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2
3
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1 RESUMO
Atraveacutes de um experimento utilizando uma balanccedila de torccedilatildeo calculou-
se o momento de ineacutercia de um sistema e relacionou-o com o torque Atraveacutes
da torccedilatildeo analisou-se e utilizou-se a Lei de Hooke para sistemas mecacircnicos
oscilatoacuterios Na praacutetica decorrida foi calculado o moacutedulo de torccedilatildeo do mesmo
fio de accedilo ajustado em quatro comprimentos diferentes (10 cm 15 cm 20 cm e
25 cm) a partir da medida do tempo em que o fio preso a uma haste que servia
de suporte aos corpos oscilava dez vezes em torno do seu eixo sendo solto
de um acircngulo conhecido O experimento foi realizado diversas vezes com
combinaccedilotildees de hastes e pesos diferentes na contagem das oscilaccedilotildees
resultando em tempos diferentes para o caacutelculo do moacutedulo de torccedilatildeo Por fim
verificou-se que o moacutedulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio e esse aumento faz com que o periacuteodo de oscilaccedilatildeo para cada
configuraccedilatildeo de massa tambeacutem aumente Isso pode ser explicado pela Lei de
Hooke como tambeacutem pela Lei de Newton para rotaccedilotildees
5
2 INTRODUCcedilAtildeO
21 MOacuteDULOS DE TORCcedilAtildeO
Um tipo de movimento caracteriacutestico que se apresenta em diversos
fenocircmenos correspondendo a vibraccedilotildees localizadas ou oscilaccedilotildees de corpos
em torno de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio Sistemas mecacircnicos vibratoacuterios incluem
como exemplo pecircndulos de torccedilatildeo diapasotildees cordas de instrumentos
musicais e colunas de ar em instrumentos de sopro
Em soacutelidos eacute comum que as forccedilas internas entre as moleacuteculas ou
aacutetomos sejam muitos intensas para impedir rupturas que podem ser causadas
por forccedilas externas menos intensas poreacutem pode ocorrer a deformaccedilatildeo
temporaacuteria ou permanente do material Caso haja uma deformaccedilatildeo temporaacuteria
a partir do momento que as forccedilas externas cessam o soacutelido tende a voltar agrave
forma original atraveacutes de uma forccedila ou toque restaurador que se opotildee agrave forccedila
ou torque deformador
22 TENSOtildeES DE CISALHAMENTO
Um corpo soacutelido ciliacutendrico com um de seus extremos fixos submetidos a uma
forccedila tangencial aacute sua superfiacutecie lateral sofre uma torccedilatildeo Se o corpo natildeo for riacutegido
camadas superficiais do mesmo deslizariam entre si como no caso de fluidos liacutequidos
devido agraves forccedilas tangenciais Em corpos soacutelidos as forccedilas geram tensotildees de
cisalhamento cuja tendecircncia eacute separar as camadas do material gerando assim
deformaccedilotildees em torno do eixo do cilindro Essas deformaccedilotildees podem ser temporaacuterias
ou permanentes dependendo da intensidade da forccedila se o corpo volta a sua condiccedilatildeo
original apoacutes cessar a forccedila externa diz-se que ele se comporta como um sistema
elaacutestico No caso de torccedilotildees elaacutesticas haacute uma relaccedilatildeo linear entre a deformaccedilatildeo
angular e a forccedila elaacutestica restauradora governada pela Lei de Hooke
Para encontrar a deformaccedilatildeo angular resultante devido a forccedila externa
aplicada deve-se dividir o corpo soacutelido em camadas ciliacutendricas de raio interno r
espessura dr e comprimento L (Figura 1) Cada camada ciliacutendrica de for estendida
formaria um retacircngulo de largura 2π r e altura L sob accedilatildeo de uma forccedila tangencial se
deformando em um paralelogramo A deformaccedilatildeo de cisalhamento (ε) eacute ao longo do
6
periacutemetro do cilindro e cresce com o comprimento (z) representado na Figura 2 A
Equaccedilatildeo (1) demonstra o aumento da deformaccedilatildeo por unidade de comprimento
Ɛz= rL∙θ (1)
A forccedila de torccedilatildeo externa comunica diferenciais de forccedilas tangenciais
(d F=dF ∙ t) a cada camada ciliacutendrica que se distribuem sobre a superfiacutecie de
cada anel de aacuterea d A=2π ∙r ∙ dr ∙ k gerando tensotildees de cisalhamento σ
(Equaccedilatildeo 2)
σ=|d F t||d A|
=dFt
2 π ∙ r ∙ dr (2)
Figura 1 - Corpo soacutelido dividido em camadas ciliacutendricas de raio interno r
espessura dr e comprimento L (QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica
IV 2013)
Figura 2 - Deformaccedilatildeo de um retacircngulo de largura 2π r e altura L sob accedilatildeo de
uma forccedila tangencial formando um paralelogramo (QUINtildeONES E R F
Apostila da Aula Praacutetica IV 2013)
7
23 MOacuteDULO DE CISALHAMENTO
Para pequenas deformaccedilotildees ou seja dentro do limite elaacutestico do fio sob
torccedilatildeo as tensotildees de cisalhamento obedecem a Lei de Hooke exibindo
valores proporcionais agrave deformaccedilatildeo de cisalhamento (Equaccedilatildeo 3)
σ=minusS ∙ Ɛz∙ θ=minusS ∙ r
L∙θ (3)
Onde Seacute o moacutedulo de cisalhamento r representa o raio do cilindro L o comprimento do mesmo e θ eacute o acircngulo de desvio do sistema barra-cilindro em relaccedilatildeo agrave sua posiccedilatildeo original
24 TORQUE RESTAURADOR
A forccedila tangencial diferencial atuando em cada camada do cilindro pode
ser relacionada com o acircngulo de torccedilatildeo total do extremo inferior do fio usando
a tensatildeo de cisalhamento (Equaccedilatildeo 4 e 5)
d Ft=2 π σ r dr (4)
d Ft=minusS 2 πLθ ∙r 2 ∙ dr (5)
O torque para restaurar o fio de um acircngulo de θ pode ser obtido
relacionando a forccedila tangencial aplicada a camada ciliacutendrica com raio interno
da camada (Equaccedilatildeo 6 e 7)
d τ=rtimes d F=r dF t ( r timest ) (6)
d τ=minus2 π ∙ SL
∙ r3 ∙ dr ∙ θ ∙ k (7)
O torque para restaurar as posiccedilotildees iniciais das camadas ciliacutendricas do fio eacute
dado pela integral definida desde a camada de raio zero ateacute a camada da periferia do
cilindro de raio R
8
τ=minus2π ∙S ∙ θL
into
R
r3 ∙ dr ∙ k (8)
τ=minusπ ∙S ∙ R4
2L∙θ ∙ k (9)
Para um pequeno deslocamento angular tem-se o torque restaurador
conforme Equaccedilatildeo (10)
τ=minusK ∙θ ∙ k (10)
Onde K= π ∙S ∙R4
2 L
25 SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA ROTACcedilOtildeES
Considerando um barra horizontal suspensa em equiliacutebrio por um fio vertical
de comprimento L e raio R A barra horizontal possui um certo momento de ineacutercia Se
defletir a barra no plano horizontal de um pequeno acircngulo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de
equiliacutebrio a Lei de Hooke para a torccedilatildeo diz que o fio preso agrave barra reage com um
pequeno torque restaurador proporcional ao acircngulo de torccedilatildeo (Equaccedilatildeo 11)
τ=minusK ∙θ (11)
O movimento de rotaccedilatildeo do fio ciliacutendrico em torno de seu eixo de simetria
depende da ineacutercia do sistema ou seja do momento de ineacutercia do cilindro e o da barra
acoplada ao mesmo Para um torque levando o sistema para posiccedilatildeo de equiliacutebrio a
resposta dinacircmica vai depender da ineacutercia do sistema Assim quanto maior for a
ineacutercia o sistema vai girar sob menor aceleraccedilatildeo angular ou seja mais lentamente
A segunda lei de Newton para as rotaccedilotildees eacute dada pela Equaccedilatildeo (12)
τ=I prop (12)
τ=I d2θd t2
(13)
Onde I representa o momento de ineacutercia do sistema sob rotaccedilatildeo em relaccedilatildeo ao eixo
de rotaccedilatildeo do corpo
9
As Equaccedilotildees (11) e (13) exprimem o mesmo resultado poreacutem a Equaccedilatildeo (11)
reflete a resposta elaacutestica interna do corpo agrave torccedilatildeo e a Equaccedilatildeo (13) indica a
aceleraccedilatildeo transmitida ao mesmo corpo sob rotaccedilatildeo Entatildeo igualando as duas se
obteacutem a Equaccedilatildeo (14) que representa o movimento oscilatoacuterio do corpo elaacutestico de
torccedilatildeo
I ∙d2θd t2
=minusK ∙θ (14)
d2θd t2
+ KI∙θ=0 (15)
O sistema dinacircmico descrito pela Equaccedilatildeo (15) chama-se de oscilador
harmocircnico simples (unidimensional) A variaacutevel θ que caracteriza o uacutenico grau de
liberdade descreve os pequenos desvios da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel do fio A
restriccedilatildeo a pequenos desvios limita o movimento oscilatoacuterio para regiotildees onde o
sistema se comporta elasticamente Se passar do limite elaacutestico do fio o sistema natildeo
retorna agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio tendo deformaccedilotildees permanentes
A equaccedilatildeo (15) eacute uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria para θ (t ) e de segunda
ordem cuja soluccedilatildeo geral eacute dada pela Equaccedilatildeo (16)
θ (t )=θo ∙cos (ω∙ t+φ ) (16)
Onde θo representa a amplitude de oscilaccedilatildeo ou maacuteximo deslocamento angular A
funccedilatildeocos (w ∙t+φ) eacute uma funccedilatildeo perioacutedica onde o paracircmetro ω representa a
frequecircncia angular O tempo que o sistema demora em voltar a sua condiccedilatildeo inicial ou
repetir o movimento oscilatoacuterio eacute chamado de periacuteodo (Equaccedilatildeo 17)
cos (ω∙t+φ )=cos (ω∙ ( t+T )+φ ) (17)
cos (ω∙t+φ+2 π )=cos (ω∙ t+φ+ω∙T ) (18)
O periacuteodo de oscilaccedilatildeo eacute funccedilatildeo do inverso da frequecircncia angular do sistema
(Equaccedilatildeo 19)
T=2πω
(19)
10
Logo a soluccedilatildeo harmocircnica do sistema de torccedilatildeo pode ser escrita de acordo
com a Equaccedilatildeo (20)
θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)
Derivando duas vezes esta funccedilatildeo harmocircnica obtecircm a Equaccedilatildeo (21)
d2θ (t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)
d2θ ( t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ( t ) (22)
Substituindo a Equaccedilatildeo (22) na (15) obtecircm-se a Equaccedilatildeo (23)
T=2π ∙radic IK (23)
O fato de que o periacuteodo T eacute independente da amplitude de oscilaccedilatildeo (desde
que natildeo ultrapasse o limite de elasticidade do fio) constitui o isocronismo das
pequenas oscilaccedilotildees do pecircndulo descoberto por Galileu
Este relatoacuterio tem por objetivo realizar a verificaccedilatildeo das oscilaccedilotildees harmocircnicas
de um sistema conservativo a validade da Lei de Hooke na torccedilatildeo de um fio a relaccedilatildeo
entre o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e o moacutedulo de torccedilatildeo a dependecircncia do moacutedulo de
torccedilatildeo de um fio com seu comprimento diacircmetro e material e o momento de ineacutercia de
qualquer objeto com o uso da balanccedila de torccedilatildeo
11
3 PARTE EXPERIMENTAL
31 MATERIAIS
Utilizou-se uma balanccedila de torccedilatildeo baacutesica para mecacircnica composta por
uma haste ciliacutendrica vertical acoplada na parte de baixo aacute uma base quadrada
com quatro sapatas niveladoras e amortecedoras e na parte de cima a um
suporte horizontal duas pequenas hastes auxiliares com furo transversal
central passante e parafusos nos seus extremos (para prender o arame) duas
travas auxiliares de latatildeo para o corpo de prova e duas hastes com o corpo
central e com rebaixo nos extremos de comprimento 10 cm e 20 cm A esta
balanccedila foram combinados jogos de pesos (corpos de prova) e um uacutenico fio de
accedilo ajustado a quatro comprimentos diferentes Para auxiliar nas medidas do
acircngulo fio tempo e massa utilizou-se respectivamente transferidor reacutegua
metaacutelica cronocircmetro e balanccedila
32 PREacute-REQUISITO
Primeiramente fez-se necessaacuterio o conhecimento dos paracircmetros de
oscilaccedilatildeo livre como o moacutedulo de torccedilatildeo levando em consideraccedilatildeo as tensotildees
de cisalhamento Posteriormente fez-se uma relaccedilatildeo entre a deformaccedilatildeo
angular e a forccedila elaacutestica restauradora da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel
expressada pela Lei de Hooke O caacutelculo do momento de uma forccedila em relaccedilatildeo
a um eixo foi feito e obteve-se entatildeo o momento de ineacutercia de um corpo riacutegido
atraveacutes da medida indireta do periacuteodo de oscilaccedilatildeo do pecircndulo fiacutesico de torccedilatildeo
33 PROCEDIMENTO
O intuito da praacutetica foi medir o tempo das oscilaccedilotildees de cada haste (de
10 cm e 20 cm) mantendo os pesos equilibrados em suas extremidades
suspensas por um uacutenico fio ajustado em 10 cm 15 cm 20 cm e 25 cm
Para isso utilizou-se um cronometro digital para medir o tempo na qual a
haste com seus respectivos jogos de pesos oscilavam Fez-se isso tanto para a
haste de 10 cm e 20 cm A haste foi posicionada em um acircngulo de 70deg com a
horizontal da base da balanccedila de torccedilatildeo Acionava-se o cronocircmetro soltava-se
12
a haste e parava-se assim que ela completasse dez oscilaccedilotildees Desse modo
percebeu-se que o moacutedulo de torccedilatildeo do fio de accedilo dependia do seu
comprimento dos comprimentos das hastes e das massas dos corpos fixados
a ela Com auxilio do tempo medido foi possiacutevel calcular o moacutedulo de torccedilatildeo
em cada caso e por fim o moacutedulo de cisalhamento do fio de accedilo empregado
13
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Para cada comprimento de fio dos quatro utilizados montaram-se
diferentes configuraccedilotildees de massa com os dois tamanhos de haste resultando
em diferentes momentos de ineacutercia Para cada comprimento (L) do fio usado no
moacutedulo de torccedilatildeo construiu-se uma tabela contendo o tempo de cinco
repeticcedilotildees cada uma com 10 oscilaccedilotildees para cada configuraccedilatildeo inercial e seu
momento de ineacutercia resultante Para isso desprezou-se a ineacutercia do fio e
considerou-se a trava auxiliar como um cilindro reto uniforme
A Tabela 1 apresenta os dados com o comprimento de fio de 25 cm o
periacuteodo meacutedio eacute obtido pela divisatildeo de tempo total por 10 (nuacutemero de
oscilaccedilotildees) e o erro do periacuteodo eacute representado pelo desvio-padratildeo apresentado
pelos dados experimentais
Tabela 1 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 25 cm
Haste 021 m Haste 011m
Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 7386 8109 9363 3741 4166
2 7294 8081 9379 3785 4150
3 7315 8084 9385 3753 4109
4 7314 8069 9379 3775 4122
5 7316 8037 9369 3738 4147
T (s) 7325 plusmn035 8076 plusmn026 937 plusmn009 37584 plusmn021 41388 plusmn023
Os valores determinados com o fio de 200 cm estatildeo dispostos na
Tabela 2
Tabela 2 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 20 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465
14
5 2562 3371 3644 4990 6494T (s) 256 plusmn010 333 plusmn028 363 plusmn007 500 plusmn018 648 plusmn015
Para o fio de comprimento igual a 150 cm os dados estatildeo descritos na
Tabela 3
Tabela 3 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 15 cm
Haste 011 m Haste 021m
Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2294 2910 3225 4379 5687
2 23 2925 3204 4378 5691
3 2294 2940 3194 4394 5697
4 2284 2934 3191 4375 5675
5 2282 2903 3194 4353 5687
T (s) 229 plusmn08 292 plusmn016 320 plusmn014 438 plusmn015 569 plusmn008
Para o fio de 100 cm tem-se a Tabela 4
Tabela 4 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 10 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646
T (s) 191 plusmn010 243 plusmn011 267 plusmn010 360 plusmn007 464 plusmn007
Calculou-se o momento de ineacutercia resultante de cada configuraccedilatildeo pela
Equaccedilatildeo (a) em anexo e seu erro segundo a Equaccedilatildeo (b) Os momentos de
ineacutercia e os periacuteodos ao quadrado com seus desvios calculados pela Equaccedilatildeo
(c) estatildeo nas Tabelas 5 6 7 e 8
15
Tabela 5 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 25 cm de comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 072 plusmn003 1712plusmn189
2 060 plusmn003 1413plusmn156
3 236 plusmn002 5365plusmn517
4 287 plusmn002 6522plusmn423
5 387 plusmn002 8789plusmn166
Tabela 6 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 20 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 655plusmn049
2 059 plusmn002 1110plusmn189
3 072 plusmn002 1318plusmn051
4 136 plusmn003 2490plusmn178
5 236 plusmn003 4200plusmn189
Tabela 7 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 15 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 525plusmn035
2 059 plusmn002 854plusmn092
3 072 plusmn002 1025plusmn089
4 136 plusmn003 1914plusmn129
5 236 plusmn003 3235plusmn092
Tabela 8 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 10 cm de
comprimento
16
OscilaccedilatildeoMomento de
Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 363plusmn037
2 059 plusmn002 590plusmn051
3 072 plusmn002 712plusmn052
4 136 plusmn003 1291plusmn052
5 236 plusmn003 2156plusmn061
Elevando a Equaccedilatildeo (23) ao quadrado temos
T 2=4 π2 IK
(24)
Construindo um graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de
ineacutercia de cada configuraccedilatildeo para cada um dos comprimentos (L) dos fios de
prova tem-se que
T 2=aI (25)
E portanto
K= 4π2
a (26)
Possibilitando determinar o valor do modulo de torccedilatildeo (K) para cada
comprimento de fio utilizado
Para o fio de comprimento L=250 cm tem-se a Figura 3 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
17
Figura 3 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear entre o momento de ineacutercia do sistema e o periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de comprimento 025m
Onde tem-se a=22469plusmn29 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=200 cm tem-se a Figura 4 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 4 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 020m de comprimento
18
Onde tem-se a=17613plusmn76 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=150 cm tem-se a Figura 5 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 5 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 015m de comprimento
Onde se tem a=13381plusmn44 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=100 cm tem-se a Figura 6 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
19
Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento
Onde tem-se a=8866plusmn71 ssup2kg-1m-sup2
Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L
e ajustando uma reta do
tipo
K=a 1L
(27)
E portanto
S= 2a
π R4 (28)
A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear
dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros
associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)
Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os
valores de K e seus erros associados
Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565
13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860
Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7
Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
2
3
4
1 RESUMO
Atraveacutes de um experimento utilizando uma balanccedila de torccedilatildeo calculou-
se o momento de ineacutercia de um sistema e relacionou-o com o torque Atraveacutes
da torccedilatildeo analisou-se e utilizou-se a Lei de Hooke para sistemas mecacircnicos
oscilatoacuterios Na praacutetica decorrida foi calculado o moacutedulo de torccedilatildeo do mesmo
fio de accedilo ajustado em quatro comprimentos diferentes (10 cm 15 cm 20 cm e
25 cm) a partir da medida do tempo em que o fio preso a uma haste que servia
de suporte aos corpos oscilava dez vezes em torno do seu eixo sendo solto
de um acircngulo conhecido O experimento foi realizado diversas vezes com
combinaccedilotildees de hastes e pesos diferentes na contagem das oscilaccedilotildees
resultando em tempos diferentes para o caacutelculo do moacutedulo de torccedilatildeo Por fim
verificou-se que o moacutedulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio e esse aumento faz com que o periacuteodo de oscilaccedilatildeo para cada
configuraccedilatildeo de massa tambeacutem aumente Isso pode ser explicado pela Lei de
Hooke como tambeacutem pela Lei de Newton para rotaccedilotildees
5
2 INTRODUCcedilAtildeO
21 MOacuteDULOS DE TORCcedilAtildeO
Um tipo de movimento caracteriacutestico que se apresenta em diversos
fenocircmenos correspondendo a vibraccedilotildees localizadas ou oscilaccedilotildees de corpos
em torno de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio Sistemas mecacircnicos vibratoacuterios incluem
como exemplo pecircndulos de torccedilatildeo diapasotildees cordas de instrumentos
musicais e colunas de ar em instrumentos de sopro
Em soacutelidos eacute comum que as forccedilas internas entre as moleacuteculas ou
aacutetomos sejam muitos intensas para impedir rupturas que podem ser causadas
por forccedilas externas menos intensas poreacutem pode ocorrer a deformaccedilatildeo
temporaacuteria ou permanente do material Caso haja uma deformaccedilatildeo temporaacuteria
a partir do momento que as forccedilas externas cessam o soacutelido tende a voltar agrave
forma original atraveacutes de uma forccedila ou toque restaurador que se opotildee agrave forccedila
ou torque deformador
22 TENSOtildeES DE CISALHAMENTO
Um corpo soacutelido ciliacutendrico com um de seus extremos fixos submetidos a uma
forccedila tangencial aacute sua superfiacutecie lateral sofre uma torccedilatildeo Se o corpo natildeo for riacutegido
camadas superficiais do mesmo deslizariam entre si como no caso de fluidos liacutequidos
devido agraves forccedilas tangenciais Em corpos soacutelidos as forccedilas geram tensotildees de
cisalhamento cuja tendecircncia eacute separar as camadas do material gerando assim
deformaccedilotildees em torno do eixo do cilindro Essas deformaccedilotildees podem ser temporaacuterias
ou permanentes dependendo da intensidade da forccedila se o corpo volta a sua condiccedilatildeo
original apoacutes cessar a forccedila externa diz-se que ele se comporta como um sistema
elaacutestico No caso de torccedilotildees elaacutesticas haacute uma relaccedilatildeo linear entre a deformaccedilatildeo
angular e a forccedila elaacutestica restauradora governada pela Lei de Hooke
Para encontrar a deformaccedilatildeo angular resultante devido a forccedila externa
aplicada deve-se dividir o corpo soacutelido em camadas ciliacutendricas de raio interno r
espessura dr e comprimento L (Figura 1) Cada camada ciliacutendrica de for estendida
formaria um retacircngulo de largura 2π r e altura L sob accedilatildeo de uma forccedila tangencial se
deformando em um paralelogramo A deformaccedilatildeo de cisalhamento (ε) eacute ao longo do
6
periacutemetro do cilindro e cresce com o comprimento (z) representado na Figura 2 A
Equaccedilatildeo (1) demonstra o aumento da deformaccedilatildeo por unidade de comprimento
Ɛz= rL∙θ (1)
A forccedila de torccedilatildeo externa comunica diferenciais de forccedilas tangenciais
(d F=dF ∙ t) a cada camada ciliacutendrica que se distribuem sobre a superfiacutecie de
cada anel de aacuterea d A=2π ∙r ∙ dr ∙ k gerando tensotildees de cisalhamento σ
(Equaccedilatildeo 2)
σ=|d F t||d A|
=dFt
2 π ∙ r ∙ dr (2)
Figura 1 - Corpo soacutelido dividido em camadas ciliacutendricas de raio interno r
espessura dr e comprimento L (QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica
IV 2013)
Figura 2 - Deformaccedilatildeo de um retacircngulo de largura 2π r e altura L sob accedilatildeo de
uma forccedila tangencial formando um paralelogramo (QUINtildeONES E R F
Apostila da Aula Praacutetica IV 2013)
7
23 MOacuteDULO DE CISALHAMENTO
Para pequenas deformaccedilotildees ou seja dentro do limite elaacutestico do fio sob
torccedilatildeo as tensotildees de cisalhamento obedecem a Lei de Hooke exibindo
valores proporcionais agrave deformaccedilatildeo de cisalhamento (Equaccedilatildeo 3)
σ=minusS ∙ Ɛz∙ θ=minusS ∙ r
L∙θ (3)
Onde Seacute o moacutedulo de cisalhamento r representa o raio do cilindro L o comprimento do mesmo e θ eacute o acircngulo de desvio do sistema barra-cilindro em relaccedilatildeo agrave sua posiccedilatildeo original
24 TORQUE RESTAURADOR
A forccedila tangencial diferencial atuando em cada camada do cilindro pode
ser relacionada com o acircngulo de torccedilatildeo total do extremo inferior do fio usando
a tensatildeo de cisalhamento (Equaccedilatildeo 4 e 5)
d Ft=2 π σ r dr (4)
d Ft=minusS 2 πLθ ∙r 2 ∙ dr (5)
O torque para restaurar o fio de um acircngulo de θ pode ser obtido
relacionando a forccedila tangencial aplicada a camada ciliacutendrica com raio interno
da camada (Equaccedilatildeo 6 e 7)
d τ=rtimes d F=r dF t ( r timest ) (6)
d τ=minus2 π ∙ SL
∙ r3 ∙ dr ∙ θ ∙ k (7)
O torque para restaurar as posiccedilotildees iniciais das camadas ciliacutendricas do fio eacute
dado pela integral definida desde a camada de raio zero ateacute a camada da periferia do
cilindro de raio R
8
τ=minus2π ∙S ∙ θL
into
R
r3 ∙ dr ∙ k (8)
τ=minusπ ∙S ∙ R4
2L∙θ ∙ k (9)
Para um pequeno deslocamento angular tem-se o torque restaurador
conforme Equaccedilatildeo (10)
τ=minusK ∙θ ∙ k (10)
Onde K= π ∙S ∙R4
2 L
25 SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA ROTACcedilOtildeES
Considerando um barra horizontal suspensa em equiliacutebrio por um fio vertical
de comprimento L e raio R A barra horizontal possui um certo momento de ineacutercia Se
defletir a barra no plano horizontal de um pequeno acircngulo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de
equiliacutebrio a Lei de Hooke para a torccedilatildeo diz que o fio preso agrave barra reage com um
pequeno torque restaurador proporcional ao acircngulo de torccedilatildeo (Equaccedilatildeo 11)
τ=minusK ∙θ (11)
O movimento de rotaccedilatildeo do fio ciliacutendrico em torno de seu eixo de simetria
depende da ineacutercia do sistema ou seja do momento de ineacutercia do cilindro e o da barra
acoplada ao mesmo Para um torque levando o sistema para posiccedilatildeo de equiliacutebrio a
resposta dinacircmica vai depender da ineacutercia do sistema Assim quanto maior for a
ineacutercia o sistema vai girar sob menor aceleraccedilatildeo angular ou seja mais lentamente
A segunda lei de Newton para as rotaccedilotildees eacute dada pela Equaccedilatildeo (12)
τ=I prop (12)
τ=I d2θd t2
(13)
Onde I representa o momento de ineacutercia do sistema sob rotaccedilatildeo em relaccedilatildeo ao eixo
de rotaccedilatildeo do corpo
9
As Equaccedilotildees (11) e (13) exprimem o mesmo resultado poreacutem a Equaccedilatildeo (11)
reflete a resposta elaacutestica interna do corpo agrave torccedilatildeo e a Equaccedilatildeo (13) indica a
aceleraccedilatildeo transmitida ao mesmo corpo sob rotaccedilatildeo Entatildeo igualando as duas se
obteacutem a Equaccedilatildeo (14) que representa o movimento oscilatoacuterio do corpo elaacutestico de
torccedilatildeo
I ∙d2θd t2
=minusK ∙θ (14)
d2θd t2
+ KI∙θ=0 (15)
O sistema dinacircmico descrito pela Equaccedilatildeo (15) chama-se de oscilador
harmocircnico simples (unidimensional) A variaacutevel θ que caracteriza o uacutenico grau de
liberdade descreve os pequenos desvios da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel do fio A
restriccedilatildeo a pequenos desvios limita o movimento oscilatoacuterio para regiotildees onde o
sistema se comporta elasticamente Se passar do limite elaacutestico do fio o sistema natildeo
retorna agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio tendo deformaccedilotildees permanentes
A equaccedilatildeo (15) eacute uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria para θ (t ) e de segunda
ordem cuja soluccedilatildeo geral eacute dada pela Equaccedilatildeo (16)
θ (t )=θo ∙cos (ω∙ t+φ ) (16)
Onde θo representa a amplitude de oscilaccedilatildeo ou maacuteximo deslocamento angular A
funccedilatildeocos (w ∙t+φ) eacute uma funccedilatildeo perioacutedica onde o paracircmetro ω representa a
frequecircncia angular O tempo que o sistema demora em voltar a sua condiccedilatildeo inicial ou
repetir o movimento oscilatoacuterio eacute chamado de periacuteodo (Equaccedilatildeo 17)
cos (ω∙t+φ )=cos (ω∙ ( t+T )+φ ) (17)
cos (ω∙t+φ+2 π )=cos (ω∙ t+φ+ω∙T ) (18)
O periacuteodo de oscilaccedilatildeo eacute funccedilatildeo do inverso da frequecircncia angular do sistema
(Equaccedilatildeo 19)
T=2πω
(19)
10
Logo a soluccedilatildeo harmocircnica do sistema de torccedilatildeo pode ser escrita de acordo
com a Equaccedilatildeo (20)
θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)
Derivando duas vezes esta funccedilatildeo harmocircnica obtecircm a Equaccedilatildeo (21)
d2θ (t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)
d2θ ( t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ( t ) (22)
Substituindo a Equaccedilatildeo (22) na (15) obtecircm-se a Equaccedilatildeo (23)
T=2π ∙radic IK (23)
O fato de que o periacuteodo T eacute independente da amplitude de oscilaccedilatildeo (desde
que natildeo ultrapasse o limite de elasticidade do fio) constitui o isocronismo das
pequenas oscilaccedilotildees do pecircndulo descoberto por Galileu
Este relatoacuterio tem por objetivo realizar a verificaccedilatildeo das oscilaccedilotildees harmocircnicas
de um sistema conservativo a validade da Lei de Hooke na torccedilatildeo de um fio a relaccedilatildeo
entre o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e o moacutedulo de torccedilatildeo a dependecircncia do moacutedulo de
torccedilatildeo de um fio com seu comprimento diacircmetro e material e o momento de ineacutercia de
qualquer objeto com o uso da balanccedila de torccedilatildeo
11
3 PARTE EXPERIMENTAL
31 MATERIAIS
Utilizou-se uma balanccedila de torccedilatildeo baacutesica para mecacircnica composta por
uma haste ciliacutendrica vertical acoplada na parte de baixo aacute uma base quadrada
com quatro sapatas niveladoras e amortecedoras e na parte de cima a um
suporte horizontal duas pequenas hastes auxiliares com furo transversal
central passante e parafusos nos seus extremos (para prender o arame) duas
travas auxiliares de latatildeo para o corpo de prova e duas hastes com o corpo
central e com rebaixo nos extremos de comprimento 10 cm e 20 cm A esta
balanccedila foram combinados jogos de pesos (corpos de prova) e um uacutenico fio de
accedilo ajustado a quatro comprimentos diferentes Para auxiliar nas medidas do
acircngulo fio tempo e massa utilizou-se respectivamente transferidor reacutegua
metaacutelica cronocircmetro e balanccedila
32 PREacute-REQUISITO
Primeiramente fez-se necessaacuterio o conhecimento dos paracircmetros de
oscilaccedilatildeo livre como o moacutedulo de torccedilatildeo levando em consideraccedilatildeo as tensotildees
de cisalhamento Posteriormente fez-se uma relaccedilatildeo entre a deformaccedilatildeo
angular e a forccedila elaacutestica restauradora da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel
expressada pela Lei de Hooke O caacutelculo do momento de uma forccedila em relaccedilatildeo
a um eixo foi feito e obteve-se entatildeo o momento de ineacutercia de um corpo riacutegido
atraveacutes da medida indireta do periacuteodo de oscilaccedilatildeo do pecircndulo fiacutesico de torccedilatildeo
33 PROCEDIMENTO
O intuito da praacutetica foi medir o tempo das oscilaccedilotildees de cada haste (de
10 cm e 20 cm) mantendo os pesos equilibrados em suas extremidades
suspensas por um uacutenico fio ajustado em 10 cm 15 cm 20 cm e 25 cm
Para isso utilizou-se um cronometro digital para medir o tempo na qual a
haste com seus respectivos jogos de pesos oscilavam Fez-se isso tanto para a
haste de 10 cm e 20 cm A haste foi posicionada em um acircngulo de 70deg com a
horizontal da base da balanccedila de torccedilatildeo Acionava-se o cronocircmetro soltava-se
12
a haste e parava-se assim que ela completasse dez oscilaccedilotildees Desse modo
percebeu-se que o moacutedulo de torccedilatildeo do fio de accedilo dependia do seu
comprimento dos comprimentos das hastes e das massas dos corpos fixados
a ela Com auxilio do tempo medido foi possiacutevel calcular o moacutedulo de torccedilatildeo
em cada caso e por fim o moacutedulo de cisalhamento do fio de accedilo empregado
13
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Para cada comprimento de fio dos quatro utilizados montaram-se
diferentes configuraccedilotildees de massa com os dois tamanhos de haste resultando
em diferentes momentos de ineacutercia Para cada comprimento (L) do fio usado no
moacutedulo de torccedilatildeo construiu-se uma tabela contendo o tempo de cinco
repeticcedilotildees cada uma com 10 oscilaccedilotildees para cada configuraccedilatildeo inercial e seu
momento de ineacutercia resultante Para isso desprezou-se a ineacutercia do fio e
considerou-se a trava auxiliar como um cilindro reto uniforme
A Tabela 1 apresenta os dados com o comprimento de fio de 25 cm o
periacuteodo meacutedio eacute obtido pela divisatildeo de tempo total por 10 (nuacutemero de
oscilaccedilotildees) e o erro do periacuteodo eacute representado pelo desvio-padratildeo apresentado
pelos dados experimentais
Tabela 1 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 25 cm
Haste 021 m Haste 011m
Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 7386 8109 9363 3741 4166
2 7294 8081 9379 3785 4150
3 7315 8084 9385 3753 4109
4 7314 8069 9379 3775 4122
5 7316 8037 9369 3738 4147
T (s) 7325 plusmn035 8076 plusmn026 937 plusmn009 37584 plusmn021 41388 plusmn023
Os valores determinados com o fio de 200 cm estatildeo dispostos na
Tabela 2
Tabela 2 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 20 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465
14
5 2562 3371 3644 4990 6494T (s) 256 plusmn010 333 plusmn028 363 plusmn007 500 plusmn018 648 plusmn015
Para o fio de comprimento igual a 150 cm os dados estatildeo descritos na
Tabela 3
Tabela 3 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 15 cm
Haste 011 m Haste 021m
Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2294 2910 3225 4379 5687
2 23 2925 3204 4378 5691
3 2294 2940 3194 4394 5697
4 2284 2934 3191 4375 5675
5 2282 2903 3194 4353 5687
T (s) 229 plusmn08 292 plusmn016 320 plusmn014 438 plusmn015 569 plusmn008
Para o fio de 100 cm tem-se a Tabela 4
Tabela 4 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 10 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646
T (s) 191 plusmn010 243 plusmn011 267 plusmn010 360 plusmn007 464 plusmn007
Calculou-se o momento de ineacutercia resultante de cada configuraccedilatildeo pela
Equaccedilatildeo (a) em anexo e seu erro segundo a Equaccedilatildeo (b) Os momentos de
ineacutercia e os periacuteodos ao quadrado com seus desvios calculados pela Equaccedilatildeo
(c) estatildeo nas Tabelas 5 6 7 e 8
15
Tabela 5 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 25 cm de comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 072 plusmn003 1712plusmn189
2 060 plusmn003 1413plusmn156
3 236 plusmn002 5365plusmn517
4 287 plusmn002 6522plusmn423
5 387 plusmn002 8789plusmn166
Tabela 6 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 20 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 655plusmn049
2 059 plusmn002 1110plusmn189
3 072 plusmn002 1318plusmn051
4 136 plusmn003 2490plusmn178
5 236 plusmn003 4200plusmn189
Tabela 7 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 15 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 525plusmn035
2 059 plusmn002 854plusmn092
3 072 plusmn002 1025plusmn089
4 136 plusmn003 1914plusmn129
5 236 plusmn003 3235plusmn092
Tabela 8 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 10 cm de
comprimento
16
OscilaccedilatildeoMomento de
Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 363plusmn037
2 059 plusmn002 590plusmn051
3 072 plusmn002 712plusmn052
4 136 plusmn003 1291plusmn052
5 236 plusmn003 2156plusmn061
Elevando a Equaccedilatildeo (23) ao quadrado temos
T 2=4 π2 IK
(24)
Construindo um graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de
ineacutercia de cada configuraccedilatildeo para cada um dos comprimentos (L) dos fios de
prova tem-se que
T 2=aI (25)
E portanto
K= 4π2
a (26)
Possibilitando determinar o valor do modulo de torccedilatildeo (K) para cada
comprimento de fio utilizado
Para o fio de comprimento L=250 cm tem-se a Figura 3 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
17
Figura 3 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear entre o momento de ineacutercia do sistema e o periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de comprimento 025m
Onde tem-se a=22469plusmn29 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=200 cm tem-se a Figura 4 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 4 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 020m de comprimento
18
Onde tem-se a=17613plusmn76 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=150 cm tem-se a Figura 5 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 5 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 015m de comprimento
Onde se tem a=13381plusmn44 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=100 cm tem-se a Figura 6 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
19
Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento
Onde tem-se a=8866plusmn71 ssup2kg-1m-sup2
Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L
e ajustando uma reta do
tipo
K=a 1L
(27)
E portanto
S= 2a
π R4 (28)
A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear
dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros
associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)
Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os
valores de K e seus erros associados
Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565
13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860
Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7
Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
3
4
1 RESUMO
Atraveacutes de um experimento utilizando uma balanccedila de torccedilatildeo calculou-
se o momento de ineacutercia de um sistema e relacionou-o com o torque Atraveacutes
da torccedilatildeo analisou-se e utilizou-se a Lei de Hooke para sistemas mecacircnicos
oscilatoacuterios Na praacutetica decorrida foi calculado o moacutedulo de torccedilatildeo do mesmo
fio de accedilo ajustado em quatro comprimentos diferentes (10 cm 15 cm 20 cm e
25 cm) a partir da medida do tempo em que o fio preso a uma haste que servia
de suporte aos corpos oscilava dez vezes em torno do seu eixo sendo solto
de um acircngulo conhecido O experimento foi realizado diversas vezes com
combinaccedilotildees de hastes e pesos diferentes na contagem das oscilaccedilotildees
resultando em tempos diferentes para o caacutelculo do moacutedulo de torccedilatildeo Por fim
verificou-se que o moacutedulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio e esse aumento faz com que o periacuteodo de oscilaccedilatildeo para cada
configuraccedilatildeo de massa tambeacutem aumente Isso pode ser explicado pela Lei de
Hooke como tambeacutem pela Lei de Newton para rotaccedilotildees
5
2 INTRODUCcedilAtildeO
21 MOacuteDULOS DE TORCcedilAtildeO
Um tipo de movimento caracteriacutestico que se apresenta em diversos
fenocircmenos correspondendo a vibraccedilotildees localizadas ou oscilaccedilotildees de corpos
em torno de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio Sistemas mecacircnicos vibratoacuterios incluem
como exemplo pecircndulos de torccedilatildeo diapasotildees cordas de instrumentos
musicais e colunas de ar em instrumentos de sopro
Em soacutelidos eacute comum que as forccedilas internas entre as moleacuteculas ou
aacutetomos sejam muitos intensas para impedir rupturas que podem ser causadas
por forccedilas externas menos intensas poreacutem pode ocorrer a deformaccedilatildeo
temporaacuteria ou permanente do material Caso haja uma deformaccedilatildeo temporaacuteria
a partir do momento que as forccedilas externas cessam o soacutelido tende a voltar agrave
forma original atraveacutes de uma forccedila ou toque restaurador que se opotildee agrave forccedila
ou torque deformador
22 TENSOtildeES DE CISALHAMENTO
Um corpo soacutelido ciliacutendrico com um de seus extremos fixos submetidos a uma
forccedila tangencial aacute sua superfiacutecie lateral sofre uma torccedilatildeo Se o corpo natildeo for riacutegido
camadas superficiais do mesmo deslizariam entre si como no caso de fluidos liacutequidos
devido agraves forccedilas tangenciais Em corpos soacutelidos as forccedilas geram tensotildees de
cisalhamento cuja tendecircncia eacute separar as camadas do material gerando assim
deformaccedilotildees em torno do eixo do cilindro Essas deformaccedilotildees podem ser temporaacuterias
ou permanentes dependendo da intensidade da forccedila se o corpo volta a sua condiccedilatildeo
original apoacutes cessar a forccedila externa diz-se que ele se comporta como um sistema
elaacutestico No caso de torccedilotildees elaacutesticas haacute uma relaccedilatildeo linear entre a deformaccedilatildeo
angular e a forccedila elaacutestica restauradora governada pela Lei de Hooke
Para encontrar a deformaccedilatildeo angular resultante devido a forccedila externa
aplicada deve-se dividir o corpo soacutelido em camadas ciliacutendricas de raio interno r
espessura dr e comprimento L (Figura 1) Cada camada ciliacutendrica de for estendida
formaria um retacircngulo de largura 2π r e altura L sob accedilatildeo de uma forccedila tangencial se
deformando em um paralelogramo A deformaccedilatildeo de cisalhamento (ε) eacute ao longo do
6
periacutemetro do cilindro e cresce com o comprimento (z) representado na Figura 2 A
Equaccedilatildeo (1) demonstra o aumento da deformaccedilatildeo por unidade de comprimento
Ɛz= rL∙θ (1)
A forccedila de torccedilatildeo externa comunica diferenciais de forccedilas tangenciais
(d F=dF ∙ t) a cada camada ciliacutendrica que se distribuem sobre a superfiacutecie de
cada anel de aacuterea d A=2π ∙r ∙ dr ∙ k gerando tensotildees de cisalhamento σ
(Equaccedilatildeo 2)
σ=|d F t||d A|
=dFt
2 π ∙ r ∙ dr (2)
Figura 1 - Corpo soacutelido dividido em camadas ciliacutendricas de raio interno r
espessura dr e comprimento L (QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica
IV 2013)
Figura 2 - Deformaccedilatildeo de um retacircngulo de largura 2π r e altura L sob accedilatildeo de
uma forccedila tangencial formando um paralelogramo (QUINtildeONES E R F
Apostila da Aula Praacutetica IV 2013)
7
23 MOacuteDULO DE CISALHAMENTO
Para pequenas deformaccedilotildees ou seja dentro do limite elaacutestico do fio sob
torccedilatildeo as tensotildees de cisalhamento obedecem a Lei de Hooke exibindo
valores proporcionais agrave deformaccedilatildeo de cisalhamento (Equaccedilatildeo 3)
σ=minusS ∙ Ɛz∙ θ=minusS ∙ r
L∙θ (3)
Onde Seacute o moacutedulo de cisalhamento r representa o raio do cilindro L o comprimento do mesmo e θ eacute o acircngulo de desvio do sistema barra-cilindro em relaccedilatildeo agrave sua posiccedilatildeo original
24 TORQUE RESTAURADOR
A forccedila tangencial diferencial atuando em cada camada do cilindro pode
ser relacionada com o acircngulo de torccedilatildeo total do extremo inferior do fio usando
a tensatildeo de cisalhamento (Equaccedilatildeo 4 e 5)
d Ft=2 π σ r dr (4)
d Ft=minusS 2 πLθ ∙r 2 ∙ dr (5)
O torque para restaurar o fio de um acircngulo de θ pode ser obtido
relacionando a forccedila tangencial aplicada a camada ciliacutendrica com raio interno
da camada (Equaccedilatildeo 6 e 7)
d τ=rtimes d F=r dF t ( r timest ) (6)
d τ=minus2 π ∙ SL
∙ r3 ∙ dr ∙ θ ∙ k (7)
O torque para restaurar as posiccedilotildees iniciais das camadas ciliacutendricas do fio eacute
dado pela integral definida desde a camada de raio zero ateacute a camada da periferia do
cilindro de raio R
8
τ=minus2π ∙S ∙ θL
into
R
r3 ∙ dr ∙ k (8)
τ=minusπ ∙S ∙ R4
2L∙θ ∙ k (9)
Para um pequeno deslocamento angular tem-se o torque restaurador
conforme Equaccedilatildeo (10)
τ=minusK ∙θ ∙ k (10)
Onde K= π ∙S ∙R4
2 L
25 SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA ROTACcedilOtildeES
Considerando um barra horizontal suspensa em equiliacutebrio por um fio vertical
de comprimento L e raio R A barra horizontal possui um certo momento de ineacutercia Se
defletir a barra no plano horizontal de um pequeno acircngulo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de
equiliacutebrio a Lei de Hooke para a torccedilatildeo diz que o fio preso agrave barra reage com um
pequeno torque restaurador proporcional ao acircngulo de torccedilatildeo (Equaccedilatildeo 11)
τ=minusK ∙θ (11)
O movimento de rotaccedilatildeo do fio ciliacutendrico em torno de seu eixo de simetria
depende da ineacutercia do sistema ou seja do momento de ineacutercia do cilindro e o da barra
acoplada ao mesmo Para um torque levando o sistema para posiccedilatildeo de equiliacutebrio a
resposta dinacircmica vai depender da ineacutercia do sistema Assim quanto maior for a
ineacutercia o sistema vai girar sob menor aceleraccedilatildeo angular ou seja mais lentamente
A segunda lei de Newton para as rotaccedilotildees eacute dada pela Equaccedilatildeo (12)
τ=I prop (12)
τ=I d2θd t2
(13)
Onde I representa o momento de ineacutercia do sistema sob rotaccedilatildeo em relaccedilatildeo ao eixo
de rotaccedilatildeo do corpo
9
As Equaccedilotildees (11) e (13) exprimem o mesmo resultado poreacutem a Equaccedilatildeo (11)
reflete a resposta elaacutestica interna do corpo agrave torccedilatildeo e a Equaccedilatildeo (13) indica a
aceleraccedilatildeo transmitida ao mesmo corpo sob rotaccedilatildeo Entatildeo igualando as duas se
obteacutem a Equaccedilatildeo (14) que representa o movimento oscilatoacuterio do corpo elaacutestico de
torccedilatildeo
I ∙d2θd t2
=minusK ∙θ (14)
d2θd t2
+ KI∙θ=0 (15)
O sistema dinacircmico descrito pela Equaccedilatildeo (15) chama-se de oscilador
harmocircnico simples (unidimensional) A variaacutevel θ que caracteriza o uacutenico grau de
liberdade descreve os pequenos desvios da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel do fio A
restriccedilatildeo a pequenos desvios limita o movimento oscilatoacuterio para regiotildees onde o
sistema se comporta elasticamente Se passar do limite elaacutestico do fio o sistema natildeo
retorna agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio tendo deformaccedilotildees permanentes
A equaccedilatildeo (15) eacute uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria para θ (t ) e de segunda
ordem cuja soluccedilatildeo geral eacute dada pela Equaccedilatildeo (16)
θ (t )=θo ∙cos (ω∙ t+φ ) (16)
Onde θo representa a amplitude de oscilaccedilatildeo ou maacuteximo deslocamento angular A
funccedilatildeocos (w ∙t+φ) eacute uma funccedilatildeo perioacutedica onde o paracircmetro ω representa a
frequecircncia angular O tempo que o sistema demora em voltar a sua condiccedilatildeo inicial ou
repetir o movimento oscilatoacuterio eacute chamado de periacuteodo (Equaccedilatildeo 17)
cos (ω∙t+φ )=cos (ω∙ ( t+T )+φ ) (17)
cos (ω∙t+φ+2 π )=cos (ω∙ t+φ+ω∙T ) (18)
O periacuteodo de oscilaccedilatildeo eacute funccedilatildeo do inverso da frequecircncia angular do sistema
(Equaccedilatildeo 19)
T=2πω
(19)
10
Logo a soluccedilatildeo harmocircnica do sistema de torccedilatildeo pode ser escrita de acordo
com a Equaccedilatildeo (20)
θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)
Derivando duas vezes esta funccedilatildeo harmocircnica obtecircm a Equaccedilatildeo (21)
d2θ (t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)
d2θ ( t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ( t ) (22)
Substituindo a Equaccedilatildeo (22) na (15) obtecircm-se a Equaccedilatildeo (23)
T=2π ∙radic IK (23)
O fato de que o periacuteodo T eacute independente da amplitude de oscilaccedilatildeo (desde
que natildeo ultrapasse o limite de elasticidade do fio) constitui o isocronismo das
pequenas oscilaccedilotildees do pecircndulo descoberto por Galileu
Este relatoacuterio tem por objetivo realizar a verificaccedilatildeo das oscilaccedilotildees harmocircnicas
de um sistema conservativo a validade da Lei de Hooke na torccedilatildeo de um fio a relaccedilatildeo
entre o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e o moacutedulo de torccedilatildeo a dependecircncia do moacutedulo de
torccedilatildeo de um fio com seu comprimento diacircmetro e material e o momento de ineacutercia de
qualquer objeto com o uso da balanccedila de torccedilatildeo
11
3 PARTE EXPERIMENTAL
31 MATERIAIS
Utilizou-se uma balanccedila de torccedilatildeo baacutesica para mecacircnica composta por
uma haste ciliacutendrica vertical acoplada na parte de baixo aacute uma base quadrada
com quatro sapatas niveladoras e amortecedoras e na parte de cima a um
suporte horizontal duas pequenas hastes auxiliares com furo transversal
central passante e parafusos nos seus extremos (para prender o arame) duas
travas auxiliares de latatildeo para o corpo de prova e duas hastes com o corpo
central e com rebaixo nos extremos de comprimento 10 cm e 20 cm A esta
balanccedila foram combinados jogos de pesos (corpos de prova) e um uacutenico fio de
accedilo ajustado a quatro comprimentos diferentes Para auxiliar nas medidas do
acircngulo fio tempo e massa utilizou-se respectivamente transferidor reacutegua
metaacutelica cronocircmetro e balanccedila
32 PREacute-REQUISITO
Primeiramente fez-se necessaacuterio o conhecimento dos paracircmetros de
oscilaccedilatildeo livre como o moacutedulo de torccedilatildeo levando em consideraccedilatildeo as tensotildees
de cisalhamento Posteriormente fez-se uma relaccedilatildeo entre a deformaccedilatildeo
angular e a forccedila elaacutestica restauradora da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel
expressada pela Lei de Hooke O caacutelculo do momento de uma forccedila em relaccedilatildeo
a um eixo foi feito e obteve-se entatildeo o momento de ineacutercia de um corpo riacutegido
atraveacutes da medida indireta do periacuteodo de oscilaccedilatildeo do pecircndulo fiacutesico de torccedilatildeo
33 PROCEDIMENTO
O intuito da praacutetica foi medir o tempo das oscilaccedilotildees de cada haste (de
10 cm e 20 cm) mantendo os pesos equilibrados em suas extremidades
suspensas por um uacutenico fio ajustado em 10 cm 15 cm 20 cm e 25 cm
Para isso utilizou-se um cronometro digital para medir o tempo na qual a
haste com seus respectivos jogos de pesos oscilavam Fez-se isso tanto para a
haste de 10 cm e 20 cm A haste foi posicionada em um acircngulo de 70deg com a
horizontal da base da balanccedila de torccedilatildeo Acionava-se o cronocircmetro soltava-se
12
a haste e parava-se assim que ela completasse dez oscilaccedilotildees Desse modo
percebeu-se que o moacutedulo de torccedilatildeo do fio de accedilo dependia do seu
comprimento dos comprimentos das hastes e das massas dos corpos fixados
a ela Com auxilio do tempo medido foi possiacutevel calcular o moacutedulo de torccedilatildeo
em cada caso e por fim o moacutedulo de cisalhamento do fio de accedilo empregado
13
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Para cada comprimento de fio dos quatro utilizados montaram-se
diferentes configuraccedilotildees de massa com os dois tamanhos de haste resultando
em diferentes momentos de ineacutercia Para cada comprimento (L) do fio usado no
moacutedulo de torccedilatildeo construiu-se uma tabela contendo o tempo de cinco
repeticcedilotildees cada uma com 10 oscilaccedilotildees para cada configuraccedilatildeo inercial e seu
momento de ineacutercia resultante Para isso desprezou-se a ineacutercia do fio e
considerou-se a trava auxiliar como um cilindro reto uniforme
A Tabela 1 apresenta os dados com o comprimento de fio de 25 cm o
periacuteodo meacutedio eacute obtido pela divisatildeo de tempo total por 10 (nuacutemero de
oscilaccedilotildees) e o erro do periacuteodo eacute representado pelo desvio-padratildeo apresentado
pelos dados experimentais
Tabela 1 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 25 cm
Haste 021 m Haste 011m
Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 7386 8109 9363 3741 4166
2 7294 8081 9379 3785 4150
3 7315 8084 9385 3753 4109
4 7314 8069 9379 3775 4122
5 7316 8037 9369 3738 4147
T (s) 7325 plusmn035 8076 plusmn026 937 plusmn009 37584 plusmn021 41388 plusmn023
Os valores determinados com o fio de 200 cm estatildeo dispostos na
Tabela 2
Tabela 2 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 20 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465
14
5 2562 3371 3644 4990 6494T (s) 256 plusmn010 333 plusmn028 363 plusmn007 500 plusmn018 648 plusmn015
Para o fio de comprimento igual a 150 cm os dados estatildeo descritos na
Tabela 3
Tabela 3 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 15 cm
Haste 011 m Haste 021m
Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2294 2910 3225 4379 5687
2 23 2925 3204 4378 5691
3 2294 2940 3194 4394 5697
4 2284 2934 3191 4375 5675
5 2282 2903 3194 4353 5687
T (s) 229 plusmn08 292 plusmn016 320 plusmn014 438 plusmn015 569 plusmn008
Para o fio de 100 cm tem-se a Tabela 4
Tabela 4 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 10 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646
T (s) 191 plusmn010 243 plusmn011 267 plusmn010 360 plusmn007 464 plusmn007
Calculou-se o momento de ineacutercia resultante de cada configuraccedilatildeo pela
Equaccedilatildeo (a) em anexo e seu erro segundo a Equaccedilatildeo (b) Os momentos de
ineacutercia e os periacuteodos ao quadrado com seus desvios calculados pela Equaccedilatildeo
(c) estatildeo nas Tabelas 5 6 7 e 8
15
Tabela 5 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 25 cm de comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 072 plusmn003 1712plusmn189
2 060 plusmn003 1413plusmn156
3 236 plusmn002 5365plusmn517
4 287 plusmn002 6522plusmn423
5 387 plusmn002 8789plusmn166
Tabela 6 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 20 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 655plusmn049
2 059 plusmn002 1110plusmn189
3 072 plusmn002 1318plusmn051
4 136 plusmn003 2490plusmn178
5 236 plusmn003 4200plusmn189
Tabela 7 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 15 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 525plusmn035
2 059 plusmn002 854plusmn092
3 072 plusmn002 1025plusmn089
4 136 plusmn003 1914plusmn129
5 236 plusmn003 3235plusmn092
Tabela 8 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 10 cm de
comprimento
16
OscilaccedilatildeoMomento de
Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 363plusmn037
2 059 plusmn002 590plusmn051
3 072 plusmn002 712plusmn052
4 136 plusmn003 1291plusmn052
5 236 plusmn003 2156plusmn061
Elevando a Equaccedilatildeo (23) ao quadrado temos
T 2=4 π2 IK
(24)
Construindo um graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de
ineacutercia de cada configuraccedilatildeo para cada um dos comprimentos (L) dos fios de
prova tem-se que
T 2=aI (25)
E portanto
K= 4π2
a (26)
Possibilitando determinar o valor do modulo de torccedilatildeo (K) para cada
comprimento de fio utilizado
Para o fio de comprimento L=250 cm tem-se a Figura 3 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
17
Figura 3 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear entre o momento de ineacutercia do sistema e o periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de comprimento 025m
Onde tem-se a=22469plusmn29 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=200 cm tem-se a Figura 4 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 4 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 020m de comprimento
18
Onde tem-se a=17613plusmn76 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=150 cm tem-se a Figura 5 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 5 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 015m de comprimento
Onde se tem a=13381plusmn44 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=100 cm tem-se a Figura 6 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
19
Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento
Onde tem-se a=8866plusmn71 ssup2kg-1m-sup2
Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L
e ajustando uma reta do
tipo
K=a 1L
(27)
E portanto
S= 2a
π R4 (28)
A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear
dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros
associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)
Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os
valores de K e seus erros associados
Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565
13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860
Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7
Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
4
1 RESUMO
Atraveacutes de um experimento utilizando uma balanccedila de torccedilatildeo calculou-
se o momento de ineacutercia de um sistema e relacionou-o com o torque Atraveacutes
da torccedilatildeo analisou-se e utilizou-se a Lei de Hooke para sistemas mecacircnicos
oscilatoacuterios Na praacutetica decorrida foi calculado o moacutedulo de torccedilatildeo do mesmo
fio de accedilo ajustado em quatro comprimentos diferentes (10 cm 15 cm 20 cm e
25 cm) a partir da medida do tempo em que o fio preso a uma haste que servia
de suporte aos corpos oscilava dez vezes em torno do seu eixo sendo solto
de um acircngulo conhecido O experimento foi realizado diversas vezes com
combinaccedilotildees de hastes e pesos diferentes na contagem das oscilaccedilotildees
resultando em tempos diferentes para o caacutelculo do moacutedulo de torccedilatildeo Por fim
verificou-se que o moacutedulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio e esse aumento faz com que o periacuteodo de oscilaccedilatildeo para cada
configuraccedilatildeo de massa tambeacutem aumente Isso pode ser explicado pela Lei de
Hooke como tambeacutem pela Lei de Newton para rotaccedilotildees
5
2 INTRODUCcedilAtildeO
21 MOacuteDULOS DE TORCcedilAtildeO
Um tipo de movimento caracteriacutestico que se apresenta em diversos
fenocircmenos correspondendo a vibraccedilotildees localizadas ou oscilaccedilotildees de corpos
em torno de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio Sistemas mecacircnicos vibratoacuterios incluem
como exemplo pecircndulos de torccedilatildeo diapasotildees cordas de instrumentos
musicais e colunas de ar em instrumentos de sopro
Em soacutelidos eacute comum que as forccedilas internas entre as moleacuteculas ou
aacutetomos sejam muitos intensas para impedir rupturas que podem ser causadas
por forccedilas externas menos intensas poreacutem pode ocorrer a deformaccedilatildeo
temporaacuteria ou permanente do material Caso haja uma deformaccedilatildeo temporaacuteria
a partir do momento que as forccedilas externas cessam o soacutelido tende a voltar agrave
forma original atraveacutes de uma forccedila ou toque restaurador que se opotildee agrave forccedila
ou torque deformador
22 TENSOtildeES DE CISALHAMENTO
Um corpo soacutelido ciliacutendrico com um de seus extremos fixos submetidos a uma
forccedila tangencial aacute sua superfiacutecie lateral sofre uma torccedilatildeo Se o corpo natildeo for riacutegido
camadas superficiais do mesmo deslizariam entre si como no caso de fluidos liacutequidos
devido agraves forccedilas tangenciais Em corpos soacutelidos as forccedilas geram tensotildees de
cisalhamento cuja tendecircncia eacute separar as camadas do material gerando assim
deformaccedilotildees em torno do eixo do cilindro Essas deformaccedilotildees podem ser temporaacuterias
ou permanentes dependendo da intensidade da forccedila se o corpo volta a sua condiccedilatildeo
original apoacutes cessar a forccedila externa diz-se que ele se comporta como um sistema
elaacutestico No caso de torccedilotildees elaacutesticas haacute uma relaccedilatildeo linear entre a deformaccedilatildeo
angular e a forccedila elaacutestica restauradora governada pela Lei de Hooke
Para encontrar a deformaccedilatildeo angular resultante devido a forccedila externa
aplicada deve-se dividir o corpo soacutelido em camadas ciliacutendricas de raio interno r
espessura dr e comprimento L (Figura 1) Cada camada ciliacutendrica de for estendida
formaria um retacircngulo de largura 2π r e altura L sob accedilatildeo de uma forccedila tangencial se
deformando em um paralelogramo A deformaccedilatildeo de cisalhamento (ε) eacute ao longo do
6
periacutemetro do cilindro e cresce com o comprimento (z) representado na Figura 2 A
Equaccedilatildeo (1) demonstra o aumento da deformaccedilatildeo por unidade de comprimento
Ɛz= rL∙θ (1)
A forccedila de torccedilatildeo externa comunica diferenciais de forccedilas tangenciais
(d F=dF ∙ t) a cada camada ciliacutendrica que se distribuem sobre a superfiacutecie de
cada anel de aacuterea d A=2π ∙r ∙ dr ∙ k gerando tensotildees de cisalhamento σ
(Equaccedilatildeo 2)
σ=|d F t||d A|
=dFt
2 π ∙ r ∙ dr (2)
Figura 1 - Corpo soacutelido dividido em camadas ciliacutendricas de raio interno r
espessura dr e comprimento L (QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica
IV 2013)
Figura 2 - Deformaccedilatildeo de um retacircngulo de largura 2π r e altura L sob accedilatildeo de
uma forccedila tangencial formando um paralelogramo (QUINtildeONES E R F
Apostila da Aula Praacutetica IV 2013)
7
23 MOacuteDULO DE CISALHAMENTO
Para pequenas deformaccedilotildees ou seja dentro do limite elaacutestico do fio sob
torccedilatildeo as tensotildees de cisalhamento obedecem a Lei de Hooke exibindo
valores proporcionais agrave deformaccedilatildeo de cisalhamento (Equaccedilatildeo 3)
σ=minusS ∙ Ɛz∙ θ=minusS ∙ r
L∙θ (3)
Onde Seacute o moacutedulo de cisalhamento r representa o raio do cilindro L o comprimento do mesmo e θ eacute o acircngulo de desvio do sistema barra-cilindro em relaccedilatildeo agrave sua posiccedilatildeo original
24 TORQUE RESTAURADOR
A forccedila tangencial diferencial atuando em cada camada do cilindro pode
ser relacionada com o acircngulo de torccedilatildeo total do extremo inferior do fio usando
a tensatildeo de cisalhamento (Equaccedilatildeo 4 e 5)
d Ft=2 π σ r dr (4)
d Ft=minusS 2 πLθ ∙r 2 ∙ dr (5)
O torque para restaurar o fio de um acircngulo de θ pode ser obtido
relacionando a forccedila tangencial aplicada a camada ciliacutendrica com raio interno
da camada (Equaccedilatildeo 6 e 7)
d τ=rtimes d F=r dF t ( r timest ) (6)
d τ=minus2 π ∙ SL
∙ r3 ∙ dr ∙ θ ∙ k (7)
O torque para restaurar as posiccedilotildees iniciais das camadas ciliacutendricas do fio eacute
dado pela integral definida desde a camada de raio zero ateacute a camada da periferia do
cilindro de raio R
8
τ=minus2π ∙S ∙ θL
into
R
r3 ∙ dr ∙ k (8)
τ=minusπ ∙S ∙ R4
2L∙θ ∙ k (9)
Para um pequeno deslocamento angular tem-se o torque restaurador
conforme Equaccedilatildeo (10)
τ=minusK ∙θ ∙ k (10)
Onde K= π ∙S ∙R4
2 L
25 SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA ROTACcedilOtildeES
Considerando um barra horizontal suspensa em equiliacutebrio por um fio vertical
de comprimento L e raio R A barra horizontal possui um certo momento de ineacutercia Se
defletir a barra no plano horizontal de um pequeno acircngulo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de
equiliacutebrio a Lei de Hooke para a torccedilatildeo diz que o fio preso agrave barra reage com um
pequeno torque restaurador proporcional ao acircngulo de torccedilatildeo (Equaccedilatildeo 11)
τ=minusK ∙θ (11)
O movimento de rotaccedilatildeo do fio ciliacutendrico em torno de seu eixo de simetria
depende da ineacutercia do sistema ou seja do momento de ineacutercia do cilindro e o da barra
acoplada ao mesmo Para um torque levando o sistema para posiccedilatildeo de equiliacutebrio a
resposta dinacircmica vai depender da ineacutercia do sistema Assim quanto maior for a
ineacutercia o sistema vai girar sob menor aceleraccedilatildeo angular ou seja mais lentamente
A segunda lei de Newton para as rotaccedilotildees eacute dada pela Equaccedilatildeo (12)
τ=I prop (12)
τ=I d2θd t2
(13)
Onde I representa o momento de ineacutercia do sistema sob rotaccedilatildeo em relaccedilatildeo ao eixo
de rotaccedilatildeo do corpo
9
As Equaccedilotildees (11) e (13) exprimem o mesmo resultado poreacutem a Equaccedilatildeo (11)
reflete a resposta elaacutestica interna do corpo agrave torccedilatildeo e a Equaccedilatildeo (13) indica a
aceleraccedilatildeo transmitida ao mesmo corpo sob rotaccedilatildeo Entatildeo igualando as duas se
obteacutem a Equaccedilatildeo (14) que representa o movimento oscilatoacuterio do corpo elaacutestico de
torccedilatildeo
I ∙d2θd t2
=minusK ∙θ (14)
d2θd t2
+ KI∙θ=0 (15)
O sistema dinacircmico descrito pela Equaccedilatildeo (15) chama-se de oscilador
harmocircnico simples (unidimensional) A variaacutevel θ que caracteriza o uacutenico grau de
liberdade descreve os pequenos desvios da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel do fio A
restriccedilatildeo a pequenos desvios limita o movimento oscilatoacuterio para regiotildees onde o
sistema se comporta elasticamente Se passar do limite elaacutestico do fio o sistema natildeo
retorna agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio tendo deformaccedilotildees permanentes
A equaccedilatildeo (15) eacute uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria para θ (t ) e de segunda
ordem cuja soluccedilatildeo geral eacute dada pela Equaccedilatildeo (16)
θ (t )=θo ∙cos (ω∙ t+φ ) (16)
Onde θo representa a amplitude de oscilaccedilatildeo ou maacuteximo deslocamento angular A
funccedilatildeocos (w ∙t+φ) eacute uma funccedilatildeo perioacutedica onde o paracircmetro ω representa a
frequecircncia angular O tempo que o sistema demora em voltar a sua condiccedilatildeo inicial ou
repetir o movimento oscilatoacuterio eacute chamado de periacuteodo (Equaccedilatildeo 17)
cos (ω∙t+φ )=cos (ω∙ ( t+T )+φ ) (17)
cos (ω∙t+φ+2 π )=cos (ω∙ t+φ+ω∙T ) (18)
O periacuteodo de oscilaccedilatildeo eacute funccedilatildeo do inverso da frequecircncia angular do sistema
(Equaccedilatildeo 19)
T=2πω
(19)
10
Logo a soluccedilatildeo harmocircnica do sistema de torccedilatildeo pode ser escrita de acordo
com a Equaccedilatildeo (20)
θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)
Derivando duas vezes esta funccedilatildeo harmocircnica obtecircm a Equaccedilatildeo (21)
d2θ (t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)
d2θ ( t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ( t ) (22)
Substituindo a Equaccedilatildeo (22) na (15) obtecircm-se a Equaccedilatildeo (23)
T=2π ∙radic IK (23)
O fato de que o periacuteodo T eacute independente da amplitude de oscilaccedilatildeo (desde
que natildeo ultrapasse o limite de elasticidade do fio) constitui o isocronismo das
pequenas oscilaccedilotildees do pecircndulo descoberto por Galileu
Este relatoacuterio tem por objetivo realizar a verificaccedilatildeo das oscilaccedilotildees harmocircnicas
de um sistema conservativo a validade da Lei de Hooke na torccedilatildeo de um fio a relaccedilatildeo
entre o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e o moacutedulo de torccedilatildeo a dependecircncia do moacutedulo de
torccedilatildeo de um fio com seu comprimento diacircmetro e material e o momento de ineacutercia de
qualquer objeto com o uso da balanccedila de torccedilatildeo
11
3 PARTE EXPERIMENTAL
31 MATERIAIS
Utilizou-se uma balanccedila de torccedilatildeo baacutesica para mecacircnica composta por
uma haste ciliacutendrica vertical acoplada na parte de baixo aacute uma base quadrada
com quatro sapatas niveladoras e amortecedoras e na parte de cima a um
suporte horizontal duas pequenas hastes auxiliares com furo transversal
central passante e parafusos nos seus extremos (para prender o arame) duas
travas auxiliares de latatildeo para o corpo de prova e duas hastes com o corpo
central e com rebaixo nos extremos de comprimento 10 cm e 20 cm A esta
balanccedila foram combinados jogos de pesos (corpos de prova) e um uacutenico fio de
accedilo ajustado a quatro comprimentos diferentes Para auxiliar nas medidas do
acircngulo fio tempo e massa utilizou-se respectivamente transferidor reacutegua
metaacutelica cronocircmetro e balanccedila
32 PREacute-REQUISITO
Primeiramente fez-se necessaacuterio o conhecimento dos paracircmetros de
oscilaccedilatildeo livre como o moacutedulo de torccedilatildeo levando em consideraccedilatildeo as tensotildees
de cisalhamento Posteriormente fez-se uma relaccedilatildeo entre a deformaccedilatildeo
angular e a forccedila elaacutestica restauradora da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel
expressada pela Lei de Hooke O caacutelculo do momento de uma forccedila em relaccedilatildeo
a um eixo foi feito e obteve-se entatildeo o momento de ineacutercia de um corpo riacutegido
atraveacutes da medida indireta do periacuteodo de oscilaccedilatildeo do pecircndulo fiacutesico de torccedilatildeo
33 PROCEDIMENTO
O intuito da praacutetica foi medir o tempo das oscilaccedilotildees de cada haste (de
10 cm e 20 cm) mantendo os pesos equilibrados em suas extremidades
suspensas por um uacutenico fio ajustado em 10 cm 15 cm 20 cm e 25 cm
Para isso utilizou-se um cronometro digital para medir o tempo na qual a
haste com seus respectivos jogos de pesos oscilavam Fez-se isso tanto para a
haste de 10 cm e 20 cm A haste foi posicionada em um acircngulo de 70deg com a
horizontal da base da balanccedila de torccedilatildeo Acionava-se o cronocircmetro soltava-se
12
a haste e parava-se assim que ela completasse dez oscilaccedilotildees Desse modo
percebeu-se que o moacutedulo de torccedilatildeo do fio de accedilo dependia do seu
comprimento dos comprimentos das hastes e das massas dos corpos fixados
a ela Com auxilio do tempo medido foi possiacutevel calcular o moacutedulo de torccedilatildeo
em cada caso e por fim o moacutedulo de cisalhamento do fio de accedilo empregado
13
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Para cada comprimento de fio dos quatro utilizados montaram-se
diferentes configuraccedilotildees de massa com os dois tamanhos de haste resultando
em diferentes momentos de ineacutercia Para cada comprimento (L) do fio usado no
moacutedulo de torccedilatildeo construiu-se uma tabela contendo o tempo de cinco
repeticcedilotildees cada uma com 10 oscilaccedilotildees para cada configuraccedilatildeo inercial e seu
momento de ineacutercia resultante Para isso desprezou-se a ineacutercia do fio e
considerou-se a trava auxiliar como um cilindro reto uniforme
A Tabela 1 apresenta os dados com o comprimento de fio de 25 cm o
periacuteodo meacutedio eacute obtido pela divisatildeo de tempo total por 10 (nuacutemero de
oscilaccedilotildees) e o erro do periacuteodo eacute representado pelo desvio-padratildeo apresentado
pelos dados experimentais
Tabela 1 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 25 cm
Haste 021 m Haste 011m
Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 7386 8109 9363 3741 4166
2 7294 8081 9379 3785 4150
3 7315 8084 9385 3753 4109
4 7314 8069 9379 3775 4122
5 7316 8037 9369 3738 4147
T (s) 7325 plusmn035 8076 plusmn026 937 plusmn009 37584 plusmn021 41388 plusmn023
Os valores determinados com o fio de 200 cm estatildeo dispostos na
Tabela 2
Tabela 2 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 20 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465
14
5 2562 3371 3644 4990 6494T (s) 256 plusmn010 333 plusmn028 363 plusmn007 500 plusmn018 648 plusmn015
Para o fio de comprimento igual a 150 cm os dados estatildeo descritos na
Tabela 3
Tabela 3 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 15 cm
Haste 011 m Haste 021m
Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2294 2910 3225 4379 5687
2 23 2925 3204 4378 5691
3 2294 2940 3194 4394 5697
4 2284 2934 3191 4375 5675
5 2282 2903 3194 4353 5687
T (s) 229 plusmn08 292 plusmn016 320 plusmn014 438 plusmn015 569 plusmn008
Para o fio de 100 cm tem-se a Tabela 4
Tabela 4 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 10 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646
T (s) 191 plusmn010 243 plusmn011 267 plusmn010 360 plusmn007 464 plusmn007
Calculou-se o momento de ineacutercia resultante de cada configuraccedilatildeo pela
Equaccedilatildeo (a) em anexo e seu erro segundo a Equaccedilatildeo (b) Os momentos de
ineacutercia e os periacuteodos ao quadrado com seus desvios calculados pela Equaccedilatildeo
(c) estatildeo nas Tabelas 5 6 7 e 8
15
Tabela 5 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 25 cm de comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 072 plusmn003 1712plusmn189
2 060 plusmn003 1413plusmn156
3 236 plusmn002 5365plusmn517
4 287 plusmn002 6522plusmn423
5 387 plusmn002 8789plusmn166
Tabela 6 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 20 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 655plusmn049
2 059 plusmn002 1110plusmn189
3 072 plusmn002 1318plusmn051
4 136 plusmn003 2490plusmn178
5 236 plusmn003 4200plusmn189
Tabela 7 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 15 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 525plusmn035
2 059 plusmn002 854plusmn092
3 072 plusmn002 1025plusmn089
4 136 plusmn003 1914plusmn129
5 236 plusmn003 3235plusmn092
Tabela 8 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 10 cm de
comprimento
16
OscilaccedilatildeoMomento de
Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 363plusmn037
2 059 plusmn002 590plusmn051
3 072 plusmn002 712plusmn052
4 136 plusmn003 1291plusmn052
5 236 plusmn003 2156plusmn061
Elevando a Equaccedilatildeo (23) ao quadrado temos
T 2=4 π2 IK
(24)
Construindo um graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de
ineacutercia de cada configuraccedilatildeo para cada um dos comprimentos (L) dos fios de
prova tem-se que
T 2=aI (25)
E portanto
K= 4π2
a (26)
Possibilitando determinar o valor do modulo de torccedilatildeo (K) para cada
comprimento de fio utilizado
Para o fio de comprimento L=250 cm tem-se a Figura 3 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
17
Figura 3 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear entre o momento de ineacutercia do sistema e o periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de comprimento 025m
Onde tem-se a=22469plusmn29 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=200 cm tem-se a Figura 4 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 4 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 020m de comprimento
18
Onde tem-se a=17613plusmn76 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=150 cm tem-se a Figura 5 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 5 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 015m de comprimento
Onde se tem a=13381plusmn44 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=100 cm tem-se a Figura 6 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
19
Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento
Onde tem-se a=8866plusmn71 ssup2kg-1m-sup2
Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L
e ajustando uma reta do
tipo
K=a 1L
(27)
E portanto
S= 2a
π R4 (28)
A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear
dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros
associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)
Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os
valores de K e seus erros associados
Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565
13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860
Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7
Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
5
2 INTRODUCcedilAtildeO
21 MOacuteDULOS DE TORCcedilAtildeO
Um tipo de movimento caracteriacutestico que se apresenta em diversos
fenocircmenos correspondendo a vibraccedilotildees localizadas ou oscilaccedilotildees de corpos
em torno de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio Sistemas mecacircnicos vibratoacuterios incluem
como exemplo pecircndulos de torccedilatildeo diapasotildees cordas de instrumentos
musicais e colunas de ar em instrumentos de sopro
Em soacutelidos eacute comum que as forccedilas internas entre as moleacuteculas ou
aacutetomos sejam muitos intensas para impedir rupturas que podem ser causadas
por forccedilas externas menos intensas poreacutem pode ocorrer a deformaccedilatildeo
temporaacuteria ou permanente do material Caso haja uma deformaccedilatildeo temporaacuteria
a partir do momento que as forccedilas externas cessam o soacutelido tende a voltar agrave
forma original atraveacutes de uma forccedila ou toque restaurador que se opotildee agrave forccedila
ou torque deformador
22 TENSOtildeES DE CISALHAMENTO
Um corpo soacutelido ciliacutendrico com um de seus extremos fixos submetidos a uma
forccedila tangencial aacute sua superfiacutecie lateral sofre uma torccedilatildeo Se o corpo natildeo for riacutegido
camadas superficiais do mesmo deslizariam entre si como no caso de fluidos liacutequidos
devido agraves forccedilas tangenciais Em corpos soacutelidos as forccedilas geram tensotildees de
cisalhamento cuja tendecircncia eacute separar as camadas do material gerando assim
deformaccedilotildees em torno do eixo do cilindro Essas deformaccedilotildees podem ser temporaacuterias
ou permanentes dependendo da intensidade da forccedila se o corpo volta a sua condiccedilatildeo
original apoacutes cessar a forccedila externa diz-se que ele se comporta como um sistema
elaacutestico No caso de torccedilotildees elaacutesticas haacute uma relaccedilatildeo linear entre a deformaccedilatildeo
angular e a forccedila elaacutestica restauradora governada pela Lei de Hooke
Para encontrar a deformaccedilatildeo angular resultante devido a forccedila externa
aplicada deve-se dividir o corpo soacutelido em camadas ciliacutendricas de raio interno r
espessura dr e comprimento L (Figura 1) Cada camada ciliacutendrica de for estendida
formaria um retacircngulo de largura 2π r e altura L sob accedilatildeo de uma forccedila tangencial se
deformando em um paralelogramo A deformaccedilatildeo de cisalhamento (ε) eacute ao longo do
6
periacutemetro do cilindro e cresce com o comprimento (z) representado na Figura 2 A
Equaccedilatildeo (1) demonstra o aumento da deformaccedilatildeo por unidade de comprimento
Ɛz= rL∙θ (1)
A forccedila de torccedilatildeo externa comunica diferenciais de forccedilas tangenciais
(d F=dF ∙ t) a cada camada ciliacutendrica que se distribuem sobre a superfiacutecie de
cada anel de aacuterea d A=2π ∙r ∙ dr ∙ k gerando tensotildees de cisalhamento σ
(Equaccedilatildeo 2)
σ=|d F t||d A|
=dFt
2 π ∙ r ∙ dr (2)
Figura 1 - Corpo soacutelido dividido em camadas ciliacutendricas de raio interno r
espessura dr e comprimento L (QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica
IV 2013)
Figura 2 - Deformaccedilatildeo de um retacircngulo de largura 2π r e altura L sob accedilatildeo de
uma forccedila tangencial formando um paralelogramo (QUINtildeONES E R F
Apostila da Aula Praacutetica IV 2013)
7
23 MOacuteDULO DE CISALHAMENTO
Para pequenas deformaccedilotildees ou seja dentro do limite elaacutestico do fio sob
torccedilatildeo as tensotildees de cisalhamento obedecem a Lei de Hooke exibindo
valores proporcionais agrave deformaccedilatildeo de cisalhamento (Equaccedilatildeo 3)
σ=minusS ∙ Ɛz∙ θ=minusS ∙ r
L∙θ (3)
Onde Seacute o moacutedulo de cisalhamento r representa o raio do cilindro L o comprimento do mesmo e θ eacute o acircngulo de desvio do sistema barra-cilindro em relaccedilatildeo agrave sua posiccedilatildeo original
24 TORQUE RESTAURADOR
A forccedila tangencial diferencial atuando em cada camada do cilindro pode
ser relacionada com o acircngulo de torccedilatildeo total do extremo inferior do fio usando
a tensatildeo de cisalhamento (Equaccedilatildeo 4 e 5)
d Ft=2 π σ r dr (4)
d Ft=minusS 2 πLθ ∙r 2 ∙ dr (5)
O torque para restaurar o fio de um acircngulo de θ pode ser obtido
relacionando a forccedila tangencial aplicada a camada ciliacutendrica com raio interno
da camada (Equaccedilatildeo 6 e 7)
d τ=rtimes d F=r dF t ( r timest ) (6)
d τ=minus2 π ∙ SL
∙ r3 ∙ dr ∙ θ ∙ k (7)
O torque para restaurar as posiccedilotildees iniciais das camadas ciliacutendricas do fio eacute
dado pela integral definida desde a camada de raio zero ateacute a camada da periferia do
cilindro de raio R
8
τ=minus2π ∙S ∙ θL
into
R
r3 ∙ dr ∙ k (8)
τ=minusπ ∙S ∙ R4
2L∙θ ∙ k (9)
Para um pequeno deslocamento angular tem-se o torque restaurador
conforme Equaccedilatildeo (10)
τ=minusK ∙θ ∙ k (10)
Onde K= π ∙S ∙R4
2 L
25 SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA ROTACcedilOtildeES
Considerando um barra horizontal suspensa em equiliacutebrio por um fio vertical
de comprimento L e raio R A barra horizontal possui um certo momento de ineacutercia Se
defletir a barra no plano horizontal de um pequeno acircngulo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de
equiliacutebrio a Lei de Hooke para a torccedilatildeo diz que o fio preso agrave barra reage com um
pequeno torque restaurador proporcional ao acircngulo de torccedilatildeo (Equaccedilatildeo 11)
τ=minusK ∙θ (11)
O movimento de rotaccedilatildeo do fio ciliacutendrico em torno de seu eixo de simetria
depende da ineacutercia do sistema ou seja do momento de ineacutercia do cilindro e o da barra
acoplada ao mesmo Para um torque levando o sistema para posiccedilatildeo de equiliacutebrio a
resposta dinacircmica vai depender da ineacutercia do sistema Assim quanto maior for a
ineacutercia o sistema vai girar sob menor aceleraccedilatildeo angular ou seja mais lentamente
A segunda lei de Newton para as rotaccedilotildees eacute dada pela Equaccedilatildeo (12)
τ=I prop (12)
τ=I d2θd t2
(13)
Onde I representa o momento de ineacutercia do sistema sob rotaccedilatildeo em relaccedilatildeo ao eixo
de rotaccedilatildeo do corpo
9
As Equaccedilotildees (11) e (13) exprimem o mesmo resultado poreacutem a Equaccedilatildeo (11)
reflete a resposta elaacutestica interna do corpo agrave torccedilatildeo e a Equaccedilatildeo (13) indica a
aceleraccedilatildeo transmitida ao mesmo corpo sob rotaccedilatildeo Entatildeo igualando as duas se
obteacutem a Equaccedilatildeo (14) que representa o movimento oscilatoacuterio do corpo elaacutestico de
torccedilatildeo
I ∙d2θd t2
=minusK ∙θ (14)
d2θd t2
+ KI∙θ=0 (15)
O sistema dinacircmico descrito pela Equaccedilatildeo (15) chama-se de oscilador
harmocircnico simples (unidimensional) A variaacutevel θ que caracteriza o uacutenico grau de
liberdade descreve os pequenos desvios da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel do fio A
restriccedilatildeo a pequenos desvios limita o movimento oscilatoacuterio para regiotildees onde o
sistema se comporta elasticamente Se passar do limite elaacutestico do fio o sistema natildeo
retorna agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio tendo deformaccedilotildees permanentes
A equaccedilatildeo (15) eacute uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria para θ (t ) e de segunda
ordem cuja soluccedilatildeo geral eacute dada pela Equaccedilatildeo (16)
θ (t )=θo ∙cos (ω∙ t+φ ) (16)
Onde θo representa a amplitude de oscilaccedilatildeo ou maacuteximo deslocamento angular A
funccedilatildeocos (w ∙t+φ) eacute uma funccedilatildeo perioacutedica onde o paracircmetro ω representa a
frequecircncia angular O tempo que o sistema demora em voltar a sua condiccedilatildeo inicial ou
repetir o movimento oscilatoacuterio eacute chamado de periacuteodo (Equaccedilatildeo 17)
cos (ω∙t+φ )=cos (ω∙ ( t+T )+φ ) (17)
cos (ω∙t+φ+2 π )=cos (ω∙ t+φ+ω∙T ) (18)
O periacuteodo de oscilaccedilatildeo eacute funccedilatildeo do inverso da frequecircncia angular do sistema
(Equaccedilatildeo 19)
T=2πω
(19)
10
Logo a soluccedilatildeo harmocircnica do sistema de torccedilatildeo pode ser escrita de acordo
com a Equaccedilatildeo (20)
θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)
Derivando duas vezes esta funccedilatildeo harmocircnica obtecircm a Equaccedilatildeo (21)
d2θ (t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)
d2θ ( t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ( t ) (22)
Substituindo a Equaccedilatildeo (22) na (15) obtecircm-se a Equaccedilatildeo (23)
T=2π ∙radic IK (23)
O fato de que o periacuteodo T eacute independente da amplitude de oscilaccedilatildeo (desde
que natildeo ultrapasse o limite de elasticidade do fio) constitui o isocronismo das
pequenas oscilaccedilotildees do pecircndulo descoberto por Galileu
Este relatoacuterio tem por objetivo realizar a verificaccedilatildeo das oscilaccedilotildees harmocircnicas
de um sistema conservativo a validade da Lei de Hooke na torccedilatildeo de um fio a relaccedilatildeo
entre o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e o moacutedulo de torccedilatildeo a dependecircncia do moacutedulo de
torccedilatildeo de um fio com seu comprimento diacircmetro e material e o momento de ineacutercia de
qualquer objeto com o uso da balanccedila de torccedilatildeo
11
3 PARTE EXPERIMENTAL
31 MATERIAIS
Utilizou-se uma balanccedila de torccedilatildeo baacutesica para mecacircnica composta por
uma haste ciliacutendrica vertical acoplada na parte de baixo aacute uma base quadrada
com quatro sapatas niveladoras e amortecedoras e na parte de cima a um
suporte horizontal duas pequenas hastes auxiliares com furo transversal
central passante e parafusos nos seus extremos (para prender o arame) duas
travas auxiliares de latatildeo para o corpo de prova e duas hastes com o corpo
central e com rebaixo nos extremos de comprimento 10 cm e 20 cm A esta
balanccedila foram combinados jogos de pesos (corpos de prova) e um uacutenico fio de
accedilo ajustado a quatro comprimentos diferentes Para auxiliar nas medidas do
acircngulo fio tempo e massa utilizou-se respectivamente transferidor reacutegua
metaacutelica cronocircmetro e balanccedila
32 PREacute-REQUISITO
Primeiramente fez-se necessaacuterio o conhecimento dos paracircmetros de
oscilaccedilatildeo livre como o moacutedulo de torccedilatildeo levando em consideraccedilatildeo as tensotildees
de cisalhamento Posteriormente fez-se uma relaccedilatildeo entre a deformaccedilatildeo
angular e a forccedila elaacutestica restauradora da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel
expressada pela Lei de Hooke O caacutelculo do momento de uma forccedila em relaccedilatildeo
a um eixo foi feito e obteve-se entatildeo o momento de ineacutercia de um corpo riacutegido
atraveacutes da medida indireta do periacuteodo de oscilaccedilatildeo do pecircndulo fiacutesico de torccedilatildeo
33 PROCEDIMENTO
O intuito da praacutetica foi medir o tempo das oscilaccedilotildees de cada haste (de
10 cm e 20 cm) mantendo os pesos equilibrados em suas extremidades
suspensas por um uacutenico fio ajustado em 10 cm 15 cm 20 cm e 25 cm
Para isso utilizou-se um cronometro digital para medir o tempo na qual a
haste com seus respectivos jogos de pesos oscilavam Fez-se isso tanto para a
haste de 10 cm e 20 cm A haste foi posicionada em um acircngulo de 70deg com a
horizontal da base da balanccedila de torccedilatildeo Acionava-se o cronocircmetro soltava-se
12
a haste e parava-se assim que ela completasse dez oscilaccedilotildees Desse modo
percebeu-se que o moacutedulo de torccedilatildeo do fio de accedilo dependia do seu
comprimento dos comprimentos das hastes e das massas dos corpos fixados
a ela Com auxilio do tempo medido foi possiacutevel calcular o moacutedulo de torccedilatildeo
em cada caso e por fim o moacutedulo de cisalhamento do fio de accedilo empregado
13
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Para cada comprimento de fio dos quatro utilizados montaram-se
diferentes configuraccedilotildees de massa com os dois tamanhos de haste resultando
em diferentes momentos de ineacutercia Para cada comprimento (L) do fio usado no
moacutedulo de torccedilatildeo construiu-se uma tabela contendo o tempo de cinco
repeticcedilotildees cada uma com 10 oscilaccedilotildees para cada configuraccedilatildeo inercial e seu
momento de ineacutercia resultante Para isso desprezou-se a ineacutercia do fio e
considerou-se a trava auxiliar como um cilindro reto uniforme
A Tabela 1 apresenta os dados com o comprimento de fio de 25 cm o
periacuteodo meacutedio eacute obtido pela divisatildeo de tempo total por 10 (nuacutemero de
oscilaccedilotildees) e o erro do periacuteodo eacute representado pelo desvio-padratildeo apresentado
pelos dados experimentais
Tabela 1 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 25 cm
Haste 021 m Haste 011m
Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 7386 8109 9363 3741 4166
2 7294 8081 9379 3785 4150
3 7315 8084 9385 3753 4109
4 7314 8069 9379 3775 4122
5 7316 8037 9369 3738 4147
T (s) 7325 plusmn035 8076 plusmn026 937 plusmn009 37584 plusmn021 41388 plusmn023
Os valores determinados com o fio de 200 cm estatildeo dispostos na
Tabela 2
Tabela 2 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 20 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465
14
5 2562 3371 3644 4990 6494T (s) 256 plusmn010 333 plusmn028 363 plusmn007 500 plusmn018 648 plusmn015
Para o fio de comprimento igual a 150 cm os dados estatildeo descritos na
Tabela 3
Tabela 3 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 15 cm
Haste 011 m Haste 021m
Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2294 2910 3225 4379 5687
2 23 2925 3204 4378 5691
3 2294 2940 3194 4394 5697
4 2284 2934 3191 4375 5675
5 2282 2903 3194 4353 5687
T (s) 229 plusmn08 292 plusmn016 320 plusmn014 438 plusmn015 569 plusmn008
Para o fio de 100 cm tem-se a Tabela 4
Tabela 4 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 10 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646
T (s) 191 plusmn010 243 plusmn011 267 plusmn010 360 plusmn007 464 plusmn007
Calculou-se o momento de ineacutercia resultante de cada configuraccedilatildeo pela
Equaccedilatildeo (a) em anexo e seu erro segundo a Equaccedilatildeo (b) Os momentos de
ineacutercia e os periacuteodos ao quadrado com seus desvios calculados pela Equaccedilatildeo
(c) estatildeo nas Tabelas 5 6 7 e 8
15
Tabela 5 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 25 cm de comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 072 plusmn003 1712plusmn189
2 060 plusmn003 1413plusmn156
3 236 plusmn002 5365plusmn517
4 287 plusmn002 6522plusmn423
5 387 plusmn002 8789plusmn166
Tabela 6 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 20 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 655plusmn049
2 059 plusmn002 1110plusmn189
3 072 plusmn002 1318plusmn051
4 136 plusmn003 2490plusmn178
5 236 plusmn003 4200plusmn189
Tabela 7 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 15 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 525plusmn035
2 059 plusmn002 854plusmn092
3 072 plusmn002 1025plusmn089
4 136 plusmn003 1914plusmn129
5 236 plusmn003 3235plusmn092
Tabela 8 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 10 cm de
comprimento
16
OscilaccedilatildeoMomento de
Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 363plusmn037
2 059 plusmn002 590plusmn051
3 072 plusmn002 712plusmn052
4 136 plusmn003 1291plusmn052
5 236 plusmn003 2156plusmn061
Elevando a Equaccedilatildeo (23) ao quadrado temos
T 2=4 π2 IK
(24)
Construindo um graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de
ineacutercia de cada configuraccedilatildeo para cada um dos comprimentos (L) dos fios de
prova tem-se que
T 2=aI (25)
E portanto
K= 4π2
a (26)
Possibilitando determinar o valor do modulo de torccedilatildeo (K) para cada
comprimento de fio utilizado
Para o fio de comprimento L=250 cm tem-se a Figura 3 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
17
Figura 3 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear entre o momento de ineacutercia do sistema e o periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de comprimento 025m
Onde tem-se a=22469plusmn29 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=200 cm tem-se a Figura 4 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 4 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 020m de comprimento
18
Onde tem-se a=17613plusmn76 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=150 cm tem-se a Figura 5 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 5 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 015m de comprimento
Onde se tem a=13381plusmn44 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=100 cm tem-se a Figura 6 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
19
Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento
Onde tem-se a=8866plusmn71 ssup2kg-1m-sup2
Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L
e ajustando uma reta do
tipo
K=a 1L
(27)
E portanto
S= 2a
π R4 (28)
A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear
dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros
associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)
Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os
valores de K e seus erros associados
Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565
13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860
Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7
Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
6
periacutemetro do cilindro e cresce com o comprimento (z) representado na Figura 2 A
Equaccedilatildeo (1) demonstra o aumento da deformaccedilatildeo por unidade de comprimento
Ɛz= rL∙θ (1)
A forccedila de torccedilatildeo externa comunica diferenciais de forccedilas tangenciais
(d F=dF ∙ t) a cada camada ciliacutendrica que se distribuem sobre a superfiacutecie de
cada anel de aacuterea d A=2π ∙r ∙ dr ∙ k gerando tensotildees de cisalhamento σ
(Equaccedilatildeo 2)
σ=|d F t||d A|
=dFt
2 π ∙ r ∙ dr (2)
Figura 1 - Corpo soacutelido dividido em camadas ciliacutendricas de raio interno r
espessura dr e comprimento L (QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica
IV 2013)
Figura 2 - Deformaccedilatildeo de um retacircngulo de largura 2π r e altura L sob accedilatildeo de
uma forccedila tangencial formando um paralelogramo (QUINtildeONES E R F
Apostila da Aula Praacutetica IV 2013)
7
23 MOacuteDULO DE CISALHAMENTO
Para pequenas deformaccedilotildees ou seja dentro do limite elaacutestico do fio sob
torccedilatildeo as tensotildees de cisalhamento obedecem a Lei de Hooke exibindo
valores proporcionais agrave deformaccedilatildeo de cisalhamento (Equaccedilatildeo 3)
σ=minusS ∙ Ɛz∙ θ=minusS ∙ r
L∙θ (3)
Onde Seacute o moacutedulo de cisalhamento r representa o raio do cilindro L o comprimento do mesmo e θ eacute o acircngulo de desvio do sistema barra-cilindro em relaccedilatildeo agrave sua posiccedilatildeo original
24 TORQUE RESTAURADOR
A forccedila tangencial diferencial atuando em cada camada do cilindro pode
ser relacionada com o acircngulo de torccedilatildeo total do extremo inferior do fio usando
a tensatildeo de cisalhamento (Equaccedilatildeo 4 e 5)
d Ft=2 π σ r dr (4)
d Ft=minusS 2 πLθ ∙r 2 ∙ dr (5)
O torque para restaurar o fio de um acircngulo de θ pode ser obtido
relacionando a forccedila tangencial aplicada a camada ciliacutendrica com raio interno
da camada (Equaccedilatildeo 6 e 7)
d τ=rtimes d F=r dF t ( r timest ) (6)
d τ=minus2 π ∙ SL
∙ r3 ∙ dr ∙ θ ∙ k (7)
O torque para restaurar as posiccedilotildees iniciais das camadas ciliacutendricas do fio eacute
dado pela integral definida desde a camada de raio zero ateacute a camada da periferia do
cilindro de raio R
8
τ=minus2π ∙S ∙ θL
into
R
r3 ∙ dr ∙ k (8)
τ=minusπ ∙S ∙ R4
2L∙θ ∙ k (9)
Para um pequeno deslocamento angular tem-se o torque restaurador
conforme Equaccedilatildeo (10)
τ=minusK ∙θ ∙ k (10)
Onde K= π ∙S ∙R4
2 L
25 SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA ROTACcedilOtildeES
Considerando um barra horizontal suspensa em equiliacutebrio por um fio vertical
de comprimento L e raio R A barra horizontal possui um certo momento de ineacutercia Se
defletir a barra no plano horizontal de um pequeno acircngulo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de
equiliacutebrio a Lei de Hooke para a torccedilatildeo diz que o fio preso agrave barra reage com um
pequeno torque restaurador proporcional ao acircngulo de torccedilatildeo (Equaccedilatildeo 11)
τ=minusK ∙θ (11)
O movimento de rotaccedilatildeo do fio ciliacutendrico em torno de seu eixo de simetria
depende da ineacutercia do sistema ou seja do momento de ineacutercia do cilindro e o da barra
acoplada ao mesmo Para um torque levando o sistema para posiccedilatildeo de equiliacutebrio a
resposta dinacircmica vai depender da ineacutercia do sistema Assim quanto maior for a
ineacutercia o sistema vai girar sob menor aceleraccedilatildeo angular ou seja mais lentamente
A segunda lei de Newton para as rotaccedilotildees eacute dada pela Equaccedilatildeo (12)
τ=I prop (12)
τ=I d2θd t2
(13)
Onde I representa o momento de ineacutercia do sistema sob rotaccedilatildeo em relaccedilatildeo ao eixo
de rotaccedilatildeo do corpo
9
As Equaccedilotildees (11) e (13) exprimem o mesmo resultado poreacutem a Equaccedilatildeo (11)
reflete a resposta elaacutestica interna do corpo agrave torccedilatildeo e a Equaccedilatildeo (13) indica a
aceleraccedilatildeo transmitida ao mesmo corpo sob rotaccedilatildeo Entatildeo igualando as duas se
obteacutem a Equaccedilatildeo (14) que representa o movimento oscilatoacuterio do corpo elaacutestico de
torccedilatildeo
I ∙d2θd t2
=minusK ∙θ (14)
d2θd t2
+ KI∙θ=0 (15)
O sistema dinacircmico descrito pela Equaccedilatildeo (15) chama-se de oscilador
harmocircnico simples (unidimensional) A variaacutevel θ que caracteriza o uacutenico grau de
liberdade descreve os pequenos desvios da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel do fio A
restriccedilatildeo a pequenos desvios limita o movimento oscilatoacuterio para regiotildees onde o
sistema se comporta elasticamente Se passar do limite elaacutestico do fio o sistema natildeo
retorna agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio tendo deformaccedilotildees permanentes
A equaccedilatildeo (15) eacute uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria para θ (t ) e de segunda
ordem cuja soluccedilatildeo geral eacute dada pela Equaccedilatildeo (16)
θ (t )=θo ∙cos (ω∙ t+φ ) (16)
Onde θo representa a amplitude de oscilaccedilatildeo ou maacuteximo deslocamento angular A
funccedilatildeocos (w ∙t+φ) eacute uma funccedilatildeo perioacutedica onde o paracircmetro ω representa a
frequecircncia angular O tempo que o sistema demora em voltar a sua condiccedilatildeo inicial ou
repetir o movimento oscilatoacuterio eacute chamado de periacuteodo (Equaccedilatildeo 17)
cos (ω∙t+φ )=cos (ω∙ ( t+T )+φ ) (17)
cos (ω∙t+φ+2 π )=cos (ω∙ t+φ+ω∙T ) (18)
O periacuteodo de oscilaccedilatildeo eacute funccedilatildeo do inverso da frequecircncia angular do sistema
(Equaccedilatildeo 19)
T=2πω
(19)
10
Logo a soluccedilatildeo harmocircnica do sistema de torccedilatildeo pode ser escrita de acordo
com a Equaccedilatildeo (20)
θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)
Derivando duas vezes esta funccedilatildeo harmocircnica obtecircm a Equaccedilatildeo (21)
d2θ (t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)
d2θ ( t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ( t ) (22)
Substituindo a Equaccedilatildeo (22) na (15) obtecircm-se a Equaccedilatildeo (23)
T=2π ∙radic IK (23)
O fato de que o periacuteodo T eacute independente da amplitude de oscilaccedilatildeo (desde
que natildeo ultrapasse o limite de elasticidade do fio) constitui o isocronismo das
pequenas oscilaccedilotildees do pecircndulo descoberto por Galileu
Este relatoacuterio tem por objetivo realizar a verificaccedilatildeo das oscilaccedilotildees harmocircnicas
de um sistema conservativo a validade da Lei de Hooke na torccedilatildeo de um fio a relaccedilatildeo
entre o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e o moacutedulo de torccedilatildeo a dependecircncia do moacutedulo de
torccedilatildeo de um fio com seu comprimento diacircmetro e material e o momento de ineacutercia de
qualquer objeto com o uso da balanccedila de torccedilatildeo
11
3 PARTE EXPERIMENTAL
31 MATERIAIS
Utilizou-se uma balanccedila de torccedilatildeo baacutesica para mecacircnica composta por
uma haste ciliacutendrica vertical acoplada na parte de baixo aacute uma base quadrada
com quatro sapatas niveladoras e amortecedoras e na parte de cima a um
suporte horizontal duas pequenas hastes auxiliares com furo transversal
central passante e parafusos nos seus extremos (para prender o arame) duas
travas auxiliares de latatildeo para o corpo de prova e duas hastes com o corpo
central e com rebaixo nos extremos de comprimento 10 cm e 20 cm A esta
balanccedila foram combinados jogos de pesos (corpos de prova) e um uacutenico fio de
accedilo ajustado a quatro comprimentos diferentes Para auxiliar nas medidas do
acircngulo fio tempo e massa utilizou-se respectivamente transferidor reacutegua
metaacutelica cronocircmetro e balanccedila
32 PREacute-REQUISITO
Primeiramente fez-se necessaacuterio o conhecimento dos paracircmetros de
oscilaccedilatildeo livre como o moacutedulo de torccedilatildeo levando em consideraccedilatildeo as tensotildees
de cisalhamento Posteriormente fez-se uma relaccedilatildeo entre a deformaccedilatildeo
angular e a forccedila elaacutestica restauradora da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel
expressada pela Lei de Hooke O caacutelculo do momento de uma forccedila em relaccedilatildeo
a um eixo foi feito e obteve-se entatildeo o momento de ineacutercia de um corpo riacutegido
atraveacutes da medida indireta do periacuteodo de oscilaccedilatildeo do pecircndulo fiacutesico de torccedilatildeo
33 PROCEDIMENTO
O intuito da praacutetica foi medir o tempo das oscilaccedilotildees de cada haste (de
10 cm e 20 cm) mantendo os pesos equilibrados em suas extremidades
suspensas por um uacutenico fio ajustado em 10 cm 15 cm 20 cm e 25 cm
Para isso utilizou-se um cronometro digital para medir o tempo na qual a
haste com seus respectivos jogos de pesos oscilavam Fez-se isso tanto para a
haste de 10 cm e 20 cm A haste foi posicionada em um acircngulo de 70deg com a
horizontal da base da balanccedila de torccedilatildeo Acionava-se o cronocircmetro soltava-se
12
a haste e parava-se assim que ela completasse dez oscilaccedilotildees Desse modo
percebeu-se que o moacutedulo de torccedilatildeo do fio de accedilo dependia do seu
comprimento dos comprimentos das hastes e das massas dos corpos fixados
a ela Com auxilio do tempo medido foi possiacutevel calcular o moacutedulo de torccedilatildeo
em cada caso e por fim o moacutedulo de cisalhamento do fio de accedilo empregado
13
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Para cada comprimento de fio dos quatro utilizados montaram-se
diferentes configuraccedilotildees de massa com os dois tamanhos de haste resultando
em diferentes momentos de ineacutercia Para cada comprimento (L) do fio usado no
moacutedulo de torccedilatildeo construiu-se uma tabela contendo o tempo de cinco
repeticcedilotildees cada uma com 10 oscilaccedilotildees para cada configuraccedilatildeo inercial e seu
momento de ineacutercia resultante Para isso desprezou-se a ineacutercia do fio e
considerou-se a trava auxiliar como um cilindro reto uniforme
A Tabela 1 apresenta os dados com o comprimento de fio de 25 cm o
periacuteodo meacutedio eacute obtido pela divisatildeo de tempo total por 10 (nuacutemero de
oscilaccedilotildees) e o erro do periacuteodo eacute representado pelo desvio-padratildeo apresentado
pelos dados experimentais
Tabela 1 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 25 cm
Haste 021 m Haste 011m
Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 7386 8109 9363 3741 4166
2 7294 8081 9379 3785 4150
3 7315 8084 9385 3753 4109
4 7314 8069 9379 3775 4122
5 7316 8037 9369 3738 4147
T (s) 7325 plusmn035 8076 plusmn026 937 plusmn009 37584 plusmn021 41388 plusmn023
Os valores determinados com o fio de 200 cm estatildeo dispostos na
Tabela 2
Tabela 2 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 20 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465
14
5 2562 3371 3644 4990 6494T (s) 256 plusmn010 333 plusmn028 363 plusmn007 500 plusmn018 648 plusmn015
Para o fio de comprimento igual a 150 cm os dados estatildeo descritos na
Tabela 3
Tabela 3 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 15 cm
Haste 011 m Haste 021m
Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2294 2910 3225 4379 5687
2 23 2925 3204 4378 5691
3 2294 2940 3194 4394 5697
4 2284 2934 3191 4375 5675
5 2282 2903 3194 4353 5687
T (s) 229 plusmn08 292 plusmn016 320 plusmn014 438 plusmn015 569 plusmn008
Para o fio de 100 cm tem-se a Tabela 4
Tabela 4 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 10 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646
T (s) 191 plusmn010 243 plusmn011 267 plusmn010 360 plusmn007 464 plusmn007
Calculou-se o momento de ineacutercia resultante de cada configuraccedilatildeo pela
Equaccedilatildeo (a) em anexo e seu erro segundo a Equaccedilatildeo (b) Os momentos de
ineacutercia e os periacuteodos ao quadrado com seus desvios calculados pela Equaccedilatildeo
(c) estatildeo nas Tabelas 5 6 7 e 8
15
Tabela 5 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 25 cm de comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 072 plusmn003 1712plusmn189
2 060 plusmn003 1413plusmn156
3 236 plusmn002 5365plusmn517
4 287 plusmn002 6522plusmn423
5 387 plusmn002 8789plusmn166
Tabela 6 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 20 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 655plusmn049
2 059 plusmn002 1110plusmn189
3 072 plusmn002 1318plusmn051
4 136 plusmn003 2490plusmn178
5 236 plusmn003 4200plusmn189
Tabela 7 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 15 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 525plusmn035
2 059 plusmn002 854plusmn092
3 072 plusmn002 1025plusmn089
4 136 plusmn003 1914plusmn129
5 236 plusmn003 3235plusmn092
Tabela 8 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 10 cm de
comprimento
16
OscilaccedilatildeoMomento de
Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 363plusmn037
2 059 plusmn002 590plusmn051
3 072 plusmn002 712plusmn052
4 136 plusmn003 1291plusmn052
5 236 plusmn003 2156plusmn061
Elevando a Equaccedilatildeo (23) ao quadrado temos
T 2=4 π2 IK
(24)
Construindo um graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de
ineacutercia de cada configuraccedilatildeo para cada um dos comprimentos (L) dos fios de
prova tem-se que
T 2=aI (25)
E portanto
K= 4π2
a (26)
Possibilitando determinar o valor do modulo de torccedilatildeo (K) para cada
comprimento de fio utilizado
Para o fio de comprimento L=250 cm tem-se a Figura 3 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
17
Figura 3 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear entre o momento de ineacutercia do sistema e o periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de comprimento 025m
Onde tem-se a=22469plusmn29 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=200 cm tem-se a Figura 4 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 4 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 020m de comprimento
18
Onde tem-se a=17613plusmn76 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=150 cm tem-se a Figura 5 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 5 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 015m de comprimento
Onde se tem a=13381plusmn44 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=100 cm tem-se a Figura 6 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
19
Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento
Onde tem-se a=8866plusmn71 ssup2kg-1m-sup2
Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L
e ajustando uma reta do
tipo
K=a 1L
(27)
E portanto
S= 2a
π R4 (28)
A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear
dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros
associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)
Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os
valores de K e seus erros associados
Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565
13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860
Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7
Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
7
23 MOacuteDULO DE CISALHAMENTO
Para pequenas deformaccedilotildees ou seja dentro do limite elaacutestico do fio sob
torccedilatildeo as tensotildees de cisalhamento obedecem a Lei de Hooke exibindo
valores proporcionais agrave deformaccedilatildeo de cisalhamento (Equaccedilatildeo 3)
σ=minusS ∙ Ɛz∙ θ=minusS ∙ r
L∙θ (3)
Onde Seacute o moacutedulo de cisalhamento r representa o raio do cilindro L o comprimento do mesmo e θ eacute o acircngulo de desvio do sistema barra-cilindro em relaccedilatildeo agrave sua posiccedilatildeo original
24 TORQUE RESTAURADOR
A forccedila tangencial diferencial atuando em cada camada do cilindro pode
ser relacionada com o acircngulo de torccedilatildeo total do extremo inferior do fio usando
a tensatildeo de cisalhamento (Equaccedilatildeo 4 e 5)
d Ft=2 π σ r dr (4)
d Ft=minusS 2 πLθ ∙r 2 ∙ dr (5)
O torque para restaurar o fio de um acircngulo de θ pode ser obtido
relacionando a forccedila tangencial aplicada a camada ciliacutendrica com raio interno
da camada (Equaccedilatildeo 6 e 7)
d τ=rtimes d F=r dF t ( r timest ) (6)
d τ=minus2 π ∙ SL
∙ r3 ∙ dr ∙ θ ∙ k (7)
O torque para restaurar as posiccedilotildees iniciais das camadas ciliacutendricas do fio eacute
dado pela integral definida desde a camada de raio zero ateacute a camada da periferia do
cilindro de raio R
8
τ=minus2π ∙S ∙ θL
into
R
r3 ∙ dr ∙ k (8)
τ=minusπ ∙S ∙ R4
2L∙θ ∙ k (9)
Para um pequeno deslocamento angular tem-se o torque restaurador
conforme Equaccedilatildeo (10)
τ=minusK ∙θ ∙ k (10)
Onde K= π ∙S ∙R4
2 L
25 SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA ROTACcedilOtildeES
Considerando um barra horizontal suspensa em equiliacutebrio por um fio vertical
de comprimento L e raio R A barra horizontal possui um certo momento de ineacutercia Se
defletir a barra no plano horizontal de um pequeno acircngulo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de
equiliacutebrio a Lei de Hooke para a torccedilatildeo diz que o fio preso agrave barra reage com um
pequeno torque restaurador proporcional ao acircngulo de torccedilatildeo (Equaccedilatildeo 11)
τ=minusK ∙θ (11)
O movimento de rotaccedilatildeo do fio ciliacutendrico em torno de seu eixo de simetria
depende da ineacutercia do sistema ou seja do momento de ineacutercia do cilindro e o da barra
acoplada ao mesmo Para um torque levando o sistema para posiccedilatildeo de equiliacutebrio a
resposta dinacircmica vai depender da ineacutercia do sistema Assim quanto maior for a
ineacutercia o sistema vai girar sob menor aceleraccedilatildeo angular ou seja mais lentamente
A segunda lei de Newton para as rotaccedilotildees eacute dada pela Equaccedilatildeo (12)
τ=I prop (12)
τ=I d2θd t2
(13)
Onde I representa o momento de ineacutercia do sistema sob rotaccedilatildeo em relaccedilatildeo ao eixo
de rotaccedilatildeo do corpo
9
As Equaccedilotildees (11) e (13) exprimem o mesmo resultado poreacutem a Equaccedilatildeo (11)
reflete a resposta elaacutestica interna do corpo agrave torccedilatildeo e a Equaccedilatildeo (13) indica a
aceleraccedilatildeo transmitida ao mesmo corpo sob rotaccedilatildeo Entatildeo igualando as duas se
obteacutem a Equaccedilatildeo (14) que representa o movimento oscilatoacuterio do corpo elaacutestico de
torccedilatildeo
I ∙d2θd t2
=minusK ∙θ (14)
d2θd t2
+ KI∙θ=0 (15)
O sistema dinacircmico descrito pela Equaccedilatildeo (15) chama-se de oscilador
harmocircnico simples (unidimensional) A variaacutevel θ que caracteriza o uacutenico grau de
liberdade descreve os pequenos desvios da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel do fio A
restriccedilatildeo a pequenos desvios limita o movimento oscilatoacuterio para regiotildees onde o
sistema se comporta elasticamente Se passar do limite elaacutestico do fio o sistema natildeo
retorna agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio tendo deformaccedilotildees permanentes
A equaccedilatildeo (15) eacute uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria para θ (t ) e de segunda
ordem cuja soluccedilatildeo geral eacute dada pela Equaccedilatildeo (16)
θ (t )=θo ∙cos (ω∙ t+φ ) (16)
Onde θo representa a amplitude de oscilaccedilatildeo ou maacuteximo deslocamento angular A
funccedilatildeocos (w ∙t+φ) eacute uma funccedilatildeo perioacutedica onde o paracircmetro ω representa a
frequecircncia angular O tempo que o sistema demora em voltar a sua condiccedilatildeo inicial ou
repetir o movimento oscilatoacuterio eacute chamado de periacuteodo (Equaccedilatildeo 17)
cos (ω∙t+φ )=cos (ω∙ ( t+T )+φ ) (17)
cos (ω∙t+φ+2 π )=cos (ω∙ t+φ+ω∙T ) (18)
O periacuteodo de oscilaccedilatildeo eacute funccedilatildeo do inverso da frequecircncia angular do sistema
(Equaccedilatildeo 19)
T=2πω
(19)
10
Logo a soluccedilatildeo harmocircnica do sistema de torccedilatildeo pode ser escrita de acordo
com a Equaccedilatildeo (20)
θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)
Derivando duas vezes esta funccedilatildeo harmocircnica obtecircm a Equaccedilatildeo (21)
d2θ (t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)
d2θ ( t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ( t ) (22)
Substituindo a Equaccedilatildeo (22) na (15) obtecircm-se a Equaccedilatildeo (23)
T=2π ∙radic IK (23)
O fato de que o periacuteodo T eacute independente da amplitude de oscilaccedilatildeo (desde
que natildeo ultrapasse o limite de elasticidade do fio) constitui o isocronismo das
pequenas oscilaccedilotildees do pecircndulo descoberto por Galileu
Este relatoacuterio tem por objetivo realizar a verificaccedilatildeo das oscilaccedilotildees harmocircnicas
de um sistema conservativo a validade da Lei de Hooke na torccedilatildeo de um fio a relaccedilatildeo
entre o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e o moacutedulo de torccedilatildeo a dependecircncia do moacutedulo de
torccedilatildeo de um fio com seu comprimento diacircmetro e material e o momento de ineacutercia de
qualquer objeto com o uso da balanccedila de torccedilatildeo
11
3 PARTE EXPERIMENTAL
31 MATERIAIS
Utilizou-se uma balanccedila de torccedilatildeo baacutesica para mecacircnica composta por
uma haste ciliacutendrica vertical acoplada na parte de baixo aacute uma base quadrada
com quatro sapatas niveladoras e amortecedoras e na parte de cima a um
suporte horizontal duas pequenas hastes auxiliares com furo transversal
central passante e parafusos nos seus extremos (para prender o arame) duas
travas auxiliares de latatildeo para o corpo de prova e duas hastes com o corpo
central e com rebaixo nos extremos de comprimento 10 cm e 20 cm A esta
balanccedila foram combinados jogos de pesos (corpos de prova) e um uacutenico fio de
accedilo ajustado a quatro comprimentos diferentes Para auxiliar nas medidas do
acircngulo fio tempo e massa utilizou-se respectivamente transferidor reacutegua
metaacutelica cronocircmetro e balanccedila
32 PREacute-REQUISITO
Primeiramente fez-se necessaacuterio o conhecimento dos paracircmetros de
oscilaccedilatildeo livre como o moacutedulo de torccedilatildeo levando em consideraccedilatildeo as tensotildees
de cisalhamento Posteriormente fez-se uma relaccedilatildeo entre a deformaccedilatildeo
angular e a forccedila elaacutestica restauradora da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel
expressada pela Lei de Hooke O caacutelculo do momento de uma forccedila em relaccedilatildeo
a um eixo foi feito e obteve-se entatildeo o momento de ineacutercia de um corpo riacutegido
atraveacutes da medida indireta do periacuteodo de oscilaccedilatildeo do pecircndulo fiacutesico de torccedilatildeo
33 PROCEDIMENTO
O intuito da praacutetica foi medir o tempo das oscilaccedilotildees de cada haste (de
10 cm e 20 cm) mantendo os pesos equilibrados em suas extremidades
suspensas por um uacutenico fio ajustado em 10 cm 15 cm 20 cm e 25 cm
Para isso utilizou-se um cronometro digital para medir o tempo na qual a
haste com seus respectivos jogos de pesos oscilavam Fez-se isso tanto para a
haste de 10 cm e 20 cm A haste foi posicionada em um acircngulo de 70deg com a
horizontal da base da balanccedila de torccedilatildeo Acionava-se o cronocircmetro soltava-se
12
a haste e parava-se assim que ela completasse dez oscilaccedilotildees Desse modo
percebeu-se que o moacutedulo de torccedilatildeo do fio de accedilo dependia do seu
comprimento dos comprimentos das hastes e das massas dos corpos fixados
a ela Com auxilio do tempo medido foi possiacutevel calcular o moacutedulo de torccedilatildeo
em cada caso e por fim o moacutedulo de cisalhamento do fio de accedilo empregado
13
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Para cada comprimento de fio dos quatro utilizados montaram-se
diferentes configuraccedilotildees de massa com os dois tamanhos de haste resultando
em diferentes momentos de ineacutercia Para cada comprimento (L) do fio usado no
moacutedulo de torccedilatildeo construiu-se uma tabela contendo o tempo de cinco
repeticcedilotildees cada uma com 10 oscilaccedilotildees para cada configuraccedilatildeo inercial e seu
momento de ineacutercia resultante Para isso desprezou-se a ineacutercia do fio e
considerou-se a trava auxiliar como um cilindro reto uniforme
A Tabela 1 apresenta os dados com o comprimento de fio de 25 cm o
periacuteodo meacutedio eacute obtido pela divisatildeo de tempo total por 10 (nuacutemero de
oscilaccedilotildees) e o erro do periacuteodo eacute representado pelo desvio-padratildeo apresentado
pelos dados experimentais
Tabela 1 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 25 cm
Haste 021 m Haste 011m
Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 7386 8109 9363 3741 4166
2 7294 8081 9379 3785 4150
3 7315 8084 9385 3753 4109
4 7314 8069 9379 3775 4122
5 7316 8037 9369 3738 4147
T (s) 7325 plusmn035 8076 plusmn026 937 plusmn009 37584 plusmn021 41388 plusmn023
Os valores determinados com o fio de 200 cm estatildeo dispostos na
Tabela 2
Tabela 2 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 20 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465
14
5 2562 3371 3644 4990 6494T (s) 256 plusmn010 333 plusmn028 363 plusmn007 500 plusmn018 648 plusmn015
Para o fio de comprimento igual a 150 cm os dados estatildeo descritos na
Tabela 3
Tabela 3 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 15 cm
Haste 011 m Haste 021m
Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2294 2910 3225 4379 5687
2 23 2925 3204 4378 5691
3 2294 2940 3194 4394 5697
4 2284 2934 3191 4375 5675
5 2282 2903 3194 4353 5687
T (s) 229 plusmn08 292 plusmn016 320 plusmn014 438 plusmn015 569 plusmn008
Para o fio de 100 cm tem-se a Tabela 4
Tabela 4 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 10 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646
T (s) 191 plusmn010 243 plusmn011 267 plusmn010 360 plusmn007 464 plusmn007
Calculou-se o momento de ineacutercia resultante de cada configuraccedilatildeo pela
Equaccedilatildeo (a) em anexo e seu erro segundo a Equaccedilatildeo (b) Os momentos de
ineacutercia e os periacuteodos ao quadrado com seus desvios calculados pela Equaccedilatildeo
(c) estatildeo nas Tabelas 5 6 7 e 8
15
Tabela 5 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 25 cm de comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 072 plusmn003 1712plusmn189
2 060 plusmn003 1413plusmn156
3 236 plusmn002 5365plusmn517
4 287 plusmn002 6522plusmn423
5 387 plusmn002 8789plusmn166
Tabela 6 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 20 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 655plusmn049
2 059 plusmn002 1110plusmn189
3 072 plusmn002 1318plusmn051
4 136 plusmn003 2490plusmn178
5 236 plusmn003 4200plusmn189
Tabela 7 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 15 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 525plusmn035
2 059 plusmn002 854plusmn092
3 072 plusmn002 1025plusmn089
4 136 plusmn003 1914plusmn129
5 236 plusmn003 3235plusmn092
Tabela 8 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 10 cm de
comprimento
16
OscilaccedilatildeoMomento de
Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 363plusmn037
2 059 plusmn002 590plusmn051
3 072 plusmn002 712plusmn052
4 136 plusmn003 1291plusmn052
5 236 plusmn003 2156plusmn061
Elevando a Equaccedilatildeo (23) ao quadrado temos
T 2=4 π2 IK
(24)
Construindo um graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de
ineacutercia de cada configuraccedilatildeo para cada um dos comprimentos (L) dos fios de
prova tem-se que
T 2=aI (25)
E portanto
K= 4π2
a (26)
Possibilitando determinar o valor do modulo de torccedilatildeo (K) para cada
comprimento de fio utilizado
Para o fio de comprimento L=250 cm tem-se a Figura 3 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
17
Figura 3 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear entre o momento de ineacutercia do sistema e o periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de comprimento 025m
Onde tem-se a=22469plusmn29 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=200 cm tem-se a Figura 4 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 4 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 020m de comprimento
18
Onde tem-se a=17613plusmn76 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=150 cm tem-se a Figura 5 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 5 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 015m de comprimento
Onde se tem a=13381plusmn44 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=100 cm tem-se a Figura 6 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
19
Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento
Onde tem-se a=8866plusmn71 ssup2kg-1m-sup2
Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L
e ajustando uma reta do
tipo
K=a 1L
(27)
E portanto
S= 2a
π R4 (28)
A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear
dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros
associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)
Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os
valores de K e seus erros associados
Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565
13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860
Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7
Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
8
τ=minus2π ∙S ∙ θL
into
R
r3 ∙ dr ∙ k (8)
τ=minusπ ∙S ∙ R4
2L∙θ ∙ k (9)
Para um pequeno deslocamento angular tem-se o torque restaurador
conforme Equaccedilatildeo (10)
τ=minusK ∙θ ∙ k (10)
Onde K= π ∙S ∙R4
2 L
25 SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA ROTACcedilOtildeES
Considerando um barra horizontal suspensa em equiliacutebrio por um fio vertical
de comprimento L e raio R A barra horizontal possui um certo momento de ineacutercia Se
defletir a barra no plano horizontal de um pequeno acircngulo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de
equiliacutebrio a Lei de Hooke para a torccedilatildeo diz que o fio preso agrave barra reage com um
pequeno torque restaurador proporcional ao acircngulo de torccedilatildeo (Equaccedilatildeo 11)
τ=minusK ∙θ (11)
O movimento de rotaccedilatildeo do fio ciliacutendrico em torno de seu eixo de simetria
depende da ineacutercia do sistema ou seja do momento de ineacutercia do cilindro e o da barra
acoplada ao mesmo Para um torque levando o sistema para posiccedilatildeo de equiliacutebrio a
resposta dinacircmica vai depender da ineacutercia do sistema Assim quanto maior for a
ineacutercia o sistema vai girar sob menor aceleraccedilatildeo angular ou seja mais lentamente
A segunda lei de Newton para as rotaccedilotildees eacute dada pela Equaccedilatildeo (12)
τ=I prop (12)
τ=I d2θd t2
(13)
Onde I representa o momento de ineacutercia do sistema sob rotaccedilatildeo em relaccedilatildeo ao eixo
de rotaccedilatildeo do corpo
9
As Equaccedilotildees (11) e (13) exprimem o mesmo resultado poreacutem a Equaccedilatildeo (11)
reflete a resposta elaacutestica interna do corpo agrave torccedilatildeo e a Equaccedilatildeo (13) indica a
aceleraccedilatildeo transmitida ao mesmo corpo sob rotaccedilatildeo Entatildeo igualando as duas se
obteacutem a Equaccedilatildeo (14) que representa o movimento oscilatoacuterio do corpo elaacutestico de
torccedilatildeo
I ∙d2θd t2
=minusK ∙θ (14)
d2θd t2
+ KI∙θ=0 (15)
O sistema dinacircmico descrito pela Equaccedilatildeo (15) chama-se de oscilador
harmocircnico simples (unidimensional) A variaacutevel θ que caracteriza o uacutenico grau de
liberdade descreve os pequenos desvios da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel do fio A
restriccedilatildeo a pequenos desvios limita o movimento oscilatoacuterio para regiotildees onde o
sistema se comporta elasticamente Se passar do limite elaacutestico do fio o sistema natildeo
retorna agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio tendo deformaccedilotildees permanentes
A equaccedilatildeo (15) eacute uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria para θ (t ) e de segunda
ordem cuja soluccedilatildeo geral eacute dada pela Equaccedilatildeo (16)
θ (t )=θo ∙cos (ω∙ t+φ ) (16)
Onde θo representa a amplitude de oscilaccedilatildeo ou maacuteximo deslocamento angular A
funccedilatildeocos (w ∙t+φ) eacute uma funccedilatildeo perioacutedica onde o paracircmetro ω representa a
frequecircncia angular O tempo que o sistema demora em voltar a sua condiccedilatildeo inicial ou
repetir o movimento oscilatoacuterio eacute chamado de periacuteodo (Equaccedilatildeo 17)
cos (ω∙t+φ )=cos (ω∙ ( t+T )+φ ) (17)
cos (ω∙t+φ+2 π )=cos (ω∙ t+φ+ω∙T ) (18)
O periacuteodo de oscilaccedilatildeo eacute funccedilatildeo do inverso da frequecircncia angular do sistema
(Equaccedilatildeo 19)
T=2πω
(19)
10
Logo a soluccedilatildeo harmocircnica do sistema de torccedilatildeo pode ser escrita de acordo
com a Equaccedilatildeo (20)
θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)
Derivando duas vezes esta funccedilatildeo harmocircnica obtecircm a Equaccedilatildeo (21)
d2θ (t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)
d2θ ( t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ( t ) (22)
Substituindo a Equaccedilatildeo (22) na (15) obtecircm-se a Equaccedilatildeo (23)
T=2π ∙radic IK (23)
O fato de que o periacuteodo T eacute independente da amplitude de oscilaccedilatildeo (desde
que natildeo ultrapasse o limite de elasticidade do fio) constitui o isocronismo das
pequenas oscilaccedilotildees do pecircndulo descoberto por Galileu
Este relatoacuterio tem por objetivo realizar a verificaccedilatildeo das oscilaccedilotildees harmocircnicas
de um sistema conservativo a validade da Lei de Hooke na torccedilatildeo de um fio a relaccedilatildeo
entre o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e o moacutedulo de torccedilatildeo a dependecircncia do moacutedulo de
torccedilatildeo de um fio com seu comprimento diacircmetro e material e o momento de ineacutercia de
qualquer objeto com o uso da balanccedila de torccedilatildeo
11
3 PARTE EXPERIMENTAL
31 MATERIAIS
Utilizou-se uma balanccedila de torccedilatildeo baacutesica para mecacircnica composta por
uma haste ciliacutendrica vertical acoplada na parte de baixo aacute uma base quadrada
com quatro sapatas niveladoras e amortecedoras e na parte de cima a um
suporte horizontal duas pequenas hastes auxiliares com furo transversal
central passante e parafusos nos seus extremos (para prender o arame) duas
travas auxiliares de latatildeo para o corpo de prova e duas hastes com o corpo
central e com rebaixo nos extremos de comprimento 10 cm e 20 cm A esta
balanccedila foram combinados jogos de pesos (corpos de prova) e um uacutenico fio de
accedilo ajustado a quatro comprimentos diferentes Para auxiliar nas medidas do
acircngulo fio tempo e massa utilizou-se respectivamente transferidor reacutegua
metaacutelica cronocircmetro e balanccedila
32 PREacute-REQUISITO
Primeiramente fez-se necessaacuterio o conhecimento dos paracircmetros de
oscilaccedilatildeo livre como o moacutedulo de torccedilatildeo levando em consideraccedilatildeo as tensotildees
de cisalhamento Posteriormente fez-se uma relaccedilatildeo entre a deformaccedilatildeo
angular e a forccedila elaacutestica restauradora da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel
expressada pela Lei de Hooke O caacutelculo do momento de uma forccedila em relaccedilatildeo
a um eixo foi feito e obteve-se entatildeo o momento de ineacutercia de um corpo riacutegido
atraveacutes da medida indireta do periacuteodo de oscilaccedilatildeo do pecircndulo fiacutesico de torccedilatildeo
33 PROCEDIMENTO
O intuito da praacutetica foi medir o tempo das oscilaccedilotildees de cada haste (de
10 cm e 20 cm) mantendo os pesos equilibrados em suas extremidades
suspensas por um uacutenico fio ajustado em 10 cm 15 cm 20 cm e 25 cm
Para isso utilizou-se um cronometro digital para medir o tempo na qual a
haste com seus respectivos jogos de pesos oscilavam Fez-se isso tanto para a
haste de 10 cm e 20 cm A haste foi posicionada em um acircngulo de 70deg com a
horizontal da base da balanccedila de torccedilatildeo Acionava-se o cronocircmetro soltava-se
12
a haste e parava-se assim que ela completasse dez oscilaccedilotildees Desse modo
percebeu-se que o moacutedulo de torccedilatildeo do fio de accedilo dependia do seu
comprimento dos comprimentos das hastes e das massas dos corpos fixados
a ela Com auxilio do tempo medido foi possiacutevel calcular o moacutedulo de torccedilatildeo
em cada caso e por fim o moacutedulo de cisalhamento do fio de accedilo empregado
13
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Para cada comprimento de fio dos quatro utilizados montaram-se
diferentes configuraccedilotildees de massa com os dois tamanhos de haste resultando
em diferentes momentos de ineacutercia Para cada comprimento (L) do fio usado no
moacutedulo de torccedilatildeo construiu-se uma tabela contendo o tempo de cinco
repeticcedilotildees cada uma com 10 oscilaccedilotildees para cada configuraccedilatildeo inercial e seu
momento de ineacutercia resultante Para isso desprezou-se a ineacutercia do fio e
considerou-se a trava auxiliar como um cilindro reto uniforme
A Tabela 1 apresenta os dados com o comprimento de fio de 25 cm o
periacuteodo meacutedio eacute obtido pela divisatildeo de tempo total por 10 (nuacutemero de
oscilaccedilotildees) e o erro do periacuteodo eacute representado pelo desvio-padratildeo apresentado
pelos dados experimentais
Tabela 1 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 25 cm
Haste 021 m Haste 011m
Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 7386 8109 9363 3741 4166
2 7294 8081 9379 3785 4150
3 7315 8084 9385 3753 4109
4 7314 8069 9379 3775 4122
5 7316 8037 9369 3738 4147
T (s) 7325 plusmn035 8076 plusmn026 937 plusmn009 37584 plusmn021 41388 plusmn023
Os valores determinados com o fio de 200 cm estatildeo dispostos na
Tabela 2
Tabela 2 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 20 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465
14
5 2562 3371 3644 4990 6494T (s) 256 plusmn010 333 plusmn028 363 plusmn007 500 plusmn018 648 plusmn015
Para o fio de comprimento igual a 150 cm os dados estatildeo descritos na
Tabela 3
Tabela 3 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 15 cm
Haste 011 m Haste 021m
Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2294 2910 3225 4379 5687
2 23 2925 3204 4378 5691
3 2294 2940 3194 4394 5697
4 2284 2934 3191 4375 5675
5 2282 2903 3194 4353 5687
T (s) 229 plusmn08 292 plusmn016 320 plusmn014 438 plusmn015 569 plusmn008
Para o fio de 100 cm tem-se a Tabela 4
Tabela 4 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 10 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646
T (s) 191 plusmn010 243 plusmn011 267 plusmn010 360 plusmn007 464 plusmn007
Calculou-se o momento de ineacutercia resultante de cada configuraccedilatildeo pela
Equaccedilatildeo (a) em anexo e seu erro segundo a Equaccedilatildeo (b) Os momentos de
ineacutercia e os periacuteodos ao quadrado com seus desvios calculados pela Equaccedilatildeo
(c) estatildeo nas Tabelas 5 6 7 e 8
15
Tabela 5 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 25 cm de comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 072 plusmn003 1712plusmn189
2 060 plusmn003 1413plusmn156
3 236 plusmn002 5365plusmn517
4 287 plusmn002 6522plusmn423
5 387 plusmn002 8789plusmn166
Tabela 6 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 20 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 655plusmn049
2 059 plusmn002 1110plusmn189
3 072 plusmn002 1318plusmn051
4 136 plusmn003 2490plusmn178
5 236 plusmn003 4200plusmn189
Tabela 7 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 15 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 525plusmn035
2 059 plusmn002 854plusmn092
3 072 plusmn002 1025plusmn089
4 136 plusmn003 1914plusmn129
5 236 plusmn003 3235plusmn092
Tabela 8 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 10 cm de
comprimento
16
OscilaccedilatildeoMomento de
Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 363plusmn037
2 059 plusmn002 590plusmn051
3 072 plusmn002 712plusmn052
4 136 plusmn003 1291plusmn052
5 236 plusmn003 2156plusmn061
Elevando a Equaccedilatildeo (23) ao quadrado temos
T 2=4 π2 IK
(24)
Construindo um graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de
ineacutercia de cada configuraccedilatildeo para cada um dos comprimentos (L) dos fios de
prova tem-se que
T 2=aI (25)
E portanto
K= 4π2
a (26)
Possibilitando determinar o valor do modulo de torccedilatildeo (K) para cada
comprimento de fio utilizado
Para o fio de comprimento L=250 cm tem-se a Figura 3 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
17
Figura 3 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear entre o momento de ineacutercia do sistema e o periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de comprimento 025m
Onde tem-se a=22469plusmn29 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=200 cm tem-se a Figura 4 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 4 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 020m de comprimento
18
Onde tem-se a=17613plusmn76 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=150 cm tem-se a Figura 5 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 5 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 015m de comprimento
Onde se tem a=13381plusmn44 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=100 cm tem-se a Figura 6 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
19
Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento
Onde tem-se a=8866plusmn71 ssup2kg-1m-sup2
Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L
e ajustando uma reta do
tipo
K=a 1L
(27)
E portanto
S= 2a
π R4 (28)
A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear
dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros
associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)
Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os
valores de K e seus erros associados
Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565
13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860
Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7
Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
9
As Equaccedilotildees (11) e (13) exprimem o mesmo resultado poreacutem a Equaccedilatildeo (11)
reflete a resposta elaacutestica interna do corpo agrave torccedilatildeo e a Equaccedilatildeo (13) indica a
aceleraccedilatildeo transmitida ao mesmo corpo sob rotaccedilatildeo Entatildeo igualando as duas se
obteacutem a Equaccedilatildeo (14) que representa o movimento oscilatoacuterio do corpo elaacutestico de
torccedilatildeo
I ∙d2θd t2
=minusK ∙θ (14)
d2θd t2
+ KI∙θ=0 (15)
O sistema dinacircmico descrito pela Equaccedilatildeo (15) chama-se de oscilador
harmocircnico simples (unidimensional) A variaacutevel θ que caracteriza o uacutenico grau de
liberdade descreve os pequenos desvios da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel do fio A
restriccedilatildeo a pequenos desvios limita o movimento oscilatoacuterio para regiotildees onde o
sistema se comporta elasticamente Se passar do limite elaacutestico do fio o sistema natildeo
retorna agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio tendo deformaccedilotildees permanentes
A equaccedilatildeo (15) eacute uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria para θ (t ) e de segunda
ordem cuja soluccedilatildeo geral eacute dada pela Equaccedilatildeo (16)
θ (t )=θo ∙cos (ω∙ t+φ ) (16)
Onde θo representa a amplitude de oscilaccedilatildeo ou maacuteximo deslocamento angular A
funccedilatildeocos (w ∙t+φ) eacute uma funccedilatildeo perioacutedica onde o paracircmetro ω representa a
frequecircncia angular O tempo que o sistema demora em voltar a sua condiccedilatildeo inicial ou
repetir o movimento oscilatoacuterio eacute chamado de periacuteodo (Equaccedilatildeo 17)
cos (ω∙t+φ )=cos (ω∙ ( t+T )+φ ) (17)
cos (ω∙t+φ+2 π )=cos (ω∙ t+φ+ω∙T ) (18)
O periacuteodo de oscilaccedilatildeo eacute funccedilatildeo do inverso da frequecircncia angular do sistema
(Equaccedilatildeo 19)
T=2πω
(19)
10
Logo a soluccedilatildeo harmocircnica do sistema de torccedilatildeo pode ser escrita de acordo
com a Equaccedilatildeo (20)
θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)
Derivando duas vezes esta funccedilatildeo harmocircnica obtecircm a Equaccedilatildeo (21)
d2θ (t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)
d2θ ( t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ( t ) (22)
Substituindo a Equaccedilatildeo (22) na (15) obtecircm-se a Equaccedilatildeo (23)
T=2π ∙radic IK (23)
O fato de que o periacuteodo T eacute independente da amplitude de oscilaccedilatildeo (desde
que natildeo ultrapasse o limite de elasticidade do fio) constitui o isocronismo das
pequenas oscilaccedilotildees do pecircndulo descoberto por Galileu
Este relatoacuterio tem por objetivo realizar a verificaccedilatildeo das oscilaccedilotildees harmocircnicas
de um sistema conservativo a validade da Lei de Hooke na torccedilatildeo de um fio a relaccedilatildeo
entre o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e o moacutedulo de torccedilatildeo a dependecircncia do moacutedulo de
torccedilatildeo de um fio com seu comprimento diacircmetro e material e o momento de ineacutercia de
qualquer objeto com o uso da balanccedila de torccedilatildeo
11
3 PARTE EXPERIMENTAL
31 MATERIAIS
Utilizou-se uma balanccedila de torccedilatildeo baacutesica para mecacircnica composta por
uma haste ciliacutendrica vertical acoplada na parte de baixo aacute uma base quadrada
com quatro sapatas niveladoras e amortecedoras e na parte de cima a um
suporte horizontal duas pequenas hastes auxiliares com furo transversal
central passante e parafusos nos seus extremos (para prender o arame) duas
travas auxiliares de latatildeo para o corpo de prova e duas hastes com o corpo
central e com rebaixo nos extremos de comprimento 10 cm e 20 cm A esta
balanccedila foram combinados jogos de pesos (corpos de prova) e um uacutenico fio de
accedilo ajustado a quatro comprimentos diferentes Para auxiliar nas medidas do
acircngulo fio tempo e massa utilizou-se respectivamente transferidor reacutegua
metaacutelica cronocircmetro e balanccedila
32 PREacute-REQUISITO
Primeiramente fez-se necessaacuterio o conhecimento dos paracircmetros de
oscilaccedilatildeo livre como o moacutedulo de torccedilatildeo levando em consideraccedilatildeo as tensotildees
de cisalhamento Posteriormente fez-se uma relaccedilatildeo entre a deformaccedilatildeo
angular e a forccedila elaacutestica restauradora da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel
expressada pela Lei de Hooke O caacutelculo do momento de uma forccedila em relaccedilatildeo
a um eixo foi feito e obteve-se entatildeo o momento de ineacutercia de um corpo riacutegido
atraveacutes da medida indireta do periacuteodo de oscilaccedilatildeo do pecircndulo fiacutesico de torccedilatildeo
33 PROCEDIMENTO
O intuito da praacutetica foi medir o tempo das oscilaccedilotildees de cada haste (de
10 cm e 20 cm) mantendo os pesos equilibrados em suas extremidades
suspensas por um uacutenico fio ajustado em 10 cm 15 cm 20 cm e 25 cm
Para isso utilizou-se um cronometro digital para medir o tempo na qual a
haste com seus respectivos jogos de pesos oscilavam Fez-se isso tanto para a
haste de 10 cm e 20 cm A haste foi posicionada em um acircngulo de 70deg com a
horizontal da base da balanccedila de torccedilatildeo Acionava-se o cronocircmetro soltava-se
12
a haste e parava-se assim que ela completasse dez oscilaccedilotildees Desse modo
percebeu-se que o moacutedulo de torccedilatildeo do fio de accedilo dependia do seu
comprimento dos comprimentos das hastes e das massas dos corpos fixados
a ela Com auxilio do tempo medido foi possiacutevel calcular o moacutedulo de torccedilatildeo
em cada caso e por fim o moacutedulo de cisalhamento do fio de accedilo empregado
13
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Para cada comprimento de fio dos quatro utilizados montaram-se
diferentes configuraccedilotildees de massa com os dois tamanhos de haste resultando
em diferentes momentos de ineacutercia Para cada comprimento (L) do fio usado no
moacutedulo de torccedilatildeo construiu-se uma tabela contendo o tempo de cinco
repeticcedilotildees cada uma com 10 oscilaccedilotildees para cada configuraccedilatildeo inercial e seu
momento de ineacutercia resultante Para isso desprezou-se a ineacutercia do fio e
considerou-se a trava auxiliar como um cilindro reto uniforme
A Tabela 1 apresenta os dados com o comprimento de fio de 25 cm o
periacuteodo meacutedio eacute obtido pela divisatildeo de tempo total por 10 (nuacutemero de
oscilaccedilotildees) e o erro do periacuteodo eacute representado pelo desvio-padratildeo apresentado
pelos dados experimentais
Tabela 1 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 25 cm
Haste 021 m Haste 011m
Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 7386 8109 9363 3741 4166
2 7294 8081 9379 3785 4150
3 7315 8084 9385 3753 4109
4 7314 8069 9379 3775 4122
5 7316 8037 9369 3738 4147
T (s) 7325 plusmn035 8076 plusmn026 937 plusmn009 37584 plusmn021 41388 plusmn023
Os valores determinados com o fio de 200 cm estatildeo dispostos na
Tabela 2
Tabela 2 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 20 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465
14
5 2562 3371 3644 4990 6494T (s) 256 plusmn010 333 plusmn028 363 plusmn007 500 plusmn018 648 plusmn015
Para o fio de comprimento igual a 150 cm os dados estatildeo descritos na
Tabela 3
Tabela 3 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 15 cm
Haste 011 m Haste 021m
Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2294 2910 3225 4379 5687
2 23 2925 3204 4378 5691
3 2294 2940 3194 4394 5697
4 2284 2934 3191 4375 5675
5 2282 2903 3194 4353 5687
T (s) 229 plusmn08 292 plusmn016 320 plusmn014 438 plusmn015 569 plusmn008
Para o fio de 100 cm tem-se a Tabela 4
Tabela 4 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 10 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646
T (s) 191 plusmn010 243 plusmn011 267 plusmn010 360 plusmn007 464 plusmn007
Calculou-se o momento de ineacutercia resultante de cada configuraccedilatildeo pela
Equaccedilatildeo (a) em anexo e seu erro segundo a Equaccedilatildeo (b) Os momentos de
ineacutercia e os periacuteodos ao quadrado com seus desvios calculados pela Equaccedilatildeo
(c) estatildeo nas Tabelas 5 6 7 e 8
15
Tabela 5 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 25 cm de comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 072 plusmn003 1712plusmn189
2 060 plusmn003 1413plusmn156
3 236 plusmn002 5365plusmn517
4 287 plusmn002 6522plusmn423
5 387 plusmn002 8789plusmn166
Tabela 6 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 20 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 655plusmn049
2 059 plusmn002 1110plusmn189
3 072 plusmn002 1318plusmn051
4 136 plusmn003 2490plusmn178
5 236 plusmn003 4200plusmn189
Tabela 7 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 15 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 525plusmn035
2 059 plusmn002 854plusmn092
3 072 plusmn002 1025plusmn089
4 136 plusmn003 1914plusmn129
5 236 plusmn003 3235plusmn092
Tabela 8 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 10 cm de
comprimento
16
OscilaccedilatildeoMomento de
Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 363plusmn037
2 059 plusmn002 590plusmn051
3 072 plusmn002 712plusmn052
4 136 plusmn003 1291plusmn052
5 236 plusmn003 2156plusmn061
Elevando a Equaccedilatildeo (23) ao quadrado temos
T 2=4 π2 IK
(24)
Construindo um graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de
ineacutercia de cada configuraccedilatildeo para cada um dos comprimentos (L) dos fios de
prova tem-se que
T 2=aI (25)
E portanto
K= 4π2
a (26)
Possibilitando determinar o valor do modulo de torccedilatildeo (K) para cada
comprimento de fio utilizado
Para o fio de comprimento L=250 cm tem-se a Figura 3 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
17
Figura 3 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear entre o momento de ineacutercia do sistema e o periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de comprimento 025m
Onde tem-se a=22469plusmn29 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=200 cm tem-se a Figura 4 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 4 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 020m de comprimento
18
Onde tem-se a=17613plusmn76 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=150 cm tem-se a Figura 5 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 5 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 015m de comprimento
Onde se tem a=13381plusmn44 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=100 cm tem-se a Figura 6 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
19
Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento
Onde tem-se a=8866plusmn71 ssup2kg-1m-sup2
Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L
e ajustando uma reta do
tipo
K=a 1L
(27)
E portanto
S= 2a
π R4 (28)
A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear
dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros
associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)
Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os
valores de K e seus erros associados
Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565
13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860
Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7
Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
10
Logo a soluccedilatildeo harmocircnica do sistema de torccedilatildeo pode ser escrita de acordo
com a Equaccedilatildeo (20)
θ (t )=θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (20)
Derivando duas vezes esta funccedilatildeo harmocircnica obtecircm a Equaccedilatildeo (21)
d2θ (t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ∙cos( 2 πT ∙ t+φ) (21)
d2θ ( t )dt 2
=minus( 2πT )2
∙ θo ( t ) (22)
Substituindo a Equaccedilatildeo (22) na (15) obtecircm-se a Equaccedilatildeo (23)
T=2π ∙radic IK (23)
O fato de que o periacuteodo T eacute independente da amplitude de oscilaccedilatildeo (desde
que natildeo ultrapasse o limite de elasticidade do fio) constitui o isocronismo das
pequenas oscilaccedilotildees do pecircndulo descoberto por Galileu
Este relatoacuterio tem por objetivo realizar a verificaccedilatildeo das oscilaccedilotildees harmocircnicas
de um sistema conservativo a validade da Lei de Hooke na torccedilatildeo de um fio a relaccedilatildeo
entre o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e o moacutedulo de torccedilatildeo a dependecircncia do moacutedulo de
torccedilatildeo de um fio com seu comprimento diacircmetro e material e o momento de ineacutercia de
qualquer objeto com o uso da balanccedila de torccedilatildeo
11
3 PARTE EXPERIMENTAL
31 MATERIAIS
Utilizou-se uma balanccedila de torccedilatildeo baacutesica para mecacircnica composta por
uma haste ciliacutendrica vertical acoplada na parte de baixo aacute uma base quadrada
com quatro sapatas niveladoras e amortecedoras e na parte de cima a um
suporte horizontal duas pequenas hastes auxiliares com furo transversal
central passante e parafusos nos seus extremos (para prender o arame) duas
travas auxiliares de latatildeo para o corpo de prova e duas hastes com o corpo
central e com rebaixo nos extremos de comprimento 10 cm e 20 cm A esta
balanccedila foram combinados jogos de pesos (corpos de prova) e um uacutenico fio de
accedilo ajustado a quatro comprimentos diferentes Para auxiliar nas medidas do
acircngulo fio tempo e massa utilizou-se respectivamente transferidor reacutegua
metaacutelica cronocircmetro e balanccedila
32 PREacute-REQUISITO
Primeiramente fez-se necessaacuterio o conhecimento dos paracircmetros de
oscilaccedilatildeo livre como o moacutedulo de torccedilatildeo levando em consideraccedilatildeo as tensotildees
de cisalhamento Posteriormente fez-se uma relaccedilatildeo entre a deformaccedilatildeo
angular e a forccedila elaacutestica restauradora da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel
expressada pela Lei de Hooke O caacutelculo do momento de uma forccedila em relaccedilatildeo
a um eixo foi feito e obteve-se entatildeo o momento de ineacutercia de um corpo riacutegido
atraveacutes da medida indireta do periacuteodo de oscilaccedilatildeo do pecircndulo fiacutesico de torccedilatildeo
33 PROCEDIMENTO
O intuito da praacutetica foi medir o tempo das oscilaccedilotildees de cada haste (de
10 cm e 20 cm) mantendo os pesos equilibrados em suas extremidades
suspensas por um uacutenico fio ajustado em 10 cm 15 cm 20 cm e 25 cm
Para isso utilizou-se um cronometro digital para medir o tempo na qual a
haste com seus respectivos jogos de pesos oscilavam Fez-se isso tanto para a
haste de 10 cm e 20 cm A haste foi posicionada em um acircngulo de 70deg com a
horizontal da base da balanccedila de torccedilatildeo Acionava-se o cronocircmetro soltava-se
12
a haste e parava-se assim que ela completasse dez oscilaccedilotildees Desse modo
percebeu-se que o moacutedulo de torccedilatildeo do fio de accedilo dependia do seu
comprimento dos comprimentos das hastes e das massas dos corpos fixados
a ela Com auxilio do tempo medido foi possiacutevel calcular o moacutedulo de torccedilatildeo
em cada caso e por fim o moacutedulo de cisalhamento do fio de accedilo empregado
13
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Para cada comprimento de fio dos quatro utilizados montaram-se
diferentes configuraccedilotildees de massa com os dois tamanhos de haste resultando
em diferentes momentos de ineacutercia Para cada comprimento (L) do fio usado no
moacutedulo de torccedilatildeo construiu-se uma tabela contendo o tempo de cinco
repeticcedilotildees cada uma com 10 oscilaccedilotildees para cada configuraccedilatildeo inercial e seu
momento de ineacutercia resultante Para isso desprezou-se a ineacutercia do fio e
considerou-se a trava auxiliar como um cilindro reto uniforme
A Tabela 1 apresenta os dados com o comprimento de fio de 25 cm o
periacuteodo meacutedio eacute obtido pela divisatildeo de tempo total por 10 (nuacutemero de
oscilaccedilotildees) e o erro do periacuteodo eacute representado pelo desvio-padratildeo apresentado
pelos dados experimentais
Tabela 1 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 25 cm
Haste 021 m Haste 011m
Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 7386 8109 9363 3741 4166
2 7294 8081 9379 3785 4150
3 7315 8084 9385 3753 4109
4 7314 8069 9379 3775 4122
5 7316 8037 9369 3738 4147
T (s) 7325 plusmn035 8076 plusmn026 937 plusmn009 37584 plusmn021 41388 plusmn023
Os valores determinados com o fio de 200 cm estatildeo dispostos na
Tabela 2
Tabela 2 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 20 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465
14
5 2562 3371 3644 4990 6494T (s) 256 plusmn010 333 plusmn028 363 plusmn007 500 plusmn018 648 plusmn015
Para o fio de comprimento igual a 150 cm os dados estatildeo descritos na
Tabela 3
Tabela 3 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 15 cm
Haste 011 m Haste 021m
Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2294 2910 3225 4379 5687
2 23 2925 3204 4378 5691
3 2294 2940 3194 4394 5697
4 2284 2934 3191 4375 5675
5 2282 2903 3194 4353 5687
T (s) 229 plusmn08 292 plusmn016 320 plusmn014 438 plusmn015 569 plusmn008
Para o fio de 100 cm tem-se a Tabela 4
Tabela 4 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 10 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646
T (s) 191 plusmn010 243 plusmn011 267 plusmn010 360 plusmn007 464 plusmn007
Calculou-se o momento de ineacutercia resultante de cada configuraccedilatildeo pela
Equaccedilatildeo (a) em anexo e seu erro segundo a Equaccedilatildeo (b) Os momentos de
ineacutercia e os periacuteodos ao quadrado com seus desvios calculados pela Equaccedilatildeo
(c) estatildeo nas Tabelas 5 6 7 e 8
15
Tabela 5 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 25 cm de comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 072 plusmn003 1712plusmn189
2 060 plusmn003 1413plusmn156
3 236 plusmn002 5365plusmn517
4 287 plusmn002 6522plusmn423
5 387 plusmn002 8789plusmn166
Tabela 6 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 20 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 655plusmn049
2 059 plusmn002 1110plusmn189
3 072 plusmn002 1318plusmn051
4 136 plusmn003 2490plusmn178
5 236 plusmn003 4200plusmn189
Tabela 7 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 15 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 525plusmn035
2 059 plusmn002 854plusmn092
3 072 plusmn002 1025plusmn089
4 136 plusmn003 1914plusmn129
5 236 plusmn003 3235plusmn092
Tabela 8 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 10 cm de
comprimento
16
OscilaccedilatildeoMomento de
Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 363plusmn037
2 059 plusmn002 590plusmn051
3 072 plusmn002 712plusmn052
4 136 plusmn003 1291plusmn052
5 236 plusmn003 2156plusmn061
Elevando a Equaccedilatildeo (23) ao quadrado temos
T 2=4 π2 IK
(24)
Construindo um graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de
ineacutercia de cada configuraccedilatildeo para cada um dos comprimentos (L) dos fios de
prova tem-se que
T 2=aI (25)
E portanto
K= 4π2
a (26)
Possibilitando determinar o valor do modulo de torccedilatildeo (K) para cada
comprimento de fio utilizado
Para o fio de comprimento L=250 cm tem-se a Figura 3 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
17
Figura 3 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear entre o momento de ineacutercia do sistema e o periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de comprimento 025m
Onde tem-se a=22469plusmn29 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=200 cm tem-se a Figura 4 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 4 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 020m de comprimento
18
Onde tem-se a=17613plusmn76 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=150 cm tem-se a Figura 5 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 5 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 015m de comprimento
Onde se tem a=13381plusmn44 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=100 cm tem-se a Figura 6 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
19
Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento
Onde tem-se a=8866plusmn71 ssup2kg-1m-sup2
Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L
e ajustando uma reta do
tipo
K=a 1L
(27)
E portanto
S= 2a
π R4 (28)
A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear
dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros
associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)
Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os
valores de K e seus erros associados
Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565
13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860
Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7
Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
11
3 PARTE EXPERIMENTAL
31 MATERIAIS
Utilizou-se uma balanccedila de torccedilatildeo baacutesica para mecacircnica composta por
uma haste ciliacutendrica vertical acoplada na parte de baixo aacute uma base quadrada
com quatro sapatas niveladoras e amortecedoras e na parte de cima a um
suporte horizontal duas pequenas hastes auxiliares com furo transversal
central passante e parafusos nos seus extremos (para prender o arame) duas
travas auxiliares de latatildeo para o corpo de prova e duas hastes com o corpo
central e com rebaixo nos extremos de comprimento 10 cm e 20 cm A esta
balanccedila foram combinados jogos de pesos (corpos de prova) e um uacutenico fio de
accedilo ajustado a quatro comprimentos diferentes Para auxiliar nas medidas do
acircngulo fio tempo e massa utilizou-se respectivamente transferidor reacutegua
metaacutelica cronocircmetro e balanccedila
32 PREacute-REQUISITO
Primeiramente fez-se necessaacuterio o conhecimento dos paracircmetros de
oscilaccedilatildeo livre como o moacutedulo de torccedilatildeo levando em consideraccedilatildeo as tensotildees
de cisalhamento Posteriormente fez-se uma relaccedilatildeo entre a deformaccedilatildeo
angular e a forccedila elaacutestica restauradora da posiccedilatildeo de equiliacutebrio estaacutevel
expressada pela Lei de Hooke O caacutelculo do momento de uma forccedila em relaccedilatildeo
a um eixo foi feito e obteve-se entatildeo o momento de ineacutercia de um corpo riacutegido
atraveacutes da medida indireta do periacuteodo de oscilaccedilatildeo do pecircndulo fiacutesico de torccedilatildeo
33 PROCEDIMENTO
O intuito da praacutetica foi medir o tempo das oscilaccedilotildees de cada haste (de
10 cm e 20 cm) mantendo os pesos equilibrados em suas extremidades
suspensas por um uacutenico fio ajustado em 10 cm 15 cm 20 cm e 25 cm
Para isso utilizou-se um cronometro digital para medir o tempo na qual a
haste com seus respectivos jogos de pesos oscilavam Fez-se isso tanto para a
haste de 10 cm e 20 cm A haste foi posicionada em um acircngulo de 70deg com a
horizontal da base da balanccedila de torccedilatildeo Acionava-se o cronocircmetro soltava-se
12
a haste e parava-se assim que ela completasse dez oscilaccedilotildees Desse modo
percebeu-se que o moacutedulo de torccedilatildeo do fio de accedilo dependia do seu
comprimento dos comprimentos das hastes e das massas dos corpos fixados
a ela Com auxilio do tempo medido foi possiacutevel calcular o moacutedulo de torccedilatildeo
em cada caso e por fim o moacutedulo de cisalhamento do fio de accedilo empregado
13
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Para cada comprimento de fio dos quatro utilizados montaram-se
diferentes configuraccedilotildees de massa com os dois tamanhos de haste resultando
em diferentes momentos de ineacutercia Para cada comprimento (L) do fio usado no
moacutedulo de torccedilatildeo construiu-se uma tabela contendo o tempo de cinco
repeticcedilotildees cada uma com 10 oscilaccedilotildees para cada configuraccedilatildeo inercial e seu
momento de ineacutercia resultante Para isso desprezou-se a ineacutercia do fio e
considerou-se a trava auxiliar como um cilindro reto uniforme
A Tabela 1 apresenta os dados com o comprimento de fio de 25 cm o
periacuteodo meacutedio eacute obtido pela divisatildeo de tempo total por 10 (nuacutemero de
oscilaccedilotildees) e o erro do periacuteodo eacute representado pelo desvio-padratildeo apresentado
pelos dados experimentais
Tabela 1 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 25 cm
Haste 021 m Haste 011m
Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 7386 8109 9363 3741 4166
2 7294 8081 9379 3785 4150
3 7315 8084 9385 3753 4109
4 7314 8069 9379 3775 4122
5 7316 8037 9369 3738 4147
T (s) 7325 plusmn035 8076 plusmn026 937 plusmn009 37584 plusmn021 41388 plusmn023
Os valores determinados com o fio de 200 cm estatildeo dispostos na
Tabela 2
Tabela 2 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 20 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465
14
5 2562 3371 3644 4990 6494T (s) 256 plusmn010 333 plusmn028 363 plusmn007 500 plusmn018 648 plusmn015
Para o fio de comprimento igual a 150 cm os dados estatildeo descritos na
Tabela 3
Tabela 3 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 15 cm
Haste 011 m Haste 021m
Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2294 2910 3225 4379 5687
2 23 2925 3204 4378 5691
3 2294 2940 3194 4394 5697
4 2284 2934 3191 4375 5675
5 2282 2903 3194 4353 5687
T (s) 229 plusmn08 292 plusmn016 320 plusmn014 438 plusmn015 569 plusmn008
Para o fio de 100 cm tem-se a Tabela 4
Tabela 4 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 10 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646
T (s) 191 plusmn010 243 plusmn011 267 plusmn010 360 plusmn007 464 plusmn007
Calculou-se o momento de ineacutercia resultante de cada configuraccedilatildeo pela
Equaccedilatildeo (a) em anexo e seu erro segundo a Equaccedilatildeo (b) Os momentos de
ineacutercia e os periacuteodos ao quadrado com seus desvios calculados pela Equaccedilatildeo
(c) estatildeo nas Tabelas 5 6 7 e 8
15
Tabela 5 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 25 cm de comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 072 plusmn003 1712plusmn189
2 060 plusmn003 1413plusmn156
3 236 plusmn002 5365plusmn517
4 287 plusmn002 6522plusmn423
5 387 plusmn002 8789plusmn166
Tabela 6 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 20 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 655plusmn049
2 059 plusmn002 1110plusmn189
3 072 plusmn002 1318plusmn051
4 136 plusmn003 2490plusmn178
5 236 plusmn003 4200plusmn189
Tabela 7 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 15 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 525plusmn035
2 059 plusmn002 854plusmn092
3 072 plusmn002 1025plusmn089
4 136 plusmn003 1914plusmn129
5 236 plusmn003 3235plusmn092
Tabela 8 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 10 cm de
comprimento
16
OscilaccedilatildeoMomento de
Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 363plusmn037
2 059 plusmn002 590plusmn051
3 072 plusmn002 712plusmn052
4 136 plusmn003 1291plusmn052
5 236 plusmn003 2156plusmn061
Elevando a Equaccedilatildeo (23) ao quadrado temos
T 2=4 π2 IK
(24)
Construindo um graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de
ineacutercia de cada configuraccedilatildeo para cada um dos comprimentos (L) dos fios de
prova tem-se que
T 2=aI (25)
E portanto
K= 4π2
a (26)
Possibilitando determinar o valor do modulo de torccedilatildeo (K) para cada
comprimento de fio utilizado
Para o fio de comprimento L=250 cm tem-se a Figura 3 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
17
Figura 3 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear entre o momento de ineacutercia do sistema e o periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de comprimento 025m
Onde tem-se a=22469plusmn29 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=200 cm tem-se a Figura 4 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 4 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 020m de comprimento
18
Onde tem-se a=17613plusmn76 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=150 cm tem-se a Figura 5 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 5 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 015m de comprimento
Onde se tem a=13381plusmn44 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=100 cm tem-se a Figura 6 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
19
Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento
Onde tem-se a=8866plusmn71 ssup2kg-1m-sup2
Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L
e ajustando uma reta do
tipo
K=a 1L
(27)
E portanto
S= 2a
π R4 (28)
A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear
dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros
associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)
Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os
valores de K e seus erros associados
Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565
13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860
Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7
Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
12
a haste e parava-se assim que ela completasse dez oscilaccedilotildees Desse modo
percebeu-se que o moacutedulo de torccedilatildeo do fio de accedilo dependia do seu
comprimento dos comprimentos das hastes e das massas dos corpos fixados
a ela Com auxilio do tempo medido foi possiacutevel calcular o moacutedulo de torccedilatildeo
em cada caso e por fim o moacutedulo de cisalhamento do fio de accedilo empregado
13
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Para cada comprimento de fio dos quatro utilizados montaram-se
diferentes configuraccedilotildees de massa com os dois tamanhos de haste resultando
em diferentes momentos de ineacutercia Para cada comprimento (L) do fio usado no
moacutedulo de torccedilatildeo construiu-se uma tabela contendo o tempo de cinco
repeticcedilotildees cada uma com 10 oscilaccedilotildees para cada configuraccedilatildeo inercial e seu
momento de ineacutercia resultante Para isso desprezou-se a ineacutercia do fio e
considerou-se a trava auxiliar como um cilindro reto uniforme
A Tabela 1 apresenta os dados com o comprimento de fio de 25 cm o
periacuteodo meacutedio eacute obtido pela divisatildeo de tempo total por 10 (nuacutemero de
oscilaccedilotildees) e o erro do periacuteodo eacute representado pelo desvio-padratildeo apresentado
pelos dados experimentais
Tabela 1 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 25 cm
Haste 021 m Haste 011m
Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 7386 8109 9363 3741 4166
2 7294 8081 9379 3785 4150
3 7315 8084 9385 3753 4109
4 7314 8069 9379 3775 4122
5 7316 8037 9369 3738 4147
T (s) 7325 plusmn035 8076 plusmn026 937 plusmn009 37584 plusmn021 41388 plusmn023
Os valores determinados com o fio de 200 cm estatildeo dispostos na
Tabela 2
Tabela 2 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 20 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465
14
5 2562 3371 3644 4990 6494T (s) 256 plusmn010 333 plusmn028 363 plusmn007 500 plusmn018 648 plusmn015
Para o fio de comprimento igual a 150 cm os dados estatildeo descritos na
Tabela 3
Tabela 3 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 15 cm
Haste 011 m Haste 021m
Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2294 2910 3225 4379 5687
2 23 2925 3204 4378 5691
3 2294 2940 3194 4394 5697
4 2284 2934 3191 4375 5675
5 2282 2903 3194 4353 5687
T (s) 229 plusmn08 292 plusmn016 320 plusmn014 438 plusmn015 569 plusmn008
Para o fio de 100 cm tem-se a Tabela 4
Tabela 4 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 10 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646
T (s) 191 plusmn010 243 plusmn011 267 plusmn010 360 plusmn007 464 plusmn007
Calculou-se o momento de ineacutercia resultante de cada configuraccedilatildeo pela
Equaccedilatildeo (a) em anexo e seu erro segundo a Equaccedilatildeo (b) Os momentos de
ineacutercia e os periacuteodos ao quadrado com seus desvios calculados pela Equaccedilatildeo
(c) estatildeo nas Tabelas 5 6 7 e 8
15
Tabela 5 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 25 cm de comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 072 plusmn003 1712plusmn189
2 060 plusmn003 1413plusmn156
3 236 plusmn002 5365plusmn517
4 287 plusmn002 6522plusmn423
5 387 plusmn002 8789plusmn166
Tabela 6 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 20 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 655plusmn049
2 059 plusmn002 1110plusmn189
3 072 plusmn002 1318plusmn051
4 136 plusmn003 2490plusmn178
5 236 plusmn003 4200plusmn189
Tabela 7 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 15 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 525plusmn035
2 059 plusmn002 854plusmn092
3 072 plusmn002 1025plusmn089
4 136 plusmn003 1914plusmn129
5 236 plusmn003 3235plusmn092
Tabela 8 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 10 cm de
comprimento
16
OscilaccedilatildeoMomento de
Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 363plusmn037
2 059 plusmn002 590plusmn051
3 072 plusmn002 712plusmn052
4 136 plusmn003 1291plusmn052
5 236 plusmn003 2156plusmn061
Elevando a Equaccedilatildeo (23) ao quadrado temos
T 2=4 π2 IK
(24)
Construindo um graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de
ineacutercia de cada configuraccedilatildeo para cada um dos comprimentos (L) dos fios de
prova tem-se que
T 2=aI (25)
E portanto
K= 4π2
a (26)
Possibilitando determinar o valor do modulo de torccedilatildeo (K) para cada
comprimento de fio utilizado
Para o fio de comprimento L=250 cm tem-se a Figura 3 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
17
Figura 3 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear entre o momento de ineacutercia do sistema e o periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de comprimento 025m
Onde tem-se a=22469plusmn29 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=200 cm tem-se a Figura 4 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 4 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 020m de comprimento
18
Onde tem-se a=17613plusmn76 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=150 cm tem-se a Figura 5 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 5 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 015m de comprimento
Onde se tem a=13381plusmn44 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=100 cm tem-se a Figura 6 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
19
Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento
Onde tem-se a=8866plusmn71 ssup2kg-1m-sup2
Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L
e ajustando uma reta do
tipo
K=a 1L
(27)
E portanto
S= 2a
π R4 (28)
A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear
dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros
associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)
Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os
valores de K e seus erros associados
Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565
13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860
Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7
Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
13
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Para cada comprimento de fio dos quatro utilizados montaram-se
diferentes configuraccedilotildees de massa com os dois tamanhos de haste resultando
em diferentes momentos de ineacutercia Para cada comprimento (L) do fio usado no
moacutedulo de torccedilatildeo construiu-se uma tabela contendo o tempo de cinco
repeticcedilotildees cada uma com 10 oscilaccedilotildees para cada configuraccedilatildeo inercial e seu
momento de ineacutercia resultante Para isso desprezou-se a ineacutercia do fio e
considerou-se a trava auxiliar como um cilindro reto uniforme
A Tabela 1 apresenta os dados com o comprimento de fio de 25 cm o
periacuteodo meacutedio eacute obtido pela divisatildeo de tempo total por 10 (nuacutemero de
oscilaccedilotildees) e o erro do periacuteodo eacute representado pelo desvio-padratildeo apresentado
pelos dados experimentais
Tabela 1 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 25 cm
Haste 021 m Haste 011m
Massa (kg) 023568 028658 038681 023568 028658
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 7386 8109 9363 3741 4166
2 7294 8081 9379 3785 4150
3 7315 8084 9385 3753 4109
4 7314 8069 9379 3775 4122
5 7316 8037 9369 3738 4147
T (s) 7325 plusmn035 8076 plusmn026 937 plusmn009 37584 plusmn021 41388 plusmn023
Os valores determinados com o fio de 200 cm estatildeo dispostos na
Tabela 2
Tabela 2 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 20 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2559 3310 3631 5007 64972 2553 3312 3637 4988 64683 2550 3313 3625 4981 64814 2575 3353 3635 5025 6465
14
5 2562 3371 3644 4990 6494T (s) 256 plusmn010 333 plusmn028 363 plusmn007 500 plusmn018 648 plusmn015
Para o fio de comprimento igual a 150 cm os dados estatildeo descritos na
Tabela 3
Tabela 3 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 15 cm
Haste 011 m Haste 021m
Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2294 2910 3225 4379 5687
2 23 2925 3204 4378 5691
3 2294 2940 3194 4394 5697
4 2284 2934 3191 4375 5675
5 2282 2903 3194 4353 5687
T (s) 229 plusmn08 292 plusmn016 320 plusmn014 438 plusmn015 569 plusmn008
Para o fio de 100 cm tem-se a Tabela 4
Tabela 4 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 10 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646
T (s) 191 plusmn010 243 plusmn011 267 plusmn010 360 plusmn007 464 plusmn007
Calculou-se o momento de ineacutercia resultante de cada configuraccedilatildeo pela
Equaccedilatildeo (a) em anexo e seu erro segundo a Equaccedilatildeo (b) Os momentos de
ineacutercia e os periacuteodos ao quadrado com seus desvios calculados pela Equaccedilatildeo
(c) estatildeo nas Tabelas 5 6 7 e 8
15
Tabela 5 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 25 cm de comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 072 plusmn003 1712plusmn189
2 060 plusmn003 1413plusmn156
3 236 plusmn002 5365plusmn517
4 287 plusmn002 6522plusmn423
5 387 plusmn002 8789plusmn166
Tabela 6 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 20 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 655plusmn049
2 059 plusmn002 1110plusmn189
3 072 plusmn002 1318plusmn051
4 136 plusmn003 2490plusmn178
5 236 plusmn003 4200plusmn189
Tabela 7 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 15 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 525plusmn035
2 059 plusmn002 854plusmn092
3 072 plusmn002 1025plusmn089
4 136 plusmn003 1914plusmn129
5 236 plusmn003 3235plusmn092
Tabela 8 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 10 cm de
comprimento
16
OscilaccedilatildeoMomento de
Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 363plusmn037
2 059 plusmn002 590plusmn051
3 072 plusmn002 712plusmn052
4 136 plusmn003 1291plusmn052
5 236 plusmn003 2156plusmn061
Elevando a Equaccedilatildeo (23) ao quadrado temos
T 2=4 π2 IK
(24)
Construindo um graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de
ineacutercia de cada configuraccedilatildeo para cada um dos comprimentos (L) dos fios de
prova tem-se que
T 2=aI (25)
E portanto
K= 4π2
a (26)
Possibilitando determinar o valor do modulo de torccedilatildeo (K) para cada
comprimento de fio utilizado
Para o fio de comprimento L=250 cm tem-se a Figura 3 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
17
Figura 3 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear entre o momento de ineacutercia do sistema e o periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de comprimento 025m
Onde tem-se a=22469plusmn29 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=200 cm tem-se a Figura 4 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 4 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 020m de comprimento
18
Onde tem-se a=17613plusmn76 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=150 cm tem-se a Figura 5 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 5 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 015m de comprimento
Onde se tem a=13381plusmn44 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=100 cm tem-se a Figura 6 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
19
Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento
Onde tem-se a=8866plusmn71 ssup2kg-1m-sup2
Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L
e ajustando uma reta do
tipo
K=a 1L
(27)
E portanto
S= 2a
π R4 (28)
A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear
dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros
associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)
Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os
valores de K e seus erros associados
Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565
13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860
Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7
Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
14
5 2562 3371 3644 4990 6494T (s) 256 plusmn010 333 plusmn028 363 plusmn007 500 plusmn018 648 plusmn015
Para o fio de comprimento igual a 150 cm os dados estatildeo descritos na
Tabela 3
Tabela 3 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 15 cm
Haste 011 m Haste 021m
Massa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568
Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 2294 2910 3225 4379 5687
2 23 2925 3204 4378 5691
3 2294 2940 3194 4394 5697
4 2284 2934 3191 4375 5675
5 2282 2903 3194 4353 5687
T (s) 229 plusmn08 292 plusmn016 320 plusmn014 438 plusmn015 569 plusmn008
Para o fio de 100 cm tem-se a Tabela 4
Tabela 4 - Configuraccedilotildees de ineacutercia tempo de 10 oscilaccedilotildees e valor do periacuteodo de oscilaccedilatildeo com seu desvio para cada configuraccedilatildeo com o fio de 10 cm
Haste 011 m Haste 021mMassa (kg) 013542 023568 028657 013542 023568Oscilaccedilatildeo Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s)
1 1894 2437 2675 36 46372 1918 2412 2666 3587 46383 1906 2438 2681 3603 46414 191 2431 2662 3591 46535 1897 2432 2657 3588 4646
T (s) 191 plusmn010 243 plusmn011 267 plusmn010 360 plusmn007 464 plusmn007
Calculou-se o momento de ineacutercia resultante de cada configuraccedilatildeo pela
Equaccedilatildeo (a) em anexo e seu erro segundo a Equaccedilatildeo (b) Os momentos de
ineacutercia e os periacuteodos ao quadrado com seus desvios calculados pela Equaccedilatildeo
(c) estatildeo nas Tabelas 5 6 7 e 8
15
Tabela 5 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 25 cm de comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 072 plusmn003 1712plusmn189
2 060 plusmn003 1413plusmn156
3 236 plusmn002 5365plusmn517
4 287 plusmn002 6522plusmn423
5 387 plusmn002 8789plusmn166
Tabela 6 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 20 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 655plusmn049
2 059 plusmn002 1110plusmn189
3 072 plusmn002 1318plusmn051
4 136 plusmn003 2490plusmn178
5 236 plusmn003 4200plusmn189
Tabela 7 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 15 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 525plusmn035
2 059 plusmn002 854plusmn092
3 072 plusmn002 1025plusmn089
4 136 plusmn003 1914plusmn129
5 236 plusmn003 3235plusmn092
Tabela 8 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 10 cm de
comprimento
16
OscilaccedilatildeoMomento de
Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 363plusmn037
2 059 plusmn002 590plusmn051
3 072 plusmn002 712plusmn052
4 136 plusmn003 1291plusmn052
5 236 plusmn003 2156plusmn061
Elevando a Equaccedilatildeo (23) ao quadrado temos
T 2=4 π2 IK
(24)
Construindo um graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de
ineacutercia de cada configuraccedilatildeo para cada um dos comprimentos (L) dos fios de
prova tem-se que
T 2=aI (25)
E portanto
K= 4π2
a (26)
Possibilitando determinar o valor do modulo de torccedilatildeo (K) para cada
comprimento de fio utilizado
Para o fio de comprimento L=250 cm tem-se a Figura 3 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
17
Figura 3 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear entre o momento de ineacutercia do sistema e o periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de comprimento 025m
Onde tem-se a=22469plusmn29 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=200 cm tem-se a Figura 4 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 4 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 020m de comprimento
18
Onde tem-se a=17613plusmn76 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=150 cm tem-se a Figura 5 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 5 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 015m de comprimento
Onde se tem a=13381plusmn44 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=100 cm tem-se a Figura 6 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
19
Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento
Onde tem-se a=8866plusmn71 ssup2kg-1m-sup2
Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L
e ajustando uma reta do
tipo
K=a 1L
(27)
E portanto
S= 2a
π R4 (28)
A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear
dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros
associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)
Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os
valores de K e seus erros associados
Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565
13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860
Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7
Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
15
Tabela 5 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 25 cm de comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 072 plusmn003 1712plusmn189
2 060 plusmn003 1413plusmn156
3 236 plusmn002 5365plusmn517
4 287 plusmn002 6522plusmn423
5 387 plusmn002 8789plusmn166
Tabela 6 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 20 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 655plusmn049
2 059 plusmn002 1110plusmn189
3 072 plusmn002 1318plusmn051
4 136 plusmn003 2490plusmn178
5 236 plusmn003 4200plusmn189
Tabela 7 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 15 cm de
comprimento
Oscilaccedilatildeo Momento de Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 525plusmn035
2 059 plusmn002 854plusmn092
3 072 plusmn002 1025plusmn089
4 136 plusmn003 1914plusmn129
5 236 plusmn003 3235plusmn092
Tabela 8 - Momento inercial resultante para cada configuraccedilatildeo de massas e
haste periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado e seu desvio para o fio de 10 cm de
comprimento
16
OscilaccedilatildeoMomento de
Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 363plusmn037
2 059 plusmn002 590plusmn051
3 072 plusmn002 712plusmn052
4 136 plusmn003 1291plusmn052
5 236 plusmn003 2156plusmn061
Elevando a Equaccedilatildeo (23) ao quadrado temos
T 2=4 π2 IK
(24)
Construindo um graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de
ineacutercia de cada configuraccedilatildeo para cada um dos comprimentos (L) dos fios de
prova tem-se que
T 2=aI (25)
E portanto
K= 4π2
a (26)
Possibilitando determinar o valor do modulo de torccedilatildeo (K) para cada
comprimento de fio utilizado
Para o fio de comprimento L=250 cm tem-se a Figura 3 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
17
Figura 3 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear entre o momento de ineacutercia do sistema e o periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de comprimento 025m
Onde tem-se a=22469plusmn29 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=200 cm tem-se a Figura 4 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 4 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 020m de comprimento
18
Onde tem-se a=17613plusmn76 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=150 cm tem-se a Figura 5 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 5 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 015m de comprimento
Onde se tem a=13381plusmn44 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=100 cm tem-se a Figura 6 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
19
Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento
Onde tem-se a=8866plusmn71 ssup2kg-1m-sup2
Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L
e ajustando uma reta do
tipo
K=a 1L
(27)
E portanto
S= 2a
π R4 (28)
A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear
dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros
associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)
Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os
valores de K e seus erros associados
Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565
13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860
Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7
Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
16
OscilaccedilatildeoMomento de
Ineacutercia(middot10-3 (kgmiddotm2))
T2 (s2)
1 034 plusmn002 363plusmn037
2 059 plusmn002 590plusmn051
3 072 plusmn002 712plusmn052
4 136 plusmn003 1291plusmn052
5 236 plusmn003 2156plusmn061
Elevando a Equaccedilatildeo (23) ao quadrado temos
T 2=4 π2 IK
(24)
Construindo um graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de
ineacutercia de cada configuraccedilatildeo para cada um dos comprimentos (L) dos fios de
prova tem-se que
T 2=aI (25)
E portanto
K= 4π2
a (26)
Possibilitando determinar o valor do modulo de torccedilatildeo (K) para cada
comprimento de fio utilizado
Para o fio de comprimento L=250 cm tem-se a Figura 3 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
17
Figura 3 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear entre o momento de ineacutercia do sistema e o periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de comprimento 025m
Onde tem-se a=22469plusmn29 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=200 cm tem-se a Figura 4 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 4 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 020m de comprimento
18
Onde tem-se a=17613plusmn76 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=150 cm tem-se a Figura 5 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 5 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 015m de comprimento
Onde se tem a=13381plusmn44 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=100 cm tem-se a Figura 6 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
19
Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento
Onde tem-se a=8866plusmn71 ssup2kg-1m-sup2
Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L
e ajustando uma reta do
tipo
K=a 1L
(27)
E portanto
S= 2a
π R4 (28)
A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear
dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros
associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)
Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os
valores de K e seus erros associados
Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565
13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860
Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7
Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
17
Figura 3 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear entre o momento de ineacutercia do sistema e o periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de comprimento 025m
Onde tem-se a=22469plusmn29 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=200 cm tem-se a Figura 4 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 4 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 020m de comprimento
18
Onde tem-se a=17613plusmn76 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=150 cm tem-se a Figura 5 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 5 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 015m de comprimento
Onde se tem a=13381plusmn44 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=100 cm tem-se a Figura 6 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
19
Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento
Onde tem-se a=8866plusmn71 ssup2kg-1m-sup2
Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L
e ajustando uma reta do
tipo
K=a 1L
(27)
E portanto
S= 2a
π R4 (28)
A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear
dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros
associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)
Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os
valores de K e seus erros associados
Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565
13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860
Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7
Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
18
Onde tem-se a=17613plusmn76 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=150 cm tem-se a Figura 5 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
Figura 5 - Graacutefico do comportamento linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 015m de comprimento
Onde se tem a=13381plusmn44 ssup2kg-1m-sup2
Para o fio de comprimento L=100 cm tem-se a Figura 6 o graacutefico do periacuteodo ao quadrado versus o momento de ineacutercia e a reta ajustada ao mesmo
19
Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento
Onde tem-se a=8866plusmn71 ssup2kg-1m-sup2
Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L
e ajustando uma reta do
tipo
K=a 1L
(27)
E portanto
S= 2a
π R4 (28)
A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear
dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros
associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)
Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os
valores de K e seus erros associados
Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565
13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860
Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7
Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
19
Figura 6 - Graacutefico da relaccedilatildeo linear do momento de ineacutercia do sistema pelo periacuteodo de oscilaccedilatildeo ao quadrado para o fio de 010m de comprimento
Onde tem-se a=8866plusmn71 ssup2kg-1m-sup2
Fazendo o graacutefico dos valores de K versus 1L
e ajustando uma reta do
tipo
K=a 1L
(27)
E portanto
S= 2a
π R4 (28)
A Tabela 9 expressa os coeficientes angulares obtido no ajuste linear
dos graacuteficos das Figuras 3 4 5 e 6 e os valores de K e seus erros
associados determinados a partir da Equaccedilatildeo (26) e da Equaccedilatildeo (d)
Tabela 9 ndash coeficientes angulares do ajuste linear das Figuras 3 4 5 e 6 os
valores de K e seus erros associados
Coeficiente angular (g-1cm-2s2) (106) K (gcm-sup2s2)8866 plusmn 71 445278 plusmn 3565
13381 plusmn 44 295033 plusmn 970117613 plusmn 76 224143 plusmn 967122469 plusmn 11 175701 plusmn 0860
Construiu-se a partir dos dados de K da Tabela 8 o graacutefico da Figura 7
Figura 8 Comportamento linear entre o valor do moacutedulo de torccedilatildeo (K) e o inverso do comprimento de cada fio
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
20
Pode-se calcular a tensatildeo de cisalhamento S pelo ajuste linear do
graacutefico tem-se o coeficiente angular
a=45131plusmn754 g cm3 sminus2
Encontrou-se o valor do moacutedulo de cisalhamento (S) atraveacutes da
Equaccedilatildeo 28 e o erro propagado nesse caacutelculo atraveacutes da Equaccedilatildeo (e)
Calculando o moacutedulo de cisalhamento S tem-se
S=1121times1011plusmn1873times109g cmminus1 sminus2
ou
S=1121times1010plusmn1873times108 kg mminus1 sminus2
41 DISCUSSAtildeO
004 005 006 007 008 009 0101500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Linear RegressionY = 45131(754)X - 48(30)
Parameter Value Error A -48087 30508 B 4513191 75476----------------------------------------------- R SD N P099972 253904 4 279561E-4
K (
gcm
2 s-2)
1L (cm-1)
Dados experimentais Ajuste Linear
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
23
6 REFEREcircNICAS BIBLIOGRAacuteFICAS
QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
21
Com os experimentos pocircde-se observar que o momento inercial do
sistema aumenta o periacuteodo de oscilaccedilatildeo pela anaacutelise coeficientes das retas dos
graacuteficos do periacuteodo ao quadrado pelo momento de ineacutercia que satildeo todos
positivos Isso porque como o movimento realizado pelo fio era um movimento
oscilatoacuterio expresso em termos de uma EDO onde tecircm-se que o periacuteodo
(Equaccedilatildeo 23) eacute diretamente proporcional ao momento de ineacutercia sendo assim
quando se aumenta a massa do sistema a partir dos pesos ocorre o aumento
tanto do momento de ineacutercia como do periacuteodo de oscilaccedilatildeo
Outra caracteriacutestica do sistema que se pode observar eacute o aumento dos
periacuteodos de oscilaccedilatildeo com o aumento no comprimento do fio utilizado jaacute que
haacute o aumento do momento inercial conforme o aumento do comprimento
A imposiccedilatildeo de tensotildees de torccedilatildeo induz a um comportamento elaacutestico
esse comportamento pode ser explicado pela Lei de Hooke e de Newton O
moacutedulo de cisalhamento representa uma proporccedilatildeo entre a tensatildeo aplicada e a
deformaccedilatildeo de cisalhamento o valor desse moacutedulo realmente apresenta-se
muito alto e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em
que eacute submetido
Em consulta bibliograacutefica observou-se que o valor da tensatildeo de
cisalhamento determinada nos experimentos (S=1121times1010kg mminus1 sminus2) era
bastante proacutexima a tensatildeo de cisalhamento da liga metaacutelica do accedilo carbono
(aproximadamente 8times109N mminus1)
22
5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
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QUINtildeONES E R F Apostila da Aula Praacutetica IV ToledoPR ndash 2013
HALLIDAY D RESNICK R WALKER J 2002 Fundamentos de Fiacutesica 6a
Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
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7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
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5 CONCLUSAtildeO
A partir do meacutetodo praacutetico aplicado verificou-se a utilizaccedilatildeo do
movimento oscilatoacuterio para a determinaccedilatildeo de paracircmetros fiacutesicos importantes
como o moacutedulo de torccedilatildeo de fios no caso fios com quatro comprimentos
diferentes Verificou-se que o periacuteodo eacute independente do acircngulo de
lanccedilamento desde que esse acircngulo seja pequeno natildeo deformando o fio
(movimento inelaacutestico)
Enfim considerando a angulaccedilatildeo (70deg) constante para os quatro fios
concluiacute-se que o modulo de torccedilatildeo decresce com o aumento do comprimento
do fio Isto devido a relaccedilatildeo que com o aumento do comprimento do fio
cresceraacute tambeacutem o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do sistema de massa montado
Portanto atraveacutes do periacuteodo de um pecircndulo de torccedilatildeo foi possiacutevel
calcular o seu moacutedulo de cisalhamento e que atraveacutes desse dado foi possiacutevel
comparar com a literatura e descobrir qual o material que eacute feito o fio que
neste caso foi o accedilo carbono
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Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
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7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
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Ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Vol2
24
7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)
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7 ANEXOS
I=12M cRc
2+ 112M v L
2+M t r2 (a)
Onde Mc eacute a massa do cilindro Rc eacute o raio do cilindro Mv eacute a massa da haste
L eacute o comprimento da haste Mt eacute a massa total do jogo de pesos e r o
comprimento do braccedilo da haste
∆ I=12Rc
2∆M c+RcM c∆ Rc+112L2∆M v+
16LM v∆ L+r
2∆M t+2M t r ∆ r (b)
∆T sup2=2∙ T ∙∆T iquest (c)
∆ K=4 π2∆aa2
(d)
∆ S=2∆bπ R4
(e)