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A miei genitori Anna e Gino per le loro nozze d’oro.

Cinquantanni di solida unione, continuo riferimento

per la nostra splendida famiglia

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SebaStiano Floridia

Progettare le strutture in acciaio

Dario Flaccovio Editore

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Sebastiano FloridiaProgettare le Strutture in acciaio

ISBN 978-88-579-0064-3

© 2011 by Dario Flaccovio Editore s.r.l. - tel. 0916700686 www.darioflaccovio.it [email protected]

Seconda edizione: settembre 2011

Floridia, Sebastiano <1965->Progettare le strutture in acciaio / Sebastiano Floridia. – 2. ed. –Palermo : D. Flaccovio, 2011.ISBN 978-88-579-0064-31. Strutture in legno – Progettazione.624.184 CDD-22 SBN Pal0231583CIP - Biblioteca centrale della Regione siciliana “Alberto Bombace”

Stampa: Tipografia Priulla, Palermo, settembre 2011.

Nomi e marchi citati sono generalmente depositati o registrati dalle rispettive case produttrici.L’editore dichiara la propria disponibilità ad adempiere agli obblighi di legge nei confronti degli aventi diritto sulle opere riprodotte.La fotocopiatura dei libri è un reato.Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume/fascicolo di periodico dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Le riproduzioni effettuate per finalità di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata dagli aventi diritto/dall’editore.

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INDICE

Premessa

Parte PrimaCenni teorici

1. Cenni di sismologia1.1. Generalità .................................................................................................... pag. 151.2. Le faglie ...................................................................................................... » 161.3. Intensità dei terremoti ................................................................................. » 16 1.3.1. Misura delle onde sismiche ............................................................. » 18 1.3.2. Terremoti nella storia ....................................................................... » 181.4. L’attuale normativa sismica italiana ........................................................... » 20

2. Cenni di dinamica delle strutture2.1. Utilizzo dei modelli matematici .................................................................. » 23 2.1.1. Gradi di libertà ................................................................................. » 23 2.1.2. Oscillatore semplice (non smorzato) ............................................... » 25 2.1.3. Oscillatore semplice (smorzato) ...................................................... » 27 2.1.4. Estensione a più gradi di libertà ...................................................... » 282.2. Calcolo delle sollecitazioni sismiche .......................................................... » 28 2.2.1. Analisi modale ................................................................................. » 29 2.2.2. Spettri di risposta ............................................................................. » 29 2.2.3. Composizione degli spettri di risposta ............................................ » 302.3. Cenni bibliografici ...................................................................................... » 32

3. Verifica delle strutture in acciaio agli stati limite secondo la normativa vigente3.1. Generalità .................................................................................................... » 333.2. Stralcio del Decreto ministeriale n. 14/01/2008 ......................................... » 34

Parte SecondaEsempi di calcolo

4. Metodologia di calcolo e verifica con esempio4.1. Generalità .................................................................................................... » 374.2. Esempio 1: realizzazione di pensilina in acciaio presso lo Stadio di Siracusa . » 374.3. Esempio 2: realizzazione di un capannone con struttura metallica ............ » 97

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Progettare le strutture in legno

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Parte TerzaIl programma allegato

5. Progetto struttura 2008 con postprocessore acciaio5.1. Caratteristiche del programma .................................................................... » 149 5.1.1. Il solutore MicroSap ........................................................................ » 149 5.1.2. Requisiti minimi hardware e software ............................................. » 150 5.1.3. Convenzioni ..................................................................................... » 150 5.1.4. Avvio applicazione .......................................................................... » 1515.2. Installazione ................................................................................................ » 151 5.2.1. Attivazione del programma ............................................................. » 151 5.2.1.1. Sistema di protezione ......................................................... » 152 5.2.1.2. Istruzioni per l’attivazione del software ............................. » 152 5.2.2. Assistenza tecnica ............................................................................ » 1525.3. Interfaccia grafica del software ................................................................... » 1535.4. Iter standard per l’input della struttura ....................................................... » 154

6. Il manuale d’uso6.1. Comandi e menu ......................................................................................... » 157 6.1.1. Menu file .......................................................................................... » 1576.2. Menu dati di calcolo ................................................................................... » 161 6.2.1. Comandi menu dati di calcolo ......................................................... » 161 6.2.2. Finestra dati generali e parametri sismici ........................................ » 161 6.2.3. Finestra layer ................................................................................... » 168 6.2.3.1. Finestra inserimento nuovo layer ....................................... » 169 6.2.4. Finestra materiali ............................................................................. » 170 6.2.5. Finestra gestione sezioni del progetto ............................................. » 171 6.2.6. Finestra svincoli aste attivi .............................................................. » 172 6.2.7. Finestra parametri fondazione ......................................................... » 173 6.2.8. Finestra spessore attivo elementi shell ............................................ » 1746.3. Menu nodi ................................................................................................... » 174 6.3.1. Comandi menu nodi ........................................................................ » 1746.4. Menu aste .................................................................................................... » 1816.5. Menu shell .................................................................................................. » 1916.6. Menu vincoli .............................................................................................. » 194 6.6.1. Comandi menu vincoli .................................................................... » 1946.7. Menu carichi ............................................................................................... » 196 6.7.1. Tipi di carichi disponibili ................................................................ » 196 6.7.1.1. Interferenza, precarico, salto termico, gradiente termico (carico tipo = 0) ............................................................................... » 197

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Indice

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6.7.1.2. Carichi concentrati e momenti concentrati (tipi 1 - 2 - 5 - 7 - 8 - 10) ................................................................. » 198 6.7.1.3. Carichi ripartiti e momenti ripartiti (tipi 3 - 4 - 6 - 9) ........ » 199 6.7.1.4. Cavi (tipi 11 - 12) ............................................................... » 199 6.7.1.5. Carichi secondo una direzione assegnata V (tipi 13 - 14 - 15) ............................................................................. » 201 6.7.1.6. Diagrammi di carico ripartito in funzione di x, y, z (tipi 16 - 17 - 18) ............................................................................. » 202 6.7.1.7. Carico di solaio in direzione verticale (tipo 19) ................. » 202 6.7.2. Menu carichi .................................................................................... » 2036.8. Menu opzioni c.a. ....................................................................................... » 216 6.8.1. Comandi del menu opzioni c.a. ....................................................... » 2166.9. Menu diagnostica ........................................................................................ » 220 6.9.1. Comandi menu diagnostica ............................................................. » 2206.10. Menu elabora .............................................................................................. » 220 6.10.1. Comandi menu elabora .................................................................... » 220 6.10.1.1. Comando calcolo modello Fem ......................................... » 221 6.10.1.2. Verifica aste acciaio (CNR10011) .................................... » 232 6.10.1.3. Verifica aste legno (EC5) .................................................. » 232 6.10.1.4. Verifica aste legno (D.M. 2008) ........................................ » 232 6.10.1.5. Verifica aste acciaio (D.M. 2008) ..................................... » 233 6.10.1.6. Comando verifica aste c.a. ................................................ » 235 6.10.1.7. Comando verifica c.a. elementi shell ................................ » 235 6.10.1.8. Comando verifica spostamenti nodali di piano ................ » 237 6.10.1.9. Comando verifica gerarchia delle resistenze .................... » 2386.11. Menu visualizzatori dxF .............................................................................. » 238 6.11.1. Comandi menu visualizzatori dxF ................................................... » 2396.12. Menu risultati .............................................................................................. » 240 6.12.1. Comandi menu risultati ................................................................... » 2406.13. Menu seleziona ........................................................................................... » 252 6.13.1. Comandi menu seleziona ................................................................ » 2526.14. Menu visualizza .......................................................................................... » 257 6.14.1. Comandi menu visualizza ............................................................... » 2576.15. Menu ? ........................................................................................................ » 261 6.15.1. Comandi menu ? ............................................................................. » 2616.16. Errori nell’assegnazione dei dati ................................................................. » 263

Bibliografia ......................................................................................................... » 269

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Progettare le strutture un cd book per ogni elemento Progettare le strutture è un’opera innovativa in cinque volumi nata come ausi-lio a tutti i professionisti impegnati nel settore del calcolo strutturale, che offre un valido supporto teorico e normativo. Il fine della collana è quello di dare una risposta unitaria ai problemi che, in sede di progettazione, sorgono per la diversa natura dei materiali utilizzati, a causa del murare di volta in volta, a seconda che si tratti di strutture in cemento armato, acciaio, muratura o legno, delle caratteristiche fisico-meccaniche, delle modalità di calcolo, delle applicazioni richieste dalla normativa. L’unitarietà della risposta si concretizza in un approccio omogeneo realizzato tanto nel campo teorico che nel campo pratico.

Il piano dell’opera comprende:

elementi in acciaio;elementi in cemento armato;elementi in muratura;elementi in legno.

Per consentire il più rapido apprendimento della fondamentale parte teorica, si è ritenuto di allegare a ciascun volume un software specifico con versione perso-nalizzata (in Progetto acciaio, Progetto legno e Progetto cemento armato) del solutore MicroSap della Tesys, che consente di giungere a un dettaglio di ottima qualità nella identificazione del modello virtuale dei carichi e delle sollecitazioni e di effettuare il calcolo anche di strutture di grandi dimensioni (1000 nodi 500 elementi), mentre per gli altri programmi il solutore è stato scritto dagli stessi autori e consente di calcolare strutture di qualsiasi dimensione.

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Premessa

Questo testo è un ulteriore tassello di un progetto editoriale molto ambizioso iniziato cinque anni fa con il testo Progettare le strutture in acciaio. Lo scopo era quello di realizzare un testo di riferimento che raccogliesse tutta la migliore bibliografia disponibile, quadro normativo attuale e relative formulazioni, con lo scopo di affiancare i colleghi progettisti nella rigorosa progettazione delle strutture in acciaio in zona sismica. Superato il primo difficile esame con la versione acciaio, sono stati emessi, prima che venisse emanato il D.M. 14 gennaio 2008, la versione del testo sul legno secondo l’EC5, il testo relativo al cemento armato e successivamente quello relativo al legno secondo D.M. 2008.Ad oggi, per tutti i materiali è disponibile un quadro normativo chiaro e delineato, tutto in lingua italiana (sulla chiarissima impronta degli eurocodici), integrato in un unico documento che si occupa di tutto lo scenario strutturale, ovvero le ntc 2008.Il testo si articola in sei capitoli: il primo raccoglie cenni sulla sismologia, il secondo cenni di dinamica delle strutture, il terzo presenta la normativa vigente da applicare per il corretto dimensionamento di strutture in acciaio, completo di tutti i riferimenti teorici; nel quarto, tramite due esempi pratici relativi al calcolo di pensilina in acciaio di un impianto sportivo e di un capannone industriale, viene indicata al professionista la metodologia da seguire per il corretto sviluppo del calcolo. Gli ultimi due capitoli sono dedicati al funzionamento del software allegato. Quest’ultimo è utile per mettere in pratica i concetti espressi nel corso dell’opera, poiché è in grado di verificare una struttura in acciaio secondo le ntc 2008, e può tra l’altro interfacciarsi con il software allegato gli altri due volumi della collana, Progettare le strutture in legno e Progettare le strutture in c.a. qualora il professionista abbia voglia di approfondire la verifica delle strutture miste.

Buon lavoro! L’autore

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Parte Prima

Cenni teorici

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caPitolo 1Cenni di sismologia

1.1. Generalità I terremoti sono fenomeni naturali che si manifestano con rapidi scuotimenti della superficie della Terra. A causarli è la rottura di rocce in profondità, che liberano in questo modo l’energia accumulata in seguito ai movimenti a cui è continuamente sottoposta la crosta terrestre. Infatti, secondo la teoria della tetto-nica delle placche, la parte più esterna della Terra, la litosfera, è suddivisa in una ventina di placche in movimento le une rispetto alle altre. Quando si verifica un terremoto, si sviluppano onde sismiche di tipo P ed S, che si propagano in ogni direzione: le onde sismiche di tipo P, che si sviluppano nella prima fase del terremoto, passano attraverso solidi e liquidi. Le onde di tipo S, che si sviluppano nella seconda fase del terremoto, attraversano solo materiali solidi. Alcune onde (molto deboli, percepite solo dai sismografi) raggiungono la superficie terrestre anche dalla parte opposta rispetto a quella dove si è verificato il sisma.La composizione chimica e la temperatura delle rocce attraversate incidono sulla velocità delle onde. Inoltre, passando da uno strato di rocce a un altro con carat-teristiche fisiche diverse, le onde possono essere deviate o riflesse. Studiando queste proprietà e confrontando i sismogrammi registrati in diverse zone della superficie terrestre, gli scienziati sono riusciti a ottenere importanti informazioni sulla struttura interna della Terra. Nel 1909 il sismologo Andrija Mohorovich, studiando i sismogrammi relativi a un terremoto avvenuto in Croazia in quello stesso anno, scoprì che, a circa 60 km di profondità, la velocità delle onde sismi-che aumentava improvvisamente. Ciò indicava un brusco cambiamento delle proprietà fisiche delle rocce. Così fu scoperta la discontinuità di Mohorovich (o più brevemente Moho), corrispondente al passaggio dalla crosta al mantello. Pochi anni dopo fu rilevato che le onde S non riuscivano ad attraversare la parte più interna della Terra: poiché le onde S possono attraversare solo i solidi, si giunse alla conclusione che la Terra possedesse un nucleo costituito da materiali fluidi. Le incertezze maggiori riguardano la parte più interna del nucleo, detta nucleo interno, che si suppone sia solido a causa degli altissimi valori che la pressione raggiunge a quella profondità.

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parte prima Progettare le strutture in acciaio

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1.2. Le faglieLe rocce possono fratturarsi in blocchi che scivolano l’uno rispetto all’altro. È così che si formano le faglie, fratture della crosta terrestre più o meno profonde, in corrispondenza delle quali si verifica un movimento relativo dei due blocchi di roccia. Si osservi che non tutte le faglie producono terremoti: al centro delle placche, ad esempio, esistono faglie createsi in tempi remotissimi e che oggi si trovano in aree non più soggette a movimenti crostali; al contrario, altre faglie, pur trovandosi in zone soggette a deformazione crostale, non sono in grado di accumulare energia e quindi scivolano in moto relativo, accompagnando la deformazione stessa. Gli autori anglosassoni chiamano queste ultime creeping faults e uno degli esempi più spettacolari è rappresentato dalla porzione centrale della faglia di San Andreas, in California.

1.3. Intensità dei terremotiL’intensità dei terremoti è valutata secondo due scale: la Richter e la Mercalli modificata. La prima fornisce una valutazione obiettiva (magnitudo) della quan-tità di energia liberata; la seconda assegna un grado agli effetti provocati dal terremoto sull’ambiente; proposta nel 1902 dallo studioso Giuseppe Mercalli, inizialmente, era composta da 10 gradi. In seguito gli americani H.O. Wood e F. Neumann la modificarono aggiungendo 2 gradi al fine di adattarla alle con-suetudini costruttive vigenti in California. Con il medesimo intento, nell’Europa occidentale è in uso la scala mcS (Mercalli, Cancani, Sieberg), mentre nell’Eu-ropa orientale si utilizza la scala mkS (Medvedv, Karnik, Sponheuer).

Grado Scossa DescrizioneI Strumentale non avvertitoII Leggerissima avvertito solo da poche persone in quiete, gli oggetti sospesi esilmente possono oscillare

III Leggera avvertito notevolmente da persone al chiuso, specie ai piani alti degli edifici; automobili ferme possono oscillare lievemente

IV Mediocre avvertito da molti all’interno di un edificio in ore diurne, all’aperto da pochi; di notte alcuni vengono destati; automobili ferme oscillano notevolmente

V Forte avvertito praticamente da tutti, molti destati nel sonno; crepe nei rivestimenti, oggetti rovesciati; a volte scuotimento di alberi e pali

VI Molto forte avvertito da tutti, molti spaventati corrono all’aperto; spostamento di mobili pesanti, ca-duta di intonaco e danni ai comignoli; danni lievi

VII Fortissimatutti fuggono all’aperto; danni trascurabili a edifici di buona progettazione e costruzione, da lievi a moderati per strutture ordinarie ben costruite; avvertito da persone alla guida di automobili

VIII Rovinosa danni lievi a strutture antisismiche; crolli parziali in edifici ordinari; caduta di ciminiere, monumenti, colonne; ribaltamento di mobili pesanti; variazioni dell’acqua dei pozzi

IX Disastrosa danni a strutture antisismiche; perdita di verticalità a strutture portanti ben progettate; edifici spostati rispetto alle fondazioni; fessurazione del suolo; rottura di cavi sotterranei

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Cenni di sismologia cap 1

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X Disastrosissima distruzione della maggior parte delle strutture in muratura; notevole fessurazione del suolo; rotaie piegate; frane notevoli in argini fluviali o ripidi pendii

XI Catastrofica poche strutture in muratura rimangono in piedi; distruzione di ponti; ampie fessure nel terre-no; condutture sotterranee fuori uso; sprofondamenti e slittamenti del terreno in suoli molli

XII Grande catastrofe danneggiamento totale; onde sulla superficie del suolo; distorsione delle linee di vista e di livello; oggetti lanciati in aria

Tabella 1.1. Scala Mercalli

Per un confronto reale dell’intensità dei terremoti e non solo degli effetti, è stata introdotta la scala della magnitudo o scala Richter (da notare che già il Cancani aveva introdotto una gradazione non empirica, assegnando al 1° della omonima scala il valore di 2,5 mm/s2 ed al 12° il valore di 10.000 mm/s2), che non ha divisioni in gradi, limiti inferiori (se non strumentali) e superiori. La valutazione dell’energia liberata da un sisma è associata ad un indice, detto magnitudo, che si ottiene rapportando il logaritmo decimale dell’ampiezza massima di una scossa e il logaritmo di una scossa campione. Lo zero della scala equivale a una energia liberata pari a 105 Joule. Il massimo valore registrato è stato di magnitudo 8,6 equivalente all’energia di 1018 Joule.

Magnitudo Richter Effetti del sismaMeno di 3,5 Generalmente non sentita, ma registrata

3,5-5,4 Spesso sentita, ma raramente causa dei danni

Sotto 6,0 Al massimo lievi danni a solidi edifici. Causa danni maggiori su edifici non in c.a. edificati in piccole regioni

6.1-6,9 Può arrivare ad essere distruttiva in aree di quasi 100 km, attraversando anche zone abitate7,0-7,9 Terremoto maggiore. Causa seri danni su grandi aree

8 o maggiore Grande terremoto. Può causare seri danni su vaste aree di svariate centinaia km

Tabella 1.2. Scala Richter

Magnitudo Richter Energia liberata (Joule) Grado Mercalli< 3,5 < 1,6 E+7 I3,5 1,6 E+7 II4,2 7,5 E+8 III4,5 4 E+9 IV4,8 2,1 E+10 V5,4 5,7 E+11 VI6,1 2,8 E+13 VII6,5 2,5 E+14 VIII6,9 2,3 E+15 IX7,3 2,1 E+16 X8,1 1,7 E+18 XI

> 8,1 > 1,7 E+18 XII

Tabella 1.3. Confronto scala Richter – scala Mercalli

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parte prima Progettare le strutture in acciaio

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Magnitudo Richter tnt equivalente* Magnitudo Richter tnt equivalente*–1,5 6 ounces 5,5 80000 tons

1 30 ounces 6 1 milion tons1,5 320 pounds 6,5 5 milion tons2 1 ton 7 32 milion tons

2,5 4.6 tons 7,5 160 milion tons3 29 tons 8 1 bilion tons

3,5 73 tons 8,5 5 bilion tons4 1000 tons 9 32 bilion tons

4,5 5100 tons 10 1 trilion tons5 3200 tons 12 160 trilion tons

* 1 ounce (oncia) corrisponde a 28,35 grammi; 1 pound (libbra) a 453 grammi; 1 ton a 907,18474 chilogrammi. Si presume che un’oncia di dinamite esplosa sotto terra produca 640 milioni di er. di energia dell’onda sismica (1 erg = 1 · g · cm2 – s–2 = 10–7J)

Tabella 1.4. Individuazione della quantità di dinamite (tnt) necessaria per uguagliare la potenza di ogni grado della scala Richter

1.3.1. Misura delle onde sismicheIl Dipartimento di protezione civile, con l’ausilio del Servizio sismico nazionale e dell’Istituto di geofisica e vulcanologia, ha predisposto una fitta rete di sismo-grafi gestiti da centrali di controllo che in tempo reale monitorizzano tutto il territorio nazionale, oltre a quello mondiale in coordinamento con gli altri paesi, registrando solo in Italia da 1700 a 2500 terremoti l’anno.

1.3.2. Terremoti nella storiaÈ difficile dire quali siano stati i disastri più violenti in epoca prescientifica, in quanto le testimonianze sono poco attendibili e imprecise e basate principalmen-te sugli effetti che essi hanno provocato sull’uomo. In Europa, ad esempio, uno dei più celebri terremoti fu quello che rase al suolo Lisbona il primo novembre 1755, che provocò ben 30.000 morti. In Asia, una delle catastrofi più gravi di cui

Figura 1.1. Accelerogramma tipo

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Cenni di sismologia cap 1

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si abbia notizia sembra quella che colpì la regione cinese dello Shansi nell’inver-no del 1556 e che causò la morte di circa 830.000 persone. In tempi più recenti un altro terremoto catastrofico ha colpito la Cina (Tientsin e Tangshan) nel luglio 1976: raggiunse una magnitudo di 8,2 della scala Richter e, nonostante le agenzie di stampa locali non diffusero dati ufficiali sul numero delle vittime, si parlò di quasi 750.000 morti. Si ritiene infine che il terremoto più intenso di cui esistano riscontri scientifici sia stato quello verificatosi il 22 maggio 1960 in Cile, nella regione a sud di Concepción. Finora è l’unico ad aver

Figura 1.2. Accelerogramma pubblicato dal Servizio sismico nazionale

Figura 1.3. Rilevamento ingv del terremoto di Palermo del 6 settembre 2002

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parte prima Progettare le strutture in acciaio

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misurato i 9,5 gradi della scala Kanamori, un sistema di valutazione di onde sismiche più attendibile per terremoti estesi e molto intensi. Raggiunse la magni-tudo di 8,3 della scala Richter e le vittime furono circa 4.000.

1.4. L’attuale normativa sismica italianaIl territorio nazionale, già classificato dal 1974 in zone di maggiore o minore rischio sismico, è stato riclassificato in quattro zone dall’O.P.C.M. 3274 del 20 marzo 2003.I valori di ag espressi come frazione dell’accelerazione di gravità g, da adottare in ciascuna delle zone sismiche del territorio nazionale sono:

zona 1: 0,35; zona 2: 0,25;

Figura 1.4. Mappa pubblicata dal Servizio sismico nazionale

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Cenni di sismologia cap 1

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zona 3: 0,15; zona 4: 0,05.

Questa riclassificazione è scaturita dal lavoro di un comitato scientifico che, aiutato da anni di rilevamenti strumentali, ha diviso il territorio in fasce di peri-colosità eliminando le zone di sismicità nulla, imponendo l’utilizzo di tecniche di progettazione strutturale antisismica su tutto il territorio nazionale senza limi-tazioni.

Figura 1.5. Massima intensità macrosismica nei comuni italiani pubblicata dal Servizio sismico nazionale

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caPitolo 2Cenni di dinamica delle strutture

2.1. Utilizzo dei modelli matematici I modelli matematici che raffigurano problemi tecnici reali sono realizzati attra-verso l’introduzione di ipotesi ed idealizzazioni necessarie per rendere il problema matematicamente più semplice, ma capaci di fornire:

soluzioni sufficientemente approssimate; risultati abbastanza soddisfacenti dal punto di vista della sicurezza e dell’econo-

mia.

2.1.1. Gradi di libertàIl numero dei gradi di libertà di un sistema meccanico è il numero di coordinate indipendenti che determina la posizione nello spazio di tutte le masse del sistema in qualsiasi istante del suo movimento. In una qualsiasi costruzione reale le masse sono distribuite per i volumi dei suoi elementi e pertanto la costruzione si rappre-senta come un sistema di masse elementari.

Per ciascuna di queste masse va determinata la posizione durante il movimento; le costruzioni reali devono essere considerate come sistemi con un’infinità di gradi di libertà.In molti casi, nei calcoli strutturali, ammettendo un certo errore, è possibile sostituire un sistema con un numero infinitamente grande di gradi di libertà

Figura 2.1. Sistemi con un grado di libertà

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con un altro avente un numero finito di masse concentrate in determinati punti specifici. I tratti del sistema rimasti senza le masse vengono considerati come scheletro del sistema senza inerzia che conserva, però, le proprietà deformanti della struttura calcolata. Tali sistemi semplificati possiedono un numero finito di gradi di libertà. I punti di concentramento delle masse vengono di solito scelti in modo da poterli sovrapporre ai punti di ubicazione dei maggiori carichi

Figura 2.2. Sistema con infiniti gradi di libertà

Figura 2.3. Sistema con un numero finito di gradi di libertà

Figura 2.4. Valutazione delle oscillazioni verticali di una struttura

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Cenni di dinamica delle strutture cap 2

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verticali. Ad esempio, per determinare le oscillazioni orizzontali di un edificio si suppone nel modello di calcolo che le sue masse siano concentrate al livello dei solai. Il più semplice dei sistemi è quello con un solo grado di libertà. Con questo schema possono essere esaminate, per esempio, le oscillazioni orizzontali in una delle direzioni del telaio di un piano portante una copertura pesante. La parte principale delle masse della costruzione è situata al livello della copertura, quindi il suo studio come sistema ad un grado di libertà non porta ad errori percettibili. Quando però occorre calcolare lo stesso tipo di oscillazioni, ma per una struttura la cui massa sia distribuita uniformemente in altezza, come ad esempio una cimi-niera, una esemplificazione simile provocherebbe errori tangibili nei risultati di calcolo. In questo caso, quindi, la schematizzazione ideale della struttura vedreb-be un grado di libertà per ogni straterello orizzontale e quindi necessiterebbe di un numero infinito di gradi di libertà. Per risolvere il problema è necessario ricor-rere ad un’approssimazione: inserire un numero finito, ma abbastanza grande, di gradi di libertà. L’aumento del numero dei gradi di libertà avvicina il risultato a quello esatto, ma di contro fa bruscamente crescere il volume delle operazioni di calcolo. Sarà quindi necessario ridurre gli schemi di calcolo ad un numero di gradi di libertà tale da limitare al minimo l’errore, pur lasciando un volume accettabile di operazioni matematiche.

2.1.2. Oscillatore semplice (non smorzato)Il punto di partenza di tutte le teorie applicate alla dinamica delle strutture è lo studio dell’oscillatore semplice. L’obiettivo è quello di descrivere il moto (ovve-ro di prevedere lo spostamento o la velocità) della massa m ad ogni istante t per una data serie di condizioni iniziali (al tempo t = 0). La relazione analitica tra lo spostamento y e il tempo t è data dalla seconda legge di Newton, che in notazione vettoriale può essere espressa così:

F = m · adove

F è la risultante che agisce su una particella di massam · a è la risultante accelerazione.

La precedente è una relazione vettoriale e come tale può essere scritta in forma equivalente nei termini dei suoi componenti lungo gli assi coordinati x, y e z:

F m a

F m a

F m a

x x

y y

z z

= ⋅

= ⋅

= ⋅

∑∑∑

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Lo schema di equilibrio è un disegno del corpo isolato da tutto il resto nel quale sono evidenziate tutte le forze esterne al corpo stesso.Per il caso in questione, la figura precedente mostra lo schema di equilibrio della massa m dell’oscilla-tore spostato nella direzione positiva dell’asse y, sul quale agisce una forza elastica Fs = k · y (supponendo una molla lineare che rappresenti la forza inerziale). Dall’applicazione della legge del moto di Newton coe-rente con il principio di D’Alambert, risulta:

- k · y = m · ÿ

m · ÿ + k · y = 0

in cui la forza elastica che agisce nella direzione negativa ha il segno negativo e l’accelerazione ÿ è stata indicata con la dieresi in quanto derivata seconda dello spostamento rispetto al tempo. Trascurando tutta la risoluzione dell’equazione differenziale classificata come omogenea con coefficienti costanti, risulta dopo svariati passaggi matematici:

y y t too= + ⋅cos sinω ν

ωω

che è l’espressione dello spostamento y dell’oscillatore semplice come funzione della variabile del tempo t; si è in tal modo raggiunto lo scopo di descrivere il moto dell’oscillatore semplice non smorzato, valido modello per tutte le strutture a un solo grado di libertà.L’esame della precedente equazione mostra che il moto che questa descrive è armonico e perciò periodico; esso può cioè essere espresso da una funzione seno e coseno della stessa frequenza w. Il periodo può essere facilmente trovato dato che le funzioni seno e coseno hanno entrambe un periodo 2 p. Il periodo T del moto è determinato da:

w · T = 2 p

oppure:T =

⋅2 πω

Il periodo è abitualmente espresso in secondi per ciclo, o semplicemente in secondi. Il valore reciproco al periodo è la frequenza naturale f. Il suo valore si ottiene attraverso l’espressione:

fT

= =1

π · 

Figura 2.5. Schemadi oscillatore semplice

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2.1.3. Oscillatore semplice (smorzato)Nel precedente paragrafo si è visto che l’oscillatore semplice, nelle condizioni idealizzate di non smorzamento, una volta eccitato, oscillerà indefinitamente con ampiezza costante alla sua frequenza naturale. L’esperienza comunque indica che non è possibile simulare una simile condizione nella realtà in quanto forze denominate d’attrito o di smorzamento sono sempre presenti in ogni sistema fisico in moto.Nell’analisi dinamica delle strutture si ammette solitamente che le forze di smor-zamento siano proporzionali all’ampiezza della velocità e opposte alla direzione del moto, smorzamento noto come smorzamento viscoso.Schematizzando il sistema strutturale e procedendo come un semplice oscillatore non viscoso, inserendo nell’equazione di equilibrio il fattore c che tiene conto dello smorzamento viscoso, si ottiene:

m y c y k y⋅ + ⋅ + ⋅ = 0

Figura 2.6. Risposta in vibrazione libera non smorzata

Figura 2.7. Risposta per un sistema libero sottosmorzato

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che, nel caso di sistema sottosmorzato, avrà la seguente risoluzione:

y e y t y tto D

o o

D

= ++

−ξω ω ν ξωω

ωcos sin

2.1.4. Estensione a più gradi di libertàFatta l’ipotesi di base sull’oscillatore semplice, nel caso di strutture con un numero finito di masse applicate, il ragionamento viene esteso, mediante model-lo matematici sofisticati, alla sommatoria delle masse con un sistema di equa-zioni differenziali di difficile risoluzione manuale. Tale risoluzione viene svolta egregiamente e velocemente dagli odierni processori che equipaggiano i Pc.

2.2. Calcolo delle sollecitazioni sismicheLe forze sismiche sono state valutate come forze d’inerzia secondo la formula:

Smax = m · ÿ0 max

dove

m è la massa della strutturaÿ0 max è l’accelerazione massima delle fondamenta della struttura.

Poiché durante un terremoto le accelerazioni possono avere varie direzioni, per il calcolo si prendono in considerazione le accelerazioni massime in base al valore assoluto della forza, supponendo che queste agiscano in una qualunque direzione orizzontale.

Figura 2.8. Sistemi con tre gradi di libertà con tre modi propri di vibrare

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Il peso del corpo Q e la sua massa m sono legate dalla relazione:

Q = m · gdove

g è l’accelerazione di gravità, pari a 9,81 m/s2.

Sostituendo alla formula per il calcolo di Smax si avrà:

Syg

Q k Qsmaxmax= ⋅ = ⋅

0

dove

kygs =

0max

è il coefficiente sismico.

Conoscendo l’accelerazione massima della fondazione e il peso della struttura, è possibile calcolare le forze d’inerzia massime, denominate sollecitazioni sismi-che, che agiscono nella struttura durante il terremoto.Queste formule teoriche sono rimaste la base su cui si sono basati gli studi suc-cessivi, soprattutto nella definizione del coefficiente sismico ks.

2.2.1. Analisi modaleIn ambito progettuale è fondamentale conoscere i valori massimi dei parame-tri strutturali che maggiormente condizionano la progettazione esecutiva della costruzione, come ad esempio il taglio massimo alla base o lo spostamento mas-simo di un punto di controllo particolare. Normalmente, la valutazione dei para-metri strutturali che caratterizzano il comportamento dinamico di una struttura, e quindi le relative sollecitazioni, si ottiene realizzando un modello computazio-nale della struttura. Nell’ipotesi di un comportamento strutturale di tipo elastico lineare, l’analisi della risposta (ovvero la valutazione degli effetti dell’azione sismica) può essere effettuata mediante l’impiego dell’analisi dinamica multimo-dale con spettro di risposta, detta più semplicemente analisi modale.Mediante l’analisi modale la risposta della struttura in termini di effetti E (sol-lecitazioni o spostamenti) è ottenuta come somma di n effetti (tanti quanti sono i gradi di libertà del sistema), ognuno relativo all’nesimo modo di vibrare della struttura, calcolati risolvendo le n equazioni dei sistemi a un solo grado di libertà nei quali viene suddiviso il sistema.

2.2.2. Spettri di rispostaLo spettro di risposta è, di fatto, un “terremoto di progetto”. Lo spettro di risposta è un tracciato della massima risposta (massimo spostamento, massima velocità,

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massima accelerazione) a una specifica funzione di carico per tutti i possibili sistemi a un solo grado di libertà. Pur essendo le strutture reali in realtà schema-tizzabili come sistemi complessi a molti gradi di libertà, l’impiego dello spettro di risposta nell’analisi dinamica riveste tuttavia notevole importanza nell’inge-gneria sismica. Infatti, tramite l’analisi modale, la risoluzione di strutture più complesse (a n gradi di libertà) può in generale essere ricondotta alla risoluzione di n sistemi, ciascuno corrispondente ad un grado di libertà, per ognuno dei quali è possibile poi valutare la risposta massima.L’ascissa dello spettro è la frequenza naturale (o periodo) del sistema, mentre l’ordinata è la massima risposta. Quindi per determinare da una carta di spettro la risposta per una specifica eccitazione bisogna conoscere la frequenza naturale del sistema.

2.2.3. Composizione degli spettri di rispostaLa normativa vigente impone la composizione degli spettri di risposta contempo-ranei almeno nelle direzioni orizzontali x e y. Per far ciò esistono diversi metodi statistici per estrarre le condizioni più gravose alle varie frequenze.

metodo di combinazione SrSS

Il metodo, detto anche metodo della combinazione euclidea, prende il nome SrSS dall’espressione inglese Square Root of the Sum of Squares (radice quadrata della somma dei quadrati). La risposta massima totale è ottenuta componendo gli n modi significativi secondo l’espressione seguente:

R RC ii

N

=

=

∑ 2

1

1 2/

metodo di combinazione cqc

La combinazione quadratica completa (cqc – Complete Quadratic Com bination) non è altro che una estensione del metodo SrSS. Si osservi, che se la relazione della formula precedente non è verificata, esistono modi di vibrare con periodi Tn e Tm molto vicini tra loro, ovvero è molto probabile che i valori Enmax e Emmax si possano verificare quasi contemporaneamente. Conseguente mente il contributo di questi modi a Emax sotto radice nella formula successiva si avvicina al valore (Enmax + Emmax)2 perché essi tendono a diventare simultanei. In tale ipotesi la formula successiva va allora corretta in modo tale che, oltre alla somma (Enmax)2 + (Emmax)2, compaia un termine addizionale che, al limite per Tn = Tm, sia pari a 2 Enmax Emmax. Per questo motivo, quando i periodi dei modi di vibrare non sod-disfano la formula precedente, l’Eurocodice 8 suggerisce di calcolare Emax con la propria per tenere conto di questi contributi aggiuntivi.

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