新知探究新知探究 题型探究题型探究 感悟提升感悟提升

2.2 　对数函数2． 2.1 　对数与对数运算

第 1 课时　对　数

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【课标要求】1 ．理解对数的概念，掌握对数的基本性质．2．掌握指数式与对数式的互化．【核心扫描】1 ．指数式与对数式的互化． ( 重点 )

2 ．对数的底数与真数的范围． ( 易错点 )

3 ．对数性质及对数恒等式． ( 难点 )

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新知导学1．对数的概念一般地，如果 ax＝ N(a>0，且 a≠1)，那么数 x叫做

以 a为底 N的 ，记作 x＝ .a叫做对数的底

数， N叫做 ．

温馨提示：对数符号 logaN只有在 a>0， a≠1且 N>0

时才有意义．

对数 logaN

真数

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2 ．特殊对数常用对数：以 10为底数的对数，记作 .

自然对数：以 e为底数的对数，记作 ，其中 e＝ 2.7

18 28…

3．对数与指数之间的关系当 a>0， a≠1时， .

lg N

ln N

ax＝ N⇔x＝ logaN

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4 ．对数的基本性质

性质 1 没有对数

性质 2 1的对数是 ，即 loga1＝ (a>0且 a≠1)

性质 3 底数的对数是 ，即 logaa＝ (a>0且 a≠1)

负数和 0

0 0

1 1

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互动探究探究点 1 幂运算和对数运算有什么关系？提示　在关系式 ax＝ N中，已知 a和 x求 N的运算称为求幂运算，而如果已知 a和 N，求 x，就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．

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探究点 2 是不是任何指数式都可以化为对数式？

提示　不是．指数式与对数式互化公式 ax＝ N⇔x＝ logaN

的成立条件是 a>0， a≠1且 N>0，不满足条件不能互化．如

(－ 3)2＝ 9就不能写成 log(－ 3)9＝ 2.

探究点 3 alogaN＝ N(a>0， a≠1， N>0)成立吗？为什么？

提示　成立．设 ab＝ N，则 b＝ logaN，∴ ab＝ alogaN＝

N.

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类型一 指数式与对数式的互化

【例 1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)2－7＝1

128；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1；

(4) 32＝－5；(5)lg 0.001＝－3.

[思路探索] 利用 ax＝N⇔ x＝logaN(a>0，a≠ 1，N>0)互化．

解 (1)log21

128＝－7.(2)log327＝a.

(3)lg 0.1＝－1.(4)

1

2－5＝32.(5)10－3＝0.001.

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[ 规律方法 ] 　 1.解答此类问题的关键是要搞清 a， x， N

在指数式和对数式中的位置．2．若是指数式化为对数式，关键是看清指数是几，再写成对数式；若是对数式化为指数式，则要看清真数是几，再写成指数式．

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【活学活用 1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1) x＝6；(2)ln e＝1；(3)43＝64.

解 (1)( 3)6＝x.(2)e1＝e.(3)log464＝3.

类型二 对数基本性质的应用

【例 2】 求下列各式中 x的值：

(1)log2(log4x)＝0；

(2)log3(lg x)＝1；

(3)log( 2－1)1

2＋1＝x.

*

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[思路探索] 合理运用题中提供的信息，结合对数的性质及对

数、指数的关系求解．

解 (1)∵ log2(log4x)＝0，∴ log4x＝20＝1，

∴ x＝41＝4.

(2)∵ log3(lg x)＝1，∴ lg x＝31＝3，∴ x＝103＝1 000.

(3)∵ log( 2－1)1

2＋1＝x，

∴ ( 2－1)x＝1

2＋1＝ 2－1，∴ x＝1.

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[ 规律方法 ] 　 1.对数运算时的常用性质： logaa＝ 1， loga

1＝ 0.

2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．

【活学活用 2 】 将例 2 “中 (1)” “换成 log8(lg(log2x))＝ 0”，

“把 (2)” “换成 lg(ln x)＝ 1”，分别求 x的值．

解　 (1)log8(lg(log2x)) ＝ 0 ，∴ lg(log2x)＝ 1，

∴log2x＝ 10，∴ x＝ 210.

(2)lg(ln x)＝ 1，∴ ln x＝ 10，∴ x＝ e10.

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类型三 对数恒等式的简单应用

[思路探索] 利用指数幂的运算性质和对数恒等式化简求

值．

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[ 规律方法 ] 　 1.对数恒等式 aloga

N＝ N要注意格式： (1)它

们是同底的； (2)指数中含有对数形式； (3)其值为对数的真数．2．对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．

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易错辨析　忽视对数中底数的取值范围致错【示例】 已知 log2(logx4)＝ 1，求 x的值．

[ 错解 ] 　由 log2(logx4)＝ 1，得 logx4＝ 2.

∴x2＝ 4，从而 x＝ ±2.

[ 错因分析 ] 　 在对数 logaN中，底数 a>0且 a≠1.本题的求解中忽略对数中底数的限制条件，导致增解．[ 正解 ] 由 log2(logx4) ＝ 1 ，得 logx4 ＝ 2 ，∴x2＝ 4.又 x>0，且 x≠1，∴ x＝ 2.

[ 防范措施 ] 　 1.对数的表达式 x＝ logaN中底数 a须满足 a

>0且 a≠1，只有满足这一条件式子才能够成立，在解题时要时时记住这一点．2．理解对数的定义，灵活进行指数与对数的相互转化．

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课堂达标1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以 10为底的对数叫做常用对数；④以 e为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为 ( )．

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

解析　对于②， (－ 2)3＝－ 8不能化为对数式，∴②不正确，其余正确．答案　 C

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2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是 ( )．

A．e0＝1与 ln 1＝0

B． ＝12与 log8

12＝－

13

C．log39＝2与 912＝3

D．log77＝1与 71＝7

解析 由指对互化的关系：ax＝N⇔ x＝logaN可知 A，B，

D都正确；C中 log39＝2⇔ 9＝32.

答案 C

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3．若 log5(1－ 2x)＝ 1，则 x＝ ________.

解析　由题意， 1－ 2x＝ 5，∴ x＝－ 2.

答案　－ 2

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课堂小结1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，

即 ab＝ N⇔logaN＝ b(a>0，且 a≠1， N>0)，据此可得

两个常用恒等式： (1)logaab＝ b； (2)alog

aN＝ N.

2．在关系式 ax＝ N中，已知 a和 x求 N的运算称为求幂运

算，而如果已知 a和 N求 x的运算就是对数运算，两个

式子实质相同而形式不同，互为逆运算．

3．指数式与对数式的互化