Intégration par parties pour les intégrales
________________
I.Problème fondamental
Enoncé :
u et v sont 2 fonctions numériques d’une variable réelle, définies et dérivables sur
l’intervalle I.
On suppose que 'u et 'v sont encore continues sur l’intervalle I. u et v étant dérivables sur I,
sont continues sur I ; à partir des 4 fonctions u, v, u’ et v’ continues sur I, en faisant des
multiplications et des additions, on obtient encore des fonctions continues sur I .
a et b étant 2 réels de I, calculer la somme suivante :
∫∫ +
b
a
b
a
dxxvxudxxvxu )()(')(')(
en fonction de )(),(),( buavau et )(bv .
Résolution :
On a : ∫∫ +
b
a
b
adxxvxudxxvxu )()(')(')( = ∫ +
b
adxxvxuxvxu ))()(')(')(( et par définition des
intégrales : ∫∫ +
b
a
b
adxxvxudxxvxu )()(')(')( = [u(x)v(x)] b
a.
II. Le théorèmes de l’intégration par parties (pour le calcul des intégrales)
L’énoncé justifié dans le paragraphe précédent est le suivant :
Soient u et v 2 fonctions numériques de la variable réelle x, définies et dérivables sur un
intervalle I :
Si u’ et v’ sont continues sur I et si a et b sont dans I,
∫b
adxxvxu )(')( = [u(x)v(x)] b
a– ∫
b
adxxvxu )()(' .
III Application au calcul d’intégrales ou de primitives.
f étant une fonction définie sur un intervalle I contenant les 2 réels a et b :
En intégrant par parties pour calculer ∫b
adxxf )( :
On doit choisir des fonctions auxiliaires u et v telles que : f(x)= u(x)v’(x) pour tout x de I.
Il est préférable de toujours présenter et compléter le tableau suivant :
u(x) = ; u’(x) =
Avec x dans I, on écrit :
v’(x) = ; v(x) = ; g(x)=u’(x)v(x)
Le produit des fonctions u et v’ de la colonne de gauche doit donner f
On se ramène au calcul de l’intégrale ∫b
adxxg )( ; on indiquera (en le justifiant) que les
fonctions u’ et v’ sont bien continues sur I.
IV. Etude d’exemples.
1. Produit de polynômes de degré 1 par des exponentielles.
① a) Calculer l’intégrale K= ∫10
0
1,0dxxe
x en faisant une intégration par parties.
b) En déduire l’intégrale L= ∫ +
10
0
1,0 )1( dxxex
.
② a) En faisant une intégration par parties calculer l’intégrale I= ∫ +
4
0
4/)54( dxexx
.
b) En déduire l’intégrale J= ∫ ++
4
0
4/ ))54(3( dxexx
.
③ T désignant un réel fixé, calculer, en fonction de T, la valeur exacte de l’intégrale
I(T)= ∫ −
Tt dtetT
0
4,0-)(0,4.- . En déduire, en fonction de T, la valeur exacte de l’intégrale
J(T)= ∫ −+
Tt dtetT
0
4,0- ))(.(4 .
2. Produit de polynômes par des logarithmes.
① En faisant une intégration par parties calculer l’intégrale I = � �� ln � �
�� .
② a) En faisant deux intégrations par parties, calculer les deux intégrales K= ∫e
xdx1
ln et
L= ∫ +
e
dxx1
)2ln( ( Pour la 2ème
intégration par parties on fera intervenir la fonction auxiliaire
x↦x+2).
b) Déduire de la question précédente l’intégrale S= ∫ +
e
dxxx1
)2(ln .
c) En faisant une intégration par parties calculer l’intégrale M= ∫ +
e
dxx1
)4ln( et en déduire
l’intégrale D= ∫+
+e
dxx
x
1 4
2ln .
Corrigé des exercices du paragraphe 1 :
① a) On pose :
u’ et v’ sont encore dérivables et continues sur ℝ, ainsi :
K= [10x e 0,1x
] 10
0 – 100 ∫10
0
1,0.1,0 dxex
= 100 e¹ –0–100[e 0,1x
] 10
0 = 100 e¹ –100( e1–e
0) où e⁰ =1.
d’où K=100.
b) ∫10
01dx = [x] 10
0 =10–0=10 alors 10+100= ∫10
01dx + ∫
10
0
1,0dxxe
x= dxxe
x
∫ +
10
0
1,0 )1( d’où 110=L.
② a) On remarque que x/4= x(1/4), ainsi (x/4)’=1/4 et on écrit :
u’ et v’ sont encore dérivables et
continues sur ℝ.
I= [4(4x+5) ex/4
] 4
0 – ∫4
016 e
x/4 dx=4[21 e¹ –5 e⁰]–4×16 ∫
4
0)4/1( e
x/4 dx et on a e¹=e et e⁰=1
d’où : I=4[21 e–5–16[ex/4
] 4
0 et e¹=e et e⁰=1 donnent : I=4[21e–5–16(e–1)]. Finalement :
I=4[5e+11]=20e+44.
b) ∫4
03dx = [3x] 4
0 =3(4–0)=12, on a : 12+(20e+44)= ∫4
03dx + ∫ +
4
0
4/)54( dxexx
et par linéarité du
calcul des intégrales : 20e+56= dxexx ))54(3(
4
0
4/
∫ ++ soit 20e+56= J.
○3 On écrit
u(t) = T–t u’(t)= -1
v’(t)= -0,4e-0,4 t
v(t)=e- 0,4 t
u’(t)v(t)= - e-0,4t
u’ et v’ sont encore dérivables et continues sur � et on obtient :
I(T)= ∫ ∫−−−−
−−×−×=−−−
T TtTtTt dteeTedteetT
0 0
4,004,04,0
0
4,0 )4,0(4,0
10])[(
I(T)= -T –2,5 [e-0,4 t
] T
0 = -T –2,5 [e-0,4T
–e 0] où e
0=1. D’où I(T)=2,5 – T–2,5e
-0,4T
J(T)= ∫ −−×−
Tt dtetT
0
4,0- ]))(.4,0[5,2(4 et par linéarité du calcul des intégrales,
J(T)= ∫ ∫−
−−−
T Tt dtetTdt
0 0
4,0).(4,05,24 = 4(T–0)–2,5 I(T) = 4T –6,25 +2,5T +6,25e-0,4 T
D’où J(T)= 6,5 T +6,25 e -0,4 T
– 6,25 .
u(x)=x u’(x)=1
v’(x)=e0,1x
= 10×0,1e0,1x v(x)=10e
0,1x g(x)=1×10e
0,1x =100×0,1e
0,1x
u(x)=4x+5 u’(x)=4
v’(x)= ex/4
= 4×(1/4) ex/4
v(x)=4 ex/4
u’(x)v(x)=16 ex/4
Corrigé des exercices du paragraphe 2 :
① On écrit pour 0< x,
u(x)=ln x u’(x)= 1/x
v’(x)=x² = (1/3)×3x3–1 v(x)=(1/3)x
3 g(x)=u’(x)v(x)=(1/3)x
2= (1/9)×3x
3–1
et avec pour 0<x, G(x)= (1/9)x3, G est une primitive de g sur ]0, +∞[. Finalement on écrit pour
0<x, F(x)=(1/3)x3.lnx –(1/9)x
3= (1/9)x
3(3.ln x–1) et F est une primitive de f sur ]0, +∞[.
② Pour 0<x, 0<x+2 et 0<x+4. Les fonctions x↦ln x, x↦ln(x+2), x↦ln(x+4), x↦ln4
2
+
+
x
x et
x↦ln[x.(x+2)] sont définies, dérivables et continues sur ]0, +∞[.
a) On écrit pour 0< x,
u(x)=ln x u’(x)= 1/x
v’(x)=1
v(x)= x
g(x)=u’(x)v(x)=1
u’ et v’ sont dérivables et continues sur ]0, +∞[ et K= [x.ln x] e
1 – ∫e
dx11 =e.lne–ln1–[x] e
1
K= e×1–0–(e–1) d’où K=1.
b) On écrit pour 0< x,
u₀ (x)=ln (x+2) u₀ ’(x)= 1/(x+2)
v₀ ’(x)=1
v₀ (x)= x+2
g₀(x)=u₀’(x)v₀(x)=1
u₀’ et v₀’ sont encore dérivables et continues sur ]0, +∞[ et L= [(x+2)ln(x+2)] e
1 – ∫e
dx11 d’où :
L= (e+2).ln(e+2)–3.ln3–[x] e
1 soit : L= (e+2).ln(e+2)–e +1–3.ln3.
b) Par linéarité des calculs d’intégrales : K+L = ∫ ++
e
dxxx1
))2ln((ln où
ln x+ln (x+2)= ln[x.(x+2)]d’où : (e+2).ln(e+2)–e +2–3.ln3= S.
c) On trouvera de la même façon que M= (e+4).ln(e+4)–5.ln5–(e–1) soit
M=(e+4).ln(e+4)–e+1–5.ln5. Par linéarité du calcul des intégrales :
L–M= ∫ +−+
e
dxxx1
))4ln()2(ln( où ln(x+2)–ln(x+4)= ln4
2
+
+
x
x donc : L–M=D.
Soit : D= (e+2).ln(e+2)–(e+4).ln(e+4)+5.ln5–3.ln3.
3. Exemple avec une fonction circulaire réciproque.
Enoncé ①:
1°) En faisant une intégration par parties, calculer l’intégrale I= ∫1
0Arc tanx dx.
2°) En faisant une intégration par parties, calculer l’intégrale J= ∫1
0x.Arc tanx dx ; on fera
intervenir la fonction auxiliaire x↦2
1 (x2+1).
3°) En déduire la valeur de l’intégrale L= ∫1
0(2+3x).Arc tanx dx.
Résolution :
1°) On écrit 0<1+x2 et :
u’ et v’ sont encore dérivables et continues sur �, alors :
I= )1ln2(ln2
1
4)]1[ln(
2
101 tanArc1
1
2
2
1]tanArc[ 1
0
21
0 2
1
0 −−=+−−×=+
− ∫π
xdxx
xxx
d’où I=2
2ln
4−
π .
2°) 1°) On écrit 0<1+x2 et
u’ et v’ sont encore dérivables et continues sur �, alors :
J= −+1
0
2 ] tanArc)1[(2
1xx ∫
1
0 2
1dx = )01(
2
10
4][
2
10] tanArc1 tan1Arc2[
2
1 1
0 −−−=−×−π
x
soit J= 2
1
4−
π .
3°) On remarque J= dxxxx ) tanArc.3 tanArc2(1
0∫ + et par linéarité du calcul des intégrales
L = 2 I + 3 J soit L = 2(π/4)– ln 2 +3(π/4) –3/2 d’où L= 5π/4 – ln2 – 3/2 .
Enoncé ② :
Par intégration par parties, calculer l’intégrale J = ∫2/1
0sin Arc dtt .
u(x)= Arc tan x u’(x)=
21
1
x+
v’(x)=1 v(x)=x u’(x)v(x)=
22 1
2
2
1
1 x
x
x
x
+=
+
u(x)= Arc tan x u’(x)=
21
1
x+
v1’(x)= )2(2
1 2x =x v1(x)= )1(
2
1 2+x u’(x)v(x)=
2
1
Résolution : On écrit pour –1<t<1: 0< 1–t2 et :
u’ et v’ sont dérivables et continues sur ]-1 ;1[
Ainsi J = [t. Arc sin t] 2/1
0 – dtt
t)
12
2(
2/1
0 2∫−
−− = (½)Arc sin (½) –0 + dt
t
t∫
−
−2/1
0 212
2 soit :
J= ( ½) (π /6) + [21 t− ] 2/1
0 = π /12 + ( 4/11− – 1 )= π /12 + 4/3 -1
J=π /12 + 3 /2 –1
4. Exemple avec les fonctions trigonométriques.
①a) Calculer en faisant une intégration par parties les intégrales I = ∫π
0x.cos x dx et
J= ∫π
0x.sin (3x) dx.
b) En déduire la valeur de l’intégrale L= ∫ +π
0)).3sin(cos3( xdxxx .
② Par une double-intégration par parties, calculer l’intégrale I = dttet )2/cos(
0
3
∫π
.
______________________________
Corrigé de l’exercice ① :
a)∗ On écrit:
où u’ et v’ sont dérivables et continues sur ℝ ; ainsi :
I=[x.sinx] π
0 – ∫π
0.sin dxx =π.sinπ–0 –[-cosπ] π
0 =0–(-cosπ –(-cos0)) = -(1+1), soit I= -2.
∗∗ On écrit :
u’ et w’ sont encore dérivables et continues sur ℝ, ainsi :
J= 3
1−[x.cos(3x)] π
0 – ∫−π
0)3cos(
3
1dxx où cos (3π)= -1 d’où :
J=3
1−[-π� 0] + ∫
π
0).3cos(.3
9
1dxx =
3
π+
9
1[sin(3x)] π
0 = 3
π+
9
1[sin(3π)–sin0] où sin0=0 et
Sin(3π)=0 d’où : J=3
π .
u(t)=Arc sin t u’(t)=
21
1
t−
v’(t)=1 v(t)= t u’(t)v(t)=
22 12
2
1 t
t
t
t
−
−−=
−
u(x)=x u’(x)=1
v'(x)=cos x v(x)=sin x u'(x)v(x)=sin x
u(x)=x u'(x)=1
w'(x)=sin(3x)=3
1−(-3sin(3x) w(x)=
3
1−cos(3x) u'(x).w(x)=
3
1−cos(3x)
b) L= ∫ +π
0))3sin(.cos.3( dxxxxx et par linéarité du calcul des intégrales, on a
automatiquement : L= 3 dxxx .cos.0∫π
+ ∫π
0).3sin(. dxxx =3.I + J d’où L=6+π/3.
Corrigé de l’exercice ② :
On écrit :
u’ et v’ sont dérivables et continues sur R , ainsi on a :
I = [2 et3 sin(t/2) ] π
0 - ∫π
06e
t3 sin(t/2)dt =2(e π3 sin( π /2)-e 0 sin0) – 6J avec J= ∫
π
0e
t3
sin(t/2)dt où sin0 =0 et 1=sin(π /2) d’où: I= 2 e π3 -6J et de nouveau, on écrit:
u(t)=et3 u’(t)=3 e
t3
w’(t)= sin(t/2)= -2[-(1/2) sin(t/2)] w(t)=-2 cos(t/2) u’(t)w(t)=-6 et3 cos(t/2)
u’ et w’ sont dérivables et continues sur R , ainsi on a :
J= [-2 et3 cos(t/2) ] π
0 - ∫π
0-6 e
t3 cos(t/2)dt=-2(e π3 cos(π /2)- e 0 cos0 ) + 6 dttet )2/cos(
0
3
∫π
où e 0cos10== et cos(π /2)=0 d’où J = -2(-1) + 6 I =2+6I et on obtient l’égalité :
I=2 eπ3 - 6 ( 2+6I)= 2 e
π3-12 –36I d’où: 37I=2 e
π3-12 soit:
u(t)=et3 u’(t)=3 e
t3
v’(t)=cos(t/2)=2 (1/2)cos(t/2) v(t)=2 sin(t/2) u’(t)v(t)=6 et3 sin(t/2)
I=(2 eπ3
-12)/37