Γραμμική ΄Αλγεβρα

΄Υπαρξη - Μοναδικότητα - Τάξη 1 - Μετασχηματισμοί

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

14 Νοεμβρίου 2014

2η εξέταση προόδου

Ï θα πραγματοποιηθεί 9-10 το Σάββατο 22

Νοεμβρίου στο Αμφιθέατρο Κορδάτου

Ï εξεταστέα ύλη την έως και την Παρασκευή

(σήμερα) διδαχθήσα.

Ï υποχρεωτική και αφορά μόνον πρωτοετείς.

΄Υπαρξη Λύσης

Το Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννοι στήλες του A παράγουν τον Rm

mΤο Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννr=m (και m≤ n)

mΕάν r=m (και m≤ n) τότε υπάρχει δεξιόςαντίστροφος του A

΄Υπαρξη Λύσης

Το Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννοι στήλες του A παράγουν τον Rm

mΤο Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννr=m (και m≤ n)

mΕάν r=m (και m≤ n) τότε υπάρχει δεξιόςαντίστροφος του A

΄Υπαρξη Λύσης

Το Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννοι στήλες του A παράγουν τον Rm

mΤο Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννr=m (και m≤ n)

mΕάν r=m (και m≤ n) τότε υπάρχει δεξιόςαντίστροφος του A

΄Υπαρξη Λύσης

Το Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννοι στήλες του A παράγουν τον Rm

mΤο Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννr=m (και m≤ n)

mΕάν r=m (και m≤ n) τότε υπάρχει δεξιόςαντίστροφος του A

΄Υπαρξη Λύσης

Το Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννοι στήλες του A παράγουν τον Rm

mΤο Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννr=m (και m≤ n)

mΕάν r=m (και m≤ n) τότε υπάρχει δεξιόςαντίστροφος του A

Μοναδικότητα Λύσης

Το Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οιστήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

mΤο Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b αννr= n (και n≤m)

mΕάν r= n (και n≤m) τότε υπάρχει αριστερόςαντίστροφος του A

Μοναδικότητα Λύσης

Το Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οιστήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

mΤο Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b αννr= n (και n≤m)

mΕάν r= n (και n≤m) τότε υπάρχει αριστερόςαντίστροφος του A

Μοναδικότητα Λύσης

Το Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οιστήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

mΤο Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b αννr= n (και n≤m)

mΕάν r= n (και n≤m) τότε υπάρχει αριστερόςαντίστροφος του A

Μοναδικότητα Λύσης

Το Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οιστήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

mΤο Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b αννr= n (και n≤m)

mΕάν r= n (και n≤m) τότε υπάρχει αριστερόςαντίστροφος του A

Μοναδικότητα Λύσης

Το Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οιστήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

mΤο Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b αννr= n (και n≤m)

mΕάν r= n (και n≤m) τότε υπάρχει αριστερόςαντίστροφος του A

΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης

Μια πιθανή λύση του Ax= b είναι ηx=Cb μια και Ax=ACb= b, μπορείόμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις

(C).Αν το Ax= b έχει λύση τότε αυτήθα είναι της μορφής x=BAx=Bb .

΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης

Μια πιθανή λύση του Ax= b είναι ηx=Cb

μια και Ax=ACb= b, μπορείόμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις

(C).Αν το Ax= b έχει λύση τότε αυτήθα είναι της μορφής x=BAx=Bb .

΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης

Μια πιθανή λύση του Ax= b είναι ηx=Cb μια και Ax=ACb= b,

μπορεί

όμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις

(C).Αν το Ax= b έχει λύση τότε αυτήθα είναι της μορφής x=BAx=Bb .

΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης

Μια πιθανή λύση του Ax= b είναι ηx=Cb μια και Ax=ACb= b, μπορείόμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις

(C).

Αν το Ax= b έχει λύση τότε αυτήθα είναι της μορφής x=BAx=Bb .

΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης

Μια πιθανή λύση του Ax= b είναι ηx=Cb μια και Ax=ACb= b, μπορείόμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις

(C).Αν το Ax= b έχει λύση τότε αυτήθα είναι της μορφής x=BAx=Bb .

Παράδειγμα

A=[

4 0 00 5 0

]

m= 2,n= 3,r= 2

Παράδειγμα

A=[

4 0 00 5 0

]m= 2,n= 3,r= 2

Πίνακες τάξης 1

A=

2 1 14 2 28 4 4−2 −1 −1

=

124

−1

[2 1 1

]

Κάθε πίνακας A τάξης 1 μπορεί ναγραφθεί στην μορφή A= uvT

Πίνακες τάξης 1

A=

2 1 14 2 28 4 4−2 −1 −1

=

124

−1

[2 1 1

]

Κάθε πίνακας A τάξης 1 μπορεί ναγραφθεί στην μορφή A= uvT

Πίνακες τάξης 1

A=

2 1 14 2 28 4 4−2 −1 −1

=

124

−1

[2 1 1

]

Κάθε πίνακας A τάξης 1 μπορεί ναγραφθεί στην μορφή A= uvT

Μετασχηματισμοί στον R2

Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)

με πολλαπλασιασμό πινάκων

Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax

Ï Δηλαδή

x→ y=Ax

Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.

Μετασχηματισμοί στον R2

Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)

με πολλαπλασιασμό πινάκων

Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax

Ï Δηλαδή

x→ y=Ax

Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.

Μετασχηματισμοί στον R2

Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)

με πολλαπλασιασμό πινάκων

Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax

Ï Δηλαδή

x→ y=Ax

Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.

Μετασχηματισμοί στον R2

Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)

με πολλαπλασιασμό πινάκων

Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax

Ï Δηλαδή

x→ y=Ax

Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.