Download pdf - 4. Grede (1)

7/23/2019 4. Grede (1)

http://slidepdf.com/reader/full/4-grede-1 1/54

77

Gree su elementi konstrukcija koji (kao i štapovi) imaju jednu dimeziju značajno vedu o

ostale dvije dimenzije. Za razliku o štapova imenzije poprečnog presjeka gree su tako

dizajnirane da mogu da nose opteredenje bočno na uzdužnu osu gree, to jest, mogu biti

opteredene na savijanje. Gree također mogu biti izložene uvijanju i aksijalnom naprezanju.

Gree su najzastupljeniji konstrukcioni element koje se nalaze u velikom broju različitihveličina i oblika, sa namjenom da nose lateralno opteredenje, a buu dio mehanizma koji

prenosi silu, ili a buu nosede gree koje prvenstveno trpe aksijalni pritisak. Gree mogu

biti promjenjivog ili konstantnog poprečnog presjeka, sa pravom ili zakrivljenom osom grede,

sa velikim varijacijama oblika i veličine poprečnog presjeka koji mogu biti i stanarizovani.

Konstrukcije ili elementi konstrukcije koji su sastavljeni o više grea koje su međusobno

spojene zovu se ramovi. Ramovi mogu biti ravanski ili prostorni. Primjeri greda i ramova, kao

i elemenata konstrukcije koji se mogu analizirati kao grede dati su na slici 4.1.

Dimenzija gree koja je znatno veda o ostale vije imenzije naziva se longituinalna

imenzija i oređuje longitudinalni ili aksijalni pravac grede. Pravac normalan na aksijalni

MKE u analizi greda i ramova

7/23/2019 4. Grede (1)


78

pravac grede zove se transverzalni pravac. Presjek grede sa ravni normalnom na

longituinalni pravac gree naziva se poprečni presjek gree. Longituinalnu osu gree čin i

skup tačaka koje prolaze kroz geometrijsko sreište poprečnih presjeka gree.

U narenom poglavlju ate su efinicije presječnih sila u poprečnom presjeku gree. Potom

je opisan Euler-Bernoullijev matematski model grede. Izvedena je matrica krutosti KE gredesa va čvora i objašnjeno je formiranje globalne matrice krutosti sistema.

4.1 Sile u poprečnom presjeku grede

Na slici 4.2(a) prikazan je greni nosač po ejstvom opteredenja. Za analizu opteredenja

gree oređuju se presječne sile u poprečnom presjeku gree koje se ijele na aksijalne (ili

uzužne) i transferzalne (ili poprečne) sile i momenti savijanja. Aksijalna sila u poprečnompresjeku grede jednaka je algebarskom zbiru svih aksijalnih sila, odnosno projekcija sila na

Slika 4.1 Primjeri greda i ramova u konstrukcijama

7/23/2019 4. Grede (1)


79

osu koja je paralelna sa uzužnom osom gree, sa lijeve ili esne strane poprečnog presjeka

gree. Transferzalna sila u poprečnom presjeku gree jenaka je sumi svih transferzalnih

sila koje djeluju na gredu, odnosno projekcija sila na osu normalnu na uzužnu osu gree, sa

lijeve ili esne strane poprečnog presjeka gree. Moment savijanja u poprečnom presjeku

grede jednak je algebarskom zbiru momenata spoljašnjih sila koje djeluju na grede za tačku

poprečnog presjeka gree sa lijeve ili esne strane poprečnog presjeka gree.

Za analizu naprezanja gree važno je znati i smjer sila koje jeluju u poprečnom presjeku

grede. Ovo pitanje oređuje se dogovorom o znaku unutrašnjih sila. Naprimjer, ako u

poprečnom presjeku gree jeluje aksijalna sila koja isteže greu ona u poprečnom

presjeku djeluje pozitivna aksijalna sila, odnosno negativna vrijednost aksijalne sile u

poprečnom presjeku znači a je grea u tom poprečnom presjeku izložena sabijanju. Na slici4.3 prikazana je uobičajena konvencija o znaku presječnih sila u poprečnom presjeku gree

koja je korišena u aljem tekstu.

Slika 4.2 Grea po ejstvom opteredenja (a) i sile u

poprečnom presjeku gree

(a) (b)

A B x dx

A B

dx

Slika 4.3 Dogovor o znacima unutrašnjih sila u poprečnompresjeku grede (a) i aksijalne i transferzalne sile, odnosno spregovi

sila, sa lijeve i esne strane gree koji izazivaju u poprečnom

presjeku pozitivne aksijalne i transferzalne sile, odnosno momentesavijanja (b)

(a) (b)

7/23/2019 4. Grede (1)


80

Slika 4.4 Euler-Bernoullijeva hipoteza ravnih presjeka

Važna veza između momenata savijanja i transferzalnih sila obije se analizom ravnoteže

iferencijalno male užine gree prikazane na slici 4.2(b). Iz jenačine ∑ , zanemarivanjem diferencijalno malog člana, slijedi relacija

.

Za analizu napona i eformacija gree izložene savijanju karakteristična su va matematska

modela: Euler-Bernoullijev i Timoshenkov model. U narednom poglavlju opisan je Euler-

Bernoullijev matematski model.

4.2 Euler-Bernoullijev matematski model grede

Euler-Bernoullijev model naziva se i klasična teorija gree ili inžinjerska (tehnička) teorija

grede. Osnovna pretpostavka u klasičnoj teoriji gree je a ravni poprečni presjek gree

normalan na longitudinalnu ose grede ostaje ravan i normalan na longitudinalnu osu grede i

nakon deformacije grede (hipoteza ravnih presjeka), slika 4.4.

Posmatrat de se greda koja je izložena samo ejstvu spregova sila koji jeluju u ravnisimetrije grede, slika 4.5. U ovom slučaju opteredenja, transferzalne sile u grei su jenakenuli i kaže se a je grea izložena čistom savijanju. Na slici se vii a su za atu orjentacijuspregova sila gornja longituinalna vlakna gree izložena sabijanju dok su donja vlakna grede

izložena zatezanju. To znači a postoje vlakna na poprečnom presjeku gree koja nisuizložena eformaciji u longituinalnom pravcu gree. Skup ovih vlakana čine neutralnupovršinu, slika 4.5. Linija presjeka neutralne površine i ravni savijanja zove se elastična linija

grede. Linija presjeka neutralne površine i nekog poprečnog presjeka gree zove seneutralna osa poprečnog presjeka.

A

B

A

B

7/23/2019 4. Grede (1)


81

4.2.1 Normalni naponi u gredi

Dilatacija vlakna ab (slika 4.6(a)) u pravcu

ose koje se nalazi na rastojanju

od neutralne

linije iznosi:

gdje je poluprečnik krivine elastične linije.

(4.1)

y

x

A B

C D

ya b

c d

A'

D'C'

B'

ya' b'

c' d'

Slika 4.6 Grea izložena čistom savijanju (a) i eformacija greeizložene čistom savijanju (b)

(a) (b)

Slika 4.5 Položaj neutralne površine, elastične i neutralne linije

grede u odnosu na ravan savijanja grede

M z

M z

x

C

neutralna osa

y

z

7/23/2019 4. Grede (1)


82

Zanemarivanjem napone u gredi, na osnovu generalisanog Hookeovog zakona ( ) (vidjeti jenačine 2.15), dobija se napon . Imajujudi u viu

prethonu jenačinu iz izraza (4.1) slijedi:

Vrijednost i raspored napona u tačkama poprečnog presjeka grede mora zadovoljiti

jenačine ravnoteže. Za sistem prikazan na slici 4.7 statičke jenačine ravnoteže su:

Uvrštavanjem izraza (4.2) u jenačinu (4.3) slijedi jenačina ∫ . Imajudi u viu

a poluprečnik krivine nije funkcija koorinata y i z, za slučaj homogenog materijala

prethona jenačina ima oblik

Jenačina (4.9) bit de zaovoljena samo ako osa prolazi kroz geometrijsko sreište

poprečnog presjeka grede, odakle proizilazi da neutralna osa prolazi kroz geometrijsko

sreište poprečnog presjeka grede. Na sličan način, jenostavno se okazuje a se uslov

ravnoteže at jenačinom (4.7) svoi na jenačinu

Slika 4.7 Analiza statičke ravnoteže ijela

grede

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

A

xC

y

z

y zdA

σ x

M z

7/23/2019 4. Grede (1)


83

Integral

∫ prestavlja centrifugalni moment inercije površine poprečnog

presjeka gree. Uslov ravnoteže at jenačinom (4.7), a koji se svodi na izraz (4.10), bit dezaovoljen samo ako je centrifugalni moment inercija površine poprečnog presjeka jenak

nuli. Poznato je a je centrifugalni moment inercije površine za glavne centralne ose inercije

jenak nuli. Ovo znači a de uslov (4.7) bit zadovoljen samo ako su i glavne centralne ose

inercije površine poprečnog presjeka gree.

Korištenjem jenačine (4.2), jenačina (4.8) može se pisati u obliku ∫ . Iz

posljednje jenačine slijei jenačina

gdje aksijalni moment inercije površine za osu , ∫ , predstavlja geometrijsku

karakteristiku površine poprečnog presjeka gree. Uvrštavanjem izraza (4.11) u jenačinu

(4.2) slijedi izraz za normalni napon u tačkama ravni poprečnog presjeka gree u sljeedem

obliku:

Iz jenačine (4.12) vidi se da se napon mijenja linearno po visini poprečnog presjeka

grede, to jest , slika (4.8). Treba voiti računa a izraz za napon u jenačini (4.12)

vrijedi za odabrani koordinatni sistem i usvojeni dogovor o znaku momenta savijanja.

(4.10)

(4.11)

(4.12)

Slika 4.8 Raspored normalnih napona

u tačkama poprečnog presjeka

grede u slučaju savijanja grede.

M z

xC

y

z

σ x

x

y

σ x

7/23/2019 4. Grede (1)


84

Dominantan kriterij za dizajn greda po pitanju nosivosti su maksimni normalni naponi u

grei. Smičudi naponi, koji de biti analizirani u narenom poglavlju, mogu biti važni po pitanju

nosivosti grea posebno za slučaj kratkih grea.

4.2.2 Smičući naponi u gredi

U prethonom poglavlju izvršena je analiza napona u poprečnom presjeku gree za slučaj

čistog savijanja, to jest, za slučaj odsutnosti transverzalnih sila u poprečnom presjeku gree.

Ovakve situacije u praksi su rijetke i gree su u opštem slučaju tako izložene savijanju silama

da u poprečnom presjeku gree jeluju transferzalne sile. U slučaju a u ravni savijanja

grede date na slici 4.7 d jeluju sile koje izazivaju transferzalne sile u poprečnom presjeku

grede, u ovom presjeku javit de se tangencijalni naponi

i

, slika 4.9.

Za razliku o čistog savijanja, gje su jenačine ravnoteže (4.4) i (4.5) za gredu datu na slici

4.7 bile ientički zaovoljene, u slučaju savijanja silama ove vije jenačine ravnoteže imaju

sljeedi oblik:

gdje izraz

∑ predstavlja sumu svih transferzalnih sila u ravni savijanja sa lijeve strane

grede (slike 4.7 i 4.9), onosno jenak je transferzalnoj sili u poprečnom presjeku gree.

Slika 4.9 Komponente vektora napona na površini poprečnogpresjeka gree izložene savijanju silama.

∑ ∫ ,

(4.13)

(4.14)

dA x

C

y

σ x z

xz

xy

y

7/23/2019 4. Grede (1)


85

Iz jenačine (4.13) je očigleno a u poprečnom presjeku gree izložene savijanju silama

postoje smičudi naponi kao rezultat djelovanja transverzalnih sila. Međutim, na osnovu

jenačine (4.14) ne može se zaključiti a su naponi jenaki nuli u svakoj tački poprečnog

presjeka, ved samo a suma svih sila u poprečnom presjeku gree koje su rezultat ovih

napona mora biti jednaka nuli (ovo je mogude samo ako napon

mijenja znak na

presjeku).

Postojanje napona u poprečnom presjeku gree može se dokazati jednostavnim

eksperimentom. Naprimjer, ukoliko je konzola sastavljena o više grea međusobno

spojenih samo na mjestu uklještenja (slika 4.10(a)) opteredena silom kao na slici 4.10(b),

esit de se tokom deformacije relativno klizanje površina grea u kontaktu. U odsustvu

trenja nede postojati tangencijalni naponi na površinama kontakta grea. Međutim, u slučaju

da se grede spoje lijepljenjem už površina kontakta (slika 4.10(c)), očigleno je a de biti

spriječeno relativno klizanje površina u kontaktu vije susjene gree , a što de rezultirati

smičudom silom u ljepilu na mjestu spoja greda. Dakle, kaa je riječ o homogenoj grei

unutrašnji otpor materijala deformaciji kao na slici 4.10(b) rezultirat de pojavu tangencijalnih

napona u ravnima , odnosno, u skladu sa stavom o konjugovanosti tangencijalnih

napona, tangencijalnih napona u ravnima kao što je to prikazano na elementu na

slici 4.10(d).

Da bi se odredio raspored tangencijalnih napona

u poprečnom presjeku gree posmatrat

de se ravnoteža elementa iferencijalno male užine koji je prikazan na slici 4.11(b), a

Slika 4.10 Grea kombinovana o više grea (a), eformacijakombinovane gree kaa gree nisu međusobno vezane (b), ieformacija kombinovane gree kaa su gree čvrsto međusobnovezane (c) i napon na elementu ove grede (d)

A

(a) (b)

(c) (d)Element A

7/23/2019 4. Grede (1)


86

isječen je iz gree ate na slici 4.11(a). Na elementu na slici 4.11(b) uneseni su samo oni

komponentni naponi koji djeluju u pravcu ose.

Iz statičkog uslova ravnoteže a suma svih sila koje jeluju na element na slici 4.11(b) mora

biti jenaka nuli slijei sljeeda jenačina:

Korištenjem jenačine (4.12), i veze između momenta savijanja i transferzalne sile u

poprečnom presjeku gree , iz jenačine (4.15) slijei izraz za tangencijalni napon

gdje je statički moment površine A za težišnu osu . Iz izraza (4.16) vidi se da se

tangencijalni napon u poprečnom presjeku gree mijenja sa koordinatom obzirom da se

statički moment površine mijenja sa ovom koorinatom kao što se u opštem slučaju

mijenja i širina poprečnog presjeka sa koordinatom. Uobičajeno je a se u jenačini

(4.16) izostavi znak minus, a statički moment površine se računa uvijek za površinu ijela

presjaka za koju je pozitivan.

(4.15)

(4.16)

Slika 4.11 Element gree iferencijalno male užine (a) ikomponentni naponi u pravcu ose koji djeluju na elementu (b)

(a) (b)

dA

yx

A

A' x

C

y

σ x

z

xy

y

y

7/23/2019 4. Grede (1)


87

U slučaju savijanja gree pravougaonog poprečnog presjeka ate na slici 4.1 2 korištenjem

jenačine (4.16) jenostavno se okazuje a vrijei sljeedi izraz za tangencijalni napon:

Iz jenačine (4.17) vidi se da se tangencijalni napona u presjeku pravougaone grede

mijenja po jenačini kvaratne parabole. Tangencijalni napon jednak je nuli u krajnjim

tačkama presjeka ( ) što je i očekivano obzirom a je njemu konjugovani napon jer nema tangencijalnog opteredenja u ravnima . Maksimalni tangencijalni

napon

je už težišne ose (

) gdje iznosi

, odakle se vidi da je maksimalni

tangenci jalni napon u poprečnom presjeku gree vedi za 50% o vrijednosti napona koja bise obila pretpostavkom o ravnomjernoj raspojeli tangencijalnih napona už poprečnog

presjeka grede.

Prilikom izvođenja izraza (4.16) za raspore tangencijalnih napona u poprečnom presjeku

gree pretpostavljeno je a je tangencijalni napon konstantan po širini presjeka (slika

4.11(b)), to jest, nije funkcija koorinate. Analitičko rješenje teorije elastičnosti

(Timoshenko i Goodier, 1970) za slučaj konzole pravougaonog poprečnog presjeka pokazuje

a se ovaj napon mijenja po širini poprečnog presjeka, slika 4.12(b), i a je razlika između

maksimalne vrijednosti tangencijalnog napona () i srednje vrijednosti ovog napona() po širini presjeka funkcija onosa širine i visine poprečnog presjeka gree. Što je

manji odnos to je pretpostavka o konstantnom tangencijalnom naponu

po širini

presjeka manje tačna. Za odnos odnos ()() , to jest, maksimalni

(4.17)

yx

xy

Slika 4.12 Raspored tangencijalnih napona u poprečnom presjekugree pravougaonog poprečnog presjeka izložene savijanju silama(a) i raspore tangencijalnih napona po širini gree u sklau sateorijom elastičnosti (b)

(a) b

h

b

7/23/2019 4. Grede (1)


88

tangencijalni napon je vedi za 3.3% o prosječnog tangencijalnog napona už težišne ose ,

za odnos vrijedi

()() , dok za odnos odnos

()() što znači

a je maksimalni napon vedi za oko 40% o srenje vrijenosti ovog napona. Navedeni

onosi napona zavise i o vrijenosti Poissonovog koeficijenta, a pomenute numeričke

vrijednosti se odnose za .

U prethonom tekstu rečeno je a se na osnovu jenačine (4.14) ne može zaključiti a su

naponi jenaki nuli u svakoj tački poprečnog presjeka, ved samo a suma svih sila u

poprečnom presjeku gree koje su rezultat ovih napona mora biti jenaka nuli . Rješenje

teorije elastičnosti za slučaj konzole pravougaonog poprečnog presjeka pokazuje a su ovi

naponi različiti o nule i a su za slučaj poprečnog presjeka ko kojih je visina veda o širine

mnogo manji od tangencijalnih napona . Za slučaj veoma širokih poprečnih presjeka

grede odnosa

maksimalni tangencijalni napon

vedi je od maksimalnog

tangencijalnog napona , ok su oba napona veda za preko pet puta o maksimalnog

napona dobijenog prema izrazu (4.17) (Timoshenko i Goodier, 1970).

4.2.3 Elastična linija grede

Sa stanovišta izajna gree važno je poznavati eformisani oblik gree. Za poznavanje

deformisanog oblika grede potrebno je poznavati jenačinu elastične linije gree (slika 4.5).

Poluprečnik krivine elastične linije gree u slučaju čistog savijanja je konstantan i dat je

izrazom (4.11). U slučaju pravog savijanja silama, Euler-Bernulijeva teorija grede, u skladu sa

hipotezom ravnih presjeka, zanemaruje deformacije usljed dejstva tangencijalnih napona u

poprečnom presjeku gree, i na osnovu izraz (4.11) može se, imajudi u viu oznake na slici

4.7, pisati:

gdje poluprečnik krivine elastične linije više nija konstantan i mijenja se sa koordinatom. U

sklau sa iferencijalnom geometrijom poluprečnik krivine krive u ravni može se izračunati

poznavajudi jenačinu krive na osnovu izraza

(4.18)

(4.19)

7/23/2019 4. Grede (1)


89

gje je jenačina krive linije u ravni, onosno u slučaju gree jenačina elastične

linije. Na osnovu izraza (4.19) izraz (4.18) može se pisati u sljeedem obliku:

Izraz (4.20) prestavlja iferencijalnu jenačinu elastične linije gree koja je nelinearna

iferencijalna jenačina rugog rea. Izraz prestavlja nagib elastične linije gree, i u

mnogim slučajevima prilikom izajna gree njegova vrijenost je ograničena. U slučaju kaa

je

izraz (4.20) može se aproksimirati jenostavnijim izrazom

U sljeedim primjerima oreit de se uz pomod jenačine (4.21) jenačina elastične linije

konzole opteredene koncentrisanom silom i kontinuiranim opteredenjem.

Primjer 4.1

Za konzolu užine i aksijalnog momenta inercije poprečnog presjeka za centralnu

osu inercije , opteredenu koncentrisanom silom intenziteta

kao na slici 4.13(a), potrebno je oreiti jenačinu elastične linije. Materijal konzole je

linearno elastičan, modula elastičnosti .

(4.20)

(4.21)

Slika 4.13 Elastična linija konzole opteredene koncentrisanomsilom (a) i statički ijagrami za konzolu (b)

(kNm)

(kN)(a) (b)

7/23/2019 4. Grede (1)


90

U proizvoljnom poprečnom presjeku gree oređenom koorinatom vrijedi izraz za

moment savijanja . Uvrštavanjem prethonog izraza u jenačinu (4.21)

slijedi iferencijalna jenačina elastične linije:

Integracijom izraza (4.22) slijei opšte rješenje za elastičnu liniju gree u čijem poprečnom

presjeku vlada moment savijanja :

Nakon oređivanja integracionih konstante i , koje se oređuju iz graničnih uslova, za , elastična linija konzole opteredene na slobonom kraju

koncentrisanom silom oređena je sljeedom jenačinom:

Maksimalno pomjeranje konzole je na njezinom slobodnom kraju, to jest, za iz

jenačine (4.24) slijei:

Nagib elastične linije oređen je jenačinom

odakle se za dobija nagib na slobodnom kraju konzole:

(4.22)

(4.23)

(4.24)

(4.25)

(4.26)

(4.27)

7/23/2019 4. Grede (1)


91

Primjer 4.2

Za konzolu užine i aksijalnog momenta inercije poprečnog presjeka za centralnu

osu inercije , opteredenu konstantnim kontinuiranim opteredenjem

kao na slici 4.14, potrebno je oreiti jenačinu elastične linije. Materijal

konzole je linearno elastičan , modula elastičnosti .

U proizvoljnom poprečnom presjeku gree oređenom koorinatom vrijedi izraz za

moment savijanja . Uvrštavanjem prethonog izraza u jenačinu

(4.21) slijedi iferencijalna jenačina elastične linije:

Integracijom izraza (4.28) dobija se opšte rješenje za elastičnu liniju gree u čijem

poprečnom presjeku vlaa moment savijanja :

Nakon oređivanja integracionih konstanti primjenom graničnih uslova, za

, elastična linija konzole opteredene konstantnim kontinuiranim opteredenjem

oređena je sljeedom jenačinom:

(4.28)

(4.29)

Slika 4.14 Elastična linija konzole opteredene konstantnimkontinuiranim opteredenjem (a) i statički ijagrami za konzolu (b)

(kNm)

(kN)

(a) (b)

7/23/2019 4. Grede (1)


92

Maksimalno pomjeranje konzole je na njezinom slobodnom kraju. Za

iz jenačine

(4.30) slijedi:

Nagib elastične linije oređen je jenačinom

odakle se za dobija nagib na slobodnom kraju konzole:

U prethodna dva primjera izraz za moment savijanja bio je jedinstven za cijeli domen

integracije. Ukoliko se už gree izraz za moment savijanja mijenja na ijelovima gree,

potrebno je greu poijeliti na ijelove (polja) už kojih vrijei jeinstven izra z za moment

savijanja i integraliti iferencijalnu jenačinu elastične linije za svako polje gree.

Na osnovu prethona va primjera vii se a se jenačina elastične linije gree mijenja už

gree po jenačini kubne parabole (jenačina (4.24)) ako na polju grede ne djeluje

kontinuirano opteredenje, onosno, u slučaju konstantnog kontinuiranog opteredenja na

polju, elastična linija gree opisana je polinomom četvrtog rea (jenačina (4.30)).

4.3 Matrica krutosti konačnog elementa grede

Na slici 4.15 prikazana je grea izložena transferzalnim silama i , i momentima

savijanja i . Grea užine , površine poprečnog presjeka , aksijalnog momenta

inercije poprečnog presjeka gree

za težišnu osu paralelnu

osi koja je ujedno i glavna

centralna osa inercije, leži u ravni .

(4.30)

(4.31)

(4.32)

(4.33)

7/23/2019 4. Grede (1)


93

Da bi se izvela veza između generalisanih sila (koncentrisane sile i spregovi sila) i

generalisanih pomjeranja (translacije čvorova i rotacije poprečnog presjeka gree u

čvorovima) pretpostavit de se a se elastična linija gree mijenja po jenačini kubne

parabole,

Nagib elastične linije obija se iferenciranjem jenačine (4.34),

Nepoznati koeficijenti mogu se izraziti u funkciji pomjeranja i rotacija poprečnog presjeka

krajeva (čvorova) gree iz sljeedeg sistema jenačina:

za

iz jenačine (4.34) slijedi

,

za , iz jenačine (4.35) slijedi

,

za , iz jenačine (4.34) slijedi

Slika 4.15 Konačni element gree izložene na krajevima silama

(4.34)

(4.35)

(4.36)

(4.37)

(4.38)

1 2 x

y

z

7/23/2019 4. Grede (1)


94

za iz jenačine (4.35) slijedi

Sistem jenačina (4.36)-(4.39) prestavlja sistem o 4 jenačine sa 4 nepoznata koeficijenta čijim rješenjem slijei:

Uvrštavanjem jenačina (4.40) u jenačinu (4.34) slijedi izraz za ugib grede u funkciji

nepoznatih translatornih pomjeranja čvorova gree i rotacija poprečnog presjeka grede u

čvorovima:

Deformacioni rad sila uslje ejstva normalnog napona u poprečnom presjeku gree (slika

4.7 i 4.10()) može se izračunati na osnovu jenačine (2.26):

gdje je pretpostavljeno a vrijei konstitutivna relacija za linearno elastično tijelo, .

Na slici 4.16 prikazana je veza između pomjeranja tačke u poprečnom presjeku grede u

pravcu ose i eformacije elastične linije gree u sklau sa Euler-Bernoullijevom teorijom

grede, prema kojoj ravni presjeci gree normalni na uzužnu osu gree ostaju nakon

eformacije ravni i normalni na eformisanu uzužnu osu gree . U slučaju malih nagiba

(4.39)

(4.40)

(4.41)

(4.42)

7/23/2019 4. Grede (1)


95

elastične linije , odnosno pomjeranja u pravcu uzužne ose gree mogu se izraziti u funkciji ugiba grede koristedi jenačinu (4.41):

Na osnovu jenačine (4.43) slijedi:

Uvrštavanjem izraza (4.44) u jenačinu (4.42) obija se sljeedi izraz:

A

B

A

B

Slika 4.16 Veza između komponente vektora pomjeranja tačkena poprečnom presjeku gree i eformacije elastične linije gree

{ }

(4.43)

{ }

(4.44)

7/23/2019 4. Grede (1)


96

gdje je aksijalni moment inercije za glavnu centralnu osu inercije . Nakon integracije u

jenačini (4.45) dobija se izraz za eformacioni ra u sljeedem obliku:

Ukupna potencijalna energija sistema za slučaj sistema koji se sastoji o gree i generalisanih

sila u čvorovima gree (slika 4.15) jednaka je zbiru potencijalne energije deformacije

(deformacionom radu) grede i potencijala vanjskog opteredenja u skladu sa

jenačinom (2.27). Potencijal vanjskog opteredenja za greu na slici 4.14 jenak je (vijeti

jenačinu 2.28):

Ukupna potencijalna energija za sistem greu i sile u čvorovima gree može se na osnovu

izraza (4.46) i (4.47) pisati u sljeedem obliku:

Prema principu o minimumu ukupne potencijalne energije sistema vrijei sljeeda jenačina

(vidjeti jenačinu 2.35):

{

}

{ }

(4.45)

B D

(4.46)

(4.47)

(4.48)

(4.49)

7/23/2019 4. Grede (1)


97

odnosno,

Na osnovu prve o jenačina (4.50) i izraza (4.48) slijedi:

onosno, nakon sređivanja prethodnog izraza

Iz preostale tri jenačine (4.50) slijede još tri jenačine koje aju veze između transferzalnih

sila i momenata savijanja u čvorovima gree i generalisanih pomjeranja u tim čvorovima:

Treba primi jetiti a izrazi na lijevoj strani jenačina (4.52) – (4.55) predstavljaju parcijalneizvode potencijalne energije deformacije po generalisanim pomjeranjima (stepenima

sloboe) u čvorovima, to jest,

(4.51)

(4.52)

(4.53)

(4.54)

(4.55)

(4.50)

(4.57)

(4.56)

7/23/2019 4. Grede (1)


98

Sistem jenačina (4.52)-(4.55) može se napisati u matričnom obliku na sljeedi način:

Sistem jenačina (4.60) izveen je po uslovom a sile i spregovi sila jeluju u čvorovima

gree. U slučaju kaa už gree jeluje kontinuirano opteredenje (slika 4.17(a)) potrebno je

u izraz za potencijal vanjskog opteredenja efinisanog jenačinom (4.47) oati i član o

kontinuiranog opteredenja u sklau sa posljenjim članom u jenačini (2.28):

Za konstantno kontinuirano opteredenje, , i pretpostavljenu funkciju pomjeranja efinisanu jenačinom (4.34), iz (4.61) slijedi:

[

] (4.60)

Slika 4.17 Kontinuirano opteredenje na KE gree (a) i njegovo

ekvivalentno opteredenje na čvorove KE (b)

(a) (b)

(4.61)

(4.62)

(4.58)

(4.59)

7/23/2019 4. Grede (1)


99

U sklau sa prvom o jenačina (4.50), imajudi u viu a je , doprinos od u

ovoj jenačini je na osnovu (4.62)

odakle nakon diferenciranja parametara oređenih jenačinama (4.40) slijei:

Ponavljanjem prethonog postupka za preostale tri jenačine (4.50) obijaju se parcijalni

izvoi potencijala kontinuiranog opteredenja za preostala tri stepena sloboe u čvorima

grede:

Na osnovu jenačina (4.64) i (4.65) može se zaključiti a bi ekvivalentan učinak

kontinuiranog opteredenja u jenačinama (4.48) i (4.50) bio ako bi se kontinuirano

opteredenje zamijenilo sistemom koncentrisanih sila i spregova sila u čvorovima gree kaošto je prikazano na slici 4.17(b).

Na sljeedim primjerima pokazana je primjena jenačina (4.60).

Primjer 4.3

Za konzolu opteredenu koncentrisanom silom, atu u primjeru 4.1, potrebno je odrediti

reakcije veze i statičke ijagrame iskretizacijom konzole KE gree.

(4.63)

(4.64)

(4.65)

7/23/2019 4. Grede (1)


100

Na slici 4.18 prikazana je konzola oslobođena o veza. U sklau sa oznakama sila na KE grede

prikazanom na slici 4.15 i jenačinama (4.60), za vrijednosti transferzalnih sila i momenata

spregova sila za konzolu na slici 4.18 vrijee sljeedi izrazi: , , , . Uvrštavanjem prethonih izraza u sistem jenačina (4.60) obija se sljeedi sistem

jenačina:

Prethoni sistem jenačina nije mogude ri ješiti ok se ne primijene granični uslovi.

Primjenom graničnih uslova, i , posljenje vije jenačine sistema jenačina

(4.66) mogu se pisati u sljeedem obliku:

čijim rješenjem slijei: i što je ientično izrazima (4.25) i (4.27) u

rješenju u primjeru 4.1.

Uvrštavanjem u prve vije jenačine sistema jenačina (4.66) graničnih uslova i izračunatih

vrijednosti za i slijede reakcije veze:

(4.66)

*

+ *+ *

+ (4.67)

* + *

+ *+

(4.68)

Slika 4.18 Konzola oslobođena o veza

1

2

7/23/2019 4. Grede (1)


101

čiji rezultati su ientični analitičkom rješenju.

Na osnovu jenačine (4.21) može se izračunati moment savijanja u poprečnom presjeku

grede,

gdje se na osnovu izraza (4.35), , , vidi da se

moment mijenja po jenačini pravca už KE grede. Na osnovu vrijednosti posljednja dva

izraza za koeficijente i u jenačinama (4.40) moment u poprečnom presjeku KE gree

može se računati na osnovu sljeedeg izraza:

Iz izraza (4.70), za , i , dobija se nakon sređivanja što je tačan izraz za moment savijanja už konzole kao što je prikazano na

na slici 4.13(b). Transferzalna sila už KE gree jenaka je što je tačan izraz za

transferzalnu silu už konzole kao što je prikazano na slici 4.13(b).

Treba primijetiti da se jenačina elastične linije za io gree už koga nema kontinuiranog

opteredenja mijenja po jenačini kubne parabole kao što je to bio slučaj u pr imjeru 4.1 za

konzolu opteredenu koncentrisanom silom (vijeti jenačinu 4.24). Prilikom izvođenja

jenačina za KE gree prepostavljeno je polje pomjeranja u obliku kubne parabole

(jenačine (4.34)) te su iz toga razloga r ješenja problema pomodu KE gree jednaka

analitičkim rješenjima u sklau sa teorijom gree.

Primjer 4.4

Za konzolu opteredenu konstantnim kontinuiranim opteredenjem, atu u primjeru 4.2,

potrebno je oreiti reakcije veze i statičke ijagrame iskretizacijom konzole KE gree.

Na slici 4.19 prikazana je konzola sa reakcijama veze na mjestu uklještenja, a kontinuirano

opteredenje zamijenjeno je ekvivalentnim opteredenjem u čvorovima KE u sklau sa slikom

4.17(b). U skladu sa oznakama sila na KE grede prikazanom na slici 4.14 i jenačinama (4.60)

vrijednosti transferzalnih sila i momenata spregova sila za konzolu na slici 4.17 vrijede

sljeedi izrazi:

,

,

,

. Uvrštavanjem prethonih

izraza u sistem jenačina (4.60) obija se sljeedi sistem jenačina:

(4.69)

{ } (4.70)

7/23/2019 4. Grede (1)


102

Primjenom graničnih uslova, i , posljenje vije jenačine sistema jenačina

(4.71) mogu se pisati u sljeedem obliku:

čijim rješenjem slijei: i što je ientično izrazima (4.31) i (4.33) u

rješenju u primjeru 4.2. Važno je primijetiti a su pomjeranja i uglovi rotacije poprečnog

presjeka u čvorovima KE grede jednaki analitičkom rješenju prikazanom u primjeru 4.2.

Međutim, u skladu sa teorijom grede jenačina elastične linije gree je opisana sa

polinomom četvrtog rea (vijeti jenačinu (4.30)), ok je prilikom izvođenja jenačina KE

gree pretpostavljeno polje pomjeranja elastične linije u sklau sa polinom tredeg rea

(vijeti jenačinu (4.34)) tako a se polje pomjeranja obijeno pomodu KE gree razlikuje o

analitičkog rješenja izuzev u čvorovima KE grede.

[

]

(4.71)

*

+ *

+

(4.72)

Slika 4.19 Reakcije veze na konzolu i ekvivalentno opteredenje okonstantnog kontinuiranog opteredenja (a) i statički ijagrami za

slučaj analitičkog rješenja i rješenja obijenog MKE sa 1 KE gree(isprekidane linije) (b)

1 2

a

(kNm)

(kN)(b)

7/23/2019 4. Grede (1)


103

Uvrštavanjem graničnih uslova i izračunatih vrijenosti za i u prve vije jenačine

sistema jenačina (4.71) slijede reakcije veze:

čije veličine su jednake analitičkom rješenju.

Moment savijanja u poprečnom presjeku gree može se izračunati na osnovu izraza (4.70)

uvrštavanjem vrijenosti pomjeranja u čvorovima za , i .

Moment savijanja u poprečnom presjeku gree je . Za zadane

numeričke vrijenosti u primjeru 4.2, za

, i za . Transferzalna sila už

KE grede jednaka je . Na slici 4.19(b) dati su statički ijagrami za slučaj

analitičkog rješenja i rješenja obijenog MKE. Greška numeričkog proračuna maksimalnog

napona iznosi oko 17%, ok greška u ijagramu transferzalnih sila iznosi 50%.

Da bi se popravio loš numerički rezultat prethona analiza de se ponoviti tako a se poveda

stepen iskretizacije, što de se uraditi tako da se u prvom koraku konzola podjeli na dva KE

grede, (Slika 4.20). Na slici 4.20(a) i 4.20(b) prikazana su va konačna elementa kojima je

diskretizovana konzola data na slici 4.14. KE 1 ima početni čvor broj 1 i krajnji čvor broj 2. KE2 ima početni čvor 2 i krajnji čvor 3. Dakle, oba KE imaju zajenički čvor 2.

* + *+ [ ]

(4.73)

Slika 4.20 KE grede broj 1 (a) i KE grede broj 2 (b) kojima jeikretizovana konzola, i sile u čvorovima KE broj 1 (c) i KE broj 2 ()

1

1 2

2

2 3

2

32

1

1 2

(a) (b)

(c) (d)

7/23/2019 4. Grede (1)


104

Na slikama 4.18(c) i 4.18(d) ucrtane su rekakcije veze ( ) o uklještenja u čvoru 1 KE 1,

kao i ekvivalentno opteredenje u čvorovima KE usljed ejstva kontinuiranog opteredenja. U

čvoru 2 oba konačna elementa nisu ucrtane unutrašnje sile kojima KE međusobno jeluju

jedan na drugi.

Ukupna potencijalna energija sistema jednaka je zbiru potencijalne energije deformacije zaKE 1 i 2, i , i potencijala vanjskog opteredenja u sklau sa jenačinom

(2.27). Potencijal vanjskog opteredenja za KE 1 i 2 na slikama 4.20(c) i 4.20(d) jednak je

(vijeti jenačinu 2.28):

Treba primijetiti da u izrazu (4.74) nisu pisani potencijali uslje spregova sila u čvoru 2 za oba

KE obzirom da imaju istu vrijednost momenta a suprotnih su smjerova. Ukupna potencijalna

energija sistema o va KE i opteredenja na njima može se napisati u obliku

Prema principu o minimumu ukupne potencijalne energije sistema vrijei sljeeda jenačina

(vidjeti jenačinu 2.35):

odnosno,

Na osnovu prve o jenačina (4.77) i izraza (4.75) slijedi:

Izraz ved je izveen i dat izrazom (4.56) izuzev što je potrebno užinu zamjeniti sa

:

(4.78)

(4.74)

(4.75)

(4.76)

(4.77)

7/23/2019 4. Grede (1)


105

Potencijalna energija eformacije za KE 2 može se na osnovu izraza (4.46) pisati na sljeedi

način

gje su u sklau sa globalnim oznakama čvorova KE 2 (za koji je početni čvor broj 2 a krajnji

čvor broj 3) veličine i ate sljeedim izrazima (vijeti izraz (4.45)):

Na osnovu izraza (4.80) i (4.81) vidi se da potencijalna energija deformacije za KE 2

nije funkcija

tako da je

, i na osnovu izraza (4.76) slijei jenačina:

Na osnovu drugog izraza u jenačinama (4.77) i izraza (4.75) slijedi:

Prvi izraz u jenačini (4.79) ved je izveden i oređen je jenačinom (4.57), drugi izraz je

jednak nuli, jer nije funkcija , dok na osnovu izraza (4.74) vrijedi

, onosno iz jenačine (4.83) slijedi:

(4.79)

(4.80)

(4.81)

(4.82)

(4.83)

(4.84)

7/23/2019 4. Grede (1)


106

Na osnovu tredeg izraza u jenačinama (4.77) i izraza (4.75) slijedi:

Prvi izraz u jenačini (4.85) ved je izveden i oređen je jenačinom (4.58). Kao što je ved

rečeno, KE 2 ima prvi čvor broj 2, a rugi čvor broj 3, tako a se može iskoristiti izraz (4.56)

koji je izveen za slučaj KE sa početnim čvorom broj 1 i krajnjim čvorom broj 2. Dakle u izrazu

(4.56) indeks 1 je potrebno zamijeniti sa indeksom 2, a indeks 2 sa indeksom 3:

Na osnovu izraza (4.74) vrijedi . Uvrštavanjem posljenjeg izraza kao i izraza

(4.58) i (4.86) u jenačinu (4.85) slijedi:

Nakon sređivanja posljenjeg izraza obija se

Na osnovu četvrtog izraza u jenačinama (4.77) i izraza (4.75) ponavljajudi prethoni

postupak olazi se o jenačine:

Na osnovu petog izraza u jenačinama (4.77) ponavljajudi prethoni postupak olazi se o

jenačine:

Na osnovu šestog izraza u jenačinama (4.77) olazi se o jenačine:

(4.85)

(4.86)

(4.87)

(4.89)

(4.90)

(4.91)

7/23/2019 4. Grede (1)


107

Sistem jenačina (4.82), (4.84), (4.89)-(4.92) se može rješiti nakon zaavanja graničnih uslova

.

Nakon rješavanja sistema jenačina (4.89)-(4.92) dobija se:

Jenostavno se može provjeriti pomodu izraza za analitičko rješenje (4.30) i (4.32) da sunumerički obijene vrijenosti za pomjeranje i rotacije poprečnih presjeka u čvorovima KE u

izrazima (4.93) jenake analitičkim vrijednostima.

Moment savijanja u poprečnom presjeku KE 1 može se izračunati na osnovu izraza (4.70)

uvrštavanjem vrijenosti pomjeranja u čvorovima za , i u skladu sa

izrazima (4.93) i zamjenjujudi . Na ovaj način za obije se moment savijanja u čvoru

1, , a za obija se moment savijanja u čvoru 2, .

Transferzalna sila už KE grede jednaka je

, i nakon diferenciranja izraza (4.70)

* + i uvrštavanjem numeričkih vrijenosti za pomjeranja

čvorova i uglova zaokretanja poprečnog presjeka gree u čvorovima obija se .

Moment savijanja u poprečnom presjeku KE 2 dobije se analogno izrazu (4.70) na osnovu

sljeedeg izraza:

U prethodnom izrazu prestavlja koorinatu už KE gree u lokalnom koordinatnom

sistemu čije je ishoište u početnom čvoru KE (čvor 2) a osa je u pravcu ose KE. Na osnovu

izraza (4.94) za moment savijanja u čvoru 2 KE broj 2, , a za obija se moment savijanja u čvoru 3 , .

Transferzalna sila už KE gree obije se iferenciranjem izraza (4.94), * +

, i uvrštavanjem numeričkih vrijenosti za pomjeranja čvorova i uglove

zaokretanja poprečnog presjeka gree u čvorovima obija se .

(4.92)

(4.93)

,

-

(4.94)

7/23/2019 4. Grede (1)


108

Na slici 4.21 dati su statički ijagrami za slučaj analitičkog rješenja i rješenja obijenog MKE

iskretizacijom konzole sa 2 KE gree. Greška numeričkog proračuna maksimalnog napona

iznosi oko 4%, ok greška za maksimalnu transferzalnu silu iznosi 25%. Važno je primijetiti a

rješenje obijeno numerički aje tačne vrijednosti za transferzalne sile na polovini KE.

Da bi se obilo još tačnije numeričko rješenje, konzola je podijeljena na deset KE grede.

Proračun je proveen pomodu softverskog paketa ADINA. Na slici 4.22 prikazani su rezultati

proračuna statičkih ijagrama obijenih diskretizacijom konzole sa 10 KE. Vidi se da su

rezultati numeričkog proračuna veoma bliski analitičkim vrijenostima.

Slika 4.22 Statički ijagrami za slučaj konzole opteredenekontinuiranim opteredenjem obijeni pojelom konzole na esetKE i prikazani u post-procesoru softverskog paketa ADINA

Slika 4.21 Uporeni rezultati analitičkog i numeričkog proračunadiskretizacijom konzole sa 2 KE grede za moment savijanja (a) i

transferzalnu silu (b) u poprečnom presjeku gree

(a) b

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

0 0.5 1 1.5 2

M ( N m )

x (m)

Analitičko

rješenje

MKE 2 KE0

500

1000

1500

2000

0 0.5 1 1.5 2

F T

( N )

x (m)

Analitičko

rješenje

MKE 2 KE

7/23/2019 4. Grede (1)


109

4.4 Matrica krutosti konačnog elementa grede u globalnom

koordinatnom sistemu i matrica krutosti sistema

U prethonom poglavlju izveene su jenačine (4.60) koje aju vezu između pomjeranja i

rotacija poprečnog presjeka grede u njezinim čvorovima i sila koje jeluju u tim čvorovima.Jenačine su izveene za slučaj gree prikazane na slici 4.15, koja je ležala u ravni , a osa

grede se podudarala sa jednom od osa globalnog koordinatnog sistema. Potrebno je izvesti

ovu vezu za slučaj gree prikazane na slici 4.23 gdje su ose lokalnog koordinatnog

sistema vezanog za KE grede. Osa je u pravcu ose grede, dok se ose podudaraju sa

pravcima glavnih centralnih osa inercije poprečnog presjeka gree.

Jenačine (4.60) imaju za KE na slici 4.23 sljeedi oblik:

gdje su i pomjeranja čvorova 1 i 2 u pravcu ose a i komponente sila u

čvorovima 1 i 2 u pravcu ose . Matrica krutosti KE grede oređuje vezu između

transferzalnih pomjeranja i rotacija poprečnih presjeka gree i transferzalnih sila i momenata

savijanja u čvorovima gree. Da bi se u matricu krutosti KE gree uključile i aksijalne sile

onosno pomjeranja iskoristit de se veza između aksijalnih sila u čvorovima štapa i

pomjeranja čvorova u pravcu ose štapa, što je efinisano sistemom jenačina (3.11) ili (3.47)

koje su izveene za slučaj KE štapa:

(4.95)

Slika 4.23 Konačni element grede, pomjeranja i komponente sila učvorovima u lokalnom koorinatnom sistemu

1

2

7/23/2019 4. Grede (1)


110

Sistemi jenačina (4.95) i (4.96) mogu se napisati zajeno u sljeedem obliku:

gdje je matrica krutosti KE gree u lokalnom koorinatnom sistemu, koja aje vezu između

generalisanih pomjeranja u čvorovima KE i sila koje jeluju u čvoru. Matrica vektor kolona sarži

po tri stepena slobode (dvije translacije i jednu rotaciju) za svaki čvor tako a konačni element gree

u ravni ima ukupno šest stepeni sloboe.

Sistemom jenačina (3.49) oređena je veza između komponenti pomjeranja u čvorovima KE

pisanim u loklnom i globalnom koorinatnom sistemu. Za slučaj KE gree veza između

pomjeranja u čvorovima u lokalnom i globalnom koorinatnom sistemu oređena je

sljeedim sistemom jenačina:

gdje u matrici transformacija dijagonalni elementi koji su jednaki jedinici odgovaraju

transformaciji uglova rotacije. Pri zadatoj rotaciji koordinatnog sistema vrijede izrazi:

i . Kao što je matricom transformacije oređena veza između komponenti vektora

(4.98)

* + (4.96)

(4.97)

[

]

,

[

]

[

]

7/23/2019 4. Grede (1)


111

pomjeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu, , istom matricom je

oređena veza između komponenti vektora sila u lokalnom i globalnom koordinatnom

sistemu, , gdje je .

Imajudi u viu vezu između komponenti vektora pomjeranja i sila u lokalnom i globalnom

koordinatnom sistemu, sistem jenačina (4.97) može se pisati u obliku:

Množenjem obje strane sistema jenačina (4.99) sa lijeve strane sa slijedi:

Jenostavno se može provjeriti a vrijei jenakost . Uvođenjem smjene

sistem jenačina (4.100) može se pisati u obliku:

gdje matrica krutosti KE grede u globalnom koordinatnom sistemu oređuje vezu između

komponenti vektora pomjeranja i komponenti vektora sila u globalnom koordinatnom

sistemu u čvorovima grede.

U slučaju analize ramova globalna matrica krutosti formira se kao zbir matrica krutosti KE

grede kojima je diskretizovan ram. Matrica krutosti sistema za slučaj rama je simetrična

kvaratna matrica rea jenaka proizvou broja čvorova i stepeni sloboe po čvoru.

Formiranje globalne matrice krutosti sistema bide objašnjeno na sljeedem primjeru.

Primjer 4.5

Za konstrukciju sastavljenu od grenih nosača i opteredenu silom intenziteta F = 10 kN kao

na slici 4.24(a) potrebno je odrediti pomjeranje konstrukcije na mjestu dejstva sile. Površina

poprečnog presjeka greda je A = 5 cm2, a aksijalni centralni moment inercije poprečnog

presjeka greda . Dužine grea su i √ , a modul

elastičnosti materijala o kojeg su napravljene grede E = 2105 MPa.

(4.99)

(4.100)

(4.102)

(4.101)

7/23/2019 4. Grede (1)


112

Na slici 4.24(b) prikazana je konstrukcija sa reakcijama veze u osloncima i podjelom na dva

konačna elementa gree. Konačni element broj 1 ima početni čvor 1 i krajnji čvor broj 2. Za

konačni element broj 2 usvojit de se a je početni čvor broj 3 a krajnji čvor broj 2.

Veza između sila i stepeni sloboe u čvorovima KE 1 može se na osnovi izraza (4.97) pisati u

sljeedem obliku:

gdje su sa , i označeni intenziteti sila i moment sprega sila u čvoru 2 konačnog

elementa 1. Obzirom da su ose lokalnog koordinatnog sistema KE 1 paralelne s osama

globalnog koordinatnog sistema, matrica transformacija (vijeti jenačine (4.98)) je

jeinična matrica tako a iz jenačine (4.101) slijei a je globalna matrica krutosti za KE 1

jednaka matrici krutosti KE 1 u lokalnom koordinatnom sistemu, to jest, .

Uvrštavanjem vrijenosti za užinu KE 1, površinu poprečnog presjeka, aksijalnog momenta

inercije, i moula elastičnosti u sistem jenačina (4.103) obija se sljeedi sistem jenačina:

FA B

C

Slika 4.24 Konstrukcija sastavljena od grenih nosača (a) idiskretizacija konstrukcije sa 2 KE grede i reakcije veze (b)

(a) (b)

1 2

F

2

3

1

(4.103)

[

]

[

],

7/23/2019 4. Grede (1)


113

100 0 0 -100 0 0

0 2.4 1.2 0 -2.4 1.2

0 1.2 0.8 0 -1.2 0.4

-100 0 0 100 0 0

0 -2.4 -1.2 0 2.4 -1.2

0 1.2 0.4 0 -1.2 0.8

Veza između sila i stepeni sloboe u čvorovima KE 2 može se na osnovi izraza (4.97) pisati u

sljeedem obliku:

gdje su sa , i označeni intenziteti sila i moment sprega sila u čvoru 2 konačnog

elementa 2. Nakon uvrštavanja numeričkih vrijenosti u matricu krutosti sistem jenačina

(4.105) ima sljeedi oblik:

57.735 0 0 -57.74 0 0

0 0.4619 0.4 0 -0.462 0.4

0 0.4 0.4619 0 -0.4 0.2309

-57.74 0 0 57.735 0 0

0 -0.462 -0.4 0 0.4619 -0.4

0 0.4 0.2309 0 -0.4 0.4619

Lokalna osa KE 2 usmjerena je o čvora 3 prema čvoru 2 ovog elementa i grai sa globalnom

osom ugao od kojim je oređena matrica transformacija . Globalna matrica krutosti

za KE 2 slijei na osnovu jenačine (4.101):

(4.104)

(4.105)

[

],

(4.106)

7/23/2019 4. Grede (1)


114

0 - 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 - 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1

57.735 0 0 -57.74 0 0

0 0.4619 0.4 0 -0.462 0.4

0 0.4 0.4619 0 -0.4 0.2309

-57.74 0 0 57.735 0 0

0 -0.462 -0.4 0 0.4619 -0.4

0 0.4 0.2309 0 -0.4 0.4619

0 1 0 0 0 0

-1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 -1 0 0

0 0 0 0 0 1

tako a sistem jenačina (4.102) za KE 2 ima sljeedi oblik:

0.4619 0 -0.4 -0.462 0 -0.4

0 57.735 0 0 -57.74 0

-0.4 0 0.4619 0.4 0 0.2309

-0.462 0 0.4 0.4619 0 0.4

0 -57.74 0 0 57.735 0

-0.4 0 0.2309 0.4 0 0.4619

Kada su poznate matrice krutosti KE kojim je diskretizovana konstrukcija formira se globalna

matrica krutosti sistema. Osnovni principi za formiranje matrice krutosti sistema ved su

objašnjeni u poglavlju 3.3 za slučaj formiranja matrice krutosti pri analizi rešetki. Obzirom da

je matrica krutosti sistema kvaratna matrica rea jenakog proizvou broja čvorova i broja

stepeni sloboe po čvoru, za ovaj primjer globalna matrica krutosti sistema ima (prije

primjene graničnih uslova) tri čvora i tri stepena sloboe po čvoru, onosno, rea je 9x9.

Globalna matrica krutosti formira se kao zbir matrica krutosti KE grede . Potrebno je voditi

računa da se ogovarajude vrste u matrici krutosti KE koje ogovaraju izvodima po pojedinim

stepenima slobode kretanja (odnosno sili u pojeinom čvoru) sabiraju sa pripaajudom

vrstom u globalnoj matrici krutosti sistema. Naprimjer, u sistemu jenačina (4.109) u prvoj

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

=

(4.107)

[]

(4.108)

[

]

(4.109)

7/23/2019 4. Grede (1)


115

jenačini u sistemu jenačina izraz sa lijeve strane jenakosti prestavlja izvod potencijalne

energije sistema po stepenu slobode u čvoru 1, a sa esne strane vrijenost sile u tom

čvoru u pravcu pomjeranjana (u pravcu ose). Prva jenačina u sistemu jenačina

(4.104), koja se odnosi na KE 1, predstavlja izvod potencijalne energije KE 1 po pomjeranju

i ova jenačina se sabira sa prvom o jenačina (4.109). Po istom principu se sabiraju i ostale

jenačine sistema (4.104), onosno pojeini elementi matrice krutosti, sa ogovarajudim

elementima globalne matrice krutosti u sistemu jenačina (4.109):

100 0 0 -100 0 0 0 0 0

0 2.4 1.2 0 -2.4 1.2 0 0 0

0 1.2 0.8 0 -1.2 0.4 0 0 0

-100 0 0 100 0 0 0 0 0

0 -2.4 -1.2 0 2.4 -1.2 0 0 0

0 1.2 0.4 0 -1.2 0.8 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Ponavljanjem prethodnog postupka, elementi matrice krutosti KE 2 koji su dati u sistemu

jenačina (4.108) sabiraju se sa ogovarajudim elementima globalne matrice krutosti:

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0.4619 0 0.4 -0.462 0 0.4

0 0 0 0 57.735 0 0 -57.74 0

0 0 0 0.4 0 0.4619 -0.4 0.2309 0.2309

0 0 0 0.4619 0 -0.4 -0.462 0 -0.4

0 0 0 -57.74 0 0 57.735 0

0 0 0 -0.4 0 0.2309 0.4 0 0.4619

Prilikom sabiranja pojedinih elemanata matrice krutosti KE 2 sa globalnom matricom krutosti

potrebno je voiti računa o reosljeu pojeinih pomjeranja u matrici vektor koloni

pomjeranja u sistemu jenačina (4.108) što se jenostavno usklađuje sa matricom vektor

kolonom u sistemu (4.111) zamjenom pojedinih kolona u sistemu (4.108).

Sabiranjem sistema jenačina (4.110) i (4.111) obija se sistem jenačina u kojem

predstavlja globalnu matricu krutosti sistema.

(4.110)

[

]

(4.111)

7/23/2019 4. Grede (1)


116

100 0 0 -100 0 0 0 0 0

0 2.4 1.2 0 -2.4 1.2 0 0 0

0 1.2 0.8 0 -1.2 0.4 0 0 0

-100 0 0 100.46 0 0.4 -0.462 0 0.4

0 -2.4 -1.2 0 60.135 -1.2 0 -57.74 0

0 1.2 0.4 0.4 -1.2 1.2619 -0.4 0.2309 0.2309

0 0 0 0.4619 0 -0.4 -0.462 0 -0.4

0 0 0 0 -57.74 0 0 57.735 0

0 0 0 -0.4 0 0.2309 0.4 0 0.4619

Prilikom formiranja sistema jenačina (4.110) i (4.111) izostavljene su sile i momentispregova sila , , , , i koji djeluju u čvoru 2 oba konačna elementa. Ove sile

i momenti spregova sila prestavljaju unutrašnje sile kojima konačni elementi jeluju jean

na rugi preko čvora 2 i mađusobno se poništavaju. U čvoru 2 konstrukcije jeluju vanjske

sile: , i . Sistem jenačina (4.112) mogude je riješiti tek

primjenom geometrijskih graničnih uslova. Na mjestima uklještenja u tačkama A i C (slika

4.24) vrijedi: = = = = = . Imajudi u viu granične uslove, sistem jenačina

(4.112) svoi se na sljeedi sistem jenačina (markiran u sistemu jenačina (4.112)):

100.46 0 0.4

0 60.135 -1.2

0.4 -1.2 1.2619

Rješenje sistema jenačina (4.113) je: , , .

Nakon što su oređena pomjeranja u čvoru 2, iz prve tri jenačine sistema (4.112) iposljenje tri jenačine ovog sistema oređuju se rekacije veze , , , , i u

osloncima A i C (vidjeti sliku 4.24(b)).

Na slici 4.25 prikazane su uvedane eformacije konstrukcije kao i statički ijagrami za

aksijalne sile i momente savijanja (rezultati obrađeni u post-procesoru ADINA softvera). Na

slici 4.25(b) se vidi da intenzitet aksijalne sila u vertikalnoj gredi iznosi 9787 N, odakle se da

zaključiti a vedinu opteredenja o 10000 N nosi ova grea. Maksimalni moment savijanja je

u horizontalnoj gredi i iznosu 138.9 Nm.

(4.112)

(4.113)

7/23/2019 4. Grede (1)


117

Primjer 4.6

Za konstrukciju sastavljenu od tri grede čije se ose sijeku u napanoj tački sile intenziteta F =

10 kN kao na slici 4.26(a) potrebno je odrediti pomjeranje konstrukcije na mjestu dejstva

sile. Površina poprečnog presjeka greda je A = 5 cm2, a aksijalni centralni moment inercije

poprečnog presjeka grea . Dužine grea su , √ i , a moul elastičnosti materijala o kojeg su napravljene grede E = 2105 MPa.

Slika 4.25 Uvedana eformacija grea (a), ijagram aksijalnih sila(b) i dijagram momenata savijanja (c)

(a) (b) (c)

Slika 4.26 Konstrukcija sastavljena o grenih nosača (a) idiskretizacija konstrukcijena KE grede i reakcije veze (b)

A B

C

(a) (b)

F

1 2

F

2

3

1

4

3

D

7/23/2019 4. Grede (1)


118

Na slici 4.26(b) prikazana je konstrukcija sa reakcijama veze u osloncima i podjelom na tri

konačna elementa gree. Konačni element broj 1 ima početni čvor 1 i krajnji čvor broj 2. Za

konačni element broj 2 usvojit de se a je početni čvor broj 3 a krajnji čvor broj 2 , dok se za

KE broj 3 usvaja za početni čvor broj 4 a krajnji čvor broj 2.

Za razliku od prethodnog primjera u ovom primjeru dodata je greda BD. Za analizu problemapotrebno je dodatno analizirati samo doprinos globalnoj matrici krutosti KE broj 3. Veza

između sila i stepeni sloboe u čvorovima KE 3 može se na osnovi izraza (4.97) pisati u

sljeedem obliku:

gdje su sa

,

i

označeni intenziteti sila i moment sprega sila u čvoru 2 konačnog

elementa 3. Nakon uvrštavanja numeričkih vrijenosti u matricu krutosti sistem jenačina

(4.114) ima sljeedi oblik:

50 0 0 -50 0 0

0 0.3 0.3 0 -0.3 0.3

0 0.3 0.4 0 -0.3 0.2

-50 0 0 50 0 0

0 -0.3 -0.3 0 0.3 -0.3

0 0.3 0.2 0 -0.3 0.4

Lokalna osa KE 3 usmjerena je o čvora 4 prema čvoru 2 ovog elementa i grai sa globalnom

osom ugao od kojim je oređena matrica transformacija (vidjeti izraz (4.98)).

Globalna matrica krutosti za KE 3 slijei na osnovu jenačine (4.101):

(4.114)

[

],

[

]

[

] (4.115)

7/23/2019 4. Grede (1)


119

12.725 21.521 -0.26 -12.73 -21.52 -0.26

21.521 37.575 0.15 -21.52 -37.58 0.15

-0.26 0.15 0.4 0.2598 -0.15 0.2

-12.73 -21.52 0.2598 12.725 21.521 0.2598

-21.52 -37.58 -0.15 21.521 37.575 -0.15

-0.26 0.15 0.2 0.2598 -0.15 0.4

Elementi matrice krutosti konačnog elementa 3 koji su ati u sistemu jenačina (4.116)

sabiraju se sa ogovarajudim elementima globalne matrice krutosti koja je za izabranu

dikretizaciju problema sa 4 čvora reda 12x12:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 12.725 21.521 0.2598 0 0 0 -12.73 -21.52 0.2598

0 0 0 21.521 37.575 -0.15 0 0 0 -21.52 -37.58 -0.15

0 0 0 0.2598 -0.15 0.4 0 0 0 -0.26 0.15 0.2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 -12.73 -21.52 -0.26 0 0 0 12.725 21.521 -0.26

0 0 0 -21.52 -37.58 0.15 0 0 0 21.521 37.575 0.15

0 0 0 0.2598 -0.15 0.2 0 0 0 -0.26 0.15 0.4

Doprinos globalnoj matrici krutosti KE 1 i 2 ved je analiziran u prethonom primjeru i opisan

sistemom jenačina (4.112). Da bi se uzeo njihov doprinos u datom zadatku potrebno je

samo proširiti globalnu matricu krutosti u sistemu jenačina (4.112) sa tri oatne vrste i

kolone a bi uzeli u obzir tri oatna stepena sloboe čvora 4:

100 0 0 -100 0 0 0 0 0 0 0 0

0 2.4 1.2 0 -2.4 1.2 0 0 0 0 0 0

0 1.2 0.8 0 -1.2 0.4 0 0 0 0 0 0

-100 0 0 100.46 0 0.4 -0.462 0 0.4 0 0 0

0 -2.4 -1.2 0 60.135 -1.2 0 -57.74 0 0 0 0

0 1.2 0.4 0.4 -1.2 1.2619 -0.4 0.2309 0.2309 0 0 0

0 0 0 0.4619 0 -0.4 -0.462 0 -0.4 0 0 0

0 0 0 0 -57.74 0 0 57.735 0 0 0 0

0 0 0 -0.4 0 0.2309 0.4 0 0.4619 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(4.116)

[

]

(4.117)

[

]

(4.118)

7/23/2019 4. Grede (1)


120

Sabiranjem globalnih matrica krutosti sistema u jenačinama (4.117) i (4.118) slijei globalna

matrica sistema za sistem o 3 KE i opteredenjem kao na slici 4.26(b):

100 0 0 -100 0 0 0 0 0 0 0 0

0 2.4 1.2 0 -2.4 1.2 0 0 0 0 0 0

0 1.2 0.8 0 -1.2 0.4 0 0 0 0 0 0

-100 0 0 113.19 21.521 0.6598 -0.462 0 0.4 -12.73 -21.52 0.2598

0 -2.4 -1.2 21.521 97.71 -1.35 0 -57.74 0 -21.52 - 37.58 -0.15

0 1.2 0.4 0.6598 -1.35 1.6619 -0.4 0.2309 0.2309 -0.26 0.15 0.2

0 0 0 0.4619 0 -0.4 -0.462 0 -0.4 0 0 0

0 0 0 0 -57.74 0 0 57.735 0 0 0 0

0 0 0 -0.4 0 0.2309 0.4 0 0.4619 0 0 0

0 0 0 -12.73 -21.52 -0.26 0 0 0 12.725 21.521 -0.26

0 0 0 -21.52 -37.58 0.15 0 0 0 21.521 37.575 0 .15

0 0 0 0.2598 -0.15 0.2 0 0 0 -0.26 0.15 0.4

U čvoru 2 konstrukcije jeluju vanjske sile: , i . Sistem

jenačina (4.119) mogude je riješiti nakon primjene geometrijskih graničnih uslova. Na

mjestima uklještenja u tačkama A i C (slika 4.26) vrijedi: = = = = = = =

. Imajudi u viu granične uslove, sistem jenačina (4.119) svoi se na sljeedi sistem

jenačina (koji je označen u sistemu jenačina (4.119)):

113.19 21.521 0.6598

21.521 97.71 -1.35

0.6598 -1.35 1.6619

Rješenje sistema jenačina (4.113) je: , , .

Nakon što su oređena pomjeranja u čvoru 2, iz prve tri jenačine sistema (4.119) i

posljednjih šest jenačina ovog sistema oređuju se rekacije veze , , , , , ,, i u osloncima A, C i D.


aksijalne sile i momente savijanja. Na slici 4.27(b) se vidi da intenzitet aksijalne sila u

vertikalnoj gredi iznosi 6254.8 N, dok je maksimalni moment savijanja u horizontalnoj gredi i

iznosu 91.44 Nm.

(4.119)

(4.120)

7/23/2019 4. Grede (1)


121

Na slici 4.28 prikazane su uvedane eformacije konstrukcije kao i statički ijagram aksijalnih

sila za slučaj kaa je isti problem rješavan iskretizacijom sa KE štapa. Obzirom a KE štapa

može a bue optereden samo aksijalnim silama i nema mogudnost a prenese momen t

savijanja podrazumijevaju se zglobne veze u svim čvorovima. Ovakav problem ved je riješen

u primjeru 3.3 (slika 3.15), gje su opteredenje, geometrija problema uključujudi poprečni

presjek štapova i moul elastičnosti bili jednaki kao u ovom primjeru analiziranom KE grede.

Razlika u maksimalnoj aksijalnoj sili između rješenja obijenih analizom problema KE grea i

KE štapova je oko 1.4%. Rješenje iskretizacijom KE štapova takođe aje vede maksimalno

pomjeranje za oko 1.4%.

U analizi problema sa KE grede postojali su i momenti savijanja (slika 4.27(c)) koji su

rezultirali normalnim naponima u poprečnom presjeku. Ovi naponi su za zaate vrijenosti

površine poprečnog presjeka i aksijalnog momenta inercije za slučaj pravougaonogpoprečnog presjeka bili istog rea veličine kao naponi uslje aksijalnih sila. U ovom slučaju

Slika 4.28 Uvedana eformacija konstrukcije (a), ijagramaksijalnih sila (b) za slučaj analize konstrukcije KE štapa

6339.8 N

2113.3 N

4226.5 N

(b)(a)

Slika 4.27 Uvedana eformacija konstrukcije (a), ijagramaksijalnih sila (b) i dijagram momenata savijanja (c)

(a) (b) (c)

7/23/2019 4. Grede (1)


122

odnos visine poprečnog presjeka i užine gree bio je 1:6.5. Na slici 4.29 prikazani su

rezultati za isti problem za slučaj pravougaonog poprečnog presjeka imenzija 1x5 cm. U

ovom slučaju površina poprečnog presjeka grea je ostala ista, ok je aksijalni moment

inercije bio

za raliku o prethonog slučaja kaa je iznosio

. U ovom slučaju gree su bile mnogo vitkije i onos visine poprečnogpresjeka i užine gree bio je 1:20.


aksijalne sile i momente savijanja za posljenji slučaj. Razlika u maksimalnoj aksijalnoj sili kao

i pomjeranju između rješenja obijenih analizom problema KE grea i KE štapova je u ovom

slučaju ispo 0.15%. Maksimalni moment savijanja u ovom slučaju iznosi 9.646 Nm, što je za

oko deset puta manje nego sa prethodnim poprečnim presjekom, što znači a su i normalni

naponi uslje momenata savijanja eset puta manji, onosno manji su za re veličine od

napona usljed aksijalnih sila.

U narenom poglavlju analizirat de se primjena graničnih uslova za slučaj iskretizacije

konstrukcije KE grede.

4.5 Granični uslovi za slučaj diskretizacije KE grede

Na slici 4.30 ati su najčešdi slučajevi veza između grea ili konstrukcija o grea na primjeru

konstrukcije date u primjeru 4.5. Granični uslovi za slučaj uklještenja ved su objašnjeni u

primjeru 4.5, gje su u čvoru KE gree na mjestu uklješenja vrijenosti sve tri varijable,

kojima ogovaraju tri stepena sloboe, izjenačene sa nulom. Ovo znači a je

pretpostavljeno da veza uklještenja ne ozvoljava translaciju čvora u pravcu osa globalnog

Slika 4.29 Uvedana eformacija konstrukcije (a), ijagramaksijalnih sila (b) i dijagram momenata savijanja (c)

6330.8 N

(a) (b) (c)

2113.6

4219.7 N

7/23/2019 4. Grede (1)


123

koorinatnog sistema, niti ozvoljava ugaono zeokretanje poprečnog presjeka gree na

mjestu uklještenja.

Na slici 4.30(a) prikazana je šematski veza u čvorovima 1 i 3 koja prestavlja nepokretni

oslonac. Nepokretni oslonac spri ječava translatorne stepene sloboe kretanja, ok

dozvoljava rotaciju grede (ne pruža otpor rotaciji oko ose na mjestu zglobne veze. Dakle,za dati primjer geometrijski granični uslovi su . Za razliku od

problema datog na slici 4.24, gje su na mjestima čvorova 1 i 3 bila uklještenja, i koji je imao

ukupno tri stepena slobode kretanja, u primjeru na slici 4.30(a) postoji pet stepeni slobode, Obzirom a se preko zglobne veze ne može prenijeti moment savijanja,

momenti savijanja u čvorovima 1 i 3 jenaki su nuli, to jest, (vidjeti sliku

4.24(b).

Primjenom prethonih graničnih uslova na sistem jenačina (4.112) obija se sistem o pet

jenačina sa 5 nepoznatih veličina. Ovaj sistem jenačina je markiran u izrazima (4.121) (na

sljeedoj strani). U ovom sistemu u matrici vektor koloni opteredenja vri jedi: , , i .

100 0 0 -100 0 0 0 0 0

0 2.4 1.2 0 -2.4 1.2 0 0 0

0 1.2 0.8 0 -1.2 0.4 0 0 0

-100 0 0 100.46 0 0.4 -0.462 0 0.4

0 -2.4 -1.2 0 60.135 -1.2 0 -57.74 0

0 1.2 0.4 0.4 -1.2 1.2619 -0.4 0.2309 0.2309

0 0 0 0.4619 0 -0.4 -0.462 0 -0.4

0 0 0 0 -57.74 0 0 57.735 0

0 0 0 -0.4 0 0.2309 0.4 0 0.4619

(4.121)

F FF1 1 12 2 2

3 3 3

(a) (c)(b)

Slika 4.30 Primjeri veza za KE grede

7/23/2019 4. Grede (1)


124


aksijalne sile i momente savijanja za slučaj veza atih na slici 4.30(a). Na slici se vidi da su

momenti savijanja na mjestu zglobnih veza jednaki nuli.

Na slici 4.30(b) prikazana je šematski veza u čvoru 1 koja prestavlja pokretni oslonac.Pokretni oslonac spri ječava translatorni stepen sloboe kretanja u pravcu normalnom na

pravac kretanja oslonca, ok ne pruža otpor kretanju u pravcu klizanja i rotaciji grede na

mjestu zglobne veze. Dakle, za dati primjer geometrijski granični uslovi u čvoru 1 su

ok za opteredenje u čvoru 1 u matrici koloni opteredenja vrijei i .


aksijalne sile i momente savijanja za slučaj veza atih na slici 4.30(b). Na slici se vidi da grede

nisu izložene savijanju (momenti savijanja su jenaki nuli) i a cjelokupno opteredenje nosi

vertikalna greda što je u sklau sa graničnim uslovima.

Modeliranje zglobne veze prikazane na slici 4.30(c), kojom je horizontalna greda vezana za

ostatak konstrukcije (u ovom slučaju samo za vertikalni štap), zahtijeva posebnu pažnju. Za

razliku o čvrste veze između grea kaa je ugao zaokretanja poprečnog presjeka obje gree

jednak na mjestu spoja, u ovom slučaju uglovi zaokretanja poprečnih presjeka vije gree na

mjestu čvora 2 su različiti. Ovo znači a sistem u čvoru va ima četiri stepena sloboe: , gdje je sa označen ugao zaokretanja poprečnog presjeka horizontalne

gree u čvoru 2, dok je sa

označen ugao zaokretanja poprečnog presjeka vertikalne gree

u čvoru 2. U ovom slučaju se sistem jenačina (4.104), kojim je uz pomod matrice krutosti KE

Slika 4.31 Uvedana eformacija konstrukcije (a), ijagramaksijalnih sila (b) i ijagram momenata savijanja (c) za slučajproblema na slici 4.30(a)

(a) (b) (c)

7/23/2019 4. Grede (1)


125

1 efinisana veza između sila u čvorovima ovog konačnog elementa i stepena sloboe u ovim

čvorovima, može pisati u sljeedem obliku:

100 0 0 -100 0 0

0 2.4 1.2 0 -2.4 1.2

0 1.2 0.8 0 -1.2 0.4

-100 0 0 100 0 0

0 -2.4 -1.2 0 2.4 -1.2

0 1.2 0.4 0 -1.2 0.8

gdje je zamijenjeno sa a moment savijanja u čvoru 2 je u ovom primjeru jednak

nuli, jer preko zglobne veze ne može a se prenese moment savijanja na gredu od ostatka

konstrukcije sa kojom je u kontaktu preko čvora 2. Ostatak postupka za rješavanje ovog

problema je isti kao što je to pokazano u primjeru 4.5 stim što je u ovom slučaju povedan re

globalne matrice krutosti za jean. Efikasniji pristup je a se zarži re globalne matrice

krutosti kao u problemu bez zgloba, što je mogude na način a se eliminiše varijabla

iz

sistema jenačina (4.104). Naime, posljenja jenačina je nasta la iz izraza .

Potencijalna energija eformacije ostalih konačnih elemenata kojim je iskretizovana

konstrukcija ne zavisi od varijable tako a se ova varijabla više ne pojavljuje u matricama

krutosti ovih konačnih elemenata na osnovu kojih se formira globalna matrica krutosti.


aksijalne sile i momente savijanja za slučaj unutrašnjeg zgloba kao na slici 4.3 0(c). Na slici

4.33(a) se vidi da dolazi do promjene pravog ugla na spoju vije gree uslje različitih uglova

rotacije poprečnih presjeka grea na mjestu spoja. Na slici 4.33(c) se takođe vii a jemoment savijanja na mjestu zglobne veze jednak nuli.

Slika 4.32 Uvedana eformacija konstrukcije (a) i ijagramaksijalnih sila (b) i za slučaj problema na slici 4.30(b) (prikaz uADINA postprocesoru)

(4.104)

(a) (b)

7/23/2019 4. Grede (1)


126

Na sličan način kako je moeliran unutrašnji zglob (spoj koji ne prenosi moment savijanja)

mogu se moelirati i veze grea koje ne prenose transferzalne ili aksijalne sile između grea

u kontaktu.

Na slici 4.34(a) prikazan je problem koji posjeduje ravan simetrije po osnovu geometrije,

materijala, opteredenja i geometrijskih graničnih uslova. Za analizu ovog problema dovoljno je razmatrati samo io konstrukcije sa jene strane ravni simetrije uz ogovarajude granične

uslove na mjestu ravni simetrije. U ravni simetrije sve tačke poprečnog presjeka A (slika

4.34(b)) ostat de i nakon eformacije u ravni simetrije, to jest, pomjeranja svih tačaka u

poprečnom presjeku u pravcu ose bide jenaka nuli , a time de i rotacija

poprečnog presjaka oko ose normale na ravan konstrukcije biti jednaka nuli .

Slika 4.33 Uvedana eformacija konstrukcije (a), ijagramaksijalnih sila (b) i ijagram momenata savijanja (c) za slučajproblema na slici 4.30(c)

(a) (b) (c)

Slika 4.34 Konstrukcija sa osobinom simetrije (a) i modeliranje

konstrukcije tako da se iskoristi osobina simetrije (b)

A

(a) (b)

7/23/2019 4. Grede (1)


127

Na slikama 4.35 i 4.36 prikazani su rezultati proračuna eformacija, aksijalnih sila i

momenata savijanja za slučaj moeliranja cijele konstrukcije i dijela konstrukcije sa jedne

strane ravni simetrije. Na slikama se vidi da oba modela daju jednake rezulate.

4.6 Konačni element grede izložene uvijanju

Na slici 4.37 prikazana je grea kružnog poprečnog presjeka po ejstvom momenata

uvijanja.

Slika 4.35 Uvedana eformacija konstrukcije (a), ijagramaksijalnih sila (b) i ijagram momenata savijanja (c) za slučajproblema na slici 4.34(a)

(a) (b) (c)

(a) (b) (c)

Slika 4.36 Uvedana eformacija konstrukcije (a), dijagramaksijalnih sila (b) i ijagram momenata savijanja (c) za slučajproblema na slici 4.34(b)

7/23/2019 4. Grede (1)


128

Da bi se izvela matrica krutosti KE izloženog uvijanju pretpostavit de se linearna promjena

ugla uvijanja už použne ose gree:

.Koristedi uslov a je za , odnosno za , dobija se iz (4.105) i ( ). Uvrštavanjem koeficijenata i u jenačinu (4.105) slijei:

Na osnovu slike 4.38 može se pisati

odakle slijedi:

.

odnosno na osnovu (4.106) prethodni izraz

se može pisati u obliku

Uslje ejstva momenta uvijanja u poprečnom presjeku elementa javit de se tangencijalni

napon. Deformacioni rad usljed dejstva tangencijalnih napona u elementu može se izračunati

na osnovu izraza (2.26) koristedi izraze (4.108) i konstitutivnu relaciju u (2.15) za linearno

elastično tijelo:

(4.105)

(4.106)

x

z

y

rA

B

B' (4.107)

(4.108)

Slika 4.38 Element diferencijalne

užine izložen uvijanju

(4.109)

Slika 4.37 Element izložen uvijanju

2t M

1t M

x

x

z

y

rA B

B'

7/23/2019 4. Grede (1)


129

gdje je polarni moment inercije površine poprečnog presjeka elementa. Na osnovu

Castiglianove teoreme i izraza (4.109) vrijee jenačine:

što u matričnoj formi može biti pisano

gje je matrica krutosti KE izloženom uvijanju koja aje vezu između momenata uvijanja u

čvorovima i uglova uvijanja poprečnog presjeka gree u ovim čvorovima.

4.7 Konačni element grede u prostoru

Na slici 4.39 prikazan je KE gree, konstantnog poprečnog presjeka koji ima 6 stepeni

sloboe kretanja u svakom čvoru: tri translacije i tri rotacije. Osa se podudara sa aksijalnom

osom grede, a ose i paralelene su glavnim centralnim osama inercije poprečnog presjeka.

(4.110)

* + *+ *+ (4.111)

rs

t

k

S1

S2

S4

S3

S6

S5

S7

S10

S9

S12

S11

S8

Slika 4.39 Konačni element gree uprostoru

7/23/2019 4. Grede (1)


U čvorovima elementa jeluju aksijalne sile S1 i S7, transferzalne sile S2 i S8, odnosno S3 i S9, u

pravcu vaju glavnih centralnih osa inercije poprečnog presjeka gree, momenti savijanja S5

i S6, odnosno S11 i S12, oko vaju glavnih centralnih osa inercije poprečnog presjeka gree i

momenti uvijanja S4 i S7. Svakoj od ovih generelisanih sila ogovara ogovarajudegeneralisano pomjeranje .Na osnovu matrica krutosti u izrazu (4.95) (savijanje grede), (4.96) (aksijalno naprezanje

gree) i (4.111) (uvijanje gree) veza između generalisanih sila i pomjeranja za KE gree na

slici 4.39 ata je sljeedim sistemom jenačina:

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

4

0002

6

0

2

0002

6

0

4

02

6

000

2

02

6

00

00000000

3

12

0002

6

03

12

00

3

12

02

6

0003

12

0

00000

4

0002

6

0

4

02

6

00

000

3

12

00

3

12

0

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

l

t I E

l

t I E

l

t I E

l

t I E

l

s I E

l

s I E

l

s I E

l

s I E

l

r I G

l

r I G

l

s I E

l

s I E

l

s I E

l

t I E

l

t I E

l

t I E

l

E A

l

E A

l

t I E

l

t I E

l

s I E

l

s I E

l

r I G

l

s I E

l

I E

l

E A

t

gdje su užina gree, površina poprečnog presjeka gree, aksijalni glavni centralni

momenti inercije poprečnog presjeka gree, polarni moment inercije površine poprečnog

presjeka grede.

(4.112)