2.3 Theorie linearer Systeme
1
2.3.1 Grundsätzliche Methode
2
?x y
Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)
x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ ….. y(t) = y1(t)+y2(t)+y3(t)+ …..
zerlegen
einzeln berechnen
überlagern
3
?x y
Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)
x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ ….. y(t) = y1(t)+y2(t)+y3(t)+ …..
zerlegen
einzeln berechnen
überlagern
Definition: ElementarsignalUnter einem Elementarsignal versteht man eine Klasse von Zeitfunktionen,aus denen jeder beliebige Signalverlauf zusammensetzbar ist.
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?x y
Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)
x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..
x1(t)
x2(t)
x3(t) …..
zerlegen
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?x y
Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)
x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..
x1(t)
x2(t)
x3(t) …..
y1(t)
zerlegen
einzeln berechnen6
?x y
Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)
x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..
x1(t)
x2(t)
x3(t) …..
y1(t)
y2(t)
zerlegen
einzeln berechnen7
?x y
Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)
x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..
x1(t)
x2(t)
x3(t) …..
y1(t)
y2(t)
y3(t)…..
zerlegen
einzeln berechnen8
?x y
Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)
x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ ….. y(t) = y1(t)+y2(t)+y3(t)+ …..
x1(t)
x2(t)
x3(t) …..
y1(t)
y2(t)
y3(t)…..
zerlegen
einzeln berechnen
überlagern
9
2.3.2 Gültigkeitsvoraussetzungen
10
y(t-t)y(t)
y
t
t
Drei Forderungen an Elementarsignale:
1. Jedes „vernünftige“ Eingangssignal muss sich aus ihnen zusammensetzenlassen Für Rechteck-Impulse erfüllt
2. Sie müssen mathematisch einfach behandelbar sein Für Rechteck-Impulse erfüllt
3. Sie müssen experimentell leicht nachgebildet werden können Für Rechteck-Impulse erfüllt
11
Drei Forderungen an die Systeme:
1. Kausalität in natürlichen Systemen immer erfüllt
2. ZeitinvarianzAlterung, Drift, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein
3. Linearität Nichtlinearitäten müssen vernachlässigbar sein
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Definition: KausalitätEin System wird kausal genannt, wenn jedes Ausgangssignal y(t) bis zu irgendeinem Zeitpunkt t1 ausschließlich vom Verlauf des zugehörigen Eingangssignals x(t) bis zu diesem Zeitpunkt abhängt
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Drei Forderungen an die Systeme:
1. Kausalität in natürlichen Systemen immer erfüllt
2. ZeitinvarianzAlterung, Drift, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein
3. Linearität Nichtlinearitäten müssen vernachlässigbar sein
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t
t
t
t
x1(t)
x2(t) f(x2(t))
f(x1(t))
Zeitinvarianz:
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Drei Forderungen an die Systeme:
1. Kausalität in natürlichen Systemen immer erfüllt
2. ZeitinvarianzAlterung, Drift, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein
3. Linearität Nichtlinearitäten müssen vernachlässigbar sein
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SYSTEM
nichtlinear linearDas Superpositionsprinzip gilt nicht :
y1 = f( x1(t)) y2 = f( x2(t))
y y1 + y2 = f( x1(t)) + f( x2(t))
y(t) f( x1(t) + x2(t))
Es gilt das Superpositionsprinzip:
y1 = f( x1(t)) y2 = f( x2(t))
y = y1 + y2 = f( x1(t)) + f( x2(t))
y(t) = f( x1(t) + x2(t) )
Lineare Systeme werden durch
linerae Differentialgleichungen
mit konstanten Koeffizienten beschrieben
Wiederholung:
17
Beispiel statisches SystemEingabe-Peripherie (z.B. Tastatur)
Meß-Peripherie(z.B. Sensoren)
Stell-Peripherie(z.B. Aktoren)
Ausgabe-Peripherie (z.B. Bildschirm)
Rechner
Aöffnen
Zschließen
MElektromotor
100 %
0 %Schieber-position
Durchfluß
Strömungs-geschwindigkeit VS
Sensor(Fotozelle)
Lampe
Flügel-rad
Informations-Verarbeitung
I-Eingabe I-Ausgabe
I-Nutzung I-Gewinnung
VS / %
PS / %100
100
0
SYSTEMPS VS
Wiederholung:
18
statischeKennliniey=f(x)
Approxi-mations-fehler
?x y
Statisches Systemmodell dieser Maschine
Wiederholung:
19
Verhalten eines linearen Systems (Superposition)
t
t
t
t
t
t
x1(t)
x2(t)
x1(t) + x2(t) f(x1(t) + x2(t))
f(x2(t))
f(x1(t))
Wiederholung:
20
2.3.3 Faltungsintegral
21
Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls
Höhe=1/ , Breite=Fläche=1
t
g(t)
System(t) g(t)
t
(t)
t
(t)
falls Breite gegen Null t 0
wird Höhe=1/ unendlich Einheitsimpuls entartet zum Dirac-Stoß (t),
t
(t)
22
t
g(t)
System(t) g(t)
t
(t)
normierter Einheitsimpuls (t): Antwort g(t)auf den normierten Impuls
Höhe=1 , Breite=Fläche=
23
für zeitinvariante Systeme gilt:
System(t) g(t)
t
g(t)
t
(t)
WENN
t
g(t-)
t
(t-)
DANN
Sobald man den Eingangsimpulsum nach rechts verschiebt
24
für lineare Systeme giltaußerdem: System(t) g(t)
t
g(t)
t
(t)
t
x()g(t-)
t
x(t-)
UND
DANN
WENN
UND
x()g(t-)x(t-)
tt
Sobald man die Summe aller Signale bildet
tt
x(t-) x()g(t-)
25
Systemx(t) y(t)
tt
x(t-) x()g(t-)
x(t) ~ x()(t-)
mit f1() = x()(t-) für t=const
x(t) ~ f1()
~ Fläche unter f1() für 0
= f1()d
x(t) = x()(t-)d
y(t) ~ x()g(t-)
mit f2() = x()g(t-) für t=const
y(t) ~ f2()
~ Fläche unter f2() für 0
= f2()d
y(t) = x()g(t-)d
Funktionen von zwei Variablen: von t und . Hier interessiert aber nur der Wert bei einem t=const:
26
Systemx(t) y(t)
tt
x(t-) x()g(t-)
x(t) ~ x()(t-)
mit f1() = x()(t-) für t=const
x(t) ~ f1()
~ Fläche unter f1() für 0
= f1()d
x(t) = x()(t-)d
y(t) ~ x()g(t-)
mit f2() = x()g(t-) für t=const
y(t) ~ f2()
~ Fläche unter f2() für 0
= f2()d
y(t) = x()g(t-)d
Funktionen von zwei Variablen: von t und . Hier interessiert aber nur der Wert bei einem t=const:
Faltungs-integral 27
Systemx(t) y(t)
tt
x(t-) x()g(t-)
y(t) ~ x()g(t-)
mit f2() = x()g(t-) für t=const
y(t) ~ f2()
~ Fläche unter f2() für 0
= f2()d
y(t) = x()g(t-)d
Faltungs-integral
x(t)x ~
kennenwir !
g(t-)
kennenwir !
28
2.3.4 Stabilität
29
Systemx(t) y(t)
Kraft Brücke Weg
Kraft
x(t)
Weg
y(t)
harmlose Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke 30
Systemx(t) y(t)
Kraft Brücke Weg
Kraft
x(t)
Weg
y(t)
gefährliche Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke: Schwingungen 31
Definition der Stabilität
32
Systemx(t) y(t)
Kraft Brücke Weg
Kraft
x(t)
Weg
y(t)
harmlose Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke: BIBO-stabil
Bx
By
33
Systemx(t) y(t)
Kraft Brücke Weg
Kraft
x(t)
Weg
y(t)
Bx
By
?
gefährliche Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke: BIBO-instabil34
vG1
G2
x a y
b
21
1
1 kkk
xykges
v = Rückkopplungsschaltung:Mitkopplung
Gegenkopplung
Bei welcher Parameter-Konstellationkönnte es in der Praxis Problemegeben ?
35
Tacoma Narrows Bridge (Washington, 7. November 1940)
36
37