguientes: AB = 254,78m; BC =
138,89m; CD = 155,93m; DE = 97,26m; EA = 68,66m? Rta: 35,8cm
29
Relación de superficies
Al definir escala se dijo que era una relación de magnitud lineal. Esto implica
que relaciona distancias. Si se pretende relacionar superficies del terreno y del plano
debe tenerse en cuenta cierta salvedad. Suponiendo que se tiene un plano a escala
1:5000, 1cm en ese plano representa 5000cm del terreno y 1cm2 (que sería un cuadrado
de 1cm x 1cm) representará 5000cm x 5000cm = 25000000cm2 = 2500m
2 en el terreno.
Puede advertirse que la relación entre las superficies del plano y del terreno están dadas
por el cuadrado de la escala.
𝑠
𝑆= 𝐸2 =
12
50002=
1
25000000
donde s = superficie en el plano y S = superficie en el terreno
Problema
Se determinó la superficie de una laguna en una carta a escala 1:50000 con un
planímetro polar arrojando un valor de 23,45cm2. ¿Cuántas hectáreas ocupa la laguna?
Si la misma se encuentra en un campo de forma rectangular cuyos lados miden sobre la
carta 8,3cm por 7,5cm ¿qué porcentaje de dicho predio ocupa la laguna? Rta: Sup
laguna: 586ha 25a Sup campo: 1556ha 25a Porcentaje del campo ocupado por la
laguna: 37,7%
Escalas gráficas
Para evitar realizar cálculos permanentemente al leer cartas o mapas construidos
a escala suelen incorporarse en los mismos escalas gráficas (Figura 14). El modo de
proceder es el siguiente: se hace coincidir la longitud de la distancia incógnita con la
abertura de los brazos de un compás, luego se coloca una de las puntas del compás en
una unidad entera de la escala gráfica (por ejemplo 100, 200 ó 300) de manera que el
otro extremo se encuentre en el sector izquierdo de la escala (donde se encuentran las
divisiones pequeñas). Así, si uno de los extremos se encuentra en el valor 200 y el otro
extremo está entre la tercera y cuarta división de la graduación pequeña, el valor de la
distancia será aproximadamente de 230-240m estimándose el valor del metro según se
encuentre más cerca de una u otra división. Si no se posee un compás puede utilizarse un
papel donde se marcará la distancia incógnita comparándola luego con la escala gráfica
de modo similar al compás.
100 0 100 200 300
Figura 14: Escala gráfica
30
VACILACIÓN PLANIMÉTRICA
Cuando se interpreta un plano y se realizan mediciones en el mismo con el objeto
de conocer las dimensiones de lo que está representado se cometen errores de lectura
debidas a las limitaciones propias del sistema óptico. Para conocer el valor de esos
errores o indeterminaciones se estudiará brevemente cómo está formado el ojo humano y
cual es su poder resolutivo.
Poder resolutivo del ojo humano
En la Figura 15 pueden verse algunos de los componentes esenciales del ojo.
Retina Cristalino
Conos x
d = 1,5cm D = 30cm
Figura 15: Capacidad de un ojo para distinguir dos puntos cercanos
El ojo posee una “lente” denominada cristalino que recibe la imagen y la
proyecta sobre una “pantalla” denominada retina que está formada por células sensibles
denominadas conos y bastones. Los conos ocupan la parte central de la retina y son los
responsables de percibir las imágenes mientras que los bastones ocupan la parte
periférica y son responsables de percibir la tonalidad y la intensidad de la luz. Para que
dos puntos que se encuentren en un plano puedan ser distinguidos por el ojo como
puntos distintos es necesario que el cristalino proyecte las imágenes de ambos puntos
sobre conos diferentes. Si dos puntos están tan cerca que el cristalino los proyecta sobre
un mismo cono esos dos puntos no serán percibidos como tal sino como un solo punto.
Conociendo la distancia que separa el cristalino de la retina (1,5cm) y conociendo la
distancia entre dos conos vecinos (4μ = 0,004mm) puede calcularse cual es el menor
ángulo que puede resolver el ojo humano.
tan 𝛼 =𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑛𝑎 − 𝑐𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑙𝑖𝑛𝑜
𝛼 = tan−10,0004𝑐𝑚
1,5𝑐𝑚
= 0º00’55’’ 1’
Sabiendo ahora cual es el ángulo que puede resolver el ojo humano y conociendo
la distancia óptima de visión distinta (distancia a la cual el ojo consigue la mejor
31
resolución y enfoque) puede calcularse cual es la distancia mínima que puede percibir el
ojo.
tan 𝛼 =𝑥
𝐷
tan 𝛼. 𝐷 = 𝑥
x = tg 1’ . 30 cm
x = 0,0087 cm 0,01 cm = 0,1 mm
Como las distancias que se han mencionado pueden variar de acuerdo a la
anatomía del ojo de cada individuo se toma como poder resolutivo general el valor de
0,2mm. Puede considerarse por lo tanto que dos puntos que estén a una distancia menor
a 0,2mm el ojo no los podrá ver como puntos diferentes debido a que las imágenes de
ambos puntos serán proyectadas en un mismo cono en la retina, mientras que sí lo hará
cuando la distancia sea mayor a 0,2mm (los puntos serán proyectados en conos
diferentes).
Vacilación planimétrica
La vacilación planimétrica resulta de relacionar el poder resolutivo del ojo con la
escala del plano de la siguiente manera:
s = 0,2mm . D
donde s es la vacilación planimétrica y D el denominador de la escala.
La vacilación planimétrica será en consecuencia la indeterminación de la
distancia en el terreno debida a una indeterminación en la distancia en el plano como
consecuencia de la resolución del ojo. Para un plano a escala 1:1000 la vacilación
planimétrica será s = 0,2mm . 1000 = 200mm = 20cm. Una distancia del terreno
calculada a partir de la medición en un plano a escala 1:1000 puede variar en +/- 20cm
de la distancia real. Quiere decir también que si se va a construir un plano a escala
1:1000 puede cometerse un error en la medición de una distancia de hasta 20cm en el
terreno que cuando se vaya a representar en el plano, ese error va a reducirse tanto que el
ojo no lo va a poder apreciar.
Ejercicio
Determinar la máxima distancia a la cual se pueden levantar puntos con una
escuadra de prismas de vacilación angular de 15’ (Figura 16) si se va a construir un
plano a E 1:2000
La vacilación planimétrica para construir el plano a escala 1:2000 será
s = 0,2mm . 2000 = 400mm = 40cm
Por lo tanto el error que podrá cometerse en el campo será de 40cm.
32
B
c’
E c
D c’
A
Figura 16: Variación en la posición de un punto producto de la vacilación angular
Obsérvese que cuanto más alejados se encuentren los puntos del pie de la
perpendicular (ubicado en E) mayor será el error cometido debido a la vacilación
angular de 15’ del pentaprisma. Dicho error se encuentra representado en el esquema
como el segmento c-c’. Este segmento constituye el error que no puede superar los 40cm
ya que se va a representar a escala 1:2000.
Aplicando la función tangente puede determinarse la distancia máxima a la que
pueden levantarse perpendiculares.
tan 15′ =𝑐𝑐′
𝐷𝑚á𝑥
𝐷𝑚á𝑥 =𝑐𝑐′
tan 15′
𝐷𝑚á𝑥 =40𝑐𝑚
tan 15′
𝐷𝑚á𝑥 = 9167,26𝑐𝑚 = 91,7𝑚
Problema
Se desea levantar perpendiculares a una distancia máxima de 50m de un
determinado eje que más tarde se va a representar en un plano a escala 1:1000. ¿Cuál
será la vacilación angular máxima que podrá tener la escuadra a utilizar?. Rta: 13’45’’
33
ALINEACIONES
Las alineación es el procedimiento mediante el cual se materializa una recta o
dirección sobre el terreno.
Para efectuar esta operación se emplean jalones. Los jalones son señales que
pueden ser de madera (de sección octogonal) o metálicos (de sección cilíndrica). Los
jalones de madera poseen una punta metálica denominada regatón que permite hincar al
mismo en el suelo. En lugares donde los mismos no pueden clavarse en el suelo porque
éste es muy duro se utilizan dispositivos especiales que los sostienen (Figura 18). La
principal función de estas señales es precisamente que se puedan visualizar desde lejos
para lo cual vienen pintados alternativamente con colores llamativos (rojo y blanco o
negro y blanco) que puedan contrastar contra un fondo claro u oscuro. Las franjas de
colores poseen un ancho de 25-50cm y el largo total de estas señales es de 2 a 3m. Estas
franjas cada 25cm permiten también medir aproximadamente una distancia corta. El
grosor de los jalones oscila entre los 2 y 3,5cm por lo que se visualizan fácilmente hasta
aproximadamente 200m dependiendo de las condiciones de visibilidad. Para facilitar su
visualización desde distancias mayores suele atársele en el extremo superior una
banderita.
Figura 17: Jalón pintado con colores
alternativos, dividido en tramos
Figura 18: Elemento de sostén para
suelos duros
Las alineaciones son necesarias en el momento de construir un alambrado o una
línea de monte frutal o forestal. En estas situaciones se busca que las mismas queden
formando rectas.
Las alineaciones se clasifican en:
a)Alineación desde el extremo
a1)Relleno
a2)Prolongación
b)Alineación desde el centro
34
a)Alineación desde el extremo
a1)Relleno
Sean dos puntos A y B materializados en el terreno por dos jalones colocados
verticalmente sobre los mismos se desea colocar entre ambos un tercer jalón sobre la
línea que los contiene. Para conseguirlo un operador se coloca con un jalón
aproximadamente en la mitad del lado AB (punto 1 de la Figura 20) y observa las
indicaciones de otro operador (alineador) que se encuentra observando desde el jalón
ubicado en A. El alineador puede ver cual es la dirección que contiene a los jalones A y
B y le señalará claramente con indicaciones manuales al operador que está con el jalón
en el medio si debe desplazarse hacia izquierda o derecha (puntos 2, 3, 4 y 5 de la Figura
20) para finalmente conseguir colocar el jalón sobre la línea AB. Una vez hallado ese
punto le indicará que clave el jalón y por último le señalará que lo verticalize en caso de
que éste hubiese quedado inclinado.
A B
Figura 19: Relleno (vista en corte)
1
3
5
A B
4
2
Figura 20: Relleno (vista en planta)
a2)Prolongación
Sean dos puntos A y B materializados en el terreno por dos jalones colocados
verticalmente sobre los mismos, se desea prolongar la línea que forman estos puntos
colocando un tercer jalón sobre la misma. Esta operación la puede efectuar un solo
operario (autoalineación) ya que puede visualizar los jalones en A y B al mismo tiempo
y colocar el tercer jalón sobre dicha línea (punto 1 de la Figura 21).
A B 1
Figura 21: Prolongación de la línea AB colocando un jalón en 1 (planta)
35
b)Alineación desde el centro Este tipo de alineación se emplea cuando no es posible ubicarse detrás de los
puntos A y B porque existen obstáculos como construcciones (Figura 22) o bien en el
centro existe un obstáculo (duna, médano) que imposibilita la intervisibilidad de A y B
(Figura 23). Para poder efectuar la alineación se trabaja entre dos operarios que van
alineándose mutuamente (Figura 24). El operador que está inicialmente en D1 alineará al
que está inicialmente en C1 con respecto al jalón en A y este último alineará al que está
en D1 con respecto al jalón en B. Comienza el que está en D1 y le indica al que está en
C1 que se desplace hasta ubicarse en la línea formada por A, C2 y D1. A continuación el
que está en C2 le indica al que está en D1 que se desplace hasta encontrarse en la línea
que contiene a C2, D2 y B. Nuevamente le corresponde alinear al que está en D2 y al que
está en C2 le corresponde ser alineado. Con este procedimiento de alineaciones sucesivas
los operadores se van aproximando a la línea AB. Llega un momento en que uno de los
operadores (el que fue alineado en último término) va a alinear a su compañero y
advierte que el mismo está sobre la línea. Esto ocurre cuando se ha alcanzado la
alineación definitiva y los jalones en C4 y D4 se encuentran en la línea que contiene a A
y B. La alineación ha finalizado.
A B
Figura 22: Imposibilidad de la alineación desde el extremo (planta)
C
D
A B
Figura 23: Alineación desde el centro (vista en corte)
C1 D1
C2
D2
C3 D3
A C4 D4 B
Figura 24: Alineación desde el centro (vista en planta)
36
MEDICIÓN DIRECTA DE DISTANCIAS
Dentro de las operaciones de medición que se pueden realizar en trabajos
topográficos se tienen la medición de ángulos (Angulometría), la medición de alturas o
desniveles (Altimetría) y la medición de distancias (Longimetría).
Los métodos de medición de distancias se clasifican en dos grupos:
-Métodos de medición directa
-Métodos de medición indirecta
Los métodos de medición directa son aquellos en los que debe recorrerse la
distancia a medir y compararla con la medida patrón utilizada para efectuar la medición.
En los métodos de medición indirecta no es necesario recorrer la distancia incógnita.
La medición directa de distancias puede ser expeditiva (medición a pasos y
odómetro) o regular (medición con cinta).
Métodos expeditivos
Se caracterizan por tener una precisión limitada y por lo tanto solo podrán ser
utilizados cuando no se requiera demasiada precisión en la determinación de la distancia.
Medición a pasos
La medición de una distancia a pasos consiste en recorrer la distancia incógnita
contando los pasos empleados en hacerlo ya sea mentalmente o con la ayuda de un
contador. Previamente se deberá haber calibrado el paso (determinar la longitud de cada
paso) contando el número de pasos necesarios para recorrer una distancia conocida.
Normalmente una persona recorre su estatura con dos pasos. Tanto al calibrar el paso
como al recorrer la distancia incógnita se debe caminar normalmente, sin forzar el paso
para que éste sea más largo o corto. El error de este método es aproximadamente del 1%,
es decir que en 100m puede existir un error de aproximadamente +/-1m.
Problema
Una persona calibró su paso recorriendo dos veces una distancia de 50m. En la
ida empleó 65 pasos y en la vuelta 64,5. Luego recorrió la distancia que deseaba conocer
empleando 459 pasos en la ida y 461 en la vuelta. ¿Cuál es la distancia incógnita? Rta:
355m.
Odómetro
Consiste en una rueda que se hace girar por la distancia a medir y que tiene un
contador de vueltas (tacómetro) que señala el número de vueltas empleado o bien
directamente el valor de la distancia recorrida. Si el valor señalado es el del número de
vueltas, sabiendo que una rueda al dar una vuelta recorre su perímetro igual a 2 . . r ó
bien . d (siendo “r” el radio y “d” el diámetro de la rueda) la distancia total recorrida
será igual a:
𝐷 = 2. 𝜋. 𝑟. 𝑛
siendo n el número de vueltas empleado
37
Problema
Calcular la distancia que resultó de emplear un odómetro con diámetro de rueda
igual a 30cm si el número de vueltas empleadas fueron 497,6. Rta: 469m
Figura 25: Odómetro con su totalizador Figura 26: Utilización de un odómetro
Método regular
Se caracteriza por tener una precisión mucho mayor que la de los expeditivos.
Medición con cinta Las cintas de medición consisten en flejes con graduaciones múltiplo y
submúltiplo del metro. Existen dos tipos de cintas
Cinta ruleta
Es una cinta pequeña, que puede tener de 25 a 30m y se utiliza para determinar
distancias cortas. Puede ser metálica o de material plástico, se encuentra graduada al mm
y se aloja dentro de una caja circular.
Figura 27: Cintas ruleta
Cinta de agrimensor o de tambor
Consiste en un fleje de acero de generalmente 50m (las hay también de 100m).
Se encuentra dentro de un tambor metálico circular (de allí su nombre) del cual se extrae
totalmente cuando va a ser utilizada (Figura 30). Presenta 3 tipos de graduaciones: a)
cada 2 metros remaches elípticos de bronce que marcan los metros pares y en los que
38
figuran la distancia a ambos extremos de la cinta (de uno y otro lado de la cinta), b) en
los metros impares remaches circulares (sin valores) y c)cada 20 cm remaches circulares
más pequeños que las de los metros impares (Figura 28). Por lo tanto la menor
graduación de esta cinta son los 20cm pudiéndose determinar la fracción menor por
estimación o mediante la utilización de una cinta ruleta.
36 38
20 cm
Figura 28: Esquema de la cinta de agrimensor
La cinta posee en cada extremo una manija, siendo la distancia total la existente
entre la cara interna de una manija y la externa de la otra (Figura 29).
50 m
Figura 29: Distancia total de la cinta (entre caras interna y externa de manijas)
Las cintas más modernas son de fibra de vidrio, se encuentran graduadas al mm y
no se extraen totalmente del arnés que las contiene (Figura 31).
Figura 30: Cinta de agrimensor metálica Figura 31: Cinta de agrimensor de fibra de
vidrio
Procedimiento a seguir al utilizar la cinta de agrimensor
Antes de efectuar la medición se deben colocar jalones en los extremos de la
distancia a medir como también jalones intermedios si es que la distancia fuese tan larga
que dificultase la visibilidad de los jalones extremos. La colocación de los jalones tiene
por objeto marcar la línea por la cual se debe realizar la medición sin desplazarse a uno u
39
otro lado de la misma para evitar el error por falta de alineación. Si se incurriese en este
error se cometería un error por exceso (la distancia medida sería mayor a la verdadera).
Figura 32: Marcación con jalones de una distancia AB a medir con cinta
La operación de medición se realiza mediante dos operadores llamados delantero
y zaguero. Estos operarios cuentan (además de la cinta totalmente extraída del tambor)
con un juego de dos aros con once fichas. Al iniciar la operación el zaguero se queda
con uno de los aros y una ficha y el delantero con el otro aro con las diez fichas
restantes. El zaguero clava su única ficha en uno de los extremos de la distancia a medir,
coloca dentro de la ficha una de las manijas de la cinta y la pisa. El delantero se dirige
con la otra manija al otro extremo de la distancia a medir guiándose por los jalones
colocados. Cuando haya recorrido la distancia que tiene la cinta, la tensará y la alineará
ayudándose por señas que le haga oportunamente el zaguero. Una vez tensada y alineada
la cinta colocará una de sus diez fichas en el borde externo de la manija, le hará señas al
zaguero quien levantará la única ficha que tenía, la colocará en su aro y se dirigirá al
lugar en que el delantero dejó la primer ficha. Allí colocará la manija de la cinta dentro
de la ficha que dejó el delantero y se repetirá la operación. De esta manera el zaguero irá
juntando las fichas que va dejando el delantero y las irá colocando en su aro. Cuando el
delantero coloque su décima ficha, se habrá quedado sin fichas en su aro y en ese punto
se habrán recorrido 10 fichas . 50m = 500m. El zaguero en cambio habrá ido juntando
las fichas que dejó el delantero y tendrá 10 en su aro. En ese lugar, delantero y zaguero
intercambian los aros, y nuevamente el delantero se lleva el aro con 10 fichas y el
zaguero se queda con el aro vacío y con la ficha que quedo clavada en los 500 m. Esta
operación se repite hasta que se llega al otro extremo de la distancia a medir. Finalmente
la distancia total medida resulta igual a:
𝐷 = 𝑁. 500𝑚 + 𝑛 − 1 . 50𝑚 + 𝑓
Donde N = número de veces que intercambiaron los aros los operadores (“tiros”)
n = número de fichas en el aro del zaguero al concluir la medición
f = fracción de la última cintada hasta llegar al extremo de la distancia (0 –50m)
40
Nótese que al número de fichas que tiene el aro del zaguero al concluir la
medición se le resta una debido a que al comenzar la misma el zaguero poseía una ficha
en su aro.
La medición se efectúa de ida y de vuelta con el fin de eliminar errores groseros.
(como contar una ficha de menos).
La diferencia entre la medición de ida y de vuelta será el error cometido y el
mismo no deberá superar el error máximo admisible o tolerancia para este tipo de
medición que se calcula mediante la expresión
𝑇 𝑚 = ±0,015. 0,3𝐿 + 0,0005𝐿2
Siendo L la longitud medida (media de la medición de ida y la de vuelta)
expresada en m. Si la diferencia entre la medición de ida y la de vuelta (error) no supera
la tolerancia se considerará que no se cometieron errores groseros y que la medición por
lo tanto es válida. En caso contrario (error mayor a la tolerancia) se habrán cometido
errores groseros y deberá efectuarse nuevamente la medición.
Problema Se midió una distancia AB con cinta de agrimensor. En la medición de ida los
operadores intercambiaron 4 veces los aros y al zaguero le quedaron 7 fichas en su aro.
La fracción de la última cintada fue de 24,85m. En la medición de vuelta el resultado fue
semejante solo que la última cintada fue de 24,22m. ¿Cuál es la distancia AB? ¿Cuál es
el error cometido? ¿Cuál es la tolerancia? ¿La medición fue bien hecha? ¿Se debe medir
nuevamente? Rta: AB: 2324,54m. Error: 0,63m. Tolerancia: 0,87m. La medición fue
bien hecha. No se debe medir nuevamente.
41
FUNDAMENTOS GENERALES DE LA MEDICIÓN ELECTRÓNICA DE
DISTANCIAS
Introducción
Existen métodos que permiten obtener el valor de una distancia midiendo el
tiempo que tarda en recorrerla un tren de ondas electromagnéticas. Para ello se utilizan
instrumentos denominados distanciómetros, habitualmente designados con la sigla
IEMD (Instrumentos Electrónicos para la Medición de Distancias). El principio de
funcionamiento de los distanciómetros es el siguiente: emiten una radiación de longitud
de onda y velocidad de propagación conocidas que se refleja en el otro extremo de la
línea a medir; la onda reflejada es recibida nuevamente en el aparato emisor donde se
determina el desfase entre ondas emitidas y recibidas que será proporcional al tiempo
empleado por la luz en recorrer esa distancia.
Estos métodos permiten medir distancias sin la necesidad de recorrerlas (métodos
de medición indirecta), obviando los obstáculos que pudieran presentarse en el recorrido.
Se pueden medir distancias relativamente grandes (10-20km) en escasos segundos.
Principio matemático
Dada la ecuación:
D = v x t donde: D = distancia a medir
v = velocidad de la radiación en el medio
t = tiempo
Figura 33: Utilización de un distanciómetro para la determinación de la distancia AB
Teniendo en cuenta que la velocidad de la luz en el vacío es una constante
conocida igual a 300000km/s se puede aproximar la velocidad de propagación en el
medio a ésta. Así, el distanciómetro cumpliría la función de reloj, midiendo el tiempo
desde que la onda sale hasta que regresa.
Haz de luz modulado Retro-reflector Distanciómetro
Receptor
Transmisor
Haz de luz reflejado
B A
42
Considerando dos puntos A y B, ubicados en los extremos de la línea a medir, se
ubica en A al emisor y desde éste se emite la radiación que se refleja en B y finalmente
se recibe en A. Como se observa en la Figura 33 la onda recorre dos veces la distancia a
medir (camino de ida y de vuelta) por lo que la ecuación para la determinación de la
distancia será:
2D= c x t
c: velocidad de propagación de la luz en el vacío
Debido a que los tiempos que emplea la luz en recorrer las distancias a medir son
muy pequeños (1/100000s) se emplea el desfasaje entre la onda emitida y la recibida
para calcular la distancia.
Los primeros distanciómetros se instalaban sobre los teodolitos y se debía
cumplir la condición de que los ejes ópticos de ambos instrumentos fuesen paralelos
(Figura 34).
Figura 34: Paralelismo entre el eje del distanciómetro y el del teodolito
Clasificación de los IEMD
Los distanciómetros se clasifican en
Electromagnéticos: emplean ondas de radio, también llamadas microondas
(Telurómetros)
Electroópticos: emplean ondas del visible (Geodímetro) o del infrarrojo
próximo (Rayos IR)
Telurómetro
Este distanciómetro es totalmente electrónico y la onda portadora es una onda
radioeléctrica de la gama de las microondas en el orden de 10GHz. Su uso es
prácticamente indiferente sea de día o de noche y puede operar con tiempo brumoso o
condiciones climáticas aún más desfavorables. Presenta la desventaja de requerir dos
43
operadores igualmente entrenados, por estar compuesto de dos estaciones, llamadas
Maestro y Remota según emitan o reflejen el haz de luz. En algunos modelos son
idénticas y reversibles. Por lo tanto el reflector es activo a diferencia de los prismas que
utilizan los distanciómetros electroópticos (que son pasivos). La distancia se lee en la
estación Maestro. No es necesario que los puntos sean intervisibles, sintonizándose los
aparatos como un radio receptor.
El alcance es de aproximadamente 40km dependiendo de la altura de las
estaciones.
El error es de: +/- 3cm +/- D/300.000 y en malas condiciones: +/- 5cm +/-
D/50.000.
Para obtener la mejor precisión se debe corregir el índice de refracción medio,
siendo la humedad, presión y temperatura atmosférica los parámetros que tienen
influencia decisiva en esta gama de frecuencias.
Geodímetro de luz visible o Telémetro Electroóptico
Es un instrumento del tipo opto-electrónico, pues utiliza como onda portadora luz
común. La fuente luminosa consiste en una lámpara de tungsteno o de mercurio.
Consta de una unidad transmisora-receptora que envía un tren de ondas
luminosas conocido y constante hasta el punto que se desea conocer la distancia. Allí, el
tren de ondas es reflejado por un elemento reflector, retornando al instrumento donde se
realiza la medición del desfasaje relativo.
Como elemento reflector se puede emplear un espejo plano o cóncavo o
reflectores prismáticos. Los prismáticos son sistemas de prismas triedros rectángulos
cuya propiedad óptico-geométrica es la de reflejar en dirección rigurosamente contraria
cualquier rayo de luz incidente. El rayo reflejado llegará al instrumento con una pérdida
de luz relativamente pequeña. Para distancias de 1200m hay instrumentos que usan un
solo prisma adosado a un jalón o trípode. Para distancias de 6000m o más se usan de 8 a
12 prismas.
Figura 35: Prisma con fondo para facilitar
su ubicación Figura 36: Prisma con soporte para 360°
El alcance del geodímetro varía con la fuente de emisión que puede estar
constituida por una lámpara de tungsteno, de mercurio o de un láser y con el momento
de medición y es aproximadamente:
44
Lámpara de tungsteno: Día: 2km Noche: 15km
Lámpara de mercurio: Día: 5km Noche: 25km
Láser: Día: 60km
En el alcance de todos los instrumentos influye el nº de prismas y las condiciones
ambientales (Figura 37).
Figura 37: Alcance del distanciómetro en función del número de prismas y de la
visibilidad
El error de estos instrumentos va desde +/- 1 cm +/- D/500.000 a +/- 1 cm +/-
D/200.000
Para obtener el error más pequeño, es necesario determinar el índice de
refracción del medio (n), que en esta gama de frecuencias es afectado principalmente por
la temperatura y presión atmosférica, corrigiéndose con él la velocidad de propagación
mediante:
𝑣 =𝑐
𝑛
donde “c” es la velocidad de la luz en el vacío y “n” es el índice de refracción del
medio.
Al ser en el geodímetro la modulación de la luz independiente de la fuente
luminosa es posible emplear sistemas LÁSER, lo que brinda una serie de ventajas como
a)el haz LÁSER es muy dirigido y poco perturbado por los medios refringentes, b)el
hecho de ser coherente hace que no pierda potencia por interferencia permitiendo
mayores alcances que con luz común, c)como la luz es monocromática permite utilizar
filtros de ancho de bandas muy angostas, no siendo por esto tan notable la diferencia de
alcance entre el día y la noche, d)la velocidad de propagación de la luz en la atmósfera
terrestre es v = c / n, donde n es el índice de refracción del medio cuyo valor depende de
la frecuencia portadora empleada. La monocromaticidad implica una longitud de onda
Alc
ance
(km
)
Nú
mer
o d
e p
rism
as
60 km 50 40 30 20 10
Excepcional-mente claro
Muy claro Claro
Standard Claro Niebla
14
12
10
8
6
4
2
16
8
6
4
3
2
1
45
perfectamente definida, por lo que el índice de refracción y por ende la velocidad de
propagación estarán perfectamente definidos, lo que otorgará mayor precisión a las
mediciones efectuadas con rayo LÁSER que con luz blanca, pues en las últimas se debe
determinar la velocidad de grupo.
Rayos IR
Son los más usados en la actualidad. Pueden utilizar como fuente portadora
Arseniuro de Galio (alcance de 3 a 5km) o Láser (alcance 20km). El mecanismo de
selección de la frecuencia de precisión y de las de aproximación se efectúa
automáticamente, es decir, el operador dispara el instrumento, éste hace varias lecturas
en la frecuencia de precisión, las promedia y las almacena para pasar automáticamente a
las frecuencias de aproximación donde realiza varias lecturas de cada una de ellas,
promediándolas separadamente y almacenándolas. Finalmente compone los promedios y
realiza las operaciones matemáticas (en forma automática) para luego exhibir en la
pantalla la distancia en unidades métricas. La velocidad de propagación de la radiación
IR depende del índice de refracción del medio que, a estas frecuencias, depende
fundamentalmente de la presión y de la temperatura atmosférica. Es una característica
distintiva de los distanciómetros de rayos IR, que conociendo en forma aproximada los
parámetros atmosféricos y previa introducción de los mismos en el instrumento, muestre
la distancia corregida.
Las primeras generaciones de estos instrumentos tenían un alcance que no
superaba los 1500m. Un constante avance tecnológico permitió que en la actualidad se
fabriquen distanciómetros de este tipo cuyo alcance es de aproximadamente 7000m sin
haber sufrido merma en la precisión.
El error medio que cometen estos telémetros es de aproximadamente 5-10nm +/-
1/2000000 D.
Los errores de los distanciómetros suelen expresarse en ppm (partes por millón).
Un error de 5ppm implica que en 1000000 de partes (sean cm, m ó km) hay un error de
5 partes (cm, m ó km). En el caso del telurómetro que tiene un error de 10mm +/- 1/
2000000 D, si se efectúa una medición de 5000m el error será 10mm +/- 1/ 2000000 .
5000000mm = 10mm +/- 10mm = 0 - 20mm.
Con una regla de tres: 5000000mm-----------------------20mm
1000000mm-----------------------4mm = 4ppm
Características Electromagnéticos Electroópticos
TELURÓMETRO GEODÍMETRO RAYOS IR
Longitud de onda 3cm 633nm 800-1000nm
Alcance 40km 10km hasta 7km
Precisión +/-3cm + 3,3ppm .D +/-5mm + 1ppm . D +/- 5mm + 5ppm . D
Condiciones de
medición
Condiciones
desfavorables -25C a + 45C -20C a + 50C
Campos de
aplicación Geodesia
Levantamientos
topográficos
Levantamientos
topográficos
Tabla 9: Cuadro comparativo de los distintos distanciómetros
46
Figura 38: Distanciómetro laser
de mano de 30m de alcance
Figura 39: Distanciómetro laser de montante fijo de
500m de alcance
Desde la aparición de las estaciones totales el uso de distanciómetros de gran
alcance (Figura 39) ha caído en desuso. Los de corto alcance (Figura 38) son utilizados
frecuentemente para determinar distancias en interiores (como obras de construcción) y
pequeñas distancias exteriores. No necesitan de prisma reflector y calculan
automáticamente áreas, volúmenes y alturas a partir del proceso de las longitudes
medidas. Una señal luminosa que emiten permite hacer puntería en el punto objetivo.
Algunos poseen interfaz Bluetooth lo que permite transferir datos sin cables de por
medio.
Estación Total
La aparición de los distanciómetros posibilitó la medición de distancias de forma
muy exacta y rápida. Hasta entonces la medición lineal solo se realizaba mediante cintas
pero se cometían numerosos errores sistemáticos que se debían calcular y corregir. La
medición angular precisa era en cambio un problema resuelto ya desde antiguo ya que
con el teodolito se lograban valores angulares muy precisos. Cuando aparecieron los
primeros distanciómetros se acoplaron a los teodolitos logrando un instrumento que
podía medir en forma precisa ángulos (mediante el teodolito óptico convencional) y
distancias (mediante IEMD). Este representa el primer antecedente de un equipo integral
de medición de distancias y ángulos. A estos equipos se los denominó Semi Estaciones
Totales.
Más tarde, los fabricantes de instrumentos unificaron teodolito y distanciómetro
en un solo equipo compacto denominado Estación Total que realiza electrónicamente no
solo la medición de distancias sino también la de ángulos. Además, estos instrumentos
están dotados de un teclado que permite el ingreso de datos y comandos al aparato. Los
valores angulares ya no se deben leer e interpretar de acuerdo a los diferentes sistemas
de lectura de los teodolitos convencionales sino que se muestran directamente en una
pantalla de cristal líquido. Además, las estaciones totales vienen provistas de una
colectora de datos que permite almacenar los ángulos y distancias determinados para los
distintos puntos levantados para luego poder procesarlos en una computadora previa
transferencia de datos. Esta serie de automatismos no solo facilita y agiliza el trabajo del
operador que ya no debe leer y anotar todos los valores en una libreta sino que elimina
los errores de lectura, escritura, interpretación y transcripción de los datos. Previamente
47
se debían leer los ángulos de acuerdo a los diferentes sistemas de lectura utilizados por
los teodolitos, copiándose los datos en una libreta de campo para posteriormente en
gabinete transferirlos a una computadora. En cualquiera de las 3 instancias podían
cometerse errores y el operador debía ser muy cuidadoso y prolijo en la lectura, escritura
e interpretación de los datos tomados.
Las estaciones totales también traen incorporadas funciones trigonométricas lo
que permite calcular y mostrar en pantalla distancias reducidas al horizonte (si las
distancias medidas son inclinadas), desniveles y utilizar sistemas de coordenadas
cartesianas o polares de acuerdo a la preferencia del usuario. Para el cálculo de los
desniveles deben ingresarse los datos de altura de la estación sobre el punto estación y
altura del prisma ya que el tipo de nivelación empleada es la trigonométrica. Para el
cálculo del desnivel traen incorporadas las constantes que permiten el cálculo
automático de la corrección por curvatura terrestre y refracción. Para mejorar la
precisión en las distancias medidas pueden incorporarse mediante el teclado los valores
de temperatura y presión atmosférica. También se puede calcular áreas encerradas por
los puntos levantados y seleccionar el sistema de unidades.
Las estaciones totales más modernas y completas son robóticas, con búsqueda
automática del prisma. Esto permite a un único operador posicionarse con el prisma en
los puntos que desea levantar ya que la estación total rastrea el prisma y captura los
datos de distancia y ángulo automáticamente. Con esto se evita que el operador de la
estación total (que es habitualmente el que dirige el levantamiento y conoce qué puntos
se deben levantar) tenga que comunicar permanentemente al ayudante que sostiene el
prisma cuales son los puntos de interés y cuando la captura de datos por parte del
instrumento ha concluido, lo que suele verse dificultado por la excesiva distancia
instrumento-prisma.
Figura 40: Estación Total FOIF RTS-635 Figura 41: Estación Total Topcon GTS-
229
48
MEDICIÓN ANGULAR EXPEDITIVA
Una de las operaciones de medición en Topografía la constituye la medición de
ángulos (angulometría). Para la medición de ángulos se utilizan instrumentos
denominados goniómetros (medidores de ángulos).
Los goniómetros se clasifican en:
-Goniómetros de ángulo fijo: son aquellos que permiten determinar un ángulo
específico como 45°, 90° o 180° (escuadras ópticas)
-Goniómetros de ángulo variable: permiten determinar ángulos que pueden variar
de 0 a 360° (brújula forestal, sextante, teodolito, nivel taquímetro).
Se hará referencia a los goniómetros de ángulo fijo y a la brújula forestal que son
goniómetros expeditivos, es decir permiten determinar ángulos con una precisión
limitada pero suficiente en muchos casos que no se necesite una resolución geométrica
rigurosa.
Goniómetros de ángulo fijo
Escuadras ópticas
Son instrumentos sencillos que utilizando los principios de reflexión y refracción
de la luz son usados principalmente para levantar y bajar perpendiculares a una
determinada dirección. Existen tres tipos principales.
-Escuadra de agrimensor: es un tubo de sección cilíndrica u octogonal que se
apoya en un soporte y permite determinar ángulos de 45° y 90° con una precisión
máxima de 15’.
-Escuadra de espejos: se fundamenta en la reflexión de la luz en dos espejos
permitiendo levantar y bajar perpendiculares (90°). No requiere soporte (se sostiene a
mano alzada y posee una plomada que indica la dirección vertical) siendo su error de
aproximadamente 10’
-Escuadra de prismas: se fundamenta en la refracción de la luz al pasar por
prismas. Son las más precisas (1-2’) y las del tipo pentaprisma doble permiten alinearse
(determinar ángulos llanos) y levantar o bajar perpendiculares.
Utilización de las escuadras ópticas en el levantamiento de puntos por
coordenadas rectangulares
Existen básicamente tres tipos de tareas topográficas. Ellas son:
-Levantamiento: También llamada captura de datos. Consiste en recopilar
información del terreno para después llevarla al plano. Es llevar del terreno al plano.
-Proyecto: Una vez hecho el levantamiento se analiza la información y en
función de un determinado objetivo se formula un proyecto.
-Replanteo: Es volcar el proyecto en el terreno. Es la operación inversa del
levantamiento, es decir, llevar del plano al terreno.
Definidas las tareas topográficas se analizará en que consiste el levantamiento de
puntos por coordenadas rectangulares. Dado un determinado lado que se toma como eje
de levantamiento se determinan las distancias que existen desde los distintos puntos o
detalles que se desean levantar al lado en cuestión. Como distancias desde un punto a
una recta hay infinitas, la distancia que se toma es la menor que por geometría es la
distancia tomada sobre la perpendicular al eje que pasa por el punto. Esa distancia es
49
llamada distancia al eje. La distancia puede ser a la derecha o izquierda del lado,
cuestión que queda clarificada con un croquis del levantamiento. Para terminar de
definir la ubicación de un punto en cuestión, conocida su distancia al eje, queda definir
la distancia que existe entre el pie de la perpendicular (punto intersección entre el eje de
levantamiento y la perpendicular que pasa por el punto) y el origen de la progresiva. A
esta distancia se la denomina progresiva del punto. La utilización principal de los
goniómetros de ángulo fijo es la de determinar los puntos que constituyen pies de
perpendicular.
N B (progresiva 127,35m)
Pies de perpendicular
Progresiva Distancia al eje
A (progresiva 0,00m)
Figura 42: Levantamiento por coordenadas rectangulares
Brújula Forestal
Es un goniómetro que posee un limbo (círculo graduado) horizontal dividido en
360 partes por lo que cada división corresponde a un grado sexagesimal. Sobre el limbo
horizontal se encuentra una pequeña aguja imantada que al oscilar libremente se
posiciona en la dirección Norte Magnético – Sur Magnético (Figura 45). Existe una
pequeña palanca accionada con un tornillo en la base del limbo que permite inmovilizar
la aguja imantada contra el vidrio del mismo para que dicho elemento sensible no sufra
golpes durante el transporte del instrumento (Figura 44 y Figura 45). El limbo horizontal
es solidario con el anteojo por lo que al girar el anteojo se gira también al limbo. Este
último está graduado en sentido antihorario y esto permite que al girar el anteojo (y el
limbo horizontal) en sentido horario, el valor angular indicado por la aguja (que oscila
libremente y por lo tanto permanece quieta en la dirección Norte-Sur) en dicho limbo se
incremente (Figura 45). El limbo horizontal presenta también un tornillo de disposición
radial que permite frenarlo luego de haber hecho puntería “gruesa” con un sistema de
alza-mira presente sobre el anteojo. Luego de accionar el tornillo de freno queda
habilitado el tornillo de pequeños movimientos horizontales que, con disposición
tangencial al limbo, permite hacer puntería “fina” rotando levemente al limbo mientras
se observa por el anteojo (Figura 44).
50
Figura 43: Brújula Forestal montada en su trípode
Figura 44: Elementos y tornillos de regulación de la Brújula Forestal
El instrumento va montado sobre un trípode (Figura 43) y para garantizar la
horizontalidad del círculo graduado horizontal presenta sobre el mismo dos niveles
tubulares que se encuentran a 90° uno de otro. Dichos niveles se encuentran
parcialmente llenos de líquido por lo poseen una pequeña burbuja de aire. Para
horizontalizar el limbo se deben llevar ambas burbujas de aire a una marca central que
presentan cada uno de los niveles (Figura 45).
La brújula posee un limbo vertical graduado en grados sexagesimales (no todo el
círculo está graduado). Para mover el anteojo verticalmente posee una pequeña rueda
que engrana con la superficie exterior del limbo vertical. El anteojo es solidario al limbo
Limbo
vertical
Limbo
horizontal
Tornillo
de freno
Tornillo de
pequeños mov.
horizontales
Tornillo de
sujeción de
aguja al limbo
Alza
51
vertical (al girar el anteojo el limbo lo acompaña en su movimiento) y una marca
triangular indica el ángulo vertical a leer sobre la graduación (Figura 46). Dicho ángulo
se denomina ángulo de elevación (o de depresión), presenta el valor 0 en la dirección
horizontal (al dirigir una visual horizontal la lectura es 0°) y crece hacia arriba y hacia
abajo.
Figura 45: Limbo horizontal graduado en sentido antihorario
El anteojo presenta dos tornillos. El más próximo al objetivo es el tornillo de
foco que se utiliza para aclarar la imagen y el más próximo al ocular es el tornillo de
aclaración de hilos del retículo (Figura 46). El retículo está representado por un hilo
vertical y tres horizontales que permiten hacer puntería y calcular las distancias en forma
indirecta mediante un método denominado estadimetría (explicado en “Nivelación
geométrica”). El anteojo presenta en su parte superior un sistema de alza y mira (a modo
de fusil) que permite hacer puntería grosera observando por fuera del anteojo.
Figura 46: Anteojo astronómico y limbo vertical de la Brújula
Tornillo de
movimiento
vertical
Limbo vertical
graduado y
dentado
Indicador de
lectura vertical
Tornillo de
hilos del
retículo
Tornillo
de foco
Aguja
imantada
Nivel
tubular
Palanca de
sujeción al
limbo
52
La lectura sobre el limbo vertical permite conocer el “ángulo de elevación” o
“ángulo de depresión” de una determinada visual. Midiendo este ángulo y la distancia
que separa a la brújula de un determinado objeto puede determinarse por trigonometría
la altura del objeto. Esta utilidad es utilizada por los Ingenieros Forestales para cubicar
recursos forestales (estimar los m3 de madera que puede brindar un bosque, monte o
plantación forestal). Conociendo la altura de los ejemplares, su diámetro y el número de
individuos por hectárea se pueden estimar los m3/ha de madera que puede brindar el
recurso. Debido a esto al instrumento se lo denomina “Brújula Forestal”
Problema: Con la ayuda de una brújula forestal se midió el ángulo de elevación
( = 39°30’) y de depresión ( = 4°30’) para obtener la altura de un Pinus sp. (Figura
47). La distancia desde el instrumento al árbol fue medida con cinta obteniendo un valor
de 20m. Determinar cual es la altura del árbol. Rta: H1= 1,57m; H2=16,49m; H=18,06m.
Figura 47: Determinación de la altura de un árbol con la Brújula Forestal
La lectura sobre el limbo horizontal de la brújula permite conocer el ángulo que
forma una determinada dirección con la dirección del Norte magnético medido en
sentido horario. A dicho ángulo se lo denomina Azimut o Acimut y se lo simboliza con
las letras Az. El Azimut de una dirección permite conocer la orientación de un lado de
un determinado lote o polígono con respecto al Norte.
Nmg
Nmg
B AzB→A
AzA→B
A
Figura 48: Acimutes de las direcciones AB y BA
AzA→B debe leerse como “Acimut de A hacia B”. En la Figura 48 se han
representado los acimutes de las direcciones AB y BA. Se ha prolongado el lado AB
más allá del punto B y puede observarse que el AzB→A es igual al AzA→B + 180º. El
AzB→A es el inverso del AzA→B. El AzA→B medido desde A se denomina directo. Debe
existir una diferencia entre acimut directo e inverso de 180º. Si la diferencia fuese mayor
o menor constituiría un error que debería ser comparado con la expresión de tolerancia
correspondiente.
H1
H2
53
𝑇 = 3. 𝑎. 𝑛
siendo a = apreciación y n el número de visuales efectuadas desde cada punto (en este
caso 2, ver Figura 49)
Con la medición de los acimutes de los lados de un polígono pueden deducirse
sus ángulos internos.
N
A
D B
C
Figura 49: Cuadrilátero en el que se han graficado los acimutes de sus lados
Puede verse en la Figura 49 que al medirse todos los acimutes pueden obtenerse
por diferencia los correspondientes ángulos internos. Así, el ángulo interno
(correspondiente al vértice A) puede deducirse como = AzAD - AzAB. Lo mismo
sucede con los ángulos internos y (correspondientes a los vértices B y D
respectivamente)
= AzBA – AzBC
= AzDC – AzDA
Para determinar el ángulo interno (correspondiente al vértice C) al hacer la
diferencia se obtiene el ángulo externo
= AzCD – AzCB
obteniendo finalmente al ángulo interno como
= 360º -
Con los datos obtenidos de la medición de acimutes se confecciona una planilla
modelo con la que se obtienen a continuación los ángulos internos. En la Tabla 10 se
detalla un modelo de planilla utilizado a campo para el registro de los datos con brújula.
Los valores correspondientes a acimutes directos son los valores efectivamente
medidos. Los valores de acimutes inversos son copiados de los correspondientes
directos. Así, para el inverso del AB se copió el valor del directo BA (305º30’). La
apreciación resulta igual a 30’ (ya que en las lecturas realizadas se observa que los
valores angulares terminan en 00’ ó 30’) y el número de visuales desde cada punto (n) es
igual a 2 por lo que la tolerancia que se determina es de 2°07’.
54
Punto
Estación
Punto
Visado Lado
Acimut
directo
Acimut
inverso
Difer.
(+/-
180)
Toler. Acimut
corregido
Ángulo
Poligonal
A B AB 125º00’ 305º30’ -0º30’
𝑇 =
3.𝑎
. 𝑛
= 2
º07’ 125º15’
84º15’ D AD 209º00’ 30º00’ -1º00’ 209º30’
B C BC 212º30’ 32º00’ +0º30’ 212º15’
93º00’ A BA 305º30’ 125º00’ +0º30’ 305º15’
C B CB 32º00’ 212º30’ -0º30’ 32º15’
90º15’ D CD 302º30’ 121º30’ +1º00’ 302º00’
D A DA 30º00’ 209º00’ +1º00’ 29º30’
92º30’ C DC 121º30’ 302º30’ -1º00’ 122º00’
Tabla 10: Planilla de registro a campo para medición con brújula = 360º00’
La brújula forestal posee una aguja imantada que presenta, como todo imán; dos
polos (un polo sur y un polo norte). Dicha aguja es atraída por los polos Norte y Sur
Magnéticos del planeta (que se comporta como un gran imán) y orientará su polo sur al
polo Norte Magnético y su polo norte al Polo Sur Magnético (polos opuestos se atraen). La brújula fue inventada en China en el siglo IX. Hasta entonces la navegación en mar abierto se
apoyaba en la posición de los cuerpos celestes por lo que la navegación disminuía con climas neblinosos
o tormentosos en que se dificultaba la observación de los astros. En el Mediterráneo, la introducción de
la brújula, generó un incremento en la navegación durante los meses de invierno. Hasta entonces se
evitaba realizar viajes marítimos entre octubre y abril, debido en parte a la falta de cielos despejados. La
prolongación de las temporadas de navegación resultó en un gradual pero sostenido incremento del
tráfico marino. Esos meses adicionales eran de considerable importancia económica y permitieron a las
flotas venecianas hacer dos viajes anuales al levante, en vez de uno sólo. Los árabes, que generalmente
contaban con cielos despejados al navegar el Golfo Pérsico y el Océano Índico tardaron más en adoptar
este instrumento.
Declinación Magnética
Los Polos Norte y Sur Magnéticos del planeta no coinciden con los polos Norte y
Sur Geográficos (que son los polos definidos por el eje a través del cual la Tierra realiza
su movimiento de rotación). Además los polos magnéticos varían su posición a lo largo
del tiempo. Al ángulo que se forma entre el Polo Norte Geográfico y el Polo Norte
Magnético en un determinado lugar se lo denomina declinación magnética del lugar y se
lo representa con la letra griega δ. La declinación magnética se considera occidental y
con signo negativo si el Norte Magnético se ubica al oeste (a la izquierda) del Norte
Geográfico y oriental y de signo positivo en caso contrario.
Nmg. Ngeog. Ngeog. Nmag.
δ- δ+
Figura 50: Declinación magnética
occidental o negativa
Figura 51: Declinación magnética oriental
o positiva
55
El valor de la declinación magnética varía con el tiempo (recuérdese que los
polos norte y sur magnéticos se está desplazando constantemente) y también varía en el
espacio para un mismo momento. En la Figura 52 y en la Figura 53 se han representado
los polos geográficos y magnéticos en el planeta para un momento dado. Se observa en
la Figura 52 que la declinación magnética de dos puntos ubicados sobre un mismo
meridiano terrestre varía con la latitud. El punto ubicado más al Norte (A) presenta una
declinación mayor (el ángulo comprendido entre las direcciones del Norte Magnético y
Geográfico es mayor). En la Figura 53 puede verse que la declinación magnética de dos
puntos ubicados sobre un mismo paralelo varía con la longitud. El punto ubicado más al
Oeste (A) presenta una declinación mayor. Las declinaciones que presenten estos puntos
en dicho momento no se mantendrán en el tiempo ya que como se dijo previamente los
polos magnéticos se van desplazando y por lo tanto el ángulo entre N Geog y N Magn
variará (variará la declinación δ).
PN Geog PN Geog
PN Mag PN Mag
A
A B
B
PS Mag PS Mag
PS Geog PS Geog
Figura 52
Figura 53
La declinación magnética varía a lo largo del tiempo siguiendo parámetros
seculares, anuales, mensuales y diarios. La variación secular se debería a una rotación
continua y uniforme del eje magnético alrededor del geográfico que demanda un período
de 740 años siguiendo una ley sinusoidal. Las variaciones anuales tendrían relación con
el número de manchas solares. La variación diaria no es constante siendo mayor en
verano que en invierno.
También existen variaciones locales debidas a la presencia de yacimientos
ferromagnéticos en las proximidades o elementos metálicos como construcciones de
hierro, torres de alta tensión, columnas de alumbrado eléctrico e inclusive elementos
metálicos pequeños que puede portar el operador como anillos y llaves.
Para conocer la declinación magnética de un lugar y debido a que los polos
magnéticos están constantemente en movimiento se elaboran periódicamente (cada 5
años, en los años terminados en 0 y 5) cartas que unen con isolíneas puntos que poseen
la misma declinación magnética. A dichas líneas se las denomina isógonas y se las
representa con trazo continuo. En dichas cartas se superponen líneas que unen puntos de
igual variación anual de la declinación llamadas líneas isóporas representadas con trazo
56
discontinuo. Con la ayuda de estas cartas es posible determinar la declinación magnética
en un determinado lugar y para una determinada fecha. Dichas cartas son llamadas
cartas magnéticas.
-9’
La Plata
-8’
-3º -7’
-2º
-1º
Figura 54: Carta magnética para el 1 de enero de 2000 para la ciudad de La Plata
A continuación se analizará como puede determinarse la declinación magnética
de un determinado lugar para una determinada fecha. Deben realizarse mediciones con
brújula el 15 de abril de 2004 en la ciudad de La Plata. Se desea conocer la declinación
magnética de dicho lugar para esa fecha y se recurre a la carta magnética de la Figura
54. En dicha carta pueden verse las líneas isógonas cuyos valores indican qué
declinación magnética existía el 1 de enero de 2000 (fecha en que fue confeccionada la
carta). Se observa que en la ciudad de La Plata la declinación magnética en esa fecha era
de entre –2º y –3º (declinación occidental o negativa es decir el norte magnético a la
izquierda del geográfico). El valor exacto de declinación magnética debe ser calculado
por interpolación. Uniendo con una línea perpendicular (que pase por La Plata) a ambas
isógonas se determina la distancia que las separa, supóngase 5cm. Se determina a
continuación la distancia desde la isógona más cercana (-2º) a La Plata, supóngase 1cm.
A continuación se realiza la interpolación:
si en 5cm la declinación varía --------------- 1º
en 1cm variará---------------------------------- 𝑥 =1𝑐𝑚 . 1°
5𝑐𝑚= 0,2° = 12′
Por lo tanto la declinación magnética en La Plata el 1 de enero de 2000 fue de –
2º 12’. Si se observa la carta puede verse que la ciudad de La Plata se encuentra más
cerca de la isógona –2º que de la de –3º por lo tanto resulta lógico que su valor sea más
parecido al valor de la primera.
Se ha determinado la declinación magnética de La Plata para el 01/01/2000 pero
interesa conocer la declinación magnética para el 15/04/2004. Debe recurrirse a la
información suministrada por las líneas isóporas. De manera similar se observa que para
La Plata la variación anual de la declinación magnética es entre –8’ y –9’. El valor
exacto de variación anual de la declinación debe ser calculado también por
interpolación. Uniendo con una línea perpendicular (que pase por La plata) a ambas
57
isóporas se determina la distancia que las separa, supóngase 6cm. Se determina a
continuación la distancia desde la isópora más cercana (-8’) a La Plata, supóngase
1,3cm. A continuación se realiza la interpolación:
Si en 6cm la variación anual de la declinación es ------ 1’
En 1,3cm será------------------------------------------------- 𝑥 =1𝑐𝑚 . 1′
6𝑐𝑚= 0,216′ = 13
′′
𝑎ñ𝑜
Por lo tanto la variación anual de la declinación magnética para La Plata es de
–8’13’’. Si se observa la carta puede verse que la ciudad de La Plata se encuentra más
cerca de la isópora –8’ que de la de –9’ por lo que resulta lógico que su valor sea más
parecido al valor de la primera. Se ha obtenido la variación anual de la declinación, es
decir cuánto varió la declinación por año desde enero de 2000. Para conocer la variación
total acumulada es necesario multiplicar la variación anual por el número de años
transcurridos. Al 15/04/2004 desde el 01/01/2000 han transcurrido 4 años, 3 meses y 14
días que transformándolos en fracciones de año son 4 + 3/12 + 14/365 = 4,288 años. La
variación acumulada por lo tanto será de –8’13’’/año . 4,288 años = -0º35’14’’.
Finalmente a la declinación magnética del 01/01/2000 se le suma la variación acumulada
(con su respectivo signo) y se determina la declinación magnética de La Plata para el
15/04/2004.
δ = -2º12’ + (-0º35’14’’) = -2º47’14’’
58
EFECTO DE LA CURVATURA TERRESTRE EN PLANIMETRÍA
Supóngase que se realiza la medición de una distancia AB con un instrumento
electrónico de medición de distancias (IEMD). En este tipo de mediciones se coloca el
distanciómetro en uno de los puntos (A) y en el otro (B) se coloca un prisma reflector en
forma vertical. Como consecuencia de la curvatura de la Tierra existen diferencias entre
la distancia medida y la distancia real. La distancia medida será AB’ siendo la distancia
real que debería haberse medido AB.
A S s B’
tangente a la Tierra en A
S
B
R superficie terrestre
R
C
Figura 55: Efecto de la curvatura terrestre en planimetría
A la distancia AB verdadera se la denomina S. Esa misma distancia puede
trasladarse al plano tangente en A y observarse que la distancia verdadera es menor a la
medida AB’. La diferencia entre estas dos distancias constituye el error cometido debido
al efecto de la curvatura en planimetría denominado s.
Por trigonometría
tan 𝛼 =𝑆 + ∆𝑠
𝑅 (1)
Como el ángulo es muy pequeño (el gráfico se ha exagerado con el fin de una
mejor visualización) se cumple que
𝛼𝑟𝑎𝑑 = tan 𝛼 = sin 𝛼 =𝑆
𝑅 (2)
Por desarrollo de Taylor se tiene que
tan 𝛼 = 𝛼 +𝛼3
3+
𝛼5
5+ ⋯ +
𝛼𝑛
𝑛 (3)
Los términos que siguen a 3 / 3 pueden despreciarse por ser sus valores muy
pequeños por lo que:
59
tan 𝛼 = 𝛼 +𝛼3
3 (4)
Reemplazando a por S/R según la ecuación 2 queda:
tan 𝛼 =𝑆
𝑅+
𝑆3
3𝑅3 (5)
Igualando 1 y 5 se obtiene:
𝑆 + ∆𝑠
𝑅=
𝑆
𝑅+
𝑆3
3𝑅3 (6)
𝑆
𝑅+
∆𝑠
𝑅=
𝑆
𝑅+
𝑆3
3𝑅3
∆𝑠
𝑅=
𝑆3
3𝑅3
∆𝑠 =𝑆3
3𝑅2
En la Tabla 11 se visualiza cual es el error en planimetría debido a la curvatura
para distintas distancias S considerando el radio medio de la Tierra como 6370km.
S (km) s
100 8,21m
10 0,82cm
1 0,0085mm
Tabla 11: Error por curvatura en planimetría
El error cometido en planimetría en una distancia de 1km es menor a 1mm y
resulta sensiblemente inferior a la Tolerancia que se tendría al medir ese lado igual a
𝑇 𝑚 = ±0,015. 0,3.1000𝑚 + 0,0005(1000𝑚)2 = 0,42𝑚
Para 10km se tiene que T = 3,45m y s = 0,82cm
Para 100km se tiene que T = 33,64m y s = 8,21m
Puede verse que aún en distancias importantes el error por curvatura en
planimetría es despreciable y no supera la tolerancia en la medición de la distancia en
cuestión.
60
MÉTODOS PLANIMÉTRICOS
Los métodos planimétricos son los métodos que permiten obtener las
coordenadas de un punto a partir de las coordenadas conocidas de otros puntos y de
mediciones de distancias o ángulos entre los puntos incógnita y los puntos dato.
Un punto en el plano puede ser definido mediante dos tipos de coordenadas:
cartesianas ortogonales y polares.
X=N
XP P
M
XM
XQ Q
0
YM YQ YP
Y=E
Figura 56: Ubicación de puntos por coordenadas rectangulares y polares
En la Figura 56 pueden verse los puntos M, P y Q que se han ubicado en el plano
por los dos sistemas de coordenadas mencionados. Los resultados de dicha ubicación se
han volcado en la Tabla 12.
Coordenadas rectangulares Coordenadas polares
Punto X Y Azimut Distancia
Q 50 100 63º26’06’’ 111,80m
M 100 50 26º33’54’’ 111,80m
P 150 150 45º00’00’’ 212,13m
Tabla 12: Coordenadas cartesianas rectangulares y coordenadas polares de los puntos El creador del sistema de coordenadas rectangulares fue el francés René Descartes (Figura 57).
Se dice que Descartes se encontraba en su estudio cuando observó una mosca volando cerca de un ángulo
de su habitación y pensó que conociendo la distancia de la mosca a cada una de las paredes podía definir
su posición en cada instante. Antiguamente los nombres eran traducidos y el de Descartes fue latinizado
como Renatus Cartesius (también al italiano se lo tradujo como Cartesio). De allí tomó el nombre el
sistema de coordenadas por él propuesto.
Figura 57: René Descartes (o Renatus Cartesius)
61
Los métodos planimétricos pueden clasificarse en tres grandes grupos
-Triangulación y trilateración
-Poligonación
-Radiación y Detalles
Triangulación y trilateración
Estos métodos son utilizados para darle coordenadas con mucha precisión a
puntos que más tarde se emplearán como puntos de arranque para las operaciones de
poligonación y radiación. Consisten en resolver los elementos de un triángulo a partir de
conocer los restantes.
Triángulación
Se fundamentan en la resolución de triángulos a partir de la medición de sus
ángulos.
Intersección directa o hacia adelante
Dado un triángulo ABP, donde se conocen las coordenadas planas X e Y de los
puntos A y B, se desea conocer las coordenadas del punto P. Se miden los ángulos y
desde los puntos A y B respectivamente (Figura 58).
P
A
B
Figura 58: Intersección directa
Por lo tanto
Datos: XA, YA, XB, YB
Mediciones: ,
Incógnitas (a calcular): XP, YP
Ejemplo
Se conocen las coordenadas de dos puntos A y B
X Y
A 15000,00 15000,00
B 11238,00 25337,00
Tabla 13: Datos de una Intersección directa
62
Se midieron los ángulos (en A) : 48°10’13’’ y (en B) : 68°55’30’’
Se desea conocer las coordenadas del punto P que se encuentra a la izquierda del
lado (yendo de A hacia B).
Inicialmente se realiza un croquis que permita identificar la posición aproximada
del punto P (Figura 59).
Figura 59: Croquis de la Intersección directa
Nótese la importancia de la aclaración del problema que indica que el punto P se
encuentra a la izquierda del lado (yendo de A hacia B). Si no se tuviese ese dato
adicional, con las coordenadas de A y B y con las mediciones de y existen dos
soluciones posibles para la posición del punto P que se observan en la Figura 60 como
puntos P y P’. Yendo de A hacia B el punto P’ queda a la derecha y no a la izquierda.
Figura 60: Croquis de la Intersección: dos posibles soluciones para la ubicación de P
El primer paso consiste en calcular la distancia entre A y B por Pitágoras (Figura
59).
𝐴𝐵 = ∆𝑋𝐴𝐵2 + ∆𝑌𝐴𝐵
2 = 11000,28m
El segundo paso consiste en determinar el Azimut de A hacia B también con las
coordenadas de los puntos. Para ello se esboza un croquis con la ayuda de las
coordenadas de A y B que permite estimar en que valores oscilará el Acimut. Puede
verse que el azimut adoptará un valor comprendido entre 90 y 180º ya que la coordenada
XA es mayor que la XB y la YA es menor que la YB. Se puede calcular el ángulo
(Figura 61) y luego por diferencia con 180º determinar el AzAB.
tan 𝛼 =∆𝑌𝐴𝐵
∆𝑋𝐴𝐵
XA
XB B
A
YA YB
∆XAB
∆YAB
P
XA
XB B
A
YA YB
P
P’
’ ’
63
𝛼 = tan−1∆𝑌𝐴𝐵
∆𝑋𝐴𝐵
= 70º 00’ 06’’
AzAB = 180º - = 180°-70º 00’ 06’’
AzAB = 109°59’54’’
Figura 61: Cálculo del acimut cuando queda comprendido en el segundo cuadrante
Si por coordenadas el acimut queda comprendido en el primer cuadrante (acimut
de 0 a 90°) la expresión de cálculo del acimut será (Figura 62):
tan 𝛼 =∆𝑌𝐴𝐵
∆𝑋𝐴𝐵
𝛼 = tan−1∆𝑌𝐴𝐵
∆𝑋𝐴𝐵
AzAB = 𝛼
Figura 62: Cálculo del acimut cuando queda comprendido en el primer cuadrante
Si por coordenadas el acimut queda comprendido en el tercer cuadrante la
expresión de cálculo del acimut será (Figura 63):
tan 𝛼 =∆𝑌𝐴𝐵
∆𝑋𝐴𝐵
= AzAB
YAB
AzAB = 180 -
XA
XB B
A
YA YB
∆XAB
∆YAB
XA
XB
A
B
YA YB
∆XAB
64
𝛼 = tan−1∆𝑌𝐴𝐵
∆𝑋𝐴𝐵
AzAB = 180 + 𝛼
Figura 63: Cálculo del acimut cuando queda comprendido en el tercer cuadrante
Si por coordenadas el acimut queda comprendido en el cuarto cuadrante la
expresión de cálculo del acimut será (Figura 64):
tan 𝛼 =∆𝑌𝐴𝐵
∆𝑋𝐴𝐵
𝛼 = tan−1∆𝑌𝐴𝐵
∆𝑋𝐴𝐵
AzAB = 360 − 𝛼
Figura 64: Cálculo del acimut cuando queda comprendido en el cuarto cuadrante
Volviendo a la resolución de la intersección directa, el tercer paso consiste en
calcular el acimut de A hacia P (AzAP).
Conocido el AzAB puede calcularse el AzAP como (Figura 65)
AzAP = AzAB -
AzAP = 109°59’54’’- 48°10’13’’= 61°49’41’’
AzAB = 180 + YAB
AzAB = 360 -
XA
XB
A
B
YA YB
∆XAB
∆YAB
XA
XB
A
B
YA YB
∆XAB
65
Figura 65: Cálculo del AzAP
El cuarto paso consiste en calcular la distancia AP para lo cual debe determinarse
el ángulo comprendido en P por diferencia con 180°.
= 180° − α − β
= 180° − 48°10’13’’ − 68°55’30’’ = 62°54′17′′
Aplicando el teorema del seno puede establecerse que:
sin
𝐴𝐵=
sin 𝛽
𝐴𝑃AP =
sin β. AB
sin =
𝑠𝑖𝑛68°55′30′′ . 11000,28𝑚
𝑠𝑖𝑛62°54′17′′= 11529,88𝑚
El quinto y sexto paso consiste en calcular las proyecciones XAP y YAP a partir
del AzAP y la distancia que separa ambos puntos.
XAP = AP . cos AzAP y YAP = AP . seno AzAP
XAP = 11529,88m . cos 61°49’41’’ y YAP = 11529,88m.seno 61°49’41’’
XAP = 5443,49m y YAP = 10163,98m
Los pasos séptimo y octavo consisten en determinar las coordenadas XP e YP a
partir de las coordenadas de A y las proyecciones calculadas.
XP = XA + XAP e YP = YA + YAP
XP = 15000m + 5443,49m e YP = 15000m + 10163,98m
XP = 20443,49m e YP = 25163,98m
Comprobación de los resultados
Como en la resolución de las coordenadas de P se realizan numerosos pasos
matemáticos es aconsejable realizar la comprobación de que no se han cometido
equivocaciones en los mismos. Para ello se calculan las coordenadas de P a partir del
punto B que es el otro punto de coordenadas conocidas. Los pasos a realizar son los
mismos.
El primer paso consistiría en calcular la distancia entre A y B (con el mismo
procedimiento).
XA
XB B
A
YA YB
∆XAB
∆YAB
P
AzA→P
66
𝐴𝐵 = ∆𝑋𝐴𝐵2 + ∆𝑌𝐴𝐵
2 = 11000,28m
El segundo paso consiste en determinar el Azimut de B hacia A que queda
comprendido en el cuarto cuadrante.
tan 𝛼 =∆𝑌𝐵𝐴
∆𝑋𝐵𝐴
𝛼 = tan−1∆𝑌𝐵𝐴
∆𝑋𝐵𝐴
= 70º 00’ 06’’
AzBA = 360º - = 360°-70º 00’ 06’’
AzBA = 289°59’54’’
Figura 66: Comprobación. Cálculo del AzBA
Puede verse que el AzBA difiere en 180° del AzAB.
El tercer paso de la comprobación consiste en calcular el acimut de B hacia P
(AzBP).
Conocido el AzBA puede calcularse el AzBP como (Figura 67)
AzBP = AzBA +
AzAP = 289°59’54’’ + 68°55’30’’ = 358°55’24’’
Figura 67: Cálculo del AzBP
AzBA = 360 -
XA
XB B
A
YA YB
∆XBA
∆YBA
XA
XB B
A
YA YB
AzB→P
P
67
El cuarto paso consiste en calcular la distancia BP conociendo el ángulo
comprendido en P. Aplicando el teorema del seno puede establecerse que:
sin
𝐴𝐵=
sin 𝛼
𝐵𝑃BP =
sin α. AB
sin =
𝑠𝑖𝑛 48°10′13′′ . 11000,28𝑚
𝑠𝑖𝑛 62°54′17′′= 9207,12𝑚
El quinto y sexto paso consiste en calcular las proyecciones XBP y YBP a partir
del AzBP y la distancia que separa ambos puntos.
XBP = BP . cos AzBP y YBP = BP . seno AzBP
XBP = 9207,12m . cos 358°55’24’’ y YBP = 9207,12m . seno 358°55’24’’
XBP = 9205,49m y YBP = -173,00m
Los pasos séptimo y octavo consisten en determinar las coordenadas XP e YP a
partir de las coordenadas de B y las proyecciones calculadas.
XP = XB + XBP e YP = YB + YBP
XP = 11238,00m + 9205,49m e YP = 25337,00m + (-173,00m)
XP = 20443,49m e YP = 25164,00m
Las coordenadas XP e YP calculadas desde el punto B resultan iguales a las
obtenidas a partir del punto A lo que confirma que no se han cometido equivocaciones
en los cálculos. Existe una diferencia de 2cm en el cálculo de la coordenada YP debida a
errores de redondeo.
Problema
Se efectuó una intersección hacia adelante a partir de los puntos A y B que
poseen las coordenadas que se muestran en Tabla 14.
X Y
A 1000,00 1000,00
B 1500,00 500,00
Tabla 14: Datos de una Intersección directa
Se midieron los ángulos (en A) : 55°13’12’’ y (en B) : 38°42’27’’
Se desea conocer las coordenadas del punto P que se encuentra a la izquierda del
lado (yendo de A hacia B).
Rta: XP: 921,36m YP: 563,81m
Intersección lateral
Dado un triángulo ABP, donde se conocen las coordenadas planas X e Y de los
puntos A y B y se desean conocer las coordenadas del punto P, se miden los ángulos y
desde los puntos A y P respectivamente. Por ser B un punto inaccesible (ej. torre de un
68
molino, cruz de una iglesia) no es posible estacionar un instrumento en dicho punto para
medir por lo tanto se mide desde P y se consiguen los tres elementos mínimos del
triángulo necesarios para poder resolverlo (Figura 68).
P
A
B
Figura 68: Intersección lateral
El modo de proceder para hallar las coordenadas de P es similar al de
intersección directa
Problema
Se efectuó una intersección lateral a partir de los puntos A y B
X Y
A 10000,00 10000,00
B 4746,71 26167,96
Tabla 15: Datos de una Intersección lateral
Se midieron los ángulos (en A) : 29°00’00’’ y (en P) : 115°20’00’’
Se desean conocer las coordenadas del punto P que se encuentra a la izquierda
del lado (yendo de A hacia B)
Rta: XP: 12092,56m YP: 20765,31m
Intersección inversa, hacia atrás o Pothenot
Conociendo las coordenadas X e Y de tres puntos A, B y C se determinan las
coordenadas incógnitas de un punto P midiendo sobre dicho punto los ángulos entre A y
B y entre B y C (Figura 69).
Por lo tanto
Datos: XA, YA, XB, YB, XC, YC
Mediciones: ,
Incógnitas (a calcular): XP, YP
69
B
C
A
P
Figura 69: Intersección inversa o Pothenot
Su resolución analítica es larga y compleja por lo que no se analizará.
Hansen Conocidas las coordenadas de dos puntos A y B se desea averiguar las
coordenadas de dos puntos Q y R para lo cual se miden dos ángulos desde cada punto
incógnita según muestra la Figura 70.
A
B
R
Q
Figura 70: Hansen
Por lo tanto
Datos: XA, YA, XB, YB
Mediciones: , , ,
Incógnitas (a calcular): XQ, YQ, XR, YR
Su resolución analítica es larga y compleja por lo que no se analizará.
Trilateración
Se fundamenta en la resolución de triángulos a partir de la medición de sus lados.
Este método ha ido relegando a los métodos de triangulación desde el advenimiento de
los Instrumentos Electrónicos de Medición de Distancias (IEMD) de gran precisión en la
determinación de distancias. Antiguamente la precisión en la medición angular superaba
a la precisión en la medición de distancias (que se realizaba con cinta). Cuando
70
aparecieron los IEMD se revirtió esta situación recurriéndose a partir de entonces a la
medición de distancias.
P
B
A
Figura 71: Trilateración
Datos: XA, YA, XB, YB
Mediciones: AP, BP
Incógnitas (a calcular): XP, YP
Ejemplo
Se conocen las coordenadas de dos puntos A y B
X Y
A 8938,37 27209,57
B 13500,00 17200,00
Tabla 16: Datos de una trilateración
Se midieron los lados AP: 7600m y BP: 7000m
Se desean conocer las coordenadas del punto P que se encuentra a la derecha del
lado (yendo de A hacia B).
Inicialmente se realiza un croquis del problema planteado. El punto A está por
debajo de B (en función de las coordenadas X de ambos puntos) y más a la derecha (en
función de las coordenadas Y de ambos puntos). El acimut de B hacia A quedará
comprendido en el segundo cuadrante. El punto P por estar a la derecha del lado AB
(yendo de A hacia B) quedará en el sector opuesto al origen de coordenadas.
Figura 72: Croquis de la trilateración
XA
XB
A
B
YA YB
∆XAB
∆YAB
P
71
El primer paso consiste en calcular la distancia entre A y B por Pitágoras (Figura
72).
𝐴𝐵 = ∆𝑋𝐴𝐵2 + ∆𝑌𝐴𝐵
2 = 11000,00m
En el segundo paso se calcula el Azimut de B hacia A con la ayuda de la Figura
73 en el que puede verse que el AzBA adoptará un valor entre 90 y 180º. Se puede
calcular el ángulo y luego por diferencia con 180° el AzBA.
tan 𝛼 =∆𝑌𝐴𝐵
∆𝑋𝐴𝐵
𝛼 = tan−1∆𝑌𝐴𝐵
∆𝑋𝐴𝐵
= 65º 30’ 00’’
AzBA = 180º - 114°30’00’’
AzBA = 114°30’00’’
Figura 73: Cálculo del Az BA
El tercer paso consiste en determinar el ángulo (ángulo en el vértice B). Dicho
ángulo puede determinarse con el teorema del coseno (Figura 74) ya que se trata de un
triángulo del que se conocen los tres lados y ningún ángulo.
𝑃𝐴2 = 𝐵𝑃2 + 𝐵𝐴2 + 2. 𝐵𝑃. 𝐵𝐴. cos 𝛽
𝛽 = cos−1𝐵𝑃2 + 𝐵𝐴2 − 𝑃𝐴2
2. 𝐵𝑃. 𝐵𝐴
= 43°12’42’’
XA
XB
A
B
YA YB
AzBA
72
Figura 74: Cálculo de y del AzBP
El cuarto paso consiste en determinar el AzBP para poder calcular las
proyecciones (XBP y YBP). Para determinar el AzBP se le debe restar al AzBA el
ángulo (Figura 74).
AzBP = AzBA -
AzBP = 71° 17’19’’
Conociendo el AzBP y conociendo la distancia entre ambos puntos pueden
calcularse las proyecciones X y Y
XBP = BP . cos AzBP y YBP = BP . seno AzBP
XBP = 7000m . cos 71°17’19’’ y YBP = 7000m . seno 71°17’19’’
XBP = 2245,61m y YBP = 6630,03m
Finalmente las coordenadas X e Y de P serán:
XP = XB + XBP e YP = YB + YBP
XP = 13500m + 2245,61m e YP = 17200m + 6630,03m
XP = 15745,61m e YP = 23830,03m
Finalmente, debería realizarse la comprobación de los cálculos efectuados. Para
ello se debería calcular las coordenadas de P a partir de las coordenadas de A. Debería
hallarse inicialmente el AzAB (que resultará 180° superior al AzBA, es decir 294°30’).
A continuación se debe hallar el ángulo en el vértice A por medio del teorema del
coseno (39°05’50’’). Para hallar el AzAP al AzAB se le debe adicionar el ángulo
(333°35°50’’). Finalmente, a partir del AzAP y de la distancia AP pueden calcularse las
proyecciones XAP (6807,25) y YAP (-3379,56) que sumadas a las coordenadas del
punto A darán las coordenadas del punto P.
Problema
Se efectuó una trilateración a partir de los puntos A y B
XA
XB
A
B
YA YB
∆XAB
∆YAB
P
AzBP
73
X Y
A 2500,00 2500,00
B 2000,00 2200,00
Tabla 17: Datos de una trilateración
Se midieron las distancias AP : 455,03m y BP: 515,78m
Se desean conocer las coordenadas del punto P que se encuentra a la izquierda
del lado (yendo de B hacia A)
Rta: XP: 2491,95m YP: 2045,04m
Poligonación
Consiste en determinar las coordenadas de varios puntos que pertenecen a un
polígono a partir de uno o más puntos con coordenadas conocidas y medición simultánea
de ángulos y lados. Generalmente se toman como puntos de partida de coordenadas
conocidas a aquellos a los que se les ha asignado coordenadas por triangulación.
La poligonal puede ser cerrada o abierta geométricamente.
Poligonal cerrada
Se parte de un punto de coordenadas conocidas (A), se miden distancias(AB, BC,
CD, DA) y ángulos(, , , ) entre los puntos de la poligonal así también como un
azimut de partida (AzAB). Se determinan las proyecciones y las coordenadas de los
puntos y puede determinarse también la superficie del polígono. Nótese que al partir de
un punto de coordenadas conocidas y llegar nuevamente a ese punto (mediante la
medición de lados y ángulos) puede determinarse el error cometido que será igual a
𝑒𝑇 = 𝑒𝑋2 + 𝑒𝑌2. El método de poligonal cerrada se encuentra desarrollado en el
capítulo “Planilla de cálculo de coordenadas y superficie”.
Problema
De un polígono de 4 lados, se conocen las coordenadas del punto A (XA
1000,00; YA 1000,00) y se midieron los lados y ángulos que se detallan en las Tablas
18.
Lado Medida Ángulo Valor
AB 105,90 (vértice A) 78°7’48’’
BC 71,84 (vértice B) 74°59’30’’
CD 71,20 (vértice C) 118°01’44’’
DA 87,26 (vértice D) 88°50’58’’
Tablas 18: Lados y ángulos medidos en la poligonal cerrada ABCD
El AzAB fue medido con una brújula arrojando un valor de 204°30
Calcular las coordenadas de los puntos B, C y D y determinar la superficie del
polígono.
74
Rta:
B C D
X 903,63 949,32 1019,10
Y 956,09 900,67 914,84
Tabla 19: Coordenadas de B, C y D resultantes
Superficie: 6779,5959m2
Poligonal abierta El procedimiento es similar al de poligonal cerrada con la diferencia que no se
vuelve al punto de partida sino que se llega a otro punto que puede o no tener
coordenadas conocidas. Si el punto de llegada tiene coordenadas conocidas la poligonal
será abierta geométricamente y cerrada en cuanto a su error de cierre ya que permite
calcular el mismo y determinar si supera el error máximo aceptable (tolerancia). Si el
punto de llegada no tiene coordenadas conocidas la poligonal será abierta
geométricamente y abierta en cuanto a su error de cierre ya que no se puede calcular y
comparar con la tolerancia.
Ejemplo
Dados dos puntos de coordenadas conocidas A y B y tomando el lado AB como
base de partida, se efectuó una poligonal abierta formada por 4 puntos más (C a F). Se
midieron los lados y ángulos necesarios para resolverla (Figura 75)
A F
C
E
B D
Figura 75: Poligonal abierta
X Y
A 1000,00 1000,00
B 500,00 1000,00
Tabla 20: Datos de la Poligonal abierta
75
BC CD DE EF
372m 457m 158m 172m
Tabla 21: Medición de lados en la poligonal abierta
45° 260° 85° 160°
Tabla 22: Medición angular en la poligonal abierta
De la Figura 75 y de los valores angulares y de distancias medidos se puede
apreciar que el ángulo de 45° es el AzBC ya que el lado BA está en la dirección del
Norte por poseer A y B idéntica coordenada Y.
Los azimutes siguientes pueden ser calculados utilizando la siguiente regla
(Figura 76):
Az siguiente = Az anterior + ángulo - 180
C Az CD
Az BC
360º -
B D
Figura 76: Cálculo del Az CD
AzCD = AzBC + 180 – (360º - )
AzCD = AzBC + - 180
AzCD = 45º + 260º - 180º
AzCD = 125º
AzDE = AzCD + - 180
AzCD = 125º + 85º - 180º
AzCD = 30º
AzEF = AzDE + - 180
AzEF = 30º + 160º - 180º
AzEF = 10º
76
Obtenidos los azimutes de todos los lados y las distancias de los mismos pueden
calcularse las proyecciones X y Y.
Para el lado BC el cálculo es:
XBC = cos Az BC . AB
XBC = cos 45º . 372m
XBC = cos 45º . 372m
XBC = 263,04m
YBC = seno Az BC . AB
YBC = seno 45º . 372m
YBC = seno 45º . 372m
YBC = 263,04m
Y las coordenadas de C serán:
XC = XB + XBC
XC = 500m + 263,04m
XC = 763,04m
YC = YB + YBC
YC = 1000m + 263,04m
YC = 1263,04m
Teniendo las coordenadas de C y todos los azimutes y distancias restantes es
posible hallar las coordenadas de los otros puntos con una metodología análoga (Tabla
23).
Rta:
D E F
X 500,92 637,75 807,14
Y 1637,39 1716,39 1746,26
Tabla 23: Coordenadas resultantes de los puntos D, E y F
Se han obtenido las coordenadas de F, último punto de la poligonal, pero al no
ser un punto de coordenadas conocidas no puede calcularse cual ha sido el error al
efectuar las mediciones. Se trata por lo tanto de una poligonal abierta en cuanto a su
error de cierre.
Si en cambio el punto F hubiese tenido coordenadas conocidas, por ejemplo XF:
807,29m e YF: 1746,10m, podría calcularse el error y se trataría de una poligonal abierta
geométricamente pero cerrada en cuanto a su error de cierre ya que es posible calcular el
mismo.
El eX será
eX = XFverdadero – XFcalculado = 807,29m – 807,14m = 0,15m
77
y el eY
eY = YFverdadero – YFcalculado = 1746,26m – 1746,10m = 0,16m
El error total puede calcularse por el teorema de Pitágoras
𝒆𝑻 = ∆𝑿𝟐 + ∆𝒀𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟓𝟐 + 𝟎, 𝟏𝟔𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟐𝒎
El error total debe compararse con el error máximo admisible que se puede
cometer (tolerancia):
𝑻 𝒎 = ±𝟎, 𝟎𝟏𝟓. 𝟎, 𝟑𝑳 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓𝑳𝟐
Siendo L la distancia total recorrida L = BC + CD + DE +EF = 1159m
Entonces T = 0,48m
Como el error total cometido es menor al error máximo admisible (tolerancia) las
mediciones se toman como válidas y pueden corregirse las coordenadas calculadas.
Problema
Se efectuó una poligonal abierta partiendo de un punto A de coordenadas
conocidas midiendo lados, ángulos y un azimut de arranque (Az AB) y llegando a un
punto E de coordenadas conocidas. Se anexan los datos en la Tabla 24
Lado Ángulo
AB 268,73 (B) 90
BC 189,65 (C) 260
CD 227,49 (D) 97
DE 189,68
Tabla 24: Medición lineal y angular en la poligonal abierta
XA: 2500,00m YA: 3000,00m Az AB: 95º
Calcular las coordenadas de los puntos B, C, D y E. Si las coordenadas del punto
E fuesen conocidas e iguales a XE: 2874,63 e YE: 3517,32 calcular el error total y
determinar si entra en tolerancia.
Rta:
B C D E
X 2476,58 2665,51 2685,33 2874,90
Y 3267,71 3284,24 3510,86 3517,48
Tabla 25: Coordenadas resultantes de los puntos B, C, D y E
eT: 0,31m T: 0,38 (entra en tolerancia, deberían corregirse las coordenadas de
B, C y D)
78
Radiación y Detalles
En estos métodos planimétricos se toman como puntos de partida de coordenadas
conocidas aquellos puntos que se han obtenido por triangulación o poligonación.
Radiación
Consiste en medir distancias y ángulos hacia puntos de coordenadas incógnita
con respecto a un punto E (estación) de coordenadas conocidas. El ángulo que se mide
es el azimut por lo que se tienen azimutes y distancias desde un punto de coordenadas
conocidas a varios puntos de coordenadas incógnita. Debido a esto pueden calcularse las
proyecciones X y Y entre punto dato (punto estación) y punto incógnita.
Datos: XE, YE
Mediciones: Distancias: EA, EB, EC, ED, EF y Acimutes: AzEA, AzEB,
AzEC, AzED, AzEF
Incógnitas (a calcular): -XA, YA, XB, YB, XC, YC, XD, YD, XF, YF
-Ángulos internos, , , , ,
-Superficie del polígono
N
F
D
A
E
C
B
Figura 77: Radiación
Teniendo las coordenadas del punto E, las distancias hacia los puntos y los
azimutes correspondientes pueden calcularse las proyecciones y luego las coordenadas
de los puntos. Suponiendo (Figura 77) que se conocen las coordenadas del punto E (XE:
1000,00 YE: 1500,00), y con la medición de la distancia EA: 200m y el acimut AzEA:
45º.
XEA = cos 45º . 200m = 141,42m y
XA = XE + XEA = 1000,00 + 141,42 = 1141,42m
YEA = seno 45º . 200m = 141,42m e
79
YA = YE + YEA = 1000,00 + 141,42 = 1141,42m
De forma análoga pueden determinarse las coordenadas X, Y del resto de los
puntos.
Obtenidas las coordenadas del resto de los puntos, el polígono ha quedado
dividido en varios triángulos de los cuales pueden calcularse los ángulos internos
utilizando el teorema del coseno o del seno (se puede obtener por diferencia de acimutes
un ángulo de cada triángulo que es el ángulo en E). De utilizarse el teorema del coseno
de cada triángulo se poseen dos lados que fueron medidos (para el triángulo EAB se
midió EA y EB) y el tercer lado (AB) puede determinarse por el teorema de Pitágoras ya
que se determinaron previamente las coordenadas X e Y de cada punto.
Por último la superficie del polígono puede determinarse por el método de los
trapecios (ver “Cálculo de superficies”) o por el teorema de Herón calculando la
superficie de cada uno de los triángulos y luego sumándolas.
𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑝. 𝑝 − 𝐴𝐵 . 𝑝 − 𝐵𝐶 . (𝑝 − 𝐶𝐴)
donde p = semiperímetro del triángulo
𝑝 =𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴
2
Problema
Se efectuó una radiación haciendo estación en un punto E de coordenadas
conocidas (XE: 1030,64m, YE: 1025,71m). Se midieron los lados y acimutes arrojando
los valores que se muestran en la Tabla 26.
Acimutes Distancias
EA 40 EA 30
EB 120 EB 40
EC 170 EC 35
ED 220 ED 27
EF 330 EF 33
Tabla 26: Acimutes y distancias medidos en la radiación
Calcular las coordenadas de los puntos, y la superficie del polígono
Rta:
X Y
A 1053,62 1044,99
B 1010,64 1060,35
C 996,17 1031,79
D 1009,96 1008,35
F 1059,22 1009,21
Tabla 27: Coordenadas resultantes de los puntos A, B, C, D y F
Superficie: 2372,85m2
80
Levantamiento de detalles por coordenadas rectangulares
Consiste en determinar las distancias de puntos de coordenadas desconocidas con
respecto a un lado AB que se toma como eje de levantamiento.
B (Progresiva 75,25m)
N 72,38
66,56
55,73
55,56
Distancia al eje
Progresiva 22,03
A (Progresiva 0,00m)
Figura 78: Levantamiento de detalles por coordenadas rectangulares
Como se visualiza en la
Figura 78 se han tomado tres detalles cercanos al lado AB. A la derecha del lado se tomó
un árbol y una edificación y a la izquierda un árbol. Existen dos distancias desde cada
detalle al eje de levantamiento: la progresiva, que es la distancia desde el punto de
partida o progresiva 0 (punto A) al pie de la perpendicular del detalle en cuestión y la
distancia al eje que es la distancia desde el pie de la perpendicular al detalle. Mediante
el croquis aproximado que acompaña al levantamiento de detalles se puede identificar si
el detalle está a la izquierda o derecha del eje considerado así como la orientación del eje
de levantamiento con respecto al Norte.
La Intersección Directa en la guerra
Los métodos planimétricos fueron utilizados frecuentemente con fines bélicos. Napoleón
Bonaparte contaba en su ejército con topógrafos que determinaban (con ayuda de goniómetros) ángulos
que permitían calcular las distancias que separaban a sus tropas de las enemigas (Figura 79). Los
operadores medían los ángulos y desde los lugares que eran dominados por las tropas napoleónicas y
se determinaba la distancia NN’ a pasos. Con estos tres datos (, y NN’) se podían hallar las distancias
NE y N’E que resultaban fundamentales para dirigir los cañones de manera de acertar en el objetivo.
81
Figura 79: Napoleón Bonaparte utilizó la intersección directa en sus batallas. Midiendo
los ángulos y desde las posiciones de tropas Napoleónicas (N y N’) se determinaba
la distancia que los separaba del enemigo (E)
Red de Triangulación Fundamental Argentina
El IGM (Instituto Geográfico Militar) fue el organismo a cargo de la realización
de la malla fundamental de puntos con coordenadas conocidas de Argentina.
Figura 80: Red de Triangulación Fundamental Argentina
N
N’
E
82
Para ello se llevaron adelante tareas de triangulación de primer orden siguiendo
la dirección de paralelos y meridianos. Se realizó una gran malla formada por triángulos
con bases de 20 a 50km que iban de Norte a Sur (cadenas meridianas) siguiendo los
meridianos pares (62°, 64°, 66°, etc.) y de Este a Oeste (cadenas paralelas) siguiendo los
paralelos pares (24°, 26°, 28°, etc.). Las cadenas meridianas y paralelas pueden verse en
el mapa de Figura 80 marcadas con líneas intensas.
Las extensas superficies encerradas por estas cadenas meridianas y paralelas
fueron luego rellenadas por triangulaciones de primer orden llamadas mallas (Figura
81).
Figura 81: Cadenas de triangulación meridianas y paralelas(en línea contínua) y mallas
de relleno (en línea discontinua)
Con la triangulación de primer orden se obtuvieron las coordenadas de puntos
(puntos P1, Figura 82).
Figura 82: Densificación de la Red Fundamental
36°S
62°O
34°S
64°O
P2 P3
P3 P3 P3
P3 P3 P3
P3 P3
P3
P4 P1 P1
P3 P4
P3 P2
P2 P2 P2
P2
P2 P4
P1
P1
83
Posteriormente se la densificó mediante triángulos de segundo orden con algunos
de sus vértices comunes con los de primer orden y con lados de 10 a 20km (puntos P2).
A su vez, los triángulos de segundo orden son densificados con triángulos de tercer
orden (puntos P3) y puntos de cuarto orden mediante intersección inversa o Pothenot
(puntos P4) de manera de tener puntos no más distantes de 5km entre sí.
Finalmente, a partir de cada uno de estos triángulos de tercer y cuarto orden y
mediante métodos planimétricos como Poligonal abierta y cerrada y Radiación y
Detalles se determinan las coordenadas de puntos vecinos. En el triángulo de
Figura 83 a partir de dos puntos de coordenadas conocidas mediante triangulación de
tercer orden (P3) y un punto obtenido por intersección inversa (P4) se ha realizado una
poligonal cerrada (obteniendo las coordenadas de B, C y D), una poligonal abierta
(obteniendo F, G, E, H, I), una radiación en el punto E (obteniendo 1 a 11) y un
levantamiento por coordenadas rectangulares utilizando el lado HI (obteniendo 12 a 16).
Figura 83: Densificación de una triangulación de tercer y cuarto orden mediante una
poligonal cerrada, una poligonal abierta, una radiación y un levantamiento por
coordenadas rectangulares
I
P3
16 13 12
15 C
14 1 2 H
11 3 D
E 10 4 B
9 5 G P3 8 7
6
F
P4
84
MÉTODOS DE CÁLCULO DE ÁREAS
Los métodos para calcular áreas de polígonos permiten determinar la superficie
de distintos lotes a partir de mediciones de longitudes y ángulos que se hagan en el
campo o directamente sobre el plano.
Los métodos de cálculo se clasifican en numéricos, gráficos y mecánicos.
Triángulos (Herón)
Radiación (Polares)
Numéricos Normales a una alineación interior
Polígono exterior
Abscisas y ordenadas (Método de los trapecios)
Cuadrícula
Métodos de Fajas paralelas
cálculo de áreas Gráficos Bezout
Simpson
Poncelet
Mecánico Planímetro polar
(o digital)
Métodos numéricos
El cálculo se efectúa directamente a campo o en gabinete a partir de las
mediciones realizadas en el campo, pero no se trabaja con el plano y la escala. Se
analizarán detalladamente los distintos métodos.
Descomposición en triángulos y uso de la ecuación de Herón
Para utilizar este método, se determinan a campo todas las distancias (lados y
diagonales) que permitan descomponer el lote que se desea calcular en distintos
triángulos para luego aplicar la ecuación de Herón para el cálculo de la superficie de un
triángulo.
𝑆 = 𝑝 . 𝑝 − 𝑎 . 𝑝 − 𝑏 . 𝑝 − 𝑐
donde a, b y c son los lados del triángulo y p el semiperímetro, es decir la mitad
del perímetro
𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
Problema: se midieron los lados y diagonales de un pentágono arrojando los
siguientes valores
AB = 108,36m BC = 119,59m CD = 147,96m
DE = 109,41m EA = 68,48m AC = 185,17m
AD = 161,52m
85
Calcule la superficie
Figura 84: Descomposición en triángulos
Rta: Sup ABC = 6142,84m2 Sup ACD = 11448,41m
2
Sup ADE = 2911,66m2 Sup ABCDE = 20502,91m
2 = 2ha 05a 03ca
Si no se pudiesen medir las diagonales AC y AD por la existencia de
obstáculos a campo se podrían determinar otras diagonales como las BD y BE.
Radiación o polar
Este método consiste en determinar distancias y ángulos que se forman entre un
polo o estación (que se ubica aproximadamente en el centro del lote) y los distintos
vértices del polígono. De esta manera pueden obtenerse los elementos necesarios para
resolver los triángulos que forman el polígono y finalmente calcular la superficie.
Figura 85: Método de radiación o polar
A
B
C
E
D
A
B
G
F
D
C
E
γ δ
ε
λ
86
Del hexágono ABCDFG de Figura 85 se determinaron todas las distancias entre
el punto estación E y cada uno de los vértices. Asimismo, se midieron los ángulos , ,
γ, δ, ε y λ arrojando los siguientes valores
Distancias: EA = 90,66m EB = 91,99m EC = 89,51m ED = 103,48m
EF = 93,36m EG = 100,11m
Ángulos: = 67,399° = 72,703° γ = 57,568° δ = 63,874°
ε = 45,493° λ = 52,964°
Se debe calcular la superficie del polígono.
Una posibilidad es calcular el lado restante para aplicar la ecuación de Herón.
Así, en el triángulo EAB, se cuenta con las distancias EA y EB, faltando la distancia AB
para poder encontrar la superficie de dicho triángulo por Herón. Como se tienen dos
lados (EA y EB) y un ángulo se puede aplicar el teorema del coseno para hallar el lado
AB.
𝐴𝐵2 = 𝐸𝐴2 + 𝐸𝐵2 − 2 . 𝐸𝐴 . 𝐸𝐵 . cos
𝐴𝐵 = 𝐸𝐴2 + 𝐸𝐵2 − 2 . 𝐸𝐴 . 𝐸𝐵 . cos
AB = 101,34m
Teniendo AB, EA y EB se puede calcular el área del triángulo EAB por Herón
Sup EAB = 3849,59m2
Para realizar el mismo cálculo con el resto de los triángulos se deberían calcular
el resto de los lados del polígono por el teorema del coseno obteniendo los siguientes
valores:
BC = 107,60m CD = 93,73m DF = 104,48m
FG = 75,06m GA = 85,48m
Utilizando Herón se obtiene la superficie de los 5 triángulos restantes
EBC = 3930,78m2 ECD = 3908,83m
2 EDF = 4336,84m
2
EFG = 3332,64m2 EGA = 3622,40m
2
Finalmente, mediante la suma de la superficie de los 6 triángulos se obtiene la
superficie del polígono
Superficie hexágono ABCDFG = 22981,08m2
= 2ha 29a 81ca
Un método de cálculo más sencillo consiste en, con los mismos datos de partida,
calcular la superficie de cada triángulo como base x altura / 2, donde la base es una de
las distancias vértice-estación y la altura la otra distancia vértice estación afectada por el
seno del ángulo formado. Para el triángulo EAB sería:
87
Figura 86: Área de un triángulo a partir de dos lados y un ángulo
EB constituye la base del triángulo y EA multiplicado por el seno de es la
altura del triángulo, por lo tanto la superficie del triángulo EAB será:
𝑆𝑢𝑝𝐸𝐴𝐵 =𝐸𝐵. 𝐸𝐴. sin 𝛼
2=
91,99𝑚. 90,66𝑚. sin 67,398
2
Sup EAB = 3849,59m2
De la misma manera se procede con el resto de los triángulos obteniendo las
superficies parciales para luego realizar la suma de las mismas y obtener la superficie
del polígono.
Normales a una alineación interna
Consiste en jalonar una de las diagonales del polígono como eje de
levantamiento y determinar mediante progresivas y distancias al eje las dimensiones de
las figuras elementales que quedan formadas (triángulos y trapecios).
Figura 87: Cálculo del área utilizando normales a una alineación interna
A
E B
h
A
B C
D
E
F
W X Y Z
88
Del hexágono ABCDEF se ha utilizado como eje de levantamiento la diagonal
AD habiéndose formado cuatro triángulos y dos trapecios, siendo las progresivas las
alturas de los triángulos y trapecios formados y las distancias al eje del levantamiento las
bases de los mismos. A partir de estas figuras elementales y conociendo las expresiones
de sus superficies se procede a calcular el área del polígono. En el trabajo de campo se
usan jalones para marcar el eje de levantamiento y cada uno de los vértices a levantar,
escuadra de agrimensor para determinar cada pie de perpendicular sobre la diagonal AD
y cintas para medir las distancias (tanto progresivas como distancias al eje).
Del levantamiento del hexágono ABCDEF se obtuvo la Tabla 28
Progresiva Punto Distancias al eje
0 A
44,55 B -79,66
79,73 F +66,19
165,32 C -91,38
202,25 E +83,18
233,32 D
Tabla 28: levantamiento por normales a una alineación interna
El signo + y – de las distancias al eje refleja que el punto que se está levantando
está a la derecha o izquierda del eje de levantamiento respectivamente. Las proyecciones
de los lados AB, CD, DE y FA sobre el eje de levantamiento AD forman 4 triángulos
mientras que las proyecciones de los lados BC y EF forman dos trapecios.
Para calcular la superficie de cada triángulo basta con utilizar la expresión de
superficie del mismo (base . altura / 2).
Para el triángulo que se forma con la proyección del lado AB sobre el lado AD la
expresión será:
𝑆𝑢𝑝𝐴𝐵𝑊 =𝐴𝑊. 𝑊𝐵
2=
44,55𝑚. 79.66𝑚
2= 1774,43𝑚2
De la misma manera se calculan los tres triángulos restantes:
CDY = 3106,92m2 DEZ = 1292,20m
2 FAX = 2638,66m
2
Para calcular la superficie de los dos trapecios se utiliza la expresión:
𝑆𝑢𝑝. 𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜 = 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 + 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 .𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
Para el trapecio BCYW queda
𝑆𝑢𝑝. 𝐵𝐶𝑌𝑊 = 79,66𝑚 + 91,38𝑚 . (165,32𝑚 − 44,55𝑚)
2= 10328,25𝑚2
y para el EFXZ
89
𝑆𝑢𝑝. 𝐸𝐹𝑋𝑍 = 83,18𝑚 + 66,19𝑚 . (202,25𝑚 − 79,73𝑚)
2= 9150,41𝑚2
Sup. ABCDEF = 28290,87m2 = 2ha 82a 91ca
Polígono exterior
Consiste en utilizar un cuadrado o rectángulo que incluya completamente al
polígono para luego calcular su superficie y restarle la de los elementos sobrantes que no
forman parte del polígono.
Figura 88: Utilización de un polígono exterior
Se debe calcular la superficie del lote hexagonal ABCDEF (Figura 88). Se
utilizará para realizar el cálculo un rectángulo. Se hace coincidir uno de los lados del
rectángulo con uno de los lados del polígono, en este caso el AB. Por medio de jalones,
se prolonga la línea AB hacia ambos lados, hasta encontrar mediante una escuadra los
pies de perpendiculares que pasan por los puntos extremos del lote (F y C). Hallados de
esta manera los puntos O y S, ya se posee una de las dimensiones del rectángulo. Se
miden las distancias OA, AB y BS. Desde los puntos O y S se extienden perpendiculares
que pasen por los puntos F y C hasta hallar los pies de perpendiculares que pasen por el
punto extremo E. De esta manera, se obtienen los puntos P y R y la medida restante del
rectángulo OSRP que incluye al polígono. Se miden las distancias OF, FP, SC y CR.
Finalmente se extiende una cinta desde P hacia R determinando las distancias PE, EO
(pie de la perpendicular que pasa por el punto D) y ER para luego hallar OD.
Luego de realizar el procedimiento de campo se obtiene una planilla de datos
como la de la Tabla 29.
E
C
D
B A
F
O
P Q R
S
90
OA = 83,27m AB =143,09m BS = 93,83m
OF = 95,51m FP = 119,53m SC = 118,36m
CR = 96,68m PE = 143,09m EO = 110,25m
OR = 66,85m OD = 29,88m
Tabla 29: Levantamiento mediante el método del polígono exterior
La superficie del rectángulo que incluye al polígono se obtiene como
Sup OSRP = (OA + AB + BS) . (SC + CR)
Sup OSRP = 68853,66m2
A esta superficie se le debe restar la superficie de los triángulos OAF, FEP, EDO,
BCS y la del trapecio CDOR para obtener la superficie del polígono ABCDEF.
Los cálculos arrojan los siguientes valores
AFO = 3976,56m2 FEP = 8551,77m
2 EDO = 1647,14m
2
BCS = 5552,86m2 CDOR = 4230,27m
2
Finalmente
ABCDEF = OSRP – AFO – FEP – EDO – BCS – CDOR
ABCDEF = 68853,66m2 – 23958,60m
2 = 44895,06m
2 = 4ha 48a 95ca
Abscisas y ordenadas (Método de los trapecios)
Se encuentra desarrollado en el capítulo “Planilla de cálculo de coordenadas y
superficie”
Métodos gráficos
A partir de un plano, carta o cualquier otro tipo de representación plana de una
porción de terreno puede obtenerse el área verdadera de un sector del mismo utilizando
distintos métodos dependiendo si la figura a determinar es un polígono de lados rectos o
no. Si es un polígono de lados rectos pueden utilizarse cualquiera de los métodos
numéricos tomando las medidas de distancias y ángulos en el plano y afectándolas por el
factor Escala. Si es un polígono irregular (lados curvos) pueden utilizarse alguno de los
métodos gráficos o el planímetro polar. En todos ellos es necesario conocer la escala con
la que está construido el plano o carta.
Método de la cuadrícula
Consiste en calcar el perímetro del polígono irregular en un papel vegetal
(transparente) para luego superponerlo sobre un papel milimetrado. Este tipo de papel
posee una malla de 1mm x 1mm de manera tal que cada cuadrado formado por el
entramado de líneas horizontales y verticales equivale a 1mm2. Además, el papel
milimetrado, trae remarcadas con colores más fuertes las líneas cada 5 y 10mm,
facilitando el cálculo de los grandes espacios ya que se forman cuadrados mayores de
5mm x 5mm = 25mm2 y de 10mm x 10mm = 100mm
2 = 1cm
2. Primeramente se realiza
91
el conteo de los grandes cuadrados de 1cm2 que quedan comprendidos dentro del
polígono, luego se contabilizan los cuadrados de 25mm2 para finalmente contabilizar los
cuadrados de 1mm2. Por último, se realiza la estimación de los pequeños cuadrados de
1mm2 que se encuentran cortados por la línea del polígono tratando de compensar las
fracciones de mm2 que le faltan a unos con las de otros, agrupándolos de manera de ir
formando unidades.
Figura 89: Utilización de un papel milimetrado para determinar la superficie de un área
irregular. Pueden observarse los trazos resaltados cada 5 y 10mm
Fajas paralelas
Es similar al método de la cuadrícula.
Figura 90: Método de las fajas paralelas. El ancho de faja es constante
Consiste en calcar inicialmente la figura que se desea calcular la superficie en un
papel vegetal y luego superponer el mismo sobre un papel dividido en líneas paralelas de
ancho fijo (0,2 a 1cm). Se determina la longitud media de cada faja con una regla y
luego de sumar dichas longitudes se multiplica por el ancho fijo de faja.
Fórmula de Bezout o método de los trapecios
Consiste en utilizar una base por debajo de la superficie irregular a determinar
dividiendo a la misma en un número determinado de segmentos iguales. Los segmentos
92
que parten de la base intersectan a la superficie curva. Se asume que la superficie total
está formada por un conjunto de trapecios y dos triángulos que se encuentran en los
extremos. Se utiliza habitualmente un sistema de ejes coordenados X e Y. Para el
cálculo de la superficie de los trapecios se determinan las bases de los mismos (altura de
los segmentos = Y) y se multiplica a la semisuma de ambos por la altura (distancia entre
segmentos = X) siendo este último, un valor constante. Para el cálculo de los triángulos
se miden sus bases y alturas.
Figura 91: Utilización del método de Bezout
La superficie debajo de la curva se calcula mediante la expresión
𝑆 =𝑋1. 𝑌1
2+ ∆𝑋 .
𝑌1 + 𝑌2
2+ ∆𝑋 .
𝑌2 + 𝑌3
2+ … . + ∆𝑋 .
𝑌𝑛−1 + 𝑌𝑛2
+ 𝑋𝑛 . 𝑌𝑛
2
Las bases que van desde Y2 hasta Yn-1, forman parte de dos trapecios por lo tanto
X multiplica dos veces a la mitad de sus valores lo que equivale a multiplicar una vez
el valor entero. Simplificando queda:
𝑆 =𝑋1.𝑌1 + 𝑋𝑛 . 𝑌𝑛
2+ ∆𝑋 .
𝑌1 + 𝑌𝑛2
+ 𝑌2 + 𝑌3 + 𝑌4 + … + 𝑌𝑛−1
Donde el primer término representa la superficie de los dos triángulos y el
segundo la superficie de los trapecios.
La fórmula de Bezout considera rectos a los segmentos del borde de la superficie
por lo que tendrá errores por defecto cuando la superficie es cóncava hacia abajo (como
en la Figura 91) y por exceso cuando presenta la concavidad hacia arriba.
A partir de los valores de coordenadas X e Y obtenidos al trazar un par de ejes
coordenados calcule la superficie debajo de la curva en cm2. La distancia entre
segmentos utilizada fue de 2cm.
X (cm) Y (cm)
0 0
1 1,5
3 4,2
5 5,6
X X
Y
Y1 Yn-1
Yn
X1 Xn
93
7 6,8
9 7,5
11 6,6
13 5,4
15 3,2
17 1,4
18,2 0
Tabla 30: Coordenadas X e Y de puntos de la curva
Rta: 83,09cm2
Fórmula de Simpson
Se conoce como la “Fórmula del 1/3” y asume que la línea que une tres
ordenadas consecutivas es un polinomio de segundo grado. La expresión de Simpson
permite compensar parcialmente el error que se comete con la fórmula de Bezout al
considerar rectos los límites de la figura (cuando en realidad son curvos). Para utilizar
esta expresión la curva que delimita el área debe ser totalmente cóncava o convexa hacia
la recta utilizada como base por lo que inicialmente deben reconocerse los puntos de
inflexión o cambio de curvatura.
Figura 92: Utilización del método de Simpson para el cálculo del área
Inicialmente se divide a la recta base en un número par de segmentos iguales y se
proyectan los extremos de dichos segmentos en forma perpendicular a la recta base hasta
que intersectan la curva. Se unen los puntos de intersección de la curva con las
proyecciones mediante segmentos rectos (cuerdas) de manera similar que con la fórmula
de Bezout. La suma del área de cada uno de estos trapecios da el área por defecto en el
caso de figuras con la concavidad hacia abajo (trapecios inscritos, como en la Figura 92)
y por exceso en las curvas con la concavidad hacia arriba. Esta superficie será
denominada “s”. Además, se trazan segmentos tangentes a la curva en los extremos de
las ordenadas pares y éstos son limitados por las prolongaciones de las ordenadas
impares contiguas. El área de estos últimos trapecios sobreestima a la real en las curvas
con la concavidad hacia abajo (trapecios circunscritos). A esta área se la denominará
y1 y2 y3 y4 y5 y2n y2n+1
h
94
“S”. El área real será un valor menor que “S” y mayor que “s”. Simpson considera que el
valor más cercano al área verdadera proviene de agregarle 1/3 de S-s al valor de s
𝐴 = 𝑠 +𝑆 − 𝑠
3
Figura 93: Detalle de las tangentes a las ordenadas pares y de las cuerdas utilizadas en la
expresión de Simpson
El valor de S, por tratarse de trapecios puede calcularse como el producto de la
altura (2h) por el valor medio de la base (y) y se calcula mediante
𝑆 = 2 . . 𝑦2 + 2 . . 𝑦4 + 2 . . 𝑦6 + ⋯ + 2 . . 𝑦2𝑛
𝑆 = 2 . 𝑦2 + 𝑦4 + 𝑦6 + ⋯ + 𝑦2𝑛
Si a la sumatoria de las ordenadas pares se las denomina con la letra P queda
𝑆 = 2 . . 𝑃
El valor de s, al tratarse de trapecios se calcula como la altura h por el valor
medio de las bases quedando
𝑠 = .𝑦1 + 𝑦2
2+ .
𝑦2 + 𝑦3
2+ .
𝑦3 + 𝑦4
2+ ⋯ + .
𝑦2𝑛 + 𝑦2𝑛+1
2
Todas las ordenadas “y” son multiplicadas dos veces por h/2 (ya que forman
parte de dos trapecios) salvo las ordenadas extremas que solo aparecen una vez.
y1 y2 y3 y4 y5
h
95
𝑠 = 𝑦1 + 𝑦2𝑛+1
2+ 𝑦2 + 𝑦3 + 𝑦4 + ⋯ + 𝑦2𝑛
Si se denomina con P a las ordenadas pares, I a las impares y E a las extremas la
ecuación queda
𝑠 = 𝐸
2+ 𝑃 + 𝐼
Volviendo a la fórmula de Simpson
𝐴 = 𝑠 +𝑆 − 𝑠
3
La misma puede expresarse como
𝐴 = 𝐸
2+ 𝑃 + 𝐼 +
2 . . 𝑃 − 𝐸2 + 𝑃 + 𝐼
3
Tomando factor común h
𝐴 = 𝐸
2+ 𝑃 + 𝐼 +
2 𝑃 − 𝐸2 + 𝑃 + 𝐼
3
𝐴 = 𝐸
2+ 𝑃 + 𝐼 +
4 𝑃 − 𝐸 − 2𝑃 − 2𝐼
6
𝐴 =
3
3𝐸
2+ 3𝑃 + 3𝐼 + 2 𝑃 −
𝐸
2− 𝑃 − 𝐼
𝐴 =
3 𝐸 + 4𝑃 + 2𝐼
El área de acuerdo a la expresión de Simpson será el producto de un tercio de la
distancia entre ordenadas multiplicado por la suma de las ordenadas extremas
aumentadas en el doble de las impares y en el cuádruplo de las pares.
Si la curva fuera convexa (cóncava hacia arriba) el valor de s sería por exceso y S
por defecto calculándose el área según
𝐴 = 𝑠 −𝑠 − 𝑆
3= 𝑠 +
𝑆 + 𝑠
3
utilizándose en consecuencia la misma expresión de cálculo
Utilizando los valores de la Tabla 30 calcule el área mediante la fórmula de
Simpson. Considere como ordenada 1 el valor de 1,5cm y como último (noveno) el de
1,4cm.
Rta: s = 81,5cm2; S = 83,2cm
2; A = 82,07cm
2
96
Fórmula de Poncelet
Con este método se calcula el área debajo de la curva con un razonamiento
semejante al de Simpson. Se utiliza también una base de proyección la que es dividida
en un número par de segmentos. Existirá una superficie S, calculada por exceso,
formada por trapecios circunscritos cada uno de los cuales se obtiene por tangentes a las
ordenadas pares y limitados por las prolongaciones de las ordenadas impares adyacentes
(igual que en el método de Simpson). A esta superficie también se la denomina “S”. La
superficie por defecto (trapecios inscritos) se obtiene como la cuerda que une la
intersección de la curva con las ordenadas adyacentes (para el primer y último trapecio)
y por la cuerda que une las intersecciones de las pares para el resto de la superficie. A
esta superficie se la denomina “s”.
Figura 94: Utilización del método de Poncelet para el cálculo del área
Figura 95: Detalle de las tangentes a las ordenadas pares y de las cuerdas utilizadas en la
expresión de Poncelet
y1 y2 y3 y4 y5 y2n y2n+1
h
y1 y2 y3 y4 y5
h
97
Para Poncelet, el valor del área bajo la curva se calcula como la media entre las
dos superficies
𝐴 =𝑆 + 𝑠
2
S se calcula igual que en la fórmula de Simpson
𝑆 = 2. . 𝑃
Mientras que para “s” habrá dos tipos de trapecios, los de los extremos y los del
centro
𝑠𝑒𝑥 = .(𝑦1 + 𝑦2)
2+ .
(𝑦2𝑛 + 𝑦2𝑛+1)
2
𝑠𝑐𝑒𝑛 = 2 . . 𝑦2 + 𝑦4
2+ 2 . .
𝑦4 + 𝑦6
2+ ⋯ + 2 . .
𝑦2𝑛−4 + 𝑦2𝑛−2
2
𝑠𝑐𝑒𝑛 = . 𝑦2 + 𝑦4 + . 𝑦4 + 𝑦6 + ⋯ + . 𝑦2𝑛−4 + 𝑦2𝑛−2
s se puede expresar como
𝑠 = .(𝑦1 + 𝑦2)
2+ . 𝑦2 + 𝑦4 + . 𝑦4 + 𝑦6 + ⋯ + .
(𝑦2𝑛 + 𝑦2𝑛+1)
2
Puede advertirse que las ordenadas extremas (y1; y2n+1) son multiplicadas por h/2;
las ordenadas adyacentes a las extremas (y2; y2n) son multiplicadas por 3/2 de h/2 y las
restantes por 2h quedando
𝑠 = .(𝑦1 + 𝑦2𝑛+1)
2+ 3. .
(𝑦2 + 𝑦2𝑛)
2+ 2. . 𝑦4 + 𝑦6 + 𝑦8 + ⋯ + 𝑦2𝑛−2
Puede simplificarse aún más esta expresión sumando al segundo término ½(y2 +
y2n) y restándolo a la expresión general
𝑠 = .(𝑦1 + 𝑦2𝑛+1)
2− .
(𝑦2 + 𝑦2𝑛)
2+ 2. . 𝑦2 + 𝑦4 + 𝑦6 + 𝑦8 + ⋯ + 𝑦2𝑛−2 + 𝑦2𝑛
Llamando E a las ordenadas extremas, A a las adyacentes a las mismas y P a las
pares la expresión queda
𝑠 = .𝐸
2− .
𝐴
2+ 2. . 𝑃
𝑠 = . 𝐸 − 𝐴
2+ 2𝑃
La expresión de Poncelet quedará como
98
𝐴 =𝑆 + 𝑠
2=
2. . 𝑃 + . 𝐸 − 𝐴
2 + 2𝑃
2=
4𝑃 +𝐸 − 𝐴
2
2= 2𝑃 +
𝐸 − 𝐴
4
La expresión de Poncelet solo utiliza las ordenadas pares (no usa las impares)
con lo que se reduce el trabajo de medición a la mitad.
Utilizando los valores de la Tabla 30 calcule el área mediante la fórmula de
Poncelet. Considere como ordenadas extremas las de 1,5cm y la de 1,4cm y como
adyacentes las de 4,2cm y 3,2cm. Téngase presente que estos dos últimos valores
(ordenadas adyacentes a las extremas) deben también tenerse en cuenta para el cálculo
de las ordenadas pares ya que lo son.
Rta: s = 78,7cm2; S = 83,2cm
2; A = 80,95cm
2
Método mecánico. Uso del planímetro polar
El planímetro polar permite la medición directa de superficies en el plano. Es un
integrador mecánico de áreas ya que desplazando un punzón (o punto en el centro de una
lupa) que posee en uno de sus brazos por el perímetro de la superficie a determinar,
arroja un valor en un sistema contador que permite calcular dicha superficie.
Figura 96: Uso de un planímetro polar para determinar la superficie de una cuenca
Este instrumento consta de dos brazos articulados entre sí. Uno de los brazos se
denomina brazo polar y vincula a un punto llamado polo (que permanece fijo durante la
medición por su propio peso o por pinches que presenta en su base) con el otro brazo
Polo
Brazo
polar
Brazo trazador
Punta
trazadora
Rueda calibrada y
sistema de lectura
99
denominado brazo trazador. Los brazos pueden pivotar sobre su punto de unión. El
brazo trazador posee, en un extremo, la punta trazadora y en el otro, una caja con una
rueda que gira durante la operación de medición y un sistema que cuenta las vueltas que
da dicha rueda. La distancia entre la punta trazadora y el punto de articulación puede
cambiarse variando así la constante del planímetro. Para medir exactamente esta
distancia el brazo trazador está graduado al milímetro y posee un nonio de coincidencia
(o vernier) dividido en 10 partes por lo que se puede determinar la distancia con una
precisión de la décima de mm.
El planímetro se apoya en el plano en tres lugares: en el polo (que permanece fijo
durante la medición), en la punta trazadora (que es desplazada por el perímetro de la
figura a medir) y en la rueda calibrada.
El fundamento de este instrumento es que la rueda da más vueltas cuando más
superficie recorre la punta trazadora. Posee integrado a la rueda un sistema de lectura
que permite leer las vueltas y fracciones de vuelta (hasta la milésima de vuelta) que da la
misma durante la medición. El sistema de lectura está compuesto por un contador de
vueltas enteras, un tambor dividido en cien partes que brinda la décima y centésima de
vuelta y un nonio de coincidencia que brinda la milésima de vuelta. El sistema de lectura
se puede llevar a cero antes de comenzar a utilizar el instrumento para facilitar los
cálculos posteriores. En caso de no llevar a 0, antes de empezar a recorrer el perímetro
debe anotarse el valor de lectura inicial para descontarlo a la lectura final que se
obtenga.
En la Figura 97 puede verse un sistema de lectura como el descripto.
Figura 97: Detalle de la rueda, sistema de lectura y brazo trazador del planímetro polar
Contador de
vueltas enteras Tambor graduado
en 100 partes Nonio
Rueda
Nonio del
brazo trazador
100
El contador de vueltas enteras está entre 1 y 2 por lo que el número de vueltas es
mayor a 1 y menor a 2 (lectura 1). La marca 0 del nonio está entre 83 y 84 del tambor
graduado por lo que la lectura en este último es de 83. Por último solo una línea del
nonio coincide con otra del tambor graduado, en este caso es la 7 (coincide con la línea
de 90 del tambor). La lectura en consecuencia es 1,837. La distancia entre la punta
trazadora y el punto de articulación se puede leer mediante el nonio del brazo trazador.
El 0 del nonio está entre el 33,0 y el 33,1 (prácticamente en la mitad) por lo que la
lectura es 33,0 y puede verse que la raya del nonio que coincide con una raya del brazo
trazador es la 5 (que coincide con la de 33,5 del brazo trazador). Por lo tanto la lectura es
33,05cm. Los planímetros vienen acompañados de una tabla que contiene para distintas
escalas, diferentes longitudes punta trazadora-punto de articulación aconsejadas. Esto
permite regular esta distancia para obtener en planos a distintas escalas constantes
convenientes que faciliten los cálculos. Por ejemplo, si una vuelta de rueda equivale a
1000ha, al realizar una lectura de 0,315 se determina directamente que la superficie real
es 315ha y se obvian un conjunto de cálculos que llevan a ese resultado.
Para realizar una medición inicialmente se debe marcar un punto del perímetro
de la superficie a medir que se tomará como punto de arranque para posteriormente
recorrer el perímetro de la figura y llegar al punto de partida. En el recorrido puede
ocurrir que la punta trazadora se desvíe hacia uno u otro lado de la línea a recorrer
introduciendo errores en la operación. Estos desvíos tienden a compensarse, es decir, la
suma de los desvíos hacia uno y otro lado da lo mismo. Es aconsejable repetir la
operación de medición varias veces, promediando las lecturas que se obtengan en los
distintos recorridos y verificando que las diferencias entre las mismas sean aceptables
para evitar errores groseros. Si no se llevó a 0 el planímetro antes de empezar a medir y
se partió con un valor de lectura inicial, al valor de lectura final debe restársele el valor
inicial. Debe tratarse que durante la medición, el ángulo que formen los brazos entre si
no sea menor a 45°. Si la superficie es demasiado grande y esto no puede evitarse, es
conveniente dividirla en varias partes e ir determinando superficies parciales para luego
sumarlas. Asimismo, la medición debe hacerse en sentido horario, ya que al hacerlo en
sentido contrario se van descontando vueltas. El sentido antihorario se utiliza cuando se
desea descontar una subárea a una figura a la que se le está calculando el área (se dice
que la figura presenta islas o huecos).
Figura 98: Recorrido realizado con la punta trazadora para hallar la superficie principal
(S) descontando la superficie de una isla (I) con los perímetros unidos por una línea
S
I
PP
101
Se une el perímetro de la figura principal y el de la subárea que se desea
descontar por medio de una línea. Se recorre el perímetro de la figura principal en
sentido horario y al pasar por la línea se la toma hasta llegar al perímetro interno del
hueco o isla. Se recorre el perímetro del hueco en sentido antihorario y al llegar
nuevamente a la línea de la figura principal se la continúa recorriendo en sentido horario
hasta llegar al punto de partida (PP). En la Figura 98 puede verse un esquema del
procedimiento. Si no se desea emplear este método o no se quiere rayar el papel, pueden
calcularse el área de ambas figuras en forma separada (recorriéndolas ambas en sentido
horario) y realizar posteriormente la sustracción.
Otras precauciones que se deben tener al usar el instrumento son: a)fijar
adecuadamente el polo para evitar moverlo durante la medición ya que de hacerlo se
invalida la misma; b)guiar la punta trazadora siempre a mano y no ayudarse con una
regla u otro elemento (cuando existen bordes rectos) ya que se producen desvíos
sistemáticos que no ocurren cuando se lo desplaza a pulso ya que en este caso los
desvíos en uno u otro sentido son semejantes y se compensan; c)evitar que la rueda
tropiece con los bordes del papel, ya que se originan errores en las lecturas. Si la
superficie a determinar está en un papel muy pequeño (lo que dificultaría evitar el borde
de la misma con la ruedita) es preferible calcarla y realizar la medición en el papel
vegetal tratando de que todo el planímetro esté sobre el mismo, incluido el polo; d)evitar
medir sobre papel con rugosidades y tratar de que el mismo esté bien estirado sobre una
superficie plana y sin obstáculos; e)hacer correr la punta trazadora suavemente sobre el
papel evitando que la misma rasgue o directamente no toque el papel ya que se producen
movimientos que invalidan las lecturas; f)hacer un recorrido de prueba con la punta
trazadora verificando que el ángulo entre los brazos trazador y polar no sea muy abierto
o cerrado, caso contrario desplazar el polo y volver a probar o dividir a la figura para
realizar la medición por sectores. Para encontrar la posición del polo rápidamente lo más
conveniente es primero apoyar el brazo trazador con la punta trazadora en el centro de la
figura y a continuación colocar el brazo polar a 90° del mismo g)evitar girar o mover el
papel sobre el que se encuentra el planímetro, sobretodo si el polo a quedado fuera del
papel.
Para relacionar el valor de lectura que se obtiene con el planímetro con los
valores reales de área se debe calibrar previamente el instrumento recorriendo una
superficie conocida y anotando el valor de lectura. Es recomendable realizar la
operación de calibración cada vez que se va a usar el planímetro y de ser posible en el
mismo papel en que se va a determinar la superficie irregular ya que la rueda integradora
adquiere diferentes tipos de reacción en función de las diferentes texturas superficiales
de los papeles de planos, cartas o mapas que se utilicen. Con la calibración se obtiene la
constante “k” del planímetro que indica cuantos cm2 de superficie implica una vuelta de
la rueda integradora por lo que las unidades de k son cm2/vuelta. Luego de obtener la
constante, solo restará conocer la lectura, es decir el número de vueltas que da la rueda
integradora, cuando se recorre una superficie irregular para afectarla por la constante y
hallar la superficie. La lectura obtenida, denominada L, son las vueltas que dio la rueda
integradora al recorrer el área por lo que su unidad es “vueltas” (si se partió de un valor
inicial al valor final se le debe restar dicho valor inicial). La superficie se obtiene
mediante la ecuación:
102
𝑆 𝑐𝑚2 = 𝑘 𝑐𝑚2
𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 . 𝐿 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
La vacilación o error que se comete al determinar la superficie con el planímetro
se puede calcular mediante la expresión
∆𝑆 = 0,02𝑐𝑚 𝑆 𝑐𝑚2
donde 0,02cm representa el poder resolutivo del ojo humano y S representa a la
superficie medida en el plano. En líneas generales se puede afirmar que tiene un error
aproximado del 1%.
La superficie obtenida es superficie en el plano. Si se quiere obtener la superficie
en el terreno debe tenerse presente el factor de escala y que la relación de superficies
entre terreno y plano se hace con el cuadrado de la escala.
𝐸2 = 𝑆𝑢𝑝. 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
𝑆𝑢𝑝. 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜
Ejemplo
Para determinar la superficie de una laguna presente en una carta a escala
1:50000 se utilizó un planímetro polar mecánico. No se realizó el ajuste de la longitud
punta trazadora-punto de articulación de acuerdo a la tabla que acompañaba el
planímetro para la escala de la carta. Por lo tanto, previamente se calibró el mismo para
obtener la constante, recorriendo un cuadrado de 4cm de lado. Al hacerlo se obtuvo una
lectura de 1,225. Luego se llevó a 0 el contador y se recorrió 3 veces el perímetro de la
laguna, obteniendo una lectura de 2,736. Debe calcularse la superficie de la laguna.
Para obtener la constante del planímetro se relaciona la superficie conocida
recorrida con la lectura obtenida.
𝑘 =𝑆
𝐿=
16𝑐𝑚2
1,225𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠= 13,06
𝑐𝑚2
𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎
Luego, la incógnita pasa a ser la Superficie del plano, por lo que se relaciona la
Lectura con la constante obtenida. Debe tenerse presente que la lectura obtenida
corresponde al triple de la superficie ya que proviene de recorrer 3 veces el perímetro de
la laguna.
3𝑆 = 𝑘 . 𝐿 = 13,06𝑐𝑚2
𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑥 2,736 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 = 36,73𝑐𝑚2
𝑆 =36,73𝑐𝑚2
3= 11,91𝑐𝑚2
Obtenida la superficie de la laguna en el plano, queda conocer la superficie real
de la misma en el terreno por lo que se la relaciona con la escala.
103
𝐸2 = 𝑆𝑢𝑝. 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
𝑆𝑢𝑝. 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜
𝑆𝑢𝑝. 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜 =𝑆𝑢𝑝. 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
𝐸2=
11,91𝑐𝑚2
1
50000
2 =11,91𝑐𝑚2
12500000000
= 11,91𝑐𝑚2 .2500000000
𝑆𝑢𝑝. 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜 = 29779591837𝑐𝑚2 = 2977959,2𝑚2 = 297𝑎 79𝑎 59𝑐𝑎
El error cometido en la medición será
∆𝑆 = 0,02𝑐𝑚 11,91𝑐𝑚2 = 0,02𝑐𝑚 𝑥 3,45𝑐𝑚 = 0,069𝑐𝑚2
Ese error cometido en el plano, transformado por la escala a superficie en el
terreno representa 1,72ha y el resultado final podrá expresarse como
𝑆𝑢𝑝. 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜 = 297,8 ± 1,7𝑎
Los planímetros modernos son digitales, brindando la lectura directamente en
una pantalla de cristal líquido. Además puede seleccionarse la unidad en que muestran la
superficie (cm2, pulgadas
2) y como se puede introducir la escala del plano también
calculan y muestran en pantalla la superficie real en el terreno en distintas unidades que
el operador puede seleccionar (m2, ha, km
2, acres).
Dentro de este tipo de planímetros se encuentran los de punto fijo (que son
similares a los mecánicos) y los de carro móvil en los que no existe un punto fijo y en
los que se reemplaza el “brazo polar” por un brazo con dos rodillos que se pueden
desplazar. Al no estar limitados por un polo no presentan restricciones en cuanto al
tamaño de la superficie a medir. Los de polo fijo se encuentran limitados en este sentido
ya que no se pueden alejar demasiado del polo (por quedar los brazos muy abiertos) ni
pueden disminuir por debajo de 45° el ángulo entre los brazos para un correcto
funcionamiento, debiendo dividirse en subáreas a las figuras demasiado grandes para
poder medirlas.
Figura 99: Planímetro digital de punto fijo Figura 100: Planímetro digital de carro
móvil
104
Determinación de áreas mediante programas de computadora
Existen numerosos programas que permiten calcular el área de un polígono, sea
éste de lados rectos o curvos. La condición para el cálculo es que el mismo sea cerrado.
En general, todos los programas de SIG (Sistemas de Información Geográfica) y CAD
(Dibujo asistido por computadora) poseen esta interesante herramienta. Si se usan
imágenes escaneadas debe tenerse la precaución de dibujar en el mismo papel que
presenta la figura a escanear un polígono de lados rectos de longitud conocida para
poder verificar que no se produzcan aumentos o reducciones durante el escaneo y en
caso de que existan poder corregir dicho efecto. Luego de abrir o importar el archivo de
la imagen se procede a realizar una polilínea que coincida con el perímetro de la figura.
Al cerrarla el programa ya está en condiciones de calcular la superficie. Si se tiene
certeza de la escala se la puede cargar y el programa calcula directamente la superficie
real en el terreno.
Figura 101: Posibilidad de consultar el área de un polígono cerrado en AutoCad
Estos programas también brindan el dato de perímetro del polígono, que resulta
especialmente interesante cuando parte del mismo es curvo. Para medir perímetros de
polígonos irregulares directamente en el plano se utiliza un instrumento llamado
curvímetro que, a la manera de un odómetro, consta de una rueda que se hace girar sobre
el perímetro de la figura y un sistema analógico o digital muestra la distancia recorrida
en cm o pulgadas.
Problema
Para determinar la superficie de un lago que en el centro presenta una isla se
utilizó un planímetro mecánico. Al comenzar la medición el contador de vueltas enteras
no llegaba a 1, el 0 del nonio se encontraba entre el 32 y el 33 del tambor y la séptima
raya del nonio era la que coincidía con una raya del mismo. Luego de recorrer el
perímetro del lago dos veces se obtuvo una lectura de 0,957. Luego se recorrió 3 veces
el perímetro de la isla partiendo de un valor de 0,968 y llegando a un valor final de
1,104. Previamente se calibró el planímetro recorriendo una vez el perímetro de un
cuadrado de 4cm de lado partiendo de 0 y llegando a un valor final de 1,160. Determine
105
la constante del planímetro, la superficie del lago y de la isla con sus respectivos errores
teniendo en cuenta que se trata de una carta a escala 1:100000.
Rta: k = 100cm2/vuelta Slago = 3150 11,2ha Sisla = 453 4,3ha
106
PLANILLA DE CÁLCULO DE COORDENADAS Y SUPERFICIE
En el método planimétrico denominado Poligonal Cerrada el levantamiento se
origina en un punto de coordenadas conocidas. Se miden las distancias de los distintos
lados y los ángulos en cada uno de los vértices. A partir de un acimut de arranque
medido se pueden determinar los restantes acimutes y calcular las coordenadas de los
restantes puntos. Con las coordenadas de todos los vértices puede a su vez calcularse la
superficie encerrada por el polígono. Como en el cálculo se deben realizar numerosas
operaciones matemáticas para evitar la equivocación en los cálculos y en el seguimiento
de la resolución del problema es conveniente sistematizar la información en una planilla
tipo. A su vez esta planilla puede efectuarse y programarse para ser resuelta en una Hoja
de Cálculo tipo Excel que evitará realizar los cálculos en forma manual (con la
consiguiente disminución en la probabilidad de cometer equivocaciones) y agilizará el
proceso de resolución.
Para explicar el modo de resolución de la planilla se llevará adelante la
resolución de un ejemplo puntual. Se ha efectuado la medición de un polígono de 5
vértices (denominados A, B, C, D y E). Para medir los lados se ha empleado una cinta de
agrimensor efectuando la medición al centímetro. Para medir los ángulos se ha utilizado
un teodolito, efectuando la medición al segundo. El acimut de arranque medido en el
vértice A es de 342°. En la Tabla 31 se muestran los datos relevados. Se ha asignado al
vértice A la coordenada arbitraria 1000m (X) y 1000m (Y) como coordenada de
arranque.
Ángulo Acimut Proyecciones Calculadas Proy. Corregidas
Vértice Lado Longitud ° ' '' ° ' '' ∆X cX ∆Y cY ∆X ∆Y X Y
A AB 113,95 119 01 08 342 00 00
1000,00 1000,00
B BC 152,39 108 18 06
C CD 152,58 119 00 10
D DE 182,41 119 03 37
E EA 244,83 74 36 59
Tabla 31: Planilla de coordenadas con las coordenadas de A y las mediciones lineales,
angulares y de un acimut
Verificación del cierre angular
El primer paso para resolver la planilla y determinar las coordenadas de los
puntos restantes será verificar el cierre angular, es decir que la suma de los ángulos
internos del polígono resulte igual a ∑αi = 180° . (n – 2), siendo n el número de vértices
del polígono. En este caso por ser un pentágono
∑αi = 180° . (n – 2)
∑αi = 180° . (5 – 2)
∑αi = 180° . 3 = 540°
Si se suma la columna de los grados se obtiene 539°, si se suman los minutos se
obtiene 58’ y si se suman los segundos se obtiene 120’’. Los 120 segundos representan 2
minutos que sumados a los 58’ dan un grado. Es el grado que le falta a 539° para llegar a
540°. Por lo tanto la suma de los ángulos internos da 540° y no es necesaria ninguna
107
compensación. Si la sumatoria fuese distinta de 540° debería compensarse la diferencia
entre los distintos ángulos medidos de manera homogénea. Así por ejemplo, si la
sumatoria diera 539°30’ debería sumársele a cada valor angular 6’ (30’/5) para que la
nueva sumatoria arroje los 540°. En el ejemplo no es necesario efectuar ninguna
compensación porque no hay error angular (o el mismo ha sido compensado
previamente).
Cálculo de los acimutes
Con los valores angulares compensados y con el acimut de arranque del lado AB
(AzA→B) pueden calcularse los restantes acimutes.
X
Y
Figura 102: Obtención de los acimutes a partir de un acimut de arranque (AzA→B) y los
ángulos internos del polígono
Para determinar los acimutes a partir del acimut del lado anterior y del ángulo
interno se utilizará la siguiente regla. El acimut a determinar es el acimut del lado
anterior sumado a 180° y restado el ángulo interno. Para el caso del acimut de B hacia C
queda
AzB→C = AzA→B + 180 – β
AzB→C = 342° +180° - 108° 18’ 6’’
AzB→C = 413° 41’ 54’’
Como supera 360° se le restan 360° quedando
AzB→C = 53° 41’ 54’’
A
B
C
D
E
β
108
Obsérvese que en la Figura 102 se ha prolongado (con línea punteada) el lado
AB. Sobre el punto B se ha señalado el Norte y desde allí se ha trazado el AzA→B (acimut
del lado anterior), se le han añadido 180° (un llano) y finalmente se le ha sustraído el
ángulo interno β quedando el AzB→C marcado con una línea de mayor grosor. Para hallar
el acimut AzC→D, se prolonga el lado BC y al acimut anterior (AzB→C) se le suman 180°
y se le resta el ángulo interno quedando el AzC→D marcado con una línea de mayor
grosor. Los cálculos para este acimut quedarían
AzC→D = AzB→C + 180 –
AzC→D = 53° 41’ 54’’ +180° - 119° 0’ 10’’ = 114° 41’ 44’’
Mientras que los cálculos para el acimut AzD→E
AzD→E = AzC→D + 180 –
AzD→E = 114° 41’ 44’’ +180° - 119° 3’ 37’’ = 175° 38’ 7’’
Finalmente el acimut AzE→A
AzE→A = AzD→E + 180 –
AzE→A = 175° 38’ 7’’ + 180° - 74° 36’ 59’’ = 281° 1’ 8’’
Para verificar que los cálculos han sido bien realizados y no se han cometido
errores se recalcula el acimut AzA→>B a partir del acimut AzE→A y el ángulo interno en
A (α)
AzA→B = AzE→A + 180 – α
AzAE→B = 281° 1’ 8’’ + 180° - 119° 1’ 8’’ = 342°
Como coincide con el acimut de partida se confirma que los cálculos han sido
bien realizados y se continúa completando la planilla.
Ángulo Acimut Proyecciones Calculadas Proy. Corregidas
Vértice Lado Longitud ° ' '' ° ' '' ∆X cX ∆Y cY ∆X ∆Y X Y
A AB 113,95 119 01 08 342 00 00
1000,00 1000,00
B BC 152,39 108 18 06 53 41 54
C CD 152,58 119 00 10 114 41 44
D DE 182,41 119 03 37 175 38 07
E EA 244,83 74 36 59 281 01 08
Tabla 32: Planilla de coordenadas con los acimutes resueltos
Cálculo de las proyecciones
A continuación corresponde calcular las proyecciones de cada uno de los lados
sobre los ejes X (∆X) e Y (∆Y). Para realizar esto se multiplica la longitud del lado por
el coseno y seno del acimut respectivamente.
∆XAB = cos AzA→B . AB
∆XAB = cos 342° . 113,95m = +108,37289m
∆YAB = seno AzA→B . AB
∆YAB = seno 342° . 113,95m = -35,212487m
109
Obsérvese que por ser el acimut AzA→B = 342° (mayor a 270° y menor a 360°) la
coordenada XB debe ser mayor a XA y la coordenada YB debe ser menor aYA. Es por ello
que la proyección ∆XAB ha dado +108,37289m (signo positivo) y la ∆YAB -35,212487m
(signo negativo). Al ir de A hacia B se crece en la coordenada X y se decrece en la
coordenada Y.
X
Y
Figura 103: Obtención del ∆X y ∆Y a partir del acimut y longitud del lado
Reglas de redondeo
Obsérvese que los valores de ∆XAB y ∆YAB han sido colocados con varios
decimales de acuerdo al cálculo efectuado ∆XAB = +108,37289m y ∆YAB = -
35,212487m. No obstante ello debe considerarse aquí la validez de colocar tantos
valores luego de la coma. Como la medición ha sido efectuada al centímetro (dos lugares
después de la coma) es lógico que los valores de las proyecciones calculadas sean
redondeados al cm quedando ∆XAB = +108,37m y ∆YAB = -35,21m.
Se utilizará la regla de redondeo denominada “redondeo al par”. Esta regla
consiste en aumentar en uno o dejar como está al último dígito al que se desea redondear
de acuerdo al valor que le sigue. Se ejemplificará con una serie de valores que se desean
redondear al cm. Por ejemplo 108,372 se redondearía a 108,37. Lo mismo se haría si en
lugar del 2 hubiese un valor que fuese de 0 a 4 (108,370; 108,371; 108,372; 108,373 y
108,374) . Si el valor a redondear fuese 108,378 se aumentaría en uno el último dígito
quedando 108,38. Lo mismo se haría si en lugar del 8 hubiese un valor que vaya de 6 a 9
(108,376; 108,377; 108,378 y 108,379). ¿Que debería hacerse si el valor fuese 108,375
que es exactamente la mitad entre 108,37 y 108,38? En esta situación se decide
aumentar o dejar como está al último dígito en función de si éste es par o no. Si es par se
deja como está. Si es impar (como en este caso) se le suma uno. Por lo tanto al
redondear 108,375 al cm queda 108,38 porque el número que le antecede (7) es impar.
Si el valor a redondear hubiese sido 108,365 por ser el valor anterior un 6 (par) queda
como está (108,36). Es frecuente que aparezca esta situación cuando se mide con cinta y
la diferencia entre la ida y vuelta es un número impar de cm. Por ejemplo, en la ida el
valor es de 135,35m y en la vuelta 135,38m. El valor medio es de 135,365m pero sería
incorrecto considerar este como valor final ya que no se midió al milímetro por lo que es
necesario el redondeo. Teniendo en cuenta la regla enunciada como el valor que
antecede es par (6), queda como está resultando el valor final redondeado 135,36m.
A
B
∆XA
B
∆YA
B
110
Nótese que si es par queda como está, y si es impar se le suma uno, resultando siempre
en un número par. Debido a ello a esta regla se la conoce como “redondeo al par”. Otra
regla es la denominada “redondeo al impar” que consiste en sumar uno si el número que
antecede es par y dejarlo como está si es impar. De esta manera siempre resultaría el
valor final en un número impar.
Es válido usar la regla de “redondeo al par” cuando el último número es un 5 y
no se conoce cuales son los valores que le siguen, pero si luego del 5 hay otros valores
no corresponde utilizarla. Supóngase que el cálculo del ∆XAB hubiese resultado en
108,365035m. Si se redondease de atrás hacia adelante siguiendo la regla de “redondeo
al par” al 3 se le sumaría uno debido a que le sigue un 5 y por ser impar quedaría en
108,36504m. Luego el 0 quedaría como está por ser el número que le sigue un 4
quedando 108,3650m. Por ser un 0 el valor que le sigue, el 5 queda como está, 108,365.
Finalmente, por ser el número previo al 5 par queda como está 108,36. No obstante ello,
piénsese que 108,365035m está más cerca de 108,37m que de 108,36m ya que está a
(108,37-108,365035) 0,004965m de 108,37m y a (108,36m-108,365035m) -0,005035m
de 108,36m. Por lo tanto, solo se podrá usar esta regla de redondeo cuando no se tenga
certeza de los valores que sigan al 5.
Continuando con la resolución de la planilla se calculan el resto de las
proyecciones:
∆XBC = cos AzB→C . BC
∆XBC = cos 53° 41’ 54’’ . 152,39m = +90,22046m = +90,22m
∆YBC = seno AzB→C . BC
∆YBC = seno 53° 41’ 54’’ . 152,39m = +122,81279m = +122,81m
Al ser el acimut AzB→C un valor entre 0° y 90° tanto el ∆XBC como el ∆YBC son
positivos.
∆XCD = cos AzC→D . CD
∆XCD = cos 114° 41’ 44’’ . 152,58m = -63,74741m = -63,75m
∆YCD = seno AzC→D . CD
∆YCD = seno 114° 41’ 44’’ . 152,58m = +138,62512m = +138,63m
Al ser el acimut AzC→D un valor entre 90° y 180° el ∆XCD es negativo y el ∆YCD
es positivo.
∆XDE = cos AzD→E . DE
∆XDE = cos 175° 38’ 7’’ . 182,41m = -181,88097m = -181,88m
∆YDE = seno AzD→E . DE
∆YDE = seno 175° 38’ 7’’ . 182,41m = + 13,88233m = +13,88m
Al ser el acimut AzD→E un valor entre 90° y 180° el ∆XDE es negativo y el ∆YDE
es positivo.
∆XEA = cos AzE→A . EA
∆XEA = cos 281° 1’ 8’’ . 244,83m = +46,79499m = +46,79m
∆YEA = seno AzE→A . EA
∆YEA = seno 281° 1’ 8’’ . 244,83m = -240,31637m = -240,32m
111
Al ser el acimut AzE→A un valor entre 270° y 360° el ∆XDE es positivo y el ∆YDE
es negativo.
Ángulo Acimut Proyecciones Calculadas Proy. Corregidas
Vértice Lado Longitud ° ' '' ° ' '' ∆X cX ∆Y cY ∆X ∆Y X Y
A AB 113,95 119 01 08 342 00 00 108,37
-35,21 1000,00 1000,00
B BC 152,39 108 18 06 53 41 54 90,22
122,81
C CD 152,58 119 00 10 114 41 44 -63,75
138,63
D DE 182,41 119 03 37 175 38 07 -181,88
13,88
E EA 244,83 74 36 59 281 01 08 46,79
-240,32
Tabla 33: Planilla de coordenadas con las proyecciones calculadas resueltas
Cálculo del error
Obsérvese en la Figura 104 que al calcular las proyecciones (∆X y ∆Y) se parte
de un punto de coordenadas conocidas (XA e YA) y se vuelve al mismo, por lo que la
sumatoria de los ∆X y ∆Y debería dar 0. En los ∆X al ir de A hacia B se incrementa el
valor en X (∆XAB). También se incrementa el valor al ir de B hacia C (∆XBC). Al ir de C
hacia D y de D hacia E el valor de X disminuye (∆XCD y ∆XDE). Finalmente al ir de E
hacia A el valor de X crece (∆XEA). Si no se hubiese cometido ningún error la suma de
las proyecciones debería dar 0 ya que se parte de un punto (A) y se vuelve al mismo. Se
calcula el error en X sumando los ∆X.
eX = ∑∆X
eX = ∆XAB + ∆XBC + ∆XCD + ∆XDE + ∆XEA
eX = +108,37 + 90,22 - 63,75 -181,88 + 46,79
eX = -0,25m
X
Y
Figura 104: Proyecciones de los lados sobre los ejes X (∆X) e Y (∆Y)
A
B
C
E
D
∆XDE
∆XCD ∆XBC
∆XAB
∆XEA
∆YAB ∆YBC ∆YCD ∆YDE
∆YEA
112
Para los ∆Y se recurre al mismo razonamiento. Al ir de A hacia B disminuye el
valor en Y (∆YAB). Se incrementa el valor al ir de B hacia C (∆YBC), de C hacia D
(∆YCD) y de D hacia E (∆YDE). Finalmente al ir de E hacia A el valor de Y disminuye
(∆YEA). La suma de las proyecciones debería dar 0 ya que se parte de un punto (A) y se
vuelve al mismo. Se calcula el error en Y sumando los ∆Y.
eY = ∑∆Y
eY = ∆YAB + ∆YBC + ∆YCD + ∆YDE + ∆YEA
eY = -35,21 + 122,81 + 138,63 + 13,88 - 240,32
eY = -0,21m
Con estos resultados se puede concluir que se parte de un punto A con
coordenadas 1000,00 y 1000,00 y no se llega al mismo punto sino a un punto A’ que
está a un ∆X de -0,25m y a un ∆Y de -0,21m de A.
Figura 105: Expresión gráfica del error en X (eX), error en Y (eY) y del error Total (eT)
El Error Total puede calcularse por Pitágoras
𝑒𝑇 = 𝑒𝑋2 + 𝑒𝑌
2
𝑒𝑇 = (−0,25𝑚)2 + (−0,21𝑚)2
eT = 0,326497 = +0,33m
Este error es un error lineal y debe ser comparado con la expresión de Tolerancia
correspondiente (Tolerancia lineal de medición con cinta).
𝑇 𝑚 = ±0,015. 0,3𝐿 + 0,0005𝐿2
donde L es el perímetro o suma de los lados del polígono
L = AB + BC + CD + DE + EA
∆YAA’ = eY
∆XAA’ = eA AA’ = eT
A
A’
113
L = 113,95m + 152,39m + 152,58m + 182,41m + 244,83m
L = 846,16m
𝑇 𝑚 = ±0,015. 0,3 . 846,16𝑚 + 0,0005 . (846,16𝑚)2
T = 0,37103m = 0,37m
Al ser la tolerancia (error máximo admisible) mayor que el error cometido la
medición se considera bien efectuada y no debe repetirse. Si el error hubiese sido mayor
que la tolerancia se debería repetir la medición y la planilla no se terminaría de
completar (ya que el error no se puede compensar).
Compensación del error
Por haber entrado el error en tolerancia corresponde a continuación distribuir el
error entre las distintas proyecciones. Para la distribución del error entre las distintas
proyecciones se explicarán dos posibles metodologías. La compensación teniendo en
cuenta la magnitud de los lados, y la compensación a partir de la magnitud de las
proyecciones.
Compensación a partir de la magnitud de los lados
En este tipo de compensación se considera que los errores son proporcionales a
las distancias medidas, es decir que en los lados de mayor longitud se han cometido los
mayores errores. Por lo tanto, se compensan en mayor medida las proyecciones
correspondientes a los lados más largos.
Para el cálculo de la corrección se recurre a una regla de tres simple
contemplando que si para todo el perímetro se debe aplicar la corrección total (de signo
contrario al error), para el lado en particular que se está considerando la corrección será
proporcional.
Si para L -eX
Para AB 𝐴𝐵 .(−𝑒𝑋 )
𝐿
De esta manera la corrección en X para el lado AB (cXAB) será
𝑐𝑋𝐴𝐵 =−𝑒𝑋 . 𝐴𝐵
𝐿
𝑐𝑋𝐴𝐵 =− −0,25𝑚 . 113,95𝑚
846,16𝑚= +0,03𝑚
Y para los restantes lados
𝑐𝑋𝐵𝐶 =−𝑒𝑋 .𝐵𝐶
𝐿
114
𝑐𝑋𝐵𝐶 =− −0,25𝑚 . 152,39𝑚
846,16𝑚= +0,05𝑚
𝑐𝑋𝐶𝐷 =−𝑒𝑋 .𝐶𝐷
𝐿
𝑐𝑋𝐶𝐷 =− −0,25𝑚 . 152,58𝑚
846,16𝑚= +0,05𝑚
𝑐𝑋𝐷𝐸 =−𝑒𝑋 . 𝐷𝐸
𝐿
𝑐𝑋𝐷𝐸 =− −0,25𝑚 . 182,41𝑚
846,16𝑚= +0,05𝑚
𝑐𝑋𝐸𝐴 =−𝑒𝑋 .𝐸𝐴
𝐿
𝑐𝑋𝐸𝐴 =− −0,25𝑚 . 244,83𝑚
846,16𝑚= +0,07𝑚
Con un razonamiento análogo se calculan y distribuyen las correcciones en Y
(cY)
𝑐𝑌𝐴𝐵 =−𝑒𝑌 .𝐴𝐵
𝐿
𝑐𝑌𝐴𝐵 =− −0,21𝑚 . 113,95𝑚
846,16𝑚= +0,03𝑚
𝑐𝑌𝐵𝐶 =−𝑒𝑌 . 𝐵𝐶
𝐿
𝑐𝑌𝐵𝐶 =− −0,21𝑚 . 152,39𝑚
846,16𝑚= +0,04𝑚
𝑐𝑌𝐶𝐷 =−𝑒𝑌 .𝐶𝐷
𝐿
𝑐𝑌𝐶𝐷 =− −0,21𝑚 . 152,58𝑚
846,16𝑚= +0,04𝑚
115
𝑐𝑌𝐷𝐸 =−𝑒𝑌 .𝐷𝐸
𝐿
𝑐𝑌𝐷𝐸 =− −0,21𝑚 . 182,41𝑚
846,16𝑚= +0,04𝑚
𝑐𝑌𝐸𝐴 =−𝑒𝑌 .𝐸𝐴
𝐿
𝑐𝑌𝐷𝐸 =− −0,21𝑚 . 244,83𝑚
846,16𝑚= +0,06𝑚
Puede verse que con este método de compensación las mayores correcciones
(tanto en X como en Y) las reciben los lados más largos (EA) y las menores los más
cortos (AB) pues se considera que los mayores errores se cometen al medir distancias
mayores.
Ángulo Acimut Proyecciones Calculadas Proy. Corregidas
Vértice Lado Longitud ° ' '' ° ' '' ∆X cX ∆Y cY ∆X ∆Y X Y
A AB 113,95 119 01 08 342 00 00 108,37 0,03 -35,21 0,03 1000,00 1000,00
B BC 152,39 108 18 06 53 41 54 90,22 0,05 122,81 0,04
C CD 152,58 119 00 10 114 41 44 -63,75 0,05 138,63 0,04
D DE 182,41 119 03 37 175 38 07 -181,88 0,05 13,88 0,04
E EA 244,83 74 36 59 281 01 08 46,79 0,07 -240,32 0,06
∑ 846,16
∑ -0,25 0,25 ∑ -0,21 0,21
Tabla 34: Planilla de coordenadas con las correcciones calculadas
Compensación a partir de la magnitud de las proyecciones
En este tipo de compensación se considera que los errores son proporcionales a
las proyecciones efectuadas, es decir que en los lados que posean mayor proyección (en
X o en Y) se han cometido los mayores errores. Por lo tanto, se compensa en mayor
medida a las proyecciones mayores. Obsérvese en la Figura 104 que la mayor
proyección en X es la del lado DE y la menor la del lado EA (que en el otro método de
compensación recibía la mayor corrección por ser el más largo). La mayor proyección
en Y la presenta el lado EA y la menor el lado DE (que está prácticamente vertical y por
lo tanto su proyección en Y es pequeña).
Inicialmente se debe calcular la suma de las proyecciones con valor absoluto ya
que eso representa el desplazamiento que hay en cada eje al ir de un punto hacia el otro.
Para el eje X
∑∆X= ∆XAB + ∆XBC + ∆XCD + ∆XDE + ∆XEA
∑∆X= ++108,37 + +90,22 + -63,75+ -181,88+ +46,79
∑∆X= +108,37 + 90,22 + 63,75 + 181,88 + 46,79
116
∑∆X= 491,01m
Para el eje Y
∑∆Y= ∆YAB + ∆YBC + ∆YCD + ∆YDE + ∆YEA
∑∆Y= + -35,21 + +122,81 + +138,63+ +13,88+ -240,32
∑∆Y= + 35,21 + 122,81 + 138,63 + 13,88 + 240,32
∑∆Y= 550,85m
Para el cálculo de la corrección también se recurre a una regla de tres simple
contemplando que si para todo el recorrido en la proyección se debe aplicar la
corrección total (de signo contrario al error), para la proyección en particular que se está
considerando la corrección será proporcional.
Si para ∑∆X------------- -eX
Para ∆XAB ------------- ∆XAB . (-eX) / ∑∆X
De esta manera la corrección en X para el lado AB (cXAB) será
cXAB = -eX . ∆XAB / ∑∆X
cXAB = -(-0,25m) . 108,37m / 491,01m = +0,06m
Para el resto de los lados
cXBC = -eX . ∆XBC / ∑∆X
cXBC = -(-0,25m) . 90,22m / 491,01m = +0,05m
cXCD = -eX . ∆XCD / ∑∆X
cXCD = -(-0,25m) . 63,75m / 491,01m = +0,03m
cXDE = -eX . ∆XDE / ∑∆X
cXDE = -(-0,25m) . 181,88m / 491,01m = +0,09m
cXEA = -eX . ∆XEA / ∑∆X
cXEA = -(-0,25m) . 46,79m / 491,01m = +0,02m
De la misma forma se calculan y distribuyen las correcciones en Y (cY)
cYAB = -ey . ∆YAB / ∑∆Y
cYAB = -(-0,21m) . 35,21m / 550,85m = +0,01m
cYBC = -ey . ∆YBC / ∑∆Y
cYBC = -(-0,21m) . 122,81m / 550,85m = +0,05m
117
cYCD = -ey . ∆YCD / ∑∆Y
cYCD = -(-0,21m) . 138,63m / 550,85m = +0,05m
cYDE = -ey . ∆YDE / ∑∆Y
cYDE = -(-0,21m) . 13,88m / 550,85m = +0,01m
cYEA = -ey . ∆YEA / ∑∆Y
cYEA = -(-0,21m) . 240,32m / 550,85m = +0,09m
Obsérvese que la mayor corrección en X la recibe el lado DE que es el de mayor
proyección en X, mientras que la menor corrección la recibe el lado EA que es el de
menor proyección. En el eje Y la mayor corrección la recibe el lado EA que es el de
mayor ∆Y mientras que la menor corrección la reciben los lados AB y DE que tienen las
menores proyecciones.
Proyecciones corregidas
Para obtener las proyecciones corregidas, a las proyecciones calculadas se les
debe sumar la corrección con su respectivo signo. Se utilizarán las correcciones
calculadas a partir de la compensación efectuada con la magnitud de los lados.
∆XABcorr = ∆XABcalc + cXAB
∆XABcorr = + 108,37 + 0,03 = +108,40
∆XBCcorr = ∆XBCcalc + cXBC
∆XBCcorr = + 90,22 + 0,05 = +90,27
∆XCDcorr = ∆XCDcalc + cXCD
∆XCDcorr = -63,75 + 0,05 = -63,70
∆XDEcorr = ∆XDEcalc + cXDE
∆XDEcorr = -181,88 + 0,05 = -181,83
∆XEAcorr = ∆XEAcalc + cXEA
∆XEAcorr = +46,79 + 0,07 = +46,86
La sumatoria de las proyecciones en X corregidas debería dar 0. Se procede a su
suma para verificar que los cálculos han sido correctamente realizados
∑∆Xcorr = ∆XABcorr + ∆XBCcorr + ∆XCDcorr + ∆XDEcorr + ∆XEAcorr
∑∆Xcorr = + 108,40 + 90,27 - 63,70 - 181,83 + 46,86 = 0,00
De manera similar se procede para determinar las proyecciones corregidas en Y
∆YABcorr = ∆YABcalc + cYAB
∆YABcorr = -35,21 + 0,03 = -35,18
118
∆YBCcorr = ∆YBCcalc + cYBC
∆YBCcorr = +122,81 + 0,04 = +122,85
∆YCDcorr = ∆YCDcalc + cYCD
∆YCDcorr = +138,63 + 0,04 = +138,67
∆YDEcorr = ∆YDEcalc + cYDE
∆YDEcorr = +13,88 + 0,04 = +13,92
∆YEAcorr = ∆YEAcalc + cYEA
∆YEAcorr = -240,32 + 0,06 = -240,26
La sumatoria de las proyecciones corregidas en Y debería dar 0. En
consecuencia, se suman para verificar que los cálculos son correctos
∑∆Ycorr = ∆YABcorr + ∆YBCcorr + ∆YCDcorr + ∆YDEcorr + ∆YEAcorr
∑∆Ycorr = - 35,18 + 122,85 + 138,67 + 13,92 - 240,26 = 0
Ángulo Acimut Proyecciones Calculadas Proy. Corregidas
Vértice Lado Longitud ° ' '' ° ' '' ∆X cX ∆Y cY ∆X ∆Y X Y
A AB 113,95 119 01 08 342 00 00 108,37 0,03 -35,21 0,03 108,40 -35,18 1000,00 1000,00
B BC 152,39 108 18 06 53 41 54 90,22 0,05 122,81 0,04 90,27 122,85
C CD 152,58 119 00 10 114 41 44 -63,75 0,05 138,63 0,04 -63,7 138,67
D DE 182,41 119 03 37 175 38 07 -181,88 0,05 13,88 0,04 -181,83 13,92
E EA 244,83 74 36 59 281 01 08 46,79 0,07 -240,32 0,06 46,86 -240,26
∑ 846,16
∑ -0,25 0,25 ∑ -0,21 0,21 ∑=0,00 ∑=0,00
Tabla 35: Planilla de coordenadas con el cálculo de las proyecciones corregidas
Cálculo de coordenadas
A partir de las coordenadas del punto de partida (XA, YA) y con las proyecciones
corregidas pueden determinarse las coordenadas del resto de los puntos.
XB = XA + ∆XABcorr
XB = 1000,00 + 108,40 = 1108,40
XC = XC + ∆XBCcorr
XC = 1108,40 + 90,27 = 1198,67
XD = XC + ∆XCDcorr
XD = 1198,67 + (- 63,70) = 1134,97
XE = XD + ∆XDEcorr
XE = 1134,97 + (-181,83) = 953,14
119
Se recalculan las coordenadas del punto A para verificar que coinciden con las
coordenadas de partida y en consecuencia se ha compensado el error de cierre.
XA = XE + ∆XEAcorr
XA = 953,14 + 46,86 = 1000,00
La coordenada XA calculada coincide con la de partida por lo que los cálculos
han sido efectuados correctamente.
Lo mismo se realiza para el cálculo de las coordenadas Y
YB = YA + ∆YABcorr
YB = 1000,00 + (-35,18) = 964,82
YC = YB + ∆YBCcorr
YC = 964,82 + 122,85 = 1087,67
YD = YC + ∆YCDcorr
YD = 1087,67 + 138,67 = 1226,34
YE = YD + ∆YDEcorr
YB = 1226,34 + 13,92 = 1240,26
Se recalculan las coordenadas del punto A y se verifica que coincidan las
coordenadas de partida y calculadas del punto.
YA = YE + ∆YEAcorr
YA = 1240,26 + (-240,26) = 1000,00
Al coincidir la coordenada YA calculada con la de partida se verifica que los
cálculos han sido efectuados correctamente quedando finalizada la planilla.
Ángulo Acimut Proyecciones Calculadas Proy. Corregidas
Vértice Lado Longitud ° ' '' ° ' '' ∆X cX ∆Y cY ∆X ∆Y X Y
A AB 113,95 119 01 08 342 00 00 108,37 0,03 -35,21 0,03 108,40 -35,18 1000,00 1000,00
B BC 152,39 108 18 06 53 41 54 90,22 0,05 122,81 0,04 90,27 122,85 1108,40 964,82
C CD 152,58 119 00 10 114 41 44 -63,75 0,05 138,63 0,04 -63,7 138,67 1198,67 1087,67
D DE 182,41 119 03 37 175 38 07 -181,88 0,05 13,88 0,04 -181,83 13,92 1134,97 1226,34
E EA 244,83 74 36 59 281 01 08 46,79 0,07 -240,32 0,06 46,86 -240,26 953,14 1240,26
∑ 846,16
∑ -0,25 0,25 ∑ -0,21 0,21 ∑=0,00 ∑=0,00
Tabla 36: Planilla de coordenadas finalizada
Cálculo de superficies
A partir de las coordenadas de los puntos de un polígono puede obtenerse su
superficie por el denominado método de los trapecios. Obsérvese en la Figura 106 que la
proyección de cada uno de los lados del polígono sobre el eje X forma trapecios.
120
X
Y
Figura 106: Cálculo de la superficie por medio de la proyección de los lados sobre el eje
X
Observando la Figura 106 puede verse que si a la superficie que presentan los
trapecios que forman las proyecciones de los lados CD y DE sobre el eje X se le resta la
superficie de los trapecios que forman las proyecciones de los lados restantes (AB, BC y
EA) sobre el mismo eje se obtiene la superficie del polígono ABCDE.
El área de cada trapecio individual puede calcularse de acuerdo a la expresión:
𝑆 = 𝐵𝑀 + 𝑏𝑚 .
2
Donde BM es la base mayor del trapecio, bm la base menor y h la altura
Figura 107: Superficie de un trapecio
En la Figura 107 se ha colocado la base menor a continuación de la Base Mayor
(la bm está simbolizada con línea punteada). Puede advertirse que sumando a la Base
mayor la base menor y multiplicando dicho valor por la altura queda un rectángulo que
tiene el doble de superficie que la del trapecio en cuestión.
A
B
C
E
D
∆XDE
∆XCD ∆XBC
∆XAB
∆XEA
YB YA YC YD YE
Trapecio lado AB
Trapecio lado BC
Trapecio lado CD
Trapecio lado DE
Trapecio lado EA
BM
bm
h
121
La proyección de cada uno de los lados sobre el eje X forma trapecios. Las bases
están representadas por las coordenadas Y de cada uno de los extremos del lado. La
altura es el ∆X entre ambos puntos. En el caso del lado AB la base mayor es YA, la base
menor YB y la altura el ∆XAB. La superficie del trapecio formado por la proyección del
lado AB sobre el eje X es:
𝑆𝐴𝐵 = 𝑌𝐴 + 𝑌𝐵 . ∆𝑋𝐴𝐵
2
Y la de los restantes lados
𝑆𝐵𝐶 = 𝑌𝐵 + 𝑌𝐶 .∆𝑋𝐵𝐶
2
𝑆𝐶𝐷 = 𝑌𝐶 + 𝑌𝐷 . ∆𝑋𝐶𝐷
2
𝑆𝐷𝐸 = 𝑌𝐷 + 𝑌𝐸 . ∆𝑋𝐷𝐸
2
𝑆𝐸𝐴 = 𝑌𝐸 + 𝑌𝐴 . ∆𝑋𝐸𝐴
2
Obsérvese que para calcular la superficie de cada lado siempre se suman las
coordenadas Y de los puntos y se multiplica dicho valor por el ∆X entre los mismos.
Para realizar los cálculos de manera sistemática se emplea una planilla en la que
se colocan en la primera columna las alturas de los trapecios (∆X), en la segunda la
suma de las bases mayor y menor (∑Y) y en la tercera los productos entre ambas
(correspondientes al doble de la superficie de cada trapecio).
Lado ∆X ∑Y Productos
AB 108,4 1964,82 212986,4880
BC 90,27 2052,49 185278,2723
CD -63,7 2314,01 -147402,4370
DE -181,83 2466,6 -448501,8780
EA 46,86 2240,26 104978,5836
∑ = 2S = -92660,9711
S = 46330,4856
Tabla 37: Planilla de cálculo de superficies mediante proyecciones sobre el eje X
Obsérvese que la columna de ∆X se copia textualmente de la planilla de cálculo
de coordenadas (corregidas). Los lados que presentan ∆X negativos (CD y DE) tienen
productos negativos y los que presentan ∆X positivos (AB, BC y EA) tienen productos
positivos. Los productos se expresan con 4 decimales luego de la coma debido a que las
distancias han sido medidas al cm y para expresar la superficie con detalle hasta el cm2
se deben expresar los primeros 4 decimales (al tratarse de superficies se pasa de una
unidad a la siguiente de a dos lugares). La suma algebraica de estos productos dará el
doble de la superficie del polígono ya que se han multiplicado las alturas (∆X) por la
122
sumatoria de las bases (∑Y) sin dividir por dos en ningún caso. Por esto a la sumatoria
de los productos se la divide por dos para obtener la superficie del polígono. La
sumatoria da negativo porque el ∆X de los trapecios mayores (de los lados CD y DE)
son negativos, pero lógicamente no existen superficies negativas y debe considerarse el
valor absoluto de dicha sumatoria.
Comprobación: Proyección de los lados sobre el eje Y
Para comprobar que los cálculos realizados son correctos se emplea el mismo
método sobre el eje Y ya que la proyección de los lados sobre dicho eje también forma
trapecios.
X
Y
Figura 108: Cálculo de la superficie por medio de la proyección de los lados sobre el eje
Y
En la Figura 108 puede verse que si a la superficie que presentan las
proyecciones de los lados BC, CD y DE sobre el eje Y se le resta la superficie de las
proyecciones de los lados restantes (AB y EA) sobre el mismo eje se obtiene la
superficie del polígono ABCDE.
La proyección de cada uno de los lados sobre el eje Y forma trapecios. Las bases
están representadas por las coordenadas X de cada uno de los extremos del lado. La
altura es el ∆Y entre ambos puntos. En el caso del lado AB la base mayor es XB, la base
menor XA y la altura el ∆YAB. La superficie del trapecio formado por la proyección del
lado AB sobre el eje Y es:
𝑆𝐴𝐵 = 𝑋𝐴 + 𝑋𝐵 .∆𝑌𝐴𝐵
2
A
B
C
E
D
XC
XD
∆YAB ∆YBC ∆YCD ∆YDE
∆YEA
XB
XA
XE
Trapecio lado AB
Trapecio lado BC
Trapecio lado CD
Trapecio lado DE
Trapecio lado EA
123
Y la de los restantes lados
𝑆𝐵𝐶 = 𝑋𝐵 + 𝑋𝐶 .∆𝑌𝐵𝐶
2
𝑆𝐶𝐷 = 𝑋𝐶 + 𝑋𝐷 .∆𝑌𝐶𝐷
2
𝑆𝐷𝐸 = 𝑋𝐷 + 𝑋𝐸 .∆𝑌𝐷𝐸
2
𝑆𝐸𝐴 = 𝑋𝐸 + 𝑋𝐴 .∆𝑌𝐸𝐴
2
Para calcular la superficie de cada lado siempre se suman las coordenadas X de
los puntos y se multiplica dicho valor por el ∆Y entre los mismos.
Se emplea la misma planilla en la que se colocan en la primera columna las
alturas de los trapecios (∆Y), en la segunda la suma de las bases mayor y menor (∑X) y
en la tercera los productos entre ambas (correspondientes al doble de la superficie de
cada trapecio). La columna de ∆Y se copia textualmente de la planilla de cálculo de
coordenadas (corregidas). Los lados que presentan ∆Y negativos (AB y EA) tienen
productos negativos y los que presentan ∆Y positivos (BC, CD y DE) tienen productos
positivos. A la sumatoria de los productos se la divide por dos para obtener la superficie
que debe ser exactamente igual a la calculada en base a las proyecciones sobre el eje X
solo que de signo contrario.
Lado ∆X ∑Y Productos ∆Y ∑X Productos
AB 108,4 1964,82 212986,4880 -35,18 2108,4 -74173,5120
BC 90,27 2052,49 185278,2723 122,85 2307,07 283423,5495
CD -63,7 2314,01 -147402,4370 138,67 2333,64 323605,8588
DE -181,83 2466,6 -448501,8780 13,92 2088,11 29066,4912
EA 46,86 2240,26 104978,5836 -240,26 1953,14 -469261,4164
∑ = 2S = -92660,9711 ∑ = 2S = 92660,9711
S = -46330,4856 S = 46330,4856
Tabla 38: Planilla de cálculo de superficies finalizada con la comprobación del resultado
mediante proyecciones sobre el eje Y
Expresión de la superficie en unidades agrarias
La superficie obtenida en la Tabla 38 mediante la planilla de cálculo de
superficies expresa la superficie en unidades métricas. Lo más habitual es expresar la
superficie de los lotes en unidades agrarias: hectáreas y sus submúltiplos (áreas y
centiáreas).
Una hectárea equivale a 10000m2 y es la superficie de un cuadrado de 100m de
lado. Por lo tanto a la superficie obtenida en m2 se la debe dividir por 10000 para
obtener el valor en hectáreas.
124
46330,4856m2
10000m2
ha
= 4, 63304856ha
Los dos primeros decimales (63) corresponden a las áreas (a) y el tercero y
cuarto (30) a las centiáreas (Ca). El área equivale a 100m2 y es la superficie de un
cuadrado de 10m de lado. La centiárea equivale a 1m2. Finalmente, los valores de
fracción de metro cuadrado restantes (4856) se redondean al metro cuadrado. En este
caso por no llegar a 5000 queda en 30 el valor de las centiáreas (Ca). Si hubiese
superado 5000 se hubiese redondeado a 31.
El valor final de la superficie expresado en unidades agrarias es:
4ha 63a 30Ca
125
ALTIMETRÍA
La altimetría es la parte de la Topografía que tiene por objeto determinar la altura
del terreno o de puntos físicos, con relación a una superficie de comparación adoptada.
La distancia vertical entre dicha superficie de referencia y un punto considerado se
denomina Altitud, Altura absoluta o Cota. A la superficie de referencia le corresponde la
cota cero.
En la República Argentina se adoptaron diversas superficies de comparación a
través del tiempo o de las necesidades específicas. Actualmente las cotas publicadas por
el Instituto Geográfico Militar están referidas al nivel medio del Océano Atlántico,
frente a Mar del Plata, determinado por las observaciones mareográficas del Ministerio
de Obras Públicas de la Nación. A causa de atracciones conjuntas del Soy y la Luna, las
aguas del mar suben y bajan periódicamente, originando las mareas baja (bajamar o
máximo descenso) y alta (pleamar o máximo ascenso). El nivel medio de las aguas del
mar fue obtenido a través de numerosas observaciones a través de los años realizadas
con un mareógrafo en Mar del Plata.
Mediante nivelaciones de alta precisión se le proporcionó cota al punto de
nivelación principal o fundamental del país, que se encuentra en el Parque
Independencia de la Ciudad de Tandil (Provincia de Buenos Aires). A este punto se lo
denomina con la sigla PARN (Punto Altimétrico de Referencia Normal).
A las cotas referidas al nivel medio de las aguas del mar se las denomina también
cotas IGM (Instituto Geográfico Militar).
Dadas las distancias en las que normalmente se desarrollan los trabajos
topográficos, puede considerarse a la superficie de referencia como un Plano de
Comparación.
En ciertos trabajos suelen adoptarse cotas arbitrarias referidas a algún hecho
físico local (puentes, vías férreas, etc). No obstante, luego se podrán referir al IGM.
Cota M (IGM) = Cota M (arbitraria) + H
siendo H el desnivel entre el plano de comparación arbitrario y el nivel medio de las
aguas del mar.
Efecto de la curvatura terrestre en altimetría
Se analizará el error que ocasiona el efecto de la curvatura terrestre en la
determinación del desnivel entre dos puntos.
Supónganse dos puntos A y B que se encuentran distanciados y que se
encuentran al nivel del mar (cota 0). Si con un instrumento se dirige una visual
horizontal para determinar el desnivel entre los mismos, la visual que se realiza no
seguiría la curvatura terrestre sino que sería una tangente a A y esto originaría un error
que en el gráfico se representa con el segmento BB’(x). Al efectuar la operación
parecería que el punto B está deprimido o más bajo que el A. A continuación se
calculará cual es el error cometido debido a la curvatura terrestre.
126
A d B’
tangente a la Tierra en A
c
B
R superficie terrestre
R
C
Figura 109: Efecto de la curvatura terrestre en altimetría
Aplicando el teorema de Pitágoras
(BC+BB’)2 = AC
2 + AB’
2
BC y AC son el radio terrestre (R 6370km), BB’ es el error altimétrico
cometido (c) y AB’ la distancia entre los puntos (d)
Reemplazando
(R + c)2 = R
2 + d
2
R2 + 2Rc + c
2 = R
2 + d
2
2Rc + c2 = d
2
Dividiendo miembro a miembro por 2R y despreciando c2/2R debido a que el
error c es pequeño (mucho menor a 1) y al estar al cuadrado y dividido por 2R se vuelve
ínfimo
Finalmente
𝑐 =𝑑2
2𝑅
Al valor “c” se lo denomina efecto de la curvatura terrestre, curvatura terrestre
o depresión del horizonte.
Se analizarán cuáles son los valores que adquiere dicho error de acuerdo a las
distancias empleadas en las nivelaciones.
Para d = 100m (0,1km) queda 𝑐 =(0,1𝑘𝑚 )2
2.6370𝑘𝑚= 7,8. 10−7𝑘𝑚 = 0,78𝑚𝑚
Para d = 200m (0,2km) queda 𝑐 =(0,2𝑘𝑚 )2
2.6370𝑘𝑚= 3,1. 10−6𝑘𝑚 = 3,12𝑚𝑚
127
Nótese que la distancia entre los puntos está al cuadrado y el error no aumenta
linealmente con la misma sino que para el doble de distancia el error se cuadruplica.
Para d = 1000m (1km) queda 𝑐 =(1𝑘𝑚 )2
2.6370𝑘𝑚= 7,8. 10−5𝑘𝑚 = 7,8𝑐𝑚
Este error debe sumarse al desnivel encontrado entre los puntos. Así, si el punto
A estuviese a la misma cota que el punto B y se encontrasen distanciados 1000m (1km)
cuando se realiza la nivelación se encontraría que B tiene 7,8cm menos pero esto es
debido a la curvatura y no a la diferencia de cota per se.
HAB = H registrado + c
HAB = -7,8cm + 7,8cm = 0
Efecto de la curvatura y refracción atmosférica
El efecto de la curvatura causaría un error por defecto en la nivelación entre dos
puntos. Esto ocurriría si la visual que se hubiese realizado fuese perfectamente
horizontal y tangente a la Tierra en A. Pero cuando se dirige una visual con un
instrumento óptico, la misma va atravesando capas de la atmósfera de distinta densidad
que por refracción la curvan y consecuentemente la visual verdadera deja de ser una
recta tangente a la Tierra para transformarse en una curva.
A d B’
tangente a la Tierra en A
B’’ Visual verdadera
B
R superficie terrestre
R
C
C’
Figura 110: Efecto combinado de curvatura terrestre y refracción atmosférica
Nótese que el efecto de la refracción atmosférica, compensa parcialmente el error
por curvatura. Si no hubiese refracción, el error sería solo de curvatura y en el caso
analizado estaría representado por el segmento BB’. Si se considera el efecto de la
refracción el error pasa a ser BB’’ que es un segmento menor a BB’.
La refracción no es un valor constante y varía a lo largo del día. La visual
verdadera esta inscrita en un círculo de radio mayor al terrestre. El valor de este Radio
varía entre 25000km al amanecer y atardecer (siendo la refracción en estos períodos
máxima) y 75000km al mediodía (refracción mínima) siendo su valor medio 50000km.
La relación entre los radios terrestre y el de curvatura de la luz por efecto de la
refracción es una constante igual a: k = R/R’ = 6370km/50000km = 1 / 7,8 = 0,13
128
El error debido solo a la refracción (representado por el segmento B’B’’)
constituye el apartamiento de la visual verdadera con respecto a la horizontal(AB’) y
puede calcularse empleando nuevamente Pitágoras con el triángulo C’AB’ del siguiente
modo
(B’B’’ + B’’C’)2 = (AC’)
2 + (AB’)
2
(r + R’)2 = R’
2 + d
2
R’2 + 2 . r . R’ + r
2 = R’
2 + d
2
siendo r2 despreciable queda
𝑟 =𝑑2
2𝑅′
Puede verse que el efecto de la refracción (r) compensa parcialmente el error
producido por la curvatura (c)
Quiere decir que el error por curvatura y refracción (“cr”) en el caso analizado
será:
cr = BB’’ = BB’ – B’B’’ = c – r
𝑐𝑟 =𝑑2
2𝑅−
𝑑2
2𝑅′=
𝑑2
2𝑅−
𝑑2
2𝑅 . 7,8=
𝑑2
2𝑅−
0,13𝑑2
2𝑅
𝑐𝑟 =(1 − 0,13)𝑑2
2𝑅=
0,87𝑑2
2𝑅=
0,87
2.6370 𝑑2 =
0,00007
𝑘𝑚 . 𝑑 𝑘𝑚 2
El efecto de curvatura y refracción se reduce a 7.10-5
. d2 (y el resultado quedaría
expresado en km). Si se desea que el resultado quede directamente expresado en metros
puede usarse la ecuación
𝑐𝑟 𝑚 =0,07𝑚
𝑘𝑚2. 𝑑 𝑘𝑚 2
Para una distancia de 1km el efecto de la curvatura es de 7,8cm, pero
considerando la refracción dicho valor disminuye a 6,8cm.
Problema
Una persona que tiene los ojos a una altura de 1,6m del suelo ¿a qué distancia ve
el horizonte en la pampa deprimida considerando que la diferencia de relieve es
despreciable (relieve llano)? ¿Y si se sube a un molino de 10m de altura? Rta 1: 4,52km
Rta 2: 12,18km
129
NIVELACIÓN
Los desniveles entre puntos se obtienen por procedimientos llamados
Nivelaciones. Existen diversos tipos de nivelaciones de acuerdo al instrumental y
método utilizados. En orden creciente de precisión son: 1)nivelación barométrica,
2)nivelación trigonométrica y 3)nivelación geométrica.
En la Tabla 39 se detalla el instrumental utilizado y la precisión alcanzada por
cada tipo de nivelación así como el relieve del terreno en el que mejor se adapta cada
una de ellas.
Instrumental Precisión Relieve
Barométrica Barómetro metro Muy quebrado
Trigonométrica Teodolito y miras cm Quebrado
Geométrica Nivel y miras milímetro Llano
Tabla 39: Instrumental, precisión y relieve en el que se usa cada tipo de nivelación
Nivelación Barométrica
Mediante la utilización de barómetros puede determinarse el desnivel entre dos
puntos basándose en la diferencia de presión entre los mismos. Si bien es el método de
menor precisión puede resultar útil para reconocimientos iniciales en lugares
montañosos.
El fundamento de esta nivelación es que el aire de la atmósfera terrestre posee un
peso y dicho peso recae sobre la superficie terrestre generando una presión llamada
presión atmosférica. Cuando se asciende una elevación, la columna de atmósfera se va
reduciendo, originando una disminución de la presión atmosférica. Quiere decir que
midiendo la diferencia de presión atmosférica se puede determinar la diferencia de
elevación y que puntos con igual presión atmosférica estarán a la misma altura. Esto
constituye el principio de la nivelación barométrica.
Deben añadirse ciertas salvedades. Las variaciones de temperatura ocasionan
variaciones en la densidad del aire de la atmósfera. A medida que se asciende la
temperatura desciende y este hecho hace aumentar la presión. Es decir que no es
suficiente con medir solo la presión, ya que dos puntos con igual presión atmosférica
pueden estar a distinta altura, el más elevado tendría menos columna de atmósfera pero
al tener más densidad el aire (por estar más frío) tendría finalmente la misma presión y
no podría determinarse el desnivel. Debido a esto es que en la nivelación barométrica se
determina presión atmosférica y temperatura simultáneamente.
La temperatura (que influye sobre la presión atmosférica) no es constante a lo
largo del día. Esto ocasiona que si se desea conocer el desnivel entre dos puntos se
deberá realizar simultáneamente la determinación de temperatura y presión en ambos
puntos. El modo de operar consiste en realizar dos estaciones: una fija en un punto de
control de cota conocida en el que se van tomando a intervalos de tiempo fijo la
temperatura y presión y otra itinerante en que dichos valores son tomados en puntos
cuya cota se desea conocer en los mismos intervalos de tiempo. El instrumental utilizado
para medir la presión atmosférica es un barómetro (del griego baros = peso y metron =
medida) metálico particular denominado aneroide (del griego a = sin y neros = húmedo)
130
ya que no contiene líquido. La determinación de la temperatura se realiza por medio de
un termómetro.
Numerosos matemáticos establecieron ecuaciones barométricas, entre ellos
Laplace y Jordan siendo las de este último las más aceptadas por su exactitud y
sencillez. Además de la diferencia de temperatura y presión entre los puntos que se
desea determinar el desnivel, sus ecuaciones tienen en cuenta la latitud geográfica del
lugar, debido a que la gravedad no es la misma en todo el planeta (siendo máxima en los
Polos y mínima en el Ecuador). Esto afecta la atracción de los cuerpos, entre ellos la
atmósfera.
Con la ecuación de Jordan se elaboraron tablas que indican la altura que tendría
un punto con una temperatura y presión determinada.
Presión .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 mm Hg m m m m m m m m m m
745 190,9 189,7 188,6 187,5 186,3 185,2 184,1 182,9 181,8 180,6
746 179,5 178,4 177,2 176,1 175,0 173,8 172,7 171,6 170,5 169,3
747 168,2 167,1 165,9 164,8 163,6 162,5 161,4 160,3 159,1 158,0
748 156,9 155,7 154,6 153,5 152,3 151,2 150,1 149,0 147,8 146,7
749 145,6 144,5 143,3 142,2 141,1 139,9 138,8 137,7 136,5 135,4
750 134,3 133,2 132,0 130,9 129,8 128,6 127,5 126,4 125,3 124,1
751 123,0 121,9 120,8 119,6 118,5 117,4 116,3 115,1 114,1 112,9
752 111,8 110,6 109,5 108,4 107,6 106,1 105,0 103,9 102,8 101,6
753 100,5 99,4 98,2 97,1 96,0 94,9 93,8 92,7 91,5 90,4
754 89,3 88,2 87,0 85,9 84,8 83,7 82,6 81,4 80,3 79,2
755 78,1 77,0 75,8 74,7 73,6 72,5 71,4 70,2 69,1 68,0
756 66,9 65,8 64,6 63,5 62,4 61,3 60,2 59,1 57,9 56,8
757 55,7 54,6 53,5 52,3 51,2 50,1 49,0 47,9 46,8 45,6
758 44,5 43,4 42,3 41,3 40,1 38,9 37,8 36,7 35,6 34,5
759 33,4 32,3 31,1 30,0 28,9 27,8 26,7 25,6 24,5 23,3
760 22,2 21,1 20,0 18,9 17,8 16,7 15,6 14,5 13,3 12,2
761 11,1 10,0 8,9 7,8 6,7 5,6 4,4 3,3 2,2 1,1
762 0,0 -1,1 -2,2 -3,3 -4,4 -5,5 -6,7 -7,8 -8,9 -10,0
Tabla 40: Tabla de Jordan (para t = 15°C y considerando 762 mm Hg la presión
atmosférica al nivel del mar)
Puede observarse que en el nivel del mar (0,0m) existe una presión atmosférica
de 762,0 mm de Hg. Presiones menores (siempre considerando una temperatura de 15°)
implican alturas mayores. Presiones mayores a 762,0 mm Hg implicarían depresiones
absolutas (cotas menores al nivel medio del mar) indicadas con valores negativos en la
Tabla 40.
¿Como medir un edificio con un barómetro?
En un examen de Física a un estudiante se le preguntó como medir un edificio con un barómetro.
El alumno respondió que se le ocurrían muchas formas: a) atar el barómetro a una soga y descolgarlo
desde la azotea del edificio, llegar hasta el suelo con el barómetro y hacer una marca en la soga para
luego medirla en una superficie horizontal; b) utilizar el barómetro como unidad de medida e ir haciendo
marcas en las paredes de la escaleras a medida que se sube el edificio, contar las marcas al bajar y
multiplicar dicho número por la altura del barómetro; c) en un día de sol colocar verticalmente el
barómetro y medir su sombra, medir la longitud de la sombra del edificio y por semejanza de triángulos
determinar la altura del mismo ya que la altura del barómetro es a su sombra como la del edificio a la
propia (Figura 111, arriba); d)utilizando semejanza de triángulos acercarse o alejarse del edificio
131
sosteniendo el barómetro con el brazo alargado hasta que la visual del operador pase al mismo tiempo
por el extremo del barómetro y el del edificio, el largo del brazo será a la altura del barómetro como la
distancia que separa al operador del edificio lo es al alto del edificio(Figura 111, abajo); e)ofrecerle al
portero del edificio el barómetro a cambio de que informe la altura del edificio. El profesor no estaba
satisfecho con las respuestas ya que si bien eran correctas ninguna de ellas demostraba que el alumno
sabía Física. Decidió darle una nueva oportunidad aclarándole que debía demostrar en su respuesta que
dominaba la asignatura. La respuesta del alumno fue f)subir a la azotea con el barómetro y un
cronómetro, soltar el barómetro y con el cronómetro medir el tiempo que tarda el barómetro en
estrellarse en el suelo. Con el tiempo y aplicando la ecuación 𝑒 =1
2𝑎. 𝑡2 puede calcularse el espacio
recorrido por el barómetro que es la altura del edificio. El Profesor debió aprobar al alumno que años
más tarde (en 1922) recibiría el Premio Nóbel de Física por sus trabajos sobre la estructura del átomo.
Se trataba del danés Niels Bohr.
Figura 111: El danés Niels Bohr discutiendo con Albert Einstein la teoría cuántica y dos
de sus ingeniosos métodos para hallar la altura de un edificio con un barómetro
Nivelación Trigonométrica
El principio de esta nivelación es determinar el desnivel entre dos puntos
midiendo un ángulo vertical (ángulo de altura o distancia cenital), la altura del
instrumento de medición y la altura de la señal. El instrumento utilizado puede ser un
teodolito o brújula forestal, que permiten medir un ángulo vertical llamado ángulo
cenital pues el origen ó 0 de dicho ángulo se considera en la vertical del lugar también
denominada cenit. Observar que el ángulo cenital que mide el teodolito es el
complemento (diferencia con 90°) del ángulo o ángulo de elevación que es el ángulo
medido a partir de la horizontal.
El cálculo del desnivel se determina de la manera indicada en la Figura 112.
𝑑=
𝐻
𝐷
𝑠
=
𝑆
𝐻
s S
H
h
d
D
H h
132
Cenit
sñ
P
i
ZP
AP
ZA
Figura 112: Cálculo del desnivel mediante nivelación trigonométrica
Datos: zA(cota del punto A), distancia AP
Medidas: (ángulo cenital ó en su defecto ángulo de elevación), i (altura del
instrumento), sñ (altura de la señal o mira)
Incógnita: zP
Resolución:
∆𝐻𝐴𝑃 =𝐴𝑃
tan 𝛽+ 𝑖 − 𝑠ñ + 𝑐𝑟
Donde: 𝐴𝑃 = distancia AP (determinada previamente)
cr = corrección por la influencia de la curvatura y refracción
Nótese que para la determinación del desnivel se hace uso de la función
trigonométrica tangente, de allí proviene el nombre de nivelación trigonométrica.
Para evaluar la cr se puede usar la siguiente ecuación aproximada:
𝑐𝑟(𝑚) =0,07𝑚
𝑘𝑚2 𝐴𝑃 (𝑘𝑚) 2
Finalmente se puede calcular la zP mediante: zP = zA + HAP
Si se contara con el dato de la cota de otro punto B, se podría efectuar el mismo
proceso para la distancia BP y obtener la zP a partir de zB, promediando luego el
resultado con los valores obtenidos a partir de zA.
A
133
Ejemplo
Sean 2 puntos A y B con coordenadas locales conocidas, en los cuales se hace
estación con un teodolito para determinar las coordenadas de un tercer punto P
(incógnita).
P
A B
Figura 113: Nivelación trigonométrica de P desde el punto A
Datos:
XA = 100 XB = 100 ZA = 10
YA = 100 YB = 150 ZB = ---
Mediciones:
Ángulos horizontales = 59º19’45’’ = 60º00’10’’
Ángulo cenital medido haciendo estación en A y bisectando señal posicionada
sobre P = 89º42’40’’
Altura del teodolito: i = 1,61m
Altura de la señal en punto P: sñ = 2,5m
Se trata del método planimétrico de intersección directa. Se conoce la base AB y
se desea determinar las coordenadas de un tercer punto P.
1)Se determinan las coordenadas planas XP eYP
La distancia AB surge por Pitágoras
𝐴𝐵 = ∆𝑋2 + ∆𝑌2 = 02 + 502 = 50𝑚
El AzAB = 90° y el AzAP = AzAB - = 90° - 59º19’45’’ = 30°40’15’’
La distancia AP puede ser calculada mediante el teorema del seno
sin
𝐴𝐵=
sin
𝐴𝑃
sabiendo que = 180° - - = 60°40’05’’
𝐴𝑃 =sin . AB
sin = 49,67𝑚
134
XAP = AP . cosAzAP = 49,67m . cos30°40’15’’ = 42,72m XP = XA + XAP =
142,72m
YAP = AP . senAzAP = 49,67m . sen30°40’15’’ = 25,34m YP = YA + YAP =
125,34m
Queda por resolver la coordenada ZP
Se determina el HAP
cr(m) = 0,07 . AP2
(km) = 0,07 . 0,049672 = 0,00017m despreciable
∆𝐻𝐴𝑃 =𝐴𝑃
tan+ 𝑖 − 𝑠ñ + 𝑐𝑟
∆𝐻𝐴𝑃 =49,67𝑚
tan 89º42’40’’+ 1,61𝑚 − 2,5𝑚 = −0,64𝑚
ZP = ZA + HAP = 10 + (– 0,64) = 9,36m
Problema
Se realizó una intersección lateral para obtener las coordenadas X, Y, Z de un
punto M, donde se proyecta instalar un molino.
Datos:
XA = 122,53 XB = 118,32 ZA = 77,83
YA = 177,89 YB = 147,39 ZB = ---
Mediciones
Ángulos horizontales (en A) = 39º19’45’’ (en M) = 75º07’47’’
Ángulo cenital medido haciendo estación en A y bisectando señal posicionada
sobre M = 80º50’27’’
Altura del teodolito: i = 1,5m
Altura de la señal en punto M: sñ = 1,33m
Incógnita:
Determinar las coordenadas del punto M. (el punto M se encuentra a la derecha
del lado AB yendo de A hacia B)
135
NIVELACIÓN GEOMÉTRICA
Fundamento o principio
La nivelación geométrica se basa en dirigir visuales horizontales sobre reglas
graduadas o “miras” que se colocan verticales sobre los puntos que se desean nivelar o
determinar su cota.
Figura 114: Principio de la nivelación geométrica: visuales horizontales sobre miras
verticales
En la Figura 114 puede observarse que entre los puntos A y B se ha localizado un
trípode y sobre el mismo un nivel de anteojo, con el cual se realiza una visual horizontal
sobre las reglas graduadas o miras, ubicadas en A y B. En las miras se leen las distancias
existentes entre el suelo y la visual (el cero de la mira siempre se apoya en el suelo), por
lo tanto en los puntos más bajos (como A en el ejemplo) las lecturas de mira son
mayores. La diferencia de cota o desnivel entre los puntos se obtiene por diferencia de
lecturas (simbolizadas como hmA y hmB). En el ejemplo el desnivel de A hacia B es de
∆𝐻𝐴𝐵 = 𝑚𝐴 − 𝑚𝐵
∆𝐻𝐴𝐵 = 1,45𝑚 − 1,25𝑚
∆𝐻𝐴𝐵 = +0,2𝑚 = +20𝑐𝑚
Obsérvese que el desnivel tiene un signo (+) y un sentido (de A hacia B) y en el
sentido contrario (de B hacia A) es de signo opuesto.
∆𝐻𝐵𝐴 = 𝑚𝐵 − 𝑚𝐴
∆𝐻𝐵𝐴 = 1,25𝑚 − 1,45𝑚
∆𝐻𝐵𝐴 = −0,2𝑚 = −20𝑐𝑚
En definitiva, al ir de A hacia B se ascienden 20cm y al hacer lo contrario se
deben descender 20cm. Por lo tanto al expresar un desnivel el mismo tiene un sentido
(∆𝐻𝐴𝐵 ó ∆𝐻𝐵𝐴) y un signo (+ ó -) y ambos deben ser claramente expresados para evitar
confusiones.
A
B
hmA = 1,45
hmB = 1,25
∆HAB=0,2
136
El desnivel (∆𝐻𝐴𝐵) suele expresarse como lectura espalda menos lectura frente o
también como lectura atrás menos lectura adelante.
∆𝐻𝐴𝐵 = 𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑙𝑑𝑎 − 𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 (1)
∆𝐻𝐴𝐵 = 𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑡𝑟á𝑠 − 𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒 (2)
∆𝐻𝐴𝐵 = 𝑚𝐴 − 𝑚𝐵
Avanzando desde A hacia B, la expresión (1) hace referencia a que el operador
tendrá a su espalda el punto A y delante de su frente el punto B. La expresión (2) tiene
un razonamiento análogo (lo que queda atrás y lo que queda adelante teniendo en cuenta
el sentido de avance).
Pendiente
La pendiente entre dos puntos relaciona el desnivel existente entre dichos puntos
con la distancia horizontal que los separa siendo en consecuencia una magnitud
adimensional. Es común expresar el valor de pendiente en porcentaje (%). Cuando se
trata de relieves muy llanos (como la Depresión del Salado), en que las pendientes son
muy pequeñas, suele utilizarse la expresión “por mil” (‰). La pendiente en porcentaje
indica cuantos metros sube (o baja) el terreno cuando se avanza 100m en una
determinada dirección. La expresión “por mil” indica cuanto sube o baja en mil metros
de distancia.
𝑃𝑒𝑛𝑑.𝐴𝐵 % = ∆𝐻𝐴𝐵
𝐴𝐵 × 100
𝑃𝑒𝑛𝑑.𝐴𝐵 ‰ = ∆𝐻𝐴𝐵
𝐴𝐵 × 1000
En el ejemplo mostrado en la Figura 114 y suponiendo que la distancia que
separa los puntos A y B es 40m la pendiente entre ambos puntos será
𝑃𝑒𝑛𝑑.𝐴𝐵 % = +0,20𝑚
40𝑚 × 100 = +0,5%
𝑃𝑒𝑛𝑑.𝐴𝐵 ‰ = +0,20𝑚
40𝑚 × 1000 = +5‰
Quiere decir que yendo de A hacia B se ascienden 0,5m cada 100m de distancia,
o se ascienden 5m cada 1000m de distancia.
También al expresar la pendiente debe explicitarse el sentido de avance y el
signo para evitar equivocaciones. Obsérvese que la pendiente de B hacia A tiene igual
módulo pero signo contrario a la pendiente de A hacia B.
𝑃𝑒𝑛𝑑.𝐵𝐴 % = ∆𝐻𝐵𝐴
𝐵𝐴=
−0,20𝑚
40𝑚 × 100 = −0,5%
137
Debe tenerse presente que la distancia que se considera para el cálculo de la
pendiente es la distancia horizontal o distancia topográfica (distancia reducida al
horizonte) y no la distancia inclinada o natural.
Figura 115: Distancia horizontal, distancia natural, desnivel y ángulo de elevación ()
Existe una relación entre la pendiente y el ángulo de elevación. La pendiente es
la tangente del ángulo de elevación ().
𝑡𝑔 = ∆𝐻𝐴𝐵
𝐴𝐵= 𝑃𝑒𝑛𝑑.𝐴𝐵
Hasta pendientes del 3% (ángulos de elevación de 1°45’) pueden considerarse
despreciables las diferencias entre distancia natural y distancia topográfica.
Instrumental utilizado
En la nivelación geométrica se utilizan como instrumentos el nivel de anteojo o
equialtímetro y las miras.
Nivel de anteojo o equialtímetro
Principio de funcionamiento
El nivel de anteojo consta de un anteojo por el cual se realizan las visuales. Para
que las mismas sean horizontales (principio de la nivelación geométrica) se adosa al
anteojo un nivel tubular que por construcción tiene su eje paralelo al eje del anteojo. De
esta manera, cuando se horizontaliza el nivel tubular mediante la operación de calado se
horizontaliza simultáneamente el anteojo.
Figura 116: Paralelismo entre el eje del nivel y el del anteojo
Nivel esférico
El nivel de anteojo presenta asimismo un nivel esférico adosado a la base de su
plataforma. Con el nivel esférico se efectúa un “calaje grueso” es decir una
horizontalización aproximada de la base del aparato necesaria para, a posteriori, realizar
el “calaje fino” u horizontalización definitiva mediante el nivel tubular (que es el
Eje del nivel
Eje del anteojo
A
B
∆HAB
AB horizontal
AB natural
138
paralelo al anteojo). El nivel esférico tiene una menor precisión que el tubular. Los
niveles son más precisos cuando mayor es su radio de curvatura. El nivel esférico es un
casquete esférico parcialmente lleno con un líquido que posee un círculo en su parte
superior en el que debe ubicarse mediante las operaciones de calado a la burbuja de aire
que contiene en su interior.
Figura 117: Calado del esférico.
Desplazamiento de la burbuja hacia A
Figura 118: Calado del esférico.
Desplazamiento de la burbuja hacia B
Figura 119: Calado del esférico.
Desplazamiento de la burbuja hacia C
Figura 120: Calado del esférico.
Desplazamiento de la burbuja en sentido
contrario a C
El calado del nivel esférico se fundamenta en el hecho de que la posición de tres
puntos definen un plano. Si a los tres puntos definidos por el plano en que se encuentra
alojado el nivel esférico se les puede variar la altura, puede lograrse que tengan todos la
misma y en consecuencia el plano sea horizontal y el nivel esférico quede calado (que su
burbuja de aire se encuentre en el círculo delimitado en la parte superior del nivel). El
calado del nivel esférico se realiza siguiendo los siguientes pasos. Se coloca el nivel
esférico entre dos de los tres tornillos calantes (en la Figura 117 se ha colocado entre los
tornillos A y B). Se giran los tornillos calantes en sentido contrario (en la Figura 117 el
A se gira en sentido horario y el B en sentido antihorario) logrando con ello aumentar la
altura de A y disminuir la de B (nótese que la burbuja en 3a ocupa un lugar más cercano
a B lo que indica que dicho punto está más alto). La burbuja se desplazará gradualmente
hacia la izquierda (hacia el tornillo A) debiendo lograr con el calado que se ubique en el
centro de la distancia AB. Si esta operación persiste puede ser que se acerque a A más
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C
139
de lo necesario. En este caso deberá hacerse la operación contraria: el A se gira en
sentido antihorario y el B en sentido horario, logrando con ello aumentar la altura de B y
disminuir la de A (Figura 118). Ubicada la burbuja en el centro de la distancia AB resta
moverla en sentido perpendicular a dicha dirección. Para poder hacerlo se gira el tornillo
C en sentido horario, logrando así aumentar la altura de C (la burbuja esta más cerca del
eje AB que de C, lo que implica que C está más bajo). Haciendo esto, la burbuja se
desplazará hacia C debiendo llegar a ocupar la parte central del retículo del nivel
esférico (Figura 119). En caso de haberse acercado más de lo necesario (y haber
sobrepasado el retículo) se puede realizar la operación contraria (se gira el tornillo C en
sentido antihorario, logrando así disminuir la altura de C) para que la burbuja se aleje de
C y se ubique en el retículo (Figura 120).
El nivel esférico permite una horizontalización parcial y aproximada de la base
del instrumento. El calado del nivel esférico se realiza una vez por estación. Al
estacionar el nivel y fijar el trípode al suelo es lo primero que se efectúa. Mientras el
aparato no se mueva de ese lugar no se vuelven a tocar los tres tornillos calantes. No
obstante, es conveniente visualizar periódicamente que la burbuja del nivel esférico
ocupe aproximadamente la ubicación central del retículo ya que en caso contrario,
podría significar que por algún movimiento involuntario (p.ej: tropezar con el trípode),
pudo modificarse la altura de alguno de los tres puntos de calado. En este caso debería
reiniciarse la operación para evitar errores groseros. Es importante por ello que en el
momento de trabajar con el nivel (y con todo instrumento que se sostenga por medio de
un trípode y requiera ausencia de movimiento) el operador tenga especial cuidado en los
movimientos que realiza evitando mover o golpear las patas con sus pies o con su
mochila en caso de que la llevase. Es recomendable que no tenga consigo más que la
libreta de anotaciones, papel y lápiz.
Figura 121: Nivel de anteojo. Vista del nivel
esférico (retícula y burbuja de aire)
Figura 122: Nivel de anteojo. Tornillos
calantes y nivel tubular con burbuja
descentrada
Nivel tubular
El nivel tubular es un tubo de vidrio de forma tórica que se encuentra
parcialmente lleno con un líquido de baja densidad (agua o alcohol) que deja una
burbuja de aire que siempre ocupará la parte superior de dicho nivel. El eje del nivel se
define como la recta tangente al mismo en su parte central. La parte central del nivel está
delimitada por una serie de marcas en las que debe ubicarse la burbuja de aire mediante
la operación de calado.
Nivel esférico
Burbuja de aire
Tornillos
calantes
Nivel
tubular
Burbuja
descentrada
140
El calado del nivel tubular se realiza mediante un tornillo especial (que no es
ninguno de los tres tornillos utilizados para el calaje del esférico) denominado “tornillo
de elevación”. Girando el tornillo de elevación en alguno de los dos sentidos (horario u
antihorario) se logra desplazar la burbuja del nivel tubular de manera que la misma
ocupe la parte central del mismo. Algunos niveles permiten ver la burbuja de aire a
través de un anteojo de manera tal que se observan dos mitades de burbuja
correspondientes a los extremos de la misma y mediante el tornillo de elevación se
mueven dichas mitades de manera de hacerlas coincidir, lo que implica que la operación
de calado del nivel tubular ha concluido.
Figura 123: Burbuja partida. Calado
antihorario
Figura 124: Burbuja partida. Calado
horario
Figura 125: Nivel tubular con burbuja partida. Calado finalizado
Existen niveles denominados automáticos que no presentan nivel tubular y en
consecuencia tampoco tienen tornillo de elevación. Sólo tienen un nivel esférico que se
cala de la misma manera que la detallada anteriormente. Estos niveles presentan un
sistema interno de espejos que pendulan y que garantizan de esta manera que la visual
sea siempre horizontal. Con el nivel esférico de los niveles automáticos se consigue una
horizontalidad mínima que evite que el péndulo esté tocando alguna pared interna del
nivel y en consecuencia se encuentra limitada su posibilidad de pendular.
141
Figura 126: Nivel de anteojo. Eje del anteojo y nivel
tubular con burbuja centrada
Precisión de los niveles
Como se explicitó previamente los niveles son más precisos cuando mayor sea su
radio de curvatura. Que media burbuja de aire se encuentre fuera de las marcas del nivel
implica una desviación angular mayor en un nivel de menor radio de curvatura. Un
mismo ángulo de desviación en la horizontalización implicará un desplazamiento de la
burbuja mucho mayor en una esfera de radio mayor.
Figura 127: Nivel con mayor radio de curvatura (izquierda) y menor radio (derecha)
Tornillos de enfoque
El anteojo del nivel presenta sobre su eje dos tornillos. Uno de ellos ubicado en
la mitad del anteojo o cercano al ocular (lugar del anteojo donde se apoya el ojo para
observar) permite enfocar la imagen, es decir ver claramente imágenes más cercanas o
alejadas al nivel. Girándolo en uno u otro sentido se enfocan objetos que están más o
menos alejados del aparato.
Existe sobre el ocular otro tornillo que permite aclarar la imagen de los hilos del
retículo. Cuando se observa por el nivel de anteojo se podrá observar una línea vertical
que cubre toda la imagen denominada “hilo vertical” y tres líneas horizontales. De las
tres líneas horizontales solo la central cubre todo la imagen y se denomina “hilo medio”.
Las dos restantes cubren solo parte de la imagen denominándose “hilo superior” a la que
se observa por encima del hilo medio e “hilo inferior” a la que se ve por debajo del
mismo (Figura 128). A los hilos superior e inferior se los denomina hilos estadimétricos
Eje del
anteojo
Burbuja
centrada
142
ya que permiten por un método indirecto denominado estadimetría determinar la
distancia entre el instrumento y la mira.
Figura 128: Hilos del retículo
Figura 129: Nivel de anteojo. Tornillos de enfoque, tornillo
de elevación y rosca para fijación a trípode
Limbo horizontal
Los niveles vienen provistos de un círculo graduado horizontal (llamado limbo
horizontal) que permite determinar junto con los hilos estadimétricos, la ubicación
planimétrica de los puntos levantados mediante un método denominado “taquimetría con
nivel” o “nivelación areal por radiación”.
Algunos instrumentos permiten la visualización directa del valor angular
denominado “dirección horizontal”, valor que oscila entre 0 y 360°. En otros, se realiza
la lectura a partir de un anteojo que por medio de espejos y lentes logra la visión
aumentada del círculo graduado. Muchos niveles por medio de un tornillo permiten
modificar la posición de la dirección horizontal 0°, es decir, permiten mover el círculo
horizontal en sentido horario o antihorario logrando de esta manera preestablecer la
dirección de origen de acuerdo a la conveniencia del levantamiento que se realice.
Muchos niveles presentan un tornillo tangencial al círculo horizontal denominado
“tornillo de pequeños movimientos horizontales” que permite como su nombre lo indica
Hilo inferior
Hilo superior
Hilo medio
Hilo vertical
Tornillo de
hilos del
retículo
Tornillo de
enfoque
Tornillo de
elevación
Rosca para
fijación a
trípode
143
realizar movimientos horizontales leves y es utilizado para hacer puntería sobre la mira.
En algunos niveles dicho tornillo solo funciona cuando el círculo horizontal está frenado
mediante un “tornillo de freno” que tiene una ubicación radial respecto del círculo
horizontal.
Figura 130: Nivel de anteojo. Movimiento y lectura del limbo
horizontal
Miras
Con el nivel se realizan las lecturas sobre las miras que son reglas graduadas al
centímetro en las que se puede apreciar o estimar el milímetro.
Figura 131: Mira de visual directa con
nivel esférico
Figura 132: Mira de visual inversa
telescópica
La longitud de las miras varía entre 3 y 4 metros. Pueden ser pleglabes (o a
charnela) o telescópicas (introduciéndose los tramos superiores dentro de los inferiores).
Nivel
esférico
Tornillo de
pequeños
movimientos
horizontales
Anteojo para
lectura de círculo
graduado
Tornillo de giro
del limbo
horizontal
144
Se les puede adosar un nivel esférico (como el que posee el nivel) para que el “mirero”
(ayudante que sostiene la mira) pueda verificar la verticalidad de la misma cuando la
sostiene sobre los puntos de interés.
Las miras están graduadas en unidades métricas y siempre presentan el cero en la
base que apoya en el suelo. En las miras se utilizan distintas graduaciones. Los metros
enteros pueden ir expresados en números arábigos pero lo más común es que estén
expresados con números romanos. Para cada metro se utilizan colores diferentes
alternados siendo los más usuales el rojo y el negro. Los decímetros se expresan con
números arábigos. Por último, los centímetros están representados con letras E. Puede
verse en la Figura 131, Figura 132 y Figura 133 que cada letra E tiene tres patas y dos
espacios, cada uno de ellos de 1cm totalizando cada E 5cm. Asimismo se alternan letras
E negras y blancas (o rojas y blancas). Los cm no se encuentran numerados y deben
contarse las “patas” y espacios de las E. Es habitual asimismo, en nivelaciones de mayor
precisión, estimar el mm.
A la derecha puede observarse un tramo de una
mira de visual directa. Esto puede comprobarse
debido a que los valores crecen hacia arriba. Los
metros enteros se expresan con números romanos
mientras que los decímetros con números arábigos.
Obsérvese que en cada decímetro hay una E
roja y una E blanca (o una E negra y una blanca).
Cada segmento de la E representa 1cm por lo que
toda una E representa 5 cm.
Se han señalado distintos lugares de la mira
con flechas y se indica cual debería ser la lectura en
cada uno de ellos.
En la lectura superior se ha estimado el
milímetro. Obsérvese que la lectura al centímetro
debería ser entre 1,17 y 1,18m. Por aproximación
debería ser 1,17. Los milímetros se estiman a ojo.
Figura 133: Mira de visual directa
y lecturas correspondientes
08
09
I
11
0,9
0,97
1
1,12
1,174
145
Miras de visual inversa
Los niveles modernos brindan imágenes derechas (la imagen se ve al derecho).
Para este tipo de niveles se utilizan “miras de visual directa” como la mostrada en la
Figura 131 y en la Figura 133. En estas miras los valores se encuentran al derecho ya
que serán observadas por niveles que permitan visuales derechas. Algunos niveles (sobre
todo los antiguos) brindan una imagen invertida de lo observado. Para este tipo de
niveles se utilizan “miras de visual inversa” que son similares a las anteriores solo que
tienen los valores escritos en forma invertida de manera que cuando los mismos sean
observados a través de un nivel de anteojo de visual inversa se lean al derecho. No
obstante ello debe tenerse presente que el sentido creciente de la lectura es hacia abajo
(el valor crece hacia la parte inferior de la imagen) ya que con la parte inferior en
realidad se ve la parte superior (por ser la visual invertida). Obsérvese que las miras de
visual inversa solo difieren de las de visual directa en que tienen los números invertidos
pero el cero sigue permaneciendo en la base de la mira y el valor también es creciente
hacia arriba (observándolas a ojo desnudo).
Figura 134: Mira de visual inversa observada a
ojo desnudo. Números invertidos
Figura 135: Mira de visual inversa
observada a través del nivel. Los
números se ven al derecho. La lectura
crece hacia abajo
Estadimetría
La estadimetría es un método indirecto para determinar distancias. Su
fundamento consiste en que cuando la mira está más alejada del nivel mayor es el tramo
de mira abarcado entre hilo superior e inferior. Cuando se observa por el anteojo del
nivel mirando hacia el hilo medio se dirige una visual horizontal, y por lo tanto este es el
hilo utilizado para determinar los desniveles. Si se dirige la visual por el hilo superior se
realiza una visual ligeramente inclinada hacia arriba y lo contrario si se dirige la visual
por el hilo inferior (se realiza una visual ligeramente inclinada hacia abajo). Esto sucede
en los niveles de visual directa. Por lo tanto las lecturas de hilo superior en estos niveles
siempre son mayores que las del hilo medio y a su vez éstas mayores que las del hilo
146
inferior. El promedio entre hilo superior e inferior debería dar aproximadamente el hilo
medio (puede haber pequeñas diferencias debidas a los errores accidentales en la
apreciación del milímetro). En los aparatos de visual inversa se utiliza el mismo
principio, cuanto mayor es la diferencia entre hilo superior e inferior, mayor es la
distancia instrumento-mira, sólo que estos aparatos el hilo superior tiene menor valor
que el medio y éste a su vez menor valor que el inferior. Esto es debido a que al tener
visual inversa se observa en la parte superior de la imagen el tramo de mira más cercano
al suelo y en la parte inferior el tramo superior de la mira. Observar en la Figura 135 que
en la parte superior se ve el pasto donde está apoyada la mira. No obstante el principio
es el mismo, a mayor diferencia de lectura entre hilo superior e inferior, mayor es la
distancia instrumento-mira. Para obtener la distancia finalmente se multiplica la
diferencia de lecturas de hilo por una constante denominada “constante estadimétrica”
(k).
𝐷 = 𝑠 − 𝑖 . 𝑘
Siendo D = distancia instrumento mira y k = constante estadimétrica (es habitual el valor
100).
Obsérvese que lo que importa de la diferencia de hilos es el valor absoluto (o
segmento abarcado de mira por ambos hilos). Se expresa en valor absoluto para evitar
los valores negativos que tendría esta diferencia si se tratase de instrumentos de visual
inversa (en los que el valor de hilo superior es menor que el de hilo inferior).
Figura 136: Principio de la estadimetría. Cuanto mayor es la distancia instrumento-mira
mayor es el segmento |hs-hi|. Nivel de visual directa (hshi)
Lecturas de mira
A continuación se muestran distintos tramos de mira observados a través del
anteojo de un nivel de visual directa (los valores crecen hacia la parte superior de la
imagen). Aparecen debajo de cada imagen las lecturas que se realizarían de los distintos
hilos si se estimase el milímetro y la distancia instrumento-mira calculada a partir de la
constante estadimétrica k = 100. Las miras se ven más o menos grandes de acuerdo a la
distancia al instrumento. En las más alejadas resulta más dificultosa la estimación del
milímetro.
hi
hs
hm
147
hs = 0,853 hm = 0,754 hi = 0,656
D =|hs – hi| x 100 = |0,853 – 0,656| x 100
=19,7m
hs = 1,007 hm = 0,957 hi = 0,907
D = 10m
hs = 1,754 hm = 1,682 hi = 1,606
D = 14,8m
hs = 2,568 hm = 2,445 hi = 2,318
D = 25m
Figura 137: Miras observadas por el anteojo de nivel con las lecturas efectuadas
Error de colimación
Definición
El “error de colimación” es el principal error de los niveles de anteojo. El mismo
consiste en la falta de paralelismo entre el eje del nivel y el eje del anteojo. Cuando se
utiliza el nivel se asume que el eje del anteojo es paralelo al eje del nivel. Teniendo esto
en cuenta se cala el eje del nivel y finalizada esta operación se asume que el anteojo es
paralelo al eje del nivel y en consecuencia también se encuentra en posición horizontal.
Puede ser que por defecto de construcción o por algún golpe recibido, el eje del nivel se
haya desplazado con respecto al que debiera tener y no sea paralelo al anteojo. Esto
constituye el error de colimación: “es la falta de paralelismo entre el eje del nivel y el eje
del anteojo”.
148
Figura 138: Error de colimación: Falta de paralelismo entre el eje del nivel y el del
anteojo
En la Figura 138 puede observarse que el nivel ha sido calado (la burbuja se
encuentra centrada dentro de la retícula) y su eje se encuentra horizontal pero al no ser
paralelos los ejes del nivel y del anteojo, este último no se encuentra horizontal y en
consecuencia no serán horizontales las visuales que se realicen con el mismo.
Compensación
El error de colimación se puede compensar realizando la “nivelación desde el
medio”. La misma consiste en colocar la estación de nivel equidistante de los puntos a
nivelar. Esto no implica que la estación esté sobre el lado que forman los puntos a
nivelar. Puede estar apartada del mismo pero debe estar equidistante de ambos puntos.
Figura 139: Posible ubicación de la estación de nivel respecto del lado AB. E1 se
encuentra sobre el lado mientras que E2 y E3 se encuentran a ambos lados. Todas son
equidistantes de A y B
La determinación de la ubicación de la estación para garantizar la equidistancia
puede hacerse con cinta o a pasos.
Figura 140: Error de colimación. Compensación realizando nivelación desde el medio
Eje del anteojo
Eje del nivel
A B
E2
E1
E3
A
B
hmA = 1,45 hmB = 1,25
∆HAB=0,2
hm’A = 1,50 hm’B = 1,30
eA eB
149
Una vez ubicada la estación en un punto equidistante de los puntos a nivelar se
realizan las visuales a los mismos y se determina el desnivel como diferencia de lecturas.
Las lecturas que se realizan son hm’A = 1,50 y hm’B = 1,30. Obsérvese que
dichas lecturas son realizando la visual inclinada debido a que se está trabajando con el
aparato con error de colimación. Las lecturas correctas habrían sido aquéllas obtenidas
dirigiendo una visual horizontal (hmA = 1,45 y hmB = 1,25). No obstante se obtendrá el
mismo desnivel o ∆H.
∆HAB = hm’A − hm’B
hm’A e hm’B pueden escribirse como
hm’A = hmA + eA
hm’B = hmB + eB
Reemplazando en ∆H
∆HAB = hmA + eA − hmB + eB
Quitando paréntesis
∆HAB = hmA + eA − hmB − eB
Los errores eA y eB son iguales ya que el ángulo de inclinación de la visual es
idéntico en todas las direcciones y la distancia entre la estación y los puntos es la misma
(por estar equidistante) y debido a esto en la ecuación de ∆H se compensan.
Como
𝑒𝐴 = 𝑒𝐵
∆HAB = hmA − hmB
Con esto se comprueba que realizando la nivelación desde el medio se compensa
el error de colimación y se llega al desnivel verdadero. Nótese que el error está presente
pero al tener la misma magnitud en ambos puntos (por realizar la nivelación desde el
medio) con la resta de lecturas que se hace para obtener el ∆H se compensa y el desnivel
hallado es el verdadero.
Comprobación
En algunas aplicaciones de la nivelación geométrica resulta interesante conocer
la presencia y magnitud del error de colimación.
Para comprobar la existencia de este error se efectúa la nivelación de dos puntos,
primero desde el medio y a continuación desde un lugar muy próximo a uno de los dos
150
puntos. Si no existe error de colimación el desnivel obtenido desde ambas estaciones
debería ser el mismo.
Supóngase que se trata de los puntos A y B y que se hizo previamente la
nivelación desde el medio de la manera mostrada en la Figura 140, encontrando un
desnivel de 0,2m. Como el desnivel hallado se hizo a partir de una nivelación desde el
medio debe considerárselo como válido, pues aunque exista error de colimación se ha
visto que se compensa con esta forma de realizar la medición. A continuación se ubica la
estación muy próxima a A (podría ser también próxima a B) y se realizan las lecturas
nuevamente desde esta segunda estación obteniendo el desnivel desde el extremo.
Figura 141: Error de colimación. Compensación realizando nivelación desde el medio
Si el nivel no tuviese error de colimación la visual sería horizontal y las lecturas
serían hmA = 1,37 y hmB = 1,17, con lo que el desnivel resultaría
∆HAB = hmA − hmB
∆HAB = 1,37 – 1,17 = +0,2m
De esta manera se confirmaría que el aparato no tiene error de colimación.
Obsérvese que las lecturas en A y en B son 8cm inferiores a las realizadas desde el
centro (Figura 140). Esto se debe a que al colocar el aparato más cerca de A, la estación
de nivel se coloca en un punto más bajo que cuando se coloca en el medio de los puntos.
En consecuencia se leen valores más bajos.
Si existiese error de colimación la visual no sería horizontal y tendría una ligera
inclinación (en el caso presentado, hacia arriba). La lectura en el punto alejado (B)
tendría un error pero la lectura en el punto cercano (A) no tiene error ya que la estación
se encuentra muy cerca de dicho punto. En consecuencia el error de colimación no se
compensa como cuando se realiza la nivelación desde el medio y el desnivel obtenido es
distinto a aquel obtenido desde el centro. En el caso presentado el desnivel hallado desde
el extremo contemplando que el instrumento tenga error de colimación sería:
∆H′AB = hm’A − hm’B
A
B
hmA = 1,37 hmB = 1,17
∆HAB=0,2
hm’A = 1,37
hm’B = 1,40
eA = 0 eB
151
∆H′AB = 1,37 − 1,40
∆H′AB = −0,03m
Al obtener un desnivel desde el extremo (∆H’AB=-0,03m) distinto del obtenido
desde el centro (∆HAB=+0,20m) se comprueba que existe error de colimación.
Corrección
Para corregir el error de colimación primeramente se determina cual debería ser
el valor que debería leerse en la mira en el punto lejano (hmB) para que el desnivel fuese
el mismo al calculado en la nivelación desde el centro (en la que el error de colimación
se compensa). La lectura en el punto cercano (hm’A) se considera correcta ya que el
instrumento está muy próximo a dicho punto y aunque exista error de colimación el
mismo es despreciable por la escasa distancia que separa nivel y mira.
∆H𝐴𝐵 = hm′A − hm′B
− ∆H𝐴𝐵 + hm′A = hm′B
hm′B = −0,20m + 1,37m = 1,17m
Una vez calculado este valor, se gira el tornillo de elevación (con el que se cala el
nivel tubular) hasta hacer que la lectura de hilo medio sea la que debería tener en dicho
punto (hm’B = 1,17m). Con esto se está logrando que la visual sea horizontal ya que el
desnivel que se obtiene de esta manera es el mismo al obtenido desde el medio (donde el
error es compensado). La visual no es inclinada sino horizontal
Figura 142: Corrección del error de colimación horizontalizando la visual
No obstante debe tenerse presente que al girar el tornillo de elevación se ha
modificado no solo la posición del eje del anteojo, sino también la posición del eje del
nivel quedando este último inclinado (con la burbuja descentrada).
A
B
hmA = 1,37 hmB = 1,17
∆HAB=0,2
eA = 0
152
Figura 143: Corrección del Error de colimación. Al horizontalizar el anteojo se mueve
también el eje del nivel y la burbuja se desplaza moviéndose fuera de la graduación
Finalmente para corregir el error de colimación se debe horizontalizar el eje del
nivel (moviéndolo hasta que la burbuja quede centrada) sin mover el eje del anteojo (que
ha quedado horizontalizado de acuerdo a las lecturas logradas a partir de los cálculos).
Para hacer esto se opera sobre un tornillo específico utilizado para corregir el error de
colimación. Dicho tornillo permite el desplazamiento del eje del nivel respecto del eje
del anteojo (se mueve el eje del nivel sin mover el del anteojo).
Figura 144: Corrección del Error de colimación. Movimiento del eje del nivel
independiente al eje del anteojo mediante el tornillo de corrección.
Luego de realizar el centrado de la burbuja mediante el tornillo de corrección
puede afirmarse que ambos ejes son horizontales (el del nivel por tener la burbuja
centrada y el del anteojo porque las lecturas realizadas en las miras dan el mismo
desnivel que el calculado desde el centro) y por lo tanto paralelos. En consecuencia el
instrumento ya no tiene error de colimación pues éste ha sido corregido.
Nivelación simple
Consiste en la nivelación de dos puntos que por su cercanía no demandan de la
realización de más de una estación.
Figura 145: Nivelación simple
Eje del anteojo
Eje del nivel
Eje del anteojo
Eje del nivel
A
B
hmA hmB
∆HAB
153
Nivelación compuesta
Consiste en una sucesión de nivelaciones simples por medio de las cuales se
nivelan puntos que se encuentran distantes. En este tipo de nivelaciones se suelen
determinar la cota de puntos intermedios, llamados puntos de paso.
Figura 146: Nivelación geométrica compuesta entre los puntos A y B utilizando 4
estaciones y 3 puntos de paso.
Transporte de cota
Se denomina transporte de cota a la nivelación geométrica compuesta consistente
en calcular la cota de determinados puntos a partir de la cota de otros puntos de cota
conocida utilizados como puntos de arranque en la nivelación. Si la nivelación
concluyese en un punto del cual no se conoce la cota, no se podría saber si se ha
cometido algún error en la misma. Si se termina la nivelación en otro punto de cota
conocida puede calcularse el error, ya que la diferencia entre la cota conocida de este
punto y la cota calculada del mismo a partir de la nivelación constituye el error.
Figura 147: Transporte de cota en planta. Se realizan estaciones entre los puntos a
nivelar. No es necesario que las mismas se ubiquen sobre el lado.
En el ejemplo planteado (Figura 148) el punto B tiene una cota 11cm mayor que
A de acuerdo al desnivel calculado, por lo que su cota será
𝑍𝐵 = 𝑍𝐴 + ∆𝐻𝐴𝐵
𝑍𝐵 = 10,00𝑚 + 0,11𝑚 = 10,11𝑚
A
B
PP1
PP2 PP3
EI
EII EIII
EIV
EII
EI
A
B
C
154
Figura 148: Transporte de cota en corte transversal. Si el punto C tiene cota conocida se
puede calcular el error de la nivelación.
La cota de C se calculará a partir de la cota de B y el desnivel medido entre B y
C
𝑍𝐶 = 𝑍𝐵 + ∆𝐻𝐵𝐶
𝑍𝐶 = 10,11𝑚 + (−0,61𝑚) = 9,50𝑚
Finalmente si el punto C es de cota conocida puede calcularse el error cometido
en la nivelación. Si ZC fuese por ejemplo 9,52m puede afirmarse que el error cometido
en la nivelación es de
𝑒 = 𝑍𝐶𝑐𝑎𝑙 − 𝑍𝐶 = 9,50𝑚 − 9,52𝑚 = −0,02𝑚 = −2𝑐𝑚
Se ha determinado la cota de C con un error por defecto de 2cm. Este error debe
compararse con la Tolerancia y de ser menor que la misma debe compensarse.
Nivelación por rodeo
A veces se parte de un punto de cota conocida y se realizan estaciones entre los
puntos que se quieren nivelar, volviendo al punto de partida y recalculando la cota del
mismo. A este tipo de nivelación, en la que el punto de partida coincide con el de llegada
se la denomina “nivelación por rodeo”.
Figura 149: Nivelación por rodeo en planta
EII
EI
EIII A
B
C
C
A B
EI
EII
∆HAB = hmA – hmB
∆HAB = 1,36 – 1,25
∆HAB = +0,11m ∆HBC = hmB – hmC
∆HBC = 0,34 – 0,95
∆HBC = -0,61m
ZA= 10,00m
155
Figura 150: Nivelación por rodeo en corte transversal. Se parte de un punto A y se
vuelve al mismo por lo que la suma de los niveles debería dar 0
En el ejemplo dado se había determinado la cota de C. Finalmente se realiza una
última estación entre el punto C y se determina el desnivel AC para con la cota de C
recalcular la cota de A.
𝑍𝐴 = 𝑍𝐶 + ∆𝐻𝐶𝐴
𝑍𝐴 = 9,50𝑚 + 0,52𝑚 = 10,02𝑚
La cota de A calculada a partir de los desniveles medidos es 10,02m, 2cm
superior a la cota que tiene (10,00m). Por lo tanto el error cometido en la nivelación es
de +2cm y debe ser comparado con la tolerancia. De ser menor que la misma, debe ser
compensado.
Otra manera de determinar el error cometido en una nivelación por rodeo es
sumar los desniveles (∆H). Obsérvese que al ir de A a B se ascienden 11cm y al ir de B
hacia C se descienden 61cm. Finalmente al ir de C hacia A se ascienden 52cm. Estos
valores de acuerdo a lo medido. No obstante téngase presente que si se parte de un punto
y se retorna al mismo punto todo lo subido en algún momento se deberá bajar y
viceversa (lo bajado se deberá subir). Por lo tanto la suma de los desniveles entre los
puntos debe ser 0, y de existir una diferencia con 0, la misma será el error. En el ejemplo
citado la suma de los desniveles es
∑∆𝐻 = ∆𝐻𝐴𝐵 + ∆𝐻𝐵𝐶 + ∆𝐻𝐶𝐴
∑∆𝐻 = +0,11 − 0,61 + 0,52
∑∆𝐻 = +0,02𝑚 = 휀
Error de la nivelación. Tolerancia
En una nivelación por rodeo la cota recalculada del punto de arranque debería dar
igual a la cota de partida (conocida) de dicho punto. En caso contrario la diferencia entre
la cota de partida del punto y la cota recalculada del mismo constituye el error de la
nivelación. Como todo error debe ser comparado con la tolerancia máxima admitida. Si
A A B
C
EI
EII EIII
∆HAB = hmA – hmB
∆HAB = 1,36 – 1,25
∆HAB = +0,11m ∆HBC = hmB – hmC
∆HBC = 0,34 – 0,95
∆HBC = -0,61m
∆HCA = hmC – hmA
∆HCA = 0,75 – 0,23
∆HAB = +0,52m
156
el error es inferior a la tolerancia (ℰT) la medición se considera válida y el error se
debe compensar, corrigiendo las cotas calculadas de los distintos puntos incluidos en la
nivelación. Si el error es mayor que la tolerancia (ℰT) se considera que en la
nivelación se han cometido errores groseros, por lo tanto no se considera válida la
medición. La nivelación debe efectuarse nuevamente y el error no debe compensarse.
La expresión de Tolerancia que se adopta en nivelación geométrica es:
𝑇(𝑐𝑚) = 1,5𝑐𝑚 𝑎 4,5𝑐𝑚 𝑥 𝐿 (𝑘𝑚)
Donde L es la distancia total recorrida en la nivelación.
Obsérvese que el valor que antecede a la raíz puede variar de 1,5cm a 4,5cm, es
decir, en las nivelaciones más rigurosas se adoptará el límite inferior (1,5cm) y en las
que no se necesite tanta precisión será como máximo 4,5cm.
La misma ecuación suele expresarse en milímetros o en metros quedando:
𝑇(𝑚𝑚) = 15𝑚𝑚 𝑎 45𝑚𝑚 𝑥 𝐿 (𝑘𝑚)
𝑇(𝑚) = 0,015𝑚 𝑎 0,045𝑚 𝑥 𝐿 (𝑘𝑚)
El valor de la distancia total recorrida siempre va expresado en kilómetros.
Recuérdese que:
Error Tolerancia Nivelación mal efectuada, se debe efectuar nuevamente, no
se compensa el error
Error Tolerancia Nivelación bien efectuada, no se debe medir de nuevo, se
debe compensar el error.
Limitaciones de la nivelación geométrica
La nivelación geométrica no puede utilizarse en relieves quebrados debido a que
en este tipo de topografía las visuales se ven limitadas por el suelo o por la longitud de
las miras. Esto implicaría que deberían realizarse numerosas estaciones (las diferentes
estaciones deberían estar más próximas) para efectuar la nivelación, lo que la transforma
en poco práctica en estas situaciones.
Figura 151: Visual limitada por el relieve y restricción dada por el largo de mira
157
Planilla de campo
A continuación se brinda una planilla tipo de una nivelación por rodeo efectuada
entre 4 puntos. En negrita se señala la cota del punto de partida (A) que es un dato
previo a comenzar la nivelación. En cursiva se colocan los valores medidos
(representados por los hilos medio, superior e inferior leídos en cada punto). El resto de
los valores surgen de cálculos.
Valores registrados en el campo
Estación Punto Distancia Lectura Atrás Lectura Adelante
∆H Cota
Provisoria
Corrección
Parcial
Corrección
Acumulada
Cota
Definitiva
hm hs hi hm hs hi
I A 50,5 0,927 1,180 0,675 -1,538
16,800 16,800 B 55,6 2,465 2,743 2,188
15,262 +0,001 +0,001 15,263
II B 39,5 1,263 1,461 1,066 +0,965
C 43,5 0,298 0,515 0,081
16,227 +0,001 +0,002 16,229
III C 83,0 0,838 1,253 0,423 -1,347
D 74,7 2,185 2,558 1,811
14,880 +0,002 +0,004 14,884
IV D 31,4 2,760 2,917 2,603
+1,915
A 34,5 0,845 1,018 0,673 16,795 +0,001 +0,005 16,800
D= 412,5 = H = -0,005
𝑇 𝑐𝑚 = 1,5𝑐𝑚 . 𝐿 𝑘𝑚 = 0,960
Tabla 41: Planilla de campo de nivelación por rodeo
Se han realizado 4 estaciones: la primera entre el punto de cota conocida (A) y B,
la segunda entre B y C, la tercera entre C y D y la última entre D y el punto de arranque
(A). Las estaciones se han nombrado con números romanos (del I al IV) y se encuentran
explicitadas en la primera columna de la planilla (Tabla 41). En la segunda columna se
colocan los puntos sobre los que se han realizado lecturas de mira. Así, en la primera
estación se realizan lecturas de mira en A y en B, en la segunda en B y en C y así
sucesivamente. En la tercer columna de la planilla (Tabla 41) se colocan las distancias
instrumento-mira calculadas a partir de los hilos estadimétricos (hs e hi) y la constante
estadimétrica (en este caso k = 100). En la primer celda de dicha columna se ha colocado
la distancia entre la estación (I) y el punto visado (A) calculada como
𝐷𝐼−𝐴 = 𝑠 − 𝑖 . 100 = 1,180 − 0,675 . 100 = 0,505 .100 = 50,5𝑚
Lo mismo se realiza con el resto de las distancias entre las estaciones y los
puntos visados. Al final de la columna se coloca la distancia total recorrida por las
visuales totalizando en este caso 412,5m. Esta distancia es utilizada para compensar el
error que se cometa en la nivelación.
Las columnas 4 a 9 representan las lecturas de hilo medio, superior e inferior en
los puntos visados. Obsérvese que las lecturas de hilo superior representan siempre los
mayores valores, por lo tanto se trata de un nivel de visual directa. La media de hilo
superior e hilo inferior da aproximadamente el hilo medio, pudiendo haber pequeñas
diferencias debidas a errores en la apreciación del milímetro. Las lecturas se dividen en
dos series de datos (columnas 4 a 6 y columnas 7 a 9) dependiendo si son atrás (espalda)
o adelante (frente). En ambas series en la primera de las tres columnas se coloca el hilo
158
medio, luego del cual va el superior y por último el inferior. Por la precisión requerida
en este tipo de nivelaciones las lecturas se realizan al centímetro y se estima el milímetro
(obsérvese que existen 3 lugares después de la coma). En ambas series siempre existe
una fila sin llenar. Por ejemplo, en la Estación I cuando se visualiza hacia A se colocan
los datos en la serie de columnas de Lectura Atrás quedando en blanco los casilleros de
Lectura Adelante ocurriendo lo contrario al visualizar a B (los datos se colocan en las
columnas de Lectura Adelante quedando sin completar los casilleros de Lectura Atrás).
En la columna 10 se calculan los desniveles como
∆𝐻 = 𝑚𝑎𝑡𝑟 á𝑠 − 𝑚𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒
En el caso del desnivel entre A y B (de las dos primeras filas)
∆𝐻𝐴𝐵 = 𝑚𝐴 − 𝑚𝐵 = 0,927 − 2,465 = −1,538𝑚
El punto B se encuentra 1,538m más bajo que A (obsérvese que la lectura de hilo
medio en B es mayor que la de A).
Obtenidos todos los desniveles deben sumarse los mismos, debiendo dar esta
suma 0 en caso de que no existiese error. Si la suma de los ∆H fuera distinta de 0, el
valor resultante constituiría el error de la nivelación que debería ser comparado con la
tolerancia. En el ejemplo planteado la suma de los ∆H es -0,005m (5mm) y este valor
debe ser comparado con la tolerancia calculada a partir de la expresión:
𝑇(𝑚𝑚) = 15𝑚𝑚 𝑥 𝐿 (𝑘𝑚)
Donde L es la distancia total recorrida por las visuales (∑D = 412,5m) que debe
expresarse en kilómetros.
𝑇 𝑚𝑚 = 15𝑚𝑚 𝑥 0,4125 𝑘𝑚 = 10𝑚𝑚
También puede calcularse el error sustrayendo a la suma de las lecturas de hilo
medio atrás la suma de lecturas de hilo medio adelante (Ver sumatoria en última celda
de columnas 4 y 7.
𝑒 = ∑𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑚 𝑎𝑡𝑟á𝑠 − ∑𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑚 𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒 = 5,788 − 5,793 = −0,005𝑚
Dado que el error (5mm) no supera la tolerancia (10mm) la nivelación se
considera válida y se debe proceder a compensar el error repartiéndolo entre los distintos
puntos que forman parte de la nivelación. Si el error hubiese sido mayor que la
tolerancia, la nivelación se consideraría errónea y debería realizarse nuevamente (el
error no se compensa y no se termina de completar la planilla).
En la columna 11 de Cota Provisoria se colocan las cotas calculadas a partir de
los desniveles determinados. En el caso del punto A (que es el punto de arranque de cota
conocida) se copia el valor de la columna Cota definitiva. Para calcular la cota de B, a la
cota de A se le debe sumar el desnivel entre A y B
159
𝑍𝐵 = 𝑍𝐴 + ∆𝐻𝐴𝐵 = 16,800 + −1,538 = 15,262
Lo mismo se hace para calcular la cota de los puntos C y D
𝑍𝐶 = 𝑍𝐵 + ∆𝐻𝐵𝐶 = 15,262 + 0,965 = 16,227
𝑍𝐷 = 𝑍𝐶 + ∆𝐻𝐶𝐷 = 16,227 − 1,347 = 14,880
Por último con la cota de D y el desnivel entre D y A se calcula la cota de A (que
es conocida)
𝑍𝐴 = 𝑍𝐷 + ∆𝐻𝐷𝐴 = 14,880 + 1,915 = 16,795
La cota de A calculada es 5mm inferior a la cota de dicho punto. Lógicamente
este error debe ser compensado de manera tal que la cota definitiva del punto de llegada
sea igual a la cota de partida de dicho punto (ya que se trata del mismo punto).
Para compensar el error se considera que el mismo es proporcional a la distancia
recorrida, por lo tanto a mayor distancia recorrida se cometerá mayor error.
Para obtener la corrección parcial se utiliza la siguiente expresión:
𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝑃𝑎𝑟𝑐. = −ℰ × 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑃𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
Esta expresión de Corrección Parcial surge de una regla de tres simple que
considera que si en la Distancia Total se cometió todo el error, en la Distancia Parcial se
habrá cometido un error proporcionalmente menor. Obsérvese que la corrección siempre
tendrá signo contrario al error.
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 −𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 −𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
La cota provisoria de A no recibe corrección ya que es la cota de arranque del
punto.
En el caso del punto B la corrección parcial se calcula como
𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝑃𝑎𝑟𝑐.𝐵 = − −0,005 . (50,5𝑚 + 55,6𝑚)
412,5𝑚= 0,00128m = 0,001m = 1mm
Al ir de B hacia C se habrán avanzado otros 83m correspondiendo como
corrección
𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝑃𝑎𝑟𝑐.𝐶 = − −0,005 . (39,5𝑚 + 43,5𝑚)
412,5𝑚= 0,00106m = 0,001m = 1mm
Al ir de C hacia D se avanzaron 157,7m siendo la corrección
160
𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝑃𝑎𝑟𝑐.𝐷 = − −0,005 . (83𝑚 + 74,7𝑚)
412,5𝑚= 0,00191m = 0,002m = 2mm
Finalmente al ir de D hacia A la corrección será
𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝑃𝑎𝑟𝑐.𝐷 = − −0,005 . (31,4𝑚 + 34,5𝑚)
412,5𝑚= 0,00080m = 0,001m = 1mm
Puede verse que las correcciones mayores se aplican a los puntos en que se han
realizado visuales de mayor distancia (D) y las menores a aquellos puntos en que las
distancias de las visuales han sido menores (A).
Para calcular la Corrección Acumulada se le suma a la Corrección Parcial la
Corrección Acumulada hasta ese punto.
Para la Corrección Acumulada de B no se tiene aún Corrección Acumulada de A
ya que a la Cota Provisoria del punto de partida A (16,800) no se le aplica corrección y
por lo tanto la Corrección Acumulada de B coincide con su Corrección Parcial.
Para la Corrección Acumulada de C a la Corrección Acumulada de B se le suma
la Corrección Parcial de C.
𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝐴𝑐𝑢𝑚.𝐶 = 𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝐴𝑐𝑢𝑚.𝐵+ 𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝑃𝑎𝑟𝑐.𝐶 = +0,001 + 0,001 = +0,002𝑚= 2𝑚𝑚
Algo semejante se realiza para calcular la Corrección Acumulada de D y de A.
𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝐴𝑐𝑢𝑚.𝐷 = 𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝐴𝑐𝑢𝑚.𝐶+ 𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝑃𝑎𝑟𝑐.𝐷 = +0,002 + 0,002 = +0,004𝑚= 4𝑚𝑚
𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝐴𝑐𝑢𝑚.𝐴 = 𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝐴𝑐𝑢𝑚.𝐷+ 𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝑃𝑎𝑟𝑐.𝐴 = +0,004 + 0,001 = +0,005𝑚= 5𝑚𝑚
Para determinar la Cota Definitiva a la Cota Provisoria de cada punto se le suma
la Corrección Acumulada
Para el punto B
𝐶𝑜𝑡𝑎 𝐷𝑒𝑓.𝐵 = 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑣.𝐵+ 𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝐴𝑐𝑢𝑚.𝐵 = 15,262𝑚 + 0,001𝑚 = 15,263𝑚
Puede verse que finalmente luego del rodeo a la Cota Provisoria calculada del
punto A se la corrige en la magnitud del error cometido quedando
𝐶𝑜𝑡𝑎 𝐷𝑒𝑓.𝐴 = 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑣.𝐴+ 𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝐴𝑐𝑢𝑚.𝐴 = 16,795𝑚 + 0,005𝑚 = 16,800𝑚
161
Nótese que los valores de corrección son siempre positivos, de signo contrario
al error, de manera que al sumar estos valores los errores se compensan.
Obsérvese que a partir de la columna de Cota Provisoria la división de la Tabla
41 en el sentido de las filas difiere de la de la columna de los ∆H. La columna de los ∆H
se comparte entre los puntos que se está determinando el desnivel (la primer celda entre
A y B, la segunda entre B y C, etc.). A partir de la columna de Cota Provisoria las celdas
se dividen entre los distintos puntos considerados en la nivelación (la primer celda
corresponde al punto A, la segunda al B, etc.)
Problema
Resuelva la siguiente planilla resultante de una nivelación geométrica por rodeo
Valores registrados en el campo
Estación Punto Distancia Lectura Atrás Lectura Adelante
∆H Cota
Provisoria
Corrección
Parcial
Corrección
Acumulada
Cota
Definitiva
hm hs hi hm hs hi
I A 0,992 1,245 0,74
21,523
B 2,592 2,87 2,315
II B 1,248 1,446 1,051
C 0,405 0,622 0,188
III C 0,753 1,168 0,338
D 2,262 2,635 1,888
IV D 3,505 3,662 3,348
E 1,808 1,981 1,636
V E 1,075 1,232 0,918
A 0,496 0,653 0,339
D= = H =
𝑇 𝑐𝑚 = 1,5𝑐𝑚 . 𝐿 𝑘𝑚 =
Tabla 42: Planilla de nivelación por rodeo para resolver
162
PERFILES
Dentro de nivelación geométrica se pueden realizar tres tipos de actividades:
Nivelación de puntos = Transporte de cota
Nivelación geométrica Nivelación de líneas = Perfiles
Por cuadrícula
Nivelación de áreas = Nivelación areal
Por radiación
(Taquimetría)
Mientras que en el transporte de cota el objetivo es asignarle cota a determinados
puntos del terreno, el objetivo de los perfiles es conocer el relieve a lo largo de toda una
línea AB. El perfil es la intersección de un plano vertical con la superficie del suelo.
También puede definirse como la unión de puntos obtenidos al trasladar a escala
reducida, las distancias horizontales como diferencias de abcisas y los desniveles como
ordenadas. Para conocer el relieve se realiza la nivelación a lo largo de la línea AB
(perfil longitudinal) y dado que también es necesario conocer el relieve de las
adyacencias se realizan perfiles transversales (perpendiculares al perfil longitudinal)
(Figura 152).
B
Perfiles Transversales
Perfil Longitudinal
Progresiva 0 A
Figura 152: Perfil Longitudinal y Perfiles Transversales a la línea AB (vista en planta)
Para realizar el perfil longitudinal se jalona el lado AB, se extiende la cinta de
agrimensor sobre el mismo, tomando como inicio el punto A (progresiva 0) y se
determinan las cotas de los puntos donde cambia la pendiente. El mirero es el encargado
de visualizar esos puntos sobre el lado AB y allí es donde va colocando la mira. El
163
hecho de tomar estos puntos donde cambia la pendiente y no puntos al azar o cada una
distancia fija permite obtener una representación mas fidedigna del verdadero relieve del
terreno (Figura 153). Al mismo tiempo, el mirero va comunicándole al operador del
nivel la distancia leída en la cinta (progresiva). El operador del nivel realiza lecturas de
hilo medio y anota dichos valores y las progresivas correspondientes en una planilla
(Ver Tabla 43). Previo a realizar la nivelación debe determinarse la Cota del Plano
Visual (CPV). La Cota del Plano Visual es la altura del plano que se genera al rotar el
anteojo del nivel, estando éste horizontalizado. Esta cota se obtiene realizando lectura de
hm sobre un punto de cota conocida (punto fijo). La CPV resultará de sumarle a la cota
del punto fijo el hilo medio leído en dicho punto. CPV = ZPF + hmPF = 11,28 m + 1,45 m
= 12,73 m. Las cotas de los puntos del perfil se calcularán restándole a la CPV las
lecturas de hm en cada punto. Así para la progresiva 25,38 m Z25,38 = CPV – hm25,38 =
12,73 m – 1,35 m = 11,38 m.
Progresiva (m) Hm CPV Cota
Punto Fijo 1,45
12,73
11,28
0 1,65 11,08
12,55 1,56 11,17
25,38 1,35 11,38
37,69 1,28 11,45
Tabla 43: Planilla tipo de levantamiento de perfil longitudinal (la cota del PF es dato)
Figura 153: El mismo perfil levantado con miras ubicadas en puntos donde cambia la
pendiente (arriba) y en puntos cada una distancia fija (abajo). En línea punteada la
representación del perfil. Nótese la mayor correspondencia con la realidad del superior
siendo que el número de puntos levantados es el mismo ( 7 )
164
Representación de los perfiles
Es habitual al construir los perfiles en el plano, usar escalas diferentes para
representar las distancias (en abcisas) y los desniveles (en ordenadas). Habitualmente se
utilizan escalas mayores para los desniveles que para las distancias. Esto se debe a que
los desniveles a representar son mucho más pequeños en magnitud que las distancias y si
se utilizara la misma escala no podrían percibirse. Asimismo en el eje de ordenadas
suele utilizarse un Plano de Comparación (PC) de cota inferior a todos los puntos que
deben ser representados y cercano al valor de cota del punto más bajo. Utilizando el
plano de comparación solo deberá representarse la diferencia de cota de los puntos con
dicho plano de comparación y no la cota del punto. Si por ejemplo, se tienen varios
puntos con cotas que oscilan entre 30,05m y 32,37m, eligiendo un plano de comparación
de 30m, para representar el punto más alto (de cota 32,37m) en escala 1:20 lo que se
representará será 32,37m – 30,00m = 2,37m que en escala 1:20 equivale a 2,37m / 20 =
0,1185m = 11,85cm. Si no se hubiera tomado un plano de comparación y se debiera
representar los 32,37m en escala 1:20 se necesitaría 32,37m / 20 = 1,61m de plano.
Ejemplo Se realizó un perfil longitudinal a lo largo de un lado AB sobre el que se proyecta
construir un canal. Se comenzó en el punto A que se consideró el punto de arranque
(progresiva 0) y se realizaron tres perfiles transversales en las progresivas 10, 150 y 270
m (la distancia AB es 295,8 m). Se efectuaron dos estaciones de nivel, una en la
progresiva 70 m y otra en la progresiva 200m. En la estación hecha en la progresiva 70m
se hizo lectura de hilo medio en un Punto Fijo cercano de cota conocida 11,75m
obteniendo la CPV = ZPF + hmPF = 11,75m + 1,35m = 13,10m. Este plano visual se
utilizó para determinar las cotas de los puntos comprendidos entre las progresivas 0 y
150m (incluidos los perfiles transversales en las progresivas 10 y 150m). La cota del
plano visual de la segunda estación fue calculada haciendo lectura de hilo medio en la
progresiva 150m, a la que se le había dado cota desde la estación I. Con la estación II se
determinaron las cotas de los puntos comprendidos entre las progresivas 150 y 295,83m
incluido el perfil transversal en la progresiva 270m. Finalizado el levantamiento se
obtuvieron las planillas que se muestran a continuación.
Estación Progresiva (m) Hm CPV Cota
I
Punto Fijo 1,35
13,10
11,75
0,0 1,85 11,25
10,0 1,80 11,30
35,3 1,70 11,40
57,7 1,62 11,48
89,7 1,51 11,59
122,9 1,44 11,66
150,0 1,42 11,68
150,0 1,95 11,68
II
162,7 1,83
13,63
11,80
179,6 1,76 11,87
193,6 1,72 11,91
165
215,7 1,68 11,95
239,0 1,55 12,08
258,7 1,43 12,20
270,0 1,36 12,27
295,8 1,25 12,38
Tabla 44: Planilla del perfil longitudinal AB. En campo se relevaron las progresivas e
hilos medios. En gabinete se calcularon las cotas (la cota del Punto Fijo fue dato)
Distancia al eje
(m) hm CPV Cota
0,0 1,80
13,10
11,3
4,3 1,76 11,34
6,9 1,70 11,40
10,5 1,75 11,35
-3,2 1,83 11,27
-6,9 1,85 11,25
-9,1 1,80 11,30
Tabla 45: Planilla del perfil transversal en la progresiva 10m. En campo se relevaron los
datos Distancia al eje e hilo medio. En gabinete se calcularon las Cotas (la cota del Plano
Visual es la de la Estación I). Los valores positivos indican distancias a la derecha del
eje AB (yendo de A hacia B) y los negativos distancias a la izquierda.
Distancia al eje
(m) hm CPV Cota
0,0 1,42
13,10
11,68
2,5 1,46 11,64
7,3 1,47 11,63
12,0 1,50 11,60
-4,2 1,46 11,64
-6,5 1,40 11,70
-10,3 1,35 11,75
Tabla 46: Planilla del perfil transversal en la progresiva 150m. Las mismas
consideraciones que para Tabla 45
Distancia al eje
(m) hm CPV Cota
0,0 1,36
13,63
12,27
3,7 1,38 12,25
5,6 1,42 12,21
9,5 1,45 12,18
-2,2 1,34 12,29
-6,3 1,38 12,25
-9,0 1,41 12,22
Tabla 47: Planilla del perfil transversal en la progresiva 270m. Las mismas
consideraciones que para Tabla 45
166
Una vez resueltas las planillas de nivelación y calculadas las cotas de los puntos
se construyen los perfiles. Para el perfil longitudinal se utilizó una escala horizontal EH:
1/2000 y una escala vertical EV: 1/20. Para los transversales se utilizó EH: 1/200
(debido a que la distancia a representar es menor) y EV: 1/20. En el perfil longitudinal,
para representar 10m de distancia (entre la progresiva 0 y 10m) se utilizó un segmento
de 10m / 2000 = 0,005m = 0,5cm. El mismo criterio se utilizó para determinar las
distancias que debían separar el resto de los puntos en el plano. Para representar las
cotas se utilizó un plano de comparación de 11,00m. Por lo tanto para el punto de
progresiva 0m (cota 11,25m) la dimensión a representar fue Z0 - ZPC = 11,25m – 11,00m
= 0,25m que en escala 1/20 se representan con 0,25m / 20 = 0,0125m = 1,25cm. De la
misma manera se representó la cota del resto de los puntos. Una vez calculados y
representados todos los puntos se los unió con una línea recta. En la Figura 154 puede
verse como queda representado el perfil. El perfil debe ir acompañado de las escalas
horizontal y vertical, el plano de comparación y los valores de cotas, progresivas y
distancia entre puntos.
EH: 1/2000
EV: 1/20
PC: 11,00
11,25 11,4 11,48 11,59 11,66 11,68 11,87 11,95 12,08 12,2 12,38
0 10 35,3 57,7 89,7 122,9 150,0 179,6 215,7 239,0 258,7 295,8
10 25,3 22,4 32,0 33,2 27,1 16,9 14,0 22,1 23,3 19,7 25,8
Figura 154: Perfil Longitudinal. En la primera fila figuran las cotas, en la segunda las
progresivas y en la tercera las distancias entre puntos consecutivos (Por motivos de
espacio se han omitido algunos valores de cotas, progresivas y distancias entre puntos)
EH: 1/200
EV: 1/20
PC: 11,00
Cota 11,30 11,25 11,27 11,30 11,34 11,40 11,35
Distancia 9,1 6,9 3,2 0,0 4,3 6,9 10,5
al eje
Figura 155: Perfil Transversal en la Progresiva 10m
167
EH: 1/200
EV: 1/20
PC: 11,50
Cota 11,75 11,70 11,64 11,68 11,64 11,63 11,60
Distancia 10,3 6,5 4,2 0,0 2,5 7,3 12,0
al eje
Figura 156: Perfil Transversal en la Progresiva 150m
EH: 1/200
EV: 1/20
PC: 12,00
Cota 12,22 12,25 12,29 12,27 12,25 12,21 12,18
Distancia 9,0 6,3 2,2 0,0 3,7 5,6 9,5
al eje
Figura 157: Perfil Transversal en la Progresiva 270m
Aplicaciones de los perfiles
El objetivo de los perfiles es conocer el relieve a lo largo de una línea o franja del
terreno. Dicha información es de gran utilidad cuando sobre dicha línea se desea
construir un canal de riego o drenaje o un camino interno. En este tipo de obras se deben
realizar excavaciones y rellenos de acuerdo al objetivo y al relieve que presente el
terreno. Conociendo previamente el relieve del terreno se puede lograr minimizar el
movimiento de tierras, es decir igualar los volúmenes de tierra de corte (desmonte o
excavación) y relleno (o terraplén).
Eje
Ancho máximo
Banquina Banquina
Rasante Revancha
Tirante
Subrasante
Base de fondo
Figura 158: Elementos constitutivos de un canal (corte transversal)
168
Relleno
Corte
Figura 159: Corte transversal con el relieve del terreno (en línea gruesa) y proyecto del
canal
Eje Relleno
Corte Corte
Figura 160: Corte transversal con el relieve del terreno y el proyecto de un camino
Problema
Se efectuó la nivelación a lo largo de una línea donde se proyecta construir un
canal. Se realizaron tres estaciones de nivel con las que se levantó el perfil longitudinal y
tres perfiles transversales al mismo en las progresivas 15m, 160m y 285m. A
continuación se detallan las planillas de nivelación obtenidas para los 4 perfiles.
Estación Progresiva (m) Hm CPV Cota
I
Punto Fijo 1,53
10,00
0,0 1,43
15,0 1,35
32,1 1,30
50,3 1,21
68,7 1,10
85,9 1,05
101,8 1,01
101,8 1,71
II
112,7 1,66
125,6 1,68
136,6 1,62
160,0 1,56
169,0 1,55
189,0 1,32
205,3 1,22
205,3 1,68
169
III
218,2 1,65
230,3 1,60
252,6 1,60
270,7 1,55
285,0 1,46
300,0 1,33
Tabla 48: Planilla del perfil longitudinal. La cota del Punto Fijo es dato
Distancia al eje
(m) hm CPV Cota
0,0 1,35
3,3 1,36
6,0 1,39
9,2 1,43
-3,0 1,33
-5,9 1,29
-9,6 1,32
Tabla 49: Planilla del perfil transversal en la progresiva 15m. Los valores positivos
indican distancias a la derecha del eje AB (yendo de A hacia B) y los negativos
distancias a la izquierda.
Distancia al eje
(m) hm CPV Cota
0,0 1,56
3,5 1,58
6,8 1,55
11,1 1,50
-3,2 1,53
-6,8 1,50
-11,1 1,48
Tabla 50: Planilla del perfil transversal en la progresiva 160m. Las mismas
consideraciones que para Tabla 49
Distancia al eje
(m) hm CPV Cota
0,0 1,46
3,2 1,49
5,2 1,45
10,4 1,42
-3,0 1,42
-5,9 1,38
-8,9 1,35
Tabla 51: Planilla del perfil transversal en la progresiva 285m. Las mismas
consideraciones que para Tabla 49
170
Calcular las cotas y resolver la Tabla 48, Tabla 49, Tabla 50 y Tabla 51.
Representar el perfil longitudinal en una hoja oficio apaisada utilizando una
escala horizontal EH = 1:1000, una escala vertical EV = 1:20 y un plano de comparación
PC de 10m.
Representar los perfiles transversales utilizando una escala horizontal EH =
1:200, una escala vertical EV = 1:20 y un plano de comparación PC de 10m.
171
NIVELACIÓN AREAL
Para poder conocer como es el relieve de una determinada superficie se recurre a
la nivelación areal. Dentro de la nivelación geométrica (consistente en dirigir visuales
horizontales sobre miras verticales) existen dos formas de realizar la nivelación de áreas:
Nivelación Areal por Cuadrícula y Nivelación Areal por Radiación (también llamada
taquimetría con nivel).
Nivelación areal por cuadrícula
La nivelación areal por cuadrícula consiste en determinar la cota de puntos
uniformemente distribuidos en el terreno por medio de un reticulado, malla o cuadrícula.
El tamaño del reticulado puede variar entre 10m y 50m de acuerdo a la precisión
buscada y al relieve del terreno siendo menor cuando se desee mayor precisión y cuando
más quebrado sea el relieve. Previo a realizar la nivelación se efectúa la marcación de la
cuadricula sobre el terreno.
Eje de arranque (Columna)
A1 A8
Punto de inicio
Fila
20 m
G1 G8
20 m
Figura 161: Cuadrícula de 20m x 20m donde se efectuará una nivelación areal (vista en
planta)
Marcación de la cuadrícula
Los elementos empleados para realizar la marcación de la cuadrícula son cinta de
agrimensor (para medir las distancias), escuadras (para determinar perpendiculares) o
puede utilizarse también el limbo horizontal del nivel (para determinar los 90 º) y estacas
o fichas (para marcar los puntos sobre el terreno). Elegida la distancia entre puntos se
toma un eje de partida o arranque que es jalonado y un punto de arranque. A partir de
172
este punto se marcan puntos cada una determinada distancia (distancia que se ha tomado
como tamaño de retícula, p. ej. 20m) y se dejan marcados sobre el suelo con estacas o
fichas. A partir de este eje de arranque y empleando escuadras ópticas se determinan las
perpendiculares al mismo en las estacas colocadas cada 20m. Obtenidas las
perpendiculares y materializadas con jalones se colocan sobre estas direcciones estacas
cada 20m a partir del eje de arranque. Queda finalmente marcado sobre el terreno un
reticulado de columnas (verticales) y filas (horizontales) que cubren totalmente el área
de la que se desea conocer el relieve. Las filas habitualmente se denominan con letras
mayúsculas y las columnas con números arábigos. En la Figura 161 la fila superior lleva
la letra A y la inferior la G y la columna de más a la izquierda el número 1 mientras que
la de más a la derecha el número 8.
Nivelación de la cuadrícula
El operador del nivel hará estación en el centro de la cuadrícula demarcada (si
ésta fuese de un tamaño relativamente pequeño que le permitiese abarcar toda el área
con una sola estación) y hará lectura de hilo medio (hm) en un punto fijo o punto de cota
conocida. De esta manera determinará la Cota del Plano Visual (CPV) que es la cota o
altura del plano que contiene al eje de colimación (eje del anteojo). La cota de dicho
plano será igual a la cota del punto fijo más la lectura de hm que se haga en ese punto. A
continuación se realizarán lecturas de hm en las miras colocadas verticalmente sobre los
puntos marcados previamente. No se realizarán lecturas de hilo superior (hs), hilo
inferior (hi) ni dirección horizontal ya que se conoce la ubicación de los puntos en el
terreno y los mismos quedan materializados con estacas. El operador del nivel va
realizando lecturas de hm y va anotando los datos en una planilla semejante a la de la
Tabla 52.
Estaca Lectura de hm CPV Cota Punto
Punto Fijo 2,22
55,44
53,22
A1 2,18 53,26
A2 2,29 53,15
A3 2,4 53,04
.... ..... ......
Tabla 52: Planilla de levantamiento de una nivelación areal por cuadrícula
Las cotas de los puntos surgen de restarle al plano visual la lectura de hilo medio
en cada punto. Así la cota de A1 surge de: CPV – hmA1 = 55,44m – 2,18m = 53,26m. De
modo semejante se calculan las cotas de los restantes puntos A2, A3, etc.
Si el tamaño de la cuadrícula fuese demasiado grande y aumentaran demasiado
las distancias instrumento-mira debería realizarse más de una estación debiendo
recalcular la cota del plano visual de la segunda estación a partir del punto fijo ó, si éste
quedase muy alejado, a partir de alguno de los puntos que fueron nivelados
anteriormente y que por lo tanto pasan a ser puntos de cota conocida.
El objetivo que se persigue con la nivelación areal por cuadrícula es determinar
el relieve del terreno para proceder luego a las tareas de sistematización consistentes en
llevar la superficie del terreno a una pendiente constante. Con la sistematización se
173
eliminan los microrelieves que presenta el terreno natural mediante el pasaje de una pala
niveladora. Esto permite eficientizar el riego gravitacional.
Ejemplo de cuadrícula
Se realizó una nivelación de un predio de 1ha que se piensa sistematizar para
riego, utilizando el método de nivelación areal por cuadrícula con un reticulado de 20m
x 20m. Se realizaron 6 filas (A a F) y 6 columnas (1 a 6). La orientación de la columnas
de la cuadrícula es de Norte a Sur siendo la fila de las A la más septentrional (la de más
al Norte) y la de las F la más meridional (la de más al Sur) y la columna de los 1 la más
occidental y la de los 6 la más oriental.
Se realizó la vinculación altimétrica a un punto fijo cercano de cota 53,22m,
donde se leyó un valor de hm de 2,22m obteniendo una CPV de 55,44m según:
CPV = ZPF + hmPF
CPV = 53,22m + 2,22m
CPV = 55,44m
A continuación se realizaron lecturas de hm en los 36 puntos que formaban la
cuadrícula y se determinó la cota de cada uno de ellos de acuerdo a:
Zi = CPV – hmi
Así para el punto A1
ZA1 = CPV – hmA1
ZA1 = 55,44m – 2,18m
ZA1 = 53,26m
Finalmente se completó la planilla mostrada en la Tabla 53
Estaca Lectura de hm CPV Cota Punto
Punto Fijo 2,22
53,22
A1 2,18 53,26
A2 2,29 53,15
A3 2,4 53,04
A4 2,45 52,99
A5 2,62 52,82
A6 2,65 52,79
B1 2,09 53,35
B2 2,17 53,27
B3 2,27 53,17
B4 2,39 53,05
B5 2,47 52,97
B6 2,59 52,85
C1 2,02 53,42
C2 2,04 53,4
174
C3 2,15
55,44
53,29
C4 2,26 53,18
C5 2,38 53,06
C6 2,42 53,02
D1 1,89 53,55
D2 1,97 53,47
D3 2,02 53,42
D4 2,15 53,29
D5 2,24 53,2
D6 2,38 53,06
E1 1,73 53,71
E2 1,86 53,58
E3 1,91 53,53
E4 2 53,44
E5 2,1 53,34
E6 2,22 53,22
F1 1,66 53,78
F2 1,7 53,74
F3 1,83 53,61
F4 1,85 53,59
F5 1,99 53,45
F6 2 53,44
Tabla 53: Planilla resultante de la Nivelación Areal por Cuadrícula Nota: en negrita se colocaron los datos que fueron relevados a campo, el resto de los datos fueron
calculados en gabinete a excepción de la cota del PF que fue dato. La CPV es única ya que se realizó 1
sola estación
Figura 162: Plano de puntos acotado para la cuadrícula ejemplo
53.26 53.15 53.04 52.99 52.82 52.79
53.35 53.27 53.17 53.05 52.97 52.85
53.42 53.40 53.29 53.18 53.06 53.02
53.55 53.47 53.42 53.29 53.20 53.06
53.71 53.58 53.53 53.44 53.34 53.22
53.78 53.74 53.61 53.59 53.45 53.44
175
Conocidas las cotas de los puntos se construyó el plano de puntos acotados, es
decir el plano que contiene representados los puntos que se levantaron con sus
correspondientes cotas calculadas (Figura 162). El plano se construyó en escala E:
1:1000. Por lo tanto la distancia entre estacas en el plano será 1000 veces menor que en
el terreno.
20𝑚
1000= 0,02𝑚 = 2𝑐𝑚 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
Construcción del plano de curvas de nivel
Las curvas de nivel son líneas que unen puntos de igual cota o altitud y son
múltiplos de la equidistancia. Así como las isotermas son líneas que unen puntos de
igual temperatura y las isóbaras líneas que unen puntos de igual presión, las curvas de
nivel son isolíneas de cota, es decir todos los puntos que unen tienen igual cota o altitud.
La equidistancia es la distancia vertical que separa dos curvas de nivel consecutivas.
Para la construcción de curvas de nivel deben seguirse una serie de pasos que se
detallarán a continuación.
a)Localización del punto más alto y más bajo
Para saber cuántas y cuáles son las curvas de nivel que deberán representarse,
debe inicialmente localizarse en el plano de puntos acotados el punto de cota mayor y el
de cota menor. Así en la cuadrícula ejemplo puede verse que el punto más bajo es el A6
con cota 52,79m y el más alto el F1 con cota 53,78m.
b)Elección de equidistancia
La equidistancia o distancia entre curvas de nivel sucesivas se fija en función del
relieve del terreno y la escala del plano. Con ello se busca que en el plano de curvas de
nivel haya una concentración de curvas adecuada que permita una correcta
interpretación del relieve, es decir que no haya tan poca cantidad de curvas que dificulte
interpretar el relieve del terreno (por elección de una equidistancia muy grande) ni que
haya tantas y tan concentradas que ocasionaría que las curvas se amontonen unas con
otras (por elección de una equidistancia muy pequeña). La equidistancia aumenta con las
irregularidades del terreno y disminuye cuando aumenta la escala. Para terrenos más
irregulares se elegirán equidistancias mayores que para terrenos más llanos y para
escalas más grandes (que representarán menores superficies de terreno y por ende
menores posibilidades de irregularidades) equidistancias más chicas. Las equidistancias
son en general múltiplos y submúltiplos del metro. Así las equidistancias menores al
metro más empleadas son 0,05m; 0,1m; 0,2m; 0,25m y 0,5m. Estas equidistancias son
las más comúnmente empleadas en la construcción de planos de curvas de nivel. Las
equidistancias múltiplos del metro más empleadas son 1,25m; 2,5m; 5m; 10m; 20m;
25m; 50m; 100m y 250m. Estos valores son los más usuales en las Cartas IGM. Para la
cuadrícula ejemplo se tomará una equidistancia de 10cm = 0,10m.
c)Determinación de las curvas a trazar
Ahora bien ¿Cuáles serán las curvas que deberán trazarse? Para saberlo reuérdese
que las cotas a representar se encuentran entre 52,79m y 53,78m, es decir que las curvas
deberán encontrarse en ese rango de valores. Para poder interpolar una curva siempre se
176
debe contar con un punto de cota más baja y uno de cota más alta que la curva que se
desea interpolar ¿Cuál será la curva de cota más baja en el ejemplo? La cota más baja es
52,79m. Si se divide dicho valor por la equidistancia (0,1m), el resultado es 527,9 que
no es un número entero. Es decir 52,79m no es múltiplo de la equidistancia, por lo que
no podrá ser una curva de nivel (recordar que curva de nivel “es la curva que une puntos
de igual cota y es múltiplo de la equidistancia”). El primer valor que será múltiplo de
0,1m es 52,8m (52,8m/0,1m = 528 = número entero). Esa será la primer curva a
interpolar. La siguiente deberá ser 10cm superior, es decir 52,9m. Observar que 52,9m
también es múltiplo de la equidistancia. Las siguientes curvas a trazar serán siempre
10cm más altas que la anterior. Las siguientes curvas a trazar serán 53,0m; 53,1m;
53,2m; 53,3m; 53,4m; 53,5m; 53,6m y 53,7m. Nótese que la curva de 53,8m ya no se
encontrará en el plano de curvas de nivel ya que si bien existen valores de cota inferior a
53,8m no existe ningún valor de cota superior lo que imposibilita realizar la
interpolación.
Si se hubiese elegido una equidistancia de 0,25m el valor más bajo múltiplo de
0,25m habría sido 53,00m (53,00m / 0,25m = 212 = valor entero). Las siguientes curvas
serían 53,25m; 53,50m y 53,75m. La curva de 54,00m no se podría trazar porque no hay
ningún valor mayor a 54,00m y por lo tanto no se podría interpolar. Otra forma de
comprobar que las curvas son múltiplos de la equidistancia es que deben pasar por los
metros enteros. Con ambas equidistancias (0,10m y 0,25m) las curvas pasan por 53m
(que es un valor entero).
d)Interpolación
Luego de seleccionarse la equidistancia y de determinar las curvas de nivel a
trazar puede comenzarse la interpolación. La interpolación que se utilizará es la lineal.
En esta interpolación se supone que entre dos puntos cuyas cotas se conocen la
pendiente es constante y, por lo tanto, la variación de la cota es uniforme, es decir que
ambos puntos estarían unidos por una línea recta, de ahí el nombre de lineal. En la
cuadrícula ejemplo puede observarse que el punto A1 tiene cota 53,26m y el A2, 53,15m
A1
A2
x
20 m
Figura 163: Interpolación lineal
Puede verse que el punto A1 es más alto que el A2 y un punto que se encontrase
en la mitad de la distancia A1-A2 tendría una cota igual a la semisuma de las cotas de
A1 y A2, es decir 53,205m. De las curvas de nivel que se pretenden trazar, sólo pasará
177
entre estos dos puntos la de 53,20m ya que es la única comprendida entre los valores
53,15m y 53,26m. Puede verse que 53,20m se aproxima más a 53,15m que a 53,26m
pero no se sabe exactamente por que lugar entre esos dos puntos pasará. Observar que
para esa distancia de 20m en el terreno (que se corresponde con 2cm en el plano) existe
un desnivel o diferencia de cota de 53,26m – 53,15m = 0,11m. Puede plantearse que la
curva que se desea ubicar pasa 5cm por encima de 53,15m y resolver la distancia
incógnita mediante una regla de tres:
0,11m H ------------- 2cm distancia
0,05m H---------------x = 0,91cm distancia
Quiere decir que la curva de nivel 53,2m deberá trazarse a 0,91cm del punto A2.
Si se plantea desde el punto A1, puede decirse que dicho punto se encuentra 6cm
por encima de 53,20m. El planteo será
0,11m H ------------- 2cm distancia
0,06m H-------------- x = 1,09cm distancia
La curva de nivel 53,2m pasará entre los puntos A1 y A2 a 0,91cm de A2 y a
1,09cm de A1. Esto confirma que la curva pasará más cerca del punto A2. Nótese que la
suma de ambas distancias calculadas es 2cm.
La curva de 53,2m debe continuar trazándose en el resto del plano de curvas de
nivel. La curva 53,2m “entró” al plano de curvas de nivel pasando entre los puntos A1 y
A2. Los lugares por los que puede continuar son 3. Los segmentos A1-B1, B1-B2, ó A2-
B2. Las cotas de A1 y B1 son 53,26m y 53,35m respectivamente, ambas mayores que la
cota de la curva que se desea trazar (53,2m) por lo que dicha curva no pasará entre
dichos puntos. Con los puntos B1 y B2 sucede lo mismo (cotas 53,35m y 53,27m
respectivamente). La curva pasará entre los puntos A2 y B2, ya que el primero tiene cota
53,15m (inferior a 53,2m) y el segundo cota 53,27m (superior a 53,2m). Nuevamente
debe hacerse el planteo para averiguar a que distancia pasará de cada punto. El H es
ahora 53,27m – 53,15m = 0,12m y la distancia entre puntos sigue siendo 2cm (en el
plano)
0,12m H ------------- 2cm distancia
0,05m H-------------- x = 0,8cm distancia
Pasará a 0,8cm del punto A2 y a 1,2cm del punto B2 (0,05m es la diferencia de
53,2m que es la cota de la curva con 53,15m que es la cota del punto A2).
A continuación se analizará entre que puntos seguirá pasando la curva de 53,2m
sin realizar el cálculo de la interpolación. Para la curva de 53,2m que pasó entre A2 y B2
existen tres lugares por los que puede continuar: entre A2 y A3 (ambos son más bajos),
entre A3 y B3 (ambos son más bajos) y entre B2 y B3 (B2 es más alto y B3 más bajo)
que es el lugar por donde pasa. Son tres los lugares por donde podrá continuar: entre B2
y C2 (ambos son más altos), entre C2 y C3 (ambos son más altos) y entre B3 y C3 (B3
más bajo y C3 más alto) que es por donde pasará, más cerca de B3 ya que la diferencia
de cota es menor. Los siguientes lugares por los que pasará serán: entre C3 y C4, entre
178
C4 y D4, exactamente por el punto D5 que tiene cota 53,20m (la curva de nivel lo
contiene) y finalmente “saldrá” del plano pasando entre los puntos D6 y E6.
Con el mismo procedimiento deben trazarse el resto de las curvas.
El plano de curvas de nivel queda como se muestra en la Figura 164 superpuesto
sobre el plano de puntos acotados.
Figura 164: Plano de curvas de nivel superpuesto sobre el plano de puntos acotados para
la cuadrícula ejemplo
Nivelación areal por radiación o taquimetría con nivel
Otro método que permite conocer el relieve de un área determinada es la
nivelación areal por radiación o taquimetría. Con este método se puede determinar
rápidamente (taqui = rápido, metro = medición; medición rápida) la posición plana de
los puntos del terreno (coordenadas X e Y) como su coordenada Z (o altura). El
principio de determinación de la coordenada Z o altura es el de la nivelación geométrica
en general (dirigir visuales horizontales sobre miras verticales), mientras que para
determinar las coordenadas planas X e Y se recurre a determinar previamente
coordenadas polares y convertirlas posteriormente en coordenadas rectangulares.
Para determinar la posición de puntos en el terreno se puede recurrir a un sistema
de coordenadas rectangulares X e Y o bien puede utilizarse un sistema de coordenadas
polares conociendo la distancia a un polo (radio vector R) y un ángulo con respecto a
una dirección tomada como 0 (Argumento o Azimut Az0P). En nivelación areal por
179
radiación se toma como polo el punto donde se hace estación con el nivel, determinando
las distancias desde los puntos del terreno que se están levantando hasta el polo
(distancias entre mira y nivel respectivamente) por medio de estadimetría sabiendo que
la distancia instrumento mira es igual a D = K . hs – hi , donde K es la constante
estadimétrica del aparato (generalmente igual a 100) y hs y hi son las lecturas realizadas
en los hilos estadimétricos superior e inferior respectivamente. Nótese que el valor que
se toma es el valor absoluto de la diferencia entre ambos hilos ya que el hilo superior
puede ser de mayor o menor valor que el inferior si el instrumento es de visual directa o
inversa respectivamente.
Conociendo la distancia instrumento mira por estadimetría falta conocer el
argumento o azimut. El nivel taquímetro posee un limbo horizontal graduado de 0 a
360°. Dicho limbo no determina un ángulo con respecto a una dirección determinada
como lo hace la brújula, que indica el ángulo que forma una determinada dirección con
respecto a la dirección del Norte magnético. De acuerdo a como se coloque el aparato el
0 de la dirección horizontal del limbo del nivel puede quedar ubicado en distintas
direcciones. Para determinar la correspondencia que existe entre la dirección del limbo y
la del Norte puede recurrirse a dos soluciones:
a)En el lugar donde se va a hacer estación de nivel se determina con una brújula
cual es la dirección del Norte (azimut 0), y en esa dirección se coloca un jalón para
dejarla materializada. Se quita la brújula, se coloca el nivel en el mismo lugar y se hace
coincidir la dirección 0 del limbo con la dirección establecida por el jalón (dirección del
Norte magnético). De esta manera las direcciones horizontales que se leen en el limbo
del nivel se corresponderán con los azimutes. Esto solo se puede realizar en caso de que
se cuente con una brújula y también con un nivel que permita rotar el limbo con el
tornillo que posee para tal fin.
b)Conocidas las coordenadas del punto estación se hace lectura de dirección
horizontal en otro punto vecino de coordenadas conocidas. Como desde un punto de
coordenadas conocidas se dirige la visual a otro punto cuyas coordenadas también se
conocen se puede determinar cual es el azimut que se corresponde con dicha dirección.
A esa dirección de azimut conocido le corresponderá una dirección horizontal leída en el
limbo del nivel. Existirá en consecuencia una diferencia de valor angular entre el azimut
y la dirección horizontal leída en el nivel que se mantendrá constante en todas las
direcciones de esa estación: Az – Dir. Horiz. = K . Quiere decir que conociendo dicha
diferencia y leyendo las direcciones horizontales a otros puntos puede determinarse el
azimut desde el punto estación a dichos puntos mediante Az = K + Dir. Horizontal
Conociendo la distancia (por estadimetría) y el azimut entre el punto estación y
los puntos levantados puede determinarse el X y el Y entre los mismos y sabiendo las
coordenadas del punto estación es suficiente con sumarle el valor de las proyecciones
(∆X y ∆Y) para determinar las coordenadas planas X e Y de los puntos levantados. De
esta manera se habrá pasado de un sistema de coordenadas polares a un sistema de
coordenadas rectangulares.
En la nivelación areal por radiación no se deben marcar los puntos que se van a
nivelar en el terreno como se hace en la nivelación areal por cuadrícula por lo que se
elimina la tarea de marcación. El único instrumental utilizado en la misma será el
altímetro o nivel y la mira. No obstante se deben leer además del hilo medio, el hilo
180
superior, el hilo inferior y la dirección horizontal (para poder determinar la posición de
los puntos levantados) lo que aumenta el tiempo de lecturas.
Para lograr una distribución uniforme de los puntos levantados en el terreno se
dirigen visuales o radios (de allí el nombre de radiación) cada un determinado valor
angular de dirección (por ejemplo, cada 30°). De esta manera se consigue uniformar la
distribución de los puntos en la superficie. Con el mismo objetivo se toman puntos
alejados de la estación en todos los radios y puntos cercanos a la estación radio por
medio. De esta manera se evita una acumulación excesiva de puntos cercanos al punto
estación.
E
Figura 165: Vista en planta de una nivelación areal por radiación. En E se ubica el punto
estación y los pequeños puntos negros señalan los lugares donde se colocó el mirero.
Dentro de los radios el mirero puede alejarse o acercarse a la estación buscando
ubicarse en los puntos de cambio de pendiente. El hecho de ubicarse en esos puntos
donde la pendiente cambia de valor es muy importante debido a que permitirá tener una
aproximación más cercana a la realidad del relieve del terreno que la que se tendría si se
tomaran ubicaciones aleatorias. Comparando con la cuadrícula donde los puntos a
levantar están estrictamente fijados por el reticulado, la radiación permite una mayor
flexibilidad en los puntos a levantar que redundará en una mayor aproximación al
verdadero relieve del terreno. No obstante ambas nivelaciones son válidas y utilizadas
ampliamente y persiguen distintos fines. En la nivelación areal por radiación el objetivo
es la realización del plano con curvas de nivel no pudiendo con dicha actividad
planificar una sistematización como en la nivelación areal por cuadrícula.
Ejemplo de Radiación
Se realizó la nivelación geométrica de un predio de 90m x 70m, mediante el
método de nivelación areal por radiación. Se efectuó previamente un transporte de cota a
uno de los puntos de la parcela (punto 1) cuyas coordenadas X e Y se consideran
181
arbitrariamente como X = 100 e Y = 101. Luego del transporte de cota se determinó que
el punto 1 tiene una cota de 12,25m. Con una brújula forestal se determinó el acimut
desde el punto 1 hasta el punto central de la parcela donde se haría estación de nivel
(punto E) y se leyó el valor de 51°30’. Se hizo estación de nivel en E y se realizó lectura
de hilo medio, superior e inferior en el punto 1 y también se hizo lectura de dirección
horizontal. A continuación se realizaron lecturas de hm, hs, hi y dirección horizontal en
otros 46 puntos de la parcela, totalizando los puntos levantados 47. Una vez realizadas
estas mediciones se procedió en gabinete a completar la planilla que se muestra en la
Tabla 54.
La cota del plano visual se determinó realizando lectura de hm en 1 y sumándole
su cota
CPV = Z1 + hm1
CPV = 12,25m + 1,31m
CPV = 13,56m
Dicho valor de CPV fue válido para toda la nivelación ya que no se hizo cambio
de estación de nivel.
La cota (Z) de los restantes puntos se calculó restándole a la CPV las
correspondientes lecturas de hm. Por ejemplo, para 2:
Z2 = CPV – hm2
Z2 = 13,56m – 2,19m
Z2 = 11,38m
La distancia entre el punto estación y el punto visado (distancia instrumento-
mira) se calculó por estadimetría como:
D = m . k
Donde k es la constante estadimétrica que para el nivel usado es 100 y m es la
diferencia entre los hilos estadimétricos inferior y superior.
Para el punto 1 la distancia se calculó como:
DE-1 = (1,59m – 1,03m) . 100
DE-1 = 0,56m . 100
DE-1 = 56m
El acimut fue necesario calcularlo para saber cómo está orientada la parcela y
poder determinar las coordenadas planas X e Y de todos los puntos. El acimut medido
fue el de 1 hacia E (Az 1E = 51°30’). Si se desea saber el azimut de E hacia 1 es
suficiente con sumar 180° ya que es el inverso.
Az E1 = Az 1E + 180°
Az E1 = 51°30’+ 180°
Az E1 = 231° 30’
182
Nótese que en la dirección E-1 (que le corresponde un azimut de 231°30’) se
colocó el limbo horizontal como dirección de arranque (0°00’) por lo que entre dirección
y acimut se mantendrá esa diferencia constante e igual a:
Diferencia = Azimut – Dirección horizontal = 231°30’ = Kte.
Por lo tanto pueden obtenerse los azimutes desde la estación a los distintos
puntos como
Acimut = Dirección horizontal + Diferencia
Así para el punto 2 en el que se ha leído su dirección horizontal se puede obtener
el acimut de E hacia 2 como:
Az E2 = Dir. horiz.. + Dif.
Az E2 = 4°00’ + 231°30’
Az E2 = 235°30’
En el caso que el acimut adopte valores mayores a 360° será suficiente con restar
a dicho valor 360°.
Para el punto 29:
Az E29 = Dir. horiz.. + Dif.
Az E29 = 200°04’ + 231°30’
Az E29 = 431°34’ Az E29 = 431°34’ –360° = 71°34’
Queda aún por determinar las coordenadas X e Y de los puntos que se han
levantado. Se parte de las coordenadas conocidas del punto 1: X1 = 100 e Y1 = 101.
Inicialmente se le da coordenadas al punto E y luego con las coordenadas de E y los
acimutes y las distancias de E al resto de los puntos se calculan las coordenadas de los
mismos.
X = N
Y
XE E
X Az1E
X1
1
Y1 YE Y
Figura 166: Transformación de coordenadas polares del punto E en coordenadas
rectangulares
183
El X entre 1 y E puede calcularse como:
X1-E = cos Az1E . D1E
X1-E = cos 51°30’ . 56m
X1-E = 35m
y el Y como:
Y1-E = sen Az1E . D1E
Y1-E = sen 51°30’ . 56m
Y1-E = 44m
Luego las coordenadas X e Y de E serán:
XE = X1 + X1-E
XE = 100m + 35m
XE = 135m
YE = Y1 + Y1-E
YE = 101m + 44m
YE = 145m
Con las coordenadas X e Y de E y los acimutes y las distancias de E al resto de
los puntos pueden calcularse las coordenadas de todos los puntos.
Para el punto 12:
XE-12 = cos AzE12 . DE12
XE-12 = cos 317°34’ . 48m
XE-12 = 35m
y el Y:
YE-12 = sen AzE12 . DE12
YE-12 = sen 317°34’ . 48m
YE-12 = -32m
Luego las coordenadas X e Y de 12 serán:
X12 = XE + XE-12
X12 = 135 m + 35m
X12 = 170m
Y12 = YE + YE-12
Y12 = 145m + (-32m)
184
Y12 = 113m
Punto hm hs hi Direc. Horiz. CPV z Distancia Acimut dy dx y x
E 1,20 ° ´ 13,56 12,36 0 ° ´ 145 135
1 1,31 1,03 1,59 0 0 13,56 12,25 56 231 30 -44 -35 101 100
2 2,19 2,09 2,28 4 0 13,56 11,38 19 235 29 -16 -11 129 124
3 1,81 1,66 1,96 9 27 13,56 11,75 30 240 57 -26 -15 119 120
4 0,94 0,70 1,17 21 13 13,56 12,63 47 252 43 -45 -14 100 121
5 2,06 1,96 2,16 41 22 13,56 11,50 20 272 52 -20 1 125 136
6 1,31 1,08 1,54 46 6 13,56 12,25 46 277 36 -46 6 99 141
7 1,56 1,35 1,77 59 32 13,56 12,00 42 291 2 -39 15 106 150
8 1,91 1,78 2,04 62 0 13,56 11,65 26 293 30 -24 10 121 145
9 1,69 1,51 1,86 75 22 13,56 11,88 35 306 52 -28 21 117 156
10 1,81 1,52 2,10 76 23 13,56 11,75 58 307 52 -46 36 99 171
11 2,06 1,85 2,27 85 25 13,56 11,50 42 316 55 -29 31 116 166
12 2,26 2,02 2,50 86 4 13,56 11,30 48 317 34 -32 35 113 170
13 1,69 1,54 1,83 97 32 13,56 11,88 29 329 2 -15 25 130 160
14 1,69 1,63 1,74 101 56 13,56 11,88 11 333 26 -5 10 140 145
15 1,69 1,49 1,88 103 56 13,56 11,88 39 335 26 -16 35 129 170
16 1,81 1,73 1,89 121 23 13,56 11,75 16 352 53 -2 16 143 151
17 2,06 1,93 2,19 126 13 13,56 11,50 26 357 43 -1 26 144 161
18 2,31 2,14 2,49 128 30 13,56 11,25 35 0 0 0 35 145 170
19 1,56 1,53 1,60 128 30 13,56 12,00 7 0 0 0 7 145 142
20 1,61 1,51 1,71 152 28 13,56 11,95 20 23 58 8 18 153 153
21 1,74 1,68 1,79 155 4 13,56 11,83 11 26 34 5 10 150 145
22 1,69 1,48 1,89 158 15 13,56 11,88 41 29 45 20 36 165 171
23 1,36 1,23 1,49 162 47 13,56 12,20 26 34 17 15 21 160 156
24 1,19 1,18 1,19 173 30 13,56 12,38 1 45 0 1 1 146 136
25 1,01 0,85 1,17 177 19 13,56 12,55 32 48 49 24 21 169 156
26 2,44 2,15 2,72 180 38 13,56 11,13 57 52 8 45 35 190 170
27 1,79 1,67 1,90 182 40 13,56 11,78 23 54 10 19 13 164 148
28 0,96 0,81 1,11 188 31 13,56 12,60 30 60 1 26 15 171 150
29 1,96 1,88 2,04 200 4 13,56 11,60 16 71 34 15 5 160 140
30 2,19 1,95 2,42 200 39 13,56 11,38 47 71 34 45 15 190 150
31 1,31 1,19 1,44 218 30 13,56 12,25 25 90 0 25 0 170 135
32 2,36 2,13 2,59 224 50 13,56 11,20 46 96 20 46 -5 191 130
33 1,56 1,43 1,69 236 56 13,56 12,00 26 108 26 25 -8 170 127
34 2,06 1,99 2,13 238 9 13,56 11,50 14 109 39 13 -5 158 130
35 1,81 1,67 1,95 252 11 13,56 11,75 28 123 41 23 -16 168 119
36 2,94 2,65 3,22 256 23 13,56 10,63 57 127 52 45 -35 190 100
37 2,21 2,10 2,32 263 30 13,56 11,35 22 135 0 16 -16 161 119
38 2,06 1,87 2,25 267 44 13,56 11,50 38 139 14 25 -29 170 106
39 2,19 1,97 2,40 272 58 13,56 11,38 43 144 28 25 -35 170 100
40 2,29 2,14 2,43 277 32 13,56 11,28 29 149 2 15 -25 160 110
41 2,56 2,37 2,75 282 36 13,56 11,00 38 154 6 17 -34 162 101
42 1,94 1,76 2,11 301 59 13,56 11,63 35 173 29 4 -35 149 100
185
Punto hm hs hi Direc. Horiz. CPV z Distancia Acimut ‘ dy dx y x
43 1,91 1,78 2,04 303 56 13,56 11,65 26 175 26 2 -26 147 109
44 1,81 1,71 1,91 305 29 13,56 11,75 20 176 59 1 -20 146 115
45 1,56 1,51 1,61 308 30 13,56 12,00 10 180 0 0 -10 145 125
46 2,44 2,25 2,62 324 27 13,56 11,13 37 195 57 -10 -36 135 99
47 2,31 2,17 2,45 336 57 13,56 11,25 28 208 27 -13 -25 132 110
Tabla 54: Planilla resultante de la Nivelación Areal por Radiación Nota: en negrita se colocaron los datos que fueron relevados a campo. El resto de los datos fueron
calculados en gabinete a excepción de la cota y coordenadas de 1 que fueron dato. La CPV es única ya
que se realizó 1 sola estación
La modalidad para efectuar la construcción de las curvas es semejante a la de
cuadrícula. Ubicados los puntos de cota más alta y baja y decidida la equidistancia se
determinan las curvas a trazar y se comienza con la interpolación. En la nivelación por
cuadrícula los puntos se encuentran distribuidos uniformemente y equidistantes de sus
vecinos. En la radiación no ocurre lo mismo y deben unirse los puntos vecinos entre los
que se hará la interpolación con una malla triangular con el objeto de facilitar los
cálculos. En la Figura 167 se observa en la parte superior izquierda el reticulado
triangular que se ha efectuado para realizar la interpolación.
Figura 167: Plano de puntos acotados para la taquimetría con nivel. Con líneas
punteadas se ven los triángulos empleados para realizar la interpolación de las curvas de
nivel
12.36
12.25
11.38
11.7512.63
11.50
12.25
12.00
11.65
11.88
11.75
11.50
11.30
11.88
11.88
11.88
11.75
11.50
11.25
12.00
11.95
11.83
11.88
12.20
12.38
12.55
11.13
11.7812.60
11.60
11.38
12.25
11.20
12.00
11.50
11.75
10.63
11.35
11.50
11.38
11.28
11.0011.63
11.65
11.75
12.00
11.13
11.25
100.00 110.00 120.00 130.00 140.00 150.00 160.00 170.00 180.00 190.00100.00
110.00
120.00
130.00
140.00
150.00
160.00
170.00
186
Se ha decidido trazar las curvas con una equidistancia de 0,25m por lo que entre
los puntos que se han marcado los triángulos, puede verse que pasará entre otras, la
curva de 11,50m. Dicha curva “entrará” al plano pasando entre los puntos de cota
11,30m y 11,88m , luego pasará por un punto que tiene 11,50m para finalmente “salir”
del plano pasando entre los puntos de cota 11,75m y 11,30m. El lugar exacto por el que
pasará se determina, a igual que en cuadrícula, por interpolación lineal, es decir
considerando que entre dos puntos de cota conocida la pendiente es constante. Entre
11,30m y 11,75m pasará más cerca del punto de cota 11,30m ya que lo separan 20cm de
la cota de ese punto mientras que de 11,75m lo separan 25cm.
Figura 168: Plano de curvas de nivel superpuesto sobre el de puntos acotados
para la taquimetría con nivel
Existen programas informáticos que permiten realizar la interpolación numérica
de los valores de cota y a partir de un conjunto de valores X, Y, Z ubican
planimétricamente a cada punto (con las coordenadas X e Y) y determinan los lugares
por donde pasan las curvas de nivel (a partir de las coordenadas Z). Estos programas
permiten interpolar todo tipo de parámetros numéricos por lo que se pueden obtener
numerosas y variadas aplicaciones que contemplen trazados de isolíneas (isotermas,
isobaras, isoietas). Una de las aplicaciones más utilizadas en la actualidad son los
denominados “mapas de rendimiento” que unen con líneas lugares del lote que han
alcanzado un mismo rendimiento. Muchos de estos programas permiten también
obtener Modelos de Elevación Digital conocidos con la sigla en inglés DEM (Digital
187
Elevation Model) que permiten obtener una representación tridimensional del relieve del
terreno.
Figura 169: Esquema tridimensional elaborado con un programa específico donde se
representa el relieve del terreno nivelado por taquimetría
Distancia máxima instrumento mira
Tanto en nivelación areal por cuadrícula como en taquimetría con nivel existe
una distancia máxima que la mira puede separarse del instrumento. Esta distancia está
dada por la resolución del ojo humano, el aumento del anteojo del nivel y la menor
división que se quiera apreciar.
Se deducirá la distancia máxima que se puede distanciar la mira del nivel si se
quisiera apreciar el milímetro.
1’ 1mm
D
Figura 170: Cálculo de la distancia a la que se aprecia el milímetro
Sabiendo que el menor ángulo que puede resolver el ojo humano es de un minuto
sexagesimal (1’) y utilizando la función tangente se obtiene que:
tan 1′ =1𝑚𝑚
𝐷
188
𝐷 =1𝑚𝑚
tan 1′= 3437,7𝑚𝑚 = 3,44𝑚
Es decir que para apreciar un milímetro a ojo desnudo no hay que alejarse más de
3,44m de la mira. Si en cambio la observación se hace a través de un anteojo con un
determinado aumento será suficiente multiplicar los 3m (se toma el valor entero y
aproximado de 3m) por el aumento del anteojo para conocer la distancia máxima a la
cual se podrá apreciar el mm en la mira.
Dmáx instrumento- mira = 3m . A
donde A = aumento del anteojo del nivel
Para un aumento de 25 (valor habitual en los anteojos de nivel)
D = 3m . 25
D = 75m
Número mínimo de estaciones a efectuar para nivelar una determinada área
Al realizar una nivelación existe una distancia máxima entre el instrumento y la
mira que no debe superarse. Si el área que desea nivelarse es lo suficientemente grande
que no puede abarcarse con una sola estación de nivel ya que se superaría la distancia
máxima, deberían efectuarse más estaciones para poder nivelarla en su totalidad. Se
analizará cual es la distancia que debe separar los puntos en los que se hará estación.
En la Figura 171 puede observarse que dada una distancia máxima instrumento-
mira y haciendo estación en un punto determinado con una estación de nivel se puede
abarcar una superficie igual a . D2, siendo D la Distancia máxima instrumento-mira y
no el diámetro del círculo. Con el anteojo de 25 aumentos, con el que se logra una
distancia máxima de 75m, podría abarcarse un área de . 752 m
2 = 17671,5m
2 = 1,77ha.
D
E
Figura 171: Área abarcada por una estación E de nivel
Si se dispusiesen las estaciones en el terreno de manera que la distancia que
separase estaciones vecinas fuese el doble de la distancia máxima instrumento mira (2 .
Dmáx) existirían en la superficie a nivelar sectores sin nivelar por superar dicha distancia
máxima (áreas sin nivelar) por lo que esta separación entre estaciones se considera
excesiva. Los círculos de las áreas abarcadas por las estaciones vecinas hacia arriba,
abajo y hacia los costados serían tangentes (Figura 172).
189
D
D D Áreas sin nivelar
D
D
Figura 172: Nivelación con estaciones vecinas hacia arriba, abajo y costados separadas
por 2 . D
Si los círculos son tangentes para las estaciones vecinas en diagonal (Figura 173)
no quedan zonas sin nivelar y existen áreas superpuestas entre estaciones vecinas hacia
arriba, abajo y hacia los costados (áreas que se nivelan desde ambas estaciones). Estas
áreas son utilizadas como áreas de control, ya que la cota de los puntos de las mismas
deben arrojar los mismos resultados desde ambas estaciones. Obsérvese que la distancia
entre estaciones vecinas hacia arriba, abajo y costados es:
2. 𝐷. cos 45° = 2 . 𝐷 = 1,4142 . 𝐷
D
D
Áreas de
superposición
Figura 173: Nivelación con estaciones vecinas hacia arriba, abajo y costados separadas
por 1,41 . D
El área que efectivamente será nivelada por cada estación (descontando la mitad
de la superposición) será igual a (1,4142 . D)2. En el caso de que la distancia máxima
fuera de 75m la superficie será (1,4142 . 75m)2 = 11250m
2 1 ha. Es decir que se
necesitaría aproximadamente una estación de nivel por ha para efectuar la nivelación.
190
Figura 174: Área efectiva nivelada por estación
Problema de cuadrícula
Se efectuó una nivelación areal por cuadrícula de un lote de 120m x 90m. Se
empleó una cuadrícula de 20m de lado consistente en 7 filas (letras) por 6 columnas
(números). Se efectuó una sola estación de nivel en el centro del lote y se realizó lectura
de hm en un punto fijo de cota 15,95m obteniendo un valor de 1,35m. Luego se
realizaron lecturas de hm en los puntos de la cuadrícula obteniendo los valores volcados
en la Tabla 55. La fila de las A está expuesta al Norte.
Estaca Lectura de hm CPV Cota Punto
Punto Fijo 1,35
15,95
A1 1,93
A2 1,90
A3 1,85
A4 1,80
A5 1,84
A6 1,92
A7 1,96
B1 1,87
B2 1,83
B3 1,82
B4 1,73
B5 1,76
B6 1,88
B7 1,92
C1 1,85
C2 1,78
C3 1,78
C4 1,70
C5 1,73
C6 1,81
C7 1,88
D1 1,76
191
D2 1,75
D3 1,67
D4 1,63
D5 1,66
D6 1,78
D7 1,81
E1 1,70
E2 1,69
E3 1,64
E4 1,57
E5 1,62
E6 1,71
E7 1,73
F1 1,66
F2 1,61
F3 1,57
F4 1,51
F5 1,56
F6 1,65
F7 1,68
Tabla 55: Planilla de nivelación areal por cuadrícula a resolver
a) Resolver la Tabla 55 y calcular las cotas de los 42 puntos
b) Dibujar el plano de puntos acotados en escala 1:500
c) Dibujar en papel calco sobre el plano de puntos acotados las curvas de nivel con
equidistancia 0,1m.
Problema de radiación
Se efectuó una taquimetría con nivel desde un punto estación de cota 10,53m, la
altura del instrumento fue de 1,65m. El punto estación tiene como coordenadas X =
1100m e Y = 1200m. Se bisectó inicialmente un punto F de coordenadas conocidas X =
1500m e Y = 1000m obteniendo en esa dirección una lectura de dirección horizontal de
15º 35’. A continuación se efectuó la nivelación del lote de aproximadamente 1ha
obteniendo los datos que se vuelcan en la planilla de la Tabla 56.
Punto hm hs hi Direc. Horiz. z
E 1,65 ° ´ 10,53
1 1,95 1,60 2,30 0 0
2 1,75 1,65 1,85 0 45
3 1,85 1,52 2,13 31 0
4 1,84 1,50 2,18 60 0
5 1,68 1,57 1,79 60 0
6 1,63 1,32 1,94 90 32
7 1,49 1,19 1,79 120 16
8 1,57 1,47 1,67 120 16
192
9 1,47 1,15 1,78 151 22
10 1,45 1,14 1,77 180 23
11 1,55 1,46 1,64 180 25
12 1,50 1,15 1,85 210 4
13 1,55 1,30 1,80 241 32
14 1,54 1,44 1,64 241 56
15 1,60 1,30 1,90 269 56
16 1,73 1,43 2,03 300 23
17 1,67 1,57 1,78 300 13
18 1,92 1,61 2,23 330 30
Tabla 56: Planilla de taquimetría con nivel a resolver
a) Resolver la Tabla 56 y calcular las coordenadas X, Y, Z de los 18 puntos
b) Dibujar el plano de puntos acotados en escala 1:500
c) Dibujar en papel calco sobre el plano de puntos acotados las curvas de nivel con
equidistancia 0,1m.
193
CARTOGRAFÍA
La Cartografía es la Ciencia que estudia los diversos métodos y sistemas para
poder representar en un plano una parte o la totalidad de la superficie terrestre. Se la
suele definir también como el arte de trazar cartas geográficas. Una carta o mapa es una
representación geométrica, plana, simplificada y convencional de una parte o de la
totalidad de la superficie terrestre con una relación de similitud denominada escala.
Formas de la Tierra
Previo al estudio de las formas de representar a la Tierra se analizarán cuales son
las formas que se adoptan más comúnmente para el estudio de la misma.
La aproximación más cercana a la verdadera forma de la Tierra es el Geoide. El
geoide se define como la superficie de los mares en calma prolongada por debajo de los
continentes y libre de la acción de vientos y mareas. Es una superficie equipotencial e
irregular por lo que no tiene una aproximación matemática (o al menos la misma no es
sencilla).
Forma real
Geoide
Figura 175: Geoide
La segunda aproximación a la verdadera forma de la Tierra es el Elipsoide (o
esferoide) que considera a la Tierra una figura geométrica simple e igual a una elipse de
revolución con dos semiejes que reflejan el achatamiento polar: un semieje menor (polar
= b) de 6357km y un semieje mayor (ecuatorial = a) de 6378km. El Elipsoide responde a
una ecuación matemática sencilla.
b
a
Figura 176: Elipsoide
Tanto el Geoide como el Elipsoide son utilizados por la Geodesia como
superficies de referencia. La Geodesia es la disciplina encargada de estudiar la verdadera
forma y dimensiones de la Tierra y constituye una ciencia afín a la Topografía
brindándole a la misma puntos de apoyo que son tomados como puntos de arranque para
los levantamientos plani-altimétricos.
194
Una tercera aproximación a la verdadera forma de la Tierra la constituye la
Esfera de Radio Medio de 6370km. Dicha esfera también responde a una ecuación
matemática sencilla. Esta aproximación es utilizada por la Topografía.
R
R
Figura 177: Esfera de Radio Medio
La cuarta aproximación la constituye el plano tangente a la esfera de radio medio
que también es utilizado por la Topografía.
Figura 178: Plano Tangente a la Esfera de Radio medio
Superficies desarrollables
Debido a la esfericidad de la Tierra resulta complejo representarla en un plano
sin que se produzcan deformaciones y diferencias entre las magnitudes reales y las
representadas a escala. Suponiendo a la superficie terrestre semejante a la cáscara de una
naranja se percibirá la dificultad de achatar a la misma hasta llevarla a un plano.
Ocurrirá seguramente que se deberá resquebrajar la cáscara en numerosos sectores para
poder lograrlo. Esto se debe a que la superficie esférica no es desarrollable. Las
superficies desarrollables son de acuerdo a Gauss aquéllas en las que el producto de sus
curvaturas es nulo siendo la curvatura el valor inverso del radio
𝐶 =1
𝑅
donde C = Curvatura y R = radio
195
R1 R1
R2 = R2 = R1
R2
Figura 179: Superficies desarrollables (cilindro y cono) y esfera (no desarrollable)
Observar que tanto en el cilindro como en el cono uno de los radios es por lo
que una de las curvaturas es nula y el producto de las curvaturas también lo es siendo las
superficies de ambas figuras desarrollables en un plano. En la esfera en cambio ninguno
de los radios es por lo que ninguna de las curvaturas es nula constituyendo una figura
cuya superficie no es desarrollable en un plano.
Propiedades de las proyecciones cartográficas
Como la esfera no es desarrollable, no existe otra forma que utilizar un globo
terráqueo para representar a la superficie terrestre sin tener deformaciones de ningún
tipo. No obstante ello se puede recurrir a distintas maneras de llevar la superficie de la
esfera a un plano utilizando para ello proyecciones. Por no ser desarrollable se
producirán deformaciones al realizar la proyección. De acuerdo a las deformaciones que
se produzcan por el pasaje de la esfera al plano las proyecciones se pueden clasificar en:
1. Conformes o isogónicas: son aquellas en las que se conserva la forma (se
mantienen los ángulos)
2. Equivalentes o equiáreas: Conservan constante la relación de superficies entre el
terreno y el plano
3. Automecoicas: Conservan constante la relación de longitudes.
4. Afilácticas: Sin ser conformes ni equivalentes reducen al mínimo las
deformaciones.
Tipos de proyecciones
Existen numerosos métodos de llevar la superficie terrestre al plano. Entre otros
se utilizan las Superficies Auxiliares de Proyección (cilindro y cono) que al ser tangentes
a un círculo terrestre, permiten más puntos de contacto. Estas superficies deben poseer la
propiedad de ser desarrollables. Por generalización se utiliza el término proyección para
todos los tipos de representación cartográfica, aún aquellos que no se basan en el método
proyectivo.
En función de la posición que adoptan con relación al eje terrestre se clasifican
en:
Directa: el eje de revolución coincide con el eje terrestre
Transversa: el eje de revolución está contenido en el plano ecuatorial
Oblicua: el eje de revolución en otra posición que las definidas anteriormente
196
Proyección Cilíndrica: Consiste en proyectar la esfera terrestre sobre un cilindro
tangente al globo.
Eje terrestre (N-S)
Ecuador
Transversa
Directa Oblicua
Figura 180: Proyecciones cilíndricas
Proyección cónica: Consiste en proyectar la esfera terrestre sobre un cono
tangente al globo.
Directa Transversa Oblicua
Figura 181: Proyecciones cónicas
Proyección acimutal: también llamadas cenitales o perspectivas, se obtienen
proyectando la superficie del globo sobre un plano tangente al mismo.
Directa Transversa Oblicua
Figura 182: Proyecciones acimutales
197
Coordenadas Geográficas
En un plano se puede definir la ubicación de un punto mediante coordenadas
cartesianas ortogonales X e Y o mediante coordenadas polares y D.
Para determinar la ubicación de un punto en una esfera (figura a la que se
asemeja la Tierra) se utiliza un sistema de coordenadas conocido como geográficas.
Consiste en un juego de círculos alrededor del globo terrestre que corren de oeste a este
(Paralelos al Ecuador) y otra serie de círculos que corren de Norte a Sur
(perpendiculares al Ecuador) y convergen en los polos formando una red de líneas de
referencia mediante la cual se puede localizar cualquier punto en la superficie de la
Tierra.
A la serie de anillos que son paralelos al Ecuador se los conoce con el nombre de
Paralelos y determinan la Latitud de un punto siendo la misma el ángulo hacia el Norte
o Sur que hay desde el Ecuador hasta el paralelo que pasa por el punto.
A los anillos en la otra serie de círculos del globo terrestre que forman ángulos
rectos con las líneas de latitud y pasan por los polos, se los conoce como meridianos de
longitud o sencillamente como Meridianos.
El meridiano que se toma como origen (primer meridiano=0º) pasa por
Greenwich (Gran Bretaña). El ángulo hacia el Este o hacia el Oeste desde el primer
meridiano hasta el meridiano que pasa por un punto dado se conoce como longitud del
punto.
Figura 183: Latitud y Longitud de un punto
Las coordenadas geográficas se expresan en unidades angulares sexagesimales.
198
Partiendo del Ecuador los paralelos se numeran de 0º a 90º tanto hacia el Norte
como hacia el Sur. Los extremos son el Polo Norte que tiene una latitud Norte de 90º y
el Polo Sur que tiene una latitud Sur de 90º. Suelen utilizarse valores negativos para las
latitudes Sur y positivos para las latitudes Norte.
Partiendo de 0º en el primer meridiano la Longitud se mide tanto hacia el Este
como hacia el Oeste alrededor del mundo. Las líneas al Este del primer meridiano se
numeran de 0º hasta 180º y se las conoce como Longitud Este. Las líneas al Oeste del
primer meridiano se numeran desde 0º hasta 180º y se las conoce como Longitud Oeste.
Siempre se debe especificar Este u Oeste al dar la dirección. Suelen utilizarse valores
negativos para las longitudes Oeste y positivos para las longitudes Este.
Proyección utilizada por la Cartografía Argentina
En la República Argentina el organismo encargado de confeccionar la
Cartografía Nacional es el IGM (Instituto Geográfico Militar). Este organismo adoptó la
proyección Gauss-Krüger. Esta proyección fue ideada por C. F. Gauss en 1822.
Posteriormente, el matemático L. Krüger tiene el mérito de haber generalizado la
proyección Gauss, haciéndola más práctica con la introducción de fajas meridianas. La
proyección Gauss-Krüger es una proyección cilíndrica, transversa y conforme. El eje del
cilindro sobre el que se proyecta la esfera pasa por el Ecuador y consecuentemente es
tangente a un meridiano, llamado meridiano de tangencia. La propiedad conforme de
esta proyección refiere a que se mantienen las formas (los ángulos) entre la esfera y la
proyección plana de la misma. No obstante las figuras sufren un agrandamiento a
medida que la proyección se aleja del meridiano de tangencia y solo se mantiene
constante la relación de longitudes entre esfera y plano en este meridiano. Krüger redujo
el ancho de las fajas a 3° de longitud (1°30’ a la izquierda y 1°30’ a la derecha del
meridiano central de cada faja) para reducir las deformaciones en el sentido Este-Oeste a
valores insensibles a los usos de la Cartografía. Krüger eligió como meridianos centrales
aquellos múltiplos de 3° y designó con la letra k a la característica de cada faja.
Al proyectar estas fajas de 3º sobre el plano permanecen como líneas rectas el
meridiano central y el Ecuador, siendo los restantes meridianos y paralelos líneas con
curvatura hacia el meridiano central y hacia los polos respectivamente.
PN
Meridiano de tangencia
Ecuador (línea recta)
Meridiano Central (línea recta)
PS
Figura 184: Proyección Gauss-Krüger
(cilíndrica, transversa, conforme)
Figura 185: Faja de 3º proyectada sobre el
plano (salvo Ecuador y meridiano central
son líneas curvas)
199
Coordenadas Gauss-Krüger
Al igual que todos los sistemas de representación cartográficos, busca una
correspondencia biunívoca entre cada punto de la superficie terrestre (caracterizado por
sus coordenadas geográficas latitud y longitud ), y su homólogo en el plano
(caracterizado por sus coordenadas planas cartesianas X e Y).
Figura 186: División del país en fajas meridianas de 3º (Sistema Gauss – Krüger)
200
Argentina queda dividida en siete fajas numeradas del 1 al 7 de Oeste a Este. A
este número se lo denomina característica de la faja = k. Cada faja tiene un meridiano
central. Los meridianos centrales de fajas son de Oeste a Este -72º, -69º, -66º, -63º, -60º,
-57º y -54º (Figura 186).
Cada faja forma un sistema de coordenadas independiente del de las otras fajas.
En cada uno el meridiano central es el eje de las X y a partir de él,
ortogonalmente, se miden las Y.
Existen dos orígenes para las X: el Ecuador para el hemisferio Norte y el Polo
Sur para el hemisferio Sur por lo que en Argentina la coordenada X de un punto es la
distancia desde el Polo Sur a dicho punto.
Las ordenadas Y crecen positivamente hacia el Este, correspondiendo al
meridiano central de cada faja una coordenada Y = k . 106 + 500.000 . La primer faja (-
72º) tiene una ordenada Y = 1 . 106 + 500.000 = 1.500.000. Las coordenadas Gauss-
Krüger tienen unidades del sistema métrico.
Faja Meridiano Central Meridianos límites de faja Característica(K) Ordenada
1 -72º -70º30 -73º30 1 1.500.000
2 -69º -67º30 -70º30 2 2.500.000
3 -66º -64º30 -67º30 3 3.500.000
4 -63º -61º30 -64º30 4 4.500.000
5 -60º -58º30 -61º30 5 5.500.000
6 -57º -55º30 -58º30 6 6.500.000
7 -54º -52º30 -55º30 7 7.500.000
Tabla 57: Fajas que cubren el territorio nacional y sus características
Para un punto “P”, la abcisa Xp expresa la distancia desde el Polo Sur a P.
La ordenada Yp se obtiene sumando a la ordenada del meridiano central la
distancia Yp entre éste y el punto P.
Meridiano Central
Y’P P
Extremo de Faja
XP
PS
Figura 187: Coordenadas planas Gauss-Krüger
201
Las Y son positivas al Este del meridiano central y negativas al Oeste. Si un
punto tiene una coordenada mayor de 500.000 estará a la derecha del meridiano central y
si es menor de 500.000, estará a la izquierda.
Ejemplo: Si un punto “P1” tiene coordenadas
X = 6.401.507m
Y = 5.625.259m
P1 se encuentra en la faja 5 (pues así lo indica el primer dígito de la coordenada Y) y a
625.259 - 500.000 = 125.259m al Este del meridiano central de dicha faja (-60º). La
coordenada X indica que se encuentra 6.401.507m por encima del Polo Sur.
Si las coordenadas de P2 son:
X = 6.401.507m
Y = 5.385.134m
P2 se encuentra en la faja 5 a 6.401.507m del Polo Sur y a 500.000 - 385.134 =
114.866m al Oeste del meridiano central de faja.
Las coordenadas Gauss-Krüger se encuentran representadas en las cartas IGM
por un reticulado de líneas verticales y horizontales distanciadas 4cm entre sí. Cada
línea posee en cada extremo dos números grandes que indican la decena y unidad de km
de la coordenada correspondiente. La línea horizontal más inferior y la línea vertical más
a la izquierda llevan además dos números que indican la centena y unidad de mil de la
coordenada con números pequeños en superíndice. La distancia que representan estos
cuatro centímetros de separación entre líneas variará con la escala de la carta. Para una
carta 1:50000 serán 50000 . 4cm = 200000cm = 2km
63
82 84 86 88 90
98 98
6596 Km desde el PS
96 96
94 94
112km al Oeste del
Meridiano Central
92 92
65
90 65
90 63
82 84 86 88 90
Figura 188: Retícula con coordenadas Gauss-Krüger de una carta a escala 1:50000
202
Figura 189: Extremo SO de la carta 3560-2-4 “Rojas”. Pueden verse las coordenadas
geográficas y Gauss-Krüger
En la Figura 189 pueden verse ambos sistemas de coordenadas (Gauss-Krüger y
geográficas). Figura la latitud (34°20’) y longitud (60°45’) del punto extremo SO de
dicha carta. La coordenada “Y” Gauss-Krügger de la primer línea vertical (54
32) indica
que los puntos unidos por dicha línea se encuentran a 68km del meridiano central
(5500km-5432km) y que la carta pertenece a la faja 5 (pues el primer número de la
coordenada así lo indica). La coordenada “X” Gauss-Krügger de la primer línea
horizontal (62
02) indica que los puntos unidos por dicha línea se encuentran a 6202km
del Polo Sur. Obsérvese que la separación de 4cm entre líneas sucesivas de coordenadas
Gauss-Krüger se corresponde con 2km (de 5432 pasa a 34 en Y y de 6202 pasa a 04 en
X), en coincidencia con la Escala de la carta (1:50000).
Agrandamiento relativo
La proyección Gauss-Krüger es conforme, es decir conserva las formas (los
ángulos) pero las figuras que se representan sufren (producto de la proyección) un
agrandamiento en sus dimensiones. El agrandamiento que sufren las figuras es nulo en el
meridiano central y aumenta con la distancia de las mismas a dicho meridiano. El
módulo de agrandamiento relativo tiene la siguiente expresión:
𝐴𝑟 = 1 +𝑌2
2. 𝑅2
203
donde: Ar = Agrandamiento relativo; Y = Distancia al meridiano central (km) y
R = Radio terrestre (6370km)
Si la distancia al meridiano central es nula, el Ar vale 1, lo que quiere decir que
no hay agrandamientos. En cambio, una distancia medida en el plano a 100km del
meridiano central habrá sufrido un agrandamiento de 1,000123, lo que quiere decir que
lo que mide 1,000123 en el plano en realidad debería medir 1 pero debido al tipo de
proyección ha sufrido un agrandamiento. De todas maneras debido al ancho de faja
limitado a 1°30’ a cada lado del meridiano central, el agrandamiento es imperceptible en
las escalas utilizadas.
Nomenclatura de las cartas IGM
Las cartas del IGM, se publican en hojas denominadas Planchetas ya que han
sido construidas con un instrumento del mismo nombre usando una metodología
denominada taquimetría gráfica. Se publican en las escalas 1:500.000; 1:250.000;
1:100.000; 1:50.000 y 1:25.000. Estas cartas se individualizan con un nombre y un
código numérico. El código indica la posición geográfica.
Escala 1:500.000. Se la denomina carta madre. Abarca todo el ancho de faja, es
decir 3º de amplitud en longitud y 2º en latitud. Su número identificador está compuesto
por cuatro cifras, las dos primeras corresponden al paralelo central de la hoja (son
números impares) y las otras dos al meridiano central. Los 4cm del reticulado Gauss-
Krüger representan 20km (Figura 190).
Carta 3566
Figura 190: Carta Madre a Escala 1:500000
-67°30 -66° -64°30’
2°
3°
-34°
-35°
-36°
204
Escala 1:250.000. Surge de dividir en cuatro partes la carta madre (1:500.000).
Se identifica con los cuatro dígitos seguidos de un número romano (I, II, III, IV). Abarca
1º30 en longitud y 1º en latitud. Los 4cm del reticulado Gauss-Krüger representan 10km
(Figura 191).
Carta 3566-I
I II
III IV
Figura 191: Carta a Escala 1:250000
Escala 1:100.000. Surge de dividir en 36 partes la carta madre (Esc. 1:500.000). Abarca
30 en longitud y 20 en latitud. Su número identificatorio lo constituyen los cuatro
dígitos seguidos de un número arábigo que va del 1 al 36. Los 4cm del reticulado Gauss-
Krüger representan 4km (Figura 192).
Carta 3566-1
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17
18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35
Figura 192: Carta a escala 1:100000
-67°30 -66° -64°30’
2°
1°30’
-34°
-35°
-36°
-67°30 -66° -64°30’
30’
-34°
-36°
20’
-35°
36
205
Escala 1:50.000: Es la cuarta parte de la carta en escala 1:100.000. Abarca 15 en
longitud y 10 en latitud. Su número identificatorio está constituido por los mismos de la
carta en escala 1:100.000 seguidos de un número del 1 al 4. Los 4cm del reticulado
Gauss-Krüger representan 2km (Figura 193).
Carta 3566-1-1
1 2 2 3 4 5 6
3 4
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17
18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35
Figura 193: Carta a Escala 1:50000
Escala 1:25.000: Es la cuarta parte de la Carta en escala 1:50.000. Abarca 7 30
en longitud y 5 en latitud. Su número identificatorio lo constituyen los mismos de la
carta en escala 1:50.000 seguidos de las letras minúsculas a, b, c y d. Los 4cm del
reticulado Gauss-Krüger representan 1km (Figura 194).
Carta 3566-1-1-a
Figura 194: Carta a Escala 1:25000
Problema: Calcular las coordenadas del extremo NW de la carta 3566-17-2-a.
Rta: 34°40’S; 65°15’O
-67°30 -66° -64°30’
15’
-34°
-36°
10’
-35°
-67°15’ -67°22’30’’ -67°30’
5’
-34°00’
-34°05’
-34°10’
7’30’’
a b
c d
36
206
Figura 195: Desarrollo de las Escalas empleadas para la Cartografía Nacional
Interpretación de la carta
La interpretación de una carta topográfica requiere la identificación,
conocimiento y comprensión de todos los elementos alfabéticos, numéricos y gráficos a
los fines de la formación del modelo del terreno para aplicarlo a un objetivo
determinado.
Entre los elementos componentes de una carta topográfica se tienen:
a.-Escala: es la relación entre magnitudes lineales en el plano y el terreno. E =
1/D ó E = 1:D. Por ejemplo E = 1:100.000 ó E = 1 / 100.000 unidades en el terreno.
Una escala es menor que otra cuando el denominador es más grande: 1:100.000
es menor que 1:50.000.
De acuerdo a la escala puede clasificarse la documentación cartográfica en:
Planos Escalas mayores, hasta 1:10.000 (D más chico)
Cartas topográficas Escalas medias, de 1:25.000 a 1:500.000
Mapas Escalas menores, 1:1.000.000 y menores (D más grande)
El Ingeniero Agrónomo y Forestal utiliza principalmente los planos y las cartas
topográficas.
207
En las cartas IGM la escala se encuentra en la parte inferior de la hoja.
Además se coloca una escala gráfica que permite determinar que distancia
representa una longitud del plano en el terreno sin realizar cálculos.
1000 m 0 1 2 3 Km
Figura 196: Escala Gráfica
Figura 197: Mención de Escala, Escala Gráfica y Equidistancia en una carta IGM
En un papel se marcará la distancia incógnita comparándola luego con la escala
gráfica. Se coloca uno de los extremos del papel en una unidad entera de la escala
gráfica (por ejemplo 1, 2 ó 3) de manera que el otro extremo se encuentre en el sector
izquierdo de la escala (donde se encuentran las divisiones pequeñas) determinando de
esta manera en forma aproximada la distancia.
b.-Croquis de situación de la hoja: Se utiliza para relacionar la plancheta con
sus vecinas. En caso de necesitar hojas vecinas se puede consultar la nomenclatura y
nombre de la hoja.
3560-27-2
25 de Mayo
3560-28-1
Lucas
Monteverde
3560-28-2
Ea. La
Merced
3560-27-4
Pueblitos
3560-28-3
Saladillo
3560-28-4
Del Carril
3560-33-2
Mamaguita
3560-34-1
Est. La
Barrancosa
3560-34-2
La
Campana
Figura 198: Situación de la hoja para la Carta 3560-28-3 “Saladillo”
y de la hoja 3560-8-3 “Junín”
c.-Nómina de puntos trigonométricos y auxiliares: Estos puntos poseen
coordenadas conocidas ya que las mismas se han determinado previamente. Son útiles
para relacionar cualquier trabajo topográfico a la red fundamental del país y se
simbolizan con un pequeño triángulo con un punto al centro. En el borde derecho de la
carta se presenta un listado con los puntos trigonométricos que se encuentran en la
208
misma, así como el número de registro con el que se deben ubicar en el catálogo de
puntos trigonométricos para averiguar sus coordenadas. Cada punto tiene un nombre
relacionado al lugar geográfico en que se encuentra.
PUNTO
NÚMERO NOMBRE
En la carta De registro
1 6G - III – 1027 Cpo. La Julia, con marca para acimut
2 6G - II - 615 Cpo. Dalto, con marca para acimut
3 6G - III – 1053 Chac. Bagnato, con marca para acimut
Tabla 58: Nómina de puntos trigonométricos para la Hoja 3560-28-3 “Saladillo”
Figura 199: Nómina de puntos trigonométricos para la Hoja 3560-2-4 “Rojas”
Figura 200: Punto trigonométrico 9 de la carta 3563-36-1 “Pehuajó” y punto
trigonométrico 6 (en un molino) en la hoja 3563-5-4 “Mones Cazón”
209
d.-Convergencia de meridianos y declinación magnética: (para el punto
central de la carta y fecha fijada. Ej: 1º de Enero de 1963). Aparecen en el margen
izquierdo de la plancheta. La declinación magnética es el ángulo formado entre el Norte
Geográfico (también llamado Norte Verdadero) con el Norte Magnético. Se simboliza
con la letra griega . La convergencia de meridianos es el ángulo formado entre el Norte
Geográfico y el Norte de Cuadrícula. Se simboliza con la letra griega El Norte de
cuadrícula está definido por las líneas verticales del reticulado Gauss-Krüger. La
dirección del Norte Geográfico en la proyección Gauss-Krüger se define como la recta
tangente al meridiano que pasa por el punto. Dicha recta es una línea vertical y paralela
al Norte de cuadrícula en el Ecuador y en el meridiano central (convergencia de
meridianos = 0º). En el resto de los puntos forma un ángulo con el Norte de Cuadrícula.
La convergencia de meridianos es positiva cuando es oriental (Nc al este del Ng) y
negativa cuando es occidental (Nc al oeste del Ng). La expresión matemática de la
convergencia es = . sen siendo la diferencia de longitud entre el punto
considerado y el meridiano central y la latitud del punto en cuestión. Así la
convergencia será nula en el Ecuador donde la latitud es 0º (sen 0º = 0) y en el meridiano
central ya que la es 0. La convergencia será máxima en el extremo de faja donde la
es máxima (vale 1º30’) y en el Polo donde la latitud es 90º (sen 90º = 1). La
convergencia puede ser positiva o negativa por lo que el valor máximo que puede
adoptar va desde –1º30’ a +1º30’.
Nc
Nmg Ng Nc
Ng
Figura 201: Declinación Magnética
y Convergencia de Meridianos
Figura 202: Convergencia de meridianos para
dos puntos en extremo de faja, uno en el
Ecuador (= 0) y otro de Latitud Sur (= -)
Salto de Cuadrícula
Está relacionada con la convergencia de meridianos. Es el ángulo existente entre
las cuadrículas de dos hojas vecinas pertenecientes a distintas fajas. Vale el doble de la
convergencia de meridianos (2En las hojas que pertenecen al extremo de faja se
coloca con líneas punteadas la dirección de las líneas de cuadrícula de la hoja vecina.
210
Faja 5 Faja 6
Figura 203: Dos hojas vecinas de extremo
de faja con sus respectivas cuadrículas
Figura 204: Hoja 3560-12-2 con su
cuadrícula en línea continua y la de la hoja
vecina en línea discontinua
e.-Símbolos cartográficos: fundamentales para la interpretación de la simbología de la
plancheta. No guardan la relación de escala con la realidad. Se detallan algunos de los
signos cartográficos que aparecen en el margen derecho de la carta como así también las
abreviaturas más comúnmente empleadas.
SALADILLO Población de 10.000 a 25.000 habitantes
Las Margaritas Paraje o lugar conocido
Límite de Partido - Cabecera de partido
Límite de Provincia
Alambrado
Camino pavimentado
Camino secundario
Vía férrea de una vía
Molino a viento - Molino a viento con tanque australiano
Punto trigonométrico
121,2 Punto fijo - Punto acotado
A. Alm. Ars. Arroyo – Almacén – Arsenal
Cña. Cda. Cñd. Cabaña – Cañada – Cañadón
Co. Chac. Cnia. Cerro – Chacra – Colonia
Comis. Cu. Dest. Comisaría – Cuartel – Destacamento
Ec. Ea. Estr. Escuela – Estancia – Estrecho
Fca. Gja. H. Fábrica – Granja – Hospital
211
Moj. Pte. Pto. Mojón – Puente – Puesto
P.T. Qta. To. Pto. trigonométrico – Quinta - Tambo
Tabla 59: Algunas de las abreviaturas utilizadas en las Cartas IGM
Figura 205: Signos cartográficos y abreviaturas de la carta 3560-7-4 “Saforcada”
f.-Curvas de nivel: Son líneas que unen puntos de igual cota. Son muy
importantes para poder representar la altimetría del terreno. La equidistancia, que figura
en el margen de la plancheta, es el desnivel que separa dos curvas de nivel consecutivas.
La elección de la equidistancia es función del denominador de la escala de la carta (a
mayor denominador mayor equidistancia) y de las formas del terreno. Un terreno llano
tendrá valores pequeños de equidistancia y un terreno quebrado valores grandes. Si se
eligiese una equidistancia muy chica para un terreno quebrado el exceso de curvas
recargaría el dibujo e impediría la lectura.
Clases de curvas: Sobre las cartas se representan cuatro tipos de curvas de nivel:
-Curvas intermedias o de equidistancia: respetan el valor de la equidistancia
fijada. Se dibujan con línea fina y continua. Son las que más abundan en las cartas.
-Curvas principales o directrices: Son dibujadas con líneas gruesas y continuas
y en ellas se indica el valor de la altura para facilitar la lectura y expresar el relieve. Por
lo general las curvas principales se dibujan cada cuatro o cinco intermedias.
-Curvas auxiliares: Son usadas excepcionalmente para representar un relieve
local de interés. Van acompañadas de su valor altimétrico redondeado al metro. Se
dibujan con líneas finas punteadas.
212
-Curvas figurativas: Indican la forma aproximada del terreno. No resultan de un
levantamiento topográfico. Se dibujan en línea de trazos.
40
Curva principal
Curva secundaria
20
Figura 206: Curvas principales e intermedias
Figura 207: Carta IGM 3560-10-1 “Carmen de Areco”
Carta Imagen
Las cartas que se han descrito son denominadas cartas de línea ya que han sido
construidas con líneas o trazos. En la actualidad se elaboran también las llamadas Carta
Imagen que son cartas elaboradas a partir del procesamiento de imágenes satelitales. Se
denominan Imágenes y no Fotos Satelitales reservándose el término fotografía para
casos en que existe el revelado de un rollo fotográfico como en las Fotos Aéreas (Figura
208).
213
Figura 208: Carta imagen 4363-I “Península Valdés” a Escala 1:250000
En la Figura 208 puede observarse una Carta Imagen. En la misma pueden
observarse en distintas tonalidades diferentes características del lugar relevado. No se
colocan como en la Carta de Línea tradicional una reseña de símbolos cartográficos ya
que dichas cartas adolecen de simbología. Solo se les adiciona texto haciendo referencia
a los accidentes principales (en la Figura 208 se lee “Océano Atlántico” y se mencionan
varios Golfos existentes). La Carta se encuentra atravesada por numerosas líneas
verticales y horizontales separadas 4cm entre sí correspondientes a las coordenadas
Gauss-Krüger como en las cartas de línea. Por ser a Escala 1:250000 la distancia entre
líneas vecinas corresponde a 10km. Se observa a la izquierda de la Figura 208 una
reseña colorimétrica que permite identificar distintas coberturas sobre la Carta
comparando con los colores presentes en la misma. La Carta Imagen presenta la ventaja
de presentar información muy actualizada (las cartas de línea presentan relevamientos
antiguos, de la década del 50, 60 y anteriores) pero adolece de curvas de nivel por lo
cual dichas cartas no reemplazan a las tradicionales cartas de línea sino que las
complementan.
Las imágenes satelitales arriban a la Tierra por medio de señales
electromagnéticas. Las imágenes que se utilizan para elaborar estas cartas en Argentina
provienen de sensores ubicados en dos grupos de satélites distintos: el Landsat
(americano) y el Spot (francés). En dichos satélites van montados los sensores que son
los instrumentos encargados de captar las imágenes. La resolución de estos sensores
viene dada por el tamaño del Píxel (del inglés Picture element = Elemento de imagen)
que es la menor unidad de una imagen. Si se amplia suficientemente una imagen digital
se llegará a ver que está formada por pequeños cuadrados. Cada uno de esos cuadrados
constituye un pixel. El tamaño del pixel determina la resolución de la imagen. La
plataforma Landsat posee dos tipos de sensores: TM (Thematic Mapper = Mapeador
temático) de 30m de pixel y MSS (MultiSpectral Scanner = Barredor multiespectral) de
214
80m de pixel. La plataforma Spot posee un sensor denominado HRV (High-Resolution
Visible = Alta resolución en el visible) que puede trabajar en dos modos: Modo
multiespectral de 20m de pixel y Modo Pancromático de 10m de pixel. Cuando menor es
el tamaño del pixel, mayor es la resolución de una imagen digital. Por ejemplo, el sensor
HRV del Spot en modo pancromático tiene una resolución mayor que el mismo en modo
multiespectral (10m de tamaño de pixel vs 20m de pixel). Un pixel del sensor HRV del
Spot en modo pancromático abarcará una superficie terrestre de 10m . 10m = 100m2
mientras que uno del MSS del Landsat abarcará una superficie de 80m . 80m = 6400m2.
Puede observarse que un área de 6400m2 será abarcada por un solo pixel del MSS
Landsat o por 64 del HRV pancromático. Quiere decir que todo lo que contengan esos
6400m2 será promediado y tendrá un único valor en el sensor MSS y existirán 64 valores
distintos para el HRV pancromático.
80m
Figura 209: un pixel del MSS Landsat o su equivalente en 64 pixeles del HRV
pancromático
En función de la resolución del sensor es que una imagen satelital podrá ser
representada a una mayor o menor escala. El pixel debe reducirse a un tamaño tal que el
ojo no lo perciba de manera que se vea una imagen continua y no formada por cuadrados
diferenciables (Figura 210).
El pixel deberá tener en consecuencia en el plano un tamaño máximo de 0,2mm
para que el ojo no lo pueda distinguir. En consecuencia para los distintos tamaños de
pixel de los distintos sensores existirán distintas escalas posibles de lograr.
Para el HRV pancromático del Spot los 10m de pixel (10000mm) deberán
reducirse a 0,2mm:
0, 2m------------------10000m
1m-------------------- 50000m
215
La máxima escala que se puede lograr con este sensor es por lo tanto 1:50000.
Para el MSS del Landsat en cambio sus 80m de pixel (80000mm) deberán
reducirse a 0,2mm:
0, 2m------------------80000m
1m-------------------- 400000m
La máxima escala que se puede lograr con este sensor es por lo tanto 1:400000
Figura 210: Una porción de imagen digital excesivamente ampliada (Escala muy grande)
en la que se aprecian los pixeles
Puede trabajarse con imágenes satelitales que no necesariamente son Cartas
Imágenes.
En la Figura 211 se puede ver una imagen satelital correspondiente a la zona del
Parque Nacional Iguazú. Puede verse en color Rojo el Río Iguazú, en verde intenso en la
parte inferior se observa el Parque Nacional, en la zona superior con diferentes verdes de
menos intensidad se observan parcelas ocupadas por distintos cultivos y con tonalidades
rosadas en la confluencia de los ríos se encuentran las ciudades de Puerto Iguazú,
Argentina (al Sur del río) y Foz do Iguazú, Brasil (al Norte). Pueden verse asimismo en
la parte inferior izquierda las rutas por las que se llega a Puerto Iguazú. Se observa que
en el sector de selva perteneciente al Parque Nacional no se observan formas regulares o
polígonos como sí se ven en la parte superior de la imagen, donde se encuentran las
parcelas con distintos usos. En la naturaleza no se identifican líneas rectas, círculos o
cualquier otro tipo de forma regular, apareciendo éstas características por
modificaciones antrópicas en el ambiente. Se puede observar en la imagen el avance de
la frontera agrícola hasta el propio límite del Parque Nacional.
Con la ayuda de las imágenes satelitales se puede realizar el seguimiento de
distintos desastres naturales como incendios, inundaciones, sequías.
216
Figura 211: Imagen satelital del Parque Nacional Iguazú y sus adyacencias
Problemas 1.-Se cuenta con la plancheta (carta) IGM 3369-9-1: Tambillos. Indique:
a) ¿A qué faja y a qué meridiano central de faja Gauss-Krüger corresponde?
b) ¿En qué escala se encuentra?
c) Determinar coordenadas geográficas (latitud y longitud) del punto central de la
carta y de los puntos extremos.
d) ¿Cuál es la convergencia de meridianos del punto extremo Noroeste?
e) En la carta se determinó la superficie de una cuenca con planímetro polar
arrojando un valor de 35,7cm2. ¿Cuál es la superficie de la cuenca?
217
SISTEMAS DE COORDENADAS LOCALES
Habitualmente se recurre a dos sistemas de coordenadas para ubicar la posición
de un conjunto de puntos en un plano: a)coordenadas cartesianas ortogonales(XP; YP) y
b)coordenadas polares (AZ0P; Distancia 0P).
En ciertas ocasiones suelen utilizarse como ejes cartesianos X e Y direcciones
que no se corresponden con la dirección del Norte y Este respectivamente, sino que se
utilizan otras direcciones de arranque, ya sea porque implican una mayor facilidad para
el levantamiento posterior a realizar, ó porque en el momento del levantamiento no se
dispone de una brújula que permita referenciar el mismo al N ó porque no exista en la
vecindad puntos con coordenadas conocidas pertenecientes al sistema de coordenadas
general (o se desconozca su existencia). Por ejemplo, puede utilizarse como dirección
del eje X, la dirección de un alambrado perimetral existente y como origen 0 un poste
esquinero de dicho alambrado (Figura 212).
XL
Poste Esquinero
0 YL
Figura 212: Sistema de coordenadas local
Tomando este sistema de referencia se podrá asignarle coordenadas locales
(XLP;YLP) a cualquier punto P que se desee levantar dentro del predio en cuestión.
No obstante, en el futuro, puede resultar de interés llevar las coordenadas de los
puntos levantados en el predio con el sistema local a un sistema más General o Regional
como por ejemplo el Sistema de Coordenadas Gauss-Krüger. Para poder realizar la
transformación de coordenadas deberá acudirse a ecuaciones de rotación y traslación que
permitirán vincular ambos sistemas de coordenadas.
Ecuaciones de Rotación
Conociendo XLP, YLP (coordenadas locales del punto P) y el ángulo de rotación
existente entre los ejes X (ó Y) de ambos sistemas coordenados se procede a la
transformación de las coordenadas del sistema local al sistema General a partir de las
siguientes ecuaciones (Figura 213):
Para obtener la coordenada XGP:
cos =𝑙1
𝑋𝐿𝑃
218
sin =𝑙2
𝑌𝐿𝑃
XGP = l1 + l2
XGP = (cos . XLP) + (sin . YLP)
XG=N
XL
XGP
P YL
l1
XLP
YLP
l2
0 YGP YG =E
m2
m1
Figura 213: Rotación
Para obtener la coordenada YGP:
cos =𝑚2
𝑌𝐿𝑃
sin =𝑚1
𝑋𝐿𝑃
YGP = m2 –m1
YGP = (cos . YLP) – (sin . XLP)
Con estas ecuaciones se logra rotar el punto o puntos en cuestión y se obtienen
coordenadas provisorias de los mismos a las que posteriormente se debe aplicar la
traslación para obtener las coordenadas definitivas
Ecuaciones de traslación
En la Figura 214 se representan los dos sistemas de coordenadas (general y local)
luego de haberse realizado la rotación del sistema local. Se observa el punto P del que se
conocen sus coordenadas locales XLP e YLP corregidas mediante las ecuaciones de
rotación y se pretenden determinar las coordenadas del sistema regional XGP e YGP.
219
XG=N XL
XGP
XLP P
XG0 Y
0
YLP
YL (Sistema Local)
X
XGM
YGM YG0 YGP YG =E (Sistema General o Regional)
Figura 214: Punto P ubicado mediante coordenadas locales rotadas. Traslación
En la Traslación se determinan las coordenadas XG0 e YG0 del origen del
sistema de coordenadas local que se ha empleado, a partir de un punto de coordenadas
conocidas M del sistema de coordenadas General (XGM; YGM) y midiendo azimut
(AzM0) y distancia (M0) desde M a 0 (origen del sistema local). Conociendo acimut y
distancia entre ambos puntos se puede calcular X y Y utilizando las ecuaciones:
XM0 = cos AzM0 . M0
YM0 = sin AzM0 . M0
Para finalmente determinar las coordenadas Generales del punto de origen del
sistema local (XG0; YG0)
XG0 = XGM + XM0
YG0 = YGM + YM0
Obtenidas las coordenadas del origen, dicho valor debe ser adicionado a las
coordenadas provisorias de todos los puntos (calculadas mediante las ecuaciones de
rotación aplicadas a las coordenadas locales originales) para obtener sus coordenadas
definitivas dentro del sistema de coordenadas general.
Problema ejemplo
En la estancia La Armonía del partido de San Antonio de Areco se realizó un
levantamiento planimétrico, utilizando como eje X de levantamiento la dirección de uno
de los alambrados perimetrales del establecimiento y como origen un poste esquinero de
dicho alambrado. Posteriormente se determinó la distancia y acimut desde un punto
cercano con coordenadas Gauss-Krüger conocidas (Punto 10 X10 = 6627200m; Y10 =
5557075m). El punto 10 fue localizado en la Hoja IGM 3560-5-1, Villa Lía, Escala
1:50000 y desde dicho punto se determinó, en el campo, la distancia y azimut al poste
esquinero tomado como origen para el levantamiento por coordenadas locales. Distancia
220
10-Esquinero = 2500m, Az10Esquinero = 36º30’. También con la ayuda de una brújula se
determinó la dirección del alambrado tomado como eje X de levantamiento arrojando un
valor de 325º (considérese declinación magnética nula). Se desea conocer las
coordenadas Gauss-Krüger de los puntos levantados utilizando el sistema de
coordenadas local. Las coordenadas locales de los puntos se enumeran en la Tabla 60.
Punto Detalle XL YL
0 (origen) Esquinero 0 0
1 Esquinero 1900 2050
2 Molino 1250 1400
3 Casa principal 1650 1750
4 Galpón 1670 1750
5 Esquinero 0 2000
6 Molino 2000 850
7 Molino 750 900
8 Esquinero 2050 0
Tabla 60: Coordenadas locales de puntos pertenecientes al Establecimiento La Armonía
Inicialmente se realiza la rotación de los puntos, tomando como punto de
rotación el punto origen de coordenadas local (punto 0) y aplicando las ecuaciones de
rotación. Obsérvese que el ángulo de inclinación del eje X local con respecto al X del
Gauss-Krüger es de 35º en sentido antihorario dado que el azimut del alambrado tomado
como eje de arranque es de 325º. Por lo tanto la ubicación de ambos ejes (XL y XGK)
será semejante a la mostrada en Figura 213.
Para el punto 1:
X Prov1 = (cos . XLP) + (sin . YLP)
XProv1 = (cos 35º . 1900) + (sin 35º . 2050)
XProv1 =2732,22m
Y Prov1 = (cos . YLP) – (sin . XLP)
YProv1 = (cos 35º . 2050) - (sin 35º . 1900)
YProv1 = 589,46m
Para el resto de los puntos las coordenadas provisorias calculadas serán las
mostradas en Tabla 61.
Punto XProv YProv
0 0 0
1 2732,22 589,46
2 1826,95 429,84
3 2355,36 487,11
4 2371,74 475,64
5 1147,15 1638,30
6 2125,84 -450,87
221
7 1130,58 307,05
8 1679,26 -1175,83
Tabla 61: Coordenadas provisorias de los puntos pertenecientes al Establecimiento La
Armonía luego de la rotación y antes de la traslación
A continuación se realiza la traslación. Inicialmente se calcula las coordenadas
GK del punto origen a partir de la distancia y el azimut de 10 a 0.
XGK
X0 0
X
X10
10
Y10 Y0 YGK
X10-0 = cos Az100 . dist10-0
X10-0 = cos 36º30’ . 2500m
X10-0 = 2009,64m
X0 = X10 + X10-0
X0 = 6627200m + 2009,64m
X0 = 6629209,64m
Y10-0 = sin Az100 . dist10-0
Y10-0 = sin 36º30’ . 2500m
Y10-0 = 1487,06m
Y0 = Y10 + Y10-0
Y0 = 5557075m + 1487,06m
Y0 = 5558562,06m
Teniendo las coordenadas Gauss-Krüger del punto 0 tomado como origen se
procede a sumarle dicho valor a las coordenadas provisorias de todos los puntos para
obtener las coordenadas Gauss-Krüger de todos ellos.
Para el punto 1
XGK1 = 2732,22m + 6.629209,64m = 6631941,86m
222
YGK1 = 589,46m + 5.558562,06m = 5559151,53m
Se procede de la misma manera con todos los puntos y se obtiene la Tabla 62.
Punto XGK YGK
0 (origen) 6629209,64 5558562,06
1 6631941,86 5559151,53
2 6631036,59 5558991,90
3 6631565,00 5559049,17
4 6631581,38 5559037,70
5 6630356,79 5560200,36
6 6631335,48 5558111,19
7 6630340,22 5558869,11
8 6630888,90 5557386,23
Tabla 62: Coordenadas GK definitivas de los puntos luego de la traslación
223
FORMAS DE RELIEVE
Mediante el análisis de las curvas de nivel de una carta pueden identificarse las
formas de relieve. Las curvas de nivel surgen de proyectar ortogonalmente sobre un
plano las intersecciones de planos horizontales con la superficie del terreno. Estos planos
se encuentran distanciados entre sí una distancia fija y conocida llamada equidistancia
Figura 215: Curvas de nivel con equidistancia de 10 m
Entre las Formas Topográficas más comunes se encuentran:
Hoya
Cuando las curvas de cota mayor envuelven a las de cota menor. Se denomina
también depresión.
Figura 216: Hoya
224
Cerro, mamelón o mogote
Cuando las curvas de cota menor envuelven a las de cota mayor.
Figura 217: Cerro
Línea de máxima pendiente
Une puntos entre los cuales la pendiente es máxima y son las líneas por las que
escurre el agua. Cortan a las curvas de nivel en forma perpendicular
Figura 218: Líneas de máxima pendiente (señaladas con flechas) cortando curvas de
nivel
Bajo, valle, desfiladero, quebrada o cañón
En estas formaciones las curvas de nivel de mayor cota envuelven a las de menor
cota. En los bajos puede identificarse la vaguada, talweg o cauce (de ríos, arroyos) que
es la línea que une los puntos de menor cota de las sucesivas secciones transversales del
bajo. Los bajos son convergentes, es decir que los bajos más pequeños van aportando su
agua a otros bajos más importantes que a su vez la vuelcan en bajos de mayor tamaño.
Va formándose de esta manera un curso de agua que es más caudaloso a medida que
desciende en altura.
225
Figura 219: Bajo donde se marca la vaguada o talweg y el sentido de escurrimiento del
agua
Dorsal
Según su importancia reciben el nombre de cordillera, sierra, cuchilla o loma. En
estas formaciones las curvas de nivel de menor cota envuelven a las de mayor cota. En
las dorsales puede identificarse la divisoria de aguas, cresta o línea de fe que es la línea
que une los puntos más altos de las sucesivas secciones transversales de una dorsal. Las
divisorias limitan superficialmente una cuenca hídrica. Las dorsales son divergentes, es
decir que de las dorsales principales se van desprendiendo otras de menor importancia.
El agua en su movimiento tiende a alejarse de las dorsales y acercarse a los bajos
Figura 220: Dorsal donde se ha marcado la divisoria de aguas y las líneas de flujo de
agua
Punto de silla, punto de paso, puerto o portezuelo
Es el punto más bajo de un recorrido que permite pasar de un cerro al vecino sin
descender más de lo necesario. También se define como el punto más alto del camino
226
entre dos valles, sin ascender más de lo necesario. En ese punto se corta la dorsal (d-d) y
nacen dos vaguadas, una hacia cada lado de la línea t-t.
Figura 221: Punto de silla
Obtención de perfiles a partir de curvas de nivel El perfil es la intersección del terreno con un plano vertical cualquiera.
Figura 222: Perfil obtenido a partir de las curvas de nivel
El perfil topográfico es un método útil para dar una idea del terreno y visualizar
las formas del relieve. Pueden obtenerse a partir de las curvas de una carta del I.G.M.
227
Para construirlo se coloca una hoja de papel milimetrado sobre la carta, en la línea que
se va a construir (A-B), y se baja cada cota o curva de nivel, que sea cortada por la línea,
hasta encontrar su valor correspondiente en altura sobre una escala vertical (exagerada).
Uniendo tales puntos, se obtiene el perfil.
Marcación de una cuenca topográfica
En la representación de ciertos relieves causados por la erosión hídrica puede
delimitarse la cuenca de alimentación relativa a un Punto P, perteneciente a una vagüada
con o sin curso permanente de agua.
La cuenca topográfica, llamada también cuenca tributaria, en el punto de estudio
P (P es una sección transversal del curso de agua considerado), se define como la
superficie topográfica drenada por ese curso de agua y sus afluentes aguas arriba de esa
sección. Todo el aporte hídrico resultante de los escurrimientos originados en el interior
de esta superficie, deben atravesar la sección transversal considerada (P). La cuenca
tributaria topográfica es la superficie que directa o indirectamente vuelca sobre la
sección transversal P (que define la cuenca), las aguas que escurren superficialmente
sobre ella.
Cada cuenca tributaria está separada de las que la rodean por una línea divisoria
de aguas. La línea divisoria de aguas se traza sobre un plano de curvas de nivel, o carta
IGM, siguiendo las líneas de cresta (o dorsales) que bordean la cuenca y solo podrá
atravesar el curso de agua en la sección P considerada.
Resulta importante la marcación o delimitación de una cuenca topográfica
cuando se desee realizar un proyecto de riego para una región con tajamares (pequeñas
presas construidas con tierra y/o palos), dimensionamiento de alcantarillas, diseño y
construcción de caminos rurales, etc.
Figura 223: Cuenca de alimentación del punto P
228
REPLANTEO
El replanteo es la última de las tres etapas topográficas (las primeras dos son el
levantamiento y el proyecto). El replanteo consiste en llevar al terreno lo proyectado en
el plano. Por lo tanto suele decirse que el replanteo es la operación inversa del
levantamiento (que consiste en llevar al plano los detalles existentes en el terreno).
El replanteo puede clasificarse en planimétrico y altimétrico.
Replanteo planimétrico
Consiste en ubicar en el terreno un objeto que se ha proyectado en el plano. Por
ejemplo, ubicar el lugar donde se construirá un galpón, un invernáculo o donde se
localizará una aguada, molino, cantero, camino, canal, etc.
Replanteo de puntos
Puede utilizarse para tal fin un sistema de coordenadas rectangulares X e Y
tomando como eje Y la dirección dada por un eje (camino o alambrado existente).
A
D
C 0 m 15m 65m 152m B
Figura 224: Croquis del potrero ABCD donde se construirá un invernáculo Nota: El croquis no está a escala
Por ejemplo, en el lote dado por el polígono ABCD (Figura 224) se desea
construir un invernáculo de 50m por 8m. Se proyecta ubicarlo en la parcela paralelo al
lado BC, distanciado a 10m del mismo comenzando a 15m del origen dado por el vértice
C. Para replantear el lugar donde irán los esquineros del invernáculo se extiende una
cinta sobre el lado CB. A los 15m y a los 65m se determinan las perpendiculares a dicho
lado con la ayuda de una escuadra óptica y sobre esas perpendiculares se marcan los
puntos ubicados a 10m y 18m del lado CB.
Replanteo de líneas con obstáculos
Se analizará el caso de que se quiera replantear una línea recta que tiene
obstáculos. Supóngase que se quiere construir un alambrado a lo largo de una línea AB
que se encuentra interrumpida por una edificación (Figura 225).
Se marcará con jalones sobre el terreno una línea accesoria EB angulada con
respecto a la línea AB y se buscará sobre dicha línea con la ayuda de una escuadra de
agrimensor el pie de la perpendicular que pasa por el punto A (punto F). Ubicado F
pueden medirse las distancias FA y FB con cinta de agrimensor. A continuación se
marcarán dos puntos sobre la línea EB, puntos G y H desde los cuales se trazarán
perpendiculares al lado EB también con escuadra. Finalmente habiendo medido las
distancias GB y HB se determinarán por semejanza de triángulos los segmentos GC y
10
m
10
m
8m
229
HD que permitirán ubicar los puntos C y D a cada lado del obstáculo que se unirán
respectivamente con A y B para que finalmente quede replanteada la línea AB.
E
F
G
H
A C D B
Figura 225: Replanteo de una línea con obstáculos
La relación de semejanza de triángulos que se debería hacer es la siguiente:
𝐹𝐴
𝐹𝐵=
𝐺𝐶
𝐺𝐵→ 𝐺𝐶 =
𝐺𝐵. 𝐹𝐴
𝐹𝐵
y 𝐹𝐴
𝐹𝐵=
𝐻𝐷
𝐻𝐵→ 𝐻𝐷 =
𝐻𝐵. 𝐹𝐴
𝐹𝐵
Replanteo de un círculo de centro inaccesible
Supóngase que tuviese que demarcarse un cantero de forma circular. Si el centro
del cantero fuese accesible, sería suficiente con colocar en el mismo un clavo con un
hilo atado de longitud igual al radio del cantero que se desea replantear y girar alrededor
del centro, marcando en el suelo el círculo (como con un gran compás).
90º
90º
Figura 226: Replanteo de un círculo de centro inaccesible
Si en cambio, el centro del cantero lo va a constituir un arbusto o fuente con
agua, de manera tal que el centro es inaccesible, no podrá operarse como se ha
explicado. Sin embargo, sabiendo que todos los ángulos inscriptos en una
230
semicircunferencia son rectángulos puede determinarse con la ayuda de una escuadra de
agrimensor y dos jalones ubicados en los extremos de un diámetro varios puntos de
ambas semicircunferencias del círculo. Obsérvese que si el operador se ubicase por
fuera de la semicircunferencia el ángulo entre ambos jalones sería menor a 90º y si se
ubicase por dentro de la semicircunferencia el ángulo sería mayor. Por lo tanto los
únicos lugares en que se formarían visuales de 90º con ambos jalones serían los puntos
que se encuentren sobre la semicircunferencia.
Replanteo de curvas
Puede requerirse la marcación de curvas en tareas de construcción de canales o
caminos internos. El replanteo de varios de los puntos de dicha curva se puede realizar
por coordenadas rectangulares.
X Z
XP P
R
0
YP Y
Figura 227: Replanteo de curva por coordenadas rectangulares
Considerando una curva de Radio R cuyo punto de inicio es el punto 0 y cuyo
punto de finalización es el punto Z, se tomará como eje de abscisas X el eje del camino
hasta el comienzo de la curva y como eje de ordenadas Y una perpendicular al eje X en
el origen 0. Puede verse que un punto P, perteneciente a la curva tendrá coordenadas:
XP = R . sen e YP = R – R . cos
Así por ejemplo para una curva de radio 100m se tendrán para los distintos
valores tomados por las coordenadas de puntos mostradas en la Tabla 63
XP YP
0º 0,00 0,00
10º 17,36 1,52
20º 34,20 6,03
30º 50,00 13,40
40º 64,28 23,39
50º 76,60 35,72
60º 86,60 50,00
70º 93,97 65,79
80º 98,48 82,63
90º 100,00 100,00
Tabla 63: X e Y de puntos pertenecientes a una curva de radio 100m
231
Prácticamente lo que se realiza es marcar con jalones el eje X, extender la cinta
sobre el mismo (con el origen en el punto 0) y para los distintos ángulos calculados se
marcarán las progresivas (17,36; 34,20; 50,00, etc) a partir de las cuales se determinarán
las perpendiculares mediante escuadra óptica y sobre las mismas se medirán las
distancias Y (1,52; 6,03; 13,40; etc) para finalmente marcar sobre el terreno los puntos
pertenecientes a la curva. El punto de origen (0) de la curva tendrá coordenadas X = 0 e
Y = 0 y el punto donde la curva termina (Z) tendrá coordenadas X = 100 e Y = 100
Tablas de Gaunin
Jules Gaunin, ingeniero de puentes y caminos y Jefe de sección de la Compañía
de Orleans recopiló un conjunto de “Tablas para el trazado de curvas de ferrocarriles,
caminos y canales” con las que se pueden replantear fácilmente varios de los puntos que
se encuentran sobre una curva circular de radio de curvatura conocido. Se citarán
algunas de dichas tablas a modo de ejemplo.
Tabla primera: “Coordenadas sobre la tangente para abscisas enteras de metro
en metro”. En este conjunto de tablas pueden obtenerse las ordenadas (Y) para cada
abscisa (X) de metro en metro para curvas con radio de curvatura entre 100 y 1000m (de
10 en 10m desde 100 a 500m de curvatura y de 50 en 50m para radios de curvatura entre
500 y 1000m). Con un desplazamiento de la coma, puede emplearse para todos los
radios usuales. Para una curva de 16 metros de radio se usará la tabla de radio 160m
corriendo la coma de los valores de la abscisa y ordenada un lugar hacia la izquierda
siendo las ordenadas equidistantes de 0,1m en 0,1m. De igual forma, para una curva de
3000m de radio de curvatura, puede usarse la tabla de radio 300m corriendo la coma un
lugar hacia la derecha resultando las ordenadas equidistantes de 10m en 10m. A
continuación se presenta un extracto de la tabla primera (Tabla 64).
Radios de Curvatura (m)
Abscisas 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0.005 0.0046 0.0042 0.0038 0.0036 0.0033 0.0031 0.0029 0.0028 0.0026
2 0.0200 0.0188 0.0167 0.0154 0.0143 0.0133 0.0125 0.0117 0.0111 0.0105
5 0.1251 0.1337 0.1042 0.0962 0.0893 0.0833 0.0782 0.0735 0.0695 0.0658
10 0.5013 0.4555 0.4174 0.3852 0.3576 0.3337 0.3128 0.2944 0.2780 0.2634
15 1.1314 1.0275 0.9412 0.8683 0.8059 0.7519 0.7047 0.6631 0.6261 0.5930
20 2.0204 1.8335 1.6785 1.5477 1.4359 1.3393 1.2549 1.1806 1.1145 1.1556
45 10.6971 9.6257 8.7570 8.0369 7.4293 6.9091 6.4585 6.0410 5.7158 5.4059
30 4.6061 4.1700 3.8105 3.5089 3.2521 3.0306 2.8376 2.6680 2.5176 2.3834
60 20.0000 17.8046 16.0770 14.6744 13.5082 12.5227 11.6760 10.9403 10.2944 9.7234
90 56.4110 46.7545 40.6275 36.4916 32.7619 30.0000 27.7124 25.7780 24.1154 22.6680
120 120.0000 80.0000 67.8890 60.0000 54.1699 49.5840 45.8359 42.6908
150 150.0000 104.3224 90.0000 80.5013 73.3810
180 180.0000 129.1724
Tabla 64: Tabla primera para el trazado de curvas de Jules Gaunin: “Coordenadas sobre
la tangente para abscisas enteras de metro en metro”. No se han colocado todos los
valores (en la tabla original figuran todos los valores de abscisas de metro en metro).
232
X
60 20.00
45 10.70
30 4.61
15 1.13
R = 100m Y
Figura 228: Replanteo de curva de 100m de radio de curvatura a partir de abscisas y
ordenadas de la Tabla primera de Gaunin
Tabla segunda (Tabla 65): “Coordenadas sobre la tangente, para equidistancias
enteras de metro en metro de desarrollo sobre el arco” Da los puntos de la curva en
abscisas y ordenadas sobre la tangente, pero resultan enteras las longitudes de arco. Ha
sido calculada para todos los radios usuales de 100 a 4000m de radio y para cada radio,
hasta la ordenada de 100m. Por desplazamiento de comas, las tablas sirven para radios
10 ó 100 veces mayores o menores, multiplicando o dividiendo respectivamente por 10
ó 100 la distancia entre dos puntos sucesivos.
Arcos
Abscisas
sobre
tangente
Ordenadas Arcos
Abscisas
sobre
tangente
Ordenadas
1 1.000 0.005 35 34.290 6.063
2 2.000 0.020 40 38.942 7.894
3 3.000 0.045 50 47.943 12.242
4 3.999 0.080 60 56.464 17.467
5 4.998 0.125 70 64.422 23.516
6 5.996 0.180 80 71.736 30.329
7 6.994 0.245 90 78.333 37.839
8 7.992 0.320 100 84.147 45.970
9 8.988 0.405 110 89.121 54.640
10 9.983 0.500 120 93.204 63.764
15 14.944 1.123 130 93.356 73.250
20 19.867 1.993 140 98.545 83.003
25 24.741 3.109 150 99.749 92.926
30 29.552 4.466 157.079 100.000 100.000
Tabla 65: Tabla segunda de Gaunin: “Coordenadas sobre la tangente, para
equidistancias enteras de metro en metro de desarrollo sobre el arco (para radio de 100
m)”. No se han colocado todos los valores (en la tabla original figuran todos los valores
de arco de metro en metro).
233
X
71.736
80
56.464
60
38.942
40
19.867
20
R = 100m Y
Figura 229: Replanteo de curva de 100m de radio de curvatura (mediante arcos de metro
entero) a partir de abscisas y ordenadas de tabla segunda de Gaunin
Tabla tercera (Tabla 66): “Coordenadas sobre la cuerda para equidistancias
enteras de metro en metro de desarrollo sobre el arco” Da, para los arcos de 100, 50,
40, 20 y 10m de desarrollo, en las curvas usuales de 100 a 4000m de radio, las abscisas y
ordenadas sobre la cuerda de los puntos de la curva equidistantes de metro en metro
sobre el arco.
Arco
Abscisas
sobre las
cuerdas
Ordenadas para arcos de
100 m 50 m 40 m 20 m 10 m
0 (Flechas) 12,242 3,109 1,993 0,500 0,125
1 1.000 12.237 3.104 1.988 0.495 0.120
2 2.000 12.222 3.089 1.973 0.480 0.105
3 3.000 12.197 3.064 1.948 0.455 0.080
4 3.999 12.162 3.029 1.913 0.420 0.045
5 4.998 12.117 2.984 1.868 0.375 0.000
10 9.983 11.742 2.609 1.493 0.000
15 14.944 11.119 1.986 0.870
20 19.867 10.249 1.116 0.000
25 24.741 9.133 0.000
30 29.552 7.776
35 34.290 6.179
40 38.942 4.348
45 43.497 2.287
50 47.943 0.000
Tabla 66: Tabla tercera de Gaunin: “Coordenadas sobre la cuerda, para equidistancias
enteras de metro en metro de desarrollo sobre el arco (para radio de 100 m)”. No se
han colocado todos los valores (en la tabla original figuran todos los valores de arco de
metro en metro).
30.3
29
17.4
67
7.8
94
1.9
93
0
10
10
234
47.49 38.94 29.55 19.87 9.98 0 9.98 19.87 29.55 38.94 47.49
Figura 230: Replanteo de curva de 100m de radio de curvatura (mediante arcos de metro
entero) a partir de abscisas y ordenadas sobre la cuerda extraídas de Tabla tercera de
Gaunin
Replanteo altimétrico
Replanteo de una curva de nivel o de una curva de cota constante
Consiste en ubicar en el terreno una curva de nivel (curva con puntos de igual
cota y múltiplo de la equidistancia) o una curva de cota constante (no necesariamente
múltiplo de la equidistancia)
Trabajan un mirero y un operador de nivel. Inicialmente se tomará lectura de hilo
medio en un punto de cota conocida o de cota de referencia. A dicha lectura se le sumará
la cota del punto obteniendo así la Cota del Plano Visual.
CPV = hmPF + ZPF
A continuación el operador de nivel calculará la lectura de hilo medio que debe
realizar en los puntos donde se colocará el mirero para encontrarse sobre la curva. Si la
lectura es mayor el operador hará señas al mirero para que éste busque un punto más
alto, si es menor a la lectura buscada le indicará que se ubique en puntos más bajos.
Cuando la lectura coincida con aquella buscada el operador de nivel le señalará al mirero
que deje marcado dicho punto como punto de la curva. A continuación el mirero se
desplazará unos metros y se repetirá la operación hasta ubicar otro punto con la misma
lectura. La operación se repetirá hasta materializar la totalidad de la curva que pasa por
el terreno en cuestión. En caso de ser necesario un cambio de estación (por alejarse
excesivamente el mirero de la estación de nivel) el mirero permanecerá en el último
punto ubicado de la curva y desde la nueva estación se realizará lectura de hm en dicho
punto buscándose a continuación puntos de igual lectura de hilo medio.
Ejemplo
Conocida la cota de un punto fijo (ZPF = 10,23m) el mirero colocará la mira en
dicho punto a fin de obtener la CPV. Luego de leer el hmPF = 1,45m desde la estación de
nivel ubicada en E1 puede calcularse la CPV = ZPF + hmPF = 10,23m + 1,45m = 11,68m.
Si la curva que desea replantearse es la de 10,00m deberán buscarse puntos que tengan
dicha cota (ZP = 10m) y que por lo tanto tengan lecturas de hmP = CPV – ZP = 11,68m –
10,00m = 1,68m. Por lo tanto todos los puntos que arrojen lectura de hilo medio de
1,68m desde la estación E1 poseerán una cota de 10,00m y pertenecerán a la curva de
nivel de 10,00m que se está replanteando. Luego de ubicar en el terreno varios puntos
pertenecientes a dicha curva desde la estación E1, puede suceder que la distancia
instrumento mira sea excesiva y se considere adecuado cambiar de estación ubicándola
en E2. El mirero permanece en el último punto replanteado desde E1 y desde E2 se
20
20
30
30
40
40
50
50 4.35 4.35
7.78 7.78 10.25 10.25 11.74 11.74
Fle
cha
12
.24
235
realiza la lectura de hm = 1,45m lo que indica que la estación E2 está más baja que E1
(ya que la lectura de hm del mismo punto = 1,45 da un valor más bajo que desde E1 =
1,68). Si E2 estuviese más elevada que E1 daría una lectura de hm mayor desde esta
estación. Para continuar replanteando la curva de 10,00m, desde E2 se buscarán puntos
que tengan el mismo hm (1,45m) hasta terminar de replantear la curva.
hm = 1,68m
hm = 1,45m
E1
P
E2
Figura 231: Estaciones E1 y E2 con sus correspondientes lecturas de mira sobre un
mismo punto P. La estación más elevada (E1) tiene mayor lectura de mira (hm = 1,68m)
hm1=1,68
hm5=1,45 hm4 = 1,45
hm3=1,68 hm2=1,68
hm3=1,45
PF
Z=10,23m
hmPF=1,45
E2 E1
Figura 232: Replanteo de una curva de nivel desde dos estaciones. El punto 3 es leído
desde E1 y E2
Replanteo de una curva con gradiente constante Las curvas con gradiente constante son, curvas que poseen una pendiente
constante en su recorrido. Las curvas de nivel o curvas de cota constante son también
curvas con gradiente, solo que su gradiente es nulo. Las curvas con gradiente constante
se utilizan, entre otras cosas, para realizar canales de drenaje en terrenos con elevada
pendiente. Si se realizase un canal de drenaje en dirección perpendicular a las curvas de
nivel habría una pendiente excesiva que favorecería la erosión hídrica en la zona del
canal durante los períodos de mayor evacuación de agua (precipitaciones). Por lo tanto
los canales de drenaje se realizan cortando en forma sesgada a las curvas de nivel,
evitando, de esta manera, superar pendientes que resulten erosivas (valor variable de
acuerdo a la textura del suelo).
La operación de replanteo en sí es semejante a la vista para curva de cota
constante con la diferencia de que en vez de operar con un solo mirero, se necesitan dos
mireros cuyas miras estén unidas por una soga de longitud conocida. Para dicha longitud
236
de cuerda (longitud existente entre las dos miras) debe existir un desnivel tal que se
corresponda con la pendiente o gradiente buscado.
Ejemplo
Se desea replantear una curva con gradiente constante e igual al 1%. Se dispone
para realizar la nivelación de un operador de nivel y dos ayudantes mireros que tendrán
unidas sus miras por una cuerda de 20 metros de longitud. Inicialmente se calcula cual
es el desnivel que debe existir entre dos puntos distanciados 20m para que exista entre
ambos una pendiente del 1%. Se resuelve con una regla de tres simple
100m de distancia--------------------1m de desnivel (H)
20m de distancia-------------------- x = 0,2m de desnivel (H)
Entre las lecturas de mira distanciadas 20m debe existir un desnivel de 0,2m para
que haya una pendiente del 1%.
Inicialmente el mirero 1 se colocará en el punto donde se iniciará el canal de
drenaje. En ese lugar el operador de nivel realizará la primer lectura de hilo medio,
supóngase hm1 = 1,53.
20 m
1
(hm1 = 1,53)
2
(hm2 = 1,73)
3
(hm3E1 = 1,93)
(hm3E2 = 1,25) 4
E1 (hm4= 1,45)
5
(hm5= 1,65)
E2
Figura 233: Replanteo de una curva con gradiente. Resaltado se observa el canal de
drenaje replanteado con gradiente 1%
237
Mientras el mirero 1 permanece en dicho lugar, el mirero 2 se desplazará en un
radio de 20m del punto donde se encuentra el mirero 1 (las miras se encuentran unidas
por una cuerda de 20m) hasta que el operador de nivel ubique un punto que tenga una
cota 20cm inferior que el punto de arranque del canal. Dicho punto tendrá en
consecuencia una lectura de hilo medio 20cm superior a la primer lectura. Por lo tanto
hm2 = 1,73. A continuación será el mirero 2 el que permanezca quieto y el 1 el que gire
alrededor del 2 hasta encontrar el tercer punto del canal que deberá tener una cota 20cm
inferior al segundo punto y una lectura de hilo medio hm3 = 1,93. De esta manera se
continuará el marcado del canal de drenaje hasta que llegue a desembocar de la parcela o
campo en cuestión. En caso de ser necesario un cambio de estación por encontrarse ésta
muy alejada de la mira el mirero del último punto materializado permanecerá en dicho
lugar y el operador de nivel (una vez cambiado el punto estación) realizará su primer
lectura en dicho punto. En el ejemplo citado, luego de replantearse el punto 3, se realizó
el cambio de estación desde E1 a E2. La primer lectura se hizo en el punto 3 arrojando
un valor de hm3 = 1,25m. A continuación el mirero 2 giró alrededor del punto 3 hasta
que el operador de nivel localizó el punto 4 de cota 20cm inferior a 3, es decir con una
lectura de hm4 = 1,45m. Por último el mirero 1 giró alrededor del punto 4 hasta encontrar
el punto 5 con cota 20cm inferior a 4 e hm5 = 1,65m.
238
FOTOGRAFÍA AÉREA
La Aerofotogrametría es una Ciencia auxiliar de la Topografía. La fotografía
aérea implica el análisis de la superficie terrestre mediante el empleo de máquinas
fotográficas instaladas a bordo de diversos medios aéreos. A partir de vuelos
programados se obtienen fotos de la superficie terrestre con un nivel de detalle mucho
mayor (mayor Escala, mayor resolución) que el de las imágenes satelitales. Encuentra
aplicaciones en el campo de la investigación arqueológica o geológica, en la
urbanización (para la planificación del crecimiento de las ciudades) o en el campo
militar para obtener información sobre objetivos estratégicos, de hecho la fotografía
aérea adquirió gran importancia durante la II Guerra Mundial, gracias al desarrollo de
los aviones, cámaras y películas. En el campo agronómico se utiliza para recabar
información sobre la naturaleza de los terrenos y la extensión de los cultivos, determinar
el crecimiento de los bosques, analizar los efectos de la erosión, etc.
La escala del fotograma puede ser determinada a partir de dos parámetros: la
altura de vuelo y la distancia focal de la cámara utilizada. La distancia focal es la
distancia entre el objetivo de la cámara fotográfica y el negativo que es el lugar donde se
imprime la foto. Se forman dos triángulos semejantes (Figura 234). La relación existente
entre la distancia en la fotografía aérea y la distancia en el terreno es la misma que la
existente entre la distancia focal y la altura de vuelo. Dicha relación es la Escala del
fotograma.
𝐸 =𝑓
𝐻=
𝑑
𝐷
Figura 234: Relación entre la altura de vuelo y la Escala del fotograma
Conociendo la escala del fotograma pueden determinarse distancias en el terreno
a partir de mediciones que se realizan en el mismo al igual que en un plano o carta.
Ejemplo: con una cámara de 120mm de distancia focal se tomaron fotografías
aéreas a 2400m de altura. Determine la escala de los fotogramas. En una de las
fotografías se midió la superficie de un lote rectangular. La superficie medida fue de
12cm2. ¿Cuál es la superficie real del lote? Expresar en unidades agrarias. ¿Cuál es la
longitud de cada lado del lote si uno de los lados es 1,33333 veces mayor que el otro?
H
f
D
d
239
𝐸 =𝑓
𝐻=
120𝑚𝑚
2400000𝑚𝑚=
1
20000
𝐸2 =𝑠
𝑆=
12𝑐𝑚2
𝑆 𝑆 =
12𝑐𝑚2
1
20000 2 = 12𝑐𝑚2. 20000.20000 = 4800000000𝑐𝑚2
= 480000𝑚2 = 48𝑎
𝑆 = 𝑏. 𝑙 = 𝑏. 1,33333𝑏 = 1,33333𝑏2 𝑏 = 𝑆
1,33333=
480000𝑚2
1,33333= 600𝑚
𝑆 = 𝑏. 𝑙 𝑙 =𝑆
𝑏=
480000𝑚2
600𝑚= 800𝑚
Visión estereoscópica
La posibilidad de percibir en tres dimensiones de la visión humana se
fundamenta en ver una misma imagen desde dos puntos de vista distintos (cada uno de
los ojos es un punto de vista). Con un sentido análogo se programan vuelos
fotogramétricos y se obtienen fotografías de un mismo lugar desde distintos puntos de
vista (Figura 235). De esta manera se obtiene la imagen de un área desde dos puntos de
vista distintos para luego, con la ayuda de instrumental adecuado poder percibir las
diferencias de altura del paisaje capturado.
Figura 235: Obtención de superposición entre distintos fotogramas en un vuelo
Superposición entre distintos fotogramas y entre distintas corridas
Para asegurar la superposición de toda un área de interés con fines de realizar la
posterior visualización estereoscópica se programan vuelos aéreos de manera que exista
entre una corrida (pasada del avión) y la siguiente una superposición del 30-40%
(superposición transversal). A su vez, las fotos de una misma corrida se superponen en
un 60-70% entre sí (superposición longitudinal) (Figura 236). Obsérvese que una
superposición del 60% entre fotos vecinas (de una misma corrida) como la 1 y 2 de la
240
Corrida 1 (Figura 236) implica a su vez una superposición del 10% entre las fotos 1 y 3,
entre la 2 y la 4, etc. Tanto con la superposición transversal como con la longitudinal se
logra el recubrimiento de toda el área con fines estereoscópicos.
Figura 236: Superposición longitudinal y transversal de un vuelo fotogramétrico
Figura 237: Fotografía aérea
Foto 1 Foto 3
Foto 2 Foto 4
Corrida 1
Corrida 2 Sup. Long.
60%
Sup. Trans.
30%
Foto 3 Foto 1
Marca
marginal
Información
marginal
Unidad de
vuelo y fecha Corrida y
fotograma
241
Los fotogramas presentan información marginal (datos que se encuentran en los
márgenes de las fotos) que permiten relacionar la foto con las vecinas y que facilitan la
interpretación. En la Figura 238 se observa como información marginal de la Foto la
altura de vuelo (mediante un altímetro, parámetro importante para determinar la escala
del fotograma), la verticalidad del eje óptico de la cámara (en un retículo circular,
importante para determinar inclinación durante la captura y necesidad de rectificación de
la fotografía), la hora (para interpretar las sombras de los elementos con altura), e
información manuscrita sobre Escala, Provincia (Buenos Aires), etc. También sobre
cada foto se encuentra impresa la unidad de vuelo (U 17), la fecha (14-11-82) y el
número de corrida (332) y de Fotograma (7). Mediante las 4 marcas marginales se puede
ubicar el centro del fotograma por intersección de las líneas que se obtienen al unirlas
(Figura 237).
Altura de vuelo Verticalidad eje óptico Hora Inf. manuscrita
Figura 238: Información marginal de una fotografía aérea
Rectificación de fotogramas
La rectificación de fotogramas es un proceso mediante el cual se puede enderezar
el eje del fotograma corrigiendo los desplazamientos existentes en la imagen fotográfica
original debidos a la inclinación del eje óptico de la cámara durante la captura de la
fotografía. Estos desplazamientos son producto de movimientos de cabeceo (inclinación
en el sentido de avance) o aleteo (inclinación en sentido perpendicular al sentido de
avance) de la aeronave que lleva la cámara fotográfica.
La imagen rectificada presenta las características geométricas de una proyección
ortogonal. Para poder realizar la rectificación el ángulo de inclinación del eje óptico
debe ser pequeño (menor a 3º) y el terreno tiene que ser prácticamente horizontal (llano).
Estereoscopio de bolsillo o de refracción
Es un instrumento óptico a través del cual pueden observarse fotografías aéreas,
pero no como representaciones planas, sino con apariencia sólida y profundidad. Es un
instrumento donde se presentan al mismo tiempo dos fotografías del mismo objeto, una
a cada ojo. Las dos fotografías están tomadas desde ángulos ligeramente diferentes y se
observan a través de dos objetivos con lentes separadas e inclinadas para que coincidan
y se fundan las dos imágenes en una sola tridimensional. Con la ayuda del estereoscopio
de bolsillo se analizan pares estereoscópicos. Un par estereoscópico está formado por
dos fotos de un mismo lugar obtenidas desde distintos lugares. Las sucesivas fotos de
una misma corrida forman pares estereoscópicos (Figura 236). También fotos de
distintas corridas que presenten superposición transversal constituyen pares
estereoscópicos. Con la ayuda del estereoscopio y de los pares estereoscópicos puede
apreciarse el relieve del terreno y todos los elementos que presenten un desarrollo en
altura como árboles, montes, casas, galpones, dunas, médanos, lomas, etc. Debido a la
escasa distancia entre los dos ejes ópticos solo puede analizarse parte de la superposición
entre dos fotogramas contiguos (Figura 239).
242
Figura 239: Estereoscopio de bolsillo sobre un par estereoscópico
Estereoscopio de espejos o de reflexión
A igual que los estereoscopios de bolsillo permiten apreciar el relieve de pares
estereoscópicos. Se fundamentan en la reflexión de la luz en los espejos que posee. No
se encuentran limitados por la base (como los de bolsillo) y por lo tanto permiten
visualizar en tres dimensiones toda el área de superposición de dos fotogramas contiguos
(Figura 240). Presentan un estereomicrómetro o barra de paralaje que permite
determinar diferencia de altura entre puntos.
Figura 240: Estereoscopio de espejos
243
Fotointerpretación
La fotointerpretación es la técnica o arte de examinar fotografías aéreas con el
propósito de identificar los diferentes componentes del paisaje y suministrar información
de interés. La observación de las fotografías aéreas permite determinar el tipo de
cobertura existente (cultivos, agua, suelo desnudo) como así también la calidad del
suelo. Lugares con suelo desnudo pueden deberse a una reciente labranza o a distintas
situaciones que imposibiliten el normal desarrollo de la vegetación como salinidad,
suelos bajos encharcables, médanos y dunas “vivas”, afloraciones rocosas, presencia de
tosca.
Para identificar objetos en las fotografías aéreas se tienen en cuenta distintas
características de los mismos como tamaño, forma, tonalidad, sombras, textura
(distribución de tonalidades) y contraste con el entorno.
Los espejos de agua (mar, lagos, lagunas, ríos, canales) aparecen con una
tonalidad uniforme y diferente de las tierras costeras. Los tonos de las zonas cubiertas
con agua pueden variar en función del ángulo de incidencia de los rayos solares.
Las diferentes cubiertas vegetales se identifican por su tonalidad y forma. En las
plantaciones forestales, montes frutales, bosques y montes naturales puede apreciarse la
altura de los ejemplares por visión estereoscópica. También puede interpretarse la altura
de estos elementos a través de la sombra que proyectan sobre el suelo. Las sombras
pueden orientar sobre las formas del objeto ocultas en una vista aérea. En ciertas
ocasiones, se planifican los vuelos fotogramétricos en las horas de salida y puesta del sol
para que las sombras de los objetos ayuden a la fotointerpretación. Los Ingenieros
Forestales obtienen gran información de las reservas forestales empleando fotografías
aéreas. Se puede obtener especie, tamaño, edad, extensión del bosque, enfermedades que
los afectan, etc. Los lotes sembrados y labrados se aprecian como formas geométricas
regulares (rectángulos, cuadrados, trapecios) variando la tonalidad de la fotografía con la
especie implantada y su estado fenológico y sanitario (cultivos más sanos con tonos más
oscuros). Las diferencias en el estado sanitario pueden deberse al tipo de suelo,
fertilidad, relieve y capacidad de acumulación de agua del perfil. Mientras los cultivos se
observan con una disposición regular, formando mallas o siguiendo las curvas de nivel,
la vegetación natural suele disponerse en forma más irregular con adaptaciones a
distintos factores ambientales. Estos factores ambientales constituyen una información
contextual de gran valor para identificar diferentes tipos de suelo debido a que
condicionan la actividad de la vegetación.
Las vías de comunicación (autopistas, caminos, vías férreas) se distinguen por la
regularidad de su trazado. Las construcciones rurales y ejidos urbanos pueden ser
identificados por sus formas regulares artificiales normalmente ausentes en situaciones
naturales. En las zonas urbanas pueden identificarse las construcciones principales
(edificios gubernamentales, administrativos, fábricas), las avenidas, calles y vías férreas,
las plazas y parques y puede estimarse el valor de las diferentes zonas en función del
tipo de construcción, el tamaño de los lotes, la presencia de piscinas, cantidad de
automóviles.
En la fotointerpretación son muy relevantes la experiencia y conocimientos
previos del fotointérprete ya que los conocimientos teóricos y la experiencia a campo y
en análisis de fotogramas son esenciales para obtener conclusiones fundadas con
rapidez.
244
SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL (GPS)
Introducción
Muchas de las mediciones que se realizan en Topografía tienen como objetivo ubicar
la posición de un punto determinado en el terreno para poder representarlo luego en un
plano a una escala conveniente. Muchas de las metodologías estudiadas en los llamados
“Métodos planimétricos” utilizan mediciones de ángulos y distancias desde puntos de
coordenadas conocidas hacia los puntos que se desea determinar la posición (puntos
incógnita). Para efectuar dichas mediciones se emplean goniómetros y distanciómetros
de distintas características, precisiones y valores. Estos métodos constituyen sistemas de
posicionamiento.
En 1980 surgió dentro del Departamento de Defensa de EEUU la idea de crear un
sistema de posicionamiento a escala global que permitiese a cualquier soldado equipado
con un receptor GPS obtener sus coordenadas geográficas (Latitud y Longitud) para
solicitar auxilio o asistencia. Este sistema también facilitaría en gran medida la
navegación aérea y marítima permitiendo realizar un itinerario planificado por el camino
más corto economizando tiempo y dinero. Para poner en funcionamiento el sistema se
colocaron en órbita un conjunto de satélites que transmitirían las coordenadas a los
receptores. El sistema se completó en abril de 1995 y a partir de dicha fecha cualquier
persona con un receptor GPS puede determinar su posición en cualquier parte del globo
terrestre durante las 24 horas del día en forma gratuita. Los sectores civiles rápidamente
encontraron numerosas aplicaciones en el sistema sobre todo en la navegación y en el
caso particular de la Topografía en la determinación de la ubicación de puntos, cálculo
de distancias, ángulos y áreas. El sistema inicialmente se encontraba afectado por un
error denominado Disponibilidad selectiva (Selective Availability S/A) para restringir su
uso al enemigo en tiempos de conflicto. En mayo de 2000 EEUU eliminó la
Disponibilidad Selectiva aumentando de esta manera la precisión del sistema en los usos
civiles.
Fundamentos
Supóngase que se tiene la distancia desde un punto de coordenadas conocidas (A)
hasta un punto (P) que se desea determinar las coordenadas (punto incógnita). Puede
deducirse que existen infinitos puntos P que cumplen la condición de estar a una
distancia de 1,5km de A, tantos como puntos tiene el círculo de centro A y radio 1,5km
(Figura 241).
Figura 241: Círculo de la posible
ubicación de P teniendo como dato la
distancia a un punto A.
Figura 242: La intersección de los dos
círculos señala la posible ubicación de P
teniendo como dato la distancia a 2 puntos
A
1,5 km A
1,5 km
B
2 km
245
Si a la información de que el punto se encuentra a 1,5km de A se le adiciona que se
encuentra a 2km de B la posible ubicación de P se restringirá ahora a dos puntos que son
la intersección del círculo con centro en A y 1,5km de radio y el círculo con centro en B
y 2km de radio (Figura 242).
Si por último se posee la distancia desde P a un tercer punto C el problema quedará
resuelto ya que la intersección de tres círculos dará como resultado un único punto
(Figura 243).
Figura 243: Ubicación de P en un plano a partir de la distancia a 3 puntos
El fundamento de la tecnología GPS es semejante al explicado sólo que el
problema es espacial (no plano) y los puntos de coordenadas conocidas son satélites que
se encuentran orbitando alrededor de la Tierra (no son puntos estáticos).
Al ser un problema espacial (y no plano) la distancia desde el punto de coordenadas
conocidas (satélite) al punto incógnita (donde se encuentra el receptor GPS) ya no puede
ser representada como la distancia desde el centro de un círculo hasta el mismo sino
como la distancia desde el centro de una esfera a la superficie de la misma (Figura 244).
Figura 244: La distancia desde un receptor GPS a un satélite lo ubica en algún punto
sobre la esfera
Si se conoce la distancia a dos satélites de coordenadas conocidas la posible
ubicación del punto se circunscribirá a la intersección de dos esferas que resulta ser un
círculo (Figura 245).
A
1,5 km
B
2 km
C
1 km
Ubicación de P
246
Figura 245: La distancia desde un receptor GPS a dos satélites lo ubica en algún punto
sobre el círculo resultante de la intersección de ambas esferas
Por último, si se conoce la distancia a tres satélites la posibilidad de ubicación del
receptor GPS se reducirá a dos puntos (que son la intersección de las tres esferas con
centro en los satélites) (Figura 246).
Figura 246: La distancia desde un receptor GPS a tres satélites reduce la posibilidad de
ubicación del mismo a dos puntos resultantes de la intersección de las tres esferas
Podría deducirse que la distancia a un cuarto satélite limitaría la posibilidad a un
único punto y el problema se encontraría resuelto. En la práctica con la distancia a 3
satélites es suficiente ya que uno de los dos puntos que resultarían posibles de la
intersección de las tres esferas es absurdo (por no encontrarse en la superficie terrestre) y
los receptores se encuentran programados para discernirlos.
Cálculo de la distancia Satélite-Receptor GPS
Los satélites emiten señales de radio que son captadas por los receptores en la
Tierra. La distancia Satélite-Receptor surge de multiplicar la velocidad de la señal
(velocidad de la luz = c = 300000km/seg) por el tiempo transcurrido entre emisión y
recepción de la señal.
d (km) = c (km/seg) . t (seg)
247
Se vuelve crítico por lo tanto la medición del tiempo en forma precisa para el
correcto cálculo de la distancia. Los satélites se encuentran equipados con relojes
atómicos de gran precisión pero los mismos por su altísimo costo resultan prohibitivos
para su utilización en los receptores. En estos últimos se utilizan relojes electrónicos que
permiten la medición con errores del orden del nanosegundo (1 . 10-9
seg). Para calcular
el tiempo de viaje de la señal, el satélite y el receptor generan códigos sincronizados (el
mismo código en forma simultánea). De esta manera al llegar una onda al receptor éste
determina el tiempo desde que generó el mismo código (Figura 247). La diferencia de
tiempo es lo que tardó la onda en llegar. Tanto el satélite como el receptor generan un
juego de códigos digitales que responden a un criterio binario que recibe el nombre de
pseudo-random (pseudoaleatorios) y están diseñados de forma tal que puedan ser
fácilmente comparados.
Figura 247: Emisión simultánea de satélite y receptor de un mismo código y cálculo del
tiempo
Sincronización del tiempo
Como el cálculo de la distancia se realiza a partir de la sincronización de los
relojes del satélite y del receptor una pequeña diferencia ocasionaría grandes errores.
Una milésima de segundo de atraso o adelanto en el reloj del receptor acarrearía un error
de 30km. No obstante ello, los relojes de los receptores pueden contener un error de esta
magnitud y “advertir” y compensar dicha diferencia. En la Figura 248 se observa la
ubicación de un punto mediante la utilización de tres satélites. En la Figura 249 se
observa que un error en la sincronización del reloj del receptor ocasiona la falta de
solución en la ubicación del punto X (solución correcta) ya que no existe una triple
intersección pero existe un área definida por los arcos1-2; 2-3 y 3-1. Cuando esto ocurre,
los receptores reconocen la presencia de un error y recurren a un sistema de 4 ecuaciones
con 4 incógnitas para encontrar la solución. En la Figura 248 y la Figura 249 se
representa el problema con 3 satélites pero téngase presente que es un problema espacial
por lo que se requieren 4 satélites con sus respectivas señales para solucionar el
problema.
248
Figura 248: Determinación de la posición
del receptor en caso de ausencia de error
Figura 249: Determinación de la posición
del receptor con presencia de error
Componentes del sistema GPS
El sistema GPS se encuentra conformado por 3 segmentos:
a)Segmento espacial: Para garantizar la presencia de al menos 4 satélites en línea
de vista de un receptor durante todo el día en cualquier parte de la esfera terrestre se
determinó que era necesaria una constelación de 24 satélites distribuidos en 6 órbitas (4
satélites por órbita) (Figura 250). A dicha constelación se la denominó NAVSTAR
(NAVigation by Satellite Timing and Ranging). Cada satélite tarda 12 horas en dar la
vuelta a la Tierra (período orbital). Las órbitas se encuentran a 20200km de distancia de
la superficie terrestre. Los satélites emiten señales en 2 bandas L, a dos frecuencias
(1,57GHz y 1,22 GHz) y están equipados con relojes atómicos muy precisos que son los
que permiten determinar la distancia a los mismos con gran precisión.
Paralelamente al proyecto americano de la constelación NAVSTAR la CEI (ex
URSS) creó una constelación denominada GLONASS. Los receptores modernos (como
por ejemplo el GG24) utilizan ambas constelaciones para determinar su posición en la
Tierra alcanzando una precisión del orden de los 7m en modo autónomo (sin corrección
diferencial).
Figura 250: Constelación NAVSTAR
b)Segmento de control: Existen 4 estaciones ubicadas en distintos puntos de la
Tierra que siguen y controlan el funcionamiento de los satélites. Además existe una
1 2
3
249
estación de control principal en Colorado, EEUU. En este segmento se define el tiempo
y se calcula y transmiten las efemérides satelitarias y las correcciones horarias.
c)Segmento usuario: Formado por los receptores GPS que utilizando las señales
provenientes de la constelación NAVSTAR calculan su posición siendo esta
característica utilizada en numerosas aplicaciones. De acuerdo a la precisión de los
receptores variarán los alcances de sus prestaciones (Figura 251 y Figura 252).
Figura 251: Navegador GPS Figura 252: Pantalla del Navegador GPS
indicando coordenadas geográficas y altura
Figura 253: Los tres segmentos del sistema GPS interactuando
Errores
Se enumeran a continuación los principales errores dentro del sistema GPS
Errores en los satélites: Los mismos son debidos a errores en los relojes de los
satélites o en las órbitas de los mismos. Dichos errores son monitoreados y corregidos
desde el segmento de control.
Segmento control
Segmento espacial
Segmento usuario
250
Errores en la trayectoria de la señal: Desde que la señal se emite en los satélites
hasta que llega a los receptores no viaja en el vacío y por lo tanto su velocidad no es
constante. Debe atravesar capas de atmósfera que disminuyen dicha velocidad. Las
capas que más influyen son la ionosfera y la troposfera. Asimismo, la señal puede llegar
al receptor directamente desde el espacio o indirectamente, reflejada en alguna
superficie cercana al receptor (multitrayectoria). En este caso, se producirá un error por
exceso en el cálculo de la distancia.
Geometría satelital: La precisión en la ubicación del receptor será mayor cuanto
mejor distribuidos (más alejados) estén los satélites entre sí en el momento del cálculo
de la posición. La geometría satelital se expresa mediante un parámetro denominado
PDOP (Dilución de la Precisión Posicional). Cuanto más bajo sea el PDOP mejor
distribuidos estarán los satélites y las mediciones serán más precisas.
Receptores: La capacidad de los receptores GPS para aumentar la precisión en la
posición está dada por el número de canales que posee (cada canal recibe la señal de un
satélite). Asimismo, influye su capacidad para disminuir el ruido debido a interferencias
eléctricas y el redondeo efectuado en las operaciones matemáticas internas.
Corrección diferencial
Para limitar el efecto de los errores del sistema se suelen corregir las posiciones
calculadas mediante el sistema denominado DGPS (Sistema de Posicionamiento Global
Diferencial). Para lo mismo se utilizan receptores ubicados en lugares con coordenadas
conocidas y se comparan con las coordenadas recibidas por el receptor GPS. La
diferencia es el error y se denomina distancia de corrección diferencial. Esta corrección
es transmitida por ondas de radio desde estaciones terrenas (Señal Beacon) o vía satélite
(Satélites Geoestacionarios Omnistar y Racal) a los receptores que se encuentren
abonados al sistema de corrección (no es de libre disponibilidad). Con los navegadores
trabajando en modo autónomo (sin corrección) se puede alcanzar un error del orden de
los 5 a 20m. Con la corrección diferencial el error en el cálculo de la posición se
encuentra por debajo del metro.
Figura 254: Corrección Beacon Figura 255: Corrección Omnistar-Racal
251
UTILIZACIÓN DE NAVEGADORES SATELITALES (GPS) EN
APLICACIONES AGRÍCOLAS Y FORESTALES
Introducción
La utilización de navegadores satelitales (GPS) en el ámbito agrícola y forestal
(como en muchos otros ámbitos) es cada vez más frecuente y generalizada. En lo que
refiere a las aplicaciones en el ámbito agropecuario son principalmente utilizados para
determinar las coordenadas de puntos al realizar levantamientos aproximados de
distintos detalles que pretendan ser representados en un plano. Dichas coordenadas
pueden ser utilizadas asimismo para localizar dichos puntos a futuro, también con ayuda
de los navegadores. Son también ampliamente usados para determinar las áreas de
potreros de lados rectos (polígonos) mediante la confección de las llamadas “Rutas”.
Cuando se trata de superficies irregulares (lagunas, montes, bajos, afloraciones rocosas,
sectores afectados por malezas, etc.) brindan la posibilidad de determinar el área
mediante la función “Track” (recorrido) consistente en recorrer el perímetro de dicha
superficie con el navegador. Asimismo, son frecuentemente utilizados para ayudar a la
navegación hacia determinados puntos, siguiendo recorridos o rutas preestablecidas,
brindando numerosos datos relacionados con el tiempo, la distancia y el ángulo hacia el
destino entre otros. Por ser ésta la función con la que originalmente han sido concebidos
(la de ayudar a la navegación) es que reciben el nombre de “navegadores”.
Se hará referencia a navegadores de tipo Garmin (modelos Legend y Vista). No
obstante ello, debe tenerse presente que existen otras firmas (Lowrance, Magellan,
MLR) que en distintos modelos presentan funciones similares con un formato semejante
pero con particularidades visuales que permiten diferenciar unos modelos de otros.
Descripción del GPS
Ambos modelos (Vista y Legend) poseen un total de 6 botones que cumplen
distintas funciones.
Manteniendo el botón inferior del lateral derecho llamado Power (acompañado
por un símbolo de una lámpara encendida) se enciende (y apaga) el navegador.
Pulsándolo brevemente se prende (y apaga) la luz de fondo. El botón superior del lateral
derecho es denominado Page (presenta el símbolo de varias páginas apiladas) y permite
pasar por las distintas “Páginas” de información que brinda el navegador. En algunas
opciones se utiliza como función Escape (salir) para volver hacia atrás.
Los dos botones superiores del lateral izquierdo son de zoom (el inferior para
aumentar el zoom o agrandar y el superior para disminuirlo o achicar) y permiten ver la
página de Mapa con un mayor o menor detalle de acuerdo al zoom seleccionado. Estos
dos botones también permiten aumentar o disminuir el contraste de la imagen cuando
son pulsados en la página de Satélites.
El botón inferior del lateral izquierdo (acompañado de un símbolo de lupa) es
denominado Find (Buscar) y al pulsarlo se activa la función Buscar con todas sus
opciones.
Finalmente el botón frontal se denomina Clik Stick (o cursor). Es un botón de 5
posiciones: arriba, abajo, derecha, izquierda y Enter (entrada). La función de cursor,
dada por las primeras 4 posiciones permite desplazarse entre las distintas opciones
seleccionables que se muestran en pantalla. La función Enter (consistente en oprimir
252
dicho botón brevemente) se utiliza para seleccionar alguna de las opciones (equivale a
hacer click con el mouse para seleccionar algo o apretar la tecla Enter). Si se oprime
durante un par de segundos este botón, el equipo muestra las coordenadas del punto en
que se encuentra permitiendo guardarlas si así se desea.
Figura 256: Botones laterales derechos del navegador y sus funciones
Figura 257: Botones laterales izquierdos y botón frontal del navegador con sus funciones
Botón Page
-Pulsar para pasar las distintas
páginas
-Escape (en algunas pantallas)
Botón Power
-Mantener apretado para prender y
apagar el equipo
-Oprimir brevemente para prender y
apagar la luz de fondo
Botón Zoom In - Zoom out
-Aumentar o disminuir zoom (Pag.
Mapa)
-Mantener pulsada en satélites para
mejorar contraste
Botón Find
-Acceso al menú Buscar
Cursor-Click (Click-Stick)
-Mover arriba-abajo derecha-izquierda
-Seleccionar (oprimiendo brevemente)
-Guardar coordenadas de la ubicación
actual (oprimiendo largamente)
253
Páginas de información
El modelo Vista presenta 6 páginas: Satélites, Mapa, Navegación, Altímetro,
Trayecto y Menú Principal. El Legend presenta las mismas pantallas menos la del
Altímetro. Cuando se enciende el equipo aparece siempre la página de Satélites.
Apretando el botón Page aparecen en el orden mencionado más arriba las restantes
páginas. Luego de Menú Principal el botón Page lleva nuevamente a la página de
Satélites.
Satélites Mapa Navegación Altímetro Trayecto Menú
Principal
Figura 258: Información mostrada por el navegador en las distintas páginas y orden en
que van apareciendo. De la página de Menú Principal se retorna a la Página de Satélites
En cada una de estás páginas siempre aparecen en la parte superior derecha dos
íconos correspondientes el de la izquierda a las opciones propias de la página que se está
visualizando y el de la derecha a las distintas páginas del navegador. Seleccionando la
página deseada con el cursor de esta manera se evita hacer el recorrido obligatorio que
se presenta al pulsar la tecla Page y se pueden saltear páginas yendo, por ejemplo, desde
la página de Satélites a la de Trayecto.
Figura 259: Opciones
propias de la Página de
Mapa
Figura 260: Página de
Mapa
Figura 261: Opciones de
Páginas con Satélites
seleccionada
254
Para desplazarse por las opciones se utiliza el cursor (en este caso arriba-abajo) y
para seleccionar alguna opción se oprime dicho botón. De esta manera el navegador
presenta una interfaz con ventanas que se abren con un formato similar al del sistema
operativo “Windows”.
Página de Satélites
Muestra la posición de los satélites sobre el cielo, la intensidad de señal recibida
por cada uno de ellos, una ventana de estado de la navegación y la posición y altura en
curso. En la Figura 262 puede verse la captación de señal de distintos satélites por parte
del navegador. Se observa que se está recibiendo señal de 8 satélites. De otros dos (08 y
20) no se recibe señal. Existen 2 círculos que representan el horizonte (el externo) y un
ángulo de visión de 45° (el interno). El centro del círculo representa lo que tiene el
receptor sobre su vertical. El satélite 03 se encuentra a un ángulo de 45° en dirección
Este y la intensidad de la señal es importante. El satélite 01 está a un ángulo mayor a
45°, en dirección sur y de acuerdo a la barra de estado tiene buena señal. Los satélites
más cercanos al horizonte (los que se muestren cerca de la anilla exterior) tienen más
probabilidad de ser bloqueados por obstáculos. En la Ventana superior se muestra el
mensaje “Listo para navegar” “Precisión: 16pies ( 5m)” expresando así que el
instrumento se encuentra operativo pudiendo utilizarse las distintas funciones de
navegación. Cuando no reciba señal de un mínimo de 3 satélites (por ejemplo, al
encender el equipo) la ventana de navegación indicará “Espere… Rastreando satélites”.
Cuando demore mucho tiempo en recibir señal debido a la presencia de obstáculos (la
señal no se transmite a través de edificios, montañas, zonas boscosas densas, personas,
agua) se mostrará el mensaje “Pobre recepción de los satélites” pudiendo elegirse entre
las opciones: a)Usar con el GPS desactivado, b)Nueva localización, c)Reiniciar
búsqueda y d)Continuar con la búsqueda. “Usar con el GPS desactivado” no brinda la
localización en curso (no permite la navegación) y economiza energía (pilas). En la
ventana de estado de la navegación se leerá el mensaje “GPS desactivado”. La opción
“Nueva localización” debe utilizarse para acelerar la adquisición cuando el usuario se
haya desplazado una distancia mayor a 1000km del último lugar en que usó el receptor.
“Reiniciar búsqueda” implica iniciar la búsqueda desde cero mientras “Continuar con la
búsqueda” significa mantener los satélites encontrados hasta el momento. En la ventana
inferior se muestra la ubicación en curso siendo las coordenadas obtenidas 38°51,338’
Latitud Norte y 94°47,930’Longitud Oeste, por lo tanto se están expresando las
coordenadas geográficas en grados, minutos y milésimas de minuto. Las opciones de la
página de Satélites son a)Usar con el GPS desactivado b)Norte arriba (o Track arriba) y
c)Nueva localización. La opción “Norte arriba” implica que la anilla de puntos
cardinales siempre se verá con el Norte en la parte superior independientemente de la
posición del receptor (como se muestra en la Figura 262) por lo tanto la anilla exterior
mostrando los puntos cardinales se encontrará fija. Cuando esté seleccionado “Norte
arriba” la opción que se mostrará en el menú de opciones de la página será “Track
arriba”. Al seleccionar esta opción en la parte superior se mostrará el punto cardinal al
que esté apuntando el receptor en ese momento, es decir que si el receptor es rotado la
anilla exterior rotará hasta señalar el punto cardinal al que el usuario se dirige o apunta.
255
Figura 262: Página de Satélites (On)
Figura 263: Página de Satélites (Off)
Figura 264: Opciones Página de
Satélites y Mensaje de GPS desactivado
Página de Mapa
Esta página muestra un mapa de la zona en que se encuentra el equipo. El mapa
visualizado puede ser un mapa general con escaso detalle que viene incluido con el
equipo cuando se lo compra o puede ser un mapa de mayor detalle cargado a posteriori
mediante la interacción con una computadora (p. ej. en Argentina se pueden descargar
desde internet Mapas de distintas zonas del país del proyecto Mapear con distintos
niveles de detalle e información de acuerdo a la región). En la página de mapa se
muestra la posición en que se encuentra el equipo con un ícono en forma de triángulo
que ocupa el centro de la pantalla. Cuando el equipo aún no tiene señal de satélites dicho
ícono aparece con un signo de interrogación (Figura 265). Cuando tiene señal aparece
rodeado por un círculo que indica la precisión de la posición (cuanto más pequeño, más
preciso, Figura 267). En la parte superior de la pantalla se puede ver un mensaje de
estado de navegación y de la precisión. En la parte inferior se pueden mostrar 2 campos
Ventana de
navegación
Anilla de compás con
ubicación de satélites
en el cielo
Intensidad de la señal
de los satélites
Posición en curso
Opciones de Pobre
recepción de satélites
256
con información relativa a la navegación como velocidad, hora, distancia al punto
objetivo, etc.
La ventana de navegación y los campos de datos inferiores se pueden quitar si se
desea ver una mayor porción del mapa en la pantalla. En la parte inferior izquierda del
mapa se observará un segmento que representa una distancia. En la Figura 266 dicho
segmento representa 3millas.
Figura 265: Ventana de
navegación e ícono de
posición (sin señal GPS)
Figura 266: Opciones de
página y 2 campos de datos
inferiores
En esta página, con los botones de aumentar y disminuir el zoom se puede
conseguir ver una menor superficie de mapa con un detalle mayor (si se aumenta el
zoom) o una mayor cantidad de superficie con menor detalle (si se disminuye el zoom).
Si se utilizan unidades métricas el segmento indicará como valor mínimo 5m (cuando se
aumenta el zoom al máximo) utilizándose dicha escala cuando se deseen ver detalles a
nivel de parcela. El valor máximo del segmento es de 800km abarcando el mapa en esta
situación toda Sudamérica. Las opciones de página de la página de Mapa incluyen
“Modo panorámico”, “Detener navegación”, “Mostrar (u ocultar) estado de la
navegación”, “Mostrar (u ocultar) campos de datos”, “Ajustar mapa” y “Restaurar
valores predeterminados” (Figura 266). Al seleccionar la opción “Modo panorámico”
aparece una flecha (llamada puntero de mapa) en lugar del ícono de posición. Con el
cursor puede desplazarse la flecha en los 4 sentidos permitiendo de esta manera
desplazar el mapa hacia los lugares vecinos a la posición para visualizarlo. Oprimiendo
el cursor se selecciona el punto que señala la flecha pudiendo guardar las coordenadas
del mismo. Si se posa la flecha sobre un objeto del mapa (cruce, punto de interés) el
punto aparece seleccionado. “Detener la navegación” permite economizar pilas cuando
no se necesite navegar hacia un punto. “Mostrar (u ocultar) estado de navegación”
permite visualizar en la página la ventana superior con el estado de navegación. Si dicha
ventana se encuentra en pantalla aparecerá la opción “Ocultar estado de la navegación”.
Si se quita dicha ventana se puede ver una mayor porción de mapa. Lo mismo sucede
con la opción “Mostrar (ocultar) campos de datos” respecto de las dos ventanas
257
inferiores. “Ajustar mapa” permite configurar la página de Mapa para personalizar la
manera en que se visualiza dicha página. Alguna de las opciones de ajuste incluyen la
orientación pudiendo ser la misma “Norte arriba” o “Track arriba”. Con la primera
siempre el mapa se muestra con el Norte hacia arriba mientras que con la segunda se
muestra hacia arriba el punto cardinal hacia el que se desplaza el operario con el equipo
(rotando el norte). Se puede seleccionar asimismo que los diferentes detalles levantados
(Rutas, Tracks, Waypoints) se visualicen a las escalas mayores (con mayor detalle) y no
a las menores pudiendo seleccionar la escala límite de visualización. También se
selecciona aquí el tamaño del texto (Figura 270) y pueden tildarse del listado de mapas
cargados en el navegador aquellos que deseen visualizarse (Figura 271). La opción
“Restaurar valores predeterminados” permite ver la página de mapa con la configuración
original de fábrica.
Figura 267: Círculo de
precisión y escala del mapa
Figura 268: Ícono de
posición y flecha de modo
panorámico
Figura 269: Opciones de
datos para los campos
Figura 270: Ajuste del
mapa. Tamaño de texto
Figura 271: Ajuste del
mapa. Mapas a visualizar
Opciones para los campos seleccionables
En los dos campos inferiores de la página de mapa se pueden visualizar distintos
parámetros relacionados con la navegación de acuerdo a la preferencia del operador
(Figura 269). Algunas de las opciones son:
258
Rumbo (Bearing): Dirección desde la localización hacia el destino
Curso (Course): Dirección desde el punto de arranque hasta el destino
Dirección (Heading): Dirección de desplazamiento
Desvío del curso: Desvío hacia la derecha o izquierda del curso original
Hacia el curso: Dirección del compás a seguir para volver al curso
Giro: Ángulo entre el rumbo hacia el destino y la línea de trayecto en curso. L es
giro a la izquierda y R giro hacia la derecha
Puntero: Indica con una flecha la dirección al siguiente destino
Altura: metros por encima del nivel del mar
Destino en curso: Siguiente Waypoint de la ruta
Distancia en curso: Distancia hasta el siguiente Waypoint
ETA en curso: (Estimated Time of Arrival) Hora estimada de llegada al
siguiente Waypoint
ETE en curso: (Estimated Time En route) Tiempo aproximado necesitado para
llegar al siguiente Waypoint
Destino Final: Último Waypoint de la ruta.
Distancia Final: Distancia que queda al destino final
ETA final: Hora estimada a la que se llegará al destino final
ETE final: Tiempo estimado para llegar al destino final
Velocidad/Velocidad corregida: en millas/hora, km/hora, millas náuticas/hora
Salida del sol/Puesta del sol: Hora del día a la que sale/se pone el sol
Hora: hora para la zona horaria seleccionada
Cuentakilómetros de trayecto: Distancia recorrida acumulada
Para visualizar la diferencia entre Rumbo, Curso y Dirección puede observarse la
Figura 272 en la que el punto A es el punto de partida y B el de llegada. La línea AB
constituye el Curso. C es el emplazamiento actual del móvil. La línea CB constituye el
Rumbo. Por último, la línea punteada CD constituye la Dirección en la que se está
desplazando en ese momento el móvil.
Figura 272: Rumbo (CB), Curso (AB) y Dirección (CD)
Página de Navegación
Muestra un círculo graduado (a modo de brújula) con los puntos cardinales
señalados. Algunos modelos (como el Vista) presentan brújula electrónica lo que
implica que la brújula indicará los puntos cardinales en todo momento. Otros (como el
Legend) solo permiten determinar la posición de los puntos cardinales mientras el
operario se desplaza con el navegador ya que al detectar el desplazamiento puede
A
B
C
D
259
determinar la dirección del movimiento y la posición de los puntos cardinales. En
definitiva, los que poseen brújula electrónica, al ser girados en un lugar (sin cambiar la
posición) gira la anilla del compás apuntando siempre el Norte hacia ese punto cardinal
mientras que los que carecen de brújula electrónica no lo hacen. En el caso de estar
navegando hacia un determinado punto el círculo graduado presentará un puntero de
rumbo que indica la dirección a seguir para ir directamente hacia el destino. En la parte
superior de esta pantalla se puede ver el Nombre del punto al que se navega, el tiempo
demandado para llegar al mismo en función de la velocidad de desplazamiento y la
distancia a recorrer (Figura 273).
En la parte inferior aparecen 2 campos de datos seleccionables como los que se
detallaron en la página de mapa (Figura 275).
Figura 273: Navegación
hacia “Kenneth” Faltan 10,1
millas y 30 minutos. Hay
que dirigirse hacia el Este
Figura 274: Opciones de
página de la página de
navegación
Figura 275: Opciones para
los campos de datos
Las opciones de página de esta pantalla incluyen: la función “Sight’N Go”,
Detener la navegación, Puntero de curso, Números grandes, Calibrar el compás y
Restaurar valores (Figura 274). La función “Sight’N Go” (señalar e ir) permite navegar
en una determinada dirección y dirigirse a un punto que se observa pero al que no se
puede acceder en línea recta (por tener que vadear un río, monte, etc.). Consiste en
utilizar las dos marcas que presenta el modelo Vista en su carcaza a modo de alza y mira
para apuntar a un objeto (Figura 277). El puntero indicará la dirección a seguir y en caso
de que aparezca partida la flecha, con una escala de puntos se indicarán los m ó km de
desviación respecto de la dirección de desplazamiento previamente determinada (Figura
278).
La opción “Números Grandes” permite ver los campos numéricos con un tamaño
de texto mayor. En esta opción la anilla de la brújula se vuelve más chica (Figura 276).
La opción “Calibrar el Compás” se utiliza cuando se usa por primera vez el GPS o
260
cuando se cambian las pilas y consiste en realizar dos giros completos lentamente y en
sentido horario.
Figura 276: Opción de
números grandes
Figura 277: Marcas en la
carcaza del navegador a modo
de alza mira para función
Sight’N Go
Figura 278: Opción
“Sight’N Go”
Página de Altímetro
Disponible solo en el modelo Vista. Presenta un baroaltímetro que en función de
la presión atmosférica da una idea aproximada (precisión de 1m) de la altura. Permite
ver en forma gráfica la altura o presión atmosférica (en la ordenada) en función de la
distancia recorrida o del tiempo (en la abscisa) (Figura 279, Figura 280 y Figura 281).
Ambas escalas (ordenada y abscisa) pueden modificarse. La altura presenta un
rango que va de 70m a 1750m, la distancia de 200m a 25km y el tiempo de 2minutos a
2horas (Figura 285). En la parte superior se ve una ventana con datos de altura en curso.
En la parte inferior se muestran dos campos de datos seleccionables relacionados con la
navegación aérea como velocidad de ascenso, descenso, altura máxima alcanzada,
velocidad vertical, etc. (Figura 287). Las opciones de página incluyen: Plotear en el
tiempo (o en la distancia), Visualizar ploteo de altura (o de presión), Escalas de zoom,
Visualizar punto, Resetear, Calibrar altímetro y Restaurar valores (Figura 282). Cuando
se está visualizando la altura (o presión) en el tiempo se encuentra como opción “Plotear
en la distancia” y viceversa (cuando se plotea en la distancia la opción es “Plotear en el
tiempo”). La opción “Visualizar punto” muestra con una flecha sobre el diagrama de
Altura un punto seleccionado y su altura. Con el cursor se puede desplazar esta flecha
hacia derecha o izquierda y visualizar la altura de otros puntos (Figura 283). La opción
“Calibrar altímetro” permite mejorar la precisión de los valores obtenidos si es que se
conoce en forma aproximada la altura en la que el operario se encuentra. Mediante un
teclado numérico se puede ingresar el valor de altura conocida (Figura 284). La opción
“Resetear” permite borrar los datos guardados en memoria. Desde esta opción se pueden
borrar también las Rutas, Tracks y Waypoints guardados (Figura 286).
261
Figura 279: Página de
altímetro. Ventana de
altura y campos de datos
Figura 280: Ploteo de altura en
la distancia
Figura 281: Ploteo de Presión
en el tiempo
Figura 282: Opciones de la
página de altímetro
Figura 283: Opción
Visualizar puntos
Figura 284: Opción Calibrar
altímetro
262
Figura 285: Escalas de zoom Figura 286: Opción Resetear Figura 287: Campos de
datos
Página de Trayecto
Muestra en 8 campos numéricos seleccionables diferentes parámetros
relacionados con la navegación como distancia recorrida, velocidad máxima, velocidad
media, velocidad de movimiento, tiempo en movimiento, tiempo detenido, etc. Las
opciones de esta página incluyen Restaurar valores, Números grandes y Resetear. Con la
opción “Números Grandes” los campos de datos mostrados se reducen a 5 (en lugar de
8). Cualquiera de los 8 (ó 5) campos puede seleccionarse para que muestre el dato más
conveniente a la navegación. La opción “Resetear” es la misma que la mostrada en la
página de Altímetro (Figura 290).
Figura 288: Página de
trayecto
Figura 289: Campos de
datos Figura 290: Opción resetear
263
Página de Menú principal
Desde esta página se accede a las principales funciones del navegador. Incluye
seis opciones simbolizadas con seis íconos: Marcar Waypoint, Buscar, Rutas, Tracks,
Configurar y Accesorios. En la parte inferior de la pantalla se muestra una ventana que
indica la hora y fecha, un nivel del estado de las pilas y una lamparita indicando si la luz
de fondo está encendida o apagada.
Figura 291: Página de Menú Principal
Marcar Waypoint
Esta opción se utiliza cuando se desea guardar la localización en la que se
encuentra el navegador.
Puede ingresarse a esta opción desde el Menú Principal o directamente
manteniendo apretado el Cursor (botón frontal).
Al seleccionar “Marcar Waypoint” aparece una pantalla de un hombre a punto de
clavar una banderilla en el suelo. La bandera tiene un símbolo y un número con el que se
guardará ese punto. En la parte inferior de la pantalla aparecen 4 campos numéricos
indicando el superior la latitud y longitud del punto que se va a guardar. Las opciones
para elegir del campo inferior son Go to (Ir a), Mapa (ver el punto en la página de mapa)
y Ok (para confirmar que se desea guardar ese punto) (Figura 292). El nombre del
Waypoint por default viene configurado para que se guarde con una sucesión creciente
de números pero se puede editar accediendo a un teclado alfanumérico para asignarle el
nombre que se considere más conveniente (Figura 293). También se puede cambiar el
símbolo del Waypoint seleccionando uno de una lista de símbolos que presenta el equipo
(Figura 294).
Puede crearse también un Waypoint desde la página de mapa utilizando la
función de Modo panorámico. Oprimiendo el cursor en el punto seleccionado con la
flecha de pan aparecerá la página de Waypoint con la información del punto pudiéndolo
guardar (Figura 295 y Figura 296). Una vez guardado el punto como Waypoint aparecerá
en el mapa y tocándolo con la flecha de pan puede entre otras opciones desplazárselo por
la página de mapa para relocalizarlo (Figura 297). Otra opción para marcar un Waypoint
es hacerlo introduciendo las coordenadas del mismo si es que éstas ya son conocidas.
Esta opción es interesante cuando las coordenadas han sido levantadas por otro operario
264
con un segundo equipo. Para buscar alguno de los puntos guardados por el colega en su
aparato bastará que el mismo proporcione las coordenadas de los puntos, las que al ser
cargadas en el primer equipo permitirán a continuación utilizando la función “Go To”
(“Ir a”) navegar hacia dichos puntos y encontrarlos. Puede resultar interesante a la hora
de encontrar estacas, celdas trampas de insectos, etc. (Figura 298). Por último se puede
proyectar un Waypoint cargando la distancia y el rumbo desde un determinado punto
(Figura 299).
Figura 292: Página de
Marcar Waypoint
Figura 293: Selección del
nombre
Figura 294: Selección del
ícono
Figura 295: Página de
Mapa. Cruce marcado como
Waypoint
Figura 296: Página de
Mapa. Marcación de un
punto cualquiera
Figura 297: Moviendo un
Waypoint
265
Figura 298: Crear un
Waypoint introduciendo las
coordenadas
Figura 299: Proyectar un
Waypoint introduciendo
distancia y rumbo
Buscar
Esta función permite buscar un punto guardado como Waypoint o una Ciudad,
Punto de interés, Favorito, Dirección, etc.
Puede ingresarse a esta opción desde el Menú Principal o directamente apretando
el botón Buscar (botón inferior del lateral izquierdo identificado con una lupa). Al
ingresar a la opción “Buscar” desde alguna de las dos opciones aparecerá un listado de
las opciones (Figura 300). Al seleccionar una de ellas aparecerán dos opciones de
ordenamiento entre las que se encontrarán Más cercano o Por nombre. “Más cercano”
ordenará los Waypoints, Ciudades, Favoritos, etc. encabezando el listado con los “más
cercanos” al punto en que se encuentra el navegador en ese momento. Por nombre los
ordenará alfabéticamente (Figura 301).
Figura 300: Opción Buscar Figura 301: Opción de Más
cércano-Por Nombre
Figura 302: Distancia y
Rumbo al Waypoint Home
266
En la Figura 302 están ordenados alfabéticamente. Al sombrear alguno de los
Waypoints en la lista aparecerá en la parte inferior la distancia y el rumbo al mismo
(Figura 302). Apretando en alguno de ellos aparecerá información del mismo y tres
opciones: Ir a (Go to), Mapa y Ok (Figura 303). “Ir a” guía desde la Página de
navegación hacia el punto, “Mapa” muestra al punto en la página de Mapa y Ok vuelve a
la pantalla anterior.
Si se selecciona la opción “Ir a” en la página de Navegación aparecerá un
puntero de curso en la anilla de compás que indicará en que dirección debe desplazarse
el operario para acercarse al destino. También aparecerá la distancia remanente a
recorrer y el tiempo remanente para llegar (Figura 304). En la página de mapa se unirá el
ícono de posición con el Waypoint destino mediante una línea punteada (Figura 305)
indicando parámetros similares a los de la página de Navegación en los campos de datos.
En ambas páginas, en la parte inferior, aparecerá el mensaje “Llegando a destino”
cuando el usuario esté arribando al objetivo.
Figura 303: Selección de un
Waypoint
Figura 304: Página de
Navegación Navegando
hacia 001
Figura 305: Página de Mapa
Navegando hacia 001
Rutas
Las Rutas son una secuencia ordenada de Waypoints, es decir un camino con un
Waypoint de partida, uno de llegada y algunos intermedios.
Las rutas se crean desde el Menú Principal. Al seleccionar Ruta el menú
mostrará las rutas existentes, indicará las rutas aún no utilizadas (de acuerdo a la
capacidad de memoria del navegador utilizado) y dará la opción Nueva. En la Figura
306 puede verse que existen 7 rutas guardadas y como la capacidad es de 20 indica que
hay 13 sin usar. Al crear una nueva ruta la misma aparecerá inicialmente vacía, sin
Waypoints. En la pantalla aparecerá una línea punteada y sombreándola y haciendo click
sobre ella se podrá seleccionar del listado de Waypoints guardados los que formarán
parte de la ruta seleccionándolos uno a uno. Las rutas se nombran por default con el
primero y último de los Waypoints que la forman. Obsérvese que las rutas guardadas han
sido nombradas con 2 Waypoints separados por un guión (Figura 306). Al seleccionar
una de ellas (en la Figura 307 es mostrada Monday Route) pueden verse los Waypoints
267
que la constituyen y las opciones que se muestran en la parte inferior son Navegar la ruta
o verla en el Mapa (Figura 307). Las opciones que se presentan dentro de la página de
Ruta son: Remover todo, Invertir Ruta, Copiar Ruta, Borrar, Restaurar Valores y Área
de Ruta (Figura 308). “Remover todo” implica eliminar todos los Waypoints de la Ruta
(dejar la Ruta vacía), “Invertir Ruta” significa que el Waypoint de partida sea el último y
viceversa, “Copiar Ruta” copia una ruta idéntica colocándole un 1 a la ruta copiada
permitiendo modificar esta segunda ruta (agregando o quitándole Waypoints) y
conservando la original (Figura 309).
Figura 306: Rutas existentes
en Página de Rutas
Figura 307: Ruta con sus
Waypoints. La línea permite
agregar puntos
Figura 308: Opciones de
Página de Rutas. Al Final
Área de Ruta
Figura 309: Copiado de ruta
Car-Clare como Car-
Clare1
Figura 310: Mensaje de
confirmación de eliminación
de Ruta
Figura 311: Agregando
Waypoint 005 a Ruta desde
Página de Mapa
Route Area
268
Al seleccionar “Borrar” aparecerá un mensaje de confirmación de la elección
realizada (Figura 310). Finalmente la opción “Área de Ruta” permite calcular el área del
polígono formado por los sucesivos Waypoints que forman la ruta. Esta opción se utiliza
para calcular el área de parcelas de lados rectos tomando como Waypoints los esquineros
de la parcela y armando una ruta con los mismos. Se puede optar por ver una ruta en la
Página de Mapa y allí se permite mover alguno de los Waypoints de la ruta o incorporar
otros al comienzo o final de la misma (Figura 311). “Navegar una ruta” resulta similar a
navegar hacia un Waypoint solo que una ruta es un conjunto de Waypoints por lo que
navegarla implicará que el usuario se deje guiar hacia los sucesivos Waypoints que la
forman. Al llegar hacia los distintos Waypoints, completando parcialmente la ruta,
aparecerá en la pantalla de Navegación el cursor quebrado indicando en que sentido se
debe girar para continuar hacia el siguiente Waypoint.
Tracks (Recorridos)
Los Tracks son recorridos realizados en los que el navegador de manera continua
va guardando las coordenadas de los puntos en los que se encuentra cada un
determinado tiempo o distancia fijas. El intervalo o frecuencia de toma de puntos del
navegador en el Track puede seleccionarse e ingresarse al navegador (Figura 315 y
Figura 316). Así por ejemplo se puede seleccionar que tome un punto cada 5m o cada
3segundos. Al acceder a la pantalla de Tracks se podrán ver los Tracks guardados. El
navegador guarda automáticamente por default un Track denominado Track log. Para
que no registre el Track log debe seleccionarse la opción Apagado (Off). En la misma
pantalla existen las opciones Guardar o Borrar que implican respectivamente grabar o
limpiar el recorrido registrado hasta ese momento (no se borran los Tracks ya
guardados). Existe una barra que con un porcentaje indica la capacidad restante de
grabación de Track. Una vez alcanzado el 100% se empiezan a sobre escribir los datos
borrando automáticamente los más viejos.
Figura 312: Tracks
guardados y Track log
Figura 313: Track Camp
mostrándose en mapa
Figura 314: Opciones de
Navegación del Trackback
269
Se puede leer en la parte inferior de la pantalla la cantidad de Tracks sin usar de
acuerdo a la capacidad del navegador (en el ejemplo se señala que existen 7 no usados)
(Figura 312). El Track por default se guarda con un nombre correspondiente a la fecha
de realización. Si se realiza más de uno en un mismo día se agrega un número al final
del nombre. Cuando se accede a un Track guardado el navegador permite visualizarlo en
el mapa (Figura 313). La opción TrackBack permite navegar el Track pudiendo
reproducir un recorrido previamente guardado. Al acceder al TrackBack el operador
deberá optar por dirigirse hacia el inicio o el final del Track (Figura 314).
Figura 315: Opciones de
Grabación y Resolución del
Track
Figura 316: Opciones de
Intervalo
Configuración
En esta página se pueden seleccionar y configurar varios parámetros del
navegador como la hora (Figura 318), el idioma, el sistema de unidades (Figura 319 y
Figura 320), el datum utilizado, etc. Si se desea referir el levantamiento con datos de
Cartografía Nacional se deberá seleccionar en datum el de Campo Inchauspe. Caso
contrario será conveniente trabajar con el del Sistema Geodésico Mundial de 1984
(WGS84) (Figura 321). En la pantalla de Display se puede seleccionar el tiempo que
permanece encendida la luz de fondo. En la de Dirección se puede seleccionar el Norte
que se utilizará como referencia (Geográfico, Magnético, Cuadrícula) (Figura 322).
270
Figura 317: Opciones de
Configuración
Figura 318: Configuración.
Ajuste de formato de hora
Figura 319: Configuración.
Ajuste de unidades
Figura 320: Opciones de
Configuración
Figura 321: Configuración.
Ajuste de formato de hora
Figura 322: Configuración.
Ajuste de Dirección
Accesorios
Brinda un conjunto de utilidades como Posición del Sol y la Luna, Calendario,
Caza y Pesca y Cálculo de áreas (Figura 323). Esta última permite determinar el área de
formas irregulares como lagos, montes, terrazas, manchones de malezas, etc. Al
seleccionar la opción de Cálculo de áreas dará la opción de Empezar. Se deberá señalar
claramente el punto de partida para que luego de rodear el área y llegar al punto de
partida se seleccione Detener. El navegador muestra el área y el perímetro de la figura y
permite cambiar las unidades de área (ha, m2, acres) asi como guardar el recorrido como
un Track. Resulta importante a los fines de aumentar la precisión en el cálculo del área
271
el no desviarse del trayecto (borde de la laguna, monte, etc.) y mantener al receptor con
buena señal.
Figura 323: Accesorios con opción
de Cálculo de área (por Track)
Area
272
APLICACIONES DE LA TECNOLOGÍA GPS EN LA AGRICULTURA
Introducción
El Sistema de Posicionamiento Global (GPS, Global Positioning System) fue
concebido originalmente en Estados Unidos con fines militares. Su principal objetivo
consistía en guiar a las naves marítimas por el camino más corto hacia el destino,
ahorrando de esta manera tiempo. Asimismo, permitía a los ejércitos que se encontraban
en peligro o perdidos, conocer su posición y de esta forma solicitar ayuda para el rescate
en un lugar preciso. A pesar de su destino original, rápidamente se le encontraron a este
sistema de posicionamiento numerosas aplicaciones civiles, generalizándose su
utilización en áreas muy diversas, incluyendo entre ellas a la agricultura.
Aplicaciones generales fuera del campo agronómico
La tecnología GPS tiene innumerables utilidades y puede ser utilizada siempre
que exista una correcta recepción de la señal. No se puede utilizar en lugares con
cobertura densa que impida la llegada de la señal (edificios, subterráneos, bosques
cerrados, bajo el agua). Una de las primeras aplicaciones civiles que se encontró en el
GPS fue la navegación por lo que a los receptores GPS que ayudaban en la misma dando
en todo momento las coordenadas del punto en que se encontraba el móvil, la velocidad
de avance y la dirección del mismo fueron llamados “navegadores”. Esta herramienta se
utiliza actualmente tanto en navegación terrestre como en aérea y marítima. Es utilizado
para el rastreo y recuperación de vehículos, como ayuda para choferes para determinar la
posición en que se encuentran y escoger el mejor camino para llegar a un determinado
sitio. En el ambiente científico se utilizan para obtener datos muy precisos de posición y
tiempo. Los navegadores son también muy usados en el ambiente deportivo y
recreacional (ciclistas, montañistas, acampantes, caza y pesca) en situaciones en que
necesiten conocer su ubicación, la dirección y velocidad de avance y deban decidir el
mejor camino hacia un destino. Son utilizados como sistemas de emergencia al costado
de rutas donde apretando un botón, la persona a ser socorrida transmite su ubicación a
las unidades de auxilio. Una de las características principales del GPS es su extremada
precisión en lo que se refiere al tiempo. En muchas aplicaciones se usa el GPS como
sistema muy preciso para obtener la hora, como por ejemplo en los ambientes bursátiles
donde las jornadas de operación deben abrir y cerrar en horarios precisos.
Aplicaciones agrícolas
Las ciencias relacionadas con el agro tampoco tardaron en adoptar la tecnología
GPS, encontrándose numerosas aplicaciones.
Ubicación de puntos
Siendo que el sistema GPS permite determinar la posición de un punto en la
Tierra mediante sus coordenadas geográficas latitud y longitud pudiendo posteriormente
transformarlas en coordenadas planas cartesianas (por ejemplo el sistema Gauss-Krüger
empleado en la Argentina) mediante operaciones matemáticas, puede ser utilizado para
realizar los levantamiento de puntos que tradicionalmente se realizaban midiendo
ángulos y distancias con respecto a otros puntos de coordenadas conocidas (Métodos
planimétricos). Asimismo, una vez determinada la posición de los distintos puntos
(posicionamiento de puntos) mediante sus coordenadas, pueden calcularse las distancias
273
entre los mismos mediante 𝐷 = ∆𝑋2 + ∆𝑌2. Los receptores GPS pueden almacenar
coordenadas de puntos llamados “Waypoint” (punto del camino ó punto de paso) y
permiten visualizar directamente las distancias que posee el receptor en cada posición
que se encuentre a los distintos puntos almacenados. Esto constituye un método
indirecto para la determinación de distancias ya que la misma es determinada por cálculo
(ya sea cálculo del operador a partir de las coordenadas planas o cálculo interno del
receptor) y no debe recorrerse la distancia a medir sino que es suficiente con colocarse
en los puntos extremos de medición para obtener sus coordenadas y la distancia en
cuestión.
Determinación de áreas Con la determinación de las coordenadas de los puntos puede calcularse las áreas
de lotes que resulten regulares (de lados rectos) empleando dichas coordenadas y el
método de los trapecios. Asimismo, algunos receptores GPS permiten el cálculo de la
superficie evitándose el cálculo posterior. La determinación de áreas se vuelve una
utilidad particularmente interesante de los receptores GPS cuando se trata de superficies
irregulares y con obstáculos o desperdicios (montes, lagunas, silos, construcciones, áreas
parquizadas) resultando suficiente para la determinación del área útil, recorrer el
perímetro del lote para luego determinar de la misma manera los desperdicios y realizar
la sustracción correspondiente al área total.
Guiado de maquinaria agrícola
Al permitir conocer la posición que tiene un objeto en tiempo real, los receptores
GPS han facilitado el guiado de los móviles, entre ellos las máquinas utilizadas en el
campo agronómico.
a)Banderillero satelital
Las pulverizadoras terrestres y los aviones utilizados en las aplicaciones de
agroquímicos eran guiados tradicionalmente por operarios que se encontraban en los
extremos del lote a tratar. Dichos operarios utilizaban algún elemento fácilmente visible
desde lejos (ciertas veces banderas), por lo que fueron llamados banderilleros. Los
banderilleros indicaban a los operarios de la pulverizadora o avión por donde debían
avanzar para evitar superposiciones o faltantes (vulgarmente denominados “chanchos”)
con la pasada anterior. No obstante, la determinación de la distancia entre una pasada y
la siguiente era realizada a pasos por los banderilleros, con lo cual resultaba poco exacta.
Además, estos operarios se encontraban expuestos al contacto con los productos
aplicados cuando el avión o pulverizadora llegaba al extremo del lote con lo cual para
evitar el peligro de toxicidad se recurría a la utilización de trajes especiales que
resultaban frecuentemente incómodos (sobretodo en épocas calurosas) y por lo tanto se
abandonaba su uso. Otra dificultad de este sistema de guiado era la imposibilidad de
trabajos nocturnos, en tiradas largas o con cultivos altos, factores que dificultaban la
visibilidad de los banderilleros.
Con la aparición del sistema GPS, el guiado de la maquinaria está siendo
reemplazado progresivamente por los denominados “banderilleros satelitales” que
constan básicamente de un receptor GPS, una caja de mandos y un monitor con una guía
de luces y una pantalla de cristal líquido (LCD = Liquid Crystal Display) que indican al
274
operario la dirección que debe seguir en todo momento y algunos datos operativos.
Algunas de las pantallas presentan la tecnología Touch Screen (“pantalla sensible al
tacto”), es decir que el operario elige la función necesaria tocando directamente en la
pantalla. Estos elementos van montados en la cabina de la pulverizadora o del avión. En
algunos sistemas la guía de luces, la pantalla de cristal líquido, la caja de mandos y el
receptor GPS se encuentran integrados en una sola unidad.
Inicialmente se ingresa en el sistema mediante la caja de mandos el ancho de
aplicación y a continuación se recorre con la pulverizadora o avión uno de los lados del
lote a pulverizar marcando el inicio y el final del trayecto. Una vez finalizado el mismo,
el banderillero traza infinitas rectas paralelas a esta dirección inicial. Al girar el equipo
para la pasada siguiente, se visualiza en el monitor los metros faltantes para llegar a la
nueva línea de aplicación. Cuando se toma esta nueva línea, el operario se guía por la
barra de luces. En general las luces centrales de color verde indicarán que se avanza por
la línea correcta. En caso de encenderse las luces rojas más alejadas del centro, estarán
indicando el sentido del desvío o de la corrección que debe hacerse, de acuerdo a como
se haya programado el sistema. Asimismo puede ajustarse la sensibilidad de la barra de
luces de manera que cada luz roja que se encienda indique un mayor o menor desvío de
la línea correcta (cada luz puede indicar un desvío de 0,1m a 1m). De acuerdo al modelo
utilizado en la pantalla pueden visualizarse el número de pasada, la velocidad de
aplicación, la dirección, la dosis de aplicación, el caudal, la presión de trabajo, el desvío
con respecto a la línea de aplicación, el área aplicada, la distancia recorrida, la fecha, la
hora y las coordenadas terrestres entre otras variables.
Figura 324: Banderillero satelital con guía de luces
Asimismo, estos sistemas permiten el guiado en terrenos con curvas como lotes
irregulares, aterrazados o con obstáculos como montes, construcciones, lagunas, etc. y
posibilitan calcular el área efectiva en que se ha realizado la aplicación. Otra de las
opciones presentes en algunos sistemas consiste en la de almacenar en la memoria todos
los datos del tratamiento, posición por posición, pudiendo cotejarse a posteriori en
gabinete, la efectividad del tratamiento y la ausencia de faltantes (chanchos),
visualizando en un “mapa de aplicación” el recorrido efectuado. Existe también la
275
función de pausa-retorno, que permite detener la aplicación en cualquier punto de un
trayecto (por ejemplo para recargar producto) y reubicar dicho punto. La barra de luces
indicará al operario la dirección que debe seguir para encontrar la línea donde se
interrumpió la aplicación y en la pantalla aparecerá a modo de cuenta regresiva, los
metros faltantes para llegar al punto donde se discontinuó la aplicación. Otra de las
utilidades que brindan alguno de estos sistemas es una alarma que indica al operador que
la zona en la que va a aplicar ya ha sido tratada (“alarma de zona ya tratada”).
b)Autoguiado
También llamado Autopilot, consiste en un sistema de control de la dirección (ya
sea mecánica o hidráulica) del móvil (tractor, cosechadora, pulverizadora), que actuando
en conjunto con un banderillero satelital permiten el desplazamiento del vehículo a lo
largo de un trayecto predeterminado aliviando así la tarea de conducción del operario.
Puede ser usado en trayectos de línea recta o curvos. Con esta tecnología (de “manos
libres”) el trabajo principal del operario deja de ser la conducción para pasar a ser el
control en pantalla del trabajo que va realizando.
Figura 325: Dirección equipado con sistema de Autoguiado
Monitoreo de rendimiento en cosecha
Antes del arribo de la tecnología GPS a la agricultura, cuando eran cosechados
los lotes se obtenía como dato el peso total de granos y al dividirlo por la superficie del
lote se calculaba el rendimiento (kg/ha). En función de los valores obtenidos de
rendimiento se clasificaban a los lotes por su potencial productivo (comparación entre
lotes). No obstante, el resultado obtenido representaba el rendimiento medio del lote,
pero dentro de un mismo lote podían existir diferencias de rendimiento debidas
fundamentalmente a causas edáficas (diferente cantidad de nutrientes o limitaciones
como tosca, horizontes endurecidos, sodio, sal) y topográficas (diferencias de relieve
que favorecen la acumulación de agua en lugares bajos en detrimento de las lomas) por
lo que el rendimiento en distintas zonas del lote podía distar en gran medida de la media.
Además, el advenimiento de la siembra directa en Argentina condujo a muchos
productores a quitar alambrados internos de sus campos (que originalmente dividían el
establecimiento de acuerdo a la capacidad productiva de los ambientes) para administrar
parcelas más grandes acordes a las máquinas de mayor ancho de labor. Con esto, los
lotes con distinta capacidad productiva, pasaron a ser manejados uniformemente y se
perdió la diferenciación ambiental previamente delimitada con los alambrados.
Con el advenimiento del GPS se ideó un sistema de monitoreo de rendimiento en
la cosecha que permite determinar el rendimiento en cada sector de un lote y de esta
276
forma reconocer ambientes con diferente capacidad productiva (variabilidad
intraparcelaria), con el objetivo de manejar esos ambientes en forma diferencial a
posteriori.
Un monitor de rendimiento de cosecha consta de una consola o monitor provisto
de una botonera para ingresar información, un receptor GPS que indica a la consola las
coordenadas en cada momento y numerosos sensores montados en distintos lugares de la
cosechadora que miden permanentemente flujo de grano, humedad del grano y
velocidad de avance. Además poseen un sensor de altura de la plataforma de la
cosechadora de manera de comenzar a contabilizar la superficie cosechada y registrar
datos cuando la plataforma se encuentra por debajo de un determinado nivel (debido a
que habitualmente en las cabeceras y cuando no están cosechando, los maquinistas
levantan el cabezal). Todos estos sensores transmiten la información a la consola. Antes
de comenzar a trabajar debe incorporarse al sistema el ancho de corte del cabezal y el
porcentaje de humedad al que se quiere calcular el valor de rendimiento final. Asimismo
debe cargarse el nombre del lote y datos de calibración de los distintos sensores.
Al multiplicar el ancho de corte por la velocidad de avance, el sistema puede
calcular la capacidad operativa (ha/hora) del equipo y asociando a este dato el flujo de
grano cosechado (llevado a un valor de humedad de referencia de acuerdo al valor
determinado por el sensor de humedad del grano) pueden determinarse los kg/ha en cada
sector de la parcela que se está cosechando. Cada uno de estos valores estará
georreferenciado, es decir, cada valor de rendimiento estará asociado a determinadas
coordenadas geográficas brindadas por el receptor GPS.
En la Tabla 67 se analizan los datos ingresados, medidos y calculados.
Posición
Velocidad
de avance
(km/h)
Ancho de
corte
(m)
Flujo de
granos
(kg/hora)
Humedad
del grano
(%)
Rendimiento
seco
(kg/ha)
GPS Sensado Valor
ingresado Sensado Sensado Calculado
Tabla 67: Datos ingresados, medidos y calculados en el monitor de rendimiento
El cálculo que realizaría el sistema para obtener el rendimiento sería:
(entre corchetes se colocan las unidades de cada parámetro utilizado)
𝑅𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = =FG
V. A=
kg
hora
m
hora . m
=kg
m2 x 10000
m2
ha=
kg
ha
Siendo
FG = Flujo de granos corregido a un % de humedad determinado de acuerdo a la
humedad sensada y al valor de flujo de grano húmedo
V = velocidad de avance de la cosechadora
A = ancho de corte del cabezal de la cosechadora
Nótese que al final se ha incorporado el factor de conversión 10000 m2/ha para
pasar de kg/m2 a kg/ha.
277
En el monitor se pueden visualizar durante el momento de la cosecha el
rendimiento instantáneo y promedio, las hectáreas cosechadas, la velocidad de avance, la
humedad del grano, la distancia recorrida, los kg totales cosechados, la fecha y la hora.
La información de cosecha es guardada en la memoria interna y/o en una tarjeta de
memoria para luego exportar y analizar los datos obtenidos con programas específicos
en una computadora y volcar el conjunto de datos en una tabla y/o confeccionar el mapa
de rendimiento del lote. Se puede especificar la frecuencia de adquisición de datos, es
decir el intervalo de tiempo entre una toma de datos y la siguiente. Puede calcularse el
área que le corresponde a cada dato individual tomado en función de la velocidad, ancho
del cabezal y frecuencia de adquisición de datos. Adoptando una frecuencia de
3segundos, con una cosechadora de 5,6m de ancho de cabezal (8 hileras de maíz
sembradas a 0,7m) que avanza a 7km/hora (1,94m/s) el área resultará
A . V . T = 5,6m . 1,94m/s . 3s = 35,59m2
Por lo que cada valor registrado representará el rendimiento en una superficie de
casi 36m2. Con esta frecuencia se estarían registrando 277 valores de rendimiento por
hectárea, aumentando significativamente el caudal de información dentro de una parcela.
Figura 326: Monitores de rendimiento
Mapas de rendimiento
Con el análisis posterior de la información obtenida por el monitor de
rendimiento pueden identificarse los distintos ambientes dentro de un lote de acuerdo a
su capacidad productiva elaborando los “mapas de rendimiento”. Los mapas de
rendimiento son representaciones gráficas que con distintas tonalidades o intensidades
278
de color (claro a oscuro) representan diferentes rangos de rendimiento dentro de un lote
cosechado y son el resultado del análisis y procesamiento de los datos adquiridos por un
monitor de rendimiento georreferenciado (equipado con receptor GPS). Los datos
registrados por los monitores de rendimiento tienen un patrón de variación continuo, es
decir no se encuentran discriminados en rangos, por lo que un primer paso será
agruparlos en diferentes intervalos. A veces sencillamente se utilizan rangos
equidistantes (por ej: - de 1000kg; 1000-2000kg; 2000-3000kg; + de 3000kg). En otras
ocasiones se recurre al cálculo del rendimiento relativo, resultado de relacionar el
rendimiento parcial con la media del lote, así una zona de rendimiento relativo de 1,25
implica que dicho sector presenta un 25% más de rinde que la media (por ej: -0,5; 0,5 a
0,75; 0,75 a 1; 1 a 1,25; 1,25 a 1,5; + de 1,5). También suele recurrirse a herramientas
estadísticas como el cálculo del desvío estándar. Nótese que en el primer ejemplo
existen 4 rangos y en el segundo 6. Se aconseja que el número de rangos no sea excesivo
debido a que se dificulta la interpretación de los resultados. Los mapas de rendimiento
suelen constituir el punto de partida para iniciar un manejo diferencial del lote.
Figura 327: Mapa de rendimiento de trigo realizado mediante rangos de 400kg con
escala de colores. Obsérvese como eje de ordenadas la dirección West (oeste) y en
abscisas South (sur). Asimismo se puede ver a la izquierda información adicional
(Nombre del campo, hectáreas, fecha, área cosechada, cultivo = trigo, rendimiento
medio, mínimo y máximo)
279
Figura 328: Mapa de rendimiento de maíz. Obsérvese la amplia variabilidad en el
rendimiento, existiendo sectores de menos de 25 quintales por hectárea a sectores con
más de 75 (debido principalmente a la variabilidad del suelo y relieve)
Mapas de calidad (proteína y aceite)
Las partidas de granos al ser comercializadas suelen ser bonificadas o castigadas
de acuerdo al contenido proteico y de aceite de los granos. Debido a esto, se está
evaluando en la estación experimental del INTA Manfredi, un sensor que montado en la
cosechadora mide en tiempo real estos parámetros. Realizando muestreos previos del
lote a cosechar se pueden reconocer diferentes zonas con diversa calidad para
cosecharlas siguiendo trayectos que permitan una clasificación diferencial del grano para
posteriormente poder comercializarlo de manera más ventajosa. Luego de la cosecha
puede elaborarse un “mapa de calidad”.
Análisis, administración y almacenamiento de la información
Luego de obtenidos los mapas de rendimiento los datos se relacionan con mapas
de rendimiento de diferentes años y diferentes cultivos, así como con imágenes
satelitales, fotos aéreas y datos cartográficos y de relevamiento particular que se hayan
realizado en el establecimiento (planos de curvas de nivel, levantamientos planimétricos,
etc.). Estos datos son habitualmente manejados e interpretados con programas de
computación conocidos por la sigla inglesa “GIS” (Geografic Information System) o su
traducción española “SIG” (Sistemas de Información Geográfica). Un SIG es un
programa que consta de una base de datos específica ideada para almacenar, recuperar,
analizar, procesar y mostrar datos cartográficos georreferenciados. Estos programas
permiten administrar la información georreferenciada en distintas capas (layers) cada
una de las cuales representa información particular: por ej: Capa 1: plano de curvas de
nivel, Capa 2: mapa de rendimiento de soja campaña 2000-2001, Capa 3: imagen
280
satelital Landsat de diciembre de 2001, Capa 4: foto aérea de marzo de 2002, Capa 5:
Carta IGM 3563-28-3, Capa 6: Carta de suelos del INTA, Capa 7: mapa de rendimiento
de maíz campaña 2001-2002, etc. Todos los puntos en las capas se encuentran
georreferenciados, es decir que están identificados por su latitud y longitud. Estos
programas permiten relacionar las capas entre sí y de esta manera analizar las causas de
las diferencias de rendimiento en los lotes, (por ejemplo relacionar el mapa de
rendimiento con el mapa de suelos, o el de curvas de nivel) con el objetivo de definir
diferentes ambientes productivos. Asimismo, permiten comparar los rindes a lo largo del
tiempo para confirmar que los máximos rindes se dan siempre en el mismo lugar (por
ejemplo, lugares con problemas de salinidad siempre tendrán menores rendimientos) o
varían de acuerdo al año climático (por ejemplo en un año seco los mayores rindes
pueden darse en los lugares más bajos, mientras que en años sin limitantes de humedad
pueden aparecer en las lomas). Los SIG brindan asimismo la posibilidad de almacenar y
manejar información relevante de los lotes a lo largo del tiempo que previamente era
registrada manualmente en planillas de campo con la consiguiente posibilidad de
pérdida, desorden, deterioro, etc.
Figura 329: Capas de un Sistema de Información Geográfica
A continuación se desarrolla un ejemplo de una parcela administrada mediante
un SIG presentado por la empresa A&T (Servicios y Negocios Agropecuarios) en el 6to
Curso de Agricultura de Precisión (INTA Manfredi, 2006).
Curvas de nivel
Ríos
Vías de comunicación
Suelos
Geología
Parcelamiento
Datos puntuales
relevados
Imagen satelital
281
Imagen satelital Foto aérea Mapa de rendimiento
maíz 2002-2003
Mapa de ambientes Materia orgánica (%) Fósforo del suelo (ppm)
Figura 330: Distintas capas (layers) de un SIG de una parcela
Muestreo dirigido de suelos
En ciertas ocasiones la información adquirida por los mapas de rendimiento
sumada a la información recabada previamente no es suficiente para definir las zonas de
manejo o determinar las limitantes de cada ambiente por lo que se recurre al muestreo
dirigido de los ambientes, es decir se muestrea cada ambiente en particular y las
muestras son analizadas en forma separada, de manera de evidenciar diferencias en
nutrientes (N, P, K), materia orgánica, pH, salinidad, sodicidad, limitantes físicas, etc. Se
determinan previamente las coordenadas de cada lugar de muestreo y con la ayuda del
receptor GPS se localiza dicho lugar a campo tomándose las respectivas muestras. Con
esta metodología se reemplaza el muestreo aleatorio utilizado durante mucho tiempo.
Una vez analizadas las muestras y detectadas las causas que causan la variación en los
diferentes ambientes, se elaboran en base a conceptos agronómicos las prescripciones
(dosis de semilla y fertilizante) consideradas adecuadas para cada ambiente. Es aquí
282
donde numerosos estudiosos de la temática consideran que comienza efectivamente la
“agricultura de precisión”.
Figura 331: Muestreo dirigido de suelos de acuerdo a los ambientes preestablecidos
Tecnología de dosis variable
La variabilidad intraparcelaria ha existido siempre, solo que hasta el
advenimiento de la tecnología GPS se aceptaba sin posibilidad de conocerla y manejarla.
Uno de los grandes aportes del GPS a la agricultura ha sido la posibilidad de manejar
esta variabilidad. La agricultura de precisión (del vocablo inglés “Precission Farming”)
se define como el conjunto de desarrollos tecnológicos tendientes a posibilitar el manejo
optimizado del sistema agrícola de modo diferencial dentro de la parcela. Quiere decir
que las dosis uniformes de kilos de semilla y fertilizante que se empleaban en la
agricultura tradicional en una parcela pasan a ser variables a manejar de acuerdo a los
ambientes definidos previamente. Es por ello que a esta tecnología se la ha denominado
“Tecnología de dosis variable” (del inglés “Variable Rate Technology”, VRT). En
español también se utiliza la sigla MSE (Manejo de Sitio Específico) debido al manejo
diferencial que reciben los distintos ambientes.
Cuando con diferentes mapas de rendimiento se comprueba que la variabilidad
de un lote es lo suficientemente acotada (o los lugares que difieren sustancialmente del
rendimiento medio ocupan una superficie pequeña) podrá continuarse el tratamiento de
dichos lotes de manera uniforme e incluso podrán utilizarse dichas parcelas
(aprovechando su poca variabilidad) para realizar ensayos comparativos pudiendo
cotejar la respuesta a distintas densidades de siembra, dosis de fertilizantes, épocas de
siembra, variedades, etc., generando de esta forma ensayos locales de gran valor para el
establecimiento.
De acuerdo a las recomendaciones del INTA Manfredi tiene sentido aplicar la
tecnología de manejo de sitio específico cuando las diferencias de rendimiento son
importantes (por ejemplo cuando los sitios se diferencian en más del 20% de la media
del lote) y/o cuando los sitios (no más de 4 por lote) representan un área no menor a
10ha por lo que el lote a trabajar con VRT no es menor a 40ha. Lógicamente estos
valores son orientativos porque dependen del grado de variabilidad de los lotes, la
consistencia de la variabilidad, la posibilidad de manejarla y si el año es húmedo o seco.
Además hay que tener en cuenta que estos valores disminuirán con el tiempo por el
abaratamiento de la tecnología.
283
Figura 332: Mapa de aplicación diferencial de insumos (fosfato diamónico). Obsérvese
la recomendación de mayor aplicación de insumos en las zonas de más potencial
a)Siembra y fertilización de base variable
Para llevar adelante la recomendación diferencial en los distintos ambientes
escogidos debe contarse con una sembradora provista de un sistema de dosificación
variable de semilla y fertilizante. Este sistema está compuesto por una consola que
funciona como controlador, un receptor GPS, y un sistema hidráulico o mecánico de
dosificación variable. En la consola se carga mediante una tarjeta de memoria la
prescripción recomendada luego de analizar los distintos ambientes. En dicha
prescripción a cada punto del lote (representado por sus coordenadas geográficas) le
corresponderá una dosis de fertilizante y de semilla. En el momento de la siembra, la
consola recibirá la posición en que se encuentra por parte del receptor GPS y en función
de la prescripción de semilla y fertilizante para ese lugar, enviará una orden a los
sistemas de dosificación variable (ya sea en forma mecánica o hidráulica) haciéndolos
girar más rápido (para aumentar la dosis de semilla y/o fertilizante) o más despacio (para
disminuir la dosis).
Monitoreo de siembra
Además de permitir la dosificación variable de insumos muchas de las
sembradoras actuales permiten controlar numerosos aspectos relacionados con la
siembra a partir de los denominados “monitores de siembra”. Los monitores de siembra
constan de una consola que ubicada en el tractor recibe la señal de varios sensores
localizados en la sembradora y en el tractor pudiendo ser operados en forma manual o en
forma automática mediante GPS para realizar la aplicación en tasa variable según el
mapa de prescripción de semilla y fertilizante. Permiten visualizar en una pantalla
ubicada en el tractor (y almacenar en una tarjeta de memoria) la posición de la
284
sembradora (a partir de las coordenadas brindadas por el GPS), la velocidad de avance,
la densidad de siembra (semillas por metro, semillas por hectárea, distancia entre
semillas), el área sembrada (totalizador de área), el área restante por sembrar, la dosis de
fertilizante empleada, el consumo de combustible total o por lote, fecha y hora de inicio
y finalización de tareas, horas trabajadas totales y por lote entre otros. Asimismo, cada
línea de siembra es controlada por un sensor que a partir de una señal lumínica y/o
sonora en la pantalla del monitor avisará de la falta de semilla y/o fertilizante, la
obstrucción del tubo de bajada de semilla, la desconexión o suciedad en la óptica de
alguno de los sensores. Esta serie de controles facilita la detección de fallas evitando
revisiones periódicas manuales en los trenes de siembra. Existen sensores lumínicos y
sonoros que alertan por velocidad de siembra inadecuada (exceso o defecto de
velocidad), aviso de recarga de tolva, avisos de mantenimiento periódico del tractor
como cambios de aceite, filtros, correas, etc. Algunas máquinas poseen el control de
cilindros que reemplaza el accionamiento manual del marcador de línea y la
subida/bajada de la sembradora en las cabeceras liberando al tractorista de estas acciones
para concentrarse en las operaciones de giro. Algunos monitores de siembra poseen
integrado el sistema de banderillero satelital y sus prestaciones.
Figura 333: Monitores de siembra
Figura 334: Mapa de aplicación de fertilizante a la siembra
285
b)Fertilización variable usando NDVI
El Índice de Vegetación Normalizado Diferencial ó índice verde (NDVI del
inglés Normal Differential Vegetation Index) es probablemente uno de los índices más
utilizados en aplicaciones de teledetección. El mismo representa una medida de la
cobertura vegetal y su vigorosidad. La vegetación densa y sana presenta valores altos,
mientras que zonas de vegetación pobre y dispersa, o sin vegetación, poseen valores
bajos. Superficies como el agua, hielo o nieve también tienen valores bajos.
La vegetación difiere de otras coberturas del terreno por absorber fuertemente
longitudes de onda correspondientes a la región del rojo y reflejar las del infrarrojo
cercano. El NDVI es una medida de la diferencia normalizada entre las reflectancias del
rojo y del infrarrojo cercano:
𝑁𝐷𝑉𝐼 =𝑖𝑟𝑐 − 𝑟
𝑖𝑟𝑐 + 𝑟
siendo irc el valor de reflectancia en el infrarrojo cercano y r el valor de reflectancia en
el rojo. El rango de valores del NDVI oscila entre –1 y +1.
El NDVI es utilizado en una amplia variedad de aplicaciones, tales como el
seguimiento de las condiciones de la vegetación para proporcionar alertas rápidas de
sequías y deficiencias nutricionales, localizar zonas de potencial desarrollo de plagas y/o
enfermedades. En el ámbito forestal es utilizado en el seguimiento de plagas y
enfermedades, deforestación, desarrollo forestal, etc.
Utilizando imágenes satelitales o fotografías aéreas pueden determinarse zonas
con diferentes necesidades de fertilizantes (analizando y evaluando los diferentes NDVI
presentes) y a partir de las mismas elaborar mapas de prescripción de fertilización para
realizar la aplicación diferencial de nutrientes en función de las reales necesidades del
cultivo en cada lugar del lote utilizando fertilizadoras adaptadas a sistemas de manejo de
sitio específico. En la actualidad se está evaluando la utilización de sensores que
montados en la parte delantera de los tractores o pulverizadoras efectúan mediciones de
índice verde sobre los cultivos implantados y a partir de los datos recolectados realizan
la prescripción diferencial de aplicación de fertilizantes nitrogenados en tiempo real (en
un rango de dosis mínimo-máximo fijado previamente).
Figura 335: Imagen NDVI de la parcela
286
El círculo de la agricultura de precisión
El conjunto de la tecnología denominada “agricultura de precisión” puede ser
considerado como un círculo en el que se emplean datos georeferenciados (cada dato
está vinculado a una posición de latitud y longitud). Como en cualquier círculo es difícil
definir un inicio y un fin ya que todo es un continuo. Quizás se pueda iniciar el ciclo en
el estudio de la variabilidad espacial del suelo a partir de mapas de rendimiento,
imágenes satelitales, fotos aéreas, mapas de índice verde (NDVI). Diferenciados los
sitios pueden realizarse estudios edáficos que expliquen las diferencias halladas. Luego
de analizar los resultados se puede llegar a una recomendación de siembra y fertilización
variable. Los resultados de la tecnología recomendada podrán ser evaluados con los
nuevos mapas de rendimiento que servirán de insumo para recomenzar el ciclo. Las
diversas etapas del ciclo han sido representadas en la Figura 336.
Figura 336: Ciclo de la agricultura de precisión
El punto crítico del sistema es evidentemente realizar la recomendación adecuada
para permitir la maximización de la relación beneficio-costo. Con la tecnología actual es
posible obtener y almacenar datos con facilidad así como aplicar dosis variable de
insumos pero el interpretar resultados sigue siendo una actividad netamente cualitativa,
sin automatismos. Es decir, no existe computadora ni programa que realice una
prescripción de semilla y fertilizante a partir de imágenes satelitales, mapas de
rendimiento y análisis de suelos. Además, en una agricultura de secano como lo es la
predominante en la pradera pampeana, donde la provisión de agua de lluvia a los
cultivos representa en numerosas ocasiones el insumo limitante, difícilmente pueda
asegurarse el efecto de la densidad de siembra y dosis de fertilizante que maximize el
beneficio. Es por ello que en esta actividad los profesionales del agro deberán recurrir a
Recomendaciones
sitio-específicas
Muestreo de suelo y
cultivo con GPS Cosecha con monitor
de rendimiento y GPS
Mapa de rendimiento
Análisis de datos con
GIS y soft estadísticos
Control de plagas y enfermedades con dosis
variable
Fertilización con
dosis variable
Evaluación a campo
Aplicación de datos
Siembra y fertilización
variable sitio-específica
287
relacionar conocimientos aprendidos en materias de diversa índole. Evidentemente, el
trabajo de recomendación sitio-específica debería ser abordado interdisciplinariamente
por distintos especialistas como genetistas, edafólogos, climatólogos, estadísticos y aún
topógrafos (la determinación de los relieves es fundamental en la acumulación de agua
en distintos sectores de un campo).
Otras aplicaciones
a)Control de velocidad de cosecha y siembra
La eficiencia de las labores de cosecha y siembra es influenciada en gran medida
por la velocidad de avance con que se realicen dichas operaciones. En la cosecha las
pérdidas se incrementan considerablemente si se superan determinados límites. En la
siembra, la precisión conseguida (uniformidad en la distancia entre semillas y la
profundidad de siembra) también varían negativamente si se incrementan las
velocidades por encima de las recomendables. Si los equipos de cosecha y siembra están
provistos con la tecnología GPS pueden registrar (además de los mapas de rendimiento y
siembra), los datos de velocidad de avance del móvil (cosechadora, tractor-sembradora)
a lo largo del lote durante el período de trabajo. De esta manera se puede supervisar que
la labor del operario o contratista se haya efectuado dentro de los límites aceptables. En
caso de detectar una velocidad superior a la recomendable en algún sector del lote se
podría ir a dicho lugar (a partir de las coordenadas geográficas) y verificar si las
irregularidades de velocidad se han traducido en mayores pérdidas de granos o mayor
desuniformidad en la siembra.
b)Registro y seguimiento de las tareas desarrolladas
La maquinaria provista de la tecnología GPS, es susceptible de recibir un
seguimiento continuo de su empleo. Así, puede contabilizarse las horas de uso que
recibe (importante para determinar los eventos de mantenimiento periódico y determinar
las horas de trabajo de los operarios), los kilómetros recorridos, la superficie trabajada,
el tiempo demandado en cada labor para cada lote y muchos otros datos estadísticos que
puedan resultar de relevancia a la hora de administrar el uso de la maquinaria.
c)Monitoreo del grano cosechado
Los monitores de rendimiento permiten determinar los kg totales cosechados, con
lo cual puede tenerse una idea bastante aproximada de la masa total de grano a
comercializar para minimizar la posibilidad de discrepancias en la pesada y en el
transporte del grano (por parte del transportista, acopiador o balanza).
288
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Proyecto Agricultura de Precisión. INTA Manfredi. Desde Figura 244
hasta Figura 249 así como la Figura 326, Figura 327 y Figura 328 han sido
tomadas de este documento www.agriculturadeprecision.org
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Negocios Agropecuarios. 6to Curso de Agricultura de Precisión y 1ra Expo de
Máquinas Precisas. Manfredi, Córdoba, 2006. La Figura 330, Figura 331, Figura
332, Figura 334 y Figura 335 han sido tomadas de esta disertación.
Volante, J.N., Bianchi, A.R. (2003) Índice de vegetación normalizado
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