UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
ASIGNATURA
MECANICA VECTORIAL
CAPITULO
Equilibrio de Partícula
Dr. Omar Pablo Flores Ramos
Huancayo, 2012
2
Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 2
CONTENIDO
Introducción
1 Conceptos fundamentales
Equilibrio
Partícula
Inercia
Leyes de Newton
Fuerzas especiales
Fuerza elástica – Ley de Hooke
Fuerza de rozamiento o fricción
Diagrama de cuerpo libre
2 Equilibrio de partícula
Primera condición de equilibrio
Teorema de Lamí
Triángulo de equilibrio
3 Ejercicios
3
3
3
3
3
3
3
4
4
6
6
6
7
7
8
Mecanica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos
EQUILIBRIO DE PARTICULA
3.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
3.1.1 Equilibrio
Se dice que un cuerpo está en equilibrio, cuando no tiene
aceleración, y el equilibrio puede ser:
equilibrio estático: reposo ( v = 0 )
equilibrio cinético: M.R.U. ( v = cte)
3.1.2 Partícula
Se considera partícula a una masa “pequeñísima” a la cuál se
desprecia su tamaño y su forma
3.1.3 Leyes de Newton
Las relaciones entre fuerzas y movimiento fueron presentadas por
Isaac Newton en 1687, mediante tres leyes fundamentales, de las
cuales la 1ra y la 3
ra son de interés en este capítulo
1ra
Ley (Principio de inercia)
“Un cuerpo permanece en equilibrio, mientras no actúe una
fuerza externa que modifique dicho estado”
2da
Ley (Principio de fuerza y aceleración)
“La aceleración que toma un cuerpo es proporcional a la
fuerza neta externa que se le aplica”
amF .
3ra
Ley (Principio de acción y reacción)
“A toda acción de una fuerza, se genera una reacción de igual
intensidad pero de sentido contrario”.
3.1.4 Fuerzas especiales
a) Peso
Es la fuerza con el que la tierra atrae a los cuerpos.
gmpeso . ( 3.1)
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b) Normal
Denominado también “fuerza de contacto”, es una fuerza de
reacción perpendicular al plano que sostiene el cuerpo. (ver
Fig 3.1 )
Fig 3.1: Representación de la normal
c) Tensión
Es una fuerza interna de reacción, que se opone al
“estiramiento”.
d) Compresión
Es una fuerza interna de reacción que se opone al
“aplastamiento”
3.1.5 Fuerza elástica (Ley de Hooke)
Para un sistema elástico, se cumple que la fuerza es proporcional a
la deformación
Fig 3.2: Fuerza elástica
3.1.6 Fuerza de rozamiento o fricción ( f )
Es una fuerza de reacción, que se opone al deslizamiento de una
superficie sobre otra, tal como se muestra en Fig 3.3.
Fig 3.3: Fuerza de rozamiento
x xkF . ( 3.2 )
Siendo: k : constante de rigidez
x : deformación F
peso Nor
Nor
peso peso
Nor F
peso Nor
F
f
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a. Fuerza de rozamiento estática (f s)
Se presenta cuando las superficies en contacto no se deslizan y
su valor máximo es cuando su movimiento es inminente.
Norf ss . ( 3.3 )
b. Fuerza de rozamiento cinética (f k)
Se presenta cuando se deslizan una sobre la otra, su valor es
constante.
Norf kk . ( 3.4 )
c. Coeficiente de rozamiento ( µ )
Los coeficientes de rozamiento, dependen de la naturaleza de
las superficies en contacto. El coeficiente de rozamiento
estático ( s) siempre es mayor que el coeficiente de
rozamiento cinético ( k ) .
0 ks ( 3.5 )
Cuando se trata de desplazar un cuerpo inicialmente en
reposo, la fuerza de rozamiento inicial es igual a cero, y va
aumentando hasta un valor máximo (Fig 3.4) y cuando
empieza a moverse, el valor de la fuerza de rozamiento
disminuye bruscamente, para luego mantenerse constante
mientras exista deslizamiento
Fig 3.4: Diagrama de la fuerza de rozamiento (estático y
cinético) y una fuerza externa
reposo movimiento
45°
fs- max
f k
f s = F f k
F
f
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3.1.7 Diagrama de cuerpo libre
El diagrama de cuerpo libre, es un gráfico en el cual se muestran
todas las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo, empezando
por su peso
Fig 3.5: Diagrama de cuerpo libre de una esfera apoyada en dos
planos
Observaciones:
1: En el diagrama de cuerpo libre solo aparecen las fuerzas
externas
2: Cuando las superficies en contacto son lisas, las fuerzas de
reacción son siempre perpendiculares a dichas superficies
3: En barras homogéneas y uniformes, se asume que su peso
actúa en el centro de dicha barra, verificándose que el peso de
la barra es proporcional a su longitud
4: Las cuerdas, varillas de conexión y poleas, se consideran de
masa despreciable, su único efecto es transmitir fuerzas de un
cuerpo a otro
3.2 EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA
Una partícula esta en equilibrio, si cumple la primera condición de
equilibrio
3.2.1 Primera condición de equilibrio
“Para que un sistema esté en equilibrio, la resultante de fuerzas
debe ser cero.”
Σ Fx = 0
0F Σ Fy = 0 ( 3.7 )
Σ Fz = 0
R2 m.g
R1
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3.2.2 Teorema de Lami
“En una partícula en equilibrio, sometido a la acción de tres
fuerzas coplanares y concurrentes, es posible aplicar la ley de
senos”
Fig 3.6: Teorema de Lami
3.2.3 Triangulo de equilibrio
“En una partícula en equilibrio, sometido a la acción de tres
fuerzas coplanares y concurrentes, es posible formar un triángulo
y aplicar las propiedades de ellas”
Fig 3.7: Triángulo de equilibrio
α β
W
T1 T2
T2
T1
W
F1 F2
F3
α β
δ
sen
F
sen
F
sen
F 321 ( 3.8 )
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a) Equilibrio de partícula en el plano 1. En el diagrama en equilibrio se muestra un cuerpo suspendido cuyo
peso es de (4 + 3√3) N. Despreciando el peso de los cables, calcular la
tensión T
Rpta: 5 N
2. Un pintor de 600 N de peso puede elevarse a velocidad constante
parado sobre una plataforma de 300N. Hállese la tensión que provoca
el pintor
Rpta: 225 N
3. Encuentre la reacción del piso sobre el bloque de 200 N, cada polea
pesa 10 N y la esfera suspendida 20 N
Rpta: 130 N
4. El peso total del globo en equilibrio que se muestra es de 50 N y la
fuerza del viento y empuje del aire F es 100 N, l. Calcular el ángulo θ
Rpta: arctan ½
θ
F
53°
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5. Un cable elástico puede soportar una tensión máxima de 100 N Para la
posición de equilibrio, calcular el ángulo θ, si la fuerza F es 120 N
Rpta: 53°
6. En el sistema en equilibrio, los pesos de los bloques 1 y 2 son iguales.
Determinar el ángulo α
Rpta: 20 °
7. En el sistema en equilibrio mostrado, el peso del bloque es 30 N.
Calcular la tensión de la cuerda de 5 m de longitud.
Rpta: 25 N
8. Usando una faja de se ha logrado equilibrar un cilindro de 800N de
peso apoyándose sobre una pared vertical lisa encuentre la reacción de
dicha pared
Rpta: 1600 N
4 m
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9. Si la esfera pesa 120 N, calcular la fuerza horizontal "F" necesaria, de
manera que las dos reacciones normales sean de igual módulo.
Rpta: 360 N
10. Dos cilindros de igual radio y peso "w" cada uno, se han amarrado
mediante una cuerda, tal como se muestra, determinar la tensión en
dicha cuerda si sobre ellos se ha colocado otro cilindro de doble peso
Rpta: w cot θ
11. Dos cilindros iguales están suspendidos de hilos inextensibles de
idéntica longitud. Entre ellos se pone otro cilindro de doble peso,
hallar tg β si los hilos forman un ángulo de 2 α
Rpta: 2 tan α
12. Una cadena homogénea y uniforme de peso "w" se halla sujeta por sus
extremos a dos argollas ubicadas a la misma altura en dos paredes
verticales, si los extremos de la cadena forman ángulos “θ” con las
paredes, encuéntrese la tracción en el punto más bajo de la cadena
Rpta: 0,5 w cot θ
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13. Determinar las reacciones en las superficies curvas A y B, si el peso
de la esfera es 1000 N y α = 16° y θ = 53°
Rpta: 1029,6 N y 644,6 N
14. En el sistema en equilibrio cada bloque pesa 60N. Calcular la tensión,
en la cuerda horizontal “T”
Rpta: 150 N
15. Calcular el ángulo θ, en el sistema en equilibrio si los dos bloques son
del mismo peso, despreciar los pesos de las cuerdas
Rpta: 30°
16. En el sistema en equilibrio, determinar el ángulo “θ ” si las tres esferas
son de igual peso
Rpta: 30°
53°
θ 60°
60°
60° 60°
θ θ
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17. En el sistema en equilibrio, determinar el ángulo “α ”
Rpta 16°
18. Determinar el ángulo θ para la posición de equilibrio, si la barra
homogénea de 300 N esta conectada a un bloque de 150 N mediante
un cable tal como muestra la figura
Rpta: 56°
19. Una varilla de 40 Nde peso, se halla suspendida en equilibrio, calcular
la tensión “T” de la cuerda, si α + θ = 60°
Rpta: 40 N
20. Calcular el ángulo θ, si la barra homogénea de 58 N de peso se
mantiene en equilibrio mediante una cuerda cuya tensión es 10 N
Rpta 47°
α
θ
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b) Rozamiento
21. Con el resorte estirado, el bloque de 10 kg esta a punto de deslizar,
calcular la longitud natural del resorte
Rpta: 4,98 cm
22. Determinar la deformación del resorte, si el bloque A de 10 N de peso
esta a punto de deslizar, k = 10 N/cm
Rpta 5 cm
23. Hallar la fuerza “F” necesaria para iniciar el movimiento del cuerpo de
200 kg, si el coeficiente de rozamiento estático entre todas las
superficies en contacto es 0,25
24. Si los pesos de los bloques A y B son 20 N y 40 N respectivamente,
determinar la fuerza F necesaria para iniciar el movimiento si el
coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es 0,3
Rpta: 30 N
25. Hallar la fuerza de rozamiento y el coeficiente de rozamiento entre el
coche que marcha a velocidad constante y el bloque de 100 N de peso
Rpta: 50 N y 3
3
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26. Hallar el coeficiente de rozamiento cinético, si solo existe rozamiento
entre la cuña y el piso horizontal, además se sabe que el peso de la
cuña es el doble que el de la esfera, el cual esta bajando a velocidad
constante y libre de fricción
Rpta: cot3
1
27. El cilindro de 40 kg esta en equilibrio sobre el bloque B que pesa 200
kg, si el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies
es 0,5. ¿Permanecerá el sistema en equilibrio como se muestra?
Rpta:
28. Si el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es
0,2. Determinar la fuerza “F” necesaria para iniciar el movimiento de
los dos bloques:
a) Cuando el bloque de 200 kg sube Rpta: 1708 N
b) Cuando el bloque de 200 kg baja Rpta: - 457 N
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29. Hallar la fuerza necesaria para iniciar el movimiento hacia la derecha,
Si el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es
0,2
Rpta:
30. El bloque C de 80 kg permanece en equilibrio sobre dos bloques
idénticos A y B de 60 kg cada uno. Si el coeficiente de rozamiento
estático entre todas las superficies es 0,2. ¿El sistema que se muestra,
permanecerá en equilibrio?
Rpta:
c) Equilibrio de partícula en el espacio
31. Determinar la tensión en cada cable que mantienen en equilibrio a una
lámpara de 800 N de peso
Rpta: TAB=800 N; TAC=400 N y TAD=1200 N
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32. Determinar las tensiones en cada cable, si la fuerza de 30 N aplicada
en el punto D produce el equilibrio del sistema
Rpta: TAD= 8,45 N; TBD= 20 N y TCD= 13,38 N
33. Si el peso del cilindro en equilibrio es 555 N, calcular la tensión en
cada cable
Rpta: TAD=262,5 N; TBD=195 N y TCD=187,5 N
30 N
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34. Determine la tensión en los cables que mantienen al poste en
equilibrio, si la fuerza vertical FOA es de 757 N
Rpta: TAB=500 N; TAC= 93 N y TAD= 364 N
35. Hallar las tensiones en cada cable, que mantienen en equilibrio a una
placa triangular de 18 N de peso
Rpta: TAD= 7,21 N; TBD=6,5 N y TCD=6,5 N
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36. Calcular la tensión de cada cable que mantienen en equilibrio a un
cilindro de 15 kg , si h = 60 mm. (g = 9,8 m/s2)
Rpta: TAD=139,7 N; TBD= TCD=115,6 N
37. Si cada cable puede soportar una tensión máxima de 600 N, determine
el peso máximo del balde para mantener el sistema en equilibrio.
Rpta:771 N
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38. Determine el peso máximo de la lámpara si los cables AB y AC
pueden soportar una tensión máxima de 500 N y el poste puede
soportar una compresión máxima de 300 N
Rpta: 138 N
39. Determinar el peso de la esfera suspendida de un anillo horizontal,
mediante tres resortes cuya rigidez es k = 50 N/pie y su longitud sin
estirar es de 1,5 pies. h = 2 pies
Rpta: 120 N
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40. Determinar la tensión del cable AB y una fuerza horizontal P paralela
al eje z, que mantiene en equilibrio al bloque de 300 N de peso sobre
el plano inclinado
Rpta: 215 N y 103,8 N
BIBLIOGRAFIA
1 BEDFORD & FOWLER (1996)
Mecánica para ingeniería, Estática. USA
2 BEER & JHONSTON (2002)
Mecánica vectorial para ingenieros, Estática, editorial Mc Graw Hill, Bogotá, Colombia
3 BELA I. SANDOR (1993)
Ingeniería Mecánica-Estática. Edit. Prentice Hall. México.
4 HIBBELER R. C. (2002)
Ingeniería Mecánica, Estática, editorial Prentice Hall, Séptima edición, México
5 MERIAM, J. L. (1998)
“Estática” editorial Jhon Willey. México
6 RILEY-STURGES (1996)
Ingeniería Mecánica - Estática. Edit. Reverte S.A. México
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