• Funtzio linealak • Funtzio afinak • Funtzio kuadratikoak • Alderantzizko funtzioa • Funtzio esponentziala • Funtzio logaritmikoa • Funtzio irrazionalak • Balio absolutua duten funtzioak • Funtzio trigonometrikoak
• Adierzapen orokorra y = mx da. • Bere adierazpen grafikoa , ardatz koordenatuen jatorritik (0 , 0)
tik pasatzen den zuzen bat da. • m-ek , zuzenaren malda adierazten du (hau da, inklinazioa,
m=x
y eginaz lortzen da bere balioa)
m >0 bada, funtzioa gorakorra da. m<0 bada, funtzioa beherakorra da. • m ≠ 0 da beti.
Aderazpen grafikoa
• Adierazpen orokorra y = mx + n da. • Bere adierazpen grafikoa zuzen bat da. • Beti (0 , n) puntutik pasatzen da. • m zuzenaren malda da. Zuzeneko bi puntu ezagun baditugu
( ) ( )2211 yxetayx ,, malda kalkulatzeko 12
12
xx
yym
−−
=
m>0 bada, funtzioa gorakorra da. m<0 bada, funtzioa beherakorra da. • Beti 0≠nm, dira. • n = jatorriko ordenatua. ( funtzioak ordenatu ardatza mozten
duen puntua). Adierazpen grafikoa
• Adierazpen orokorra : cbxaxy ++= 2
• Adierazpen grafikoa parabola bat da. • 0≠a da beti, bestela funtzio afina izango litzake.
• Erpinaren koordenatuak
−−ab
fab
22, dira.
• Funtzioko parametroen balioak: a >0 bada → funtzioa ahurra izango da, (adarrak goruntz), eta erpina minimo absolutu bat izango da. a <0 bada → funtzioa ganbila izango da, (adarrak beheruntz) eta erpina maximo absolutua izango da. c-ren balioak, parabolak ordenatu ardatza non mozten duen adierazten digu (0 , c) puntua.
Adierazpen grafikoa
• Adierazpe orokorra xk
y = da.
• Bere adierazpen grafikoa hiperbolea da. • k zenbaki erreal bat da eta beti 0≠k da. • Funtzioko parametroen balioak:
k >0 bada → funtzioa beherakorra da k <0 bada → funtzioa gorakorra izango da.
Adierazpen grafikoa
k>0 bada beherakorra da k<0 bada gorakorra da
ALDARANTZIZKO FUNTZIOAREN ANALISIA.
• Izate eremua : ( ) ( )∞∪∞−∈∀ ,, 00x • Ibilbidea : ( ) ( )∞∪∞−∈∀ ,, 00y
• Ez ditu ardatz koordenatuak mozten. • Ardatz koordenatuak funtzioaren asintotak dira. • Izate eremu osoan jarraia da. • Ez du maximorik ez eta minimorik ere. • Funtzio bakoitia da, hau da , simetria inparra du,
( ) ( )xfxf −=−
• Adierazpen orokorra → xay =
• Lehenengo kasua a>1 denean
- Izate eremua Rx ∈∀ - Irudi multzoa ( )∞∈ ,0y . Funtzio hauek ibilbide positiboa dute izate eremu osoan. - X ardatza ez dute mozten. - Ardatz koordenatuekin duten ebakitze puntua (0 , 1) da. - Beti (0 , a) puntutik pasatzen dira. - Izate eremu osoan jarraiak eta gorakorrak dira. - Ez dute minimorik ez eta ere maximorik. - ∞→x doanean , funtzioa ere ∞ doa. - ∞−→x doanean, funtzioa 0 runtz doa.
• Bigarren kasua 0<a<1 denean
- Izate eremua Rx ∈∀ - Irudi multzoa ( )∞∈ ,0y . Funtzio hauek ibilbide positiboa dute izate eremu osoan.
- X ardatza ez dute mozten. - Ardatz koordenatuekin duten ebakitze puntua (0 , 1) da. - Beti (0 , a) puntutik pasatzen dira. - Izate eremu osoan jarraiak eta beherakorrak dira. - Ez dute minimorik ez eta ere maximorik - ∞→x doanean , funtzioa ere 0 runtz doa. - ∞−→x doanean, funtzioa ∞ runtz doa.
Adierazpen grafikoa: 0<a<1
Beste adierazpen grafiko batzuk:
• Adierazpen orokorra xy alog=→
• Lehengo kasua a>1
- Izate eremua Rx ∈∀ . - Ibilbidea R osoa du. - Ez dute ardatz ordenatua mozten . (Y ardatza). - Abzisa ardatza (1 , 0) puntuan mozten du. (X ardatza). - Beti (a,0) puntutik pasatzen dira. - Jarraiak eta gorakorrak dira izate eremu osoan. - Ez dute minimorik ez eta ere maximorik. - ∞→x doanean , funtzioa ere ∞ runtz doa. - 0→x runtz doanean, funtzioa - ∞ runtz doa.
Adierazpen grafikoa a>1 denean:
• Bigarren kasua 0 < a < 1
-- Izate eremua ( )∞∈∀ ,0x - Ibilbidea R osoa du. - Ez dute ardatz ordenatua mozten . (Y ardatza). - Abzisa ardatza (1 , 0) puntuan mozten du. (X ardatza). - Beti (a,0) puntutik pasatzen dira. - Jarraiak eta beherakorrakdira izate eremu osoan. - Ez dute minimorik ez eta ere maximorik. - ∞→x doanean , funtzioa ere - ∞ runtz doa. - 0→x runtz doanean, funtzioa ∞ runtz doa.
Adierazpen grafikoa: 0<a<1
Funtzio espenentzial eta logaritmikoen adierazpen grafikoak. Funtzio hauek elkarren artean alderantzizkoak dira, simetrikoak dira y = x zuzenarekiko.
• Adierazpen orokorra n mxy =→ - Kasu hauetan honako hau bete behar da : m eta n N∈ - n 2≥ • Funtzio hauen berezitasunak m eta n –ren parekotasunean
datza • Agertu daitezkeen lau kasuak aztertuko ditugu.
i. n bikoitia, m bikoitia ii. n bikoitia, m bakoitia iii. n bakoitia , m bikoitia iv. n bakoitia, m bakoitia
7.i n BIKOITIA, m BIKOITIA
• Adierazpen orokorra n mxy =→
• Izate eremua Rx ∈∀ • Simetria bikoitia dute, hau da ( ) ( )xfxf −= • Ardatzekin duten ebakitze puntua ( )00 , da. • ( )11 , puntutik pasatzen dira. • Ibilbidea ( )∞∈ ,0y da.
• Jarraiak dira izate eremu osoan. • Ez dute ez maximo ez eta minimorik. • Beti ganbilak dira. • Beherakorrak dira ( )0,∞− , eta gorakorrak ( )∞,0 n bikoitia eta m bikoitia duten funtzioen adierazpen grafikoa
• 7iii n BAKOITIA, m BIKOITIA
• Adierazpen orokorra n mxy =→
• Izate eremua Rx ∈∀ • Simetria bikoitia dute, hau da ( ) ( )xfxf −= • Ardatzekin duten ebakitze puntua ( )00 , da. • ( )11 , puntutik pasatzen dira. • Ibilbidea ( )∞∈ ,0y da.
• Jarraiak dira izate eremu osoan. • Ez dute ez maximo ez eta minimorik. • Beti ahurrak dira. • Beherakorrak dira ( )0,∞− , eta gorakorrak ( )∞,0
n bakoitia eta m bikoitia duten funtzioen adierazpen grafikoa:
n bikoitia eta m bakoitia duten funtzioen adierazpen grafikoak
n bakoitia eta m bakoitia duten funtzioen adierazpen grafikoa
• Adierazpen orokorra xy =
• Honela berdefinitu daitezke:
><−
=badaxx
badaxxy
0
0
• Izate eremua Rx ∈∀ • Ibilbidea [ )∞∈ ,0y
• Ardatzekin duen ebaki puntua (0 , 0) da. • Jarraia da izate eremu osoan. • Beherakorra da ( )0,∞− , eta gorakorra ( )∞,0 .
• Radianetan adierazitako x edozein angeluri , emandako arrazoi trigonometrikoaren balioa ezartzen dien funtzioak dira.
• Ikasiko ditugun funtzio trigonometrikoak honako hauek izango dira: xtgyxyxy === ,cos,sin .
• Ondorengo taularen balioetan oinarrituko gera:
• Zirkunferentzia goniometrikoa : bere zentro ardatz koordenatuen zentroan du eta bere radioak , bat balio du.
9 a. SINU FUNTZIOAREN ANALISIA
• Adierazpen orokorra xy sin= da.
• Izate eremua Rx ∈∀ • Ibilbidea [ ]11 ,−∈y
• Funtzio periodikoa da., periodoa koaπ2 delarik. Hau da ( )π2+= xx sinsin
• Funtzio bakoitia da, simetria zentroa du (0 , 0) da.
• Gorakorra da
∪
πππ2
2
3
20 ,, eta beherakorra da
2
3
2
ππ, .
• Maximoa
1
2,
π du eta minimoa
−12
3,
π
Sinuaren adierazpen grafikoak
• xy 2sin= funtzioaren periodoa π da. (erdia).
• 2
xy sin= funtzioaren periodoa π4 da. (bikoitza).
9b. KOSINU FUNTZIOAREN ANALISIA
• Adierazpen orokorra xy cos= da.
• Izate eremua Rx ∈∀ • Ibilbidea [ ]11 ,−∈y
• Funtzio periodikoa da., periodoa koaπ2 delarik. Hau da ( )π2+= xx coscos
• Funtzio bikoitia da, simetria ardatza Y ardatza da. • Gorakorra da ( )ππ 2, eta beherakorra da ( )π,0 . • Maximoa ( )10 , du eta minimoa ( )1−,π
Kosinu funtzioaren aldaketa batzuk:
Sinu eta kosinu funtzioen konparaketa:
9C. TANGENTE FUNTZIOAREN ANALISIA
• Adierazpen orokorra xtgy = da.
• Izate eremua Rx ∈∀ -
+ ππ
k2
• Ibilbidea Ry ∈
• Funtzio periodikoa da., periodoa koaπ delarik. Hau da ( )π+= xtgxtg
• Funtzio bakoitia da, simetria zentroa (0 , 0) puntua da. • Gorakorra da izate eremu osoan. • Ez du muturrik.
• Etena da x=
+ ππk
2 puntuetan, eta jauzia infinitokoa
du.