Advertencia:
hay algo que será muy importante más adelante:
• La forma de las matrices que se obtengan para una representación, dependen
del conjunto de vectores base que se usen para generarlas.
• Cualquier base Bi de un espacio vectorial orden n, tiene n vectores.
• Es posible expresar a los vectores que forman una base Bj como una
combinación lineal de los vectores que forman la base Bi.
• Estas combinaciones lineales generan matrices de cambio de base
Laura Gasque 2016-2 1
Ejercicio: Matrices asociadas a los planos
v v’ y v’’
R3 R3 (usando la base canónica)
Plano v pasa por CF,
Plano v’ pasa por EB
Plano v’’ pasa por AD (1,0,0)
(0,1,0)
Laura Gasque 2016-2 2
v (1,0,0) = (-1,0,0) = -1i +0j+0k
v (0,1,0) = (0,1,0) = 0i +1j+0k
v (0,0,1) = (0,0,1) = 0i+0j+1k
v’’(1,0,0) = ( ½ , 3/2, 0)
v’’(0,1,0) = (3/2, - ½, 0)
v’’(0,0,1) = ( 0, 0, 1)
v’ (1,0,0) = ( ½ , -3/2, 0)
v’ (0,1,0) = (-3/2, - ½, 0)
v’ (0,0,1)= ( 0, 0, 1)
• Plano v pasa por CF,
• Plano v’ pasa por EB
• Plano v’’ pasa por AD
v = -1 0 0
0 1 0
0 0 1
(1,0,0)
(0,1,0)
v
v’
v’’
Laura Gasque 2016-2 3
v’=1/2 -3/2 0
-3/2 -1/2 0
0 0 1
1/2 3/2 0
3/2 -1/2 0
0 0 1
v’’=
Hagamos todos los productos posibles entre las matrices de este
conjunto: E, C3, C32, v , v’, v’’
E C3 C32 ’ ’’
E
C3
C32
’
’’
Laura Gasque 2016-2 4
Laura Gasque 2016-2 5
Composición de transformaciones lineales
[C3(x, y, z)] = ”(x, y, z)
C3 [(x,y,z)] = ’ (x,y,z)
Multiplicación de matrices C3 = ”
=
“tabla de multiplicar”
E C3 C32 ’ ’’
E E C3 C32 ’ ’’
C3 C3 C32 E ’
C32 C3
2 E C3
’’ E
’ ’ E
’’ ’’ E
Ojo con la NO conmutatividad
Convención 1: Composición de T.L. : primero el de arriba y luego el de abajo:
Multiplicación de matrices: la de abajo por la de arriba
Convención 2 : elección de , ’ y ’’
Teorema del rearreglo: SUDOKU Clases: Ejemplo: Encontrar con qué elemento está conjugado cada u...
Laura Gasque 2016-2 6
“tabla de multiplicar”
E C3 C32 ’ ’’
E E C3 C32 ’ ’’
C3 C3 C32 E ’ ’’
C32 C3
2 E C3 ’’ ’
’’ ’ E C32 C3
’ ’ ’’ C3 E C32
’’ ’’ ’ C32 C3 E
Ojo con la NO conmutatividad
Convención 1: Composición de T.L. : primero el de arriba y luego el de abajo:
Multiplicación de matrices: la de abajo por la de arriba
Convención 2 : elección de , ’ y ’’
http://chemwiki.ucdavis.edu/Theoretical_Chemistry/Symmetry/Combining_symmetry_operations%3A_%E2%80%98group_multiplication%E2%80%99
Teorema del rearreglo: SUDOKU Clases: Ejemplo: Encontrar con qué elemento está conjugado cada u...
Laura Gasque 2016-2 7
El conjunto de las transformaciones lineales de R3 R3 :
{E, C3, C32, , ’, ’’ forma un GRUPO con la
composición.
¿ . . ?
Laura Gasque 2016-2 8
Definición de grupo• Un conjunto G = {gi, gj, gk . . .) y una operación forman un GRUPO si:
• i) gG, gigj = gk
• Cerradura
• ii) e G giG, egi =gie = gi
• Existencia del neutro o idéntico
• iii) gi G, gj G gigj= e
• Existencia de los inversos i.e. gj =gi-1
• iv) gi, gj, gk, gi(gj gk) = (gi gj) gk
• Asociatividad
• v) En algunos grupos se cumple gi, gj , gi gj = gj gi
• Conmutatividad A los grupos conmutativos se les llama abelianos
Laura Gasque 2016-2 9
Las operaciones de simetría
(transformaciones lineales de R3R3)
de cualquier objeto, forman un GRUPO
(grupo puntual)
. . . . Ejemplos . . .
Laura Gasque 2016-2 11
Un detalle de formalidad
• Elemento de simetría Operación de simetría
• Elemento de simetría = ente geométrico: eje, plano, punto
• Operación de simetría = T.L de R3 R3 que se realiza a través de un
elemento de simetría
Laura Gasque 2016-2 12
Una familia de grupos puntuales: Cnv
• ¿Qué elementos tienen estos grupos?
• Cn = Rotación de (360/n)° alrededor de un eje.
• Cnm = Composición sobre sí misma (o potencia) de Cn
• n planos que contienen al eje de rotación v
• E = la operación “identidad” o “el idéntico” E(x, y, z) = (x, y, z)
Laura Gasque 2016-2 14
Moléculas con simetría C4v
• Ni(H2O)5NH3 Ojo: despreciando los enlaces O-H y N-H
• IF5
Laura Gasque 2016-2 16
Otras familias de grupos puntuales
• Cn
• Dnh
• Dn
• Dnd
• Cnh
• S
• De baja simetría:
• C1, C2, Cs, Ci
• De alta simetría
• Td, Oh, Ih
• Casos especiales:
• T, Th, O
• Grupos infinitos: moléculas lineales
• Cv, Dh
Laura Gasque 2016-2 17
Dnh
• Tiene todos las operaciones de simetría del correspondiente Cnv y ADEMÁS
un la reflexión a través de un h y las operaciones que resulten de la
composición de ésta con los otros elementos:
• Ojo h v ; h es un plano perpendicular al eje principal de rotación
• Ojo: Cn h = h Cn = Sn rotación impropia
Laura Gasque 2016-2 18
Primer ejemplo D2h
D2h = C2v = {E, C2, v , v’ } y además h y los productos
que se obtengan entre ellas
• E (x, y, z) = (x, y, z)
• C2z= (-x, -y, z)
• v = xz(x, y, z) = (x, -y, z)
• v’ = yz (x, y, z) = ?
• h = xy (x, y, z) = ?
Laura Gasque 2016-2 19
Tarea para ahorita
• Encontrar los elementos faltantes del grupo D2h realizando la composición
de los elementos de C2v con h
• Hacer la tabla de multiplicar de D2h (agrupar así: E, ejes, i, planos)
• Encontrar el inverso de cada elemento
• ¿Es éste un grupo conmutativo?
Laura Gasque 2016-2 20
• C2z= (-x, -y, z) ; h = xy (x, y, z)= (x, y, -z)
• C2z xy (x, y, z) = C2
z xy (x, y, z) = C2
z (x, y, -z) = (-x, -y, -z) = ¿Nueva?
• i (x, y, z) = (-x, -y, -z)
• h v (x, y, z)=xy xz (x, y, z) = xy(x, -y, z) = (x, -y. –z) = ¿ ?
• C2x (x, y, z)= ( x, -y, -z)
Laura Gasque 2016-2 21
Otras familias de grupos de simetría
• Cn =Cn y sus potencias
• Cnh = Cn y sus potencias, h y los productos entre ellos
• Dn = Cn y sus potencias y n C2 perpendiculares al Cn
• Dnd =Cn y sus potencias y n C2 perpendiculares al Cn y un d
(un d es un v que bisecta dos ejes C2 al ej Cn principal)
• Sn = Sn y sus potencias
Laura Gasque 2016-2 26
Cómo asignar el grupo
puntual a una molécula
Diagrama de flujo
Laura Gasque 2016-2 27
TRAER TABLAS DE
CARACTERES