07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear ElementerMA1223 3 SKS
Silabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 2
VII Transformasi Linear
Sub pokok Bahasanβ’ Definisi Transformasi Linear β’ Matriks Transformasiβ’ Kernel dan Jangkauan
Beberapa Aplikasi Transformasi Linear β’ Grafika Komputerβ’ Penyederhanaan Model Matematisβ’ dan lain lain
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 3
Transformasi Linear
Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V W dinamakan transformasi linear, jikauntuk setiap dan berlaku :
Jika V = W maka T dinamakan operator linear
Vba β, RβΞ±
( )=+ baT.1 ( ) ( )bTaT +
( ) =aT Ξ±.2 ( )aTΞ±
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 4
Contoh :Tunjukan bahwa T : R2 R3, dimana
merupakan tranformasi linear.Jawab :
Ambil unsur sembarang di R2, Misalkan
(i) Akan ditunjukan bahwa
βββ
β
β
βββ
β
βββ
=β₯β¦
β€β’β£
β‘βββ
ββββ
β
yxyx
yx
T
,2
1βββ
ββββ
β=uu
u 2
2
1 Rvv
v ββββ
ββββ
β=
( ) ( ) ( )vTuTvuT +=+
Rumus Transformasi
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 5
Terbukti bahwa
( ) =+ vuT β₯β¦
β€βββ
ββββ
β+β’
β£
β‘βββ
ββββ
β
2
1
2
1
vv
uu
T
( ) ( )( )
βββ
β
β
βββ
β
β
++β
+β+=
22
11
2211
vuvu
vuvu
( ) ( )
βββ
β
β
βββ
β
β
+ββ
+β+=
22
11
2211
vuvu
vuvu
βββ
β
β
βββ
β
βββ
+βββ
β
β
βββ
β
βββ
=
2
1
21
2
1
21
vvvv
uuuu
( ) ( ) ( )vΞ€uΞ€vuT +=+
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 6
(ii) Ambil unsur sembarang
Jadi, T merupakan transformasi linear.
RRu ββ Ξ±dan2
( ) β₯β¦
β€β’β£
β‘βββ
ββββ
βΞ€=Ξ€
2
1
uu
uΞ±Ξ±
Ξ±
βββ
β
β
βββ
β
ββ
β=
2
1
21
uuuu
Ξ±Ξ±
Ξ±Ξ±
( )( )( ) β
ββ
β
β
βββ
β
ββ
β=
2
1
21
uuuu
Ξ±Ξ±
Ξ±
βββ
β
β
βββ
β
βββ
=
2
1
21
uuuu
Ξ±
( )u΀α=
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 7
Contoh 2 :Misalkan T merupakan suatu transformasi dari M2x2 ke R yang didefinisikan oleh T(A) = det (A), untuk setiap A β M2x2, Apakah T merupakan Transformasi linier.
Jawab :Misalkan
maka untuk setiap Ξ±β R berlaku
det (Ξ±A) =
2243
21
xM
aaaa
A ββββ
ββββ
β=
βββ
ββββ
β
43
21
detaaaa
Ξ±Ξ±Ξ±Ξ±
( ) )det(24321
2 Aaaaa Ξ±Ξ± =β=
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 8
Perhatikan bahwa det(Ξ±A) β Ξ± det(A)Jadi T bukan transformasi linier.
Contoh 3 :Diketahui T : P2 (Polinom orde-2) R2, dimana
a. Apakah T merupakan transformasi linear b. Tentukan
βββ
ββββ
βββ
=++caba
cxbxaT )( 2
)1( 2xxT ++
2321 xuxuuu ++= 2
321 xvxvvv ++=
Jawab :a.(i) Ambil unsur sembarang P2,
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 9
Sehingga
Perhatikan bahwa
=+ vu ( ) ( ) ( ) 2332211 xvuxvuvu +++++
( ) ( ) ( ) ( )( )2332211 xvuxvuvuTvuT +++++=+
( ) ( )( ) ( )βββ
ββββ
β+β++β+
=3311
2211
vuvuvuvu
( ) ( )( ) ( )βββ
ββββ
ββ+ββ+β
=3131
2121
vvuuvvuu
βββ
ββββ
βββ
+βββ
ββββ
βββ
=31
21
31
21
vvvv
uuuu
( ) ( )2321
2321 xvxvvTxuxuuT +++++=
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 10
Ambil unsur sembarang P2,dan Ξ± β R, sehingga
Jadi, T merupakan transformasi linear
2321 xuxuuu ++=
( ) ( )2321 xuxuuTuT ++= Ξ±Ξ±
( )( )βββ
ββββ
βββ
=31
21
uuuu
Ξ±Ξ±Ξ±Ξ±
( )( )βββ
ββββ
βββ
=31
21
uuuu
Ξ±Ξ±
βββ
ββββ
βββ
=31
21
uuuu
Ξ±
( )2321 xuxuuT ++= Ξ±
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 11
b.
Suatu transformasi linear T : V W dapat direpresentasikan dalam bentuk :
A dinamakan matriks transformasi dari T.
Contoh :Misalkan, suatu transformasi linear T : R2 R3
didefinisikan oleh :
=++ )1( 2xxT βββ
ββββ
β=ββ
β
ββββ
βββ
00
1111
( ) uAuT = uuntuk setiap β V.
βββ
β
β
βββ
β
βββ
=β₯β¦
β€β’β£
β‘βββ
ββββ
βΞ€
yxyx
yx
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 12
Jawab :Perhatikan bahwa
Jadi matriks transformasi untuk T : R2 R3 adalah
Jika T : Rn Rm merupakan transformasi linearmaka ukuran matriks transformasi adalah m x n
βββ
ββββ
β
βββ
β
β
βββ
β
ββ
β=
βββ
β
β
βββ
β
βββ
=β₯β¦
β€β’β£
β‘βββ
ββββ
βΞ€
yx
yxyx
yx
100111
βββ
β
β
βββ
β
ββ
β=
100111
A
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 13
dimana
{ }21,vv=Ξ32: RR βΞ€
( ) ( )ii uv =Ξ€
( )( ) 222
111
uvvTuvvT
=Ξ==Ξ=
[ ] [ ] 2321222123 xxx uuvv =Ξ [ ]21 vv
[ ][ ] 12121
β=Ξ vvuu
Misalkan
basis bagi ruang vektor V dan
merupakan transformasi linear
untuk setiap i = 1,2.
Sehingga
Jadibasis bagi V
maka ia punya invers
Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara :Tulis :
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 14
βͺβ
βͺβ¬
β«
βͺβ©
βͺβ¨
β§
βββ
β
β
βββ
β
β=
βββ
β
β
βββ
β
β
β=
βββ
β
β
βββ
β
β
β=
100
,1
10
,1
11
321 vvv
13: PR βΞ€
( ) iii pvAvT ==
xppxp 2;1;1 321 ==β=
β₯β₯β₯
β¦
β€
β’β’β’
β£
β‘
βββ
β
β
βββ
β
ββΞ€21
1dan
Contoh 3 :Misalkan
adalah basis bagi R3
Transformasi linear didefinisikan
untuk setiap i = 1,2,3.
Tentukan :Matrix transformasi
Jika
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 15
[ ] [ ] [ ] βββ
ββββ
β==ββ
β
ββββ
β==ββ
β
ββββ
ββ
=β=20
2;01
1;1
111 32 BBB xppxp
3,2,1, =β=Ξ iii pv
βββ
ββββ
ββ
=βββ
β
β
βββ
β
β
ββΞ
201011
111011001
1
111011001
201011
β
βββ
β
β
βββ
β
β
βββββ
ββββ
ββ
=Ξ
Jawab :Definisikan :
Karena
Maka
atau
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 16
βββ
β
β
βββ
β
β
ββ 100010001
111011001
βββ
β
β
βββ
β
ββ
β 101011001
110010001
~
βββ
β
β
βββ
β
ββ
110011001
100010001
~
βββ
ββββ
ββ
=βββ
β
β
βββ
β
ββββ
β
ββββ
ββ
=Ξ221010
110011001
201011
βββ
ββββ
ββ 221
010
invers matriks dicari dengan OBE :
Sehingga
Jadi matriks transformasi T adalah
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 17
βββ
β
β
βββ
β
ββΞ=
β₯β₯β₯
β¦
β€
β’β’β’
β£
β‘
βββ
β
β
βββ
β
ββΞ€
21
1
21
1
βββ
ββββ
ββ=
βββ
β
β
βββ
β
ββββ
β
ββββ
ββ
=
11
21
1
221010
2111
xB
+β=β₯β¦
β€β’β£
β‘βββ
ββββ
ββingat bahwa
jadi
Sementara itu,
( )x+β=β₯β₯β₯
β¦
β€
β’β’β’
β£
β‘
βββ
β
β
βββ
β
ββΞ€ 121
1
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 18
{ }22 1,,1 xxxxx β++β+
[ ]βββ
β
β
βββ
β
β=+
210
1 xT [ ]βββ
β
β
βββ
β
β=+β
021
2xxT [ ]βββ
β
β
βββ
β
β=β+
012
1 2xxT
( )21 xxT +β
Contoh 4 :
Jika T : P2 R3 adalah transformasi linear dimana
Tentukan
.
Diketahui basis dari polinom orde dua adalah
GunakanDefinisi
Membangun
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 19
Jawab :Perhatikan bahwa
himpunan 3 polinom tersebut adalah basis bagi polinom orde 2
maka polinom tersebut ditulis nejadi :
Samakan suku-suku sejenis sehingga diperoleh SPL
dengan solusi k1 =0 , k2 = 2, dan k3 = 1. 1
11
32
321
31
=ββ=+β
=+
kkkkk
kk
( ) ( ) ( )23
221
2 111 xxkxxkxkxx β+++β++=+β
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 20
Jadi kombinasi linear diatas berbentuk :
atau
Karena transformasi T bersifat linear maka :
( ) ( ) ( ) ( )222 12101 xxTxxTxTxxT β+++β++=+β
βββ
β
β
βββ
β
β+
βββ
β
β
βββ
β
β=
012
021
2βββ
β
β
βββ
β
β=
054
( ) ( ) ( ) ( )( )222 112101 xxxxxTxxT β+++β++=+β
( ) ( ) ( )222 112101 xxxxxxx β+++β++=+β
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 21
Kernel dan Jangkauan
Misalkan T : V β W merupakan transformasi linear Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di Wdinamakan kernel T notasi ker ( T ).atau
Contoh 5 :Trans. Linear T : P2 R2
Perhatikan bahwa
maka
( ){ }0|)( =β= uTVuTKer
βββ
ββββ
βββ
=++caba
cxbxaT )( 2
=++ )1( 2xxT βββ
ββββ
β=ββ
β
ββββ
βββ
00
1111
)(1 2 TKerxx β++
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 22
Sementara itu,
karena
Jelas bahwa vektor nol pada daerah asaltransformasi merupakan unsur kernel T. Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyaivektor tak nol sebagai unsur kernel T.
Teorema :Jika T : V W adalah transformasi linear maka Ker (T) merupakan subruang dari V
Bukti :Ambil sembarang dan Ξ±βRiil)(, TKerba β
)(21 2 TKerxx β++
011
)21( 2 β βββ
ββββ
ββ=++ xxT
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 23
1. Karena setiapartinya setiapmaka Ker(T) β V
2. Perhatikan bahwa artinya setiapoleh karena itu Ker(T) β { }
3. Karena dan Ker(T) β VIngat bahwa V mrp ruang vektor, sehingga berlaku
akibatnya
Jadi
)(TKera β( ) 0sehingga =β aTVa
)(0 TKerβ( ) 000 == AT
)(, TKerba β
Vba β+
( ) 000 =+=+=+ bTaTbaT
( )Tba kerβ+
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 24
karena V adalah ruang vektor maka untuk setiap Ξ± β Riil berlaku :
Jadi,
Dengan demikian, terbukti bahwaJika T : V W adalah transformasi linear makaKer(T ) merupakan subruang dari ruang vektor V
Karena Ker(T ) merupakan subruang
Basis Ker(T).
VaTKera ββ maka)(Karena 4.
)(TKeraβΞ±
( ) ( ) 00 === Ξ±Ξ±Ξ± aTaT
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 25
β₯β₯β₯
β¦
β€
β’β’β’
β£
β‘
βββ
β
β
βββ
β
β
cba
T
( ) ( ) ( ) 022 2 =+++β++=β₯β₯β₯
β¦
β€
β’β’β’
β£
β‘
βββ
β
β
βββ
β
βxcbaxcaba
cba
T
Contoh 6 :Diketahui Transformasi linear T : R3 βP2 dengan
Jawab :Perhatikan bahwa :
=(a + b) + (2a β c)x + (2a + b + c)x2
Tentukan basis dan dimensi Ker(T) dan R(T)
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 26
βββ
β
β
βββ
β
β=
βββ
β
β
βββ
β
β
++β
+
000
22
cbacbba
=β₯β₯β₯
β¦
β€
β’β’β’
β£
β‘
βββ
β
β
βββ
β
β
cba
T =βββ
β
β
βββ
β
β
++β
+
cbacbba
22
βββ
β
β
βββ
β
ββ112120
011
βββ
β
β
βββ
β
β
cba
Ini memberikan
sehingga
Jadi, matriks transformasi bagi T adalah
βββ
β
β
βββ
β
ββ=112120
011A
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 27
~000
112120
011
βββ
β
β
βββ
β
ββ
βββ
β
β
βββ
β
β
ββ
000
110120
011
βββ
β
β
βββ
β
ββ
000
2/1002/110
2/101~
βββ
β
β
βββ
β
β
000
100010001
~
Dengan melakukan OBE pada matriks tersebut :
Dengan demikian, Basis ker(T) = { }
dan nulitasnya adalah nol.
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 28
βͺβ
βͺβ¬
β«
βββ
β
β
βββ
β
ββ
βββ
β
β
βββ
β
β
βͺβ©
βͺβ¨
β§
βββ
β
β
βββ
β
β
11
0,
121
,201
{ }222 2121 xx,xx,x +β+++
Perhatikan hasil OBE maka basis ruang kolom dari matriks A adalah :
oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah :
sehingga rank (dimensi basis R(t)) = 3
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 29
βββ
β
β
βββ
β
β
β+βββ+
=
β₯β₯β₯β₯β₯
β¦
β€
β’β’β’β’β’
β£
β‘
βββββ
β
β
βββββ
β
β
dcbadcba
dcba
T2
2
Contoh 7 : Diketahui transformasi linear T : R4 R3
didefinisikan oleh :
Tentukan basis kernel dari T dan nulitasnya
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 30
Jawab :
βββ
β
β
βββ
β
β
β+βββ+
=
β₯β₯β₯β₯β₯
β¦
β€
β’β’β’β’β’
β£
β‘
βββββ
β
β
βββββ
β
β
dcbadcba
dcba
T2
2
βββββ
β
β
βββββ
β
β
βββ
β
β
βββ
β
β
ββββ=
dcba
21112100
0011
βββ
β
β
βββ
β
β
ββββ=
21112100
0011A
Jadi
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 31
( ) ( ) 4, 0 R
dcba
vvAvT β
βββββ
β
β
βββββ
β
β
=β==
βββ
β
β
βββ
β
ββ
βββ
β
β
βββ
β
β
ββββ
00002100
0011~
21112100
0011~A
Basis Ker(T) dan Nulitasnya?
Dengan OBE
Ker(T) adalah ruang solusi dari
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 32
0=vA
βͺβͺ
β
βͺβͺ
β¬
β«
βͺβͺ
β©
βͺβͺ
β¨
β§
β
βββββ
β
β
βββββ
β
β
+
βββββ
β
β
βββββ
β
ββ
=
βββββ
β
β
βββββ
β
β
βββββ
β
β
βββββ
β
β
0, ,
21100
00
11
tsts
dcba
dcba
βͺβͺ
β
βͺβͺ
β¬
β«
βͺβͺ
β©
βͺβͺ
β¨
β§
βββββ
β
β
βββββ
β
β
βββββ
β
β
βββββ
β
ββ
21100
,
001
1
Ker(T) = ruang solusi dari
yaitu
Jadi Basis Ker(T) adalah
Nulitas = Dimensi dari Ker(T) = 2
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 33
βββ
ββββ
β+
β=
βββ
β
β
βββ
β
β
caba
cba
T2
[ ] 242 xxxT +β=+ [ ] 222731 xxxT β+=+
[ ]xT β3
Latihan1. Suatu transformasi T : β3 β2
didefinisikan oleh
2. Jika suatu transformansi T : P1 P2 diberikan oleh :
dan
Tentukan
Periksa apakah T merupakan transformasi linear
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 34
βββ
β
β
βββ
β
ββ=β₯
β¦
β€β’β£
β‘βββ
ββββ
ββ
113
21
Tβββ
β
β
βββ
β
β
β=β₯
β¦
β€β’β£
β‘βββ
ββββ
β β
121
53
T
β₯β¦
β€β’β£
β‘βββ
ββββ
β31
T
(Untuk no. 3 β 5)
Suatu transformasi linear, T :R2 R3
Yang diilustrasikan sebagai berikut :
dan
3. Tentukan matriks transformasi dari T !
4. Tentukan hasil transformasi,
5. Tentukan basis kernel dan jangkauan dari T !
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 35
β₯β₯β₯
β¦
β€
β’β’β’
β£
β‘
ββ
βββ=
12211321
1121A
βββ
ββββ
β+
β=
βββ
β
β
βββ
β
β
caba
cba
T2
7. Misalkan T : β3 β2 didefinisikan oleh
Tentukan basis Ker(T) dan basis R(T) beserta dimensinya !
6. Tentukan rank dan nulitas matriks Transformasi :