OBJETImS

1.- Interpretar correctamente el concepto deenergía y reconocer sus distintos tipos.

2.- Describir los movimientos a partir decantidades escalares como el trabajo yla energía cinética.

3.- Conocer la primera Gran Ley de Con-servación: La «Ley de conservación dela Energía»

"

na de las principales preocupaciones del hombre en la actua-lidad es la de conseguir nuevas fuentes de energía; esto hadado lugar incluso a enfrentamientos armados. pues resulta

vital la obtención de energía para el mundo moderno en quevivimos.Buena parte de nuestros bosques han sido dilapados paraobtener energía de la madera; se extrae gas y petróleo de lasprofundidades de la Tierra y del mar; se almacena el agua de las lluvias'para generar energía eléctrica; con sofisticados procedimientos se extraela energía de los átomos. llamada energía nuclear •...• etc.Todo éstocon una finalidad: generar movimiento. y la energía es la clave.

DII ~ONCEPT<?DE ENERGIAEs importante reconocer que la noción de energía es un invento

de la imaginación humana. pero reúne una serie de características quele da unidad. pues al utilizarla en la explicación de los fenómenos loshace entendibles. La energía tiene la especial característica de pasarde un cuerpo a otro. o. cambiar de forma. Decimos que un cuerpo tieneenergía si puede realizar trabajo; así. la energía se mide por el trabajorealizado.En el ejemplo de la Fig.ll.l.el hombre al empujar 5m al ar-mario aplicándole 20 N de

. fuerza. realiza un trabajo de:20N.5m= 100 joules .

Luego. diremos que en térmi-'nos de energía: ..

a) El hombre ha perdido 100 Jde energía.

b) El armario ha ganado. 100 Jde energía llamada cinética. Fig 11.1

Energía

JAMES PRESeOTr JOULE

(1818-1889)

Nacido en Inglaterra.Estudió en la Universidad deManchester, en donde fuédiscípulo de Jhon Dalton.Durante más de quinceaños, el execéntrlco tctxt-

. cante de cerveza y c/entífi·ea aficionado a la Físlccluchó gran parte del tiempocontra el consenso de leépoca: La existencia deicalorlco. A finales de 1 85eel cuidado y rigor de susInvestigaciones le permitióestablecer la equlvalenciedel trabajo y el ootot.str,duda, estos trabajos sirvie-ran de base para el estable-cimiento del Principio deConservación de la Energía.

216 Física-Primer Nivel

TRABAJO INTERNO

Se sabe que si un cuerporealiza trabajo, pIerde unacantidad equivalente deenergía. Al analizar el casodel hombre sostenIendounas de las pesas (Fig. 10.3bJse comprobó que este norealizaba trabajo sobre laspesas; sin embargo, su can-sancio y su sudor nos sugie-ren que perdió ener;;¡ía. Esteconsumo de energla se ex-plica porque al tensar losmúsculos, éstos disminuyensu longitud haciendo un tro-baJo interno al que realizanlas fuerzas internas de unaparte de un sIstema sobreotra.

CUIDADO !!La relación (11.1) pera la e-

nergía cinética solo tienevalidez silo velocidad con quese desplaza el cuerpo es mu-cho menor que la velocidadde la luz. (e), enfrxlces suener-gía cinética esfcrá dada por:

Ee = (m - mJc2

donde: m =moso enmovimiento

mo = masa en reposo

FélixAucallanchi V.

11II TIPOS DE ENERGIADe acuerdo con su naturaleza, la energía puede ser mecánica,

calorífica, eléctrica, magnética, luminosa, solar, nuclear, química, bioló-gica, ..etc. Entre las energías mecánicas más conocidas, tenemos: laenergía cinética, la potencial gravitatoria, la potencial elástica, la hidráu-lica (agua), la eólica (viento), la mareamotríz (mareas) ...etc.

_ ENERGIA CINETICA (Ee>

Cuando un cuerpo experimenta movimiento de traslación, se diceque tiene energía, es decir, puede hacer trabajo gracias a su movimiento.Esto lo podemos ver en el ejemplo de la Fig. 11.2, en donde el cochede masa m se desplaza con relación al piso con una velocidad v. Acontinuación choca contra la plataforma suspendida, y aplicándole unafuerza F lo empuja la distancia x hasta detenerse finalmente.Sin duda.ésto es una prueba de que el coche hizo trabajo en virtud a sumovimiento. Entonces, llamaremos Energía Cinética a la capacidadde un cuerpo para efectuar trabajo gracias al movimiento de traslaciónque experimenta.

Se verifica que la ener-gía cinética es siempre posi- +-d--+tiva, depende del sistema dereferencia, y su valor resultase directamente proporcionalcon la masa del cuerpo y conel cuadrado de su velocidad.

"Gracias a su movimiento el cocheempuja laplataforma"I Be = !mv2j (11.1)

I!IIENERGIA POTENCIAL (EP)

Fig 11.2

Este nombre fué sugerido por William Rankine (1820- 1872), Yes un tipo de energía almacenable y recuperable que espera ser liberada.Esta energía existe en virtud de la posición de un cuerpo con relacióna otro, entre los que existen fuerzas de interacción. La propia experiencianos confirma que esta energía se va almacenando al mover un cuerpoen contra de una fuerza, la misma que continúa actuándo incluso despuésdel desplazamiento cuando el cuerpo se detiene. Por ejemplo una ligaestirada contiene EP elástica, una lámpara que cuelga del techo tieneEP gravitatoria, un cartucho de dinamita contiene EP química, unanube cargada tiene EP eléctrica, dos imanes separados que intentanunirse tienen EP magnética, los misiles nucleares tiene EP nuclear.Debemos aprender a reconocer que : «La energía potencial estáalmacenada en un sistema de objetos que interaccionan entre sí, demanera que esta energía no es propiedad de cada objeto, sino delsistema».

IIIIENERGIAPOTENCIAL GRAVITATORIA (EPG)Si levantamos un macetero de 1kg desde el piso hasta una repisa

que está a una altura de 1,2 m habremos realizado un trabajo igual a :ION. 1,2m =12joules, para vencer la fuerza de gravedad. Esto significaque hemos invertido 12 J en levantar el macetero, y éste ha ganado 12Jde energía, que quedará almacenado en él hasta que algún agente externolo libere. Así pues, cuanto más trabajo se invierte en levantar un cuerpo,mayor es la energía que éste almacena, a la que llamaremos energíapotencial gravitatoria. No cabe duda que cuando un cuerpo libera suenergía potencial gravitatoria, ésta le permite realizar trabajo; valedecir, el cuerpo devuelve la Energía que se invirtió en él para levan-tarJo (Fig .11.2). Llamamos" , <K' .pu~s energía potencial ~ravita- 1'¡ I'·j··. I~.'''''tona, a aquella que tiene un g (.. -, .cuerpo gracias a su peso (P) y .

~~n~~~: i:;victU:d ~~~s:e~!~i~~ ••••·1, J I f ha un nivel de referencia deter- ....• II 1minado Así, su valor viene dado 1por la siguiente ecuación: __ ___

f .(11.2) Nivelde 1« errmcia

Fig 11.3Observacién.: El signo de h será positivo si el C.G. está por encima del Nivelde Referencia (N.R.). El nivel cero de energía potencial se presenta cuando elcuerpo se ubica en el N.R.

11II ENERGIA POTENCIAL ELASTICA (EpE)

Si estiramos o comprimimos un resorte, nosotros le aplicamosun fuerza para vencer su resistencia, y así cuando el punto de aplicaciónde la fuerza se desplaza una distancia determinada, diremos que se harealizado un trabajo, notándose ahora un resorte deformado. Hasta aquítodo bien; pero:¿Quién se quedó con nuestro trabajo?

Indudablemente,lo almace-nó el resorte; por ello llamaremosenergía potencial elástica a aque-lla que poseen todos los cuerposelásticos en general cuando se en-cuentran deformados. Para el casode un resorte como el de laFig.ll.4,podemos encontrar la energía EI?Ealmacenada en base al trabajorealizado, encontrándose que:

F

(11.3)Fig 11.4

Observacién.« Este tipo de energía es siempre positiva, sea que el resorteesté estirado o comprimido.

Energía 217

PARA NO OLVIDAR

Una trayectorIa curva escerrada sIcomienza yterml-no en el mIsmo punto. Apartir de ésto se estableceque el trabajo que real/zeuna fuerza conservatlva esuna trayectorIa cerrada esnula.

218 Física-Primer Nivel

DEBES SABER QUE:

En las casos en que lossistemasfísicosno presentencuerpos elásticos, la ener-gía mecánica viene dadaasí:

OJO!

En la relación (11.5), eltrabajo neto Incluye a todaslas fuerzasque actuán sobreel cuerpo o sistema físicoelegido, y aunque la de-mostración se ha hechoconsiderando que el movi-miento es rectilíneo y uni-formemente variado: esteteorema es stemote váll-do,cualqulera sea la formade la trayectoria.

ATENCiÓN !!

Los valores de la veloci-dad y los desplazamientosverticales del ejemplo de laFig.11.ó se han formado dela tabla salvadora mostradaen la página IV' 97. Ahora,analizando fa participacióndel peso P=20N, tenemosque en el trayecto AB:

W;!,= 20 N. 5 m = 100 J

Elvalor de este trabajo coin-cide con el aumento produ-cido en la energía cré.ca ytambién con lo disminuciónque expirementó lo energíapotencial grovitotoria:

E:(j - E;c =300J-400.1=-100J

.. W~eso = -[E:c-E;c 1c : Wpeso = - 6 EpG

Félíx Aucallanchi V.

lIIfiENERGIA MECANI(;A TOTAL (Em)Si sumamos las energías mecánicas que posee un cuerpo f) sistema

en un punto de su trayectoria, habremos establecido una de las másimportantes definiciones que permitirá entender fácilmente el Principiode Conservación de la Energía. Así pues, queda establecido que:

I Em =Bc + B~ +EpE 1 (11.4)

11TEOJ;lEMADEL TRABAJO Y LA ENERGIA• CINETICAResulta conocido el hecho de que un cuerpo altere !I valor de su

velocidad por causa de la aplicación de una fuerza resultante, tal comose explicó en el Capítulo 9 de Dinámica.Sin embargo, aplicando losconceptos de energía cinética y trabajo podemos reconocer que' «Siun cuerpo o sistema físico recibe un trabajo neto, experimentará uncambio en su energía cinética igual al trabajo recibido». En el ejemplode la Fig. l 1.5 el bloque experimenta u.za fuerza resultanteR. que desa-rrolla sobre aquel un trabajo neto que viene dado or:

Wneto = Rd= maddonde por Cinemática:

ad = (v: - ~~ ) /2.

2 2mv mv

f iLuego: Wneto =-2- - -2-

! W••••~B; • B~ J (11.5)

_FUERZAS CONSERVATlVAS

Fig 11.5

Diremos que uua fuerza es conservativa si el trabajo que realizadentro de un sistema permite cambiar las energías componentes de formatal que la energía total se mantiene constante. Asimismo, estas fuerzasse caracterizan porque el trabajo que realizan no dependen de la tra)'ecto-ria; solo depende de la posición ini- - --cial y de la posición final. Entre las ~ •.•.••'-" " 'P!-__ Atv\

fuerzas conservativas que encontra- '-r' v=O l!._"-v '"'PI.)-tVV

mos en la naturaleza tenemos: Las Is", Pfuerzas gravitatorias (peso), las ¡ ..fuerzas elásticas (resortes) y las ~:fuerzas electromagnéticas. Puede .. B . P v=lo.Il .(=lOO;.e:a-=300probarse que el trabajo realizado porestas fuerzas se calcula así:

IS", :: wocIo

(11.6) la:... 'IV=2011111 E:-400;E;'o=o

(11.7) ,

I WPeso =. ABPG :l~ WIle8ork= ABpE I

•

Fig 11.6

CONSERVACION DELAENERGIAMECANICAEn los ejemplos de la Fig.II.7 se observa que mientras disminuye

la energía potencial gravitatoria del cuerpo, su energía cinética va enaumento, de manera que la energía mecánica en A,B y C tiene el mismovalor; esto se debe a' que el cuerpo se mueve en el vacío, y solo estásujeto a una fuerzaconservativa como es su peso. En los ejemplos de laFig.11.7,elpénduloliberadoenAy 1:¡:la esferilla en P pueden oscilar de ,manera que si no existe rozamiento,los cuerpos siempre regresan al nivel (a) A .... Bhorizontal de los puntos de partida. '!

Así pues, «si todas las fuerzas que erealizan trabajo son conservativas,la energía mecánica de un sistemase conserva».

Fig 11.7

PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LAENERGIA

En 1 842 unjoven alemán de nombre Julius Robert Mayer daría elsiguiente paso de gigante en la construcción del gran edificio de laFísica, publicando un primer ensayo en el cual propuso que las distintasformas de energía «son cuantitativam ente indestructibles ycualitativament e convertibles». Así estableció que «Todas lasmanifestaciones de la energía sal! transformables unas en otras, y laenergía como un todo se conserva».Estoequivale a decir.«La Energía no se creani se destruye, solo se transforma».

TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGIAME CANICA

En el teorema del trabajo y laEnergía Cinética se utiliza el tra-bajo neto que se desarrolla sobreun sistema el cual incluye el trabajoque realizan las fuerzas conser-vativas (W c) y las no conservativas(WNC)' Luego se establecerá que:

WNC + WC =~ Ec ..... ( I )

Y en base a las relaciones (11.6) Y(11.7) el trabajo de las fuerzas con-servativas estará dado así:

Energia 219

MUY IMPORTANTE

En los ejemplos de la Fig.11.7 puede notarse que apesar de existir fuerzas noconservativas como la ten-siónen la cuerda (Fig.11.70),y la normal de losplanos in-clinados (Fig. 11. lb), laenergía mecánica se con-serva, ello debido a queambas no realizan trabajopor serperpendiculares a ladirección del movimiento.En tales circunstancias sedice que los sistemasestánaisladosy son conservativos.

ltl h,

.-' -----J,--------

si E: =25OJ y E~=400J

=:) WNC= 40OJ-250J=150J"La Energía Mecánica aumentasolo si existen fuerzas no conser-

I vativas haciendo trabajo"! --.J

Fig 11.8

DEBES SABER QUE

Una fuerza es no conset-votivo cuando el trabajoque realiza depende de latrayectoria, y su presenciapuede aumentar o dismi-nuir fa energía mecánicade un cuerpo o sistemafísico. Entre las fuerzas noconservativas más comu-nes tenemos a la fuerza derozamiento emético. cuyoprinci-pal efecto es el dedisminuir la energía mecá-nica, por lo que también sele llama fuerza disipativa.

. "';

220 Física-Primer Nivel FélixAucallanchí V.

Reemplazando (2) en (1) y despejando WNC :

(l1.8)

Resultando que se interprete así: «El cambio que experimenta la energía mecánica de un cuerpoo sistema físico es igual al trabajo que realizan sobre él las fuerzas no conservativas».

A

Ejercicio llustrativoSIel bloque mostrado es dejado en libertad en A ydesciende por un plano Inclinado donde ~c = 1/4,¿Qué velocidad poseerá el pasar por B?Resolución.-Resolveremos este ejercicio por tres métodos diferentes conla finalidad de demostrar la versatilidad de las leyes de laDinámica vistas hasta aquíler Método.- Utilizando el D.C.L. del bloque aplicaremos laSegunda Ley de Newton :

ma = LF - LF :::)ma = 6m - 2m :::) a = 4m/s2a favor en contrarde "a" de "a"

1,1

11111: 301m111

l. 37"c _- B

Ahora, reconociendo que se trata de un MRUV, aplicaremosla relación (4,7) para el cálculo de la velocidad final, siendoe=AB = 50m:

Ve = & = J2.4.50 :::) v,= 20 mIs Rpta.

2dl1 Método.- Ahora aplicaremos el Teorema del Trabajo y la Energía Cinética, para lo cual es necesarioreconocer a la resultante R de todas las fuerzas, lo cual se obtiene del D.C.L. del bloque:

R = 6 m - 2m = 4m , donde m = masa del bloque.

A continuación calcularemos el trabajo neto sobre el bloque Wne10 = R.d = (4 m)(50) = 200 m. Y finalmenteaplicamos la relación (11.5):

F 1 1 2 1 2Wnc1o=Ec -Ec :::) 2oom=2"mvr -2"m(O) :::) v,=20m/s Rpta.

3JlI Método.- En este último método aplicaremos el Teorema del Trabajo y la Energía Mecánica, para ellonecesitamos reconocer las fuerzas no conservativas que actúan sobre el bloque y seguidamente el trabajoque estas realizan. Del D.C.L. podemos apreciar que son dos la fuerzas no conservativas: la reacción normal(N) y la fuerza de rozanamiento (j), y sólo esta última realiza trabajo: Luego:

WNC = -f d= - (2 m) (50) = -100m

y eligiendo como ni vel de referencia la horizontal que pasa por B aplicaremos la relación (11.8).

WNC= E!-E~ :::) -IOOm=[!mv: +mg(0)]-[!m(0)2 +mg(30)]

2l 2 Vr:::) -100m=2" mVr -300m:::) 2oom=moT:::) v,=20m/s Rpta.

Energía 221

PROBLEMAS RESUELTOS

Probo 1.- Una masa de 100 kg Inicialmente en reposo tiene al cabo de 5 segundos en movientopor un plano sinfricción una energía cinética de 20.1 cf3 joules. Entonces, el valor de lafuerza constante que provoca este movimiento es en newtons :

A) 800 B) 700 C)600 0)500 E) 400

ResoluciÓn.-

En primer lugar calcularemos la velocidad final que adquiere el cuerpo utlizando la relación (11.1); así:

!mV}=E[ ~ !.lOO.V} =20.10 ~ vf=20mls

Seguidamente encontramos la aceleración que experimentó, durante el movimiento, para lo cual utilizaremosla relación (4.5) del M.R.U.V.

VI-Vi 20-0 ~ a=4m1sa=-t- =-5-

y finalmente encontraremos la fuerza que provocó esta aceleración utilizando la 2da Ley de Newton.

F'e ma = (100)(4) RPTA.E

Prob. 2.- ¿Cuánto trabajo es requerido para levanforvertfco/mente un bloque de O,1 kg partiendodel reposo hasta una altura de 2 metros, de manera que llegue a dicha altura conuna velocidad de 3 mis? (g = 9,8 mls2).

A) 4,32jaules B) 2.41 jaules C) 3,28 jaules O) 5,15 joules E) 1,36 jaulesUNI93-2

Resolución> r----'

,---' __.1 f=~.8""."~=O.lkg

ti = 2/11 Q/II

P=0.98 N

J ¡---¡, ,_____ L 1<..---'

Sea W el trabajo que debe efectuarse para levantar al bloquey WpeTtrabajo del peso. Entonces, al utilizar la relación (11.5)podemos decir que:

~ WE-(0,98N)(2m)=!(0,1 kg) (3 mls)2 ~

RPTA.B

Probo 3.- Uncuerpo de 10N de peso es levantddo desde el reposo a una altura de 10 m por unafuerza constante de 20N. La velocidad final de la masa en mis es: (g = 10 mls2)

O) .J130C)1OJ2 E)10JWA) 100 B) 150 UNI86

222 Física-Primer Nivel FélíxAucallanchi V.

Resolución-

De acuerdo con los datos reconocemos que la masa del cuerpoes: m = Plg = 1 kg. Asimismo, por el D.C.L. mostradopodemos reconocer que la fuerza resultante es:

R = LFy = F - P = 20 -10 =:) R = 10 N.

A continuación encontraremos el trabajo neto utilizando larelación (10.5):

Wnc10 = R.d = 10 N . 10 m =:) Wne10 = 100 J

Y finalmente empleando la relación (11.5) determinaremosla velocidad final:

r-----,---: 1

el = lO 11I

1'= ION

r---'l :"i :::O

v,= IOJ2m/sRPTA.C

Probo 4.- Uncuerpo de 1 kg de masa se encuentra sobre una superficie /Isohorizontal atado aun resorte cuya longitud natural es de 10 cm y de constante elástica 104 Ntrn. Si elcuerpo es desplazado 10 cm desde la posición de equilibrio y luego soltado;determinar la energía cinética (enjoules) del cuerpo cuando la longitud del resorte es35 cm.

A) 37,5 B) 637,5 C) 187,5

Resolución,-

En base al esquema elaborado podemos reconocer que elsistema es conservativo; por ello diremos que la energíamecánica se conserva. Además, la deformación inicial delresorte es: Xi = 10 cm = lO·lm, y su deformación final: xf =5 cm = 5.10.2 m. Luego.

:. EF=37,5}e RPTA.A

O) 112,5 E) 73UNI88

~

k I'¡=O

~1 I1- 40 (:11I .: 10 cm"

I1I

~I1

11I:::::\ :P.E.

l.~35cm : 5 CI/I 1

_." al

Probo 5.- Una bola de 200 gramos cae a partir del reposo. Su velocidad es de 15 misdepués de haber caído 20 metros, ¿Cuánta energía se perdió debido a la friccIóndel aire? (g = 9,8 m/s2).

Al 11-2 J B) 16.1 J C) 12,2 J O) 21,3 J E) 32,5 JUNI93-2

Energía 223

Resolución.-

Calculemos la energía mecánica de la bola en cada punto.Así:

En A : E~ = tm(0)2 + mghA = (0,2 kg ) (9,8 m/s2) (20 m): 'Q '.:~'.'l'=": I Vi~~ .: ·:

:.., '.. . .t. .~.., ... . ,. . ,. .'

1 .. KI .

h = 20/11. 1• 1

¡.'.' :... . I

. I

i ~;~.'.~.~'~;~'~f~~~1i mIs.NIVEL OE. .... '.'REFERENCIA . .,;. .... . .. PISO' : "~\\\\\\\\\\\\ \\\\\ \\.\ \\.\ \\\\\\\\\\ \\\\\\\\ \\\\\\\

~ EA = 39 2Jm '

En B: E! = ttrV} + mg (O) = t (0,2 kg) (15 m/s)2

:;:> EB = 22 5 Jm '

Luego, la energía perdida (E) será:

E= 16,7 J RPTA.B

Probo 6.- Una pelota es lanzada desde una altura de 4 m. Si rebota sin pérdidas de energíahasta una altura de 5 m. ccémo fue el lanzamiento? (g = 10 mls2).

A) Verticalmente hacia arriba con v = 415 trvsB)Verticalmente hacia abajo con v = 215 rrü:

C) Horizontalmente con v = 215 rtvsO) Saltado con v = OE) N.A. UNFV-88-1

Resolución>

Dado que la pelota rebota hasta alcanzar una alturamáximade 5m, donde su energía cinética se hace nula,concluímos que el lanzamiento fué vertical.Consideraremos que el tiro fué vertical y hacia abajo.asimismo, elegimos un nivel de referencia que pasepor A, y dado que el choque con el piso ño altera laenergía de la pelota, 'concluimos que la energíamecánic~ se conserva; Luego:

• s » A B' '1 2Em = Ein ~ 2mvA =mghB

RPTA.B

•

224 Física-Primer Nivel FélixAucallanchl V.

Probo 7.- En la figura un carro de una "montaña rusd' parte del reposo en el punto A. Halle laaltura h, sabiendo que IQvelocidad en el punto e es 20 mis (g = 9,8 mls2).

"A) 9,59 m

B) 19,18 m eC) 28,97 m 3011I

O) 8,18 m

E) N.A. UNFV 89 - 2

Resolución.-

Asumiendo que el sistema está libre de toda fricción, diremos que la energía mecánica se conserva. Utilizandoahora un nivel de referencia que pasa por B y D, tendremos que:

(20)2A e 1 2 1 2Em = Em ~ "2m(O) + mghA = "2 mv A + mgh ~ (9,8) (30) = -2- + (9,8) h

h =9,59 m RPTA.B

Probo 8.- Si un pequeño cuerpo de masa m parte del reposo y se desliza sin rozamientopor la superficie como se muestra en la figura, entonces la distancia recorrida (x)viene dada por:

A)x = H - h

8)x = 2h

C)X = JFih --- --O)x=2Jh{H-h)

E) x = J2 Hh UNMSM 89 . 1- x --lResolución.-

Utilizando la conservación de la energía mecánica, obtendremos la velocidad v de salida de la rampa.

Ahora, del movimiento parabólico estudiaremos los movimientos vertical y horizontal por separado.

De la caída libre vertical: h = !gt2 ...••. (vjy = O) => t = J2 (h/ g) ..... (2)

Del movimiento horizontal: x = v.t ..... (3)

Finalmente de (1) y (2) en (3) : x = J2 (h/ g) .~ =>. x = lJh(H-h) RPTA.D

Energía 225

Probo 9.- En la figura, m1 = 4 kg Y m2 = 1 kg; h = 2 m. si el sistema empieza a moverse deireposo, ¿Cuál es la magnitrJd de la velocidad de las masas cuando se encuentran?(g = 10mls2).

A]4J15 mis

B] 12mis

C] 4..[3{j mis

O] 12./2 mis

E] Tiene valores diferentes.

UNI84 -1

Resolueíén-

Dado que se trata de un sistema conservativo, diremos que laenergía mecánica se conserva en todo el movimiento. Ahora,los bloques suben o bajan las mismas distancias en el mismotiempo, lo cual nos permite asegurar que ambos tienen siemprela misma velocidad v. Utilizando el esquema adjunto y la con-servación de la energía mecánica, tendremos:

(Eel + Ee2) + (EPGl + EPG2) = E~Gg = 10 ml.r2

y reemplazando datos : v = l2 mis RPTA.B

Probo 10.- Una esfera peq.;eña de masa m se deja erJlibertad en el piJlto A Y recorre la stp3IfJCielisa.Halla la tecxxxx: normal de la Sl..PeffICiesobre la esfera coxxx: ésto pase (:XX el ixreoB.

A]mg

B]2mg

C]3mg

D]4mg

E] N.A. UNFV91

T26 Física-Primer NiveL

ResoluciÓn.-

Para determinar la reacción normal en B (NB) se necesitarácalcular primero la velocidad tangencial (v) que la esfera tieneal pasar por dicho lugar, y ello se podrá determinar utilizandola conservación de la energía mecánica, en vista de que noexisten fuerzas disipativas. Así pues tendremos:

E!=E~ ~ tmy2+mg(O)= !m(O)2+mgR

~ y2=2gR ..... (1)

A continuación aplicaremos la relación (9.7) que es la 2!I;LLeyde Newton para movimientos circulares, y en base al D.CL.indicado tendremos:

mac = I.F - I.Fvan al salen delcentro centro

v2~ m R = NB - O ..... (2)

y de (1) en (2) : RPTA.B

Probo 11.- Unapequeña esfera se desliza a par-tir del reposo desde el punto A. Hallela reacción normal en el punto C.

A]mg

B] (313/2] mg

C]2mg

O]3/2 mg

E] N.A.

UNFV90

ResoluciÓn.-

Procediendo de un modo similar como lo hicimos en el pro-blema anterior tendremos:

1) Cálculo de la velocidad (v) en "C" .- Por conservación de laenergía mecánica:

E~ = E~ ~ t my2 = mg( f) ~ v2 = gR

2) Cálculo de la reacción normal (N) en "C".- Utilizando la Segun-da Ley de Newton para el movimiento circular [relación (9.7)]:

ma = I.F - I.Fe

van al salen delcentro centro

mgN -""2 .....(2)

1 d 1 2) m.gR --N- mgY reemp azan O ( ) en ( , encontramos: R 2 ~

FélixAucallanchi V.

oo!'..~<!..----A \ 30" I

\ N 60" 1RJ2,C I~ D _

11'~ NIVEL DE60"'~ REFERENCIA fg

<,

mg

N=3/2mg RPTA.D

Probo 12.- Una esfera de masa m resbala sinfricción desde el punto A. ¿Cuál esla fuerza resultante que actúa sobreel punto 8? La esfera parte delreposo en el punto A.

A]mg J178]mg 115C] 15mg

O] 17 mg

E] N.A.

UNFV 89-1

Resolución.-

En base a los dos ejercicios anteriores procedere-mos a calcular la velocidad en B en base a la con-servación de la energía mecánica:

EB=EA ~ lmv2=mg(2R) ~ v2=4gRm m 2Seguidamente encontramos la reacción normal Nen "B" utilizando la relación (9.7):

v2m¡¡ =N-O ~ N=4mg

y finalmente hallaremos la fuerza resultante (F)en "B" en base al Teorema de Pitágoras. por t!:.a-tarse de dos fuerzas perpendiculares (N y P)

Energía 227

- - -----_._------------,

\r'1 ----~

-'--~

Probo 13.- Unbloque ose pa1e del reposo res-bala por una rampa y pierde entreA y 8 el 10% de su energíamecánica, por efecto del ro-zamiento.Sien el punto de má>dmaaltura su ve/ocido::f es de 5mLs. sualtura máxima es: (g = 10mil]

A]7m

8] 7J5m

C]9m

D]9J5m

E] N.A.

Resolución.-

RPTA.A

-----o

UNFV 87

Considerando un nivel de referencia horizontal que pase por B, diremos por condición del problema que:

228 Física-Primer Nivel FélixAucaflanchi V.

Asimismo, considerando el trayecto parabólico Be, donde la energía mecánica se conserva en vista de noexistir fuerzas disipativas, tendremos que la altura máxima que buscamos es la altura del punto C. Veamos:

1 92" mv~ + mghe = 10 mghA =>52 92 + 10 . he = 10. 10 . 10

he =7,75 m RPTA.B

Probo 14.- Determinar el ángulo e que define laposición donde la esferllla lisa,abandona la rampa circular, sa-biendo que partió del reposo en A.

A] arc cos (1/4]

B] arc cos (1/2)

C) arc cos (1/3)

D] arc cos (1/5)

E} arc cos (2/3]

Resolución.-

A partir de la conservación de la energía mecánicapodemos establecer que en el trayecto de A haciaB se verifica que:

VA =0

=> v~ = 2 gR (1 - cos e) ..... (1)

=> 1mv~ = mgh donde h = R (1 - cos e)

y del movimiento circular, aplicaremos la relación(9,7) en el punto "B" :

v2=> m. ; = mg cos e - o ..... (2)

van al salen delcentro centro

Luego de (1) en (2) :

2gR (l-cos e)R = g cos e=>2 - 2 cos e = cos e

=> cos e-1- 3 e = are cos (213) RPTA.E

Energía 229

11~ AUTOEVALUACION

1.- Indicar verdadero (V) o falso (F) segúncorresponda:

() Toda variación de energía cinética implica la reali-zación de un trabajo.

() La energía potencial gravitatoria es la misma, cual-quiera sea el nivel de referencia elegido.

() El trabajo de las fuerzas conservativas es siemprenulo.

A) VFF B) VFV C) FVV D) FFV E) FFF

2.- Elige las palabras que completen mejor la si-guiente oración: «La energía está almace-nada en un sistema de objetos que interaccionan entresí, de manera que ésta energía no es propiedad decada objeto si no del »,

A) Cinética; cuerpo D) Eléctrica; aireB) Potencial; sistema E) Nuclear; átomoC) Química; líquido

3.- Cuando un carrito de juguete empuja una paredagotando toda su batería se dice que:

1.- No hizo trabajo sobre la pared.n.- La energía se transmitió totalmente de la batería

a la pared.IlI.- Hubo trabajo interno en el carrito.

Señala lo incorrecto:

A) I B) II C) III D) I Yn E) II Y III

4.- Los gráficos de energía cinética (Ee)' potencialgravitatoria (EPG) y mecánica (Em) se han graficadoen función de la altura que va ascendiendo un cuerpoque ha sido lanzado verticalmente hacia arriba. Sepide señalar la relación que no corresponde:

1) Ee - B

II) EPG - eIlI) Em - A

IV) Ee - D

B)II

D) IV

A) I

C) III

E) N.A. h

5.- Considerando que es posible colocar un obs-táculo en 1 ó en 2, el péndulo que es liberado en Aascenderá:

( ) Por encima de la hori-zontal si el obstáculoestá en 1.

() Por debajo de la hori-zontal si el obstáculoestá en 2.

( ) Siempre hasta la mis-ma horizontal de A,cualquiera sea el lugarque ubiquemos alobstáculo.

A

2

Señalar verdadero (V) o falso (F):

A) VFV B) VVF C) VVV D) FFV E)FFF

6.- En el esquema, el vagón se desplaza con unavelocidad v2 = 7 mis. Si el hombre A lanza una pelotade 2 kg con una velocidad VI = 5 mis respecto de sucabeza, se afirma que:

( ) Para "A" el trabajo realizado es de + 25 J.

( ) Para "B" la energía cinética de la esfera es de+49J.

( ) Para "B" el hombre" A" realiza un trabajo nega-tivo durante el lanzamiento.

Indicar verdadero (V) o falso (F)

A) VFF B) VVV C) VFV D) FVF E) FFF

230 Física-Primer nivel

NIVEL!

Fé/ix Aucallanchi V.

PROBLEMAS PROPUESTOS

01.- Calcular la energía cinética del coche, si su masaes m = 5 kg Y su velocidad es v = -Zi (m/s)

02.- ¿Qué cantidad de energía potencial gravitatoriaposee el cono macizo y homogéneo de la figura,respecto del piso? Masa del cono = 3 kg

A) 50 1

B) 40 1

C) 30 1

D)20 1

E) 10 1

A) 20 1

B) 10 1

C) 151

D) 25 1

E) 301

03.- Encontrar la energía mecánica de la esfera demasa m = 4 kg Yvelocidad v = 5 m/s según como semuestra para el nivel de referencia B.

A) 80 1

B) 60 1

C) 50 1

D) 40 1

E) 30 1

--f---c-------4m v

IB

04.- Encontrar la variación que experimenta la energíacinética del bloque de masa In = 5 kg cuando pasa deA hasta B, si durante el trayecto estuvo afectado deuna fuerza resultante constante F = 20 N. A B = 10m.

A) 8001 B) 7001 C) 6001 D) 5001 E) 2001

OS.- Una paloma se encuentra volando a40maltura demodo que su energía mecánica es el triple de su energíacinética. ¿Cuál es la rapidez (en m/s) con que viaja?

A)IO B)15 C) 20 E) 40D)30

06.~Encontrar la variación (en]) que experimenta laenergía cinética del bloque de masam = 5 kg cuandopasa de A hasta B. AB = 10 m.

A ~'-,l---Bo--

A) 350 B) 300 C) 250 D) 200 E) 150

07.- Si soltamos un bloque en A, encontrar lavariación que experimenta la energía cinética delbloque de masa m = 'S kg cuando pasa de A hasta B.AB = 10 m.

A) 700 1

B) 600 1

C) 500 1

O) 4001

E) 3001

AIIIII

Liso :________D8m

8.- El trabajo neto desarrollado sobre el bloquemostrado al ir desde A hacia B es de:

m=4kg

B

A) 500 1

D) 800 1

B) 600 1

E) 9001

C) 700 1

09.- La energía mecánica de un sistema es de 4001, acontinuación recibe un trabajo de 3001 por parte defuerzas no conservativas y -200 1 de trabajo porparte de fuerzas conservativas. Cuál es la energíamecánica (en ])del sistema al final izar dicho proceso?

A) 600

D)900

B) 700

E) I 000

C) 800

NIVEL 2

10.- Desde cierta altura se deja un cuerpo de 2 kg¿Cuál es su energía cinética (en k1) al cabo de 4segundos? (g = 10/11/52)

A) 1,6 B) 1,8 C) 1,799 D) 2 E) 3,2

11.- Si el cuerpo de 2 kg demora 4 segundos en llegaral piso ¿Cuál es su energía potencial (en 1) respectodel piso, 3 segundos después de haber sido soltado(g = 10 m/s2)? rrtz:

A) 600 f·B) 500

C) 800

D) 900

E) 700

12.- Si un cuerpo de 2 kg se lanza verticalmentehacia arriba con rapidez de 60111/5. Hallar su energíapotencial (en /...1) respecto al nivel de lanzamientocuando su rapidez sea de 40 m/s (g = 10 11I/5

2)

A) 2,8 B) 3 C)2 D) 0,5 E) 0,2

13.- Un estudiante de 60 kg parte del reposo en unamoto acelerando a razón de 2/11/52. Calcular su energíacinética (en kJ) al cabo de 5 segundos.

A)3 B)2 C) 1,8 D)5 E) 1,7

14.- El bloque mostrado está apoyado en el extremode una mesa, ¿Qué trabajo (en 1) realiza la fuerza" F'para deformar al resorte de constante k = 4 kN/m?Se sabe que:

- Longitud original delresorte = 0,7 m

- Longitud final del resorte=0,2 m

A) 500 B) 600 C) 800 D) 250 E) 300

15.- ¿Qué trabajo (en J) se debe realizar sobre unresorte para deformarlo 20 cm? k = I 000 N/m

A)80 B)20 C)60 D)40 E) 12

16.- Se deja caer un cuerpo desde la posiciónmostrada. ¿Cuál es la rapidez (en m/s) cuando pasapor el punto más bajo del hoyo? Además R = 20 cm.(g = 10 m/s2)

Energía 231

A) 2

B)3

C)4

D)5

E)6

17.- Un cuerpo es soltado desde la posición mostrada.Hallar su rapidez cuando pase por el punto más bajode su trayectoria. La cuerda mide 2 m (g = 10 11I/5

2)

A) 2JS m/s

B) JS /11/5'60·

C) 5 mis

D) 5 J2 m/s

E) 3 JS m/s """'---0

18.- El bloque parte del reposo sin velocidad inicialpor el camino mostrado que distancia" d" recorre enla parte rugosa hasta que se detiene. (g = 10/11/5

2)

~---- d >:

A)2m B) 3 m C) 4 /11 D) 5 /11 E) 6 m

19.- En la superficie cilíndrica de 5/11 de radio, eltrabajo que realiza la fricción es de -900J. Hallar lamasa del bloque: VA = 30 mIs y vB =10 ml s(g = 10 m/s2)

A) I kg

B) 2 kg

C) 3 kg

D) 4 kg

E) 5 kg

A

R

B

232 Física-Primer nivel

NIVEL 3

20.- Una esfera de masa "m" se deja en la libertad en laposición "A". Hallar la máxima distancia que lograrecorrer sobre la superficie horizontal rugosa (J..l = 0,2)

A)2 m ·f·OB) 3 m

80 cmC)4m .LD) 5m fl

E) 6m

21.- Un bloque de masa "M" se lanzadesde "A"conuna rapidez inicial v = J6ii mis, Hallar Hlh paraque el bloque se detenga en "B". No hay rozamiento(g = 10 mls2)

A)2 Q /iB)3 A t ---:J lC) 4 h liso HD) 5 J lE) 1,3

22.- Un conductor aplica los frenos cuando su autoviajaba a 201llIs.¿Qué distancia recorre antes de dete-nerse si el coeficiente de rozamiento entre las llantas yel suelo es O,5? (g = 10 mls2)

A) 50 m B) 3011I C) 20 m D) 1011I E) 4011/

23.- Una bala de 20g con rapidez de 500mls, penetra25 cm dentro de un bloque de madera hasta detenerse¿Cuál es la fuerza media en (kN)producida sobre di-cha bala? (g = 10 mls2)

A)5 B)IO C)40 D)8 E) 3

24.- Encuentre la rapidez de lanzamiento "v" del blo-que de 1kg sobre el piso áspero (J..lk = 0,5) de maneraque el resorte sufra una de formación máx ima de O,2m,siendo k = 1 kNlm (g = 10 mls2)

A)3/Smls

B) 4.J5mls

C) 6/Smls

D)7/S//1ls

E) Tmlsf- . ,

3,8m

25.- Un objeto es soltado de un plano inclinado y alllegar a la parte inferior continúa deslizándose hastadetenerse en una distancia igual a la longitud del pla-

Félix Aucallanchi V.

no inclinado. Si ambas superficies son igualmenterugosas. Determine el coeficiente de rozamiento J..l.

A) 1/2

B) 1/5

C) 2/3D) 1/3E) 1/4

26.- La figura muestra un resorte de constantek = 81 Nlm, que está unido en "A" a un collarín de0,75 kg de masa ,el cual se mueve libremente a lolargo de una varilla horizontal. La longitud naturaldel resorte es Lo = 1m, si el collarín se deja en liber-tad en "A" , qué rapidez tendrá en el punto "B"

27.- Se lanza una esfera con 15 mls tal como seindica. Si su masa es 2 kg,determinar la reacciónnormal de la superficie cuando en la esfera pasa por"B". Además R = 5 m. (g = 101l/1s2)

A) 50N

B)20N

C) 30N

D)40N

E)60N

A) 9 mis

B) 8mls

C)7mls

D) 6mls

E) 5mls

B

0,9 m e

B

A

28.- El bloque de la figura de masa ore 2 kg es soltadodesde A, y cuando el resorte presenta una deformación.r = 10 CIII, la velocidad de aquel es de 16 mis.Determinar la altura h (k = 400 Nlm).

A) 10,0 11I

B) 12,0 m

C) 13,9 m

D) 13,6 m

E) 13,7 m