А.С. Фадеев, В.Н. Арсеньев Определение начальных параметров...

33

УДК 681.511.4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ОТДЕЛЯЮЩИХСЯ ОТ РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ СОСТАВНЫХ ЧАСТЕЙ

ПО ОГРАНИЧЕННОМУ ЧИСЛУ ПУСКОВ

Введение Область рассеивания точек падения отделяющих-

ся от ракеты-носителя (РН) частей (ОЧ) на земной поверхности существенно зависит от разброса пара-метров движения РН относительно расчётных значе-ний в момент разделения. Отклонения параметров движения центра масс от расчётных значений и раз-брос параметров углового движения связаны, в первую очередь, с работой системы управления РН на активном участке траектории и обусловлены, в основном, погрешностями системы управления.

Оценить характеристики разброса параметров движения РН в момент разделения, которые одно-временно определяют начальные условия движе-ния ОЧ, можно путём моделирования возмущённо-го движения РН на активном участке траектории. Однако в процессе модельного эксперимента не-возможно учесть все факторы, влияющие на рассе-ивание фазовых координат РН относительно номи-нальной траектории. Получаемая таким образом область рассеивания начальных параметров дви-жения ОЧ является достаточно приближённой.

Объективные данные о рассеивании параметров движения ОЧ в момент отделения от РН можно получить только по результатам пусков РН. При этом должны выполняться два условия:

– число пусков должно быть достаточно большим; – условия проведения пусков должны быть иден-

тичными. Условия пусков полагаются идентичными при

совпадении граничных значений (точек старта и орбит выведения), программ управления, вероят-ностных характеристик параметров системы управления (СУ) РН и массогабаритных характе-ристик полезной нагрузки.

Число пусков РН в одних и тех же условиях

может быть ограниченным (например в настоящее время имеются результаты только нескольких пус-ков РН «Союз-2», причём условия их проведения отличаются).

Для повышения точности оценивания характери-стик разброса начальных параметров движения ОЧ в некоторых заданных условиях пусков необходимо:

– получить модельные оценки характеристик разброса; – объединить результаты моделирования и ре-

альных пусков РН и получить апостериорные оценки характеристик разброса начальных пара-метров движения ОЧ.

Постановка задачи Полагается, что p – мерный вектор вариаций

фазовых координат РН в момент отделения ОЧ ˆX распределён по нормальному закону

ˆ ˆ 1/2Δ /2Δˆ

1φ ; ,

2πp

X X X

X

X M KK

1ˆ ˆ ˆ

1exp ,

2

T

X X XX M K X M

с математическим ожиданием

ΔX

M и ковариаци-

онной матрицей Δ

X

K .

По результатам моделирования возмущённого движения РН на активном участке траектории полу-чены априорные (расчётные) оценки pM , pK пара-

метров Δ

X

M , Δ

X

K , а по результатам Nс пусков, ко-

торые представлены выборкой c, 1,iX i N , рассчи-таны опытные (статистические) оценки

Рассматривается задача оценивания характеристик разброса начальных параметров движения отделяющихся от ракеты-носителя составных частей по ограниченному числу пусков и результатам модельных экспериментов. Предложен новый подход к её решению, позволивший повысить точность оценивания характеристик разброса. Ключевые слова: ракета-носитель, отделяющаяся часть, область рассеивания, разброс начальных параметров, априор-ная информация, ограниченное число пусков, методы оценивания, отношение правдоподобия, апостериорные оценки, точ-ность оценивания.

А.С. Фадеев(ФГУП «ЦЭНКИ»), В.Н. Арсеньев

(Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского)

Вопросы электромеханики Т. 129. 2012 .

34

c

c1c

1;

N

ii

M XN

c

T

c c c1c

1 .

N

i ii

K X M X MN

Число пусков Nc ≥ p. Необходимо получить апостериорные оценки

Mа и Kа математического ожидания Χ

M и ковари-

ационной матрицы Δ

X

K вектора вариаций фазовых

координат РН в момент отделения ОЧ. Существуют различные способы апостериорно-

го оценивания характеристик СУ [1 – 8]. Группа методов [2, 4, 7, 8], основанная на фор-

муле Байеса, предполагает знание закона распре-деления априорных оценок. В настоящее время нет универсальных рекомендаций по выбору этого распределения.

Вторую большую группу составляют методы, ос-нованные на использовании коэффициента значимо-сти априорной информации, определяющего её вес в апостериорной оценке [1, 3, 5, 6]. Проблема выбора этого коэффициента, в общем случае, не решена.

В основе предлагаемого метода апостериорного оценивания характеристик разброса начальных па-раметров движения ОЧ лежат два опирающиеся на здравый смысл положения. Во-первых, априорная информация не должна противоречить результатам пусков РН. И, во-вторых, вес априорной информа-ции в апостериорной оценке не может превышать значения опытных данных.

Общий подход к определению апостериор-

ных оценок. Объединение априорной информации и опытных данных позволяет повысить точность оценивания неизвестных характеристик в том слу-чае, когда результаты модельных исследований, проведенных до пусков РН, не противоречат дан-ным, полученным по результатам пусков. В про-тивном случае привлечение априорной информа-ции может не только не повысить качество оцени-вания, а, наоборот, исказить опытные данные.

Поэтому полагается, что априорная и опытная информация о характеристиках разброса началь-ных параметров движения ОЧ является однород-ной. Это означает, что априорные оценки Мр и Кр могут рассматриваться как оценки, полученные по некоторой не реальной, а гипотетической выборке из совокупности с законом распределения

Δ Δ

,N X X

M K . По аналогии с опытными данными

её можно представить в виде pг , 1,i i N , где Np –

неизвестное число гипотетических пусков РН, а в качестве весовых коэффициентов, определяющих доли априорной и опытной информации в апосте-риорных оценках, использовать числа Np и Nc соот-ветственно. Чем ближе априорная информация к результатам пусков, тем больше её вес. При этом всегда Np ≤ Nc.

Множества результатов реальных пусков РН

c, 1,iX i N и гипотетических пусков pг , 1,iX i N

рассматриваются как выборки из одной генеральной совокупности с нормальным законом распределения.

Вводится общая функция правдоподобия

pc

гΔ Δ Δ Δ1 1

φ ; , φ ; , .NN

i ii i

L X X

Χ X X Χ X X

M K M K (1)

Поскольку можно представить

c

cc

c c /2Δ Δ Δ Δ /21

1φ ; , ( , ; , )

(2π)

N

i NNi

X L M K

Χ X X X X

Χ

M K M KΚ

1 1cc cexp ( ) ;

2

T

c

Ntr K M M

Χ Χ Χ ΧK Μ Κ Μ

p

pp

г p p /2Δ Δ Δ Δ /21

1φ ; , ( , ; , )

(2π)

N

i NNi

X L M K

Χ X X X X

Χ

M K M KΚ

p 1 1p p pexp ( ) ,

2

TNtr K M M

Χ Χ Χ ΧΚ Μ Κ Μ

где введены обозначения

p

p г1p

1;

N

ii

M XN

p T

p г p г p1p

1

N

i ii

K X M X MN

, то

c pc p

c c p p /2Δ Δ Δ Δ /2

1( , ; , ) ( , ; , )

(2π)N NX N N

L L M K L M K

X X X

Χ

M K M K

Κ

1 1cc c cexp ( )

2

TNtr K M M

Χ Χ Χ ΧΚ Μ Κ Μ

p 1 1p p p( ) .

2

TNtr K M M

Χ Χ Χ ΧΚ Μ Κ Μ (2)

А.С. Фадеев, В.Н. Арсеньев Определение начальных параметров...

35

Тогда в качестве апостериорных оценок, учитыва-ющих априорную и опытную информацию, берутся

a a, ,

, arg max arg max lnM K L L

Χ Χ Χ Χ

Μ K Μ Κ.

Поскольку функция плотности нормального распределения является регулярной в смысле пер-вой и второй производных [9, 10], то апостериор-ные оценки Мa и Ka математического ожидания

Χ

M и ковариационной матрицы Χ

K вектора ва-

риаций фазовых координат РН в момент отделения ОЧ могут быть определены из необходимых усло-вий максимума L (или lnL)

a aΔ Δ

Δ ,

ln0;

M K

L

X X

X M K

M

a aΔ Δ

Δ ,

ln0.

L

X X

X M M K K

K (3)

Решения этих уравнений имеют вид:

c c p pa

c p

;+

N M N MM

N N

(4)

T

c p c p c pc c p pa 2

c p c p

.+ +

N N M M M MN K N KK

N N N N

(5)

Найденные таким образом апостериорные оценки характеристик разброса начальных параметров дви-жения ОЧ фактически являются оценками максималь-ного правдоподобия, полученными по объединённой

выборке c, 1,i i N , pг , 1,iX i N и обладают всеми

положительными свойствами этих оценок. Входящая в формулы (4), (5) величина Np опреде-

ляет вес априорной информации, полученной методом моделирования, в апостериорных оценках Мa и Ka.

Определение числа гипотетических пусков Np. Поскольку априорная информация не должна про-тиворечить результатам пусков РН, а её вес в апо-стериорной оценке не должен превышать значения опытных данных, то полагается

Np = v*Nc, (6)

где 0 < v* ≤ 1 – отношение правдоподобия для про-верки гипотезы об однородности априорной и опыт-ной информации (H:

ΧM = Мр,

ΧK = Кр) [11]

c/2* 1 1 1cc p c p c p p c pν= exp .

2

N TNKK p tr KK M M K M M

(7)

Если для заданного уровня значимости γ вели-

чина z*= –2lnv* меньше критического значения zy

(или v* ≥ /2yze ), то принимается решение о воз-можности совместной обработки априорных и опытных данных. Порядок определения критиче-ской границы zy для различных законов распреде-ления подробно рассмотрен в [11].

Из (6) видно, что вес априорной информации в апостериорных оценках не больше веса опытных данных, т. е. всегда выполняется условие Np ≤ Nc.

Можно показать, что при ограниченном чис-ле пусков Nc точность апостериорных оценок (4), (5) характеристик разброса начальных па-раметров движения ОЧ выше точности оценок, полученных только по результатам реальных пусков, в среднем в = 1 + v* раз. Чем ближе априорная информация к результатам пусков, тем больше величина отношения правдоподобия (7) и выигрыш в точности оценивания. Повышение точ-ности за счёт использования априорной информа-ции будет максимальным ( = 2) при v* = 1, т. е. при полном совпадении априорных и опытных оценок (Мс = Мр, Кс = Кр).

Иллюстративный пример

Рассматривается двумерный вектор

Χ изо-хронных вариаций фазовых координат СУ РН, распре-делённый по нормальному закону с математическим ожиданием

ΧM и ковариационной матрицей

ΧK .

Известны априорные оценки Мр = [1,2 1,2]T,

p

1,44 0,72

0,72 1,44K

параметров Χ

M , Χ

K и

опытные оценки Мс = [1 1]T, c

1 0,5

0,5 1K

, полу-

ченные методом максимального правдоподобия по результатам Nc = 11 пусков РН. Необходимо найти апостериорные оценки математического ожидания

Χ

M и ковариационной матрицы Χ

K .

Значение отношения правдоподобия для про-верки гипотезы об однородности априорной и опытной информации, рассчитанное по формуле (7), v* = 0,4259, а z* = 1,7073.

При уровне значимости γ = 0,05 граничное зна-чение zy = 14,3446 [11]. Поскольку z* < zy, то гипо-теза об однородности априорной и опытной ин-формации принимается и Np = 0,4259, Nc = 4,6844.

Вопросы электромеханики Т. 129. 2012 .

36

По формулам (3), (4) определяются апостериор-ные оценки математического ожидания

ΧM и ко-

вариационной матрицы Χ

K :

Мa =[ 1,06 1,06]T; 1,14 0,57

0,57 1,14aK

.

При бóльшем отличии априорных данных от опытных, например, при Мр = [0,8 1,2]T,

p

0,9 0,6,

0,6 0,8K

получаются следующие значе-

ния: v* = 0,0290, z* = 7,0819, Np = 0,3188. По-скольку условие z*< zy выполняется, то можно положить, что априорные и опытные данные принадлежат к одной совокупности. Однако из-за малого значения величины v* влияние апри-орной информации на апостериорные оценки будет незначительным. Действительно, в дан-ном случае апостериорные оценки параметров

Χ

M и Χ

K имеют вид Мa = [0,99 1,01]T;

a

1,00 0,50

0,50 1,00K

и практически совпадают с

опытными оценками.

Заключение Предложенный подход к оцениванию характери-

стик разброса начальных параметров движения ОЧ позволяет объединить априорную (полученную в процессе моделирования) и опытную (полученную в процессе пусков РН) информацию, и повысить точ-ность оценок соответствующих характеристик.

При ограниченном числе пусков Nc и некото-

рых распределениях

Χ возникают трудности, связанные с определением граничного значения zy, необходимого для проверки однородности априорной и опытной информации. Следует за-метить, что процедура проверки принадлежности всей имеющейся информации к одной генераль-ной совокупности может быть опущена, посколь-

ку при наличии больших расхождений в данных, полученных до и после проведения пусков РН, величина отношения правдоподобия v*, фактиче-ски определяющая вес априорной информации в апостериорных оценках, близка к нулю. Малое значение отношения правдоподобия и, как след-ствие, числа гипотетических испытаний Np практически исключает влияние априорной ин-формации на результат. Этот момент достаточ-но наглядно продемонстрирован в приведённом примере.

Литература

1. Пугачев В. Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик / В. Н. Пугачев. – М. : Сов. радио, 1973. – 256 с. 2. Шаракшанэ А. С. Испытания сложных систем / А. С. Шаракшанэ, И. Г. Железнов. – М. : Высшая шко-ла, 1974. – 184 с. 3. Элементы теории испытаний и контроля технических систем / под ред. Р.М. Юсупова. – Л. : Энергия, 1978. – 192 с. 4. Кринецкий Е. И. Лётные испытания ракет и космиче-ских аппаратов / Е. И. Кринецкий [и др.]. – М. : Маши-ностроение, 1979. – 464 с. 5. Щербаков П. С. Использование априорной информа-ции для уточнения опенок параметров / П.С. Щербаков // Изв. АН СССР. Автом. и телемех. – 1988. – № 5. – С. 80 – 89. 6. Арсеньев В. Н. Метод апостериорного оценивания показателей качества системы при ограниченном объе-ме информации / В. Н. Арсеньев // Изв. вузов СССР. Приборостроение. – 1991. – № 11. – С. 16 – 22. 7. Моррис У. Наука об управлении. Байесовский подход / У. Моррис. – М. : Мир, 1971. – 304 с. 8. Рао С. Р. Линейные статистические методы и их при-менения / С. Р. Рао. – М. : Наука, 1968. – 548 с. 9. Леман Э. Проверка статистических гипотез / Э. Ле-ман. – М. : Наука, 1979. – 408 с. 10. Уилкс С. Математическая статистика / С. Уилкс. – М. : Наука, 1967. – 632 с. 11. Арсеньев В. Н. Новые методы принятия реше-ний при ограниченных экспериментальных данных / В. Н. Арсеньев. – СПб. : ВКА имени А. Ф. Можайского, 1999. – 90 с.

Поступила в редакцию 02.10.2012

Александр Сергеевич Фадеев, канд. техн. наук, генеральный директор, т. (495) 631-82-89,

e-mail: tsenki@roscosmos.ru. Владимир Николаевич Арсеньев, д-р техн. наук, профессор,

т. (911) 262-02-22, e-mail: vladar56@mail.ru.