ACT2025 - Cours 8

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Huitième cours

ACT2025 - Cours 8

Rappel:

• Valeur accumulée d’une annuité simple constante de fin de période

ACT2025 - Cours 8

Rappel:

• Valeur accumulée d’une annuité simple constante de fin de période

• Annuité simple constante de début de période

ACT2025 - Cours 8

Rappel:

• Valeur accumulée d’une annuité simple constante de fin de période

• Annuité simple constante de début de période• Valeur actuelle d’une annuité simple constante de début de

période

ACT2025 - Cours 8

Rappel:

• Valeur accumulée d’une annuité simple constante de fin de période

• Annuité simple constante de début de période• Valeur actuelle d’une annuité simple constante de début de

période• Valeur accumulée d’une annuité simple constante de début

de période

ACT2025 - Cours 8

Nous avons ainsi vu quatre formules:

Rappel:

ACT2025 - Cours 8

Nous avons ainsi vu quatre formules:

Rappel:

ACT2025 - Cours 8

Nous avons ainsi vu quatre formules:

Rappel:

ACT2025 - Cours 8

Nous avons ainsi vu quatre formules:

Rappel:

ACT2025 - Cours 8

Ces différentes valeurs sont représentées dans le diagramme:

Rappel:

ACT2025 - Cours 8

Ce dernier diagramme nous permet de relier ces différentes valeurs.

ACT2025 - Cours 8

Nous avons les formules:

Rappel:

ACT2025 - Cours 8

Nous avons les formules:

Rappel:

ACT2025 - Cours 8

Nous avons les formules:

Rappel:

ACT2025 - Cours 8

Nous avons les formules:

Rappel:

ACT2025 - Cours 8

Il est parfois nécessaire de connaitre la valeur d’une annuité à d’autres moments qu’à t = 0 et t = n.

ACT2025 - Cours 8

Il est parfois nécessaire de connaitre la valeur d’une annuité à d’autres moments qu’à t = 0 et t = n.

La bonne stratégie est d’utiliser ce que nous avons développé jusqu’à maintenant pour exprimer ces valeurs.

ACT2025 - Cours 8

• Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation avant le premier paiement de celle-ci

Annuité différée:

ACT2025 - Cours 8

• Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation avant le premier paiement de celle-ci

• Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation après le dernier paiement de celle-ci

Annuité différée:

ACT2025 - Cours 8

• Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation avant le premier paiement de celle-ci

• Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation après le dernier paiement de celle-ci

• Valeur d’une annuité à un paiement de celle-ci

Annuité différée:

ACT2025 - Cours 8

Déterminons la valeur actuelle d’une annuité simple constante de fin de période consistant en n paiements de 1$ dont le début est différé de m périodes.

Premier cas:

ACT2025 - Cours 8

Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:

ACT2025 - Cours 8

La valeur de cette annuité à t = 0 est donnée par la formule:

ACT2025 - Cours 8

Yvan Sankrédi a fait l’achat d’une chaine de magasins au montant de 20 000 000$. Il finance cet achat en faisant un prêt au même montant, prêt qu’il remboursera par 30 versements annuels égaux au montant de R dollars. Il commencera ces versements dans quatre ans. Le taux effectif du prêt est de 7% par année.

Quel est le paiement annuel R fait par Yvan?

Exemple 1:

ACT2025 - Cours 8

Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:

ACT2025 - Cours 8

Nous avons bien une annuité simple constante. La période de paiement est la même que la période de capitalisation de l’intérêt.

Le taux d’intérêt est de 7% par période de capitalisation.

ACT2025 - Cours 8

L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est

ACT2025 - Cours 8

ou encore

L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est

ACT2025 - Cours 8

Peu importe que nous utilisions la première ou la seconde équation, nous obtenons

R = 1 974 436.19$

ACT2025 - Cours 8

Déterminons la valeur accumulée m périodes après le dernier paiement d’une annuité simple constante de fin de période consistant en n paiements de 1$.

Nous supposons que le montant accumulé au moment du dernier paiement est investi dans un placement rémunéré au même taux d’intérêt que l’annuité.

Deuxième cas:

ACT2025 - Cours 8

Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:

ACT2025 - Cours 8

La valeur de cette annuité à t = m + n est donnée par la formule:

ACT2025 - Cours 8

Anastasia déposera dans un compte de banque 100$ par mois pendant 15 ans. Elle fait ces versements à la fin de chaque mois et le taux d’intérêt auquel ce compte est rémunéré est le taux nominal d’intérêt i(12) = 6% par année capitalisé mensuellement.

Si elle compte retirer complètement le capital accumulé 4 ans après le dernier versement, quel montant retirera-t-elle?

Exemple 2:

ACT2025 - Cours 8

Le taux d’intérêt par mois est

Exemple 2: (suite)

ACT2025 - Cours 8

Le taux d’intérêt par mois est

Il y aura 15 x 12 = 180 versements dans le compte debanque. Ensuite Anastasia retire son capital 4 x 12 = 48périodes plus tard.

Exemple 2: (suite)

ACT2025 - Cours 8

Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:

ACT2025 - Cours 8

L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 228 périodes de capitalisation est

ACT2025 - Cours 8

ou encore

L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 228 périodes de capitalisation est

ACT2025 - Cours 8

Peu importe que nous utilisions la première ou la seconde équation, nous obtenons que le capital accumulé est

X = 36 948.20$

ACT2025 - Cours 8

Barnabé emprunte 50000$ qu’il remboursera en faisant 32 versements trimestriels: les 8 premiers paiements sont au montant de R dollars, les 16 suivants sont au montant de 0.9R dollars et les 8 derniers au montant de (R + 1000) dollars. Les paiements sont faits à la fin de chaque trimestre, le premier est fait trois mois après le prêt. Le taux d’intérêt est le taux nominal i(4) = 8% par année capitalisé à tous les 3 mois.

Déterminons R.

Exemple 3:

ACT2025 - Cours 8

Le taux d’intérêt par trimestre est

Exemple 3: (suite)

ACT2025 - Cours 8

Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:

ACT2025 - Cours 8

L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est

ACT2025 - Cours 8

Nous obtenons alors que R = 2 037.05$.

L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est

ACT2025 - Cours 8

Mais nous aurions aussi pu écrire cette équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 sous la forme

Nous obtenons aussi que R = 2037.05$

ACT2025 - Cours 8

Déterminons la valeur au me paiement d’une annuité simple constante de fin de période consistant en n paiements de 1$.

Troisième cas:

ACT2025 - Cours 8

Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:

ACT2025 - Cours 8

La valeur de cette annuité à t = m est donnée par la formule:

ACT2025 - Cours 8

Une annuité pour laquelle les paiements ne s’arrêtent jamais est une rente perpétuelle. Les paiements sont faits à la fin de chaque période.

Il est possible de calculer sa valeur actuelle. Cependant il n’y a pas de valeur accumulée parce qu’il n’y a pas de dernier paiement.

Rente perpétuelle:

ACT2025 - Cours 8

Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:

ACT2025 - Cours 8

Nous notons la valeur actuelle de cette rente perpétuelle par

Rente perpétuelle: (suite)

ACT2025 - Cours 8

Nous pouvons calculer la valeur actuelle de cette rente. Il est facile par des moyens élémentaires d’obtenir que

Rente perpétuelle: (suite)

ACT2025 - Cours 8

Nous pouvons interpréter la formule

au moyen de rentes perpétuelles.

Interprétation:

ACT2025 - Cours 8

Une annuité de fin de période consistant en des paiements de 1$ peut être vu comme une rente perpétuelle auquel nous soustrayons une rente perpétuelle différée de n périodes.

Interprétation: (suite)