40 Universitas Kristen Petra
5. PERHITUNGAN NUMERIK
Dalam bab ini akan dilakukan perhitungan numerik untuk menguji
keakuratan elemen balok Timoshenko berbasis Kriging dengan metode Discrete
Shear Gap (DSG) dan Modified Field Matching (MFM) dalam analisis statis,
getaran bebas, dan stabilitas yang akan dibandingkan dengan hasil yang didapatkan
oleh Fried & Kosmatka (1993) dan solusi eksaknya. Adapun dalam bab ini nantinya
akan digunakan berbagai singkatan untuk mempersingkat penulisan pada bab ini.
Untuk balok Timoshenko berbasis Kriging, singkatan yang dipergunakan adalah
demikian: 2 karakter pertama pada singkatan merupakan derajat basis polinomial
yang digunakan, diteruskan dengan jumlah lapisan DOI yang dipergunakan, diikuti
dengan fungsi korelasi yang dipergunakan, dan terakhir diteruskan dengan metode
eliminasi shear locking yang dipergunakan (bila menggunakan). Contoh
penggunaan singkatan ini dapat dilihat pada Tabel 5.1.
Tabel 5.1. Contoh singkatan yang dipergunakan dalam bab ini.
Contoh
Singkatan
Penjelasan
Derajat basis
polinomial
Jumlah
lapisan
DOI
Fungsi
Korelasi
Metode Eliminasi
Shear Locking
P2-2-QS 3 (cubic) 2 Quartic Spline Tidak ada
P1-2-G (DSG) 1 (linear) 2 Gaussian Discrete Shear
Gap
P2-2-QS (DSG) 2 (quadratic) 2 Quartic Spline Discrete Shear
Gap
P3-3-G (MFM) 3 (cubic) 3 Gaussian Modified Field
Matching
P3-3-G (SRI) 3 (cubic) 3 Gaussian Selective Reduced
Integration*
*Metode eliminasi shear locking yang digunakan oleh Syamsoeyadi (2009).
5.1. Analisis Statik
5.1.1. Investigasi Terhadap Jumlah Sampling Point yang Efisien untuk
Integrasi Shape Function pada Metode Discrete Shear Gap
Pada bagian ini akan diteliti jumlah sampling point yang efisien untuk
integrasi numerik metode Discrete Shear Gap untuk mendapatkan matriks BγDSG
41 Universitas Kristen Petra
yang diperlukan untuk menggantikan matriks Bγ yang didapatkan dari MEH-K
standar. Untuk pengujian ini digunakan elemen balok Timoshenko dengan E =
1000, b = 2, L = 2, v = 0.3, dan h = 0.0002, yang dibagi menjadi 8 elemen, fungsi
korelasi Quartic Spline, DOI sebanyak tiga lapis, dengan basis polinomial
berderajat tiga. Dalam pengujian ini ditinjau elemen nomor 4, dan ditinjau nilai –
nilai hasil integrasi shape function dalam DOI tersebut dengan 1, 2, dan 3 titik
sampel. Ilustrasi yang lebih jelas dapat dilihat pada Gambar 5.1. Adapun nilai
integrasi yang ditinjau adalah ∫ 𝑁2 𝑑𝑥𝑥3
𝑥2, ∫ 𝑁3 𝑑𝑥
𝑥3
𝑥2, ∫ 𝑁4 𝑑𝑥
𝑥3
𝑥2, ∫ 𝑁5 𝑑𝑥
𝑥3
𝑥2, dan
∫ 𝑁6 𝑑𝑥𝑥3
𝑥2. Hasil integrasi dapat dilihat pada Tabel 5.2.
Tabel 5.2. Hasil integrasi shape function berbagai titik nodal dalam DOI
elemen nomor 4 dengan berbagai jumlah titik contoh.
Integrasi yang
dilakukan
Hasil Integrasi
1 Titik Contoh 2 Titik Contoh 3 Titik Contoh
∫ 𝑁2 𝑑𝑥𝑥3
𝑥2
0.7 0.8 0.8
∫ 𝑁3 𝑑𝑥𝑥3
𝑥2
1.625 1.4167 1.4167
∫ 𝑁4 𝑑𝑥𝑥3
𝑥2
-0.375 -0.25 -0.25
∫ 𝑁5 𝑑𝑥𝑥3
𝑥2
0.125 0.0833 0.0833
∫ 𝑁6 𝑑𝑥𝑥3
𝑥2
-0.125 -0.0833 -0.0833
∫ 𝑁7 𝑑𝑥𝑥3
𝑥2
0.05 0.0333 0.0333
Gambar 5.1. Elemen nomor 4 dengan DOI 3 lapis pada balok Timoshenko dengan
bentang L = 2 m dengan perletakan jepit – jepit.
Dari Tabel 5.2. dapat dilihat bahwa tidak ada perubahan nilai hasil
integrasi antara menggunakan 2 titik contoh dengan 3 titik contoh. Maka agar
integrasi dapat dilakukan dengan efisien cukup digunakan 2 titik contoh saja.
42 Universitas Kristen Petra
5.1.2. Pengujian Metode Eliminasi Shear Locking
Fenomena shear locking adalah suatu kondisi dimana sebuah balok
menjadi sangat kaku sekali ketika bentangnya semakin panjang atau tingginya
semakin langsing. Pada bagian ini akan diuji 2 metode eliminasi shear locking,
yaitu metode Modified Field Matching dan Discrete Shear Gap seperti yang telah
yang dijelaskan pada bab 3.
Dalam menguji metode Modified Field Matching dan Discrete Shear Gap,
digunakan balok Timoshenko dengan perletakan jepit – jepit. Balok ini dibagi
menjadi 8 elemen. Data – data mengenai balok tersebut :
E = 2000
b = 2
L = 10
v = 0.3
q = 1
L/h bervariasi dari 10, 100, 1000, dan 10000
Untuk lebih jelasnya, dapat dilihat pada Gambar 5.2.
Gambar 5.2. Elemen balok dengan bentang L = 2 m dengan perletakan jepit – jepit
Hasil defleksi pada tengah bentang balok dibandingkan dengan solusi
eksak balok Euler-Bernoulli yang dirumuskan dengan :
wt = 𝑞 𝐿4
384 𝐸 𝐼 (5.1)
Perhitungan defleksi tersebut menggunakan teori balok Euler-Bernoulli
karena balok tersebut tipis, maka deformasi geser dapat diabaikan. Hasil
perhitungan juga akan dibandingkan dengan hasil yang diperoleh Syamsoeyadi
(2009) yang menggunakan balok Timoshenko berbasis Kriging dengan metode SRI
(Selective Reduced Integration). Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel 5.3a
43 Universitas Kristen Petra
dan Tabel 5.3b. Grafik hasil perhitungan dapat dilihat pada Gambar 5.3a dan
Gambar 5.3b.
Tabel 5.3a. Shear locking pada elemen balok langsing dengan fungsi korelasi
Gaussian
L/h wt
wtengah/wt
P1-2-G
(DSG)
P2-2-G
(DSG)
P3-3-G
(DSG)
P3-3-G
(MFM)
1 7.81E-05 13.23602634 13.2424416 13.2401644 17.21065
5 9.80E-03 1.492266542 1.49203807 1.48979629 5.460288
10 0.0781 1.125260089 1.1248273 1.12259186 5.093089
102 78.125 1.005255898 1.00462987 1.0012466 4.971913
103 78125 1.010215312 0.95670918 1.00098925 4.970702
104 78125000 0.671786564 0.14189934 1.00127547 4.970691
Gambar 5.3a. Shear locking pada elemen balok langsing dengan fungsi korelasi
Gaussian
Tabel 5.3b. Shear locking pada elemen balok langsing dengan fungsi korelasi
Quartic Spline
L/h wt
wtengah/wt
P1-2-QS
(DSG)
P2-2-QS
(DSG)
P3-3-QS
(DSG)
P3-3-QS
(MFM)
1 7.81E-05 13.2042837 13.24143867 13.24084 17.10194
5 9.80E-03 1.488369593 1.491017933 1.49044 5.351542
10 0.0781 1.121916793 1.123753225 1.12324 4.984342
102 78.125 0.959806693 0.994598172 1.00208 4.863166
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1 10 100 1000 10000
w/w
t
L/h
P3-3-G (DSG) P2-2-G (DSG) P1-2-G (DSG)
Solusi Eksak P3-3-G (SRI)
44 Universitas Kristen Petra
103 78125 0.205938019 0.540482734 1.00140 4.861955
104 78125000 0.002653048 0.011476879 1.00147 4.861943
Gambar 5.3b. Shear locking pada elemen balok langsing dengan fungsi korelasi
Quartic Spline
Hasil dari metode Modified Field Matching yang jauh menyimpang dari
solusi eksak menyimpulkan bahwa metode tersebut tidak dapat dipakai untuk
mengeliminasi shear locking, maka untuk selanjutnya, metode ini tidak disajikan
dalam grafik, dan tidak dipergunakan lagi untuk berbagai analisa lainnya. Untuk
elemen balok dengan fungsi basis linear dan quadratic, yaitu P1-2-G (DSG), P1-2-
QS (DSG), P2-2-G (DSG) dan P2-2-QS (DSG), terlihat bahwa semakin tipis balok
tersebut, defleksi yang terjadi justru semakin mendekati nol. Hal ini
memperlihatkan masih tetap adanya fenomena shear locking, dimana balok
semakin langsing, justru kekakuan balok semakin meningkat. Maka fungsi basis
linear dan quartic tidak dapat mengeliminasi shear locking pada balok
Timoshenko.
Balok Timosheko dengan fungsi basis cubic menghasilkan nilai defleksi
yang berbeda. Terlihat baik pada tabel dan grafik, perbandingan hasil defleksi pada
tengah bentang balok P3-3-G (DSG) dan P3-3-QS (DSG) dengan solusi eksaknya
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1 10 100 1000 10000
w/w
t
L/h
P3-3-QS (DSG) P2-2-QS (DSG) P1-2-QS (DSG)
Solusi Eksak P3-3-QS (SRI)
45 Universitas Kristen Petra
akan semakin mendekati angka satu. Hal ini berarti shear locking dapat dieliminasi
dengan metode Discrete Shear Gap, namun harus menggunakan fungsi basis cubic.
Untuk melakukan investigasi lebih lanjut mengenai penyebab terjadinya
shear locking pada MEH-K dengan DSG yang menggunakan fungsi basis linear
dan quadratic, maka perlu diselidiki distribusi regangan geser yang dihasilkan
MEH-K dengan DSG dengan fungsi basis linear, quadratic, dan cubic. Penyebaran
regangan geser dalam balok langsing (L/h=104) terlihat pada Gambar 5.4a sampai
Gambar 5.4f. Dari gambar – gambar tersebut, terlihat bahwa hasil regangan geser
yang dihasilkan oleh MEH-K dengan DSG yang menggunakan fungsi basis cubic
bersifat kontinu dan sesuai dengan bentuk gaya geser di sepanjang balok.
Sementara itu terlihat bahwa MEH-K dengan DSG yang menggunakan fungsi basis
linear dan quadratic menghasilkan distribusi yang tidak sesuai dengan distribusi
gaya geser yang semestinya, serta tidak kontinu. Maka ketidakmampuan MEH-K
yang menggunakan fungsi basis linear dan quadratic dengan DSG untuk
mengeliminasi shear locking pada balok langsing disebabkan karena distribusi
regangan gesernya yang tidak baik dan memiliki diskontinuitas dalam elemen
tersebut.
Gambar 5.4a. Grafik distribusi regangan balok Timoshenko berbasis Kriging
dengan DSG yang memiliki L/h = 104 menggunakan fungsi korelasi
Gaussian, fungsi basis cubic, dan DOI 3 lapis.
Elemen Balok
46 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.4b. Grafik distribusi regangan balok Timoshenko berbasis Kriging
dengan DSG yang memiliki L/h = 104 menggunakan fungsi korelasi
Quartic Spline, fungsi basis cubic, dan DOI 3 lapis.
Gambar 5.4c. Grafik distribusi regangan balok Timoshenko berbasis Kriging
dengan DSG yang memiliki L/h = 104 menggunakan fungsi korelasi
Gaussian, fungsi basis quadratic, dan DOI 2 lapis.
Elemen Balok
Elemen Balok
47 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.4d. Grafik distribusi regangan balok Timoshenko berbasis Kriging
dengan DSG yang memiliki L/h = 104 menggunakan fungsi korelasi
Quartic Spline, fungsi basis quadratic, dan DOI 2 lapis.
Gambar 5.4e. Grafik distribusi regangan balok Timoshenko berbasis Kriging
dengan DSG yang memiliki L/h = 104 menggunakan fungsi korelasi
Gaussian, fungsi basis linear, dan DOI 2 lapis.
Elemen Balok
Elemen Balok
48 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.4f. Grafik distribusi regangan balok Timoshenko berbasis Kriging
dengan DSG yang memiliki L/h = 104 menggunakan fungsi korelasi
Quartic Spline, fungsi basis linear, dan DOI 2 lapis.
Untuk menguji kemampuan metode Discrete Shear Gap dalam
mengeliminasi shear locking, maka perlu metode ini perlu diuji lagi dengan nilai
L/h yang lebih dari 10000. Oleh karena fungsi basis yang memiliki kinerja paling
baik dalam mengeliminasi shear locking adalah fungsi basis cubic, maka untuk
selanjutnya digunakan balok P3-3-G (DSG) dan P3-3-QS (DSG). Nilai L/h yang
digunakan bervariasi dari 1 sampai 1015. Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel
5.4 dan Gambar 5.5.
Terlihat pada gambar dan tabel tersebut, untuk fungsi korelasi Gaussian,
setelah nilai L/h melebihi nilai 107, hasil perbandingan defleksi pada tengah bentang
dengan solusi eksaknya semakin mendekati angka nol. Untuk fungsi korelasi
Quartic Spline, kejadian yang sama terlihat setelah nilai L/h melebihi nilai 108.
Disini terlihat bahwa metode Discrete Shear Gap tidak mampu mengeliminasi
shear locking pada balok dengan L/h lebih dari 108, dimana pada praktiknya, balok
yang terlalu langsing seperti ini jarang ditemukan.
Elemen Balok
49 Universitas Kristen Petra
Hal yang sama juga terlihat pada hasil yang diperoleh dalam penelitian
yang dilakukan oleh Hughes, Taylor, dan Kanok-Nukulchai (1977). Dalam
penelitian tersebut, digunakan metode Selective Reduced Integration (SRI) yang
telah berhasil mengeliminasi fenomena shear locking pada elemen balok
Timoshenko dan pelat Reissner-Mindlin. Namun terlihat bahwa metode SRI
tersebut tidak dapat mengeliminasi shear locking yang terjadi pada balok dengan
L/h lebih dari 104.
Semakin tinggi nilai L/h mengakibatkan berkurangnya nilai kekakuan
balok. Adapun berkurangnya nilai kekakuan lentur lebih cepat daripada
pengurangan nilai kekakuan geser, oleh karena itu tentu akan ada saat dimana nilai
kekakuan lentur sangat mendekati nol, meskipun memang nilainya tidak akan sama
dengan nol. Oleh karena adanya batasan jumlah angka, yaitu sebanyak 8 angka
dalam proses perhitungan yang dimiliki oleh komputer pada saat itu, maka apabila
kekakuan lentur balok sangat mendekati nol, hingga mencapai angka yang lebih
kecil dari 10-8, maka secara otomatis pembulatan program akan membulatkannya
menjadi nol. Apabila nilai kekakuan lentur menjadi nol, maka yang dominan hanya
kekakuan geser. Dan oleh karena pengurangan nilai kekakuan geser yang lebih
lambat, maka seakan akan balok kembali menjadi lebih kaku, dimana ini
menimbulkan fenomena shear locking. Saat ini, perhitungan dilakukan dengan
menggunakan program Matlab yang memiliki ketelitian hingga 16 angka, oleh
karena itu memperlihatkan hasil yang lebih baik dari metode SRI yang diteliti pada
saat itu.
Tabel 5.4. Pengujian metode DSG dalam mengeliminasi shear locking pada
balok Timoshenko berbasis Kriging.
L/h wt
wtengah / wt
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
1 0.000078125 13.24018214 13.24083974
5 0.009765625 1.489814128 1.490439741
10 0.078125 1.122610106 1.12323975
102 78.125 1.001281914 1.00207979
103 78125 1.001002607 1.001402051
104 78125000 1.001275653 1.001466304
105 78125000000 1.001278085 1.001465687
106 7.8125E+13 1.00123368 1.001304608
50 Universitas Kristen Petra
107 7.8125E+16 1.015264661 1.016648426
108 7.8125E+19 0.710229009 0.957981855
109 7.8125E+22 0.028329882 0.016406741
1010 7.8125E+25 8.11785E-05 0.000176445
1011 7.8125E+28 2.14974E-06 2.37245E-06
1012 7.8125E+31 2.56084E-08 5.23478E-08
1013 7.8125E+34 6.70267E-11 1.29617E-10
1014 7.8125E+37 1.17375E-12 1.09219E-12
1015 7.8125E+40 4.70364E-14 8.84971E-15
Gambar 5.5. Pengujian metode DSG dalam mengeliminasi shear locking pada
balok Timoshenko berbasis Kriging.
5.1.3. Penyelidikan Konvergensi Elemen Balok Timoshenko berbasis Kriging
dengan 4, 8, 16, dan 32 Elemen
Dalam bagian ini, elemen balok Timoshenko berbasis Kriging akan di
analisa dengan 3 jenis beban, dan akan dilihat konvergensi perpindahan, momen,
dan geser balok tersebut seiring meningkatnya jumlah elemen. Balok tersebut
memiliki perletakan jepit di salah satu ujungnya, dan ujung lainnya bebas. Jenis
beban yang akan dibebankan kepada balok tersebut adalah beban terpusat, beban
terbagi rata, dan beban segitiga. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar
5.6. Hasil perhitungan dari balok ini akan dibandingkan dengan solusi eksaknya
dan hasil yang diperoleh Friedman & Kosmatka (1993) dengan jumlah elemen dan
input data yang sama. Balok ini memiliki data – data sebagai berikut:
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
1.00E+00 1.00E+02 1.00E+04 1.00E+06 1.00E+08 1.00E+10 1.00E+12 1.00E+14
w/w
t
L/h
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG) Solusi Eksak
51 Universitas Kristen Petra
E = 1000
b = 2
L = 4
v = 0.3
q = 1
P = 1
h = 0.5
Jumlah elemen maksimal yang digunakan oleh Friedman & Kosmatka
(1993) adalah 16, dan untuk hasilnya diambil dari grafik yang tersedia (bukan
perhitungan numerik).
(c)
Gambar 5.6. Pembebanan yang diberikan kepada elemen balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan jenis perletakan jepit bebas. (a) beban
terpusat; (b) beban merata; (c) beban segitiga.
5.1.3.1. Penyelidikan Konvergensi Perpindahan
Pada bagian ini akan dianalisa perpindahan pada ujung bebas balok dengan
4, 8, 16, dan 32 elemen. Menurut Friedman & Kosmatka (1993), solusi eksak untuk
(b)
(a)
52 Universitas Kristen Petra
perpindahan dengan pembebanan seperti pada Gambar 5.6a, Gambar 5.6b, dan
Gambar 5.6c berturut–turut adalah:
𝑤𝑡 =𝑃𝐿3
3𝐸𝐼{1 +
𝜙
4} (5.2a)
𝑤𝑡 =𝑞0𝐿4
8𝐸𝐼{1 +
𝜙
3} (5.2b)
𝑤𝑡 =𝑃𝐿4
30𝐸𝐼{1 +
5
12𝜙} (5.2c)
dimana nilai 𝜙 didapatkan dengan persamaan:
𝜙 =1
5(12 + 11𝑣) (
ℎ
𝐿)
2
(5.3)
Hasil perhitungan numerik untuk pembebanan terpusat, terbagi rata, dan
segitiga secara berturut-turut ditunjukkan dalam Tabel 5.5a, Tabel 5.5b, dan Tabel
5.5c. Hasil dalam grafik ditunjukkan dalam Gambar 5.7a, Gambar 5.7b, dan
Gambar 5.7c.
Tabel 5.5a. Perbandingan konvergensi perpindahan balok untuk 4, 8, 16 dan 32
elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG dan F&K dengan
beban terpusat pada ujung balok.
Jumlah
Elemen
Solusi Eksak
(wt)
w/wt
Kriging dengan DSG F&K
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
4 1.0362 1.000000105 1 1
8 1.0362 1.000000009 1 1
16 1.0362 1.000000001 1 1
32 1.0362 1 1 -
Tabel 5.5b. Perbandingan konvergensi perpindahan balok untuk 4, 8, 16 dan 32
elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG dan F&K dengan
beban terbagi rata
Jumlah
Elemen
Solusi Eksak
(wt)
w/wt
Kriging dengan DSG F&K
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
4 1.5605 1.000000139 1 1
8 1.5605 1.000000011 1 1
16 1.5605 1.000000001 1 1
32 1.5605 1 1 -
Tabel 5.5c. Perbandingan konvergensi perpindahan balok untuk 4, 8, 16 dan 32
elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG dan F&K dengan
beban segitiga
Jumlah
Elemen
Solusi Eksak
(wt)
w/wt
Kriging dengan DSG F&K
53 Universitas Kristen Petra
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
4 0.4178 0.999914699 0.999893612 1
8 0.4178 0.99999504 0.999993351 1
16 0.4178 0.999999707 0.999999584 1
32 0.4178 0.999999982 0.999999974 -
Gambar 5.7a. Perbandingan konvergensi perpindahan balok untuk 4, 8, 16, dan 32
elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG dan F&K dengan
beban terpusat.
Gambar 5.7b. Perbandingan konvergensi perpindahan pada ujung bebas balok
untuk 4, 8, 16, dan 32 elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG
dan F&K dengan beban terbagi rata.
0.9999999
1
1
1
1
1
1.0000001
1.0000001
1.0000001
1.0000001
4 8 1 6 3 2
w/w
t
Jumlah Elemen
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG) Solusi Eksak F&K
0.9999999
1
1
1.0000001
1.0000001
1.0000002
4 8 1 6 3 2
w/w
t
Jumlah Elemen
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG) Solusi Eksak F&K
54 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.7c. Perbandingan konvergensi perpindahan pada ujung bebas balok
untuk 4, 8, 16, dan 32 elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG
dan F&K dengan beban segitiga.
Dari tabel-tabel dan grafik-grafik tersebut, terlihat bahwa hasil
perbandingan perpindahan pada elemen balok Timoshenko berbasis Kriging
semakin mendekati solusi eksaknya, sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa
nilai perpindahannya bersifat konvergen seiring meningkatnya jumlah elemen
balok yang digunakan. Nilai yang didapatkan sangat mendekati solusi eksaknya,
dan peningkatan konvergensi seiring naiknya jumlah elemen balok tidak begitu
signifikan, sehingga tidak diperlukan jumlah elemen yang banyak untuk
mendapatkan nilai defleksi yang mendekati solusi eksaknya. Dengan menggunakan
4 elemen saja nilai defleksi yang didapatkan sudah sangat mendekati solusi
eksaknya.
5.1.3.2. Penyelidikan Konvergensi Gaya Momen
Pada bagian ini akan dianalisa gaya momen yang terjadi pada ujung jepit
balok dengan 4, 8, 16, dan 32 elemen. Menurut Friedman & Kosmatka (1993),
solusi eksak untuk gaya momen pada ujung jepit balok dengan pembebanan seperti
pada Gambar 5.6a, Gambar 5.6b, dan Gambar 5.6c berturut–turut adalah:
𝑀 = 𝑃𝐿 (5.4a)
𝑀 =𝑞0
2𝐿2 (5.4b)
0.99984
0.99986
0.99988
0.9999
0.99992
0.99994
0.99996
0.99998
1
1.00002
4 8 1 6 3 2
w/w
t
Jumlah Elemen
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG) Solusi Eksak F&K
55 Universitas Kristen Petra
𝑀 =𝑞0
6𝐿2 (5.4c)
Hasil perhitungan numerik untuk pembebanan terpusat, terbagi rata, dan
segitiga secara berturut-turut ditunjukkan dalam Tabel 5.6a, Tabel 5.6b, dan Tabel
5.6c. Hasil dalam grafik ditunjukkan dalam Gambar 5.8a, Gambar 5.8b, dan
Gambar 5.8c.
Tabel 5.6a. Perbandingan konvergensi momen balok untuk 4, 8, 16 dan 32
elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG dan F&K dengan
beban terpusat pada ujung balok.
Jumlah
Elemen
Solusi Eksak
(Mt)
M/Mt
Kriging dengan DSG F&K
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
4 4 1.000363829 1 1
8 4 1.000134718 1 1
16 4 1.000067678 1 1
32 4 1.000033683 1 -
Tabel 5.6b. Perbandingan konvergensi momen balok untuk 4, 8, 16 dan 32
elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG dan F&K dengan
beban terbagi rata
Jumlah
Elemen
Solusi Eksak
(Mt)
M/Mt
Kriging dengan DSG F&K
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
4 8 1.006334184 1.00382487 1
8 8 1.001871615 1.00133733 1
16 8 1.000537879 1.000335247 1
32 8 1.000168463 1.000083844 -
Tabel 5.6c. Perbandingan konvergensi momen balok untuk 4, 8, 16 dan 32
elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG dan F&K dengan
beban segitiga
Jumlah
Elemen
Solusi Eksak
(Mt)
M/Mt
Kriging dengan DSG F&K
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
4 2.6667 1.003198262 0.999722502 1
8 2.6667 1.003149829 1.001903888 1
16 2.6667 1.001155651 1.000742754 1
32 2.6667 1.000372153 1.000218694 -
56 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.8a. Perbandingan konvergensi momen pada ujung jepit balok untuk 4, 8,
16, dan 32 elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG dan F&K
dengan beban terpusat.
Gambar 5.8b. Perbandingan konvergensi momen pada ujung jepit balok untuk 4, 8,
16, dan 32 elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG dan F&K
dengan beban terbagi rata.
0.9998
0.9999
1
1.0001
1.0002
1.0003
1.0004
4 8 1 6 3 2
M/M
t
Jumlah Elemen
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG) Solusi Eksak F&K
0.996
0.997
0.998
0.999
1
1.001
1.002
1.003
1.004
1.005
1.006
1.007
4 8 1 6 3 2
M/M
t
Jumlah Elemen
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG) Solusi Eksak F&K
57 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.8c. Perbandingan konvergensi momen pada ujung jepit balok untuk 4, 8,
16, dan 32 elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG dan F&K
dengan beban segitiga.
Seperti yang terlihat pada hasil perpindahan, dari tabel-tabel dan grafik-
grafik tersebut terlihat bahwa hasil gaya momen pada ujung jepit pada elemen balok
Timoshenko berbasis Kriging semakin mendekati solusi eksaknya, sehingga dapat
diambil kesimpulan bahwa nilai perpindahannya bersifat konvergen seiring
meningkatnya jumlah elemen balok yang digunakan. Gaya momen yang dihasilkan
sangat mendekati solusi eksaknya, dan peningkatan konvergensi seiring
meningkatnya jumlah elemen tidak begitu signifikan, sehingga cukup digunakan 4
elemen saja untuk mendapatkan hasil yang sangat mendekati solusi eksak.
5.1.3.3. Penyelidikan Konvergensi Gaya Geser
Pada bagian ini akan dianalisa gaya geser yang terjadi pada ujung jepit
balok dengan 4, 8, 16, dan 32 elemen. Menurut Friedman & Kosmatka (1993),
solusi eksak untuk gaya momen pada ujung jepit balok dengan pembebanan seperti
pada Gambar 5.6a, Gambar 5.6b, dan Gambar 5.6c berturut–turut adalah:
𝑄 = 𝑃 (5.5a)
𝑄 = 𝑞0𝐿 (5.5b)
𝑄 =𝑞0
2𝐿 (5.5c)
Perbandingan gaya geser pada ujung jepit dengan solusi eksaknya untuk
pembebanan terpusat, terbagi rata, dan segitiga secara berturut-turut ditunjukkan
0.997
0.998
0.999
1
1.001
1.002
1.003
1.004
4 8 1 6 3 2
M/M
t
Jumlah Elemen
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG) Solusi Eksak F&K
58 Universitas Kristen Petra
dalam Tabel 5.7a, Tabel 5.7b, dan Tabel 5.7c. Hasil dalam grafik ditunjukkan dalam
Gambar 5.9a, Gambar 5.9b, dan Gambar 5.9c.
Tabel 5.7a. Perbandingan konvergensi gaya geser balok untuk 4, 8, 16 dan 32
elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG dan F&K dengan
beban terpusat pada ujung balok.
Jumlah
Elemen
Solusi Eksak
(Qt)
Q/Qt
Kriging dengan DSG F&K
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
4 1 1.001258374 1 1
8 1 1.000217676 1 1
16 1 1.000053045 1 1
32 1 1.000012851 1 -
Tabel 5.7b. Perbandingan konvergensi gaya geser balok untuk 4, 8, 16 dan 32
elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG dan F&K dengan
beban terbagi rata
Jumlah
Elemen
Solusi Eksak
(Qt)
Q/Qt
Kriging dengan DSG F&K
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
4 4 1.001008976 1 1
8 4 1.001132701 1.000425206 1
16 4 1.000221655 1.000055793 1
32 4 1.000059698 1.00000698 -
Tabel 5.7c. Perbandingan konvergensi gaya geser balok untuk 4, 8, 16 dan 32
elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG dan F&K dengan
beban segitiga
Jumlah
Elemen
Solusi Eksak
(Qt)
Q/Qt
Kriging dengan DSG F&K
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
4 2 1.051971389 1.033967376 1
8 2 1.004150647 1.002097016 1
16 2 1.000534732 1.00021583 1
32 2 1.000118891 1.000027763 -
59 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.9a. Perbandingan konvergensi gaya geser pada ujung jepit balok untuk
4, 8, 16, dan 32 elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG dan
F&K dengan beban terpusat.
Gambar 5.9b. Perbandingan konvergensi gaya geser pada ujung jepit balok untuk
4, 8, 16, dan 32 elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG dan
F&K dengan beban terbagi rata.
0.9992
0.9994
0.9996
0.9998
1
1.0002
1.0004
1.0006
1.0008
1.001
1.0012
1.0014
4 8 1 6 3 2
Q/Q
t
Jumlah Elemen
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG) Solusi Eksak F&K
0.9994
0.9996
0.9998
1
1.0002
1.0004
1.0006
1.0008
1.001
1.0012
1.0014
4 8 1 6 3 2
Q/Q
t
Jumlah Elemen
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG) Solusi Eksak F&K
60 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.9c. Perbandingan konvergensi gaya geser pada ujung jepit balok untuk
4, 8, 16, dan 32 elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG dan
F&K dengan beban segitiga.
Sebagaimana yang terlihat pada hasil perpindahan dan momen, dari tabel-
tabel dan grafik-grafik tersebut terlihat bahwa hasil gaya geser pada ujung jepit pada
elemen balok Timoshenko berbasis Kriging semakin mendekati solusi eksaknya,
sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa nilai perpindahannya bersifat konvergen
seiring meningkatnya jumlah elemen balok yang digunakan. Gaya geser yang
dihasilkan sangat mendekati solusi eksaknya, dan peningkatan konvergensi seiring
meningkatnya jumlah elemen tidak begitu signifikan, sehingga cukup digunakan 4
elemen saja untuk mendapatkan hasil yang sangat mendekati solusi eksak.
5.1.4. Penyelidikan Konvergensi pada Balok yang Sangat Tebal dan Sangat
Tipis.
Dari penyelidikan konvergensi pada Sub-bab 5.1.3. terlihat bahwa untuk
balok dengan ukuran biasa (tidak terlalu tebal dan terlalu tipis), konvergensi elemen
menunjukkan hasil yang konvergen, dan diperlukan cukup 4 elemen saja untuk
memperoleh hasil yang memuaskan. Namun belum tentu hal yang sama akan terjadi
untuk balok yang sangat tebal atau sangat tipis. Dalam bagian ini akan diselidiki
konvergensi perpindahan, momen, dan gaya geser pada balok yang sangat tebal (L/h
= 1) dan sangat tipis (L/h = 104). Balok ini memiliki perletakan jepit bebas dengan
beban segitiga, seperti yang terdapat pada Gambar 5.6c. Data – data balok yang di
0.97
0.98
0.99
1
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
4 8 1 6 3 2
Q/Q
t
Jumlah Elemen
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG) Solusi Eksak F&K
61 Universitas Kristen Petra
analisa persis sama seperti pada Sub-bab 5.1.3. Perhitungan menggunakan fungsi
korelasi Gaussian dan Quartic Spline, dengan fungsi basis cubic dan 3 lapis DOI.
Jumlah pembagian elemen yang digunakan adalah sebanyak 4, 8, 16, 32, 64, dan
128 elemen. Hasil perhitungan untuk balok sangat tebal dapat dilihat pada Tabel
5.8a, Tabel 5.8b, dan Tabel 5.8c. Tabel – tabel tersebut diperjelas dengan Gambar
5.10a, Gambar 5.10b, dan Gambar 5.10c. Sedangkan hasil perhitungan untuk balok
sangat tipis dapat dilihat pada Tabel 5.9a, Tabel 5.9b, dan Tabel 5.9c, yang
diperjelas dengan Gambar 5.11a, Gambar 5.11b, dan Gambar 5.11c.
Tabel 5.8a. Perbandingan konvergensi perpindahan pada ujung bebas pada balok
tebal (L/h=1) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada interpolasi
Kriging dengan DSG.
Jumlah
Elemen Solusi eksak (wt)
w/wt
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
4 0.00091 0.999952191 0.999952305
8 0.00091 0.999997012 0.999997019
16 0.00091 0.999999813 0.999999814
32 0.00091 0.999999988 0.999999988
64 0.00091 0.999999999 0.999999999
128 0.00091 1 1
Tabel 5.8b. Perbandingan konvergensi momen pada ujung jepit pada balok tebal
(L/h=1) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada interpolasi
Kriging dengan DSG.
Jumlah
Elemen Solusi eksak (wt)
M/Mt
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
4 0.666667 1.004803579 1.000551129
8 0.666667 1.002949771 1.001924951
16 0.666667 1.000991572 1.000743637
32 0.666667 1.000279022 1.000218737
64 0.666667 1.000073157 1.000058788
128 0.666667 1.000018319 1.00001521
Tabel 5.8c. Perbandingan konvergensi gaya geser pada ujung jepit pada balok
tebal (L/h=1) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada interpolasi
Kriging dengan DSG.
Jumlah
Elemen Solusi eksak (wt)
Q/Qt
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
4 1 1.004803579 1.000551129
8 1 1.002949771 1.001924951
16 1 1.000991572 1.000743637
32 1 1.000279022 1.000218737
62 Universitas Kristen Petra
64 1 1.000073157 1.000058788
128 1 1.000018319 1.00001521
Tabel 5.9a. Perbandingan konvergensi perpindahan pada ujung bebas pada balok
tebal (L/h=104) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada
interpolasi Kriging dengan DSG.
Jumlah
Elemen Solusi eksak (wt)
w/wt
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
4 400000005.1 0.999891692 0.999891292
8 400000005.1 0.99999332 0.999992574
16 400000005.1 0.999998725 0.999998049
32 400000005.1 1.000005817 1.000003662
64 400000005.1 1.000027055 0.999990313
128 400000005.1 1.000007077 0.999958386
Tabel 5.9b. Perbandingan konvergensi momen pada ujung jepit pada balok tebal
(L/h=104) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada interpolasi
Kriging dengan DSG.
Jumlah
Elemen Solusi eksak (wt)
M/Mt
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
4 0.666667 0.958826122 0.955608477
8 0.666667 0.95652936 0.950872217
16 0.666667 0.997675883 0.984985114
32 0.666667 0.999831526 0.999170833
64 0.666667 1.000017771 0.999950712
128 0.666667 1.000004898 0.999974318
Tabel 5.9c. Perbandingan konvergensi gaya geser pada ujung jepit pada balok
tebal (L/h=104) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada
interpolasi Kriging dengan DSG.
Jumlah
Elemen Solusi eksak (wt)
Q/Qt
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
4 1 2.200725108 2.790775862
8 1 40.84067267 2.589350604
16 1 3.701192562 0.614928368
32 1 1.563790243 0.97774681
64 1 1.128582438 1.025897714
128 1 1.033401353 1.015236279
63 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.10a. Perbandingan konvergensi perpindahan pada ujung bebas balok
tebal (L/h = 1) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada interpolasi
Kriging dengan DSG dengan beban segitiga.
Gambar 5.10b. Perbandingan konvergensi momen pada ujung jepit balok tebal (L/h
= 1) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada interpolasi Kriging
dengan DSG dengan beban segitiga.
0.99992
0.99993
0.99994
0.99995
0.99996
0.99997
0.99998
0.99999
1
1.00001
4 8 1 6 3 2 6 4 1 2 8
w/w
t
Jumlah Elemen
Solusi Eksak P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
0.997
0.998
0.999
1
1.001
1.002
1.003
1.004
1.005
1.006
4 8 1 6 3 2 6 4 1 2 8
M/M
t
Jumlah Elemen
Solusi Eksak P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
64 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.10c. Perbandingan konvergensi gaya geser pada ujung jepit balok tebal
(L/h = 1) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada interpolasi
Kriging dengan DSG dengan beban segitiga.
Gambar 5.11a. Perbandingan konvergensi perpindahan pada ujung bebas balok tipis
(L/h = 104) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada interpolasi
Kriging dengan DSG dengan beban segitiga.
0.999
0.9995
1
1.0005
1.001
1.0015
1.002
4 8 1 6 3 2 6 4 1 2 8
Q/Q
t
Jumlah Elemen
Solusi Eksak P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
0.9998
0.99985
0.9999
0.99995
1
1.00005
4 8 1 6 3 2 6 4 1 2 8
w/w
t
Jumlah Elemen
Solusi Eksak P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
65 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.11b. Perbandingan konvergensi momen pada ujung jepit balok tipis (L/h
= 104) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada interpolasi Kriging
dengan DSG dengan beban segitiga.
Gambar 5.11c. Perbandingan konvergensi gaya geser pada ujung jepit balok tipis
(L/h = 104) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada interpolasi
Kriging dengan DSG dengan beban segitiga.
Dari hasil perhitungan untuk balok yang sangat tebal, terlihat bahwa baik
konvergensi perpindahan pada ujung bebas, momen, dan gaya geser pada ujung
jepit bersifat konvergen. Selain itu juga dapat dilihat bahwa hanya dengan
menggunakan 4 elemen saja, hasil yang didapatkan sangat dekat sekali dengan
solusi eksaknya. Maka dapat disimpulkan bahwa untuk permasalahan balok yang
0.92
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
1
1.01
4 8 1 6 3 2 6 4 1 2 8
M/M
t
Jumlah Elemen
Solusi Eksak P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4 8 1 6 3 2 6 4 1 2 8
Q/Q
t
Jumlah Elemen
Solusi Eksak P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
66 Universitas Kristen Petra
tebal, cukup menggunakan 4 elemen saja untuk mendapatkan hasil yang mendekati
eksak.
Untuk balok yang sangat tipis, hasil perpindahan pada ujung bebas dan
momen pada ujung jepit memiliki hasil yang konvergen dan mendekati solusi
eksaknya. Namun untuk gaya geser pada ujung jepit balok, tidak terlihat hasil yang
konvergen untuk jumlah pembagian elemen yang sedikit. Gaya geser yang
dihasilkan dengan jumlah elemen kurang dari 32 elemen (fungsi korelasi Quartic
Spline) dan 64 elemen (fungsi korelasi Gaussian) menunjukkan hasil yang cukup
jauh dari solusi eksaknya, terutama untuk fungsi korelasi Gaussian, yang
menghasilkan nilai hingga 40.84 kali lebih besar dari solusi eksaknya. Konvergensi
yang baik baru terlihat untuk jumlah elemen lebih dari 8 elemen. Dari sini juga
dapat disimpulkan bahwa hasil yang mendekati solusi eksak adalah dengan jumlah
pembagian elemen sebanyak 32 elemen untuk fungsi korelasi Quartic Spline, dan
sebanyak 64 elemen untuk fungsi korelasi Gaussian. Dari sini juga terlihat bahwa
hasil yang diperoleh dengan fungsi korelasi Gaussian menunjukkan hasil gaya
geser yang lebih buruk daripada hasil yang didapatkan dari fungsi korelasi Quartic
Spline.
5.2. Analisis Dinamik Getaran Bebas
5.2.1. Investigasi Getaran Bebas dalam Balok Langsing
Dalam bagian ini akan dilakukan analisa getaran bebas terhadap balok
langsing. Perhitungan dilakukan dengan fungsi korelasi Gaussian dan Quartic
Spline, dan fungsi basis cubic, serta 3 lapis DOI. Balok tersebut dianalisa dengan
perletakan sendi – sendi dan jepit – jepit. Adapun data – data balok adalah sebagai
berikut:
L = 10 m
b = 1 m
E = 2 x 109 kg/m2
v = 0.3
ρ = 10 kg/m3
h/L = 0.2 dan 0.001
67 Universitas Kristen Petra
Dalam melakukan hasil analisa getaran bebas, hanya diperlukan matriks
massa dan matriks kekakuan. Matriks massa didapatkan dari persamaan (3.11),
sedangkan matriks kekakuan diperoleh dari persamaan (3.12). Perhitungan analisa
getaran bebas menggunakan persamaan (3.20). Hasil perhitungan dari analisa
getaran bebas ini berupa frekwensi dan ragam getar dari struktur balok yang
ditinjau. Nilai yang dibandingkan dalam analisa getaran bebas ini adalah nilai
frekwensi struktur. Untuk nilai h/L = 0.2, hasil frekwensinya akan dibandingkan
dengan metode pseudospectral (Lee, 2004), sedangkan untuk nilai h/L = 0.001
(balok tipis), nilai frekwensinya akan dibandingkan dengan solusi eksak untuk teori
balok Euler-Bernoulli yang didapatkan dari tesis Wicaksana (2006). Semua hasil
frekwensi dari analisa getaran bebas pada bagian ini akan dikonversi kedalam
bentuk frekwensi tak berdimensi λ, yang diperoleh dari persamaan:
𝜆 = √𝜔𝐿2√𝑚
𝐸𝐼 (5.6)
di mana ω = frekwensi struktur,
𝐿 = panjang balok,
m = massa jenis balok per satuan panjang,
E = modulus elastisitas balok, dan
I = momen inersia balok.
Dalam analisa ini, digunakan jumlah elemen yang bervariasi dari 4, 8,
16, dan 32 elemen. Hasil analisa ini dibatasi hingga sampai 15 ragam getar saja.
5.2.1.1. Analisa Getaran Bebas pada Perletakan Sendi-Sendi
Dengan data-data balok seperti yang dijelaskan sebelumnya, akan
dibandingkan frekwensi tak berdimensi (λ) dengan solusi yang didapatkan dengan
metode pseudospectral (untuk h/L = 0.2) dan solusi eksak balok Euler-Bernoulli
(untuk h/L = 0.001). Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel 5.10a, Tabel 5.10b,
Tabel 5.111a, dan Tabel 5.11b. Tabel – tabel ini diperjelas dalam bentuk grafik dan
dapat dilihat pada Gambar 5.12 dan Gambar 5.13.
68 Universitas Kristen Petra
Tabel 5.10a. Perbandingan parameter frekuensi tanpa dimensi dengan perletakan
sendi-sendi (h/L=0.2) pada balok P3-3-G (DSG).
Mode λ∗
λ λ∗⁄
4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen
1 3.04533 0.99937517 1.000395931 1.00042348 1.000425
2 5.67155 1.00345178 1.000837294 1.001211622 1.001228
3 7.83952 1.1469126 1.001745126 1.001896109 1.001951
4 9.65709 1.35607588 1.007858755 1.002437388 1.002517
5 11.2220 1.20532213 1.024708422 1.003005453 1.002955
6 12.60220 1.16952923 1.039163546 1.003892787 1.003289
7 13.03230 1.24954097 1.016910703 1.00486843 1.004868
8 13.44430 1.26218211 1.004470037 1.00443935 1.004438
9 13.84330 - 1.047450764 1.005477316 1.003554
10 14.43780 - 1.036279769 1.003649314 1.003632
11 14.97660 - 1.052198739 1.008100778 1.003777
12 15.66760 - 1.088792573 1.002977941 1.002912
13 16.02410 - 1.146003054 1.01197256 1.003986
14 16.95840 - 1.171652116 1.0024441 1.002345
15 17.00190 - 1.363215699 1.01706026 1.004195
*(pseudospectral)
Tabel 5.10b. Perbandingan parameter frekuensi tanpa dimensi dengan perletakan
sendi-sendi (h/L=0.2) pada balok P3-3-QS (DSG).
Mode λ∗
λ λ∗⁄
4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen
1 3.04533 1.000554 1.000362 1.00042 1.000425
2 5.67155 1.005727 1.00105 1.001175 1.001225
3 7.83952 1.150281 1.002885 1.001814 1.00194
4 9.65709 1.356076 1.008774 1.002366 1.002494
5 11.2220 1.203884 1.025108 1.003037 1.002916
6 12.60220 1.167238 1.039164 1.004074 1.003236
7 13.03230 1.246491 1.019031 1.004868 1.004868
8 13.44430 1.252631 1.004506 1.004443 1.004438
9 13.84330 - 1.0473 1.005734 1.003494
10 14.43780 - 1.036489 1.003687 1.003635
11 14.97660 - 1.051165 1.008168 1.00372
12 15.66760 - 1.088056 1.003075 1.002924
13 16.02410 - 1.14518 1.01142 1.003945
14 16.95840 - 1.165458 1.002582 1.00237
15 17.00190 - 1.34791 1.015565 1.004183
Tabel 5.11a. Perbandingan parameter frekuensi tanpa dimensi dengan perletakan
sendi-sendi (h/L=0.001) pada balok P3-3-G (DSG).
Mode λeksak
(teori balok tipis)
λ/λeksak 4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen
1 3.141593 0.998789 1.000079 0.999998388 0.999999
2 6.283185 1.127394 1.005249 1.000000884 0.999995
3 9.424778 1.364519 1.154551 0.999971568 0.999987
4 12.566371 86.36038 1.275865 1.00032215 0.999973
5 15.707963 144.9649 1.702703 1.006910456 0.999951
6 18.849556 138.9502 3.104056 1.044349808 0.999916
7 21.991149 119.3115 5.768963 1.143732776 0.999877
8 25.132741 106.5825 54.80652 1.265646032 0.999897
9 28.274334 - 60.21909 1.422114679 1.000172
10 31.415927 - 75.65371 1.721229148 1.001153
11 34.557519 - 74.61816 2.20011835 1.003706
12 37.699112 - 69.47509 2.844577746 1.009372
13 40.840704 - 64.13294 3.667710326 1.020751
14 43.982297 - 59.55263 4.699985918 1.041754
15 47.12389 - 56.04193 5.868294881 1.076873
69 Universitas Kristen Petra
Tabel 5.11b. Perbandingan parameter frekuensi tanpa dimensi dengan perletakan
sendi-sendi (h/L=0.001) pada balok P3-3-QS (DSG).
Mode λeksak
(teori balok tipis)
λ/λeksak 4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen
1 3.141593 1.00011 1.00006 1 0.999999
2 6.283185 1.127074 1.051806 1.00041 0.999993
3 9.424778 1.378415 1.186629 1.00592 0.999995
4 12.566371 69.81587 1.409348 1.034723 1.000083
5 15.707963 143.5385 1.863805 1.107061 1.000506
6 18.849556 138.9502 2.38723 1.207464 1.001819
7 21.991149 119.1814 3.986904 1.313607 1.005019
8 25.132741 106.2563 36.00019 1.422631 1.011579
9 28.274334 - 60.06622 1.517079 1.023201
10 31.415927 - 73.16994 1.52872 1.041248
11 34.557519 - 74.03986 1.503044 1.066027
12 37.699112 - 69.47509 1.657953 1.096423
13 40.840704 - 64.1356 2.152011 1.130161
14 43.982297 - 59.57113 2.984354 1.164497
15 47.12389 - 55.94547 4.347382 1.196785
Gambar 5.12a. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan
sendi-sendi) pada berbagai macam mode shape dalam balok
Timoshenko berbasis Kriging dengan DSG yang dibagi menjadi 4
elemen (h/L=0.2).
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1 2 3 4 5 6 7 8
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Pseudospectral P3-3-QS (DSG) P3-3-G (DSG)
70 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.12b. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan
sendi-sendi) pada berbagai macam mode shape dalam balok
Timoshenko berbasis Kriging dengan DSG yang dibagi menjadi 8
elemen (h/L=0.2).
Gambar 5.12c. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan
sendi-sendi) pada berbagai macam mode shape dalam balok
Timoshenko berbasis Kriging dengan DSG yang dibagi menjadi 16
elemen (h/L=0.2).
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Pseudospectral P3-3-QS (DSG) P3-3-G (DSG)
0.995
1
1.005
1.01
1.015
1.02
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Pseudospectral P3-3-QS (DSG) P3-3-G (DSG)
71 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.12d. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan
sendi-sendi) pada berbagai macam mode shape dalam balok
Timoshenko berbasis Kriging dengan DSG yang dibagi menjadi 32
elemen (h/L=0.2).
Gambar 5.13a. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan
sendi-sendi) pada berbagai macam mode shape dalam balok
Timoshenko berbasis Kriging dengan DSG yang dibagi menjadi 4
elemen (h/L=0.001).
0.999
1
1.001
1.002
1.003
1.004
1.005
1.006
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Pseudospectral P3-3-QS (DSG) P3-3-G (DSG)
1
21
41
61
81
101
121
141
161
1 2 3 4 5 6 7 8
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Balok Tipis P3-3-QS (DSG) P3-3-G (DSG)
72 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.13b. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan
sendi-sendi) pada berbagai macam mode shape dalam balok
Timoshenko berbasis Kriging dengan DSG yang dibagi menjadi 8
elemen (h/L=0.001).
Gambar 5.13c. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan
sendi-sendi) pada berbagai macam mode shape dalam balok
Timoshenko berbasis Kriging dengan DSG yang dibagi menjadi 16
elemen (h/L=0.001).
1
11
21
31
41
51
61
71
81
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Balok Tipis P3-3-QS (DSG) P3-3-G (DSG)
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Balok Tipis P3-3-QS (DSG) P3-3-G (DSG)
73 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.13d. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan
sendi-sendi) pada berbagai macam mode shape dalam balok
Timoshenko berbasis Kriging dengan DSG yang dibagi menjadi 32
elemen (h/L=0.001).
Dari hasil perhitungan, terlihat bahwa untuk balok dengan h/L = 0.2,
perbandingan frekwensi tak berdimensi dari balok Timoshenko berbasis Kriging
dengan DSG dan solusi yang didapat dengan metode pseudospectral tidak begitu
jauh. Nilai perbandingan tersebut bervariasi antara 1 hingga 1.35, dimana
perbedaan fungsi korelasi tidak menimbulkan perbedaan yang jauh. Untuk balok
dengan h/L = 0.001, penyimpangan frekwensi tak berdimensi pada mode shape
yang memiliki nilai frekwensi tinggi sangat besar apabila dibagi dengan jumlah
elemen dibawah 32 elemen. Untuk balok dengan jumlah pembagian sebanyak 32
elemen, mulai terlihat nilai yang mendekati solusi balok tipis (balok Euler-
Bernoulli), terlebih lagi pada balok Timoshenko berbasis Kriging dengan DSG
yang menggunakan fungsi korelasi Gaussian (P3-3-G (DSG)).
5.2.1.2. Analisa Getaran Bebas pada Perletakan Jepit-Jepit
Pada bagian ini akan dilakukan analisa getaran bebas dengan data balok
yang persis sama dengan sebelumnya, namun bedanya disini balok tersebut
memiliki perletakan jepit-jepit. Dalam analisa ini akan dibandingkan frekwensi tak
berdimensi (λ) dengan solusi yang didapatkan dengan metode pseudospectral
(untuk h/L = 0.2) dan solusi eksak balok Euler-Bernoulli (untuk h/L = 0.001). Hasil
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Balok Tipis P3-3-QS (DSG) P3-3-G (DSG)
74 Universitas Kristen Petra
perhitungan dapat dilihat pada Tabel 5.12a, Tabel 5.12b, Tabel 5.13a, dan Tabel
5.13b. Tabel – tabel ini diperjelas dalam bentuk grafik dan dapat dilihat pada
Gambar 5.14 dan Gambar 5.15.
Tabel 5.12a. Perbandingan parameter frekuensi tanpa dimensi dengan perletakan
jepit-jepit (h/L=0.2) pada balok P3-3-G (DSG).
Mode λ∗
λ λ∗⁄
4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen
1 4.24201 0.999311 1.001521 1.001595 1.0016
2 6.41876 1.010618 1.001878 1.002259 1.002281
3 8.28532 1.151055 1.002764 1.002773 1.00283
4 9.90372 1.357721 1.008769 1.003022 1.003102
5 11.3847 1.251165 1.021904 1.000167 1.000123
6 12.6402 1.207274 1.045796 1.004049 1.003478
7 13.4567 - 1.010237 1.004447 1.004414
8 13.8101 - 1.045472 1.005226 1.003568
9 14.4806 - 1.038968 1.004003 1.003679
10 14.9383 - 1.050812 1.0074 1.003661
11 15.6996 - 1.076627 1.00389 1.003062
12 16.004 - 1.133145 1.011212 1.003863
13 16.9621 - 1.139077 1.003844 1.002503
14 16.9999 - 1.204373 1.016557 1.004099
15 17.9357 - - 1.019827 1.004352
*(pseudospectral)
Tabel 5.12b. Perbandingan parameter frekuensi tanpa dimensi dengan perletakan
jepit-jepit (h/L=0.2) pada balok P3-3-QS (DSG).
Mode λ∗
λ λ∗⁄
4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen
1 4.24201 4.258623 4.247792 4.248711 4.248791
2 6.41876 6.511485 6.432378 6.432832 6.433366
3 8.28532 9.543948 8.32325 8.307341 8.308652
4 9.90372 13.44845 10.00655 9.93287 9.934181
5 11.3847 14.17497 11.63813 11.38727 11.38564
6 12.6402 15.17035 13.24045 12.6939 12.68353
7 13.4567 - 13.59627 13.51683 13.51605
8 13.8101 - 14.4463 13.8849 13.85866
9 14.4806 - 15.03741 14.54043 14.53376
10 14.9383 - 15.70352 15.04904 14.99224
11 15.6996 - 16.88127 15.76425 15.74763
12 16.004 - 18.05927 16.17515 16.06523
13 16.9621 - 19.23492 17.0335 17.00475
14 16.9999 - 20.33777 17.25762 17.06938
15 17.9357 - - 18.30047 18.01422
Tabel 5.13a. Perbandingan parameter frekuensi tanpa dimensi dengan perletakan
jepit-jepit (h/L=0.001) pada balok P3-3-G (DSG).
Mode λeksak
(teori balok tipis)
λ/λeksak 4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen
1 4.730041 0.99735 1.001231 0.999994 0.999996
2 7.853205 5.146157 1.016558 1.000073 0.999989
3 10.995608 12.22725 1.468243 1.00046 0.999977
4 14.137166 175.1771 2.633541 1.001266 0.999966
5 17.27876 148.6229 4.200349 1.009117 0.999969
6 20.420352 129.462 6.266098 1.062225 1.000001
7 23.561945 - 8.943709 1.239714 1.000074
8 26.703538 - 83.80068 1.571316 1.00021
9 29.84513 - 82.06894 2.020987 1.000522
75 Universitas Kristen Petra
10 32.986723 - 76.2804 2.561619 1.001403
11 36.128316 - 71.60603 3.188076 1.003835
12 39.269908 - 66.69741 3.918625 1.009834
13 42.411501 - 61.93159 4.797951 1.022957
14 45.553093 - 57.66881 5.807221 1.0486
15 48.694686 - - 6.39758 1.093419
Tabel 5.13b. Perbandingan parameter frekuensi tanpa dimensi dengan perletakan
jepit-jepit (h/L=0.001) pada balok P3-3-QS (DSG).
Mode λeksak
(teori balok tipis)
λ/λeksak 4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen
1 4.730041 1.004368 1.001186 1.00004 0.999995
2 7.853205 4.223198 1.177453 1.001702 0.999986
3 10.995608 12.23607 1.76946 1.013319 1.000009
4 14.137166 173.2836 2.222043 1.058864 1.000212
5 17.27876 147.5479 2.774436 1.168851 1.000968
6 20.420352 129.1803 4.024152 1.332061 1.002996
7 23.561945 - 8.917109 1.492316 1.007435
8 26.703538 - 76.5291 1.604856 1.015804
9 29.84513 - 80.45329 1.601288 1.029791
10 32.986723 - 75.63969 1.573059 1.050769
11 36.128316 - 71.27617 1.762281 1.079133
12 39.269908 - 66.70722 2.209109 1.113775
13 42.411501 - 61.91154 2.944308 1.152086
14 45.553093 - 57.64571 4.229206 1.190521
15 48.694686 - - 6.336096 1.225263
Gambar 5.14a. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan jepit-
jepit) pada berbagai macam mode shape dalam balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan DSG yang dibagi menjadi 4 elemen
(h/L=0.2).
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1 2 3 4 5 6
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Pseudospectral P3-3-QS (DSG) P3-3-G (DSG)
76 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.14b. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan jepit-
jepit) pada berbagai macam mode shape dalam balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan DSG yang dibagi menjadi 8 elemen
(h/L=0.2).
Gambar 5.14c. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan jepit-
jepit) pada berbagai macam mode shape dalam balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan DSG yang dibagi menjadi 16 elemen
(h/L=0.2).
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Pseudospectral P3-3-QS (DSG) P3-3-G (DSG)
0.995
1
1.005
1.01
1.015
1.02
1.025
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Pseudospectral P3-3-QS (DSG) P3-3-G (DSG)
77 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.14d. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan jepit-
jepit) pada berbagai macam mode shape dalam balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan DSG yang dibagi menjadi 32 elemen
(h/L=0.2).
Gambar 5.15a. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan jepit-
jepit) pada berbagai macam mode shape dalam balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan DSG yang dibagi menjadi 4 elemen
(h/L=0.001).
0.999
1
1.001
1.002
1.003
1.004
1.005
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Pseudospectral P3-3-QS (DSG) P3-3-G (DSG)
1
21
41
61
81
101
121
141
161
181
201
1 2 3 4 5 6
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Balok Tipis P3-3-QS (DSG) P3-3-G (DSG)
78 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.15b. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan jepit-
jepit) pada berbagai macam mode shape dalam balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan DSG yang dibagi menjadi 8 elemen
(h/L=0.001).
Gambar 5.15c. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan jepit-
jepit) pada berbagai macam mode shape dalam balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan DSG yang dibagi menjadi 16 elemen
(h/L=0.001).
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Balok Tipis P3-3-QS (DSG) P3-3-G (DSG)
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Balok Tipis P3-3-QS (DSG) P3-3-G (DSG)
79 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.15d. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan jepit-
jepit) pada berbagai macam mode shape dalam balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan DSG yang dibagi menjadi 32 elemen
(h/L=0.001).
Terlihat dari hasil perhitungan bahwa untuk balok dengan h/L = 0.2,
perbandingan frekwensi tak berdimensi dari balok Timoshenko berbasis Kriging
dengan DSG dan solusi yang didapat dengan metode pseudospectral tidak begitu
jauh. Nilai perbandingan tersebut bervariasi antara 1 hingga 1.36, dan adanya
perbedaan fungsi korelasi tidak menimbulkan perbedaan yang jauh. Untuk balok
dengan h/L = 0.001, penyimpangan frekwensi tak berdimensi pada mode shape
yang memiliki nilai frekwensi tinggi sangat jauh sekali apabila dibagi dengan
jumlah elemen dibawah 32 elemen. Untuk balok dengan jumlah pembagian
sebanyak 32 elemen, mulai terlihat nilai yang mendekati solusi balok tipis (balok
Euler-Bernoulli), terlebih lagi pada balok Timoshenko berbasis Kriging dengan
DSG yang menggunakan fungsi korelasi Gaussian (P3-3-G (DSG)).
5.2.2. Investigasi Terhadap Konvergensi Ragam Getar Pada Analisis
Getaran Bebas dengan Menggunakan 4, 8, 16, dan 32 Elemen.
Dengan menggunakan data – data balok yang sama persis dengan sub bab
sebelumnya, akan dilakukan analisa getaran bebas dengan jumlah pembagian
elemen sebanyak 4, 8, 16, dan 32 elemen. Seperti pada sub bab sebelumnya, balok
dianalisa dengan jenis perletakan sendi-sendi dan jepit-jepit. Hasil perhitungan dari
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Balok Tipis P3-3-QS (DSG) P3-3-G (DSG)
80 Universitas Kristen Petra
subbab sebelumnya telah mencakup perhitungan untuk pembagian elemen
sebanyak 4, 8, 16, dan 32 elemen, telah ditunjukkan dalam Tabel 11, Tabel 12,
Tabel 12, dan Tabel 13. Hasil perbandingan konvergensi frekwensi tak berdimensi
ditunjukkan dalam Gambar 16, Gambar 17, Gambar 18 dan Gambar 19.
5.2.2.1. Konvergensi Ragam Getar Pada Perletakan Sendi-Sendi
Dari Gambar 16 dan Gambar 17, terlihat bahwa semakin banyak jumlah
elemen yang digunakan dalam suatu balok, maka nilai frekwensi tak berdimensi
yang dihasilkan semakin mendekati solusi eksaknya. Oleh karena itu dapat
disimpulkan bahwa nilai frekwensi tak berdimensi tersebut bersifat konvergen.
Seperti yang terlihat pada subbab sebelumnya perbedaan fungsi korelasi tidak
begitu berpengaruh dalam perubahan nilai frekwensi tak berdimensi yang
dihasilkan. Namun untuk mendapatkan nilai frekwensi yang dekat dengan solusi
eksak, jumlah pembagian elemen minimum adalah 16 elemen untuk balok dengan
h/L = 0.2 dan 32 elemen untuk balok dengan h/L = 0.001.
Gambar 5.16a. Perbandingan konvergensi ragam getar balok (perletakan sendi-
sendi) untuk 4, 8, 16 dan 32 elemen pada balok P3-3-G (DSG)
dengan perbandingan kelangsingan h/L=0.2.
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Pseudospectral 4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen
81 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.16b. Perbandingan konvergensi ragam getar balok (perletakan sendi-
sendi) untuk 4, 8, 16 dan 32 elemen pada balok P3-3-QS (DSG)
dengan perbandingan kelangsingan h/L=0.2.
Gambar 5.17a. Perbandingan konvergensi ragam getar balok (perletakan sendi-
sendi) untuk 4, 8, 16 dan 32 elemen pada balok P3-3-G (DSG)
dengan perbandingan kelangsingan h/L=0.001.
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Pseudospectral 4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen
1
21
41
61
81
101
121
141
161
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Balok Tipis 4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen
82 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.17b. Perbandingan konvergensi ragam getar balok (perletakan sendi-
sendi) untuk 4, 8, 16 dan 32 elemen pada balok P3-3-QS (DSG)
dengan perbandingan kelangsingan h/L=0.001.
5.2.2.2. Konvergensi Ragam Getar Pada Perletakan Jepit-Jepit
Dari Gambar 5.18 dan Gambar 5.19, dapat dilihat bahwa semakin banyak
jumlah elemen yang digunakan dalam suatu balok, maka nilai frekwensi tak
berdimensi yang dihasilkan semakin mendekati solusi eksaknya. Oleh karena itu
maka nilai frekwensi tak berdimensi tersebut bersifat konvergen. Seperti yang
terlihat pada subbab sebelumnya perbedaan fungsi korelasi tidak begitu
berpengaruh dalam nilai frekwensi tak berdimensi yang dihasilkan. Untuk
mendapatkan nilai frekwensi yang dekat dengan solusi eksak, jumlah pembagian
elemen minimum adalah 16 elemen untuk balok dengan h/L = 0.2 dan 32 elemen
untuk balok dengan h/L = 0.001.
1
21
41
61
81
101
121
141
161
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Balok Tipis 4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen
83 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.18a. Perbandingan konvergensi ragam getar balok (perletakan jepit-jepit)
untuk 4, 8, 16 dan 32 elemen pada balok P3-3-G (DSG) dengan
perbandingan kelangsingan h/L=0.2.
Gambar 5.18b. Perbandingan konvergensi ragam getar balok (perletakan jepit-jepit)
untuk 4, 8, 16 dan 32 elemen pada balok P3-3-QS (DSG) dengan
perbandingan kelangsingan h/L=0.2.
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Pseudospectral 4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Pseudospectral 4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen
84 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.19a. Perbandingan konvergensi ragam getar balok (perletakan jepit-jepit)
untuk 4, 8, 16 dan 32 elemen pada balok P3-3-G (DSG) dengan
perbandingan kelangsingan h/L=0.001.
Gambar 5.19b. Perbandingan konvergensi ragam getar balok (perletakan jepit-jepit)
untuk 4, 8, 16 dan 32 elemen pada balok P3-3-QS (DSG) dengan
perbandingan kelangsingan h/L=0.001.
5.2.3. Investigasi Analisis Getaran Bebas Pada Elemen Balok Model
Friedman & Kosmatka (1993) Terhadap MEH-K dengan DSG
Pada subbab ini akan dilakukan analisa getaran bebas pada balok
Timoshenko berbasis Kriging dengan DSG dengan model balok seperti yang
1
21
41
61
81
101
121
141
161
181
201
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Balok Tipis 4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen
1
21
41
61
81
101
121
141
161
181
201
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
NO
RM
ALI
ZED
FR
EQU
ENC
Y
MODE SHAPE
Solusi Balok Tipis 4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen
85 Universitas Kristen Petra
terdapat dalam Friedman & Kosmatka (1993). Balok ini memiliki perletakan sendi
– sendi. Data – data balok adalah sebagai berikut:
E = 1
v = 0.3
b = 0.2
h = 0.2
Hasil analisa yang dibandingkan adalah frekwensi getar alami balok (ω).
Frekwensi balok akan dibandingkan dengan solusi eksak frekwensi getar alami
pertama balok Timoshenko (ωi), dimana nilai ωi dihitung menggunakan persamaan:
𝜔𝑖 = (𝜋
𝐿)
2
√𝐸𝐼
𝜌𝐴 (5.7)
Hasil perbandingan ini dapat dilihat pada Tabel 5.14 dan diperjelas dengan
Gambar 5.20a, Gambar 5.20b, dan Gambar 5.20c.
Tabel 5.14. Perbandingan frekuensi getar alami antara interpolasi Kriging dengan
model elemen balok Friedman & Kosmatka pada balok tebal (h/L =
0.2) dengan 4, 8, dan 20 elemen.
Mode Shape
Solusi
Eksak
(𝜔𝑇/𝜔𝑖)
(𝜔/𝜔𝑇)
4 elemen 8 elemen 20 elemen
F&K P3-3-G
(DSG)
P3-3-QS
(DSG) F&K
P3-3-G
(DSG)
P3-3-QS
(DSG) F&K
P3-3-G
(DSG)
P3-3-QS
(DSG)
1 0.9404 1.0024 0.9980 1.0003 1.0006 1.0000 0.9999 1.0001 1.000057 1.000054
2 3.2672 1.0281 1.0044 1.0090 1.0067 0.9992 0.9996 1.001 0.999974 0.999939
3 6.2514 1.0952 1.3103 1.3180 1.0241 0.9996 1.0019 1.0038 0.999948 0.999845
4 9.497 1.5101 1.8297 1.8297 1.055 1.0107 1.0125 1.0088 0.999902 0.999737
5 12.8357 1.4682 1.4442 1.4408 1.0985 1.0438 1.0446 1.0161 0.999902 0.999738
6 16.1981 1.2714 1.3588 1.3535 1.1371 1.0727 1.0727 1.0258 1.000081 1.000016
86 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.20a. Perbandingan frekuensi getar alami antara interpolasi Kriging
dengan model elemen balok Friedman & Kosmatka pada balok tebal
(h/L = 0.2) dengan 4 elemen.
Gambar 5.20b. Perbandingan frekuensi getar alami antara interpolasi Kriging
dengan model elemen balok Friedman & Kosmatka pada balok tebal
(h/L = 0.2) dengan 8 elemen.
1.0000
1.1000
1.2000
1.3000
1.4000
1.5000
1.6000
1.7000
1.8000
1.9000
1 2 3 4 5 6
ω/ω
T
MODE SHAPE
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG) F&K
0.9800
1.0000
1.0200
1.0400
1.0600
1.0800
1.1000
1.1200
1.1400
1.1600
1 2 3 4 5 6
ω/ω
T
MODE SHAPE
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG) F&K
87 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.20c. Perbandingan frekuensi getar alami antara interpolasi Kriging
dengan model elemen balok Friedman & Kosmatka pada balok tebal
(h/L = 0.2) dengan 20 elemen.
Dari Tabel dan Grafik tersebut, dapat dilihat bahwa untuk pembagian
jumlah elemen sedikit (4 elemen), hasil yang didapatkan oleh Fried & Kostmatka
menunjukkan hasil yang lebih baik daripada hasil balok Timoshenko berbasis
Kriging dengan DSG. Namun untuk jumlah pembagian 8 dan 20 elemen, terlihat
bahwa hasil balok Timoshenko berbasis Kriging dengan DSG menunjukkan hasil
yang lebih baik daripada hasil yang diperoleh Fried & Kosmatka. Hasil yang
ditunjukkan oleh balok Timoshenko berbasis Kriging juga konvergen seiring
bertambahnya jumlah pembagian elemen balok.
5.2.4. Variasi Bentuk Ragam Getar Balok Timoshenko Berbasis Kriging
dengan DSG
Variasi bentuk ragam getar balok Timoshenko berbasis Kriging dengan
DSG dapat dilihat pada Lampiran 1 dan Lampiran 2. Pada Lampiran 1, balok yang
digunakan memiliki perletakan sendi-sendi, sedangkan pada Lampiran 2, balok
yang digunakan memiliki perletakan jepit-jepit. Masing – masing balok dibagi
menjadi 32 elemen, dan menggunakan 2 macam ketebalan yaitu balok tebal (h/L =
0.2) dan balok tipis (h/L = 0.001). Fungsi basis yang digunakan adalah fungsi basis
0.995000
1.000000
1.005000
1.010000
1.015000
1.020000
1.025000
1.030000
1 2 3 4 5 6
ω/ω
T
MODE SHAPE
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG) F&K
88 Universitas Kristen Petra
cubic dengan 3 lapis DOI. Fungsi korelasi yang digunakan adalah fungsi korelasi
Gaussian. Bentuk ragam getar yang ditampilkan dibatasi sampai 15 ragam getar
saja.
5.3. Analisis Stabilitas
5.3.1. Investigasi Terhadap Jumlah Sampling Point yang Efisien untuk
Integrasi Shape Function dalam Membentuk Matriks Kekakuan Geometris
Pada bagian ini akan diteliti jumlah sampling point yang efisien untuk
integrasi Shape Function dalam membentuk matriks kekakuan geometris, yang
didapatkan dari Persamaan (3.13). Balok yang digunakan dalam analisis ini
memiliki perletakan sendi-sendi, dan dibagi menjadi 4 elemen. Ilustrasi mengenai
balok ini dapat dilihat pada Gambar 5.21. Adapun data-data mengenai balok ini
adalah sebagai berikut:
L = 10 m
b = 1 m
h = 10 m
E = 2 x 109 kg/m2
v = 0.3
Hasil yang didapatkan adalah berupa gaya tekan kritis (Pcr) yang
didapatkan dari persamaan (3.16). Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel 5.15
dan Gambar 22. Dalam tabel dan gambar tersebut, terlihat bahwa baik dengan
menggunakan fungsi korelasi Gaussian ataupun Quartic Spline, nilai Pcr yang
dihasilkan tidak mengalami perubahan nilai apabila digunakan jumlah sampling
point diatas 3 titik. Maka untuk seterusnya, digunakan jumlah sampling point
sebanyak 3 titik.
Gambar 5.21. Balok Timoshenko dengan perletakan sendi – sendi yang dibagi
menjadi 4 elemen.
89 Universitas Kristen Petra
Tabel 5.15. Gaya tekan kritis (Pcr) yang dihasilkan berbagai jumlah sampling
point.
Jumlah Sampling Point Pcr
P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)
1 4.71E+09 4.70E+09
2 3.67E+09 3.95E+09
3 3.65E+09 3.91E+09
4 3.65E+09 3.91E+09
Gambar 5.22. Gaya tekan kritis (Pcr) yang dihasilkan berbagai jumlah sampling
point.
5.3.2. Investigasi Konvergensi Gaya Tekan Kritis Pada Balok Timoshenko
berbasis Kriging
Pada bagian ini akan dilakukan analisa konvergensi gaya tekan kritis (Pcr)
dengan berbagai jumlah elemen. Balok yang dianalisa memiliki data - data balok
seperti pada subbab 5.3.1, kecuali tinggi balok yang berbeda dalam bagian ini.
Fungsi korelasi yang digunakan adalah fungsi korelasi Gaussian dan Quartic
Spline. Pada bagian ini, analisa mencakup balok Timoshenko berbasis Kriging
dengan DSG maupun tanpa DSG (MEH-K Standar). Fungsi basis yang digunakan
adalah fungsi basis quadratic dan cubic. DOI yang digunakan sebanyak 2 dan 3
lapis. Hasil Pcr yang didapatkan akan dibandingkan dengan solusi eksak yang
didapatkan dari Kosmatka (1995), dimana nilai Pcr tersebut dihitung dengan
persamaan:
𝑃𝑐𝑟 =𝜋2𝐸𝐼
𝐿𝑒𝑓𝑓2 {
1
1+𝜋2𝐸𝐼
𝐿𝑒𝑓𝑓2𝑘𝐺𝐴
} (5.8)
di mana E = frekwensi struktur,
3.50E+09
3.70E+09
3.90E+09
4.10E+09
4.30E+09
4.50E+09
4.70E+09
4.90E+09
1 2 3 4
Gay
a Te
kan
Kri
tis
(Pcr
)
Jumlah Sampling Point
P3-3-G (DSG)
P3-3-QS(DSG)
90 Universitas Kristen Petra
𝐼 = panjang balok,
Leff = panjang efektif balok (L untuk sendi-sendi, L/2
untuk jepit-jepit),
k = faktor koreksi geser balok,
G = modulus geser balok, dan
A = luas penampang balok.
Dalam analisa ini digunakan balok dengan L/h bervariasi, mulai dari 1, 5,
10, 102, 103, dan 104. Jumlah elemen yang digunakan adalah 2, 4, 8, 16, dan 32
elemen.
5.3.2.1.Konvergensi Gaya Tekan Kritis Pada Perletakan Sendi-Sendi
Dengan data-data balok seperti yang telah diketahui sebelumnya, akan
dilakukan analisa untuk mencari Pcr dari balok tersebut. Hasil analisa dapat dilihat
pada Tabel 5.16a sampai Tabel 5.16f, dan diperjelas dengan Gambar 5.23a sampai
Gambar 5.23f.
Tabel 5.16a. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P2-2-G dan solusi
eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan, dengan
jumlah pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Jumlah
Elemen
Pcr / Pcr eksak (P2-2-G)
L/h
1 5 10 102 103 104
2 1.05316606 1.192315 1.209445 1.215788 1.215854 1.215854
4 1.00262755 1.041707 1.104069 1.213546 1.215831 1.215854
8 1.00009185 1.001998 1.006836 1.121514 1.214055 1.215836
16 1.00000292 1.00007 1.000266 1.008253 1.125723 1.214249
32 1.00000009 1.000002 1.000009 1.000444 1.008008 1.140121
Tabel 5.16b. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P2-2-QS dan solusi
eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan, dengan
jumlah pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Jumlah
Elemen
Pcr / Pcr eksak (P2-2-QS)
L/h
1 5 10 102 103 104
2 1.053166 1.192315 1.209445 1.215788 1.215854 1.215854
4 1.00284 1.043727 1.107089 1.213668 1.215832 1.215854
8 1.00011 1.002253 1.007771 1.142083 1.214692 1.215842
16 1.000004 1.000089 1.000336 1.014606 1.17865 1.215402
32 1 1.000004 1.000014 1.000912 1.041185 1.20634
91 Universitas Kristen Petra
Tabel 5.16c. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-G dan solusi
eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan, dengan
jumlah pembagian 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Jumlah
Elemen
Pcr / Pcr eksak (P3-3-G)
L/h
1 5 10 102 103 104
4 1.00055615 1.010022 1.034184 1.204924 1.215739 1.215853
8 1.00000378 1.000036 1.000111 1.003083 1.093522 1.21306
16 1.00000003 1 1 1.000021 1.001168 1.066906
32 1 1 1 1 1.000019 1.001765
Tabel 5.16d. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-QS dan solusi
eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan, dengan
jumlah pembagian 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Jumlah
Elemen
Pcr / Pcr eksak (P3-3-QS)
L/h
1 5 10 102 103 104
4 1.000666 1.012508 1.041722 1.207196 1.215764 1.215853
8 1.000006 1.000068 1.000213 1.009358 1.173062 1.215323
16 1 1.000001 1.000002 1.00019 1.016856 1.193186
32 1 1 1 1.000003 1.000305 1.026376
Tabel 5.16e. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-G (DSG) dan
solusi eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan,
dengan jumlah pembagian 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Jumlah
Elemen
Pcr / Pcr eksak (P3-3-G (DSG))
L/h
1 5 10 102 103 104
4 0.99815997 0.994145 0.993716 0.99356 0.993559 0.993559
8 0.99996308 0.999882 0.999874 0.999908 1.000289 1.000389
16 0.99999838 0.999995 0.999994 0.999994 0.999998 1.000028
32 0.9999999 1 1 1 1 0.999998
Tabel 5.16f. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-QS (DSG) dan
solusi eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan,
dengan jumlah pembagian 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Jumlah
Elemen
Pcr / Pcr eksak (P3-3-QS (DSG))
L/h
1 5 10 102 103 104
4 0.999564 0.998607 0.998504 0.998467 0.998467 0.998467
8 0.999917 0.999734 0.999715 0.999768 1.00021 1.000258
16 0.999993 0.999978 0.999977 0.999977 1.000004 1.00043
32 1 0.999999 0.999998 0.999998 0.999999 1.000011
92 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.23a. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P2-2-G dan solusi
eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan balok,
dengan jumlah pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Gambar 5.23b. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P2-2-QS dan
solusi eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan balok,
dengan jumlah pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
2 4 8 1 6 3 2
Pcr
/ P
crek
sak
Jumlah Elemen
P2-2-G
L/h=1
L/h=5
L/h=10
L/h=100
L/h=1000
L/h=10000
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
2 4 8 1 6 3 2
Pcr
/ P
crek
sak
Jumlah Elemen
P2-2-QS
L/h=1
L/h=5
L/h=10
L/h=100
L/h=1000
L/h=10000
93 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.23c. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-G dan solusi
eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan balok,
dengan jumlah pembagian 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Gambar 5.23d. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-QS dan
solusi eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan balok,
dengan jumlah pembagian 4, 8, 16, dan 32 elemen.
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
4 8 1 6 3 2
Pcr
/ P
crek
sak
Jumlah Elemen
P3-3-G
L/h=1
L/h=5
L/h=10
L/h=100
L/h=1000
L/h=10000
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
4 8 1 6 3 2
Pcr
/ P
crek
sak
Jumlah Elemen
P3-3-QS
L/h=1
L/h=5
L/h=10
L/h=100
L/h=1000
L/h=10000
94 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.23e. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-G (DSG) dan
solusi eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan balok,
dengan jumlah pembagian 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Gambar 5.23f. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-QS (DSG)
dan solusi eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan
balok, dengan jumlah pembagian 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Dari Tabel dan Grafik tersebut, terlihat bahwa hasil Pcr yang didapatkan
bersifat konvergen seiring bertambahnya jumlah elemen yang digunakan. Selain itu
juga terlihat bahwa untuk balok tebal (L/h = 1 dan 5) baik untuk MEH-K Standar
maupun MEH-K dengan DSG menunjukkan hasil yang baik (perbandingan Pcr
yang dihasilkan dengan Pcr eksak sangat mendekati satu). Untuk hasil dari
perhitungan MEH-K standar menggunakan fungsi basis quadratic (P2-2-G dan P2-
0.993
0.994
0.995
0.996
0.997
0.998
0.999
1
1.001
4 8 1 6 3 2
Pcr
/ P
crek
sak
Jumlah Elemen
P3-3-G (DSG)
L/h=1
L/h=5
L/h=10
L/h=100
L/h=1000
L/h=10000
0.998
0.9985
0.999
0.9995
1
1.0005
4 8 1 6 3 2
Pcr
/ P
crek
sak
Jumlah Elemen
P3-3-QS (DSG)
L/h=1
L/h=5
L/h=10
L/h=100
L/h=1000
L/h=10000
95 Universitas Kristen Petra
2-QS) ketika nilai L/h mencapai 10 menunjukkan hasil perbandingan Pcr dengan Pcr
eksak yang mencapai lebih dari 1.2, meskipun dengan peningkatan jumlah elemen,
hasilnya konvergen. Untuk hasil perhitungan MEH-K standar dengan fungsi basis
cubic (P3-3-G dan P3-3-QS) juga terlihat hal yang sama saat nilai L/h mencapai
100. Hal ini terjadi karena untuk balok yang tipis, memang terjadi fenomena shear
locking pada MEH-K standar. Namun untuk MEH-K dengan DSG, baik untuk
balok tebal maupun tipis, semua hasil perbandingan Pcr dengan Pcr eksak yang
dihasilkan sangat mendekati satu.
5.3.2.2. Konvergensi Gaya Tekan Kritis Pada Perletakan Jepit-Jepit
Dengan data-data balok seperti yang telah diketahui sebelumnya, akan
dilakukan analisa untuk mencari Pcr dari balok tersebut. Hasil analisa dapat dilihat
pada Tabel 5.17a sampai Tabel 5.17f, dan diperjelas dengan Gambar 5.24a sampai
Gambar 5.24l.
Terlihat dari tabel dan grafik tersebut bahwa hasil Pcr yang didapatkan
bersifat konvergen seiring bertambahnya jumlah elemen yang digunakan. Selain itu
juga terlihat bahwa untuk balok sangat tebal (L/h = 1) baik untuk MEH-K Standar
maupun MEH-K dengan DSG menunjukkan hasil yang baik (perbandingan Pcr
yang dihasilkan dengan Pcr eksak sangat mendekati satu). Hasil perhitungan MEH-
K standar dengan fungsi basis quadratic (P2-2-G dan P2-2-QS) ketika nilai L/h
mencapai 5 menunjukkan hasil Pcr yang hasilkan dengan jumlah pembagian elemen
sedikit sangat jauh dari solusi eksaknya, meskipun dengan peningkatan jumlah
elemen, hasilnya konvergen. Hal yang sama juga terlihat pada hasil perhitungan
MEH-K standar dengan fungsi basis cubic (P3-3-G dan P3-3-QS) saat nilai L/h
lebih dari 100. Ini merupakan akibat dari fenomena shear locking yang terjadi pada
balok tipis pada MEH-K standar. Namun untuk MEH-K dengan DSG, baik untuk
balok tebal maupun tipis, semua hasil perbandingan Pcr dengan Pcr eksak yang
dihasilkan nilainya mendekati satu.
Tabel 5.17a. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P2-2-G dan solusi
eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan, dengan
jumlah pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen. Jumlah
Elemen
Pcr / Pcr eksak (P2-2-G)
L/h
96 Universitas Kristen Petra
1 5 10 102 103 104
2 1.09933449 3.483362344 10.93344938 994.344938 99335.49 9933450
4 1.01208053 1.277249158 2.077405864 107.272109 10626.59 1062559
8 1.00040168 1.005971017 1.01792252 2.16192877 115.0739 11406.19
16 1.00001194 1.000128856 1.000299434 1.01525476 2.335789 134.1003
32 1.00000035 1.000003219 1.000005785 1.00022279 1.018984 2.853989
Tabel 5.17b. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P2-2-QS dan solusi
eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan, dengan
jumlah pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Jumlah
Elemen
Pcr / Pcr eksak (P2-2-QS)
L/h
1 5 10 102 103 104
2 1.099334 3.483362 10.93345 994.3449 99335.49 9933450
4 1.012734 1.292612 2.137577 113.2293 11222.25 1122124
8 1.000481 1.007569 1.023954 2.819819 181.3192 18031.21
16 1.000018 1.000231 1.00066 1.0498 5.839188 484.6553
32 1.000001 1.00001 1.000028 1.002294 1.226571 23.6398
Tabel 5.17c. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-G dan solusi
eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan, dengan
jumlah pembagian 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Jumlah
Elemen
Pcr / Pcr eksak (P3-3-G)
L/h
1 5 10 102 103 104
4 1.00759779 1.10028286 1.282577999 23.6753792 2262.358 226130.6
8 1.00006623 1.000904164 1.002292489 1.01957206 1.860669 85.80569
16 1.00000059 1.000012428 1.000044822 1.001141 1.010677 1.511177
32 1 1.000000115 1.000000458 1.0000237 1.000401 1.01567
Tabel 5.17d. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-QS dan solusi
eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan, dengan
jumlah pembagian 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Jumlah
Elemen
Pcr / Pcr eksak (P3-3-QS)
L/h
1 5 10 102 103 104
4 1.008192 1.115729 1.345132 29.96693 2891.552 289050.1
8 1.000091 1.001168 1.002885 1.056817 5.537273 453.371
16 1.000001 1.000022 1.000074 1.002425 1.115961 10.82168
32 1 1 1.000001 1.000058 1.003405 1.185696
Tabel 5.17e. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-G (DSG) dan
solusi eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan,
dengan jumlah pembagian 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Jumlah
Elemen
Pcr / Pcr eksak (P3-3-G (DSG))
L/h
1 5 10 102 103 104
4 1.00738211 1.103352006 1.13555461 1.15108998 1.151263 1.151265
8 0.99975629 0.99810104 0.997661805 1.00250727 1.056164 1.068828
16 0.99997554 0.999807058 0.999754251 0.99974165 0.999943 1.00256
32 0.99999885 0.999990901 0.999988404 0.99998728 0.999988 0.999998
97 Universitas Kristen Petra
Tabel 5.17f. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-QS (DSG) dan
solusi eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan,
dengan jumlah pembagian 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Jumlah
Elemen
Pcr / Pcr eksak (P3-3-QS (DSG))
L/h
1 5 10 102 103 104
4 1.008908 1.125357 1.165444 1.184962 1.185181 1.185183
8 0.999646 0.997233 0.996543 1.004254 1.061172 1.066809
16 0.999966 0.999735 0.999662 0.999667 1.002776 1.053156
32 0.999998 0.999982 0.999978 0.999976 0.999988 1.001174
Gambar 5.24a. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan fungsi basis quadratic dan DOI 2 lapis (P2-
2-G dan P2-2-QS) dan solusi eksaknya pada balok dengan L/h = 1,
dengan jumlah pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Gambar 5.24b. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan fungsi basis cubic dan DOI 3 lapis dengan
0.98
1
1.02
1.04
1.06
1.08
1.1
1.12
2 4 8 1 6 3 2
Pcr
/ P
crek
sak
Jumlah Elemen
L/h = 1
P2-2-G
P2-2-QS
0.999
1.001
1.003
1.005
1.007
1.009
1.011
4 8 1 6 3 2
Pcr
/ P
crek
sak
Jumlah Elemen
L/h = 1
P3-3-G
P3-3-QS
P3-3-G (DSG)
P3-3-QS (DSG)
98 Universitas Kristen Petra
dan tanpa DSG (P3-3-G, P3-3-QS, P3-3-G (DSG), P3-3-QS (DSG))
dan solusi eksaknya pada balok dengan L/h = 1, dengan jumlah
pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Gambar 5.24c. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan fungsi basis quadratic dan DOI 2 lapis (P2-
2-G dan P2-2-QS) dan solusi eksaknya pada balok dengan L/h = 5,
dengan jumlah pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Gambar 5.24d. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan fungsi basis cubic dan DOI 3 lapis dengan
dan tanpa DSG (P3-3-G, P3-3-QS, P3-3-G (DSG), P3-3-QS (DSG))
dan solusi eksaknya pada balok dengan L/h = 5, dengan jumlah
pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
2 4 8 1 6 3 2
Pcr
/ P
crek
sak
Jumlah Elemen
L/h = 5
P2-2-G
P2-2-QS
0.98
1
1.02
1.04
1.06
1.08
1.1
1.12
1.14
4 8 1 6 3 2
Pcr
/ P
crek
sak
Jumlah Elemen
L/h = 5
P3-3-G
P3-3-QS
P3-3-G (DSG)
P3-3-QS (DSG)
99 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.24e. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan fungsi basis quadratic dan DOI 2 lapis (P2-
2-G dan P2-2-QS) dan solusi eksaknya pada balok dengan L/h = 10,
dengan jumlah pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Gambar 5.24f. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan fungsi basis cubic dan DOI 3 lapis dengan
dan tanpa DSG (P3-3-G, P3-3-QS, P3-3-G (DSG), P3-3-QS (DSG))
dan solusi eksaknya pada balok dengan L/h = 10, dengan jumlah
pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.
1
3
5
7
9
11
13
2 4 8 1 6 3 2
Pcr
/ P
crek
sak
Jumlah Elemen
L/h = 10
P2-2-G
P2-2-QS
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
4 8 1 6 3 2
Pcr
/ P
crek
sak
Jumlah Elemen
L/h = 10
P3-3-G
P3-3-QS
P3-3-G (DSG)
P3-3-QS (DSG)
100 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.24g. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan fungsi basis quadratic dan DOI 2 lapis (P2-
2-G dan P2-2-QS) dan solusi eksaknya pada balok dengan L/h = 100,
dengan jumlah pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Gambar 5.24h. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan fungsi basis cubic dan DOI 3 lapis dengan
dan tanpa DSG (P3-3-G, P3-3-QS, P3-3-G (DSG), P3-3-QS (DSG))
dan solusi eksaknya pada balok dengan L/h = 100, dengan jumlah
pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.
1
201
401
601
801
1001
1201
2 4 8 1 6 3 2
Pcr
/ P
crek
sak
Jumlah Elemen
L/h = 100
P2-2-G
P2-2-QS
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
4 8 1 6 3 2
Pcr
/ P
crek
sak
Jumlah Elemen
L/h = 100
P3-3-G
P3-3-QS
P3-3-G (DSG)
P3-3-QS (DSG)
101 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.24i. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan fungsi basis quadratic dan DOI 2 lapis (P2-
2-G dan P2-2-QS) dan solusi eksaknya pada balok dengan L/h =
1000, dengan jumlah pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Gambar 5.24j. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan fungsi basis cubic dan DOI 3 lapis dengan
dan tanpa DSG (P3-3-G, P3-3-QS, P3-3-G (DSG), P3-3-QS (DSG))
dan solusi eksaknya pada balok dengan L/h = 1000, dengan jumlah
pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.
1
20001
40001
60001
80001
100001
120001
2 4 8 1 6 3 2
Pcr
/ P
crek
sak
Jumlah Elemen
L/h = 1000
P2-2-G
P2-2-QS
-499
1
501
1001
1501
2001
2501
3001
3501
4 8 1 6 3 2
Pcr
/ P
crek
sak
Jumlah Elemen
L/h = 1000
P3-3-G
P3-3-QS
P3-3-G (DSG)
P3-3-QS (DSG)
102 Universitas Kristen Petra
Gambar 5.24k. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan fungsi basis quadratic dan DOI 2 lapis (P2-
2-G dan P2-2-QS) dan solusi eksaknya pada balok dengan L/h =
10000, dengan jumlah pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Gambar 5.24l. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko
berbasis Kriging dengan fungsi basis cubic dan DOI 3 lapis dengan
dan tanpa DSG (P3-3-G, P3-3-QS, P3-3-G (DSG), P3-3-QS (DSG))
dan solusi eksaknya pada balok dengan L/h = 10000, dengan jumlah
pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.
5.3.3. Variasi Bentuk Ragam Tekuk Balok Timoshenko Berbasis Kriging
dengan DSG
Variasi bentuk ragam tekuk balok Timoshenko berbasis Kriging dengan
DSG dapat dilihat pada Lampiran 3. Balok yang digunakan memiliki perletakan
1
20001
40001
60001
80001
100001
120001
2 4 8 1 6 3 2
Pcr
/ P
crek
sak
Jumlah Elemen
L/h = 10000
P2-2-G
P2-2-QS
-49999
1
50001
100001
150001
200001
250001
300001
350001
4 8 1 6 3 2
Pcr
/ P
crek
sak
Jumlah Elemen
L/h = 10000
P3-3-G
P3-3-QS
P3-3-G (DSG)
P3-3-QS (DSG)
103 Universitas Kristen Petra
sendi-sendi dan jepit-jepit. Masing – masing balok dibagi menjadi 32 elemen, dan
memiliki data penampang dan material yang sama dengan perhitungan pada subbab
5.3.1 dan 5.3.2. Fungsi basis yang digunakan adalah fungsi basis cubic dengan 3
lapis DOI. Fungsi korelasi yang digunakan adalah fungsi korelasi Gaussian.
5.4. Analisis Dinamik Getaran Bebas Dari Balok yang Dibebani Gaya Aksial
5.4.1. Investigasi Konvergensi Frekwensi Getar Alami dari Balok yang
Dibebani Gaya Aksial
Pada bagian ini akan dilakukan analisa getaran bebas terhadap balok
Timoshenko berbasis Kriging yang dibebani gaya aksial. Perhitungan dilakukan
dengan fungsi korelasi Gaussian dan Quartic Spline, fungsi basis quadratic dan
cubic, DOI 3 lapis, dengan maupun tanpa DSG. Balok tersebut dianalisa dengan
perletakan sendi – sendi. Adapun data – data balok adalah sebagai berikut:
L = 10 m
b = 1 m
E = 2 x 109 kg/m2
v = 0.3
ρ = 10 kg/m3
L/h = 10 dan 104
P = 0.1 Pcr (tekan)
Hasil perhitungan dari analisa getaran bebas ini berupa frekwensi dan
ragam getar dari struktur balok yang ditinjau. Nilai yang dibandingkan dalam
analisa getaran bebas ini adalah nilai frekwensi ragam getar pertama struktur. Nilai
frekwensi tersebut akan dibandingkan dengan solusi eksaknya yang didapatkan dari
Kosmatka (1995), yaitu:
𝜔 = 𝜔𝐵𝐸𝐾𝑠𝐾𝑝 (5.9)
di mana ω = frekwensi pertama struktur,
𝜔𝐵𝐸 = frekwensi ragam getar pertama balok Euler-
Bernoulli dari persamaan (5.7),
Ks = modifikasi frekwensi akibat memperhitungkan
deformasi geser dan rotasi inersia, dan
Kp = modifikasi frekwensi akibat adanya gaya aksial
104 Universitas Kristen Petra
Nilai Ks didapatkan dari persamaan:
𝐾𝑠 = √1+
𝜋2𝐼
𝐴𝐿2(1+𝐸
𝑘𝐺)
1+𝜋2𝐼
𝐴𝐿2(1+𝐸
𝑘𝐺−
𝑃
𝑘𝐺𝐴) (5.10)
di mana I = inersia balok,
A = luas penampang balok,
L = panjang bentang balok,
E = modulus elastisitas balok,
k = faktor koreksi geser penampang balok,
G = modulus geser balok, dan
P = gaya aksial yang bekerja pada balok
Nilai Kp didapatkan dari persamaan:
𝐾𝑝 = √1 −𝑃
𝑃𝑐𝑟 − 𝑚 (5.11)
di mana P = gaya aksial yang bekerja pada balok, dan
𝑃𝑐𝑟 − 𝑚 = gaya tekan kritis dari balok pada ragam tekuk ke m,
Dalam kasus ini diambil ragam tekuk pertama saja
(m=1).
Dalam analisa ini, digunakan jumlah elemen yang bervariasi dari 4, 8, 16,
dan 32 elemen. Hasil perhitungan untuk balok dengan L/h=10 ditunjukkan dalam
Tabel 5.18a, sedangkan untuk balok dengan L/h=104 ditunjukkan dalam Tabel
5.18b. Kedua tabel ini diperjelas dengan Gambar 5.25a dan Gambar 5.25b.
Tabel 5.18a. Perbandingan frekuensi antara balok Timoshenko berbasis Kriging
dan solusi eksaknya dengan L/h=10 dengan jumlah pembagian 4, 8,
16, dan 32 elemen.
Jumlah
Elemen
Perbandingan Frekuensi Pertama
P3-3-G
(DSG)
P3-3-QS
(DSG) P3-3-G P3-3-QS P2-2-G P2-2-QS
4 0.98115403 0.983935418 1.002962 1.007224 1.042315 1.044004
8 0.98372103 0.983636114 0.983849 0.983906 0.987626 0.988144
16 0.98378396 0.983774355 0.983787 0.983788 0.983936 0.983975
32 0.98378679 0.983786146 0.983787 0.983787 0.983792 0.983795
105 Universitas Kristen Petra
Tabel 5.18b. Perbandingan frekuensi pertama antara balok Timoshenko berbasis
Kriging dan solusi eksaknya dengan L/h=104 dengan jumlah
pembagian 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Jumlah
Elemen
Perbandingan Frekuensi Pertama
P3-3-G
(DSG)
P3-3-QS
(DSG) P3-3-G P3-3-QS P2-2-G P2-2-QS
4 0.99722374 1.000138045 1.120811 1.120811 1.120811 1.120811
8 1.00023716 1.000138045 1.119196 1.120504 1.120801 1.120805
16 1.00001629 1.000250675 1.03698 1.107839 1.119867 1.120547
32 1.00000023 1.000005614 1.000982 1.01462 1.077391 1.115273
Gambar 5.25a. Perbandingan frekuensi pertama antara balok Timoshenko berbasis
Kriging dengan solusi eksaknya pada balok dengan L/h = 10, dengan
jumlah pembagian 4, 8, 16, dan 32 elemen.
Gambar 5.25b. Perbandingan frekuensi pertama antara balok Timoshenko berbasis
Kriging dengan solusi eksaknya pada balok dengan L/h = 104, dengan
jumlah pembagian 4, 8, 16, dan 32 elemen.
0.98
0.99
1
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
4 8 1 6 3 2
No
rmal
ized
Fre
qu
ency
Jumlah Elemen
L/h = 10
P3-3-G (DSG)
P3-3-QS (DSG)
P3-3-G
P3-3-QS
P2-2-G
P2-2-QS
Solusi Eksak
0.98
1
1.02
1.04
1.06
1.08
1.1
1.12
1.14
4 8 1 6 3 2
No
rmal
ized
Fre
qu
ency
Jumlah Elemen
L/h = 10000
P3-3-G (DSG)
P3-3-QS (DSG)
P3-3-G
P3-3-QS
P2-2-G
P2-2-QS
Solusi Eksak
106 Universitas Kristen Petra
Terlihat bahwa hasil untuk balok dengan L/h=10, semua hasil yang
ditunjukkan konvergen seiring semakin banyaknya jumlah pembagian balok.
Semua hasil yang dihasilkan sudah baik dan dekat dengan solusi eksaknya. Namun
terlihat bahwa hasil perbandingan frekwensi konvergen ke nilai 0.9838, bukan ke
nilai 1. Terlihat juga bahwa hasil balok Timoshenko berbasis Kriging dengan DSG
lebih baik daripada tanpa DSG. Untuk balok dengan L/h=104, nilai hasil
perbandingan frekwensi konvergen ke nilai 1. Nilai perbandingan untuk MEH-K
tanpa DSG telah lebih dari 1.1, sedangkan untuk MEH-K dengan DSG masih sangat
dekat dengan solusi eksaknya.