1
ADICIONE FORMULE Zbir uglova
sin( ) sin cos cos sincos( ) cos cos sin sin
( )1
1( )
tg tgtgtg tg
ctg ctgctgctg ctg
α β α β α βα β α β α β
α βα βα βα βα ββ α
+ = ++ = −
++ =
− ⋅⋅ −
+ =+
Razlika uglova
αββαβα
βαβαβα
βαβαβαβαβαβα
ctgctgctgctgctg
tgtgtgtgtg
−+⋅
=−
⋅+−
=−
+=−−=−
1)(
1)(
sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(
Primećujete da su formule za razliku uglova iste kao i za zbir uglova samo su promenjeni znaci!!! Naravno, učenicima je uvek problem da zapamte formule a ‘’bezobrazni’’ profesori im ne daju da ih koriste iz knjige. Naš je savet da probate da sebi stvorite ‘’asocijaciju’’ koja će vam pomoći da zapamtite odredjenu formulu. Autor ovoga teksta vam nudi svoju ‘’asocijaciju’’: Zapamtite dve male ‘’pesmice’’ koje odgovaraju na dve početne formule:
βαβαβα sincoscossin)sin( +=+ ∧ ( ) βαβαβα sinsincoscoscos −=+ “sin - ko više ko-si “ “kosi-kosi manje sine-sine” Uvek prvo pišite ugao α pa β Za )( βα +tg znamo da je:
βαβαβαβα
βαβαβα
sinsincoscossincoscossin
)cos()sin()(
++
=++
=+tg (sad gde vidite sinus zamenite
ga sa tangens a kosinus sa jedinicom) βαβα
βαβα
tgtgtgtg
tgtgtgtg
−+
=−⋅
⋅+⋅=
11111
www.matematiranje.com
2
Za cos( ) cos cos sin sin( )sin( ) sin cos cos sin
ctg α β α β α βα βα β α β α β+ −
+ = = =+ +
(zamenite sinus sa 1, a kosinus
sa kotanges) αββα
αββα
tgctgctgctg
ctgctgctgctg
+−⋅
=⋅+⋅⋅−
=1
1111
Znači zapamtili smo ‘’sinko više kosi’’ i ‘’kosi kosi manje sine sine’’ i izveli smo formule za zbir uglova. Za razliku uglova samo promenimo znake!!! 1) Naći bez upotrebe računskih pomagala vrednost trigonometrijskih funkcija uglova od a)15, 75, i b) 105 stepeni a)
= racionališemo sa 3 33 3−−
= ( ) ( ) 326
3266
361239
3369
33
3322
2
−=−
=−
=−
+−=
−
−
Naravno otg15 smo mogli izračunati i lakše o
ootg
15cos15sin15 = …
323432
3232
321
15115 +=
−+
=++
⋅−
== oo
tgctg
www.matematiranje.com
sin15 sin(45 30 )sin 45 cos30 cos 45 sin 30
2 3 2 1 2( 3 1)2 2 2 2 4
cos15 cos(45 30 )cos 45 cos30 sin 45 sin 30
2 3 2 1 2( 3 1)2 2 2 2 4
45 3015 (45 30 )1 45 30
3 331 3331
3
o o o
o o o o
o o o
o o o o
o oo o o
o o
tg tgtg tgtg tg
= −
= ⋅ −
−= ⋅ − ⋅ =
= −
= +
+= ⋅ + ⋅ =
−= − =
+
−−
= =+
3 33+
3 33 3−
=+
3
( )
( )
sin 75 sin(45 30 )sin 45 cos30 cos 45 sin 30
2 3 2 12 2 2 22 3 1
4cos 75 cos(45 30 )
cos 45 cos30 sin 45 sin 30
2 3 2 12 2 2 22 3 1
4
o o o
o o o o
o o o
o o o o
= +
= +
= ⋅ + ⋅
+=
= +
= −
= ⋅ − ⋅
−=
( )( ) =
−+
=−
+
==1313
4132
4132
75cos75sin75 o
ootg (moramo opet racionalizaciju)
( )
323232
321
75175
322
3222
32413
13231313
1313
−=−−
⋅+
==
+=+
=+
=−
++=
++
⋅−+
=
oo
tgctg
b) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+= oooo 15
2sin)1590sin(105sin π (imamo formulu) == o15cos
(a ovo smo već našli) 4
)13(2 +=
Naravno, isto bismo dobili i preko formule ( )ooo 4560sin105sin +=
2( 3 1)cos105 cos 15 sin152 4
105 15 15 ( 2 3)2
105 15 15 ( 2 3)2
o o o
o o o
o o o
tg tg ctg
ctg ctg tg
π
π
π
−⎛ ⎞= + = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= + = − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + = − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠
opet ponavljamo da može I ideja da je 0105 (60 45 )o otg tg= + …itd.
www.matematiranje.com
4
2)a) Proveri jednakost 2110sin20cos10cos20sin =+ oooo
=+ oooo 10sin20cos10cos20sin (ovo je: )sin(sincoscossin βαβαβα +=+ )
2130sin)1020sin( ==+= ooo
b) 2317sin47sin17cos47cos =+ oooo
=+ oooo 17sin47sin17cos47cos (ovo je: )cos(sinsincoscos βαβαβα −=+ )
2330cos)1747cos( ==−= ooo
3) Izračunati )sin( βα + , ako je 135cos,
53sin −=+= βα i ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∈
23,,,
2ππππα
sin( ) sin cos cos sinα β α β α β+ = ⋅ + ⋅ Znači ‘’fale’’ nam αcos i βsin . Njih ćemo naći iz osnovne indentičnosti:
1312sin
169144sin
169144sin
16925169sin
1351sin
cos1sin1cossin
2
2
22
22
22
±=
±=
=
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=
−=
=+
β
β
β
β
β
ββ
ββ
ovde su sinusi negativni Dakle: Dal da uzmemo + ili – to nam govori lokacija ugla
Ovde su kosinusi negativni! Znači da je 4cos5
α = −
54cos
2516cos
2516cos
25925cos
2591cos
531cos
sin1cos1cossin
2
2
2
22
22
22
±=
±=
=
−=
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−=
=+
α
α
α
α
α
α
αα
αα
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∈ ππα ,
2
12sin13
β = −
5
Vratimo se da izračunamo ( )βα +sin
( )6533
6548
6515
1312
54
135
53sin =+−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅=+ βα
4) Izračunati ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +απ
4tg za koje je
1312sin =α i ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∈ ππα ,
2
αα
απ
απ
απtgtg
tgtg
tgtgtg
−+
=⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
11
41
44
Pošto je ααα
cossin
=tg , znači moramo naći αcos
Vratimo se u zadatak:
Da li uzeti + ili – ? ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∈ ππα ,
2
Ovde su kosinusi negativni!!! Dakle
www.matematiranje.com
135cos
16925cos
16925cos
169144169cos
1691441cos
1cos1312
1cossin
2
2
2
22
22
±=
±=
=
−=
−=
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=+
α
α
α
α
α
α
αα
5cos13
α = −
512135
1312
−=
−=
α
α
tg
tg
1215
124 15
775
174 175
tg
tg
π α
π α
−⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠ +
−⎛ ⎞+ = = −⎜ ⎟⎝ ⎠
6
5) Ako su α i β oštri uglovi i ako je 21
=αtg i 31
=βtg pokazati da je 4πα β+ =
Ispitajmo koliko je ?)( =+ βαtg
1
6565
31
211
31
21
1)( ==
⋅−
+=
−+
=+βαβαβα
tgtgtgtgtg
Znači: 1)( =+ βαtg , ovo je moguće u 2 situacije: o45=+ βα ili o225=+ βα pošto su α i β oštri uglovi, zaključujemo:
o45=+ βα tj. 4πβα =+
6) Dokazati da je ,)()32( 2 tgyyxtgytg =−+ ako je 032 =− tgytgx =−+ )()32( 2 yxtgytg
=+−
⋅+tgxtgy
tgytgxytg1
)32( 2 (pošto je 032 =− tgytgx zaključujemo 2
3tgytgx = )
2
22
2
32(2 3 ) 31
23 2
2(2 3 )2 3
2
(2 3 )
tgy tgytg y tgy tgy
tgy tg
tg ytg y
tg y
−+ ⋅ =
+ ⋅
−
+ ⋅ =+
+2
3 22 3tgy tgy
tg y−
⋅+
tgy=
Ovim je dokaz završen. 7) Dokazati identitet: sin( )cos( ) 1
tg tgtg tg
α β α βα β α β+ +
=− +
sin( ) sin cos cos sincos( ) cos cos sin sin
α β α β α βα β α β α β+ +
= =− +
(sada ćemo izvući: βα coscos i gore i
dole) www.matematiranje.com
7
cos cosα β
=
sin sincos cos
cos cos
α βα β
α β
⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠1sin sin1
cos cos
tg tgtg tgα βα βα β
α β
+=
+ ⋅⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
8) Ako je 2
1,1212
=−+
= βα tgtg i , 0, ,2πα β ⎛ ⎞∈⎜ ⎟
⎝ ⎠ dokazati da je
4πα β− =
Sredimo prvo izraze αtg i βtg
1212
−+
=αtg (izvršimo racionalizaciju)
( )2
2 2
2 12 1 2 1 2 2 2 12 12 1 2 1 2 1
3 2 2
tg
tg
α
α
++ + + += ⋅ = =
−− + −
= +
1 1 2 2
22 2 22
2
tg
tg
β
β
= = ⋅ =
=
( )
23 2 22( ) 2 je zajednički i gore i dole=
1 21 3 2 22
6 4 2 2 6 3 22 2 1
2 3 2 4 6 3 22 2 2 2
tg tgtgtg tgα βα βα β
+ −−− = = =
+ ⋅+ +
+ − +
= = =+
+ +
Dakle 1)( =− βαtg , to nam govori da je o45=− βα ili o225=− βα . Pošto u zadatku
kaže da je ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∈
2,0, πβα zaključujemo o45=− βα tj.
4πβα =− što je i trebalo
dokazati!
www.matematiranje.com
Recommended
