SOCIEDAD ARGENTINA DE EDUCACIN MATEMTICA
ACTA DE LA
IX
Conferencia Argentina
de
Educacin Matemtica
Ao 2012
ACTA DE LA
IX CONFERENCIA ARGENTINA
DE EDUCACIN MATEMTICA
ACTA DE LA IX CONFERENCIA ARGENTINA
DE EDUCACIN MATEMTICA
Ao 2012
IX CAREM organizada por la Sociedad Argentina de Educacin Matemtica y la
Universidad Nacional de Villa Mara, del 7 de octubre de 2010 al 9 de octubre de
2010, en la Provincia de Crdoba, Repblica Argentina.
Editora:
Daniela Cecilia Veiga
Sociedad Argentina de Educacin Matemtica
En la portada:
Imagen adaptada de la fotografa de la Universidad Nacional de Villa Mara,
http://www.unvm.edu.ar/index.php?mod=identidad e imagen de la Sociedad
Argentina de Educacin Matemtica, http://www.soarem.org.ar/
Diseo de portada y CD:
Nora Lerman
Daniela Cecilia Veiga
Edicin:
2012. SOAREM. Sociedad Argentina de Educacin Matemtica. [email protected]
ISBN: 978-987-28468-0-0
Derechos reservados.
SOAREM. Sociedad Argentina de Educacin Matemtica. http://www.soarem.org.ar
Se autoriza la reproduccin total o parcial, previa cita a la fuente:
Veiga, D. (Ed.). (2012). Acta de la IX Conferencia Argentina de Educacin Matemtica,
Repblica Argentina, Ciudad de Buenos Aires: SOAREM. Sociedad Argentina de
Educacin Matemtica
COMISIN DIRECTIVA
SOCIEDAD ARGENTINA DE EDUCACIN MATEMTICA
2012
Presidente:
Cecilia Crespo Crespo
Sociedad Argentina de Educacin Matemtica
Colaboradores:
Vicepresidente 1: Oscar Sardella
Vicepresidente 2: Adriana Engler
Secretaria: Patricia Lestn
Prosecretaria: Hayde Blanco
Tesorera: Christiane Ponteville
Protesorera: Liliana Homilka
Vocales: Mara Ins Ciancio
Nora Lerman
Marcel Pochulu
Daniela Veiga
Irene Zapico
Comisin de Revisores de Cuentas Tribunal de tica
Titulares
Claudia Gimnez
Mnica Micelli
Jos Luis Rey
Titulares
ngela Pierina Lanza
Mara Rosa Rodrguez
Mabel Slavin
Suplente
Gloria Robalo
Suplente
Mariana Talamonti
COMIT
CIENTFICO DE EVALUACIN
Arboleas Fraga, Josefina Mercau, Susana
Arceo, Cristina Messina, Vicente
Benzal, Graciela Micelli, Mnica
Blanco, Hayde Milevicich, Liliana
Braicovich, Teresa Minaard, Claudia
Cadoche, Lilian Mller, Daniela
Cattaneo, Liliana Oliva, Elisa
Ciancio, Mara Ins Oropeza, Carlos
Crespo Crespo, Cecilia Otero, Rita
Del Puerto, Silvia Prez de del Negro, Mara Anglica
Engler, Adriana Prez, Mara del Carmen
Esper, Lidia Pochulu, Marcel
Fay, Alicia Ponteville, Christiane
Flores, Rebeca Rey, Jos Luis
Garca Zatti, Mnica Rodrguez Montelongo, Luca
Gonzlez de Galindo, Susana Rodrguez de Estofn, Maria Rosa
Gutierrez, Milagros Sardella, Oscar
Holgado, Lisa Torrente, Carmen
Homilka, Liliana Vzquez Cedeo, Rosa Alicia
Lerman, Nora Veiga, Daniela
Lestn, Patricia Veliz, Margarita
Lois, Alejandro Villalonga de Garca, Patricia
Acta IX Conferencia Argentina de Educacin Matemtica
i
Presentacin
La Sociedad Argentina de Educacin Matemtica (SOAREM) realiz su Novena
Conferencia Argentina de Educacin Matemtica (IX CAREM) en la Ciudad de Villa
Mara (Crdoba) en octubre de 2010. Una vez ms, los asistentes a la reunin pudieron
participar de talleres, conferencias y discusiones propuestas a partir de las experiencias e
investigaciones dadas a conocer por otros colegas.
La IX CAREM, rene a cientos de investigadores y docentes de distintos niveles
interesados por dar respuestas a las problemticas que surgen en las clases, indagar
novedades acadmicas y explorar nuevas propuestas ulicas a fin de actualizar y mejorar
sus prcticas docentes. La convocatoria se extendi no slo a un gran nmero de docentes
argentinos, sino tambin a colegas de Brasil, Chile, Colombia, Espaa, Mxico, Uruguay y
Venezuela
La SOAREM invit a reconocidos investigadores en el rea de la Educacin
Matemtica de Argentina, Chile, Espaa y Mxico quienes compartieron con nosotros sus
valiosas propuestas, aportes y resultados obtenidos.
En esta publicacin se presentan algunos de los artculos presentados en la IX
CAREM luego de ser evaluados y aceptados para su publicacin por un selecto grupo de
docentes que conforman el Comit Evaluador quienes basaron su dictamen en la calidad de
los trabajos presentados en comparacin con los niveles internacionales de exigencia que
suelen pedirse para eventos acadmicos de este tipo. En esta ocasin, se organiza la
publicacin en cuatro captulos:
El pensamiento del profesor, sus prcticas y elementos para su formacin. Propuestas para la enseanza de las Matemticas. Uso de los recursos tecnolgicos en el aula de Matemtica. Pensamiento Matemtico Avanzado.
Queremos agradecer a los asistentes y ponentes de la IX CAREM, ya que ellos
hicieron posible que se lleve a cabo con xito este evento. A los evaluadores quienes
supieron mantener el nivel acadmico alcanzado tanto en la exposicin como en la
publicacin de trabajos. Y un especial reconocimiento y agradecimiento a Adriana Engler,
Daniela Mller y Mara Rosa Rodrguez de Estofn, quienes contribuyeron
significativamente en la edicin de esta publicacin.
Merece un agradecimiento especial la Dra. Cecilia Crespo Crespo por confiar en m
para este trabajo que represent, desde un primer momento, un gran desafo. Gracias por su
paciencia, colaboracin y orientacin permanente durante todo el proceso de edicin.
Agradecemos adems a la Universidad de Villa Mara por su apoyo durante la
reunin, y a todas las instituciones, empresas y personas que brindaron su apoyo a travs de
recursos materiales y humanos.
Daniela Cecilia Veiga
Buenos Aires, Argentina. Mayo 2012
Acta IX Conferencia Argentina de Educacin Matemtica
ii
TABLA DE CONTENIDOS
Captulo I
El pensamiento del profesor, sus prcticas y elementos para su formacin
profesional
Construccin de la derivada desde la variacin. Resultados de una evaluacin
Silvia Vrancken; Adriana Engler; Daniela Mller 1
Entornos colaborativos mediados para el desarrollo del conocimiento
profesional del profesor de matemticas: el caso de los estudiantes para
profesor de matemticas de la licenciatura en matemticas de la universidad
distrital
Diana Gil; Yenny Caicedo; Libia Luz Barbeti; Fernando Guerrero 9
Componente terico para la descripcin de la competencia cognitiva: un
modelo de actuacin en prctica docente en estudiantes para profesor de
matemticas a partir de la reflexin en contextos de aprender a ensear
Fernando Guerrero Recalde; Neila Snchez Heredia 17
Modelos didcticos que priorizan los egresados del profesorado de
matemticas
Gladis Saucedo; Mara Laura Ruiz; Mara Victoria Vuizot 25
Evaluacin en el aprendizaje de ecuaciones no lineales
Nicols Llodra Schat; Mercedes Astiz; Silvia Vilanova; Perla Medina 33
Introduccin a los conceptos de creencias y concepciones
G. Rey; P. Sastre Vzquez; C. Boube; A. Caibano 41
La matemtica en la bsqueda de soluciones aproximadas de un problema de
la vida cotidiana
Marisa Quiroga; Estela Sorribas; Mara Ins Gonzlez 48
Una experiencia de taller sobre nmeros reales con ingresantes a la
universidad
Marcela Cifuentes; Martha Ferrero; Virginia Montoro 54
Aplicaciones matemticas sobre un implemento de uso agropecuario
A. Caibano; P. Sastre Vzquez; M. Gandini 62
Matemtica en una facultad de agronoma: concepciones y creencias de un
docente
C. Boube; P. Sastre Vzquez; A.M.G. Rey; O. Delorenzi 68
Evaluacin y acreditacin en matemtica 3
Leonor Irene Bumaln; Ana Mara Aramayo 76
Acta IX Conferencia Argentina de Educacin Matemtica
iii
Diagnstico de los estilos de aprendizaje de ingresantes a travs de la
resolucin de problemas
Beatriz del P. Crespo; Mara C. Lentini; Marta Lentini; Miriam Matulovich 84
Condicionantes institucionales de las prcticas docentes en matemtica en la
formacin de maestros
Flavia Buffarini; Marta Bastn; Rosa Mabel Licera; Marcelo Lorenzo;
Federico Hernandez 89
Creencias de los docentes de matemtica sobre la naturaleza y enseanza de su
disciplina. El caso de dos profesores de nivel medio
Mnica Binimelis 97
Imgenes conceptuales sobre lmite funcional en estudiantes de profesorado de
matemtica
Vilma Colombano 105
A construo de conceitos de grandezas e medidas: comprimento, massa e
capacidade nos anos iniciais
Clia Cardoso Rodrigues da Silva; Cristiano Alberto Muniz 113
El texto de matemtica un estmulo o un obstculo para el aprendizaje
autnomo?
Mnica Beatriz Caserio; Martha Elena Guzmn; Ana Mara Vozzi 121
La matemtica en el sistema de admisin. Estudio descriptivo
Adriana Correa Zeballos; Gregorio Figueroa; Berta Chahar; Ricardo Gallo;
Ma. E. Nieva 126
Reflexiones sobre el ensear matemtica
Irene Zapico 133
Las conversiones entre los registros verbaly simblico en el aprendizaje del
lmite funcional
Cristina Cams; Mabel Rodrguez 138
La enseanza de las matemticas en situaciones desfavorecidas. Algunas
acciones que favorecen el aprendizaje de las matemticas en escuelas
primarias
Gloria Robalo 142
Anlisis de algunas competencias matemticas en alumnos ingresantes a dos
facultades de ciencias
Lidia B. Esper; Marta S. Golbach; Ma. Del C. Perez Carmona; Mirta G.
Jacobo 147
Acta IX Conferencia Argentina de Educacin Matemtica
iv
Matemtica para ciencias econmicas en contexto o fuera de contexto?
Anlisis didctico de actividades
Julio Lpez; Marcel Pochulu 155
La clasificacin de los cuadrilteros es nica?
Mnica Micelli; Cecilia Crespo Crespo 160
Captulo II
Propuestas para la enseanza de las Matemticas
Algebra lineal para solucionar situaciones de geometra analtica y estadstica
Mara Ins Ciancio; Susana B. Ruiz; Elisa Silvia Oliva 169
Oh, no! tambin ah? Mabel Alicia Slavin 176
Estrategias didcticas en cursos numerosos
Mara Cristina Modarelli; Mara Rosa Nolasco; Liliana Elisabet Irassar;
Mara Beatriz Bouciguez; Mara de las Mercedes Surez; Mara Ins Berrino 184
Propuesta de enseanza y aprendizaje de la medicin de la magnitud superficie
desde una perspectiva unidimensional
Adriana Gabriela Duarte; Claudia Dolores Lagraa 191
Funciones y modelos matemticos
Marta Bonacita; Alejandra Haidar; Claudia Teti 199
Construccin de los conceptos de probabilidad y esperanza matemtica a
travs de juegos
Guillermina Emilia Vosahlo 207
La introduccin de las ecuaciones en la escuela secundaria: una propuesta de
estudio
Marta Bastn; Fabiana Rosso; Flavia Buffarini 213
Una propuesta para la enseanza de los fractales en el nivel medio
Cintia G. Cianciardo; Martha B. Fascella; Jos A. Semitiel 221
La generacin de preguntas: una estrategia de enseanza y de aprendizaje del
lgebra lineal
Vicente Messina; Gloria Cittadini ; Isabel Pustilnik; Alicia Sara; Carlos Pano 229
Competencias para el logro de un aprendizaje autorregulado
Margarita del V. Veliz; Mara Anglica Prez; Blanca E. Lezana 235
Acta IX Conferencia Argentina de Educacin Matemtica
v
Los polinomios, una aproximacin a travs de libros de texto
Silvia Carona; Graciela Sklepek; Edith Abildgaard; Norma Martyniuk; Nora
Verdn; Marta Rivero; Roxana Operuk; Jorge Manzur 243
Los nmeros se relacionan
Teresa Fernndez 251
El tratamiento de ciertas nociones matemticas mediante los sistemas
dinmicos discretos
Lina Mnica Mara Oviedo; Ana Mara Kanashiro 258
Una propuesta para evaluar la comprensin de algunos conceptos bsicos del
lgebra lineal
Mara Beln Celis; Alicia Isabel Kurdobrin; Mariana del Valle Prez; Pablo
Agustn Sabatinelli; Martha Elena Guzmn 263
Material curricular: actividades para promover la metacognicin y la
autorregulacin del aprendizaje del clculo
P. M. Villalonga; S. E. Gonzlez; M. Marcilla; S. Mercau; L. Holgado 268
Pensando real-mente en nuestros alumnos
Virginia Montoro; Martha Ferrero 277
Resolucin de problemas en clculo
W. lvarez; E. Lacus; M. Pagano 283
Juegos de ingenio en el aula
Irene Zapico; Teresa Fernndez 288
Mtodos grficos para la formulacin de modelos matemticos de
fenmenos simples
Marta Bonacina; Claudia Teti; Alejandra Haidar 295
Bajo la mirada de Horus juguemos con las fracciones Mariana Talamonti Baldasarre 299
Formulando problemas para resolver utilizando conceptos de grafos
Teresa Braicovich; Raquel Cognigni; Claudia Reyes; Lorena Alfonso 307
De casi todo, un poco
Mabel Alicia Slavin; Marisa Barco; Melisa Ialungo; Ana Paula Krompiewski;
Mara Florencia Prez; Matas Samartino; Mnica Torre 313
El papel del juego y la intuicin en la enseanza de la probabilidad
Lorena V. Belfiori 321
Acta IX Conferencia Argentina de Educacin Matemtica
vi
La exploracin matemtica a travs de Modelos Matemticos
Lina Mnica Mara Oviedo; Mnica Patricia Benzaquen; Mnica Beatriz
Gorrochategui 329
Captulo III
Uso de los recursos tecnolgicos en el aula de Matemtica
Eficiencia de un software educativo a travs de entornos virtuales para
dinamizar la enseanza de lmites y continuidad. Una experiencia con
estudiantes de administracin de la Universidad Venezolana
Franklyn Morales 336
Creacin de un ambiente interactivo de aprendizaje usando la TI-nSpire CAS
y la metodologa ACODESA
Jos Carlos Corts Zavala 344
Sucesiones numricas: una experiencia con Geogebra
Juliana Gonzalez; Perla Medina; Mercedes Astiz; Silvia Vilanova 350
Entorno virtual: experiencias en cursos de ingreso a la Facultad de Ciencias
Exactas
Leonor I. Bumaln; Mara Elena Higa 358
Visualizacin con geometra dinmica como estrategia de enseanza-
aprendizaje en los conceptos de vectores en el plano
Fabiana Montenegro; Mara Elina Daz Lozano 365
Los conceptos matemticos: semntica y sentido en escenarios digitales
Viviana Cmara; Luis Crdoba; Claudia Zanabria 370
Sistemas de clculo simblico. Instructivos
Horacio Caraballo; Cecilia Zulema Gonzlez 375
El mundo de las fracciones a travs de los cuentos y 123 Cabri
Alicia Noem Fay; Mara Cristina Fay; Mabel Trozzoli 383
Captulo IV
Pensamiento Matemtico Avanzado
El uso de las grficas en la matemtica escolar: una mirada desde la
socioepistemologa
Gabriela Buenda Abalos 388
Acta IX Conferencia Argentina de Educacin Matemtica
vii
Cuando el lenguaje formal se torna en un obstculo en el aula, pero es vista
como parte del contrato didctico. Un estudio de caso
Cecilia Crespo Crespo; Liliana Homilka; Patricia Lestn 396
Escala Matson de habilidades sociales adaptada para alumnos universitarios:
una experiencia en el aula de matemtica
Lilian Cadoche; Sonia Pastorelli 404
Incidencia de las interpretaciones que hacen los estudiantes de normas
sociomatemticas en el proceso de aprendizaje del concepto de funcin
cuadrtica en noveno grado
Andrs Geovany Uribe Huertas 412
El problema del viajante: recorridos Hamiltonianos
Raquel Cognigni; Teresa Braicovich; Valeria Cerda 420
Nmeros complejos. Anlisis de errores desde la teora de registros semiticos
G. Andino; M. Baracco; M. Carranza; S. Mir; S. Muratona; F. Quiroga
Villegas 428
Una manera de aprender ms matemtica para ensearla: la reflexin guiada como herramienta de integracin matemtico-didctica
Silvia Colombo; Silvia Etchegaray 434
La Metacognicin en el Proceso Educativo
Estela M. Pascual; Silvia E. Carando; Liliana M. Isa; Dolores R. Solbes 442
Anlisis didctico de procesos de enseanza y aprendizaje basado en un
enfoque ontosemitico de la cognicin y de la instruccin matemtica
Vincenc Font 446
Construccin de representaciones de la geometra tridimensional y
visualizacin desde una mirada socioepistemolgica
Jos Luis Rey 450
Funciones lingisticas predominantes en argumentaciones gestuales y visuales
que se presentan en los escenarios de la matemtica educativa
Nora Ins Lerman; Cecilia Crespo Crespo 454
Anlisis didctico de objetos y procesos matemticos. La derivada como
contexto de reflexin
Vicen Font 462
Captulo I
El pensamiento del profesor,
sus prcticas y elementos
para su formacin profesional
El pensamiento del profesor, sus prcticas y
elementos para su formacin profesional
- 1 -
CONSTRUCCIN DE LA DERIVADA DESDE LA VARIACIN. RESULTADOS
DE UNA EVALUACIN
Silvia Vrancken, Adriana Engler, Daniela Mller
Facultad de Ciencias Agrarias - Universidad Nacional del Litoral - Argentina
[email protected]; [email protected]; [email protected]
Nivel Medio, Terciario y Universitario (ciclo bsico)
Resumen
El estudio del clculo resulta muy abstracto para el alumno y desemboca en problemas para
su enseanza. En relacin a la derivada, muchos pueden calcularlas a partir de frmulas,
pero difcilmente comprenden el para qu de los algoritmos que realizan y el significado de
los conceptos.
Esta situacin plantea la necesidad de la bsqueda de elementos que puedan hacer
significativo el aprendizaje de manera que permitan al alumno la construccin de
conocimiento.
A partir de una serie de estudios preliminares diseamos y pusimos en prctica una
secuencia didctica para la introduccin de la derivada. No se pretendi un estudio terico
riguroso sino una presentacin simple e intuitiva que tenga en cuenta las nociones
fundamentales. Tomamos como hiptesis bsica que el desarrollo de ideas variacionales
puede propiciar una mejor comprensin.
Con la finalidad de obtener datos que aporten a la valoracin de la experiencia, preparamos
una serie de actividades que fueron incluidas en el examen parcial con el que deban
evaluarse, entre otros, los contenidos desarrollados con la secuencia. Se disearon de
manera que permitan explorar los avances y obstculos en el desarrollo del pensamiento
variacional de los alumnos.
En este trabajo presentamos algunas de estas actividades, un breve anlisis de las mismas y
un estudio, esencialmente cualitativo, de las respuestas dadas por algunos estudiantes.
Haciendo una revisin general de las respuestas notamos que, a pesar de las dificultades, un
buen porcentaje de alumnos mostr manejar diferentes ideas variacionales, otorgando un
significado amplio a la derivada.
Palabras clave: enseanza, pensamiento variacional, derivada
Introduccin
A pesar de que la determinacin de razones de cambio, idea fundamental del clculo, est
presente de una u otra manera en la vida diaria, todo lo relacionado con su estudio resulta
muy abstracto para el alumno y genera problemas para su enseanza. Se observa que, si
bien el estudiante logra resolver ejercicios y problemas sencillos, surgen grandes
dificultades al momento de ingresar en el campo disciplinar y alcanzar a comprender los
conceptos y mtodos de pensamiento que rigen este campo de la matemtica.
En una investigacin sobre la didctica de la derivada, Dolores (2000) indica que muchos
estudiantes pueden obtener derivadas de funciones algebraicas a partir de frmulas, pero
difcilmente comprenden el para qu de los algoritmos que realizan y el significado de los
conceptos. En general, la enseanza del clculo diferencial no tiene en cuenta el desarrollo
de ideas y significados de sus conceptos bsicos, imponiendo el predominio del trabajo
algortmico. Discute tambin el papel que le es conferido a la interpretacin geomtrica de
El pensamiento del profesor, sus prcticas y
elementos para su formacin profesional
- 2 -
la derivada, la cual es abordada como complemento o como una aplicacin. Esto no ayuda
a revelar la naturaleza del concepto ligada a fenmenos de la rapidez de la variacin.
Al privilegiar el contexto algebraico se deja de lado la posibilidad de construir
conocimiento a partir de la movilidad entre las diferentes representaciones del concepto. Es
conocido que el conocimiento matemtico se puede representar bajo diferentes formas pero,
muchas veces, no se tiene en cuenta la necesidad de coordinar distintos sistemas de
representacin como condicin imprescindible para que haya aprendizaje (Duval, 2008).
Esto produce limitaciones en el desarrollo de uno de los estilos de pensamiento, el visual.
Diversas investigaciones en Educacin Matemtica nos proporcionan ejemplos sobre
problemas de aprendizaje y el papel de la visualizacin en la comprensin del clculo
(Cantoral, Farfn, Cordero, Alans, Rodrguez y Garza, 2003). Si bien se reconoce su
importancia a fin de favorecer la comprensin matemtica, existe una gran resistencia de
los alumnos a visualizar. Eisenberg y Dreyfus (1991) opinan que las causas por las que los
estudiantes evitan la visualizacin estn relacionadas con distintos aspectos. Por un lado la
visualizacin demanda actividades cognitivas superiores a las que exige pensar
algortmicamente. Por otro, los aspectos visuales no son utilizados para comunicar las ideas
matemticas ya que stos suelen ser considerados como secundarios al concepto mismo.
Estos autores opinan que muchas de las dificultades del clculo se superaran si se enseara
a los estudiantes a interiorizar las connotaciones visuales de los distintos conceptos.
La situacin descrita plantea la necesidad de la bsqueda de elementos que puedan hacer
significativo el aprendizaje de manera que permitan al alumno la construccin de
conocimiento. Enmarcados en este contexto nos propusimos tomar uno de las nociones
bsicas del clculo diferencial, la derivada. Indagamos la construccin de este concepto
cuando se formulan actividades articuladas en torno a la idea de variacin y cambio, que
promueven el manejo y la utilizacin de diversos sistemas de representacin.
La base terica en la que se fundamenta nuestro trabajo es la del Pensamiento y Lenguaje
Variacional. Como parte del pensamiento matemtico avanzado, el pensamiento variacional
comprende las relaciones entre la matemtica de la variacin y el cambio y los procesos de
pensamiento. Tiene en cuenta adems, la necesidad de analizar la relacin de los saberes
con prcticas socialmente compartidas y con sentidos y significados extra matemticos.
El pensamiento y lenguaje variacional estudia los fenmenos de enseanza,
aprendizaje y comunicacin de saberes matemticos propios de la variacin y el
cambio en el sistema educativo y en el medio social que le da cabida. Hace
nfasis en el estudio de los diferentes procesos cognitivos y culturales con que
las personas asignan y comparten sentidos y significados utilizando diferentes
estructuras y lenguajes variacionales (Cantoral y cols., 2003, p. 185).
A partir de una serie de estudios preliminares diseamos y pusimos en prctica una
secuencia didctica para la introduccin de la derivada.
La secuencia didctica
Con la propuesta no se pretendi un estudio terico riguroso de la derivada sino una
presentacin simple e intuitiva que tenga en cuenta las nociones fundamentales. Tomamos
como hiptesis bsica que el desarrollo de ideas variacionales puede propiciar una mejor
comprensin. La idea es, siguiendo a Dolores (2007, p. 198):
El pensamiento del profesor, sus prcticas y
elementos para su formacin profesional
- 3 -
...ubicar como eje rector de todo el curso de Clculo Diferencial al estudio de la
variacin, de modo que la derivada no sea un concepto matemtico abstracto sino
un concepto desarrollado para cuantificar, describir y pronosticar la rapidez de la
variacin en fenmenos de la naturaleza o de la prctica.
Se decidi partir de las concepciones previas que tienen los alumnos acerca de la velocidad,
utilizar las representaciones grficas de las funciones para visualizar ideas, en especial la de
razn de cambio media como pendiente de una recta.
La interpretacin geomtrica de la derivada como pendiente de la tangente a una curva en
un punto constituye un aspecto fundamental en su construccin. Sin embargo, su
presentacin como un proceso de aproximacin de una secante a la tangente, resulta de
gran dificultad didctica (Dolores, 2007). Se pretende resaltar la manera en la que la
pendiente de una curva est relacionada con la razn de cambio.
Las actividades se presentan en registros diferentes y requieren las traducciones entre los
mismos. La nocin de pendiente es tratada en un primer momento desde un punto de vista
grfico. La de razn permite el clculo numrico y su relacin con la pendiente. La
secuencia considera, en un camino a la abstraccin, la generalizacin mediante las
expresiones algebraicas. Con su resolucin se pretende que los alumnos:
Realicen un acercamiento a las nociones de velocidad media e instantnea.
Calculen razones de cambio medias.
Reconozcan la necesidad de emplear intervalos cada vez ms pequeos para hallar la
velocidad instantnea.
Identifiquen la razn de cambio media como la pendiente de la recta que une dos puntos.
Descubran la necesidad de realizar el paso al lmite para calcular la velocidad
instantnea y que la asocien a la pendiente de la recta tangente.
La secuencia se desarroll en tres clases consecutivas. Dado el carcter social del
conocimiento matemtico escolar y el reconocimiento de la importancia del papel de las
interacciones sociales en la construccin del conocimiento, se decidi privilegiar las
prcticas compartidas, de manera de proporcionar a los alumnos el mbito para contrastar
significados, ya sea en grupos pequeos como en la discusin de la clase completa. Al
finalizar cada clase, se revisaron las distintas actividades aprovechndolas para formalizar.
El cuestionario de contenidos
Con la finalidad de obtener datos que aporten a la valoracin de la experiencia, preparamos
una serie de actividades que fueron incluidas en el examen parcial con el que deban
evaluarse, entre otros, los contenidos desarrollados con la secuencia. Esta evaluacin forma
parte de la currcula y es condicin obligatoria para regularizar la asignatura.
Las actividades se disearon para explorar los avances y obstculos en el desarrollo del
pensamiento variacional de los alumnos. Especficamente indagamos sobre el
comportamiento variacional de las funciones relacionado a la nocin de derivada.
Pretendemos adems identificar el tratamiento en los registros de representacin verbal,
numrico, grfico y analtico, as como si existen rasgos de conversin entre ellos.
A continuacin presentamos algunas de las actividades, un breve anlisis de las mismas y
un estudio, esencialmente cualitativo, de las respuestas dadas por 16 alumnos.
El pensamiento del profesor, sus prcticas y
elementos para su formacin profesional
- 4 -
Pregunta
Dada la funcin y f(x) definida grficamente,
determine la derivada en x 2 y x 4. Explique cmo la obtiene.
Se presenta una funcin por tramos y se pide el clculo de la derivada en dos valores del
dominio. Los mismos se pueden deducir fcilmente, sin ningn clculo, a partir del anlisis
grfico del comportamiento variacional de la funcin. Esto exige que los alumnos hagan la
correlacin entre la recta que representa una situacin de cambio constante, la pendiente de
la recta como la medida de la razn de cambio constante y la derivada (razn de cambio
instantnea) coincidiendo con ese valor. Por los temas desarrollados hasta el momento del
parcial, pueden tambin convertir al registro analtico, determinando la ley de la funcin y
calcular la derivada en cada punto, aplicando definicin o reglas prcticas.
Analizando las respuestas, notamos que slo dos alumnos parecen recurrir al
comportamiento variacional de la funcin. Determinan la pendiente de la ecuacin de la
recta correspondiente a cada tramo y la asocian al valor de la derivada. Observamos que,
aunque no era necesario porque los datos estaban dados grficamente, realizan los clculos
de las pendientes (con errores). Mostramos el trabajo de uno de ellos.
La mayora (11 alumnos, o sea el 68, 75%), recurre al registro algebraico para trabajar.
Obtienen la ley de la funcin y calculan la derivada en cada punto aplicando definicin y/o
reglas prcticas. Cuatro de ellos cometieron errores diversos (signos, mal la ley de la
funcin, clculo del lmite, incoherencias en la explicacin).
Un alumno da otra respuesta pero equivocada. Dos alumnos no contestaron esta pregunta.
No consideramos que no conozcan (por lo menos todos los alumnos) la relacin con el
comportamiento variacional de este tipo de funcin, sino que les resulta ms sencillo
trabajar analticamente o bien se sienten ms seguros justificando en este contexto.
Pregunta
Una epidemia azota a los habitantes de una ciudad y los mdicos estiman que la cantidad de
personas enfermas t das despus del principio de la epidemia est dada por e(t).
i) Explique el significado de e(30) 2700 y e' (30) 90 en la situacin planteada. ii) Por qu es significativo el signo de e' (30)?
A partir de una situacin de cambio presentada en los registros verbal y analtico se pide a
los alumnos el significado del valor numrico de la funcin que la modela en un punto y del
valor de la derivada de la funcin en el mismo punto. Esto permite analizar qu conocen
respecto de la informacin que proporciona la derivada acerca de la funcin, adems del
El pensamiento del profesor, sus prcticas y
elementos para su formacin profesional
- 5 -
significado del signo de la derivada. Esperamos que los alumnos recurran a la
interpretacin fsica de la derivada, para explicar su significado en el problema.
Analizamos las dos ltimas cuestiones que son las que ocasionaron ms dificultades.
Con respecto a e'(30) 90, el 50% de los alumnos da una respuesta aproximada. Uno de ellos escribi: A los 30 das de iniciada la epidemia la enfermedad se est propagando a razn de 90 personas por da. Seis alumnos (37,5%) responden incorrectamente. Cinco de ellos confunden el valor de la
derivada con la imagen de la funcin en dicho punto. Uno expres: La cantidad de personas enfermas a los 30 das es 90. Dos alumnos no respondieron.
Para el significado del signo de la derivada, seis alumnos (37,5%) se acercan a la respuesta.
Uno escribi: El signo muestra que la cantidad de personas enfermas est aumentando ya que es positivo. Ocho alumnos (50%) dieron respuestas incorrectas.
Tres de ellos confunden la interpretacin del signo de la derivada con el crecimiento de la
velocidad, o sea de la funcin derivada. Una de las respuestas fue: La derivada es positiva porque la velocidad con que se estn enfermando las personas est creciendo. Otros tres fueron coherentes con la respuesta del punto anterior (dado que la derivada
representa cantidad de personas enfermas, no puede dar un nmero negativo). Un alumno
no respondi este inciso.
Destacamos que, a pesar de las dificultades observadas y si bien algunos en sus
explicaciones se refieren en primer lugar a la derivada como la razn de cambio instantnea
y relacionan el signo de la misma con una funcin creciente, la mayora intenta referirse al
enunciado del problema, utilizando trminos variacionales que describen el fenmeno.
En relacin a los registros, todos los alumnos explicaron verbalmente, utilizando algunos la
misma simbologa presentada en el enunciado de la pregunta.
Pregunta
Se le suministra suero a un paciente, inyectndole un medicamento para combatir cierta
deficiencia en la sangre. La cantidad de medicamento inyectado (en miligramos) est dado
por 32
t01,0ts donde t est expresado en segundos.
i) Cunto medicamento se inyect entre los 60 y los 120 segundos?
ii) Cul es la razn de cambio media de la cantidad de medicamento inyectado con
respecto al tiempo durante el segundo minuto?
iii) Para que el medicamento tenga efecto, al cabo de 64 segundos se debe estar
suministrando al paciente un mnimo de 0,0015 miligramos por segundo. Se cubre este
requerimiento? Por qu?
Esta actividad explora, a partir de la expresin algebraica de una funcin, la interpretacin
de una situacin especfica de cambio. Se trata de identificar el tratamiento en los registros
verbal y analtico as como la conversin de uno a otro y tambin al registro numrico.
En el primer inciso, 12 alumnos (75%) logran interpretar la situacin e identificar que
necesitan determinar el cambio de la variable dependiente en el intervalo [60, 120].
En el segundo punto se indaga sobre la determinacin numrica de la razn de cambio
media en el intervalo [60, 120]. Catorce alumnos (87,5%) escriben correctamente la
frmula necesaria. De ellos, dos no interpretan los datos del problema y plantean mal.
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elementos para su formacin profesional
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El tercer inciso requiere identificar en el enunciado la necesidad de calcular la derivada
para obtener a qu ritmo est cambiando la funcin en determinado instante. Fue razonado
correctamente por 11 alumnos (68,75%). Uno no respondi y los cuatro restantes
cometieron diversos errores.
Revisando todas las evaluaciones encontramos que interpretaron en mayor o menor medida
lo requerido en los distintos incisos. En un fenmeno de cambio en el que se plantea la
expresin algebraica de una funcin, realizan un tratamiento adecuado en los registros
verbal y analtico, as como la conversin de uno a otro y al numrico, de distintos aspectos
fundamentales para comprender la derivada. Mostramos el trabajo de un alumno.
Pregunta
Disponemos de la representacin grfica de una funcin f y nos piden que calculemos la
derivada de f en un punto, podramos hacerlo? En caso afirmativo, explique cmo lo hara
y muestre con un ejemplo.
La pregunta planteada en el registro verbal, indaga acerca de la interpretacin geomtrica
de la derivada en un punto como la pendiente de la tangente a la grfica en dicho punto.
Esperbamos que los alumnos expliquen verbalmente, apoyndose en el registro grfico.
Tres alumnos trabajaron de esta manera. Lo vemos en el trabajo siguiente.
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Aprovechan el cuadriculado de la hoja para determinar la pendiente y asocian estos valores
a la derivada, mostrando mucha claridad en sus explicaciones y ejemplos.
Otros dos alumnos relacionan la derivada con la recta tangente o con una pendiente pero de
manera incorrecta.
Observamos que casi el 50% (siete alumnos) transit del registro grfico al analtico.
Dibujaron la grfica de una funcin sencilla, obtuvieron su ley y calcularon la derivada. Es
el caso del siguiente trabajo:
Finalmente, cuatro alumnos no respondieron esta pregunta.
Conclusiones Haciendo una revisin general de las actividades notamos que, a pesar de las dificultades,
un buen porcentaje de alumnos mostr conocer diferentes ideas variacionales. Observamos
un manejo aceptable de la derivada. Los alumnos dieron evidencias de poder relacionar,
interpretar y utilizarla correctamente como:
La velocidad instantnea. Convirtieron del registro simblico al verbal y dieron el significado en la situacin planteada. Tambin convirtieron del registro verbal al
simblico interpretando como una velocidad instantnea y relacionando con la derivada.
La pendiente de la recta tangente. Los resultados fueron mejores en el caso de que la actividad estaba planteada en el registro grfico.
Un lmite. En las distintas preguntas que se indaga sobre la definicin de derivada, los resultados fueron buenos, ya sea en el reconocimiento o su aplicacin en el clculo.
En relacin a la interpretacin del signo de la derivada, los resultados fueron mejores
cuando el enunciado de la actividad los llev a interpretar geomtricamente.
Aproximadamente la mitad de los alumnos dio una respuesta aceptable. Explicaron en el
registro verbal y mostraron grficamente, dibujando una funcin que cumple determinadas
condiciones dadas. Los porcentajes de respuestas correctas fueron menores cuando tuvieron
que explicar relacionando con la interpretacin fsica.
Con respecto a los sistemas de representacin, observamos que manejaron adecuadamente
los diferentes registros segn lo solicitado en las distintas preguntas, pero se nota
preferencia por el trabajo algebraico y algortmico.
Por ejemplo en la primera pregunta, no recurrieron a explicar el valor de la derivada segn
el comportamiento variacional de la funcin. Tuvieron necesidad de escribir la ley y
calcular la derivada por reglas prcticas. Lo mismo notamos en la ltima pregunta. No
El pensamiento del profesor, sus prcticas y
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razonaron en el registro grfico. Si bien utilizaron este registro en otras actividades para
explicar no lo usaron en estos casos para obtener informacin variacional.
Dada una funcin sencilla definida analticamente (problema de suministro de suero a un
paciente), demostraron bastante dominio del registro algebraico para obtener los cambios
as como para calcular la razn de cambio instantnea evaluando el lmite.
En cambio les cost mucho interpretar los resultados obtenidos en esos incisos. Los
porcentajes ms bajos se obtuvieron en los que se trabajaron expresiones simblicas.
Consideramos que estos resultados confirman lo reportado por otras investigaciones
(Eisenberg y Dreyfus, 1991). Los alumnos estn ms acostumbrados a utilizar
procedimientos analticos y algortmicos, dejando de lado los argumentos visuales, que
adems, son de mayor dificultad cognitiva. Consideran que estos aspectos son los
esenciales y de esa manera trabajan tambin en las evaluaciones.
Los resultados obtenidos nos indican que han logrado visualizar en mayor o menor medida
los conceptos en juego. Las respuestas muestran que han representado, transformado,
generado, comunicado y reflejado informacin visual, aspectos requeridos en la definicin
de visualizacin (Cantoral y cols., 2003). Esto les permiti construir y otorgar un
significado a los conceptos que adems lograron plasmar en el papel.
Todos los aspectos mencionados exigen y, a su vez favorecen, el desarrollo del
pensamiento matemtico de los alumnos, en particular de su pensamiento variacional.
Como expresan Cantoral y cols. (2003), el desarrollo de este tipo de pensamiento necesita
de procesos temporalmente prolongados, que supone el dominio e integracin de distintos
campos numricos y geomtricos, adems de la comprensin de procesos especficos
complejos como son el paso al lmite, la nocin de variacin y de variable, entre otros. Esto
no se produce de manera instantnea. Las situaciones problemticas que necesitan de un
tratamiento variacional ayudarn a que el alumno, al enfrentarse a ellas, desarrolle su
pensamiento y lenguaje variacional, pero es necesario ir incorporando a lo largo de distintas
etapas actividades que lleven a su desarrollo.
Referencias Bibliogrficas
Cantoral, R., Farfn, R., Cordero, F., Alans, J. Rodrguez, R. y Garza, A. (2003).
Desarrollo del pensamiento matemtico. Mxico: Trillas.
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126). Washington: Mathematical Association of America.
El pensamiento del profesor, sus prcticas y
elementos para su formacin profesional
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ENTORNOS COLABORATIVOS MEDIADOS PARA EL DESARROLLO DEL
CONOCIMIENTO PROFESIONAL DEL PROFESOR DE MATEMTICAS: EL
CASO DE LOS ESTUDIANTES PARA PROFESOR DE MATEMTICAS DE LA
LICENCIATURA EN MATEMTICAS DE LA UNIVERSIDAD DISTRITAL
Diana Gil, Yenny Caicedo, Libia Luz Barbeti, Fernando Guerrero
Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas Colombia [email protected], [email protected], [email protected],
Educacin Universitaria Formacin inicial de profesores
Resumen
La prctica profesional en los ejes de formacin de prctica docente y contextos
profesionales est condicionada por distintos factores que influyen en la construccin de
conocimiento profesional. Uno de estos factores es la concepcin que tanto profesores
como estudiantes para profesores de matemticas (EPM) desarrollan sobre la resolucin de
problemas, en particular sobre los sistemas de actividad que generan dominios de
experiencia sobre Aprender a ensear matemticas para la educacin bsica y los
conocimientos pedaggicos para la actuacin del profesor como un profesional reflexivo y
crtico de su prctica.
Esta prctica del estudiante para profesor de matemticas se transforma e innova a partir del
diseo y configuracin de ambientes de aprendizaje, fundamentados en la concepcin
vigotskyana de zona de desarrollo prximo, a partir de la perspectiva de aprendizaje
colaborativo mediado, donde se engloban enfoques como la cognicin grupal, las
comunidades de aprendizajes, los artefactos culturales, el aprendizaje basado en problemas.
Estos aspectos se recogen en la sistematizacin de algunos factores incidentes como los
textos acadmicos, la visin de objetivo compartido, la seleccin de la tarea, los roles del
profesor y del estudiante, la dimensin temporal, los materiales didcticos como
dispositivos usados para la representacin de los contenidos (objetos de conocimiento),
entre otros.
Palabras Clave: Prctica profesional, Estudiantes para profesores de matemticas (EPM),
Entornos colaborativos, artefactos culturales
Problema de investigacin
Hemos detectado que una de las dificultades de los EPM vinculadas con la
conceptualizacin antes, durante y despus de sus actuaciones en las aulas universitarias en
el proyecto curricular LEBEM tiene que ver con la produccin e interpretacin de textos
acadmicos y la relacin de stos con la manera como se pone en escena en la interaccin
profesor-estudiante o estudiante-estudiante en la configuracin de ambientes propicios para
la construccin de significado vinculado con su razonamiento pedaggico y la construccin
de conocimiento prctico.
Creemos que existe una relacin entre la manera como se eligen las mediaciones, en este
caso particular el lenguaje. Bruner (1998) reconoce en el lenguaje la principal mediacin,
cuya preocupacin fundamental es el significado de la palabra o los actos de significado.
Como ejemplo, se pone las intervenciones de los estudiantes o del profesor a partir los
textos escogidos para la discusin en clase, necesario para el proceso de comunicacin en el
aula (tambin como requerimiento necesario para la argumentacin y la asuncin de
posiciones) y la manera como esto influye en los procesos de aprendizaje de los EPM, es
El pensamiento del profesor, sus prcticas y
elementos para su formacin profesional
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decir, lo que interesa sistematizar en esta propuesta de trabajo es la recuperacin de la
memoria, de los actores que intervienen en el aula de clase, sobre la ecologa del aula, a
partir de los mediaciones que posibilitan los textos acadmicos utilizados en los diversos
espacios acadmicos de los ejes de prctica y de contextos profesionales del proyecto
curricular LEBEM.
Contextualizacin del problema El proceso de sistematizacin pretendido parte de la idea de contribuir al plan de
mejoramiento del proyecto curricular de Licenciatura en educacin bsica con nfasis en
Matemticas. Para conseguir tal propsito, tenemos en cuenta que el mismo proyecto se
concibe como proyecto de investigacin, luego una de las caractersticas del mismo es la
necesidad de revisarse a s mismo, puesto que si tomamos la perspectiva del profesor
reflexivo y crtico, que reflexiona sobre su prctica, estamos pensando en la transformacin
de las practicas docentes del proyecto curricular, y por tanto en la misma direccin en la
posibilidad de formar un profesional con perfil de investigador, especialmente en lo
concerniente al Estudiante para profesor (EPM).
Se ha declarado tambin que el enfoque o modelo pedaggico propuesto para tal fin, se
orienta en la Metodologa de Resolucin de problemas, en lo propuesto por Charnay (1994)
y en el modelo de profesor investigador y reflexivo como Flores (1998).
La organizacin curricular del proyecto est dada por Ncleos problmicos, que para
nuestro caso se han denominado Ejes curriculares. Que son: el eje de Problemas y
pensamiento matemtico avanzado, el eje de Didctica, el eje de Prctica docente, el eje de
Contextos profesionales. Con 43 asignaturas que componen el plan de estudios y son
concebidas como lo espacios de formacin donde se vuelve realizativa la propuesta. As
mismo se contempla la practica como el eje integrador, con el supuesto de que el
conocimiento profesional del profesor es una amalgama entre Saber cientfico y
experiencia profesional, en las que unas y otras interactan dialcticamente, esta idea es
importante para entender la prctica profesional, en tanto constructo terico necesario para
analizar el desarrollo profesional del profesor de matemticas.
Al respecto de esto Bonilla y otros (1999) citando a Llinares (1995) afirma que: Se puede considerar el conocimiento profesional del profesor como el engranaje de los distintos tipos
de conocimiento (saberes) que debe poseer un profesor (saber cientfico, saber profesional
y saber comn practico y sus experiencias previas de formacin que le determinan unas
particulares rutinas de actuacin, la mayora de las veces de tipo inconsciente, pero que son
las que le permiten un desempeo en las aulas de clase (Bonilla y otros, 1999, p. 16-17) Segn Llinares (1997), la caracterizacin del conocimiento profesional del profesor, ha
venido siempre marcada por la tensin existente entre el conocimiento terico acumulado
por las investigaciones sobre la enseanza y el aprendizaje(terico) y el conocimiento
derivado de la prctica de los profesores que se ha ido formando a lo largo de su
experiencia profesional (practica).
Desde hace tres aos en un encuentro que se llevo a cabo para revisar y sistematizar el
desarrollo curricular, el grupo de profesores acord que para hacer posible la reflexin
sobre los contenidos de los ejes, se eligieran lecturas bsicas, representativas para las
temticas a desarrollar y hacer posible durante la resolucin de problemas la
conceptualizacin y apropiacin de los conceptos por parte de los EPM. Estas lecturas se
consideraban en la perspectiva de la metodologa asumida, como si fueran situaciones
problema o parte de ellas.
El pensamiento del profesor, sus prcticas y
elementos para su formacin profesional
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Por otra parte, se vena trabajando en talleres en forma de anlisis de caso, sobre
situaciones de aula de profesores o estudiantes para profesor, se les peda asumir una
posicin y decidir qu hacer en el caso que estuvieran en esa situacin, confrontando sus
concepciones iniciales con las que se pretenda que les garantizara el dominio conceptual y
procedimental sobre los objetos de enseanza. Lo mismo, que en el caso anterior, los
casos hacan parte de una estrategia general para modelizar procesos de instruccin.
De acuerdo con lo anterior, consideramos que la sistematizacin se ubica en la descripcin
de la experiencia particular para entender como se ha implementado la propuesta, los
obstculos y las rupturas que se han producido, consecuencia de la traslacin hacia un
modelo de formacin de profesores distinto al que prevaleca, y que dominaba en la
licenciatura en Matemticas.
Objetivos
GENERAL
Identificar y describir la configuracin de ambientes de clase, a partir de la recuperacin de
la memoria de las relaciones y actuaciones de los profesores formadores y de los
estudiantes para profesor mediados por los textos acadmicos, durante el desarrollo de
algunas clases del Proyecto Curricular de Licenciatura en Educacin Bsica con nfasis en
Matemticas.
ESPECIFICOS
Identificar y describir algunas relaciones entre el conocimiento declarativo y procesual tanto de profesores y EPM a partir de los programas y sus ejecuciones practicas.
Realizar una caracterizacin de algunos de los textos acadmicos utilizados en las asignaturas de Practica intermedia I, III, Investigacin en el aula III, Ambientes y
mediaciones I, II, Polticas educativas y PEI, y Resolucin de conflictos, en algunos
semestres iniciales, intermedios y avanzados del proyecto curricular LEBEM.
Identificar y describir algunas caractersticas relevantes de los ambientes generados por profesores y estudiantes mediados por diferentes tipos de textos acadmicos.
Metodologa de investigacin El tipo de enfoque considerado o seleccionado para tal fin se ubica en la metodologa
cualitativa desde una perspectiva descriptivo-interpretativa, dado que interesa mostrar
algunas caractersticas relevantes de los ambientes en sus contextos comunicativos
principalmente.
Se enmarca dentro de los procesos de sistematizacin de la experiencia de los actores en
sus contextos, que combina tcnicas de recoleccin de informacin con cuestionarios de
pregunta cerrada y anlisis de contenido a partir del diseo de rejillas de anlisis. Es decir,
que combina en el proceso de anlisis de resultados anlisis cuantitativos y cualitativos.
La sistematizacin constituye una posibilidad de reconstruccin del conjunto de
significaciones puestas en escena en las aulas y las experiencias de vida y vivencias
particulares de profesores formadores y estudiantes para profesores (EPM) resultado de la
innovacin curricular a partir de las mediaciones implementadas y los ambientes de clase
que emergen desde ellas..
Diseo de la investigacin
El pensamiento del profesor, sus prcticas y
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FASE ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIN
1. Fundamentacin conceptual
Revisin documental Definicin de parmetros conceptuales para el
desarrollo del proyecto.
Elaboracin y socializacin de la propuesta de sistematizacin con los participantes.
2. Definicin de los instrumentos para la
recoleccin de informacin
Elaboracin de rejilla de anlisis de los programas de las asignaturas.
Diseo de las encuestas. Validacin de los instrumentos.
3. Trabajo de campo Aplicacin de los instrumentos diseados.
4. Sistematizacin de la informacin recolectada
Categorizacin de la informacin recolectada a partir de la organizacin de la informacin recolectada en
cada uno de los instrumentos aplicados.
Triangulacin de la informacin recolectada segn las fuentes de informacin.
5. Anlisis, elaboracin del informe final y
socializacin
Anlisis e interpretacin de la informacin Elaboracin de informe final donde se plasman las
principales conclusiones y se propone un marco
comprensivo para el anlisis del problema de
innovacin en torno a las mediaciones (sus
componentes) y la influencia de ellas en los ambientes
de aprendizaje.
Socializacin y divulgacin de los resultados: Se presentaran los resultados o conclusiones del trabajo
en primera instancia a los participantes o actores,
luego al proyecto curricular que dio origen a este
estudio, a la comunidad universitaria, por ltimo se
extender la divulgacin a expertos en los tpicos
abordados en Encuentros locales, nacionales e
internacionales.
Alcances de los objetivos propuestos
Tomando en cuenta los resultados de la sistematizacin de la encuesta y el anlisis de los
programas, se puede concluir que la construccin de conocimiento profesional del
estudiante para profesor de matemticas (EPM) est condicionado por la concepcin de
aprendizaje constructivista, orientado por la idea de comunidad de aprendizaje, donde es
importante la relacin entre el sistema de actividad, las prcticas en dominios de la
experiencia como el aprendizaje basado en problemas, cuya caracterstica ms
sobresaliente es la adquisicin de experiencia, el conocimiento contextualizado y la
negociacin y elaboracin de significados, a partir de la reflexin sobre la prctica
profesional.
El currculo declarado vs el desarrollado
Para la construccin de conocimiento se proponen tanto en lo declarado como en la manera
como es percibido por los EPM, la participacin activa en comunidades de aprendizaje
donde es importante la propiedad de las tareas, el control sobre las mismas, la
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responsabilidad compartida, la evaluacin crtica para la transformacin e innovacin de la
prctica profesional. En este sentido, las herramientas, instrumentos y artefactos culturales
se disponen de modo que en las comunidades se vuelven un factor crucial para la
interaccin sociocognitiva, para la elaboracin y negociacin de significados de los objetos
de conocimiento. Estos artefactos culturales fsicos (como videobeam, retroproyectores,
carteleras, etc.) o cualquier objeto del que se sirva el EPM como medio de
conceptualizacin y reflexin como documentos de la clase.
El aprendizaje colaborativo como metodologa
Por otra parte, al caracterizar la interaccin sociocognitiva como aprendizaje colaborativo
mediado, la comprensin del EPM sobre los objetos de conocimiento necesarios para la
reflexin sobre la prctica, es resultado de la participacin en la comunidad de aprendizaje:
la organizacin de las formas de trabajo (trabajo individual, trabajo en grupo, puesta en
comn, clase magistral para la institucionalizacin del conocimiento didctico de
contenido o de los conocimientos pedaggicos) y de las dinmicas concebidas como
estrategias metodolgica (mesa redonda, taller, seminario, foro, sociodrama, cine foro,
entre otros). En este sentido, los objetivos para la solucin de los problemas sobre la
prctica profesional se comparten y la responsabilidad no solo se distribuye sino se
comparte. Los roles del profesor y del estudiante suponen una interdependencia positiva.
La prctica en el aula y fuera de ella
Es tambin relevante que en los programas de los ejes de formacin como en la gestin
curricular que llevan a cabo profesores con estudiantes, implcitamente se pone nfasis en
la articulacin/integracin de la prctica profesional como integradora del conocimiento
profesional. Las prcticas in situ como en el caso del trabajo acadmico de los EPM en las
instituciones educativas distritales (para el desarrollo de secuencias de actividades de
enseanza y aprendizaje de los conceptos matemticos de la educacin bsica) o las
prcticas acadmicas (para el reconocimiento de experiencias con proyecto educativo
innovador) son algunos ejemplos de la necesidad de integrar la teora pedaggica-didctica
a la reflexin sobre la prctica profesional, para la toma de conciencia sobre el sentido de la
profesin profesor(a) de matemticas. Los textos escolares como mediacin en el aula
De acuerdo a la caracterizacin que Engestrm (1999) realiza de la mediacin, citado por
Gros (2008), se describe a partir de los instrumentos o artefactos culturales que hacen de la
interaccin sociocognitiva y los sistemas de actividad los medios para la construccin de
conocimiento profesional del EPM.
Estos artefactos culturales pueden ser cualquier tipo de objeto que medie en la interaccin
entre el sujeto que aprende, las reglas de participacin, los roles, la responsabilidad
compartida que sirvan de instrumento para la construccin de conocimiento profesional en
una comunidad de aprendizaje.
Segn Engestrm, (1999, citado por Gros, 2008), los artefactos culturales, entendindose
en este contexto de la investigacin como textos acadmicos, sirvieron para cumplir
distintas funciones denominativos y descriptivos (tipos qu) cuando se sugiere la presentacin del objeto de conocimiento de una temtica como en el caso de una idea o
proposicin terica a partir de una dinmica grupal; procesuales (tipos cmo) como una hiptesis en los casos, preguntas o problemas a partir del cuestionamiento a travs de la
pregunta en los grupos, diagnosticadores y explicativos (tipos por qu) como en el caso de los ensayos, aplicaciones de una teora para reflexionar sobre la accin (textos de meta
cognicin), si lo que se busca es la argumentacin como en el caso de las exposiciones
El pensamiento del profesor, sus prcticas y
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grupales, o la resolucin de un cuestionario individual para mirar asuncin de posiciones, y,
finalmente especulativos cuando lo que caracteriza es la institucionalizacin que se hace del
texto por el profesor. Estos artefactos de tercera generacin como los denomina
Engestrm, (1999 citado por Gros, 2008 p.74), se usan para comprender los dilogos, las
mltiples perspectivas y las redes de sistemas de actividad en interaccin puesto que a este
autor le interesa el proceso de transformacin social de las comunidades de aprendizaje.
Las relaciones con las otras personas determinan en un sistema de actividad, un dominio de
experiencia, que queda caracterizado por los artefactos culturales (textos acadmicos), ya
que en la actividad afirma Gros (2008, p.76) se va conformando un modo de comprender.
Las formas de relacin con el conocimiento o de aprendizaje estn contenidas en esas
prcticas.
Entornos de aprendizaje y artefactos culturales
La principal caracterstica de los ambientes generados con las comunidades de aprendizaje,
es la manera como se objetiva la comprensin en los grupos (parejas, grupos pequeos,
clase en sus distintas modalidades de trabajo acadmico, dinmicas y estrategias). La idea
de aprendizaje expansivo, implica la coordinacin de acciones entre los participantes en
esas comunidades para la elaboracin y negociacin del significado de los objetos de
conocimiento, que produce como resultado conciencia y sentido sobre la profesin
profesor(a) de matemticas o conocimiento prctico o modelo de un profesor reflexivo y crtico, que transforma e innova su prctica profesional.
En estos ambientes (entornos) generados, la metodologa de resolucin de problemas del
profesor y del estudiante para profesor de matemticas (EPM) se manifiesta a partir de la
concepcin de aprendizaje colaborativo mediado en la responsabilidad compartida, la
interdependencia positiva, la tarea (propiedad, carcter y control), los roles, los objetivos
compartidos, la evaluacin crtica, la toma de conciencia sobre la actividad llevada a cabo,
el aprendizaje intencional, la adquisicin de la experiencia, el uso de artefactos culturales
para mejorar la interaccin socio cognitiva y obtener comprensin de los objetos de
conocimiento de la prctica profesional.
Este conocimiento profesional se caracteriza en el EPM por ser descriptivo e interpretativo
de los contextos de aprender a ensear, de la identidad del profesor en sus contextos de
profesionalizacin y engloban la formacin pedaggica y didctica en los mbitos de la
prctica. Estos conocimientos como se ha mencionado cumplen la funcin de
articulacin/integracin de los distintos saberes en la prctica.
En trminos generales, sostiene Lipponen (2002, citado por Gros, 2008):
El aprendizaje colaborativo mediado est centrado en el estudio sobre la manera en que los artefactos culturales pueden mejorar la interaccin entre iguales y el trabajo en
grupo para facilitar el hecho de compartir y distribuir el conocimiento y la experiencia
entre los miembros de la comunidad de aprendizaje. (Lipponen, 2002, citado por Gross, 2008, p.91).
Conclusiones
Algunos factores estn relacionados con la manera como en ellos se inscribe la prctica profesional como integradora del conocimiento profesional del estudiante para profesor
de matemticas (EPM).
La comprensin lectoescritora se va conformando en la actividad que se lleva a cabo dentro del dominio de la prctica profesional del EPM en cada espacio de formacin de
El pensamiento del profesor, sus prcticas y
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los ejes de prctica docente y contextos profesionales. Esta comprensin est
condicionada por la concepcin que tanto profesores como estudiantes para profesores
de matemticas (EPM) desarrollan sobre la resolucin de problemas, en particular sobre
los sistemas de actividad que generan dominios de experiencia sobre Aprender a
ensear matemticas para la educacin bsica y los conocimientos pedaggicos para la
actuar profesionalmente en los distintos contextos profesionales de la profesin
profesor(a) de matemticas, que hacen del profesor un profesional reflexivo y crtico de su prctica.
Esta prctica del estudiante para profesor de matemticas se transforma e innova a partir del diseo y configuracin de ambientes de aprendizaje, fundamentados en la
concepcin vigotskyana de zona de desarrollo prximo, a partir de la perspectiva de
aprendizaje colaborativo mediado, donde se engloban enfoques como la cognicin
grupal, las comunidades de aprendizajes, los artefactos culturales, el aprendizaje basado
en problemas. Estos aspectos se recogen en la sistematizacin de algunos factores
incidentes como los textos acadmicos, la visin de objetivo compartido, la seleccin
de la tarea, los roles del profesor y del estudiante, la dimensin temporal, los materiales
didcticos como dispositivos usados para la representacin de los contenidos (objetos
de conocimiento), entre otros.
Con la encuesta y el anlisis de los programas se evidenci que la comprensin que desarrollan los estudiantes para profesor de matemticas (EPM) est asociada con la
metodologa mediante las formas de trabajo acadmico que enfatiza el aprendizaje en
grupo sobre el aprendizaje individual y las estrategias se fundamentan sobre la mesa
redonda, el taller, el foro para tematizar la formacin en torno a los problemas de la
profesin profesor(a) de matemticas para la educacin bsica.
Los distintos textos acadmicos (artefactos culturales) son conceptos (conocimientos previos, concepciones y creencias sobre las temticas de cada espacio de formacin),
instrumentos fsicos (carteleras, retroproyectores, videobeam, documentos en fotocopias
de libros o artculos, internet, entre otros). Estos textos acadmicos como se
caracterizan en la investigacin son de distintos tipos en esta metodologa segn la
funcin que cumplen: denominativos y descriptivos, diagnosticadores y explicativos,
especulativos y procesuales.
La comunidad de aprendizaje est conformada por pequeos grupos o por la clase, donde se determinan los roles del profesor y del estudiante que estn caracterizados por
la manera como se asume o transfiere la responsabilidad de aprender en grupo, que
tanto para profesores como para los EPM en la clase estn relacionadas con la manera
como se orienta y ayuda a sistematizar las producciones, las discusiones en torno a los
problemas del profesor, lo cual requiere la toma de conciencia de su propio
aprendizaje, en su reflexin sobre la prctica.
En esta perspectiva, el rol del profesor y del estudiante, est enmarcado por acciones de responsabilidad individual y compartida como las clases magistrales para la
presentacin de las temticas, la coordinacin de talleres para la discusin y debate de
los tpicos y aplicacin adecuada de la teora para el anlisis de la experiencia
formadora de los EPM en sus distintos contextos, de aprendizaje autnomo y
colaborativo para la construccin y apropiacin por parte de los EPM de las distintas
perspectivas y planteamientos tericos a partir de la revisin de distintas fuentes.
El pensamiento del profesor, sus prcticas y
elementos para su formacin profesional
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De esta manera, el paradigma del aprendizaje basado en problemas se impone como la estrategia metodolgica y criterio para el avance de la generacin de acuerdos en la
clase, sobre lo que es conveniente y no para la toma de decisiones para superar
obstculos y dificultades surgidos en la prctica profesional. Adems esta estrategia
permite el debate y reflexin desde la prctica para la construccin del sentido de la
profesin profesor(a) de matemticas individual y colectivo en tanto propsito de formacin del proyecto curricular LEBEM.
La evaluacin se considera de modo crtico para superar la evaluacin por contenidos y sirve de instrumento para la autorregulacin del proceso de aprendizaje del trabajo en
los grupos que hacen parte de la comunidad, a partir de la valoracin del proceso de la
reflexin sobre la prctica. En este sentido cumple la funcin de retroalimentacin del
proceso de formacin y permite la construccin de criterios para la transformacin e
innovacin de la prctica, dado su carcter de control social del aprendizaje.
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El pensamiento del profesor, sus prcticas y
elementos para su formacin profesional
- 17 -
COMPONENTE TERICO PARA LA DESCRIPCIN DE LA COMPETENCIA
COGNITIVA: UN MODELO DE ACTUACIN EN PRCTICA DOCENTE EN
ESTUDIANTES PARA PROFESOR DE MATEMTICAS A PARTIR DE LA
REFLEXIN EN CONTEXTOS DE APRENDER A ENSEAR
Fernando Guerrero Recalde, Neila Snchez Heredia
Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas - Colombia
[email protected], [email protected]
Educacin Universitaria Formacin inicial de profesores
Resumen
La experiencia tiene lugar en el curso de prctica intermedia de octavo semestre del
proyecto curricular de Licenciatura en Educacin bsica con nfasis en Matemticas de la
Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas.
Para ello en el espacio de formacin de la clase de prctica docente se pretende generar
conocimiento en la accin desde la tutora que lleva a cabo el profesor de prctica sobre el
diseo y planeacin, gestin y evaluacin de una secuencia didctica en torno a la
comprensin de conceptos matemticos en la Educacin bsica. La tutora del profesor de
prctica se asume como un practicum reflexivo a travs de la resolucin de problemas del
profesor. El modelo de devolucin planteado por Brousseau (1986) se explora en las
prcticas docentes de los Estudiantes para Profesores de matemticas para reflexionar
sobre y en la accin docente en el aula de matemticas.
El profesor de prctica genera condiciones para que en el espacio de formacin de la
tutora, los EPM (en adelante se usa la sigla EPM para referir a los Estudiantes para
profesor de matemticas de la Educacin bsica) aprendan a tomar decisiones sobre el
proceso instructivo, este conocimiento prctico les sirve para apoyar su propio juicio sobre
aprender a ensear.
Palabras Clave: Prctica docente, aprender a ensear, conocimiento didctico de contenido
(CDC), practicum reflexivo, Teora de las situaciones didcticas (TSD), modelo terico
local (MTL)
MARCO TERICO
Modelos tericos locales El presente trabajo parte del concepto de Modelo Terico Local propuesto por Eugenio
Filloy hace algunos aos, y desarrollado recientemente por Puig y Rojano. Para Puig
(2008) los estudios de este estilo parten de una toma de partido terica por no utilizar
teoras generales de la enseanza, el aprendizaje o la comunicacin; por el contrario, se
trata de elaborar modelos tericos locales para dar cuenta de los procesos que se desarrollan
cuando se ensea en el sistema educativo unos contenidos matemticos concretos a unos
alumnos concretos, y slo se pretende que esos modelos sean adecuados para los
fenmenos observados. Ahora bien, a la vez que se dice que el mbito de validez de los
modelos no se afirma que vaya ms all de los fenmenos observados, tambin se afirma
que la descripcin de los fenmenos que el modelo procura es profunda, compleja y
minuciosa, y, para ello, es preciso que los modelos tericos locales contemplen cuatro
componentes: el componente de competencia del Modelo Terico Local o, de forma
abreviada, el Modelo de competencia (formal, si es el caso); el componente de actuacin
del Modelo Terico Local o Modelo de actuacin (que, si hacemos la hiptesis de que las
actuaciones las podemos describir en trminos de procesos cognitivos, podemos denominar
El pensamiento del profesor, sus prcticas y
elementos para su formacin profesional
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Modelo de cognicin); el componente de enseanza del Modelo Terico Local, o, Modelo
de enseanza; y, finalmente, el Componente de comunicacin del Modelo Terico Local o
Modelo de comunicacin.
Puig(2008) recalca que: El carcter local viene dado por el hecho de que el modelo se elabora para dar cuenta de los fenmenos que se producen en los procesos de enseanza y
aprendizaje de unos contenidos matemticos concretos a unos alumnos concretos y slo se
pretende que el modelo sea adecuado para los fenmenos observados. El carcter de
modelo viene dado, entre otras cosas, por el hecho de que no se hace la afirmacin fuerte de
que las cosas son tal y como las caracteriza el modelo, sino slo que, si las cosas fueran
como las caracteriza el modelo, los fenmenos se produciran como se han descrito. El
modelo tiene pues carcter descriptivo, explicativo y predictivo, pero no excluye que los
mismos fenmenos puedan describirse, explicarse y predecirse de otra manera (mediante
otro modelo). En esto se diferencia la pretensin de la elaboracin del modelo de la
pretensin que suele acompaar la elaboracin de una teora, que implica la exclusin de
cualquier otra teora que se avance para explicar los mismos hechos, a la que se combatir
como errnea. (Puig, 2008, p.12) Segn este autor los MTL se elaboran para dar cuenta de fenmenos que se producen en
situaciones de enseanza y aprendizaje, las cuales se entienden en este contexto como
situaciones de comunicacin y de produccin de sentido.
Resolucin de problemas del profesor o el modelo de actuacin en prctica docente
Segn Guerrero, Snchez y Lurduy (2000, 2005) constituye la resolucin de problemas un
aspecto fundamental de la prctica docente del profesor ya que indagando las concepciones
y creencias que ha desarrollado sobre ella, puede dar cuenta de qu tipo de gestin
curricular privilegia, en torno a lo declarado por l en su planeacin y diseo de
actividades, si es consistente con la gestin en el aula, cmo da cuenta de los aprendizajes
alcanzados por los estudiantes a partir de la evaluacin. De esta manera, la reflexin en la
prctica antes, durante y despus de la accin docente est mediada por la teora didctica
como herramienta en el anlisis de los procesos de enseanza y aprendizaje (Guerrero,
Snchez y Lurduy, 2005, p.3).
Contextos de aprender a ensear
A partir de las investigaciones sobre la formacin de los profesores sobre el pensamiento
del profesor en la formacin inicial algunos autores como Llinares (1997), Blanco (1996),
Flores (1998), se proponen el estudio del conocimiento profesional a partir de lo que estos
autores han denominado los contextos de Aprender a Ensear, tomando en cuenta el estudio
de distintos factores o variables de entrada como una manera de organizar Tareas
didcticas. En estudios recientes sobre prcticas en ltimos aos como se referencia a
Marcelo (2009) considera unos principios o preceptos que implicara considerar estos
contextos.
Segn este autor, estos preceptos se explicitan en los contextos de aprender a ensear en
comportamientos culturales y sociales en la formacin inicial de los profesores tanto en los
formadores como en los estudiantes para profesor, que se resumen en los siguientes
aspectos:
La formacin del profesorado es inevitablemente insuficiente y no puede preparar a los profesores para toda su larga carrera. Esto nos sugiere que la formacin del profesorado
El pensamiento del profesor, sus prcticas y
elementos para su formacin profesional
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debe centrarse en cmo aprender de la experiencia y cmo construir conocimiento
profesional.
Aprender sobre la enseanza requiere una visin del conocimiento como una materia por construir en lugar de como contenidos ya creados.
Aprender a ensear requiere un cambio de nfasis desde el currculo hacia los alumnos: Un aspecto importante es que los profesores en formacin deben tener oportunidades para acceder a pensamientos y acciones de los docentes de
forma que les iluminen no slo las acciones de enseanza sino tambin los
sentimientos y las razones que justifican una prctica docente. Ello requiere
crear oportunidades para comprender lo que implica la planificacin de la
enseanza, el desarrollo de la enseanza, y reflexionar sobre ella (Korthagen et al., 2006, p. 1029, citado por Marcelo (2009)).
Aprender a ensear es un proceso que se construye a travs de la investigacin del profesor en formacin. Este principio descansa en la idea de que los profesores en
formacin pueden investigar sobre su propia prctica. Los profesores en formacin son
futuros profesionales que son capaces de dirigir su propio desarrollo profesional
investigando sobre su propia enseanza.
Aprender a ensear requiere trabajar con otros compaeros. Es importante que los profesores aprendan que la colaboracin con otros compaeros forma parte de la
profesin docente para romper el aislamiento caracterstico de la enseanza.
Aprender a ensear requiere relaciones significativas entre la escuela la universidad y los profesores en formacin. Los formadores de profesores deberan mantener una
relacin prxima con las escuelas y con la profesin docente.
El proceso de aprender a ensear se mejora cuando los enfoques de enseanza y aprendizaje promovidos en el programa de formacin son modelados por los
formadores de profesores de su propia prctica.
Descripcin de una experiencia en un curso de prctica docente de ltimo ao: el
prcticum reflexivo
1. El formato de la clase de prctica docente para generar razonamiento pedaggico y conocimiento prctico en el estudiante para profesor de matemticas
Adoptaremos aqu el enfoque de resolucin de problemas en la perspectiva de Charnay
(1994), para plantear lo que Guerrero, Snchez y Lurduy (2000) denominan La resolucin de problemas del profesor de matemticas. Este autor plantea unos momentos en el desarrollo de la situacin problemtica por parte del estudiante denominados Formulacin,
Argumentacin, Validacin e Institucionalizacin del conocimiento matemtico. En nuestra
interpretacin esto implica que, el profesor pone en juego distintos tipos de conocimientos
vinculados a la cognicin matemtica, la planeacin y diseo de actividades, la gestin en
el aula y la evaluacin por competencias de manera que en la transposicin didctica se
genere el contrato entre el y el alumno y las respectivas devoluciones. Asumiremos
entonces que en un primer momento el profesor se coloca en el papel de resolutor (hace
cognicin para comprender el problema, para formular conjeturas, dice que sabe sobre los
objetos matemticos involucrados en la situacin problemtica), luego investiga (procura
salirse del problema para buscar argumentos y razones matemticas que sustenten las
El pensamiento del profesor, sus prcticas y
elementos para su formacin profesional
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conjeturas iniciales de sus alumnos) y por ultimo disea e implementa la situacin
problemtica (planea, disea, gestiona y evala).
Situacin problemtica
1. El profesor como resolutor (perspectiva cognitiva) Construya un proceso de solucin de la situacin problemtica, junto con la justificacin o
la manera como lo hizo. Debe incluir en ese proceso los razonamientos, conjeturas,
operaciones, etc y las razones matemticas que lo sustentan. (Formulacin, argumentacin,
validacin e institucionalizacin del proceso de solucin).
2. El profesor como investigador en el aula (Formula hiptesis de trabajo en el aula) Plantee que percibe que saben los alumnos de los grados 6, 7, 8, 9, 10 y 11 del colegio
acerca de los objetos matemticos vinculados a la situacin problemtica. Qu conjeturas,
razonamientos, operaciones, estrategias, etc. hacen los alumnos?
Enuncia referentes tericos para la planeacin de la situacin problemtica.
3. El profesor realiza la transposicin didctica Establece o fija los logros para los estudiantes con base en la situacin problemtica y los
referentes tericos.
Disea la situacin problemtica:
Enuncia la situacin problemtica.
Describe fases o momentos de desarrollo de la situacin problemtica.
Describe las actividades.
Propone preguntas orientadoras.
Gestiona la situacin problemtica, que implica, entre otras cosas, tener en cuenta formas de trabajo, tiempos, funciones del profesor y los alumnos, recomendaciones.
Selecciona estrategias de evaluacin, que implica precisar: que mirar de la situacin
problemtica, como mirarlo y como registrarlo.
Siguiendo estos pasos (1, 2 y 3) en el planteamiento anterior de enfoque en resolucin de
problemas del profesor, disee y desarrolle las siguientes situaciones problemticas:
2. Los problemas como pretexto para indagar por las concepciones de los EPM: el proceso de aprender a ensear en un curso de grado sptimo de educacin bsica
Situacin problemtica No 1
Semforos
Que necesitas: Papel, lpiz, regla
Martn Va y carolina Calle eran los ingenieros de trafico de la ciudad de Simpleton. Se lo
pasaron bomba diseando calles para que pasara el trafico de la ciudad, y construyeron
incluso una autopista que la rodeaba, pero ah fue donde comenz su gran problema.
Una de las calzadas de la autopista cruzaba la nueva carretera de circunvalacin, que a su
vez se cruzaba con muchas otras calles que tambin se cruzaban entre s. Estaba claro que
haba que poner semforos para que los coches no se chocaran pero, Cuntos semforos
hacan falta?
Vamos a dibujar un mapa, dijo Martn.
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Buena idea, contesto Carolina.
Pero se encontraron con que no saban cmo trazar el mapa de las carreteras y los
semforos.
Parece que vamos a necesitar un montn de semforos dijo Carolina, pero es dificilsimo hacer el mapa. Tiene que haber otro sistema para averiguar cuntos semforos
hacen falta.
Puedes ayudarles?
Puedes averiguar cuntos grupos de semforos haran falta para ocho calles que se
cruzaran entre s? Y para nueve calles, o 10, o 21, o...?
Niveles de interpretacin de la letra en los estudiantes de grado sptimo
Segn estudios de Kucheman (1978) citado por Pretexto (1996, 1999) las respuestas en
trminos algebraicos dadas por los estudiantes con relacin a la letra son las siguientes:
1) Letra evaluada: A la letra se le da un valor numrico sin tratarla como un valor desconocido
2) Letra no usada: Aqu la letra se ignora o a lo ms es reconocida, pero sin drsele algn significado
3) Letra como objeto: La letra es vista como un nombre para un objeto, o como el objeto propiamente dicho
4) Letra como incgnita: La letra se piensa como un nmero particular pero desconocido 5) Letra como nmero generalizado: La letra se ve como representante de varios valores, o
es capaz de tomar varios valores.
6) Letra como variable: La letra representa un rango de valores, y el muchacho es capaz de describir el grado con el cual los cambios en un conjunto se determinan por los cambios
en otro.
Es decir que lo esperado es que los estudiantes lleguen a las dos ltimas interpretaciones.
Otro modelo de clasificacin fue el presentado por el grupo Pretexto (1996, 1999) para la
bsqueda de patrones, los niveles correspondientes a esta clasificacin son los siguientes:
Nivel 0. No responde.
Nivel 1. No alcanza a encontrar el patrn de formacin en lo conceptual.
Nivel 2. Encuentra el patrn de formacin nicamente en lo perceptual.
El pensamiento del profesor, sus prcticas y
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Nivel 3. Encuentra el patrn de formacin nicamente sobre lo concreto finito, es decir, para una posicin dada (nmero pequeo.
Nivel 4. Encuentra el patrn de formacin hasta lo concreto generalizado, es decir, para una posicin dada (nmero grande).
Nivel 5. Encuentra el patrn de formacin general y llega solo a verbalizarlo.
Nivel 6. Encuentra el patrn de formacin general, lo verbaliza y lo simboliza en lenguaje intermedio, es decir con una simbologa propia, pero con el lenguaje
algebraico formal.
Nivel 7. Encuentra el patrn de formacin general, lo verbaliza y lo simboliza en lenguaje algebraico formal.
Anlisis de las producciones de los estudiantes por los estudiantes para profesor de
matemticas (EPM)
Nivel 0: Ningn estudiante figura aqu dado que todos interpretan el enunciado y proponen
algun