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Guía sobre semejanza Contenido: Teorema de Thales de Mileto

Geogebra: Una herramienta para construcciones Geométricas En busca del Teorema de Thales de Mileto

Autor : Manuel Galaz PérezDescripción

Las acciones que se presentan en esta guía, tienen como propósito que explores las relaciones que permitirán descubrir el Teorema de Thales. A continuación, realizarás algunas construcciones e investigarás sobre dichas propiedades.

Recursos

Software Geogebra. Geogebra: Una herramienta para

construcciones Geométricas; En busca del Teorema de Thales de Mileto.

Acciones Técnicas

Elementos Iniciales.

1. Activar Geogrebra

Para activar este software educativo, debes recurrir a Programas del menú Inicio, si su computador funciona con el Sistema Operativo Windows. Luego, activa el programa desde la carpeta Geogebra.

2. Identificando el ambiente de Geogebra

Una vez activada la aplicación, es importante ambientarse en su interfaz. Ésta está compuesta de los siguientes ambientes:

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figura 1: Interfaz de Geogebra

3. Identificando las herramientas de construcción

Para trabajar con esta aplicación, uno de los elementos claves es manejar los botones de la barra de Herramientas. A través de ellos, se podrá construir las figuras geométricas planas que desee y que la aplicación permita.

figura 2 : barra de herramientas

Esta barra de herramientas está compuesta por 9 botones. Cada uno de ellos permite seleccionar una opción de un conjunto de acciones que, al activarse permiten realizar una operación específica para efectuar la construcción y acción que se desee. Por ejemplo:

Si mantiene presionado, con el indicador del mouse, el sector que señala la flecha se activa el menú de la figura 4.

figura 3figura 4

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Área de trabajo

Sección de entrada de comandos

Barra de herramientas

Sección de Algebra


figura 5

Al activar este botón se desplaza el menú que se observa en la figura 6.

figura 6

4. Algunas acciones importantes

Al momento de estar trabajando en una construcción geométrica, son dos las acciones que, inicialmente, son necesarias de conocer: deshacer construcciones erróneas y guardar el trabajo realizado. Para el primero, se debe realizar la siguiente acción:

figura 7

Del menú Edita, seleccionar Deshace.

Así podrás borrar aquellas construcciones o acciones no deseadas.

Para Guardar o almacenar una construcción geométrica realizada en la aplicación, realiza los siguientes pasos:

figura 8

Del menú Archivo seleccionar Graba.

En la ventana de diálogo Guardar, determina el Nombre y seleccione el lugar don guardará el archivo. Finalmente, Guardar.

De esta manera podrás almacenar los trabajos que realice en esta aplicación.

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Visualizando el Teorema de Thales.

1. Presentación principal.

i.- En el Área de Trabajo construya un Triángulo.

figura 9´

Activa las opciones del Botón que se muestra en la figura 9.

figura 10

De ellas, selecciona Polígono, como se muestra en la figura 10.

figura 11

En el Área de Trabajo, dibuja el triángulo ABC. Para ello, haz un clic para dibujar el punto A, luego otro para B y C, terminando con un clic final en A.

De esta manera has dibujado un triángulo.

A continuación, dibujarás un segmento paralelo a .

4


figura 12´


figura 13

De ellas, selecciona Nuevo Punto, como se muestra en la figura 13.

Con un clic sobre , dibuja el punto D.

figura 14

Active las opciones del Botón que se muestra en la figura 14.

figura 15

De ellas, selecciona Recta Paralela, como se muestra en la figura 15.

Con un clic sobre , y otro clic sobre el punto D.

figura 16´


figura 17

De ellas, selecciona intersección de dos objetos, como se muestra en la figura 17.

Haz un clic sobre el punto de intersección de y la recta que pasa por el punto D.

De esa forma se obtiene el punto F, como se observa en la figura 18.

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figura 18

Para ocultar construcciones segundarias, se debe realizar la siguiente acción.

figura 19´


figura 20

De ellas, selecciona Expone / Oculta objeto, como se muestra en la figura 20.

Con un clic sobre .

De esa forma se oculta una construcción secundaría.

Ahora, se trazará unos segmentos a partir de los puntos de ∆ABC.

figura 21´


figura 22

De ellas, selecciona Segmento entre dos puntos, como se muestra en la figura 22.

Con un clic sobre los puntos D y F respectivamente. Así obtiene o el segmento e.

Repite esta última acción en los

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figura 23

siguientes puntos.

Un clic en los puntos A y D respectivamente. Así obtiene o el segmento f.

Puntos D y C para obtener g. Puntos C y F pata obtener h. Puntos F y B para obtener I.

De esa forma están rotulados los segmentos del ∆ABC como lo muestra la figura 23.

Mostrando las medidas de los segmentos de ∆ABC.

figura 24

Haz doble clic sobre el rótulo f.

En la ventana de diálogo Propiedades, activa el menú desplegable Expone rotulo y seleccione Valor.

Luego Aplica.

De esa forma, se presenta la medida de un segmento, en este caso la de como muestra la figura 25.

Con la acción anterior, muestre las medidas de g, h, i, b y a respectivamente.

De esa forma se muestran las medidas de los segmentos del ∆ABC como lo muestra la figura 25.

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figura 25

Determinando las razones entre los segmentos del ∆ABC.

figura 26

En la sección de entrada de comandos, digita R1=distancia[C,D]/distancia[D,A] , como se muestra en la figura 26.

Luego ENTER.

Observa que se ha ingresado la razón

cuya valor se encuentra

asignado s R1, como lo muestra la figura 27.

Repite las acciones anteriores ingresando los siguientes

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figura 27

comandos.

R2=distancia[C,E]/distancia[E,B]

R3=distancia[A,C]/distancia[D,A]

R4=distancia[C,E]/distancia[C,B]

R5=distancia[A,C]/distancia[C,D]

R6=distancia[C,B]/distancia[C,E]

Completa las siguientes tablas, tomando los valores de R1, R2, R3, R4, R5, R6 que se encuentran en la sección de Algebra. Para obtener medidas, mueve en tres ocasiones los vértices del ∆ABC. Por cada movimiento, ingresa las medidas en las tablas:

R1= R2= R3= R4= R5= R6=

¿Qué relación se observa en estas razones?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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2. Otra presentación del Teorema de Thales.

Activa una hoja nueva de trabajo. Construye una recta, sea ésta . Traza una recta paralela a y que pase por el punto C. En la recta que pasa por C, dibuja los puntos D y E. Traza el segmento AE. Traza el segmento BD. Oculte las rectas paralelas y el punto C. Traza los segmentos AB y EB. El punto de intersección de y , rotúlalo F.

figura 28

De esta forma, has construido los triángulos BFA y DFE.

A continuación, exploraras las relaciones que existen entre ellos.

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figura 29

figura 30

Sobre el triángulo BFA, traza los segmentos BF y AF. Observa que, en cada segmento, se ha asignado un rotulo, g y h respectivamente.


Haz doble clic sobre g y configúralo para que muestre la medida de .

Repite la acción para que se muestre la medida de .

En el ∆ DFE, determina las medidas de , y

.

Observa tu construcción y compárala con la figura 30.

Visualizando las medidas de los ángulos interiores de los triángulos.

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figura 31

figura 30


Selección la opción Angulo.

Haz un clic sobre los vértices B, F y A respectivamente.

Haz doble clic sobre la letra asignada para el ángulo y configúrala para que se observe su medida.

Repite la acción con los otros ángulos interiores de ∆ BFA.

Repite la acción con los ángulos interiores de ∆ DFE respectivamente.

Visualizando las razones entre los segmentos de los triángulos.

figura 31

En la sección de entrada de comandos, digita R1=distancia[A,F]/distancia[F,E] , como se muestra en la figura 31.

Luego ENTER.

Observa que se ha ingresado la razón

cuya valor se encuentra

asignado a R1, como lo muestra la figura 32.

Repite las acciones anteriores ingresando los siguientes comandos.

R2=distancia[B,F]/distancia[F,D]

R3=distancia[A,B]/

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figura 32

distancia[D,E]

Observa que en la sección Álgebra, se muestran las razones ingresadas, como lo muestra la figura 32.

Observa a continuación, lo que ocurre al mover los vértices de uno de los triángulos.

Por cada movimiento que realices completas las tablas sobre ángulos, segmentos y razones respectivamente.

Mueve el vértice D. Mueve el vértice A. Y finalmente mueve el vértice B.

Sobre los ángulos

∆ BFA ∆ DFEm(BFA) m(FAB) m(ABF) m(DFB) m(FDE) m(EDF)

Sobre los segmentos

∆ BFA ∆ DFEm( ) m( ) m( ) m( ) m( ) m( )

Sobre las razones

R1= R2= R3=

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Reflexionando sobre loa datos ingresados.

¿Qué puedes señalas sobre las medidas de los ángulos?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Qué puedes señalas sobre las medidas de los Segmentos?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Qué puedes señalas sobre las razones entre los segmentos?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Qué puedes señalar sobre la forma de los triángulos?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Conjetura:

Dos triángulos son semejantes si:_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Desafio

Realice la siguiente construcción e investigue la relación entre los ángulos interiores de los triángulos, segmentos y razones.

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