5.Dualité
en
programmation linéaire
Illustration de la notion
• Considérons une entreprise
produisant r produits finis: fk = demande du produit k =1, 2, …, r
utilisant s matières premières: hl = disponibilité de la matière première
l = 1, 2, …, s
• L’entreprise dispose de n procédés de production (activités):
xj = niveau d’utilisation du procédé j = 1, 2, …, n
cj = coût unitaire d’utilisation du procécédé j = 1, 2, …, n
Le procédé j
produit ekj unités de produit k =1, 2, …, r
utilise glj unités de matière l = 1, 2, …, s
pour chaque unité de son utilisation.
Illustration de la notion
• Considérons une entreprise produisant r produits finis: fk = demande du produit k =1, 2, …, r utilisant s matières premières: hl = disponibilité de la matière l = 1, 2, …, s • L’entreprise dispose de n procédés de
production (activités): xj = niveau d’utilisation du procédé j = 1, 2, …, n cj = coût unitaire d’utilisation du procédé j = 1, 2, …, n Le procédé j produit ekj unités de produit k =1, 2, …, r utilise glj unités de matière l = 1, 2, …, s pour chaque unité de son utilisation.
• Problème de l’entreprise: déterminer le niveau d’utilisation de chaque procédé de production pour satisfaire les demandes en produits sans excéder les disponibilités des matières premières tout en minimisant le coût total de production.
• Modèle
njx
slhxg
rkfxe
xcz
j
n
jljlj
k
n
jjkj
n
jjj
,...,2,10
)itésdisponibil(,...,2,1
)demandes(,...,2,1àSujet
min
1
1
1
Illustration de la notion
• Un entrepreneur propose à l’entreprise d’acheter les quantités de ses matières premières et de lui vendre les quantités de produits pour satisfaire les demandes.
• Il doit énoncer (déterminer) des prix unitaires
vk pour les produits k = 1, 2, … , r
wl pour les matières l = 1, 2, …, s.
vk
wl
njx
slhxg
rkfxe
xcz
j
n
jljlj
k
n
jjkj
n
jjj
,...,2,10
)itésdisponibil(,...,2,1
)demandes(,...,2,1àSujet
min
1
1
1
Illustration de la notion
• L’entrepreneur doit déterminer des prix qui soient intéressants pour l’entreprise.
• Pour vérifier l’intérêt de faire affaire avec l’entrepreneur, l’entreprise doit vérifier que pour chacun de ses procédés de production j, le coût d’acheter les unités de produits fabriquées par une unité d’utilisation du procédé j en tenant compte de ce qu’elle reçoit de l’entrepreneur pour les unités de matières qu’elle évite alors d’utiliser, que ce coût n’excède pas le coût unitaire d’utilisation cj du procédé j
j
s
lllj
r
kkkj cwgve
premièresmatières
desventeladerevenu
1
produitsdesachatd'coût
1
≤
njx
slhxg
rkfxe
xcz
j
n
jljlj
k
n
jjkj
n
jjj
,...,2,10
)itésdisponibil(,...,2,1
)demandes(,...,2,1àSujet
min
1
1
1
vk
wl
Illustration de la notion
• Le problème de l’entrepreneur est de maximiser son profit en s’assurant que ses prix restent intéressants pour l’entreprise
1 1
coût d'achat des revenu de la vente desproduits matières premières
r s
kj k lj l j
k l
e v g w c
≤
slw
rkv
njcwgve
whvfp
l
k
j
s
lllj
r
kkkj
r
k
s
lllkk
,...,2,10
,...,2,10
,...,2,1àSujet
max
11
1 1
Illustration de la notion
• Problème de l’entreprise: multiplions les contraintes de disponibilités par -1
njx
slhxg
rkfxe
xcz
j
n
jljlj
k
n
jjkj
n
jjj
,...,2,10
)itésdisponibil(,...,2,1
)demandes(,...,2,1àSujet
min
1
1
1
njx
slhxg
rkfxe
xcz
j
n
jljlj
k
n
jjkj
n
jjj
,...,2,10
)itésdisponibil(,...,2,1
)demandes(,...,2,1àSujet
min
1
1
1
1
slw
rkv
njcwgve
whvfp
l
k
j
s
lllj
r
kkkj
r
k
s
lllkk
,...,2,10
,...,2,10
,...,2,1àSujet
max
11
1 1
Problème de l’entreprise
Problème de l’entrepreneur
sj
j
rj
j
g
g
e
e
1
1
knkjkk eeee 21
1 2 lnl l ljg g g g
G
E
njx
slhxg
rkfxe
xcz
j
n
jljlj
k
n
jjkj
n
jjj
,...,2,10
)itésdisponibil(,...,2,1
)demandes(,...,2,1àSujet
min
1
1
1
T TE G
1 1j rj j sjkj lje e e g g g
njx
slhxg
rkfxe
xcz
j
n
jljlj
k
n
jjkj
n
jjj
,...,2,10
)itésdisponibil(,...,2,1
)demandes(,...,2,1àSujet
min
1
1
1
slw
rkv
njcwgve
whvfp
l
k
j
s
lllj
r
kkkj
r
k
s
lllkk
,...,2,10
,...,2,10
,...,2,1àSujet
max
11
1 1
Primal
Dual
T T
T T
max
Sujet à
, 0
vp f h
w
vE G
wv w
xc
TminSujet à
0
z c x
Ex
G hx
wf
Tmin
Sujet à0
c xAx bx
T
T
maxSujet à
0
b yA y c
y
x
y
min 8 6
Sujet à 5 3 30
2 3 24
3 18
, 0
z x y
x y
x y
x y
x y
1
2
3
v
v
v
x
y
5 3 30
2 3 24
1 3 18
x
y
1
2
3
5 2 1 8
3 3 3 6
v
v
v
TminSujet à
0
c xAx bx
T
T
maxSujet à
0
b yA y c
y
min 8 6
Sujet à 5 3 30
2 3 24
3 18
, 0
z x y
x y
x y
x y
x y
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
max 30 24 18
Sujet à 5 2 8
3 3 3 6
, , 0
v v v
v v v
v v v
v v v
Problème primal et problème dual
Problème de programmation linéaire avec inégalités
Problème de programmation linéaire sous forme standard
TminSujet à
0
c xAx bx
TminSujet à
0
c xAx bx
Problème primal Problème dual
Problème primal Problème dual
y x
y x
T
Tmax
Sujet àb yA y c
T
T
maxSujet à
0
b yA y c
y
min 8 6
Sujet à 5 3 30
2 3 24
3 18
, 0
z x y
x y
x y
x y
x y
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2
3
max 30 24 18
Sujet à 5 + 2 + 8
3 3 3 6
0
0
0
w w w
w w w
w w w
w
w
w
min 8 6
Sujet à 5 3 30
2 3 24
3 18
, , , , 0
z x y
x y u
x y p
x y h
x y u p h
1
2
3
w
w
w
x
y
u
p
h
1
2
3
5 2 1 8
5 3 1 0 0 30 3 3 3 6
2 3 0 1 0 24 1 0 0 0
1 3 0 0 1 18 0 1 0 0
0 0 1 0
x
wy
u w
p w
h
TminSujet à
0
c xAx bx
T
Tmax
Sujet àb yA y c
min 4 6
Sujet à 6 3 10
2 2 20
6
, 0
z x y
x y
x y
x y
x y
1
2
3
u
u
u
x
y
6 3 10
2 2 20
1 1 6
x
y
1
2
3
6 2 1 4
3 2 1 6
u
u
u
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 3
max 10 20 6
Sujet à 6 2 4
3 2 6
0, 0
u u u
u u u
u u u
u u
min 4 6
Sujet à 6 3 10
2 2 20
6
, 0
z x y
x y
x y
x y
x y
Problème primal et problème dual
Problème de programmation linéaire avec inégalités
Problème de programmation linéaire sous forme standard
TminSujet à
0
c xAx bx
TminSujet à
0
c xAx bx
Problème primal Problème dual
Problème primal Problème dual
y x
y x
T
Tmax
Sujet àb yA y c
T
T
maxSujet à
0
b yA y c
y
Tmin
Sujet à
0
c x
Ax b
x
T Tmin 0
Sujet à
0, 0
c x s
Ax Is b
x s
T
T
T
max
Sujet à 0
b ycA y
I
T
Tmax
Sujet à0
b yA y c
Iy
T
Tmax
Sujet à0
b yA y cy
Théorèmes de dualité
• Il est facile de démontrer que nous pouvons passer d’une paire de problèmes primal-dual à l’autre.
• Il est également facile de démontrer que le problème dual du problème dual est le problème primal.
• Nous allons donc démontrer les théorèmes de dualité en se référant à la paire où le problème primal est sous forme standard:
TminSujet à
0
c xAx bx
primal Dual
T
Tmax
Sujet àb yA y c
Théorèmes de dualité
• Théorème de dualité faible
Si (i.e., x est réalisable pour le problème primal) et si (i.e., y est réalisable pour le problème dual),
Preuve En effet, .
0,: xbAxxx
T:y y A y c T Talors b y c x
T T T T Tpuisque et que 0b y x A y x c A y c x
*
T T *
T
Si est une solution réalisable du dual et est une solution optimale du primal
alors
valeur optimale du primal
et ainsi,
est une borne inférieure sur
NOTE:
la
y x
b y c x
b y
valeur optimale du primal
Théorèmes de dualité
• Corollaire Si et , et si
,alors x* et y* sont des solutions optimales respectivement pour le problème primal et pour le problème dual.
Preuve Du théorème de dualité faible, il découle que pour toute solution réalisable x du problème primal
Par conséquent x* est solution optimale du problème primal.
Une preuve similaire est utilisée pour démontrer que y* est solution optimale du problème dual.
0,:* xbAxxx * T:y y A y c T * T *b y c x
T T * T * T * T T * T *et par hypothèse . Donc .c x b y b y c x c x b y c x
Théorèmes de dualité
• Théorème de dualité forte Si un des deux problèmes primal ou dual possède une solution optimale avec valeur finie, alors la même chose est vraie pour l’autre problème, et les valeurs optimales des deux problèmes sont égales. Si un des deux problèmes n’est pas borné, alors le domaine réalisable de l’autre problème est vide.
Preuve La seconde partie de l’énoncé découle directement du théorème de dualité faible. En effet, supposons que le problème primal n’est pas bornée inférieurement; ainsi cTx→ – ∞. Or si le problème dual était réalisable, alors il existerait un et par le théorème de dualité faible, nous aurions que ;i.e., bTy serait une borne inférieure sur la valeur de la fonction économique du primal cTx, une contradiction.
T:y y A y c T Tb y c x
Théorèmes de dualité
Pour démontrer la première partie, supposons que le problème primal possède une solution de base optimale x* pour laquelle la valeur de la fonction économique est égale à z*.
Soit les variables de base correspondantes.
Dénotons , et π le vecteur des multiplicateurs associés à la base optimale. Rappelons que les coûts relatifs des variables sont définis comme suit
où dénote la je colonne de la matrice A.
Supposons que cette solution de base optimale est telle que
Par conséquent
mjjj xxx ,...,,21
T 1,2,...,j j jc c a j n
ja
T 0 1,2,...,j j jc c a j n
T 1,2,...,j ja c j n
T
1 2[ , ,..., ]B j j jm
c c c c
Théorèmes de dualité
Supposons que cette solution de base optimale est telle que
Par conséquent
ce qui s’écrit sous la forme matricielle .
c’est-à-dire que π est une solution réalisable pour le problème dual.
T 0 1,2,...,j j jc c a j n
T 1,2,...,j ja c j n
T
1T
T2
T
n
a
aA c
a
T:y A y c
Tou 1,2,...,j ja c j n
Théorèmes de dualité
Évaluons maintenant la valeur de la solution réalisable π pour le problème dual. Rappelons d’abord la définition de π
.
Il s’ensuit que
.
Par conséquent, il découle du Corollaire du théorème de dualité faible que π est une solution optimale du problème dual, et que
.
T1BB c
T *b z
T TT T 1 1 T * *( )B B B Bb b B c B b c x c z
Théorie des écarts complémentaires
• Les prochains résultats introduisent de nouvelles conditions nécessaires et suffisantes pour que des solutions réalisables respectivement pour les problèmes primal et dual soient optimales pour ceux-ci.
• Considérons d’abord la paire suivante de problèmes primal-dual
TminSujet à
0
c xAx bx
primal Dual
T
T
maxSujet à
b yA y c xy
Théorie des écarts complémentaires
• Théorème des écarts complémentaires 1
Soit x et y des solutions réalisables respectivement pour les problèmes primal et dual précédents. Alors x et y sont des solutions optimales pour ces problèmes si et seulement si pour tout j = 1,2,…,n
Preuve Démontrons d’abord que les conditions sont suffisantes. Supposons que les conditions (i) et (ii) sont satisfaites pour tout j=1,2,…,n. Alors
T
T
0
0j j j
j j j
i x a y c
ii a y c x
T[ ] 0 1,2,...,j j jx a y c j n
T
1
Donc 0n
j j j
j
x a y c
TminSujet à
0
c xAx bx
T
T
maxSujet à
b yA y c x
Théorie des écarts complémentaires
Par conséquent
et le corollaire du théorème de dualité faible implique que x et y sont des solutions optimales respectivement pour les problèmes primal et dual.
T T T T T T T
1 1 1
Orn n n
j j j j j j j
j j j
x a y c x a y x c x A y c x b y c x
T[ ] 0 1,2,...,j j jx a y c j n
T
1
Donc 0n
j j j
j
x a y c
T Tb y c x
T T T T1 1 2 2
1
T1
T2
1 2
T
T
, , ,
n
j j n nj
n
nT
x a y x a x a x a y
a
ax x x y
a
x A y
Théorie des écarts complémentaires
Inversement, démontrons que les conditions sont nécessaires. Supposons que les solutions x et y sont optimales respectivement pour le primal et le dual. Par conséquent, se référant à la première partie de la preuve
et la preuve est complétée.
T
T
Puisque 0 et 1,2,..., ,
il sensuit que 0 1,2,...,j j j
j j j
x a y c j n
x a y c j n
T T T
1
0n
j j j
j
x a y c b y c x
Théorie des écarts complémentaires
• Considérons maintenant l’autre paire de problèmes primal-dual
• Théorème des écarts complémentaires 2
Soit x et y des solutions réalisables respectivement pour les problèmes primal et dual précédents. Alors x et y sont des solutions optimales pour ces problèmes si et seulement si
pour tout j = 1,2,…,n pour tout i=1,2,…,m
TminSujet à
0
c xAx bx
T
T
0
0j j j
j j j
i x a y c
ii a y c x
iii
iii
bxayiv
ybxaiii
0
0
TmaxSujet à
0
T
b yA y c
y
y x
Théorie des écarts complémentaires
Preuve Ce théorème peut être démontré comme un corollaire du théorème des écarts complémentaires 1. Transformons le problème primal sous une forme standard en introduisant des variables d’écarts si , i=1,2,…,m. Le problème devient alors
Le dual de ce problème s’écrit
TminSujet à
, 0
c xAx Is bx s
T T
T T
max maxSujet à Sujet à
0 0
b y b yA y c A y c
I y I y
TminSujet à
0
c xAx bx
Théorie des écarts complémentaires
Appliquons le théorème précédent pour la paire de problèmes suivants
Pour j=1,2,…,n
et pour i=1,2,…,m
TminSujet à
, 0
c xAx Is bx s
T
T
0
0j j j
j j j
i x a y c
ii a y c x
00
00
ii
ii
syiv
ysiii
T
T
maxSujet à
0
b yA y c
I y
x
s
y
Théorie des écarts complémentaires
Pour j=1,2,…,n
et pour i=1,2,…,m
et alors les conditions deviennent
T
T
0
0j j j
j j j
i x a y c
ii a y c x
00
00
ii
ii
syiv
ysiii
iii bxas Or
iii
iii
bxayiv
ybxaiii
0
0
TminSujet à
, 0
c xAx Is bx s
Algorithme dual du simplexe
• L’algorithme dual du simplexe est une méthode itérative pour résoudre un problème de programmation linéaire sous sa forme standard
njx
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
àSujet
xcxcxcz
j
mnmnmm
nn
nn
nn
,...,2,10
...
....
....
...
...
min
2211
22222121
11212111
2211
Algorithme dual du simplexe
• À chaque itération nous avons une solution de base du problème qui n’est pas réalisable, sauf à la dernière itération de l’algorithme, et pour laquelle les coûts relatifs de toutes les variables sont non négatifs.
• Par exemple, considérons le problèmemin 3/ 2 1/ 2 27
Sujet à 1/ 4 1/ 4 6 / 4
1/ 4 3/ 4 15 / 2
1/12 5 /12 13/ 2
, , , , 0
z u h
x u h
u p h
y u h
x y u p h
Algorithme dual du simplexe
Analysons une itération typique de l’algorithme où le tableau du simplexe associé à la solution de base actuelle est le suivant:
mic
njc
ij
j
,...,2,10
,...,2,10
Critère de sortie
mic
njc
ij
j
,...,2,10
,...,2,10
termine.se algorithmeL'optimale.et
réalisableestsolutionlaalors,,...,2,10S mibi i
Critère de sortie
mic
njc
ij
j
,...,2,10
,...,2,10
1
1
1
Sinon soit min 0 . S 0 1,2,..., , alors
le problème n'est pas réalisable. En effet puisque
0 et 0
il est impossible que .
r rjii m
nrj rj
j
nrj rj
j
b b i a j n
a x b
a x b
Critère de sortie
mic
njc
ij
j
,...,2,10
,...,2,10
.tableauduligneladansferasepivotLe
sortie.devariablelaest.0minsoitSinon1
r
xbbrji
mir
Critère d’entrée
mic
njc
ij
j
,...,2,10
,...,2,10
Nous allons choisir la variable d’entrée xs de telle sorte quei) la valeur de la variable de sortie xr augmente lorsque la valeur de xs augmenteii) les coûts relatifs des variables demeurent non négatifs lorsque le pivot sur est complété pour effectuer le changement de base
rsa
0rsa1 1s s
r rs s
m ms s
b a x
b a x
b a x
Critère d’entrée
mic
njc
ij
j
,...,2,10
,...,2,10
0rsa
En complétant le pivot sur le coût relatif de la variable xj devient
srs
rjj c
a
ac
rsa
augmenter.qu'peutnedevaleurla
,0et0puisquealors,0Si
j
rssrj
c
aca
Critère d’entrée
mic
njc
ij
j
,...,2,10
,...,2,10
0rsa
En complétant le pivot sur le coût relatif de la variable xj devient
srs
rjj c
a
ac
rsa
0
i.e.,négatif;nondemeurevariablelade
relatifcoutnouveaulequeassurers'fautil,0queteltoutPour
srs
rjj
j
rj
ca
ac
x
aj
Critère d’entrée
0:minou0:max
quetelestentréed'variableladeindicel'Donc
.0quetel
0quetel0
0quetel0
i.e.,négatif;nondemeurevariablelade
relatifcoutnouveaulequeassurers'fautil,0queteltoutPour
11rj
rj
j
njrs
srj
rj
j
njrs
s
rjrs
s
rj
j
rjrs
s
rj
j
rjsrs
rjj
j
rj
aa
c
a
ca
a
c
a
c
s
aja
c
a
c
aja
c
a
c
ajca
ac
x
aj
Pivot
• Pour retrouver le tableau du simplexe associé à la nouvelle base où la variable d’entrée xs remplace la variable de sortie il suffit de faire un
pivot sur l’élément . 0rsarj
x
Convergence
• Hypothèse de non dégénérescence: les coûts relatifs de toutes les variables hors base sont positifs à chaque
itération
• Théorème Considérons le problème de programmation linéaire sous forme standard
Sous l’hypothèse de non dégénérescence, l’algorithme dual du simplexe se termine en un nombre fini d’itérations.
Tmin
Sujet à
0
, ,
matrice
n m
z c x
Ax b
x
c x R b R
A m n
Convergence
• Preuve:
En supposant que la matrice A est de plein rang m, chaque solution de base doit comporter m variables de base.
Il y a un nombre fini de façons de choisir colonnes de parmi les pour former des sous matrices :
!
! ( )!
m A nm m
nnm m n m
Or les bases non réalisables constituent un sous ensemble de ces-dernières. !
Donc est une borne supérieure sur le nombre de ! ( )!
solutions de base non réalisables.
nnm m n m
Convergence
• Considérons l’effet de compléter un pivot sur la valeur de la fonction économique lors d’une itération de l’alg. dual du simplexe
Division de ligne r
par rsa
→ scrs
r
a
b
Soustraire de
encedéégénéresnondehyp.paretpuisque 0,0,0
~0000
srsr
rs
rs
cab
za
bczzz
dégénérescence
Convergence
Donc et ainsi la valeur de l’objectif augmente strictement d’une itération à l’autre.
Par conséquent une même solution de base non réalisable où les coûts relatifs de toutes les variables hors base sont positifs, ne peut se répéter au cours de l’application de l’algorithme dual du simplexe.
Puisque le nombre de ces dernières est borné (fini), il s’ensuit que l’algorithme dual du simplexe doit être complété en un nombre fini d’itérations.
00~ zz
encedéégénéresnondehyp.paretpuisque 0,0,0
~0000
srsr
rs
rs
cab
za
bczzz
dégénérescence
Parallèle entrealgo. du simplexe et algo. dual du simplexe
Algo. du simplexe
Recherche dans le domaine réalisable
Choisit la variable d’entrée pour réduire
la valeur de la fonction économique
Choisit la variable de sortie pour
préserver la réalisabilité
Stop quand une solution optimale est
trouvée ou que le problème n’est pas
borné inférieurement
Algo. dual du simplexe
Recherche à l’extérieur du domaine
réalisable
Choisit le variable de sortie pour éliminer
une variable de base négative
Choisit la variable d’entrée pour
préserver la condition d’optimalité
Stop quand la solution est réalisable ou
quand le problème n’est pas réalisable
jc j 0