a > 1 0 < a < 1 图

象

性 质

y

x0

y=1 y=1

y

x0定 义 域 : RR 值 域 : (0 ,+∞)过点 (0,1), 即 x=0 时 ,y = 1. 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

(0,1)(0,1)

复习回顾：复习回顾：函数 y = ax ( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函数 , 其中 x 是自变量 . 函数的定义域是 R.

考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡的残留物，利用 估计出土文物或古遗址的年代。

Pt5730

21log

t 能不能看成是 P 的函数？ 根据问题的实际意义可知，对于每一个碳 14含量 P ，通过对应关系 ，都有唯

一确定的年代 t 与它对应，所以， t 是 P 的函数。Pt

573021log

一般地，函数一般地，函数 y = logy = loga a xx (a(a ＞＞ 0,0, 且且 a≠ a≠ 1)1) 叫做叫做对数函数对数函数 .. 其中 其中 xx 是自变量是自变量 , , 函数函数的的定义域是（ 定义域是（ 0 , +∞0 , +∞ ））

判断：以下函数是对数函数的是 （ ）A y=log2(3x-2) B y=log(x-1)x

C y=log1/3x2 D y=lnx

例 1 求下列函数的定义域：2log )1( xy a )4(log )2( xy a

xy

311log )3( 7

x

y2log

1 )4(

求定义域：（ 4 ）对数的真数大于零，底数大于零不等于1.

在同一坐标系中用描点法画出对数函数 的图象。 xyxy

212 loglog 和

作图步骤 :: ① 确定定义域 ; ② 列表 ; ③ 描点、连线。

对数函数对数函数 ::y = logy = loga a xx (a (a ＞＞ 0,0, 且且 a≠ 1)a≠ 1)

图象与性质图象与性质

x 0.5 1 2 4 8xy 2logxy

21log

-3 -2 -1

y

x0

y ＝ log2x

1 2 3 4 5 6 7 8

54321

-1-2-3 y= log x

21

列 表这两个函数的图象有什么关系呢？

关于 x 轴对称

1 0 -1 -2 -3

-1 0 1 2 3

xy 2log xy21log和 的图象：

对数函数的图象和性质图

象

性质

(1) 定义域 : (0, +∞)(2) 值 域 : R(3) 过点 (1, 0), 即 x=1 时 , y=0.(4) 在 (0, +∞) 上是增函数 . (4) 在 (0, +∞) 上是减函数 .

y

o x(1, 0)

x=1y=logax (a>1)

a>1y

o x(1, 0)

x=1

y=logax

(0<a<1)

0<a<1

xy 2logxy 3log

xy 5log

x

1

y

o 1

当底数大于 1 时，底数越大，图象越靠近 x 轴

底数大小对图象的影响

1

o

y

x

x51log

x31log

x21log

1

底数大于零不等于 1 时，底数越小，图象越靠近 x 轴

底数大小对图象的影响

底数 a>1 时 , 底数越大 , 其图像越接近 x 轴。 底数 0<a<1 时 , 底数越小 , 其图像越接近 x 轴。

补充性质二

底数互为倒数的两个对数函数的图像关于 x 轴对称。补充性质一

图 形

1

0.5y=log x0.1y=log x

10y=log x

2y=log x

0 x

y

4

3

2

1

-1

-2

-3

2 4 6 8 10

y=log2x

4

3

2

1

-1

-2

-3

2 4 6 8 10

y=log2x3.4 8.5

例 8 、比较下列各组数中两个数的大小：（ 1 ） log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5

解：∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数且 3 . 4 ＜ 8 . 5 ∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5

例 8 、比较下列各组数中两个数的大小：（ 2 ） log 0 . 3 1 . 8 与 log 0 . 3 2 . 7解：∵ y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + ∞) 上是减函数

且 1 . 8 ＜ 2 . 7 ∴ log 0 . 3 1 . 8 ＞ log 0 . 3 2 . 7 1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1.2

-1.4

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

y=log0.3x

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1.2

-1.4

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

y=log0.3x

1.8 2.7

若若底数为同一常数底数为同一常数 ,, 则可由对数函数的则可由对数函数的单调性单调性直直接进行判断接进行判断 ..

例 8 、比较下列各组数中两个数的大小：（ 3 ） log a 5 . 1 与 log a 5 . 9

若若底数为同一字母底数为同一字母 ,, 则按对数函数的单调性则按对数函数的单调性对底数对底数进行分类讨论进行分类讨论 ..

( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 )

例 2 ：比较下列各组数中两个值的大小：（ 1 ） log 6 7 与 log 7 6

解：∵ log 6 7 ＞ log 6 6 = 1 且 log 7 6 ＜ log 7 7 =

1 ∴ log 6 7 ＞ log 7 6

（ 2 ） log 3 π 与 log 2 0 . 8解：∵ log 3 π ＞ log 3 1 = 0

且 log 2 0 . 8 ＜ log 2 1 = 0 ∴ log 3 π ＞ log 2 0 . 8

若若底数、真数都不相同底数、真数都不相同 ,, 则常借助则常借助 11 、、 00 、－、－ 11 等等中间量中间量进行比较进行比较

例 2 ：比较下列各组数中两个值的大小：（ 3 ） log 2 7 与 log 3 7

解：∵ log 7 3 ＞ log 7 2 ＞ 03log

12log

1

77

∴ log 2 7 ＞ log 3 7

（ 4 ） log 0 . 2 0 . 8 与 log 0 . 3 0 . 8解：∵ log 0 . 8 0 . 2 ＞ log 0 . 8 0 . 3且 log 0 . 8 0 . 2 、 log 0 . 8 0 . 3 ＞ 0

3.0log1

2.0log1

8.08.0

∴ log 0 . 2 0 . 8 ＜ log 0 . 3 0 . 8

若若真数为同一常数真数为同一常数 ,, 先用公式变为先用公式变为底数为同一常数底数为同一常数，，再利用对数函数的再利用对数函数的单调性单调性进行判断进行判断 ..

8lg 6lg)1(

4log 6log)3( 5.05.0

6.0log 5.0log)2( 1.01.0

4.1log 6.1log)4( 5.15.1

< >< >

口答：比较下列各题中两个值的大小

(1)(1) 若若底数为同一常数底数为同一常数 ,, 则可由对数函数则可由对数函数的的单调性单调性直接进行判断直接进行判断 ..(2)(2) 若若真数为同一常数真数为同一常数 ,, 先用公式先用公式变为底变为底数为同一常数数为同一常数，再利用对数函数的，再利用对数函数的单调性单调性进行判断进行判断 ..(3)(3) 若若底数为同一字母底数为同一字母 ,, 则按对数函数的则按对数函数的单调性单调性对底数进行分类讨论对底数进行分类讨论 ..(4)(4) 若若底数、真数都不相同底数、真数都不相同 ,, 则常借助则常借助 11、、 00 、－、－ 11 等中间量等中间量进行比较　进行比较　

比较两个对数值的大小的方法：

例 9 ：溶液酸碱度是通过 pH 刻画的。 pH 的计算公式为 pH=-lg[H+] ，其中 [H+] 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔 / 升。(1) 、根据对数函数性质及上述 pH 的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；解 : 根据对数的运算性质，有

][1lg]lg[]lg[ 1

HHHpH

在 (0,+∞) 上，随着 [H+] 的增大，　 减少，相应地，　　 也减少，即 pH 减少．所以，随着 [H+] 的增大， pH 减少．即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越小．

][1

H

][1lg H

(2) 、已知纯净水中氢离子的浓度为 [H+]=10-7 摩尔 / 升，计算纯净水的 pH 。解：当 [H+]=10-7 时， pH= -lg10-7=7 ．所以，纯净水的 pH 是７．

胃酸中氢离子的浓度是2.5×10 －２摩尔 / 升，胃酸的 pH 是多少？

胃酸 pH= -lg 2.5×10 －２ 　　　　　 = -lg2.5 +2≈1.6

探究 在指数函数 y=2x 中， x 为自变量， y 为因变量．如果把 y 当成自变量， x 当成因变量，那么 x 是 y 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由．

根据指数与对数的关系：yxy x

2log2 对于任意一个 y (0,+∞)∈ ，通过式子 x=log2y ， x在Ｒ中都有唯一确定的的值和它对应．也就是说，可以把 y 看作为自变量， x 作为 y 的函数．

　　这时我们就说 x=log2y (y (0,+∞))∈ 是函数y=2x(x R)∈ 的反函数．　　习惯上，我们用 x 表示自变量， y 表示因变量， y 是 x 的函数

把 x=log2y 写成 y=log2x

　　因此，对数函数 y=log2x (x (0,+∞))∈ 是指数函数 y=2x(x R)∈ 的反函数．　　指数函数 y=2x(x R)∈ 与对数函数 y=log2x (x (0,+∞))∈ 互为反函数．

　　一般地，指数函数 y=ax(x R∈ ， a ＞ 0 且 a ≠ 1 ) 与对数函数 y=logax (x (0,+∞)∈ ， a ＞ 0 且 a ≠ 1 ) 互为反函数．

对数函数 y=log2x 与指数函数 y=2x 的图象

x

y y=xxy 2

xy 2log

x

yy=x

xy )21(

y=log x

对数函数 y=log x 与指数函数 y= ( )x 的图象

互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x对称。

　　一般地，指数函数 y=ax(x R∈ ， a ＞ 0 且 a ≠ 1 ) 与对数函数 y=logax (x (0,+∞)∈ ， a ＞ 0 且 a ≠ 1 ) 互为反函数．

二、对数函数的图象和性质 ;三、比较两个对数值的大小 .

一、对数函数的定义 ;