MATEMÁTICA
MANUEL ALBERTO M. FERREIRA – ISABEL AMARAL
EDIÇÕES SÍLABO
3
PRIMITIVASE INTEGRAIS
ColeçãoMatemática
COLEÇÃOM
ATEMÁTICA
3 COLEÇÃO MATEMÁTICA
3Outros livros Sílabo na área dos Métodos Quantitativos:
Análise de Dados para Ciências Sociais – A complementaridade do SPSSAnálise Multivariada de Dados Qualitativos – Utilização da Análise de Corresp. Múlt. com o SPSSConceitos de Matemática – Fundamentos para as Ciências da VidaDescobrindo a Regressão – Com a Complementaridade do SPSSDicionário de EstatísticaEstatística – Exercícios Vol. 1 – Probabilidade, Variáveis aleatóriasEstatística – Exercícios Vol. 2 – Distribuições, Inferência estatísticaEstatística Aplicada – Vol. 1Estatística Aplicada – Vol. 2Estatística DescritivaEstatística Descritiva – Manual de Auto-aprendizagemEstatística Matemática – Vol. 1Estatística Matemática – Vol. 2Estatística Multivariada AplicadaEstatística para Economia e Gestão – Instrumentos de Apoio à Tomada de DecisãoExercícios de Estatística – Com Recurso ao SPSSExercícios de Estatística – Vol. 1Exercícios de Estatística – Vol. 2Exercícios de Estatística Aplicada – Vol. 1Exercícios de Estatística Aplicada – Vol. 2Exercícios de Estatística Descritiva para Ciências SociaisFormulário de EstatísticaFormulário de MatemáticaInferência Estatística – Com Utilização do SPSS e GpowerInfinito +1Introdução à Análise de Dados – Com Recurso ao SPSSInvestigação Operacional – Vol. 1 – Programação LinearInvestigação Operacional – Vol. 2 – Exercícios de Programação LinearInvestigação Operacional – Vol. 3 – Transportes, Afectação e Optimização em RedesInvestigação por QuestionárioMatemática para Economia e GestãoProbabilidade e Inferência Estatística – Exercícios ResolvidosSPSS – Guia Prático de UtilizaçãoSPSS Statistics – O Meu Manual de Consulta RápidaTabelas EstatísticasTestes de Hipóteses com o SPSS – O Meu Manual de Consulta Rápida
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PR
IMIT
IVAS
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GR
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7ª Edição
315
ISB
N 9
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72-6
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72-5
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0
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COLEÇÃO MATEMÁTICA
1 – INTEGRAIS MÚLTIPLOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
2 – CÁLCULO DIFERENCIAL EM IRn
3 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS
4 – FORMULÁRIO DE MATEMÁTICA
5 – ÁLGEBRA LINEAR Vol. 1 – Matrizes e Determinantes
6 – ÁLGEBRA LINEAR Vol. 2 – Espaços Vectoriais e Geometria Analítica
7 – PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA
8 – CÁLCULO INTEGRAL EM IR – PRIMITIVAS
9 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS – EXERCÍCIOS
10 – SUCESSÕES E SÉRIES
11 – ÁLGEBRA LINEAR – Exercícios Vol. 1 – Matrizes e Determinantes
12 – CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR
13 – CÁLCULO DIFERENCIAL EM IRn – EXERCÍCIOS
14 – ÁLGEBRA LINEAR – Exercícios Vol. 2 – Espaços Vectoriais e Geometria Analítica
15 – SUCESSÕES E SÉRIES – EXERCÍCIOS
16 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES
17 – INTEGRAIS MÚLTIPLOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – EXERCÍCIOS
18 – INTEGRAIS DUPLOS, TRIPLOS, DE LINHA E DE SUPERFÍCIE
19 – FUNDAMENTOS DE ANÁLISE NUMÉRICA
20 – MÉTODOS NUMÉRICOS – Introdução, Aplicação e Programação
21 – CÁLCULO INTEGRAL – Teoria e Aplicações
22 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS – Exercícios Resolvidos
23 – TÓPICOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA EM IRn
24 – EXERCÍCIOS SOBRE PRIMITIVAS E INTEGRAIS
25 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS – Com Aplicações às Ciências Empresariais
26 – ÁLGEBRA LINEAR – Teoria e Prática
É expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer
forma ou meio gráfico, eletrónico ou mecânico, inclusive fotocópia, este livro.
As transgressões serão passíveis das penalizações previstas na legislação em vigor.
Não participe ou encoraje a pirataria eletrónica de materiais protegidos.
O seu apoio aos direitos dos autores será apreciado.
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FICHA TÉCNICA:
Título: Primitivas e IntegraisAutores: Manuel Alberto M. Ferreira, Isabel Amaral� Edições Sílabo, Lda.Capa: Pedro Mota
1ª Edição – Lisboa, 19867ª Edição – Lisboa, setembro de 2018Impressão e acabamentos: Europress, Lda.Depósito Legal: 445993/18ISBN: 978-972-618-972-5
Editor: Manuel Robalo
R. Cidade de Manchester, 21170-100 LisboaTelf.: 218130345e-mail: [email protected]
Dedicamos este livro ao Senhor Professor J. J. Laginha,agradecendo assim o incentivo que nos tem dado
ao longo de anos de trabalho em comum.
Manuel Alberto, Isabel Amaral
ÍNDICE
PRIMITIVAS
1. Definição. Generalidades 11
2. Primitivas imediatas e quase-imediatas 13
3. Métodos de primitivação 31
3.1. Método de primitivação por decomposição 31
3.2. Método de primitivação por partes 39
3.3. Método de primitivação por substituição 52
4. Primitivação de funções racionais 60
4.1. Algumas questões preliminares 60
4.2. Decomposição de funções racionais próprias 60
4.3. Primitivação de funções racionais 62
4.4. Alguns exemplos de funções cuja primitivaçãose pode reduzir à de funções racionais 73
INTEGRAIS
1. Integral de Riemann 97
1.1. Soma integral de uma função 97
1.2. Definição de integral de Riemann 97
1.3. Uma condição necessária de integrabilidade 98
2. Somas de Darboux 99
2.1. Somas de Darboux 99
2.2. Uma condição necessária e suficiente de integrabilidade 101
3. Classes de funções integráveis 105
4. Interpretação geométrica do conceito de integral 108
5. Propriedades dos integrais 113
6. Teorema da média do cálculo integral 121
7. Desigualdade de Schwartz 123
8. Integral indefinido 124
9. Fórmula de Barrow 133
10. Métodos de integração 138
10.1. Método de integração por decomposição 138
10.2. Método de integração por partes 140
10.3. Método de integração por substituição 144
11. Integrais paramétricos 147
12. Extensão da noção de integral 152
12.1. Integrais impróprios 152
12.2. Integrais de limite infinito 157
13. Aplicações dos integrais 165
13.1. Cálculo de áreas planas 165
13.2. Cálculo de volumes de sólidos de revolução 178
13.3. Cálculo de volumes de sólidos que não sejam de revolução 182
13.4. Cálculo de comprimento de linhas 183
13.5. Cálculo de áreas laterais de sólidos de revolução 191
Exercícios propostos 195
1. Definição. Generalidades
Diz-se que F x( ) é uma primitiva de f x( ), num certo intervalo, se em qual-quer ponto desse intervalo F x f x� �( ) ( ).
Designando uma primitiva de f x( ) por Pf x( ), teremos
Pf x F x F x f x( ) ( ) ( ) ( )� � � � ,
em qualquer intervalo em que F x( ) seja primitiva de f x( ).
Sendo C uma contante,
[ ( ) ] ( )F x C F x� � � � ,
Portanto, há uma infinidade de primitivas de uma certa função. Basta,após se ter determinado uma, juntar-lhe constantes diferentes, parra se obteruma colecção infinita de primitivas. O problema de Primitivação é um pro-blema indeterminado. Põe-se, então, a questão de saber se, sendo F x( ) umaprimitiva de f x( ), todas as primitivas de f x( ) são da forma
F x C( ) � ,
sendo C uma constante.
Suponhamos, então, que G x( ), diferente de F x( ), é também uma primi-tiva de f x( ) (ambas no mesmo intervalo). Então,
F x G x� � �( ) ( ).
Portanto, segundo um dos corolários do teorema de Langrange, tem-seG x F x C( ) – ( ) � pelo que
G x F x C( ) ( )� � .
Em conclusão: duas primitivas de uma mesma função, num certointervalo, diferem sempre de uma constante. Assim, sendo F x( ) uma pri-
mitiva de f x( ), num certo intervalo pode dizer-se que,
Pf x F x C( ) ( )� �
PRIMITIVAS 11
é a expressão geral das primitivas de f x( ) nesse intervalo, sendo C umaconstante.
Exercício resolvido 1
a) Mostre quex 2
2é uma primitiva de x em IR.
b) Escreva a expressão geral das primitivas de x em IR.
c) Determine a primitiva de x que passa pelo ponto ( , )0 1 .
Resolução
a) x x2
2
�
�
�
��
�
� , �x IR pelo quex 2
2é, de facto, uma primitiva de x em IR.
b) Em face da alínea a), podemos escrever
Px x C� �
2
2
c) Recorrendo a b), podemos pôr y x C� �
2
2. Obrigando ( , )0 1 a pertencer
a esta função, obtemos 1 0� � C, vindoC � 1. Então y x� �
2
21 é a
primitiva de x que passa por ( , )0 1 .
Exercício resolvido 2
Considere a função f xx
x( )
,
,�
�
�
���
5 0
0 0
se
se
Mostre que:
a) 5x é uma primitiva de f x( ) em ] , [0 � � ,
b) 8 é uma primitiva de f x( ) em ] – , [� 0 ,
c) f x( ) não tem primitiva em IR.
12 PRIMITIVAS E INTEGRAIS
Resolução
a) 5x é uma primitiva de f x( ), em ] , [0 � � porque, nesse intervalo,
( ) ( )5 5x f x� � � .
b) 8 é uma primitiva de f x( ), em ] – , [� 0 , porque, nesse intervalo,
8 0� � � f x( ).
c) Se existisse uma primitiva de f x( ) em IR, designando-a por F x( ), tería-
mos
F x Fx
F c( ) ( )
( )�
� �0
, �x 0,
sendo c x� ] ; [0 (Teorema de Lagrange).
Mas � � �F c f c( ) ( ) 0 visto que c � 0. Então,
� � � �
� �
FF x F
xex x
( ) lim( ) – ( )
lim– –
00
0 00 0
.
Não se pode, portanto, ter F f� � �( ) ( )0 0 5 pelo que não existe P f x( )em IR, embora existam primitivas de f x( ) em ] , [0 � � e ] – , [� 0 .
2. Primitivas imediatas e quase-imediatas
Como resulta da definição dada atrás, a operação de primitivação éinversa da de derivação.
Portanto, obtêm-se regras de primitivação invertendo as de derivação. Asprimitivas que se determinam aplicando apenas essas regras, chamam-sePrimitivas imediatas. Àquelas cuja determinação exige algumas operaçõespreliminares, antes da aplicação das regras, chama-se Primitivas quase-ime-diatas.
Vamos então, analisar essas regras e ver exemplos da sua aplicação:
1. ( )Kx KX K� � � � desde que K seja uma constante. Então,
P K Kx C� �
sendo K e C constantes. Por exemplo, P x C2 2� � , P x C5 5� � , etc.
PRIMITIVAS 13
2. Sendo u uma função de x, temos
P Ku K Pu C� �
com K e C constantes, visto que ( ) ( )K Pu K Pu Ku� � � � .
Esta regra, embora simples, é bastante útil. Mostra que as constantesmultiplicativas podem transitar através do sinal de primitivação. Por exemplo,
P x P x5 5sen sen� , P x P xtg tg�12
2 , etc.
3. Sendo u uma função de x e � uma constante temos (supondo que
� � – 1)u u u
u u� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�� � �
�� � �
1
11
1( )
. Então,
P u u u C��
�� � �
��
� 1
1, � � – 1
Vejamos alguns exemplos:
P x x C� �
2
2, u x� , � � 1 e u � � 1.
P xx
C( – )( – )
11
32
3� � , u x� – 1, � � 2 e u � � 1.
P x xx
C( – )( – )3 5 2
3 61 3
16
� � ,
u x�3 1– , � � 5 e u x� � 3 2.
Px
xP x x
2
11 2
2 22 2
( )( )–
�
� � � �
��
� �( )
–
–xC
2 111
�
�
–1
12x.
u x� �2 1, � � – 2 e u x� � 2 .
14 PRIMITIVAS E INTEGRAIS
P x P xx
C5 5 30 5 30 55 30
32
12
32
� � � � ��
� �( )( )
� � �23
5 30 3( )x C,
u x� �5 30, � �12
e u � � 5.
Px
xP x x
–
–( – ) (– )
–4
1212 4
3
3 44
13 3
� �
� � �( – )12
23
423x
C
� �32
123 4 2( – ) .x C
u x� 12 4– , � �– 13
e u x� � – 4 3.
Px
xP x
xx
Cln
(ln )ln2
2313
� � � ,
u x� ln , � � 2 e ux
� �1
.
Px
xP x
x
xC
arc tgarc tg
arc tg
1
1
1 22 2
2
�
�
�
� � .
u x� arc tg , � � 1 e ux
� �
�
1
1 2.
P x xx
Csensen2
3
3cos � � .
u x� sen , � � 2 e u x� � cos .
P x xx
Ctg sectg3 2
4
4� � .
u x� tg , � � 3 e u x� � sec2 .
PRIMITIVAS 15
P e ee
Cx xx
( )( )
11
43
4� �
�� .
u ex� �1 , � � 3 e u ex
� � .
Px x
P xx
xC1
33
1 323
32
( ln )( ln )
( ln )–
––
�
� � ��
� �
�
�
�–( ln )
.1
2 3 2xC
u x� �3 ln , � � – 3 e ux
� �1
.
Vamos ver agora, exemplos de casos em que aplicando 2), é necessáriorecorrer a constantes multiplicativas para se obter u �:
P x x P x xx
C( – ) ( – )( – )2 3 2 3
2 41
12
1 212
14
� � � �
� �( – )x
C2 41
8.
P x x x P x x x( – ) ( – ) ( – ) ( – )3 6 9 116
3 6 9 6 62 5 2 5� � � �
��
� �16
3 6 96
2 6( – )x xC
��
�( – )3 6 9
36
2 6x xC.
P x
xP x x
( )( )–
11
2 32 3
�
� � �
� � � ��
� �12
1 212
12
2 32 2
P x xx
C( )( )
––
–
�
�
�–( )
1
4 1 2 2xC.
16 PRIMITIVAS E INTEGRAIS
P x x P x x5 3 2 315 21 5 1 5� � � � �( )
� � �1
151 5 153
15 2P x x( )
��
� �1
151 5
65
365( )x
C
� � �1
181 5 3 65 ( )x C.
P e
eP e e
x
xx x
2
2 32 3 2
11
( )( )–
�
� � �
� � �12
1 22 3 2P e ex x( )–
��
� �12
12
2 2( )–
–eC
x
�
�
�–( )
1
4 1 2 2eC
x.
P x x P x x( cos ) – ( cos ) (– )1 15 5� � � �sen sen
��
�–( cos )1
6
6xC.
4. Em 3) está excluída a situação � � – 1. Neste caso teremos
P u u P uu
�� �
�1 .
Recordemos que (log )u uu
� ��
e [ln (– )]––
uuu
uu
� ��
��.
No primeiro caso tem de ser u � 0 e, no segundo u � 0. Será então,
P uu
u C�
� �ln | |
fórmula válida desde que u � 0.
PRIMITIVAS 17
Esta fórmula contempla as situações em que 3) falha. Vejamos algunsexemplos:
Px
x C1
� �ln | | .
P x
xx C2
11
22
�
� � �ln ( ) .
Repare-se que 1 02� �x para qualquer valor de x.
P x
xP x
xx C
2
3
2
33
1
13
3
11
�
�
�
� � �ln | | .
Px x
P xx
x C11
ln lnln | ln |� � � .
P e
ee C
x
xx
11
�
� � �ln ( ) (ex� 0, qualquer que seja x).
P P Cx
x
x
xx2
3 2
12
2 2
3 2
12
2 3– ln
ln
– lnln | – |
�
�
�
� � � .
Px x
Px
xx C1
1
1
12
2
( )ln | | .
�
��
� �
arc tg arc tgarc tg
Repare-se na aplicação desta fórmula na primitivação de algumas funçõestrigonométricas:
P x Pxx
Px
xx Ctg
sen sen� � �
�� �
cos cos– ln | cos | .
P x Pxx
x Ccotgsen
sen� � �cos
ln | | .
P x Px x x
x xP
x xx x
secsec sec tg
sec tgsec tgsec tg
��
��
� �
��
2 ( )
� � �ln | |sec tgx x C.
18 PRIMITIVAS E INTEGRAIS
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5
25
75
95
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0
5
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