1

Διαγώνισμα στη Φυσική Γ Λυκείου Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών

Σάββατο 4 Νοεμβρίου 2017

Στις ερωτήσεις Α1 – Α4 να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

A1. Στο παρακάτω σχήμα, παριστάνεται το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος που διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου το οποίο ταυτίζεται με τον άξονα xΌx, τη χρονική στιγμή t.

Αν η φάση ταλάντωσης του σημείου Ζ είναι ίση με φΖ=9π rad, το κύμα διαδίδεται:

α. προς τα θετικά

β. προς τα αρνητικά

γ. τίποτα από τα δύο

δ. τα στοιχεία που δίνονται δεν επαρκούν για να δοθεί απάντηση.

μονάδες 5

Επειδή γνωρίζουμε τη φάση ταλάντωσης του σημείου Ζ, διαπιστώνουμε ότι η απομάκρυνσή του είναι ίση με μηδέν.

2

και η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου είναι:

Δηλαδή το σημείο Ζ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τα αρνητικά της ταλάντωσής του.

Αν υποθέσουμε ότι το κύμα διαδίδεται προς τα θετικά του άξονα x’Ox όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί:

Το σημείο Ζ θα κινείται προς τα πάνω , δηλαδή προς τα θετικά του άξονα της ταλάντωσης.

Ενώ, στο επόμενο στιγμιότυπο, φαίνεται ότι το σημείο Ζ κινείται προς τα κάτω, δηλαδή προς τα αρνητικά!

yZ = AηµϕΖϕΖ =13π⎯ →⎯⎯ yZ = Aηµ 13π( )⇔ yZ =0

uZ =ωΑσυνϕΖ =ωΑσυν 13π( )⇔uZ = −ωΑ <0

3

A2. Η συχνότητα ταλάντωσης μιας πηγής, που παράγει εγκάρσιο κύμα σε ελαστικό μέσο, διπλασιάζεται χωρίς να μεταβληθεί το πλάτος της ταλάντωσης. Τότε:

α. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος διπλασιάζεται.

β. Το μήκος κύματος του αρμονικού κύματος διπλασιάζεται.

γ. Το μήκος κύματος του αρμονικού κύματος υποδιπλασιάζεται.

δ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός σημείου του ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα διπλασιάζεται.

μονάδες 5

Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, εξαρτάται μόνο από τις ιδιότητες του μέσου, επομένως, η μεταβολή της συχνότητας θα προκαλέσει μεταβολή στο μήκος του κύματος (αντιστρόφως ανάλογα ποσά). Οπότε, αν η συχνότητα διπλασιαστεί, τότε υποδιπλασιάζεται το μήκος του κύματος.

A3. Αν η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος περιγράφεται από την εξίσωση y=0,5ηµ5π(2t-x) στο S.I., τότε η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι ίση µε:

α. 0,5m/s

β. 4m/s

γ. 3m/s

δ. 2m/s.

μονάδες 5

Από την εξίσωση του κύματος, που γνωρίζουμε:

και την εξίσωση που δίνεται:

Προκύπτει ότι:

y = Aηµ2π ft − xλ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⇔ y = Aηµ 2π ft − 2π x

λ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y =0 ,5ηµ5π 2t − x( )⇔ y =0 ,5ηµ 10πt −5π x( ) ( S .I .)

2π ft =10πt⇔ 2 f =10⇔ f = 5Hz2π xλ

= 5π x⇔ 2λ= 5⇔ λ =0 ,4m

4

Οπότε η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, με τη βοήθεια της Θεμελιώδους Εξίσωσης της Κυματικής προκλύπτει:

A4. Αρμονικό εγκάρσιο κύμα διαδίδεται πάνω στην επιφάνεια υγρού, αναγκάζοντας τα σημεία του μέσου να εκτελούν ταλάντωση με μέγιστη ταχύτητα μέτρου umax. Αν το μήκος του κύματος διπλασιαστεί το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης των υλικών σημείων του μέσου:

α. παραμένει ίδιο

β. υποδιπλασιάζεται

γ. διπλασιάζεται

δ. τετραπλασιάζεται

μονάδες 5

Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, εξαρτάται μόνο από τις ιδιότητες του μέσου, επομένως, η μεταβολή του μήκους κύματος θα προκαλέσει μεταβολή στη συχνότητα του κύματος (αντιστρόφως ανάλογα ποσά). Οπότε, αν η το μήκος του κύματος διπλασιαστεί, τότε υποδιπλασιάζεται η συχνότητα: Οπότε, αν η μέγιστη αρχική ταχύτητα ταλάντωσης είναι:

Μετά τον υποδιπλασιασμό της συχνότητας:

Οπότε:

A5. Στην παρακάτω ερώτηση 5 να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράµµα τη λέξη Σωστό για τη σωστή πρόταση και τη λέξη Λάθος για τη λανθασμένη.

α. Τα εγκάρσια κύματα διαδίδονται και στα αέρια.

β. Η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος είναι ανάλογη της συχνότητας της πηγής.

γ. Στη διεύθυνση διάδοσης ενός αρμονικού κύματος κάποια σημεία του ελαστικού μέσου παραμένουν συνεχώς ακίνητα.

δ. Αν η φάση ταλάντωσης, ενός σημείου του μέσου διάδοσης ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος είναι αρνητική, τότε το κύμα δεν έχει φτάσει ακόμα στο σημείο αυτό.

uδ = λ f ⇔ uδ = 2m / s

umax =ωA= 2π f ⋅A (1)

u'max =ω ' A= 2π f '⋅A= 2πf2⋅A ( 2 )

u'max =umax2

5

ε. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με άξονα x’Ox. Αν η φάση ταλάντωσης δύο σημείων Κ και Λ της ευθείας είναι φΚ=12π rad και φΛ=14π/2 rad αντίστοιχα, το κύμα διαδίδεται από το Κ προς το Λ.

μονάδες 5

α. Λ βλ. θεωρία, σελ. 45

β. Λ βλ. θεωρία, σελ. 45

γ. Λ βλ. θεωρία, σελ. 47

δ. Σ Η φάση παίρνει τιμές φ≥0, όταν φ=0 αρχίζει η ταλάντωση του σημείου και από τη στιγμή αυτή και έπειτα συνεχώς αυξάνεται. προφανώς, αν φ<0, το σημείο αυτό δεν εκτελεί ταλάντωση!

ε. Σ Κατά τη φορά που διαδίδεται ένα κύμα, τα διάφορα σημεία του άξονα διάδοσης του κύματος έχουν φάσεις ταλάντωσης που συνεχώς μειώνονται. Προφανώς, αφού η φάση ταλάντωσης φκ>φΛ, το σημείο κ έχει αρχίσει να εκτελεί ταλάντωση, νωρίτερα από το σημείο Λ, οπότε το κύμα διαδίδεται από το Κ προς το Λ!

B1. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα πλάτους Α διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με άξονα x’Ox προς τα θετικά του. Το υλικό σημείο Ο που βρίσκεται στην αρχή του άξονα ξεκινά να εκτελεί ταλάντωση τη χρονική στιγμή t=0 κινούμενο προς τη θέση της μέγιστης θετικής του απομάκρυνσης. Δύο σημεία του ελαστικού μέσου Κ και Λ με τετμημένες xΚ=+λ/2 και xΛ=+7λ/4 αντίστοιχα, έχουν αρχίσει να εκτελούν ταλάντωση. Κάποια χρονική στιγμή που το σημείο Λ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τα θετικά του άξονα της ταλάντωσής του, η επιτάχυνση της ταλάντωσης του σημείου Κ είναι ίση με:

α. μηδέν

β. α=-ω2Α

γ. α=+ω2Α

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

μονάδες 2+6=8

6

Η απόσταση των τετμημένων των δύο σημείων είναι:

Τα δύο σημεία Κ και Λ, φαίνονται στο στιγμιότυπο που ακολουθεί. Το σημείο Λ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τα πάνω (θετικά), οπότε το σημείο Κ βρίσκεται στην ακραία θέση της ταλάντωσής του yK=+A. Οπότε, η επιτάχυνσή του είναι:

B2. Αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου Οx με σταθερή ταχύτητα. Το υλικό σημείο Ο που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων (x=0) εκτελεί ταλάντωση σύμφωνα με την εξίσωση y=Aημωt. Τη χρονική στιγμή που το σημείο Ο αποκτά τη μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσής του για τρίτη φορά μετά την έναρξη της ταλάντωσής του, τα σημεία του ελαστικού μέσου που εκτελούν ταλάντωση με τη μέγιστη κινητική τους ενέργεια είναι:

α. 3

β. 5

γ. 6

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

μονάδες 2+6=8

Δx = xΛ − xK =7λ4

− λ2⇔ Δx = 5λ

4

ακ = −ω2Αηµ 2π ft −

xKλ

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⇔ακ = −ω

2 yK ⇔ ακ = −ω2A

7

Αρκεί, να σχεδιάσουμε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t που το σημείο Ο αποκτά για 3η φορά τη μέγιστη δυναμική ενέργεια. Προφανώς τη στιγμή αυτή θα βρίσκεται στην ακραία θέση y=+A, για 2η φορά! H χρονική στιγμή είναι ίση με t=5T/4. Οπότε, τη στιγμή αυτή το κύμα έχει διαδοθεί μέχρι το σημείο x=5λ/4 του θετικού ημιάξονα, όπως φαίνεται στο στιγμιότυπο:

Οπότε, τα σημεία του θετικού ημιάξονα που διέρχονται από τη θέση ισορροπίας τους είναι 3 και βρίσκονται στις θέσεις λ/4, 3λ/4 και 5λ/4.

Β3. Το άκρο Ο ενός γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, που εκτείνεται κατά στη διεύθυνση του ημιάξονα Οx, εκτελεί ταλάντωση σύμφωνα με την εξίσωση: y=0,2ημ5πt (S.I). Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι υδ=1m/s. Η ταχύτητα ταλάντωσης του ενός σημείου Ζ(x=+0,8m) του μέσου, τις χρονικές στιγμές t1=0,6s και t2=0,9s έχει τιμές, αντίστοιχα:

α. υ1=-π m/s και υ2=π m/s.

β. υ1=0 m/s και υ2=1π m/s

γ. υ1=0 και υ2=0

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

μονάδες 2+7=9

Αρκεί, να κατασκευάσουμε τη χρονική εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Ζ. Υπολογίζουμε τη συχνότητα f και το μήκος του κύματος του κύματος:

ω = 5π ⇔ 2π f = 5π ⇔ f = 2 ,5Hz

8

Οπότε η χρονική εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Ζ(x=+0,8m) περιγράφεται από τη σχέση:

Δηλαδή:

Για t1=0,6s το κύμα δεν έχει φτάσει στο σημείο Ζ, επομένως η ταχύτητά του θα είναι ίση με μηδέν, u1=0.

Για t2=0,95s > 0,8s, αντικαθιστώνατς στην παραπάνω εξίωση:

Δηλαδή, το σημείο βρίσκεται σε ακραία θέση της ταλάντωσής του, οπότε η ταχύτητά του είναι ίση με μηδέν.

Γραμμικό ομογενές ελαστικό μέσο εκτείνεται κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Οx ενός συστήματος συντεταγμένων. Τη χρονική στιγμή t=0 το άκρο Ο(x=0) του ελαστικού μέσου αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση εξίσωσης απομάκρυνσης y=0,2ημωt (S.I.), με αποτέλεσμα, τη χωρίς απώλειες ενέργειας, διάδοση στο ελαστικό μέσο ημιτονοειδούς εγκάρσιου κύματος. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της φάσης των σημείων του κύματος σε συνάρτηση με την απόσταση x από το άκρο Ο, τη χρονική στιγμή t=0,4s. Να υπολογίσετε:

Γ1. Το μήκος λ, τη συχνότητα f και την ταχύτητα διάδοσης uδ του κύματος στο ελαστικό μέσο και να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

Γ2. Τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης, ενός υλικού σημείου του ελαστικού μέσου μάζας m=10-4kg, τη χρονική στιγμή που η ταχύτητα ταλάντωσής του έχει μέτρο u=umax/2, όπου umax η μέγιστη ταχύτατα της ταλάντωσής του.

uδ = λ f ⇔ λ =uδf⇔ λ =0 ,4m

uZ =ωΑσυν2π ft −xZλ

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟xZ=0 ,8m⎯ →⎯⎯ uZ =π ⋅συν2π 2 ,5t − 2( )( S .I .) t ≥0 ,8s

uZ =π ⋅συν2π 2 ,5t2 − 2( )=π ⋅συν2π 2 ,25 − 2( )=π ⋅συν π2⇔uZ =0

9

Γ3. Για ένα σημείο Κ(xΚ=1,2m) γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας του και να σχεδιάσετε το αντίστοιχο διάγραμμα σε βαθμολογημένους άξονες. Να υπολογίσετε, τη χρονική στιγμή t που μηδενίζεται η ταχύτητά του για δεύτερη φορά.

Γ4. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σημείου Κ τη χρονικές στιγμές t1=0,4s και t2=0,75s.

Στις πράξεις σας να θεωρήσετε το π2 = 10.

μονάδες 6+6+7+6=25

Γ1. Σύμφωνα με τα δεδομένα μας, η εξίσωση του κύματος περιγράφεται από την εξίσωσης της μορφής:

Η φάση του κύματος δίνεται από τη σχέση:

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση της φάσης τη χρονική στιγμή t=0,4s καταλήγουμε στη σχέση της οποίας ανήκει το διάγραμμα:

Οπότε, υπολογίζουμε τη συχνότητα f:

και την περίοδο Τ:

Η ταχύτητα διάδοσης uδ του κύματος υπολογίζεται από τη Θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής:

y = Aηµ2π ft − xλ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ϕ = 2π ft − xλ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ϕ = 2π f ⋅0 ,4− xλ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟(1)

x =0 (1)⎯ →⎯ ϕ = 4π rad⇔ 4π = 2π f ⋅0 ,4( )⇔ 2 = f ⋅0 ,4⇔ f = 5Hz

Τ = 1f⇔T = 1

5s⇔ T =0 ,2s

ϕ =0 (1)⎯ →⎯ x =0 ,8m⇔0 = 2π 5 ⋅0 ,4− 0 ,8λ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⇔ 5 ⋅0 ,4− 0 ,8

λ=0⇔ 5 ⋅0 ,4 = 0 ,8

λ⇔

5 = 2λ⇔ λ = 2

5⇔ λ =0 ,4m

uδ = λ f ⇔uδ =0 ,4 ⋅5⇔ uδ = 2m / s

10

Οπότε η εξίσωση του κύματος περιγράφεται από τη σχέση:

Γ2. Η σταθερά επαναφοράς D της ταλάντωσης του υλικού σημείου υπολογίζεται από τη σχέση:

όπου

οπότε

Η ολική ενέργεια (μηχανική) της ταλάντωσης του υλικού σημείου είναι:

και η κινητική του ενέργεια είναι:

οπότε, από την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας Ταλάντωσης:

Γ3. Για το σημείο Κ, αντικαθιστούμε την τετμημένη του x=1,2m στην εξίσωση του κύματος, οπότε προκύπτει η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας του:

Παρατηρούμε ότι στην παραπάνω εξίσωση οι τιμές του χρόνου πρέπει να είναι τουλάχιστον ίσες με t=0,6s, αφού τη στιγμή αυτή αρχίζει η ταλάντωσή του!

y =0 ,2ηµ2π 5t − 2 ,5x( ) ( S .I .)

D=mω 2

ω = 2π f ⇔ω =10π r / s

D=mω 2 ⇔D=10−4 ⋅100 ⋅π 2 ⇔D=0 ,1Ν / m

Ε = 12DA2 ⇔ E = 1

20 ,1⋅0 ,04⇔ E = 2 ⋅10−3 J

K = 12mu2 = 1

2m

umax2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

= 12mumax

2

4= 14⋅ 12mumax

2 ⇔ K = E4

E = K +U⇔U = E −K⇔U = E − E4⇔U = 3E

4⇔ U =1,5 ⋅10−3 J

yΚ =0 ,2ηµ2π 5t − 3( )( S .I .) t ≥0 ,6s

11

Από το παραπάνω διάγραμμα yK=f(t), παρατηρούμε ότι η χρονική στιγμή t που για δεύτερη φορά μηδενίζεται η ταχύτητα του υλικού σημείου Κ είναι όταν θα βρίσκεται για πρώτη φορά στην ακραία θέση y=-A της ταλάντωσής του, δηλαδή:

Διαφορετικά, αντικαθιστούμε στη χρονική εξίσωση απομάκρυνσης του σημείου Κ όπου y=-A, οπότε:

Γ4. Η χρονική εξίσωση της επιτάχυνσης του σημείου Κ περιγράφεται από τη σχέση:

Για t=0,4s < 0,6s, το κύμα δεν έχει φτάσει ακόμα στο σημείο Κ, οπότε η

επιτάχυνσή του είναι ίση με μηδέν. Για t=0,75s:

t =0 ,6+ 3T4

=0 ,6+0 ,75 ⋅0 ,2 =0 ,6+0 ,15⇔ t =0 ,75s

yΚ =0 ,2ηµ2π 5t − 3( ) yΚ =−0 ,2m⎯ →⎯⎯⎯ −0 ,2 =0 ,2ηµ2π 5t − 3( )⇔ηµ2π 5t − 3( )= −1⇔

ηµ2π 5t − 3( )=ηµ 3π2 ⇔ 2π 5t − 3( )= 2κπ + 3π2

1ηϕορακ=0⎯ →⎯⎯ 2π 5t − 3( )= 3π2 ⇔

2 5t − 3( )= 32⇔ 5t − 3 = 34⇔ 5t = 3+0 ,75⇔ 5t = 3 ,75⇔ t =0 ,75s

αΚ = −ω 2Αηµ2π 5t − 3( )⇔αΚ = −100 ⋅π 2 ⋅0 ,2 ⋅ηµ2π 5t − 3( )⇔αΚ = −200 ⋅ηµ2π 5t − 3( )( S .I .)

αΚ = −200 ⋅ηµ2π 5t − 3( ) t=0 ,75 s⎯ →⎯⎯ αΚ = −200 ⋅ηµ2π 5 ⋅0 ,75 − 3( )⇔

12

Διαφορετικά, αφού:

Οπότε, τη χρονική στιγμή t=0,75s το υλικό σημείο Κ βρίσκεται στην ακραία θέση της ταλάντωσής του yK=-A, επομένως:

Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με τον ημιάξονα Ox προς τα θετικά, με σταθερή ταχύτητα διάδοσης υδ=2m/s. Το σημείο O(x=0) που βρίσκεται στην αρχή του ελαστικού μέσου αρχίζει να εκτελεί ταλάντωση τη χρονική στιγμή t=0 από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο με ταχύτητα που έχει φορά προς τα θετικά του άξονα της ταλάντωσης. Για να μεταβεί ένα υλικό σημείο του μέσου, από τη μία ακραία θέση της ταλάντωσής του στην άλλη διανύει απόσταση d=0,8m, ενώ διέρχεται 40 φορές από τη θέση ισορροπίας του σε χρονικό διάστημα 2s.

Δ1. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

Δ2. Για δύο σημεία Κ και Λ του ελαστικού μέσου που βρίσκονται στις θέσεις x1=+0,4m και x2=+0,75m αντίστοιχα, να σχεδιάσετε σε κοινό διάγραμμα τις γραφικές παραστάσεις των φάσεων της ταλάντωσής τους σε συνάρτηση με το χρόνο φ=f(t).

Δ3. Αν κάποια χρονική στιγμή το σημείο Κ βρίσκεται σε απομάκρυνση y=+A να υπολογίσετε την ίδια στιγμή, την απομάκρυνση του σημείου Λ από τη θέση ισορροπίας του yΛ και την ταχύτητα υΛ της ταλάντωσής του.

Δ4. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=0,375 s και να βρείτε τον αριθμό των σημείων του ελαστικού μέσου του θετικού ημιάξονα Οx των οποίων η κινητική ενέργεια είναι τριπλάσια της δυναμικής τους ενέργειας ταλάντωσης, τα σημαία αυτά να έχουν απομάκρυνση y<0 και να κινούνται προς τη θετική φορά της ταλάντωσής τους.

Στις πράξεις σας να θεωρήσετε το π2 = 10.

μονάδες 6+6+6+7=25

αΚ = −200 ⋅ηµ2π 3 ,75 − 3( )= −200 ⋅ηµ2π 0 ,75( )= −200 ⋅ηµ 3π2 ⇔

αΚ = −200 ⋅(−1)⇔ αΚ = +200m / s2

αΚ = −ω 2 Αηµ2π 5t − 3( ){ }⇔αΚ = −ω 2 yK

αΚ = −ω 2 yK ⇔−100 ⋅π 2 ⋅(−0 ,2 )⇔ αΚ = +200m / s2

13

Δ1. Σύμφωνα με τα δεδομένα μας, η εξίσωση του κύματος περιγράφεται από την εξίσωσης της μορφής:

Η απόσταση d=0,8m που διανύει ένα υλικό σημείο του μέσου από την μια ακραία θέση της ταλάντωσής του στην άλλη, αντιστοιχεί σε απόσταση διπλάσια του πλάτους Α της ταλάντωσης, οπότε:

Κατά τη διάρκεια μιας ταλάντωσης, κάθε υλικό σημείο διέρχεται 2 φορές από τη θέση ισορροπίας του, οπότε ο αριθμός Ν των ταλαντώσεων, είναι ο μισός του αριθμού διελεύσεων (40) από τη θέση ισορροπίας του. Οπότε η συχνότητα της ταλάντωσης f είναι ίση με:

Το μήκος λ του κύματος, υπολογίζεται από τη Θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής:

Οπότε η εξίσωση του κύματος περιγράφεται από τη σχέση:

Δ2. Η φάση του κύματος, περιγράφεται από τη σχέση:

Για το σημείο Κ(x=0,4m):

Για το σημείο Λ(x=0,75m):

y = Aηµ2π ft − xλ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

d = 2A⇔0 ,8 = 2A⇔ A=0 ,4m

f = NΔt

= 202

⇔ f =10Hz

uδ = λ f ⇔ λ =uδf⇔ λ = 2

10⇔ λ =0 ,2m

y =0 ,4ηµ2π 10t −5x( ) ( S .I .)

ϕ = 2π 10t −5x( )( S .I .)

K( x =0 ,4m)→ϕΚ = 2π 10t − 2( )( S .I .) t =0 : ϕΚ = −4π r

ϕΚ =0 : t =0 ,2s

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

Λ( x =0 ,75m)→ϕΛ = 2π 10t − 3 ,75( )( S .I .) t =0 : ϕΛ = −7 ,5π r

ϕΛ =0 : t =0 ,375s

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

14

Επομένως οι γραφικές παραστάσεις του φαίνονται στο διάγραμμα που ακολουθεί:

Δ3. Τα δύο σημεία Κ και Λ απέχουν μεταξύ τους απόσταση Δx=xΛ-xΚ=0,35m δηλαδή:

Στο στιγμιότυπο, του σχήματος, έχουμε σημειώσει τις θέσεις των δύο σημείων:

Δxλ

= 0 ,350 ,2

=1,75⇔ Δx =1,75λ

15

και παρατηρούμε ότι τη στιγμή που το σημείο Κ βρίσκεται στην ακραία θέση της ταλάντωσής του yK=0, το σημείο Λ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του yΛ=0 κινούμενο προς τα κάτω δηλαδή προς την αρνητική φορά του άξονα της ταλάντωσής του, οπότε η ταχύτητά του είναι:

Διαφορετικά:

Υπολογίζουμε τη διαφορά φάσης ΔφΚΛ των σημείων Κ και Λ:

Η διαφορά φάσης δύο σημείων που βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία διάδοσης ενός κύματος και απέχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με λ είναι ίση με 2π, ενώ όταν απέχουν Δx η διαφορά φάσης τους είναι Δφ.

Για το σημείο Κ:

Από (1) και (2):

Οπότε για το σημείο Λ:

Δ4. Αντικαθιστούμε τη χρονική στιγμή t=0,375s στην εξίσωση του κύματος και προκύπτει η εξίσωση:

uΛ = −ωΑ = −20π ⋅0 ,4⇔ uΛ = −8π m/ s

ΔϕΚΛ = 2πΔxλ

= 2π 0 ,350 ,2

⇔ ΔϕΚΛ = 3 ,5π r⇔ϕΚ −ϕΛ = 3 ,5π r (1)

yK = AηµϕΚyK =+Α⎯ →⎯⎯ A= AηµϕΚ ⇔ηµϕΚ =1⇔ηµϕΚ =ηµπ

2

ϕκ = 2κπ + π2

( 2 )

ϕΛ =ϕκ − 3 ,5π ⇔ϕΛ = 2κπ + π2− 3 ,5π ⇔ϕΛ = 2κπ + π

2− 3 ,5π ⇔ϕΛ = 2κ +1( )π ( 3 )

yΛ = AηµϕΛϕΛ= 2κ+1( )π⎯ →⎯⎯⎯ yΛ = Aηµ 2κ +1( )π ⇔ yΛ =0

uΛ =ωAσυνϕΛϕΛ= 2κ+1( )π⎯ →⎯⎯⎯ uΛ =ωAσυν 2κ +1( )π ⇔

uΛ = −ωA⇔ uΛ = −8π m/ s

y =0 ,4ηµ2π 10t −5x( ) t=0 ,375 s⎯ →⎯⎯ y =0 ,4ηµ2π 3 ,75 −5x( )( S .I .)

16

Το σημείο το οποίο που αρχίζει να εκτελεί ταλάντωση τη χρονική στιγμή t=0,375s βρίσκεται στη θέση:

Όμως

Οπότε προκύπτει το στιγμιότυπο που ακολουθεί:

Επειδή, η κινητική ενέργεια Κ είναι τριπλάσια της δυναμικής τους ενέργειας U ταλάντωσης, με τη βοήθεια της Αρχής Διατήρησης της Ενέργειας Ταλάντωσης, προκύπτει ότι:

όμως, θέλουμε τα σημεία που έχουν y<0, δηλαδή y=-A/2 και κινούνται προς τα θετικά του άξονα της ταλάντωσης, δηλαδή προς τα πάνω. Επομένως τα σημεία αυτά είναι 3, όπως φαίνονται και στο στιγμιότυπο. Στο παρακάτω στιγμιότυπο έχουμε δημιουργήσει ένα νέο στιγμιότυπο αμέσως μετά (t1+dt) ώστε να φαίνεται η φορά κίνησης των τριών αυτών σημείων.

ϕ =0⇔ 2π 3 ,75 −5x( )=0⇔ 3 ,75 −5x =0⇔ 3 ,75 = 5x⇔ x =0 ,75m

Δxλ

= ΔtT

⇔ Δx = ΔtT

λ⇔ Δx = 0 ,3750 ,1

λ⇔ Δx = 3 ,75 ⋅λ

E = K +U K=3U⎯ →⎯⎯ E = 3U +U⇔ E = 4U⇔ 12DA2 = 4 ⋅ 1

2Dy2 ⇔ y2 = A

2

4⇔ y = ± A

2

17

Διαφορετικά:

Αντικαθιστούμε όπου y=-A/2=-0,2m στην παραπάνω εξίσωση:

οπότε

όμως

y =0 ,4ηµ2π 3 ,75 −5x( ) y=−0 ,2m⎯ →⎯⎯ −0 ,2 =0 ,4ηµ2π 3 ,75 −5x( )⇔

ηµ2π 3 ,75 −5x( )= − 12⇔ηµ2π 3 ,75 −5x( )=ηµ −π6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2π 3 ,75 −5x( )= 2κπ − π6

,u>0

2π 3 ,75 −5x( )= 2κπ +7π6

,u<0

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

2π 3 ,75 −5x( )= 2κπ − π6⇔ 3 ,75 −5x =κ − 1

12⇔ 3 ,75 −5x =κ − 1

12⇔

5x = 46−12κ12

⇔ x = 46−12κ60

0 < x <0 ,75⇔0 < 46−12κ60

<0 ,75⇔0 <46−12κ <45⇔−46 < −12κ < −1⇔

18

Επομένως οι ακέραιες τιμές του κ είναι: 1, 2, 3 δηλαδή τρία σημεία!

− 4612

< −κ < − 112

⇔ 236

>κ > 112