TEORI DASAR PROBABILITAS

DENI PURBA, MM.

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS:

Diharapkan mahasiswa mampu:

1. Menjelaskan konsep probabilitas secara umum

2. Menghitung besarnya suatu probabilitas dari suatu peristiwa

DAFTAR MATERI PEMBAHASANA. PendahuluanB. Pendekatan Probabilitas 1. Probabilitas Klasik 2. Probabilitas Relatif 3. Probabilitas SubjektifC. Konsep Dasar dan Hukum Probabilitas 1. Hukum Penjumlahan 2. Hukum Perkalian

A. Pendahuluan

Tugas statistik baru dianggap selesai jika kita berhasil membuat kesimpulan yang

dapat dipertanggungjawabkan tentang sifat atau karakteristik populasi.

Untuk membuat kesimpulan tentang populasi ini, umumnya penelitian secara sampling dilakukan.

Jadi sampel yang representatif diambil dari populasi, lalu datanya dikumpulkan dan dianalisis.

Atas dasar hasil analisis ini dan berbagai pertimbangan yang perlu, dibuat kesimpulan bagaimana karakteristik populasi tersebut.

A. Pendahuluan

Jelas bahwa kesimpulan yang dibuat, kebenarannya tidaklah pasti sehingga timbul

persoalan bagaimana keyakinan kita untuk mempercayai kebenaran kesimpulan yang

dibuat. Yakinkah 100 % bahwa kesimpulan yang dibuat itu benar, atau ragu-ragukah untuk

mempercayainya? Untuk itu diperlukan teori baru yang disebut probabilitas (peluang).

Teori ini antara lain membahas tentang ukuran atau derajat ketidakpastian sesuatu

peristiwa.

A. Pendahuluan

Teori probabilitas merupakan cabang dari ilmu matematika terapan (applied mathematics) dan menelaah perilaku faktor untung-untungan (chance factor).

Konsep tentang untung-untungan sendiri lebih mudah dijelaskan dengan contoh-contoh daripada dirumuskan dengan kata-kata.

A. Pendahuluan

1. Anda ingin belajar bahasa Inggris? Pada saat ini banyak lembaga yang memberikan kursus bahasa tersebut, misalnya LB-LIA, EF, BBC, Oxford, London School, Primagama dan lain-lain. Mana yang Anda pilih? Untuk memudahkan pilihan,

Anda dapat menanyakan pada 30 teman, di mana mereka kebanyakan ikut kursus. Lembaga yang mempunyai probabilitas peserta banyak yang mungkin lebih cocok Anda pilih.

Pengertian Tentang Probabilitas Tidak ada yang pasti dalam hidup ini. Dalam setiap

pekerjaan, kita menduga-duga peluang keberhasilan, mulai dari bisnis sampai pengobatan hingga cuaca.

Perang Amerika dan Irak kemungkinan mendorong indeks harga saham meningkat.

Krisis minyak akibat perang memberikan probabilitas Indonesia mendapatkan windfall profit.

Hari Raya Idul Fitri, Natal dan Tahun Baru menyebabkan probabilitas inflasi menjadi sangat besar.

Masih banyak contoh lain tentang probabilitas suatu peristiwa.

Pengertian Tentang Probabilitas Lind (2002) mendefinisikan probabilitas sebagai

berikut.

Probabilitas adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang.

Probabilitas dinyatakan antara 0 dan 1 atau dalam persentase atau desimal

Unsur Probabilitas

Ada tiga hal penting dalam rangka membicarakan probabilitas yaitu percobaan (experiment), hasil (outcome) dan peristiwa (event).

Percobaan

Percobaan adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi

Percobaan

Contoh: kegiatan melempar uang koin akan melahirkan

peristiwa muncul gambar atau angka, kegiatan jual beli saham akan melahirkan peristiwa

membeli atau menjual, perubahan harga-harga akan melahirkan inflasi dan

deflasi, mahasiswa yang giat belajar akan melahirkan

prestasi yang memuaskan, sangat memuaskan atau terpuji.

Pertandingan sepakbola akan melahirkan peristiwa menang, kalah atau seri.

Hasil

Hasil (outcome) adalah suatu hasil dari sebuah percobaan

• Jadi hasil adalah seluruh kemungkinan peristiwa yang akan terjadi akibat adanya suatu

percobaan atau kegiatan

Peristiwa

Peristiwa (event) adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan

Dalam setiap percobaan atau kegiatan hanya ada satu kemungkinan hasil.

Pada kegiatan jual beli saham, kalau tidak membeli berarti menjual.

Pada perubahan harga terjadi inflasi atau deflasi. Pada pertandingan sepakbola juga hanya terjadi satu

peristiwa, apakah klub sepakbola tersebut menang, kalah atau seri.

Dua peristiwa tersebut tidak dapat terjadi bersamaan.

Keterkaitan antara Percoban, Hasil dan Peristiwa

Bagaimana menyatakan probabilitas ?

1. Probabilitas dinyatakan dalam bentuk pecahan antara 0 sampai 1.

Probabilitas 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi,

contoh :

(a) seluruh tanaman dan ternak di Indonesia mati, atau

(b) seorang anak balita melahirkan bayi

Probabilitas 1 menunjukkan peristiwa pasti terjadi

(a)semua manusia pasti mati,

(b) semua harga barang dan jasa pasti berubah, dan

(c) tidak ada kondisi manusia yang statis.

Bagaimana menyatakan probabilitas ?

2. Probabilitas dapat dinyatakan dalam desimal atau persentase.

Pada hari Jumat adalah penutupan bursa saham, maka kebanyakan investor mengambil profit taking, sehingga probabilitas menjual mencapai 0,7 dan membeli 0,3.

Pada kondisi perang antara Amerika dan Irak, maka probabilitas inflasi di atas dua digit di Indonesia mencapai 70 % dan hanya 30% probabilitas inflasi di bawah dua digit.

B. Pendekatan Probabilitas

Pendekatan probabilitas ada 3 macam yaitu :

1. Pendekatan klasik2. Pendekatan Relatif3. Pendekatan subyektif

1. Pendekatan Klasik

1. Pendekatan Klasik Pendekatan klasik mengasumsikan

bahwa sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi yang sama (equally likely).

Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil (rasio peristiwa terhadap hasil)

1. Pendekatan Klasik

2. Pendekatan Relatif

Pendekatan relatif menyatakan bahwa besar probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan.

2. Pendekatan Relatif

Contoh : Pada kegiatan jual beli saham di BEJ

terdapat 3.000.000 transaksi yang terdiri dari 2.455.000 transaksi jual dan 545.000 transaksi beli. Peristiwa ini didorong aksi profit taking.

Maka probabilitas jual adalah :(2.455.000 / 3.000.000) = 0,82

probabilitas beli :(545.000 / 3.000.000) = 0,18

3. Pendekatan Subjektif

Pendekatan subjektif adalah menentukan besarnya probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan.

Penilaian subjektif diberikan karena terlalu sedikit atau tidak ada informasi yang diperoleh atau berdasarkan keyakinan.

Pendekatan subjektif menyatakan probabilitas suatu peristiwa terjadi berdasarkan penilaian pribadi

3. Pendekatan Subjektif

Contoh pendekatan subjektif seperti : menurut Presiden Saddam Husen Irak pasti

akan menang melawan Amerika, menurut Presiden Amerika, rakyat Irak akan

menyambut tentara Amerika dengan suka cita, menurut Menteri Keuangan Indonesia periode

1996-1998, Indonesia tidak akan pernah krisis karena pondasi ekonomi kuat.

Anda akan mendapatkan nilai minimal B untuk matakuliah Statistik I.

C. Konsep Dasar dan Hukum Probabilitas

Probabilitas kejadian dilambangkan dengan P.

Apabila kejadian jual saham dinyatakan dengan huruf A, maka probabilitas jual saham dinyatakan dengan P(A).

Sebaliknya bila kejadian beli saham adalah B, maka probabilitas beli saham P(B).

1. Hukum Penjumlahan

Jika kejadian A dan B saling lepas, hukum penjumlahan menyatakan bahwa probabilitas suatu kejadian atau probabilitas kejadian lain terjadi sama dengan penjumlahan probabilitas masing-masing kejadian.

1. Hukum Penjumlahan

Contoh. Berikut adalah kegiatan jual beli saham di BEJ untuk tiga perusahaan perbankan dengan jumlah total sebanyak 200 transaksi.

a. Peristiwa/Kejadian Bersama Jarang sekali dalam kehidupan sehari-hari hanya

terjadi satu peristiwa. Kejadian seperti jual atau beli saja tanpa tahu

apa yang dijual atau dibeli jarang sekali terjadi. Kegiatan jual saham pastilah diketahui saham

apa yang dijual atau dibeli. Jadi kegiatannya ada 2 jenis, yaitu (a) kegiatan

jual saham dan (b) sahamnya adalah saham BCA. Oleh sebab itu, ada kejadian bersama (joint

event). Probabilitas kejadian bersama dilambangkan

dengan P(AD) untuk kegiatan jual saham BCA dan P(BD) untuk kejadian beli saham BCA.

a. Peristiwa/Kejadian Bersama Contoh.

Cobalah hitung berapa probabilitas jual saham BCA P(AD) dan probabilitas beli saham BCA P(BD).

a. Peristiwa/Kejadian Bersama Maka dari Diagram Venn terlihat adanya perhitungan ganda yaitu

kejadian AD. Oleh sebab itu, untuk penjumlahan probabilitas dengan adanya unsur kegiatan bersama, maka rumus penjumlahan menjadi:

b. Peristiwa/Kejadian Saling Lepas (Mutually Exclusive)

Kejadian saling lepas terjadi apabila hanya satu dari dua atau lebih peristiwa yang dapat terjadi. Oleh sebab itu, kejadian bersama dalam peristiwa saling lepas tidak ada.

Diagram Venn menunjukkan bahwa peristiwa A (jual saham) dan B (beli saham) salinglepas. Kejadian bersama untuk peristiwa saling lepas dinyatakan:

P(AB) = 0Oleh sebab itu, untuk peristiwa saling lepas, probabilitas kejadian A atau B yangdinyatakan dengan

P(A atau B): P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(AB)Karena P(AB) = 0, makaP(A atau B) = P(A) + P(B) - 0Sehingga P(A atau B) dinyatakan sebagai berikut

b. Peristiwa/Kejadian Saling Lepas (Mutually Exclusive)

Contoh.

Cobalah hitung berapa probabilitas kejadian jual dan beli saham, P(AB) dan probabilitas kejadian untuk saham BCA, BLP, dan BNI, P(DEF) ?

P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(AB)= 0,6 + 0,4 - 0= 1,0P(D atau E atau F) = P(D) + P(E) + P(F) - P(DEF)= 0,35 + 0,40 + 0,25 - 0= 1,0P(D atau E) = P(D) + P(E) - P(DE)= 0,36 + 0,40 - 0= 0,75

D. Hukum Perkalian

Ada dua jenis kejadian  yaitu 1. kejadian bebas ( independent

event ) 2. Probabilitas Bersyarat

(Conditional  Probability)

D. Hukum Perkalian

a). Hukum perkalian untuk probabilitas kejadian A dan B yang saling bebas (independen) dinyatakan sebagai berikut :

P ( A B ) = P(A dan B) = P(A) x P(B)Contoh :

Saudara diminta melemparkan uang logam dua kali ke udara. Berapa probabilitas ke dua lemparan  tersebut menghasilkan gambar ?Jawab :

Pada lemparan pertama, probabilitas muncul gambar = ½  dan pada lemparan ke dua, probabilitas muncul angka = ½.

Maka P(A dan B) = P(A) x P(B) =   ½    x  ½       = ¼

D. Hukum Perkalian

b).  Probabilitas Bersyarat (Conditional  Probability)

Probabilitas bersyarat adalah probabilitas suatu peristiwa akan terjadi dengan ketentuan peristiwa yang lain telah terjadi.

Probabilitas bersyarat dilambangkan dengan P(A|B) yaitu probabilitas peristiwa A, dengan syarat peristiwa B telah terjadi. 

P(Adan B) = P(A) x P(B|A)

D. Hukum Perkalian

Contoh : Dengan melihat data pada Tabel 1, berapakah probabilitas terjualnya

saham BCA : P( D|A) dan probabilitas saham BCA terjual : P( A|D) ? Jawab :

Probabilitas terjualnya saham BCA : P( D|A) : Saham BCA yang terjual 30 dan jumlah transaksi jual saham 120 maka P(D|A)  = 30/120 = 0,25

Probabilitas saham BCA terjual : P( A|D)  Jumlah transaksi saham BCA ada 70 dan saham BCA yang terjual ada 30, maka P(A|D) = 30/70 = 0,43

Dari nilai di atas terlihat bahwa probabilitas P(A|D) dan P(D|A) bisa berbeda, namun bisa saja sama.

F. Peristiwa Pelengkap ( Complementary  Event)

Peristiwa pelengkap menunjukkan bahwa apabila ada dua peristiwa  A dan B yang saling melengkapi, sehingga apabila peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi.P(A) + P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B)

Contoh : kegiatan jual beli saham menghasilkan dua hasil yaitu kegiatan jual P(A)  atau kegiatan beli P(B). Apabila diketahui P(A) = 0,8, maka P(B) = 1 – 0,8 = 0,2

A

B

G. PERMUTASI

Permutasi adalah penyusunan obyek-obyek sejumlah n yang tiap-tiap diambil sejumlah r dengan memperhatikan susunannya.

Jumlah permutasi tingkat r dari n obyek dinyatakan dengan rumus :

n! P(n,r) =

(n - r)!

Dimana : n! dibaca n faktorial n! = 1.2.3.4. .......n 0! = 1

G. PERMUTASI

Contoh : Banyaknya hasil yang mungkin apabila

memilih 3 orang pelamar dari 10 pelamar untuk menempati 3 posisi yang berbeda : 10!

P(10,3) = = 720 (10 - 3)!

H. KOMBINASI

Kombinasi adalah seleksi terhadap obyek-obyek sejumlah n yang tiap-tiap kali diambil sebanyak r tanpa memperhatikan tata susunannya.

Untuk menghitung jumlah kombinasi yang mungkin disusun digunakan rumus berikut

n! C(n,r) =

r! (n - r)!

H. KOMBINASI

Contoh : Banyaknya hasil yang mungkin apabila

memilih 3 orang calon kedalam suatu daftar pendek (sort-list) dari 10 orang bakal calon untuk dipilih yaitu :

10! C(10,3) = = 120

3! (10 - 3)!

TERIMA KASIH