3.2. Ensimmäisen asteen polynomifunktio
E.2. Laske funktion f(x) = 4x - 3 arvo, kun x = 2
f(2) = 4 · 2 - 3 = 5
3.2.2 Funktion määrittelyjoukko (MJ)Ne muuttujan arvot, joilla funktion arvot voidaan laskea
E.4. Mikä on funktion määrittelyjoukko, kun
xxf )( 1
2)(
x
xfa) f(x) = x + 1 b) c)
a) R
b) x ≥ 0
c) x ≠ 1
E.5. Piirrä funktion f(x) = x + 1 kuvaaja
b) Määritä funktion nollakohta
x + 1 = 0
x = -1
Lineaarinen funktio y = kx + b
Kuvaaja on suora
k = kulmakerroinjos k > 0, niin suora on nousevajos k < 0, niin suora on laskevajos k = 0, niin suora on x-akselin
suuntainenilmoittaa myös jyrkkyyden
b = vakiotermisuoran ja y-akselin leikkauspisteen y-
koordinaatti
E.7. Suorien yhtälöt ovat 6x + 2y = 2 ja 2x + 4y - 4 = 0. a) Määritä suorien kulmakertoimet b) Ovatko suorat nousevia vai laskevia c) Kumpi suora on jyrkempi
a) 2y = -6x + 2 4y = -2x + 4
y = -3x + 1 y = -½ x + 1
k = -3 k = -½
b) laskevia, koska k < 0
c) y = -3x + 1 on jyrkempi
Kirjan esimerkki 3, s. 75
Määritä pisteiden (-1, 1) ja (2, 0) kautta kulkevan suoran yhtälö.
Suoran yhtälö muotoa y = kx + b
Suoralla olevat pisteet toteuttavat yhtälön:
1 = -k + b
0 = 2k + b
0 2
1
bk
bk
3k = -1
k = -1/3
sijoitus:
2*(-1/3) + b = 0
b = 2/3
3
2
3
1 xy
E.1. Ratkaise yhtälöpari
103 5
724
yx
yx | 3
| (-2)
20- 6y -10x -
21 6y 12x
2x = 1
x = ½
V: x = ½, y =2½
y sijoittamalla:
4·½ + 2y = 7
2y = 7 – 2
2y = 5
y = 2½
Tarkistus:
4 ½ + 2 2½ = 7 ./.
5 ½ + 3 2½ = 10 ./.
E.2. Ratkaise yhtälöpari
T1
053
02
yx
yx
5 3
02
yx
yx
5x = -5
x = -1
y sijoittamalla:
y = 2 (-1) = – 2
V: x = -1, y = -2
T.2.
Ratkaistaan ensin y:
2x – y = 0
y = 2x
Sijotetaan alempaa yhtälöön:
3x + 2x + 5 = 0
5x = – 5
x = -1
y sijoittamalla:
y = 2 (-1) = – 2
V: x = -1, y = -2
053
02
yx
yx
T.3.
Ratkaistaan ensin molemmista y:
2x – y = 0
y = 2x
3x + y + 5 = 0
y = -3x – 5
Merkitään y:n lausekkeet yhtä suuriksi:
2x = -3x – 5
2x + 3x = -5
5x = -5
x = -1
y sijoittamalla:
y = 2 (-1) = – 2
V: x = -1, y = -2
053
02
yx
yx
E.3. Ratkaise E.2. graafisesti
2x – y = 0
y = 2x
V: x = -1, y = -2
Huom:Aina likiarvo!Laske aina, jos ei nimenomaan pyydetä graafista ratkaisua
3x + y + 5 = 0 y = -3x – 5
E.5. Ratkaise yhtälöpari
0748
0724
yx
yx | (-2)
| 1
0 74y8x
0144y8x
-21 = 0
epätosi
V: Yhtälöllä ei ole ratkaisua
E.6. Ratkaise yhtälöpari
12
012
xy
yx
0 = 0
tosi
V: Kaikki suoran x – 2y + 1 = 0 pisteet
012yx
012y x
Yhtälöparin sovelluksia
E.1. Kuinka monta kanaa ja kania on miehen säkissä, kun päitä on yhteensä 8 ja jalkoja 22?
x = kanojen lkm
y = kanien lkm
224y2x
8y x | (-2)
| 1
22 4y2x
162y -2x -
2y = 6 | :2
y = 3
Sijoittamalla:
*) x + 3 = 8
x = 8 – 3
x = 5
V: 5 kanaa ja 3 kania
*
Reaalilukuvälit E.2. Esitä epäyhtälöin välia) 1,4 b) ]0,3] c) [-2, [
a) 1 ≤ x ≤ 4b) 0 < x ≤ 3c) x ≥ -2
E.3. Esitä hakasuluin välia) 6 < x < 8 b) 4 x < 10 c) x < 4
a) ]6, 8[
b) [4, 10[
c) ]- ∞, 4[
EPÄYHTÄLÖN RATKAISEMINEN
E.4. Ratkaise epäyhtälöa) 3x + 2 < x + 8 b) 2x – 3 < 4x + 5
a) 3x + 2 < x + 8 3x – x < 8 – 2 2x < 6 x < 3
b) 2x – 3 < 4x + 5 2x – 4x < 5 + 3 -2x < 8 x > -4
E.5. a)
4
12
2
xx
| *4
2x < 2x + 1
2x -2x < 1
0 < 1
tosi
x R
b) x(x – 4) < (x – 5)(x+1)
x2 – 4x < x2 + x – 5x – 5
x2 – 4x – x2 – x + 5x < -5
0 < -5
epätosi
V: ei ratkaisua
Kaksoisepäyhtälö1. ”JA”-ryhmän ratkaiseminenRatkaise JA sanan molemmilla puolilla olevat epäyhtälötMerkitse kummankin epäyhtälön ratkaisujoukot lukusuorataulukkoon omille riveilleen.Ratkaisujoukko (omalle riville) on näiden leikkausjoukko ts. alue, missä molemmat epäyhtälöt toteutuvat
Ratkaise a) 2x > 2 ja x - 4 < 02x > 2 | :2 x > 1 x - 4 < 0
x < 4
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
V: 1 < x < 4
Kaksoisepäyhtälön hajotus osaepäyhtälöiksia < b < c a < b JA b < c
Esimerkki
x - 3x < 0 < 1 - xx - 3x < 0 JA 0 < 1 - x -2x < 0 x < 1 x > 0Lukusuoralle”leikkausalue” on vastaus
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
V: 0 < x < 1
Eksponenttifunktio y = kx
Kuvaaja on koko ajan x-akselin yläpuolella, kulkee pisteen (0,1) kautta (k > 0)
Määrittelyjoukkoon koko R
Arvojoukkoon R+ eli positiivisten reaalilukujen joukko
kx on kasvava, jos k > 1 ELI kantaluku on > 1kx on vähenevä, jos 0 < k < 1 eli kantaluku välillä ]0,1[kx on vakiofunktio, jos k = 1
Eksponenttiyhtälöitä
Yhtälö, jossa kaksi termiä ja sama kantalukuSiirrä termit eri puolelle yhtälöäkx = ky x = y
Esimerkki3x = 9 3x = 32
x = 2
7x-3 = 49x
7x-3 = (72)x
7x-3 = 72x
x - 3 = 2x
x = -3
Eksponenttiepäyhtälöitä
Epäyhtälö, jossa kaksi termiä ja sama ykköstä suurempi kantalukuSiirrä termit eri puolille epäyhtälöä.kx < ky x < y (kun k > 1)
Epäyhtälö, jossa kaksi termiä ja sama ykköstä pienempi kantalukuMuuten samoin kuin yllä, muttaKäytä sääntöä kx < ky x > y (kun 0 < k < 1)Esimerkki 3x > 81 3x > 34 x > 4
4x-1 < 8 (22)x -1 < 23
22(x - 1) < 23
2(x - 1) < 3 2x - 2 < 3 2x < 5 x < 2,5
Esimerkki
Bakteerikanta kolminkertaistuu tunnissa
Jos kannan suuruus nyt on 25 miljardia
Kuinka paljon bakteereja on
a) Neljän tunnin kuluttua
b) Neljä tuntia sitten
c) Puoli tuntia sitten
a) 34 * 25 = 2000 (miljardia)
b) 3-4 * 25 = 0,31 (miljardia)
c) 3-0,5 * 25 = 14 (miljardia)
Esimerkki
Radioaktiivisen aineen määrä pienenee kahdeksassa päivässä neljännekseen alkuperäisestä.
Kuinka monta prosenttia aineesta hajoaa vuorokaudessa?
k8 * a = 0,25a
k8 = 0,25
a = alkuperäinen määrä
84,025,08 k
Vuorokaudessa aineen määrä tulee 0,84-kertaiseksi eli aineesta hajoaa 16%
POLYNOMIT
E.1. Mitkä ovat polynomin P(x) = 5x3 – 2x + aa) termit b) termien kertoimet c) astelukud) Onko polynomi monomi, binomi vai trinomi?
a) 5x3, -2x ja a (vakiotermi)b) 5, -2, ac) 3d) trinomi
E.2. Polynomin 2x + 1
aste on 1
kuvaaja on suora
E.3. Polynomin x2 – 1
aste on 2
kuvaaja on paraabeli
POLYNOMIN ARVON LASKEMINEN
Sijoitetaan muuttujan paikalle se luku, jolla polynomin arvoa ollaan laskemassa
E.4. Laske P(1), P(-2)kun a) P(x) = x2 – 2 b) P(x) = -x2 + 2x + a
a) P(1) = 12 – 2 = -1 P(-2) = (-2)2 – 2 = 4 – 2 = 2
b) P(1) = -12 + 2· 1 + a = -1 + 2 + a = 1 + a P(-2) = -(-2)2 + 2 · (-2) + a = -4 – 4 + a = -8 + a
E.5. a) Millä x:n arvolla P(x) = 2x – 4 saa arvon 6b) Ratkaise yhtälö P(x) = 0, kun P(x) = 2x + 1
a) P(x) = 6:
2x – 4 = 6 2x = 10 x = 5b) P(x) = 02x + 1 = 0 2x = -1 x = -½
POLYNOMIN YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKU
E.7. Laskea) 4x3 + 3x3 = 7x3
b) 7x3 + 3x2 – 2x2 = 7x3 + x2
c) 4x3 – 2x2 + 1 + 4x2 –3x3 –2 = x3 + 2x2 - 1
E.8. Määritä polynomin P(x) = -x2 – 5x + 2 vastapolynomi
-P(x) = -(-x2 – 5x + 2) = x2 + 5x - 2
E.9. Laske polynomien p(x) = 3x2 – 2x + 1 ja q(x) = -x2 + 2x – 1 erotus
p(x) – q(x) = (3x2 – 2x + 1) – (-x2 + 2x – 1)
= 3x2 – 2x + 1 + x2 – 2x + 1
= 4x2 – 4x + 2
POLYNOMIEN KERTOLASKU
E.10. Laskea) –3x2 4x3 = -12x5
b) 4 5x - 10x = 20x – 10x = 10x
c) 4(3x – 2) =12x - 8
d) 4x(2x + 2) =8x2 + 8x
e) (2x – 1) (3x + 2) =6x2 + 4x – 3x – 2 = 6x2
+ x - 2
POLYNOMIN JAKAMINEN MONOOMILLAJokainen polynomin termi jaetaan monomilla
E.11. Laske
2
2423
6
1218)
8
2416)
6
12)
3
6)
x
xxd
xcx
xb
xa
Tekijöihin jako
Esimerkkejä
Jaa tekijöihin
6x + 12
=6(x + 2)
4x2 - 12x
=4x(x -3)
5.2. Binomin laskusääntöjä
5.2.1. Summan ja erotuksen tulo
(a + b)(a – b) = a2 – b2
E.1.
a) (x + 2) (x – 2)
= x2 – 22
= x2 – 4b) (y - 4) (y + 4) = y2 – 42 = y2 - 16c) (3x - 5) (3x + 5) = (3x)2 – 52 = 9x2 - 25d) (x2 + 3) (x2 – 3) = (x2)2 – 32 = x4 - 9e) (3 + x) (x – 3) = (x + 3)(x – 3) = x2 - 9f) 4(x + 1) (x – 1) = 4(x2 – 1) = 4x2 - 4
a2 – b2 = (a+b)(a – b)
E.2. Jaa tekijöihin
a) x2 – 9
= x2 – 32
= (x + 3)(x -3)
b) 4x2 – 25
= (2x)2 – 52
= (2x – 5)(2x + 5)
c) x4 – 4x2
= x2(x2 -4)
= x2(x + 2)(x – 2)
E.3. Poista neliöjuuret nimittäjästä
23
5
)23)(23(
)23(5
22 )2()3(
)23(5
23
)23(5
)23(5
BINOMIN NELIÖ
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
E.4.a) ( x + 3)2 = x2 + 2 x 3 + 32 = x2 + 6x + 9
b) ( x - 4)2 = x2 - 2 x 4 + 42 = x2 - 8x + 16
c) (3 x + 1)2 = (3x)2 - 2 3x 1 + 12 = 9x2 - 6x + 1
d) ( - ½x + 5)2 = (5 - ½x)2
= 52 - 2 5 ½x + (½x)2 = 25 - 5x + ¼ x2
= ¼ x2 – 5x +25
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
E.5. Jaa tekijöihin esittämällä binomin neliönä
a) x2 + 8x + 16= x2 + 2 x 4 + 42
= (x + 4)2
b) x2 + 20x + 100= x2 + 2 x 10 + 102
= (x + 10)2
c) 4x2 + 12x + 9= (2x)2 + 2 2x 3 + 32
= (2x + 3)2
Neliöjuuren määritelmän käyttöä
aba 2b ja 0b
Luvun a neliöjuuri:
172334635
Osoita likiarvoja käyttämättä, että
17231723 2 i) 1718 > 0
2)1723( 171723229 346351734618
= juurrettava
ii)
i) & ii) => väite
6.1.1. Polynomifunktion perusmuoto
E.1. p(x) = (x – 3)(3x – 4)2(x + 3)
= (x – 3) (x + 3)(3x – 4)2
= (x2 – 9)(9x2 – 24x + 16)
= 9x4 – 24x3 + 16x2 - 81x2 + 216x -144
= 9x4 – 24x3 - 65x2 + 216x -144
(perusmuoto)
asteluku: 4
aste myös: 1 + 2 + 1 = 4
laskemalla yhteen tulon tekijöiden asteet
6.1.2 Polynomifunktion tutkiminen graafisesti
E.1.
f(x) = x – 1
g(x) = –x2 + 2x + 1
a) g(x) = -2
b) f(x) = g(x)
c) f(x) < 2
d) g(x) ≥ f(x)
x = -1 ja x = 3
x = -1 ja x = 2
x < 3
-1 ≤ x ≤ 2
6.1.3. Polynomifunktio matemaattisena mallina
E.1. Tuotteiden hinta riippuu lineaarisesti niiden hinnasta
Kuukausittainen menekki astioille kuukaudessa:
Yksikköhinta menekki
10 150
15 110
a) f, joka ilmoittaa astioiden menekin hinnasta
f(x) = kx + b
f(10) = 150 f(15) = 110
11015
15010
bk
bk (-1)
11015
15010
bk
bk
5k = -40
k = -8
10(-8) + b = 150
b = 230
f(x) = -8x + 230
b) Mikä on funktion määrittelyehto
Hinta positiivinen
=> x > 0
Menekki positiivinen:
-8x + 230 > 0
-8x > -230
x < 28,75 0 < x < 28,75
c) Millä hinnalla menekki on 180?
-8x + 230 = 180 -8x = 180 – 230 -8x = -50 x = 6,25V: yksikköhinta 6,25 €
d) Kuvaaja