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Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác

BÀI 4. TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG

1. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON

( ) 0 1 1 1 1n n n k n k k n n n nn n n n na b C a C a b ... C a b ... C ab C b− − − −+ = + + + + + +

trong đó ( )!

! !=

−kn

nC

k n k và ( )1 2 1m! . .... m m= − với qui ước 0! = 1

2. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

2 2

1 1

1 1

cos ax b dx sin ax b c sin ax b dx cos ax b ca a

dx dxtg ax b c cotg ax b ca acos ax b sin ax b

+ = + + + = − + +

= + + = − + ++ +

∫ ∫

∫ ∫

B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN

I. Dạng 1: ( ) ( )∫ ∫n n

1.1 1.2A = sinx dx ; A cosx dx

1. Công thức hạ bậc

2 2 3 31 2 1 2 3 3 3 3

2 2 4 4

cos x cos x sin x sin x cos x cos xsin x ; cos x ; sin x ; cos x

− + − + += = = =

2. Phương pháp

2.1. Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc

2.2. Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo 2.3.

2.3. Nếu 3 ≤ n lẻ (n = 2p +1) thì thực hiện biến đổi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21pp

sin x sin xdx cos x d cos x= = − −∫ ∫ ∫ ∫n 2p+11.1A = sinx dx = sinx dx

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

k pk p0 1 2 k 2 p 2p p p p

k p2k 1 2p 10 1 3 k p

p p p p

C C cos x ... 1 C cos x ... 1 C cos x d cos x

1 1 1C cos x C cos x ... C cos x ... C cos x c

3 2k 1 2p 1+ +

= − − + + − + + −

− −= − − + + + + + + +

∫

25

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21pp

cos x cos xdx sin x d sin x= = −∫ ∫ ∫ ∫n 2p+11.2A = cosx dx = cosx dx

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

k pk p0 1 2 k 2 p 2p p p p

k p2k 1 2p 10 1 3 k p

p p p p

C C sin x ... 1 C sin x ... 1 C sin x d sin x

1 1 1C sin x C sin x ... C sin x ... C sin x c

3 2k 1 2p 1+ +

= − + + − + + −

− −= − + + + + + + +

∫

• ( )3

32 1 2

2

cos xcos x dx dx

+ = ÷ ∫ ∫ ∫61A = cos xdx =

( ) ( )

( )

3 2 31 11 cos 2x dx 1 3cos 2x 3cos 2x cos 2x dx

4 4

1 3 1 2 cos 4x cos 3x 3cos x1 3cos 2x dx

4 2 4

1 17x 6sin 2x 3sin 4x sin 3x 3sin x c

16 3

= + = + + +

+ += + + + ÷

= + + + + + ÷

∫ ∫

∫

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )48 215 5 1 5 5

5sin x sin x dx cos x d cos x= = − −∫ ∫ ∫9

2A = sin5x dx

[ ] ( )2 4 6 8

3 5 7 9

11 4 cos 5x 6 cos 5x 4 cos 5x cos 5x d cos 5x

5

1 4 6 4 1cos 5x cos 5x cos 5x cos 5x cos 5x c

5 3 5 7 9

= − − + − +

= − − + − + + ÷

∫

II. Dạng 2: ∫ m nB = sin x cos x dx (m, n∈N)

1. Phương pháp:

1.1. Trường hợp 1: m, n là các số nguyên

a. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.

b. Nếu m chẵn, n lẻ (n =2p +1) thì biến đổi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21pm p m

sin x cos x cos xdx sin x sin x d sin x= = −∫ ∫ ∫m 2p+1B = sinx cosx dx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k pm k p0 1 2 k 2 p 2

p p p p

m 1 m 3 2k 1 m 2p 1 mk p0 1 k p

p p p p

sin x C C sin x ... 1 C sin x ... 1 C sin x d sin x

sin x sin x sin x sin xC C ... 1 C ... 1 C c

m 1 m 3 2k 1 m 2p 1 m

+ + + + + +

= − + + − + + − =

− + + − + + − +

+ + + + + +

∫

c. Nếu m chẵn, n lẻ (n =2p +1) thì biến đổi:

26


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21pn p n

cos x sin x sin xdx cos x cos x d cos x= = − −∫ ∫ ∫2p+1 nB = sinx cosx dx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k pn k p0 1 2 k 2 p 2

p p p p

n 1 n 3 2k 1 n 2p 1 nk p0 1 k p

p p p p

cos x C C cos x ... 1 C cos x ... 1 C cos x d cosx

cosx cos x cos x cosxC C ... 1 C ... 1 C c

n 1 n 3 2k 1 n 2p 1 n

+ + + + + +

= − − + + − + + − =

− − + + − + + − +

+ + + + + +

∫

d. Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.

1.2. Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u = sinx ta có:

( ) ( ) ( )1 1

2 22 21n m

mm n mB sin x cos xdx sin x cos x cos xdx u u du− −

= = = −∫ ∫ ∫ (*)

• Tích phân (*) tính được ⇔ 1 trong 3 số 1 1

2 2 2

m n m k; ;

+ − + là số nguyên

2. Các bài tập mẫu minh họa

• ( ) ( ) ( ) ( )2 212

4sin x cos x dx=∫ ∫2 4

1B = sinx cosx dx

( ) ( ) ( )

( )

( )

1 11 cos 4x 1 cos 2x dx 1 cos 2x cos 4x cos 2x cos 4x dx

16 161 1

1 cos 2x cos 4x cos 6x cos 2x dx16 21 1 sin 2x sin 4x sin 6x

2 cos 2x 2cos 4x cos 6x dx 2x c32 32 2 2 6

= − + = + − −

= + − − + = + − − = + − − + ÷

∫ ∫∫∫

• ( ) ( ) ( ) ( )111 85 5 5cos x sin x sin x dx=∫ ∫9 111

2B = sin5x cos5x dx

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4111 2

111 2 4 6 8

112 114 116 118 120

1cos 5x 1 cos 5x d cos5x

5

1cos 5x 1 4cos 5x 6 cos 5x 4 cos 5x cos 5x d cos 5x

5

1 cos5x 4 cos 5x 6 cos 5x 4 cos 5x cos 5xc

5 112 114 116 118 120

−= −

= − − + − +

= − − + − + +

∫

∫

•( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 4 36 25 5

1cos3 sin3 sin3 cos3 1 cos 3 cos3

3x x xdx x x d x

− −−= = −∫ ∫ ∫7

3 5 4

sin3xB = dx

cos 3x

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

42 4 6

5

311 11 215 5 5 5

1cos 3x 1 3cos 3x 3cos 3x cos 3x d cos 3x

3

1 15 15 55 cos 3x cos 3x cos 3x cos 3x c

3 11 21 31

−−= − + −

− = − + − +

∫

27

• ( ) ( ) ( )3

3 3 2 28

1 1dx dx

tg x cos x cos xsin x cos xcos x

= = ÷ ∫ ∫ ∫4 3 5

dxB =

sinx cosx

( )

( )( ) ( )

32 2 4 6

3 3

1 tg x 1 3 tg x 3 tg x tg xd tg x d tg x

tg x tg x

+ + + += =∫ ∫

( ) ( )33 2 4

2

3 1 3 1tg x 3 tg x tg x d tg x 3ln tg x tg x tg x c

tg x 2 42 tg x

− − + + += = + + + + ∫

•( )( )

( )( )

( )4 4

4 2 4 2 4 2

cos sin 1 sin sinsin

sin cos sin 1 sin sin 1 sin

xdx d x x xd x

x x x x x x

− += = =− −∫ ∫ ∫ ∫5 4

dxB =

sin xcosx

( ) ( )( )

2

4 2 3

1 sin x d sinx 1 1 1 1 sin xd sin x ln c

sin x 2 1 sin x3 sin xsin x 1 sin x

+ − += + = − + +−−∫ ∫

• ( ) ( ) ( ) ( )5 1 5 4

3 3 3 3sin cos sin cos cos dx x dx x x x x− − − −

= =∫ ∫ ∫63 5

dxB =

sin xcosx

( ) ( ) ( ) ( )2

5 2 2 35 42 33 33 3

2

1 usin x cos x d sin x u 1 u du u du

u

−− −− − − −= = − = ÷ ÷ ∫ ∫ ∫

Đặt 2

32

1 uv

u

− = ⇒ 3 22u du 3v dv

−− = ; ( )1 3 1 32 2 2

32 2

1 u cos xv tg x

u sin x

− −= = = ÷ ÷ ÷ ÷

⇒ ( )2

2 3 23

36 2

1 u 3 3 3B u du dv v c tg x c

2 2 2u

−−− − −= = = − + = − + ÷ ÷ ∫ ∫

Cách 2: ( )( ) ( ) ( )

5 2

3 37 253

1 dx 3B tg x d tg x tg x c

2cos xsin xcos x

− −= × = = − +∫ ∫

III. Dạng 3: ( ) ( )∫ ∫n n3 . 1 3 . 2C = tg x dx ; C = cotg x dx (n∈N)

1. Công thức sử dụng

• ( ) ( )22

1dx

tg x dx d tg x tg x ccos x

+ = = = +∫ ∫ ∫• ( ) ( )2

21

dxcotg x dx d cotg x cotg x c

sin x+ = − = − = − +∫ ∫ ∫

• ( )sin x d cos x

tg xdx dx ln cos x ccos x cos x

= = − = − +∫ ∫ ∫•

( )cos x d sin xcotg xdx dx ln sin x c

sin x sin x= = = +∫ ∫ ∫

28


2. Các bài tập mẫu minh họa

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 4 2 62 2 2tg 1 tg tg 1 tg tg 1 tgk k k

x x x x x x− − −= + − + + + −∫ ∫2k

1C = tgx dx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k 1 k2k 8 02 2tg x 1 tg x ... 1 tg x 1 tg x 1 dx−− − + + + − + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k 1 k2k 2 2k 4 2k 6 0

2k 1 2k 3 2k 5k 1 k

tg x tg x tg x ... 1 tg x d tg x 1 dx

tg x tg x tg x tg x1 1 x c

2k 1 2k 3 2k 5 1

−− − −

− − −−

= − + − + − + −

= − + − ×××+ − + − +− − −

∫ ∫

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 32 2tg 1 tg tg 1 tgk k

x x x x− −= + − + +∫ ∫2k+1

2C = tgx dx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k 1 k2k 5 2 2tg x 1 tg x ... 1 tg x 1 tg x 1 tg x dx−− + + − + − + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k 1 k2k 1 2k 3 2k 5

2k 2k 2 2k 4 2k 1 k

tg x tg x tg x ... 1 tg x d tg x 1 tg xdx

tg x tg x tg x tg x1 1 ln cos x c

2k 2k 2 2k 4 2

−− − −

− −−

= − + − + − + −

= − + − ×××+ − − − +− −

∫ ∫

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 42 2cotg 1 tg cotg 1 tgk k

x co x x co x− −= + − + +∫ ∫2k

3C = cotgx dx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k 1 k2k 6 02 2cotg x 1 co tg x ... 1 cotg x 1 co tg x 1 dx−− + + − + − + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k 1 k2k 2 2k 4 0

2k 1 2k 3 2k 5k 1 k

cotg x cotg x ... 1 cotg x d cotg x 1 dx

cotg x cotg x cotg x cotg x1 1 x c

2k 1 2k 3 2k 5 1

−− −

− − −−

= − − + + − + −

= − − + − ×××+ − + − +

− − −

∫ ∫

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 32 2cotg 1 tg cotg 1 tgk k

x co x x co x− −= + − + +∫ ∫2k+1

4C = cotgx dx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k 1 k2k 5 12 2cotg x 1 co tg x ... 1 cotg x 1 co tg x 1 cotg x dx−− + + − + − + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k 1 k2k 1 2k 3

2k 2k 2 2k 1 k

cotg x cotg x ... 1 cotg x d cotg x 1 cotg x dx

cotg x cotg x cotg x1 1 ln sin x c

2k 2k 2 2

−− −

−−

= − − + + − + −

= − − + ×××+ − + − +

−

∫ ∫

29

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 2tg 5 tg cotg 10 tg cotgx x x x x= + + +∫ ∫5

5C = tgx + cotgx dx

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 3 4 5

5 5 3 3

5 3 5 3

10 tg x cotg x 5 tg x cotg x cotg x dx

tg x cotg x 5 tg x 5 cotg x 10 tg x 10 cotg x dx

tg x 5 tg x 10 tg x dx cotg x 5 cotg x 10 cotg x dx

+ + +

= + + + + +

= + + + + +

∫∫ ∫

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 2 2

3 2 2

3 3

4 42 2

tg x 1 tg x 4 tg x 1 tg x 6 tg x dx

cotg x 1 cotg x 4cotg x 1 cotg x 6cotg x dx

tg x 4 tg x d tg x 6 tg x dx cotg x 4cotg x d cotg x 6 cotg x dx

tg x cotg x2 tg x 6ln cos x 2cotg x 6ln sin x c

4 4

= + + + +

+ + + + +

= + + − + +

= + − − − + +

∫∫

∫ ∫ ∫ ∫

IV. Dạng 4: ( )

( )( )

( )∫ ∫m m

4 . 1 4 . 2n n

tg x cotg xD = dx ; D = dx

cos x sin x

1. Phương pháp: Xét đại diện ( )

( )4 1

m

. n

tg xD dx

cos x= ∫

1.1. Nếu n chẵn (n = 2k) thì biến đổi:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )1

122 2

11

kkm mdx

tg x tg x tg x d tg xcos x cos x

−− = = + ÷ ∫ ∫ ∫

m

4.1 2k

tgxD = dx

cosx

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 p k 1m 0 1 2 p 2 k 1 2k 1 k 1 k 1 k 1

m 1 m 3 m 2p 1 m 2k 10 1 p k 1k 1 k 1 k 1 k 1

tg x C C tg x ... C tg x ... C tg x d tg x

tg x tg x tg x tg xC C ... C ... C c

m 1 m 3 m 2p 1 m 2k 1

−−− − − −

+ + + + + −−

− − − −

= + + + + +

= + + + + + ++ + + + + −

∫

1.2. Nếu m lẻ, n lẻ (m = 2k +1, n = 2h +1) thì biến đổi:

( )( )

( ) ( )2 2

2 22

1 1h h

kk tg x sin xtg x dx tg x dx

cos x cosx cos x cos x

= = ÷ ÷ ∫ ∫ ∫2k+1

4 .1 2h+1

tgxD = dx

cosx

( )k 2h

k2 2h

2

1 1 11 d u 1 u du

cos x cos xcos x

= − = − ÷ ÷ ÷ ∫ ∫ (ở đây 1

ucos x

= )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k 1 k pp k2h 0 2 1 2 p 2 k

k k k ku C u C u ... 1 C u ... 1 C du− − = − + + − + + − ∫

( ) ( )2k 2h 1 2k 2h 1 2k 2h 2p 1 2h 1

p k0 1 p kk k k k

u u u uC C ... 1 C ... 1 C c

2k 2h 1 2k 2h 1 2k 2h 2p 1 2h 1

+ + + − + − + +

= − + + − + + − ++ + + − + − + +

30


1.3. Nếu m chẵn, n lẻ (m = 2k, n = 2h + 1) thì sử dụng biến đổi:

( )( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

2k 2k 2k

4.1 2h 1 k h 12 k h 1 2

2k 2k 2 2 2k 2 2k 2

4.1 k h 1 k h 1 k h 1 k h2 2 2 2

tg x sin x cos x sin xD dx dx d sin x ; u s inx

cos x cos x 1 sin x

u du u 1 1 u u du u duD du

1 u 1 u 1 u 1 u

+ + ++ +

− − −

+ + + + + + +

= = = =−

− − = = = −− − − −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫Hệ thức trên là hệ thức truy hồi, kết hợp với bài tích phân hàm phân thức hữu tỉ ta có thể tính được D4.1.

2. Các bài tập mẫu minh họa:

•( )

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

227 7 2

2 2

1 1tg 3 tg 3 1 tg 3 tg 3

3cos3 cos3

dxx x x d x

x x

= = +

∫ ∫ ∫7

1 6

tg3xD = dx

cos3x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 10 127 2 4 tg3x tg3x tg3x1 1

tg3x 1 2 tg3x tg3x d tg3x 2 c3 3 8 10 12

= + + = + + + ∫

•( )

( )( )

( ) ( )

310

2 2

15

5 5

dxcotg x

sin x sin x

=

∫ ∫10

2 8

cotg5xD = dx

sin5x

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

310 2

11 13 15 17

1cotg 5x 1 cotg 5x d cotg 5x

5cotg 5x cotg 5x cotg 5x cotg 5x1

3 3 c5 11 13 15 17

= − + = − + + + +

∫

•( )

( )( )

946 41

44 4

tg xtg x dx

cos x cos x = ÷ ∫ ∫

7

3 95

tg4xD = dx

cos4x

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 94394 2

2

101 99 97 9594 6 4 2

101 99 97 95

1 1 1 1 11 d u u 1 du

4 cos 4x cos 4x 4cos 4x1 1 u u u u

u u 3u 3u 1 du 3 3 c4 4 101 99 97 951 1 1 3 1

c4 101 cos 4x 33 cos 4x 97 cos 4x 95 cos 4x

= − = − ÷ ÷

= − + − = − + − + = − + − +

∫ ∫

∫

•( )( )

( )40

8 313

3 3

cotg xcotg x dx

sin x sin x = ÷ ∫ ∫

9

4 41

cotg3xD = dx

sin3x

( )4 40

440 22

1 1 1 1 11 d u u 1 du

3 sin 3x sin3x 3sin x

= − − = − − ÷ ÷ ÷ ∫ ∫

31

( )49 47 45 43 41440 8 6 4 21 1 u u u u u

u u 4u 6u 4u 1 du 4 6 4 c3 3 49 47 45 43 41

= − − + − + = − − + − + + ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )49 47 45 43 41

1 1 4 2 4 1c

3 49 sin 3x 47 sin 3x 15 sin 3x 43 sin 3x 41 sin 3x

= − − + − + +

•( ) ( )

( ) ( )( )

22

2 2 21

sin x cos xdx sin xd sin x

sin xcos x cos x

= × = ÷− ∫ ∫ ∫2

5

tgx dxD =

cosx

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )2 2

1 sin x 1 sin x 1 1d sin x d sin x

1 sin x 1 sin x 1 sin x 1 sin x

+ − − = = − ÷ + − − + ∫ ∫

( ) ( )( )

2 2 2

1 1 2 1 1 1 sin xd sin x ln c

1 sin x 1 sin x 1 sin x1 sin x1 sin x 1 sin x

+ = + − = − − + − + −−− + ∫

•( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

4 4

4 2 321

sin x cos xdx sin xd sin x

cos x cos x sin x= × =

−∫ ∫ ∫

4

6

tgxD = dx

cosx

( )( )

( ) ( ) ( )

4 4 2

2 13 3 3 22 2 2 2

u du 1 1 u du 1 udu du I I

1 u 1 u 1 u 1 u

− − += = = − = −− − − −

∫ ∫ ∫ ∫

( )( )

2

1 22

1

1

u duI

u

+=−

∫( )

( )2

2 2 2

1 11 du d u1 uu u c c

1 1 u11 uuu uuu

+ − ÷ = = = − + = +− −−− ÷

∫ ∫

( )2 321

duI

u=

−∫ ( ) ( )

( ) ( )

3 31 1 u 1 u 1 1 1

du du8 1 u 1 u 8 1 u 1 u

+ + − = = + + − − + ∫ ∫

( ) ( ) ( )3 3 2

1 1 1 3 1 1du

8 1 u 1 u1 u 1 u 1 u

= + + + ÷ − + − + − ∫

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2 22 2 2

2

12 2 2 22 2 2

1 1 1 du 1 1 u 1 u 1 u 1 u6 3 du

8 82 1 u 2 1 u 1 2 1 u 1 u

u 3 1 u du 3 du u 3 3 1 uI ln c

8 8 8 16 1 u1 u4 1 u 1 u 4 1 u

+ − − + + − = − + = + − + − − −

+ += + + = + + +−−− − −

∫ ∫

∫ ∫

u

32


( )

( )( )

( )

( )( )

( )

6 2 1 1 122

2

2 2 22 2

33

2 42

u 3 3 1 uD I I I ln I

8 16 1 u4 1 u

u 5 u 3 1 u 2u 5u 1 u 3 1 uln c ln c

8 16 1 u 16 1 u1 u4 1 u 8 1 u

5u 3u 3 1 u 5 sin x 3sin x 3 1 sin xln c ln c

16 1 u 16 1 sin x8 cos x8 1 u

+⇒ = − = + + −−−

+ − − += − × + + = + +− −−− −

− + − += + + = + +− −−

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

20 11 4 6

1 2 3 48 21 3 5

tg 6x cotg 3x tg x cotg 2xD dx ; D dx; D dx ; D dx

cos 6x sin 3x cos x cos 2x= = = =∫ ∫ ∫ ∫

33

V. Dạng 5: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

1. Phương pháp:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

5 1

5 2

5 3

5 4

12

12

12

12

.

.

.

.

E cosmx cos nx dx cos m n x cos m n x dx

E sinmx sin nx dx cos m n x cos m n x dx

E sinmx cos nx dx sin m n x sin m n x dx

E cosmx sin nx dx sin m n x sin m n x dx

= = − + +

= = − − +

= = + + −

= = + − −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫2. Các bài tập mẫu minh họa:

• ( )12 14 4

2cos x cos x cos x= +∫ ∫1E = cos2x .cos5x .cos9x dx

( ) ( )[ ]1 1 sin16x sin12x sin 6x sin 2xcos16x cos12x cos6x cos2x dx c

4 4 16 12 6 2 = + + + = + + + + ÷ ∫

• ( ) ( )3 38

4

cos x cos xsin x dx

+=∫ ∫32E = cosx sin8x dx

( ) ( ) ( )1 1 3 13cos x sin 8x cos 3x sin 8x dx sin 9x sin 7x sin11x sin 5x dx

4 4 2 2

1 3 3 1 1cos 9x cos 7x cos11x cos 5x c

8 9 7 11 5

= + = + + +

= − + + + + ÷

∫ ∫

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )211 2 13 7

8cos x sin x sin x dx= − +∫ ∫4

3E = sinx sin3x cos10x dx

( ) ( )

( )

( ) ( )

211 2cos 2x cos 2x sin13x sin 7x dx

8

1 1 cos 4x1 2cos 2x sin13x sin 7x dx

8 2

13 4cos 2x cos 4x sin13x sin 7x dx

16

= − + +

+ = − + + ÷

= − + +

∫

∫

∫

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )

( )

13 sin13x sin 7x 4 cos 2x sin13x sin 7x cos 4x sin13x sin 7x dx

161

3 sin13x sin 7x 2 sin15x sin11x sin 9x sin 5x16

1sin17x sin 9x sin11x sin 3x dx

2

= + − + + +

= + − + + + +

+ + + +

∫

∫

34


( )1sin17x 4sin15x 6sin13x 3sin11x 3sin9x 6sin 7x 4sin5x sin3x dx

32

1 cos17x 4cos15x 6cos13x 3cos11x cos9x 6cos7x 4cos5x cos3xc

32 17 15 13 11 3 7 5 3

= − + − − + − +

− = − + − − + − + + ÷

∫

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2cosx cosx sin 5 x dx=∫ ∫5

4E = cosx sin5x dx

cos3x 3cos x 1 cos2xsin5x dx

4 2

+ += × ×∫

( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

1cos 3x 3cos x sin 5x cos3x 3cos x cos 2x sin 5x dx

8

1 sin 7x sin 3xcos 3x 3cos x sin 5x cos 3x 3cos x dx

8 2

12sin 5x cos 3x 3cos x cos 3x 3cos x sin 7x sin 3x dx

16

= + + +

+ = + + +

= + + + +

∫

∫

∫

( ) ( ) ( )

( ) ( )

12 sin 8x sin 2x 6 sin 6x sin 4x sin10x sin 4x

32

3 sin 8x sin 6x sin 6x 3 sin 4x sin 2x dx

= + + + + + +

+ + + + +

∫

( )1sin10x 5sin 8x 10sin 6x 10sin 4x 5sin 2x dx

32

1 cos10x 5cos8x 5cos 6x 5cos 4x 5cos 2xc

32 10 8 3 2 2

= + + + +

− = + + + + + ÷

∫

•( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )3 4 3 4

2 22

sin x sin x sin x sin xdx dx

sin x cos x cos x xcos x sin x cosx .sin 2 x

= =−+

∫ ∫ ∫5

sin3x sin4xE = dx

tgx + cotg2x

( ) ( ) ( ) ( )1sin 2x sin 3x sin 4x dx cos 2x cos 6x sin 3x dx

2= = −∫ ∫

( ) ( )[ ]1 1 cos5x cos x cos9x cos3xsin 5x sin x sin9x sin 3x dx c

4 4 5 1 9 3

− = + − − = + − + + ÷ ∫3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

54 3 5 2

1 2 3 2

sin 8x dxE sin 3x cos 2x dx ; E sin x cos 5x dx ; E

tg 3x tg 5x= = =

+∫ ∫ ∫

35



32


32 17 15 13 11 3 7 5 3

= − + − − + − +

− = − + − − + − + + ÷

∫

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2cosx cosx sin 5 x dx=∫ ∫5

4E = cosx sin5x dx


4 2

+ += × ×∫

( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]


8


8 2


16

= + + +

+ = + + +

= + + + +

∫

∫

∫

( ) ( ) ( )

( ) ( )


32


= + + + + + +

+ + + + +

∫


32


32 10 8 3 2 2

= + + + +

− = + + + + + ÷

∫

•( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )3 4 3 4

2 22



= =−+

∫ ∫ ∫5

sin3x sin4xE = dx

tgx + cotg2x


2= = −∫ ∫


4 4 5 1 9 3


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

54 3 5 2

1 2 3 2


tg 3x tg 5x= = =

+∫ ∫ ∫

35



32


32 17 15 13 11 3 7 5 3

= − + − − + − +

− = − + − − + − + + ÷

∫

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2cosx cosx sin 5 x dx=∫ ∫5

4E = cosx sin5x dx


4 2

+ += × ×∫

( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]


8


8 2


16

= + + +

+ = + + +

= + + + +

∫

∫

∫

( ) ( ) ( )

( ) ( )


32


= + + + + + +

+ + + + +

∫


32


32 10 8 3 2 2

= + + + +

− = + + + + + ÷

∫

•( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )3 4 3 4

2 22



= =−+

∫ ∫ ∫5

sin3x sin4xE = dx

tgx + cotg2x


2= = −∫ ∫


4 4 5 1 9 3


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

54 3 5 2

1 2 3 2


tg 3x tg 5x= = =

+∫ ∫ ∫

35



32


32 17 15 13 11 3 7 5 3

= − + − − + − +

− = − + − − + − + + ÷

∫

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2cosx cosx sin 5 x dx=∫ ∫5

4E = cosx sin5x dx


4 2

+ += × ×∫

( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]


8


8 2


16

= + + +

+ = + + +

= + + + +

∫

∫

∫

( ) ( ) ( )

( ) ( )


32


= + + + + + +

+ + + + +

∫


32


32 10 8 3 2 2

= + + + +

− = + + + + + ÷

∫

•( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )3 4 3 4

2 22



= =−+

∫ ∫ ∫5

sin3x sin4xE = dx

tgx + cotg2x


2= = −∫ ∫


4 4 5 1 9 3


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

54 3 5 2

1 2 3 2


tg 3x tg 5x= = =

+∫ ∫ ∫

35