Teorema del valor medio o de Lagrange

Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en todo punto del intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a), es decir:

Sea f(x) continua en [a,b], derivable en (a,b), entonces c (a,b) /

Entonces, el teorema expresa que existe al menos un punto en el intervalo (a,b) donde la tangente a la curva es paralela a la recta que pasa por A y B.

Demostracin:

Vamos a definir la recta que pasa por los puntos A y B, que quedan definidos por:

A : (a,f(a))B : (b,f(b))

Luego la recta es:

Definimos ahora una funcin auxiliar g: g(x) = f(x) y(x)

Como f(x) es continua en [a,b], diferenciable en (a,b), tambin lo es y(x) y a su vez g(x). La funcin g(x) adems verifica las condiciones del teorema de Rolle, puesto que g(a) = g(b) = 0. Por dicho teorema, sabemos que hay un punto c donde g(c) = 0. Luego:

Evaluada en el punto c:

Queda entonces demostrado el teorema.