ALGEBRA. I BIM.
TRILCE PRIMARIA
LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616
ALGEBRA.
Í n d i c ePág.
...............................................Simbología algebraica 41
...........................................Expresiones algebraicas 45
..........Términos semejantes con coeficiente natural 49
.. .Términos semejantes con coeficiente fraccionario 51
......................................................................Repaso 53
.......Reducción de términos semejantes con signos
...........................................................de agrupación 55
.Operaciones combinadas con términos semejantes 57
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ALGEBRA.
Aquí tienes algunos ejemplos:
1. P(x;y)
= x2 + y2 + 25
- Las variables son: x, y
- El polinomio tiene 3 términos algebraicos.- P
(x;y) es una notación matemática.
2. M(x)
= 5x2
- La variable es "x"
- El coeficiente es 5.- M
(x) es una notación matemática.
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SÍMBOLO SIGNIFICADO
× ; • ; ( )
( ) ; [ ] ; { }
M (x;y) = 2xy2
P(x) = x + 2x + 12
x
Operadores de la m ultip licación.
Operadores de la d ivisión.
Operador radical.
S ignos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves respectivam ente.
M onom io de variables "x" e "y".
Polinom io de variable "x".
Variable, es decir letra que puede tom ar variosvalores.
ALGEBRA.
EL ÁLGEBRA SEGÚN ISAAC NEWTON
Isaac Newton (1 642 - 1 727) consideraba al Álgebra como una extensión de la
Aritmética. Esta rama de la Matemática como expresión simbólica y de gran
perfección operativa tiene sus orígenes en el siglo XVII d.C.
EL ÁLGEBRA PARA GAUSS
Niels Karl Friedrich Gauss hizo sus primeros descubrimientos en Álgebra siendo
muy joven, advirtiendo ya en 1796 la relación entre la búsqueda de raíces de la
ecuación: xn - 1 = 0 y la división de la circunferencia en partes iguales. Tres
años más tarde demostraba el teorema fundamental del Álgebra, dando en
1815; 1816 y 1849 tres nuevas demostraciones. Recordemos que la primera
formulación de este teorema, sin demostrar, fue la dada por Descartes. Para la
demostración de este teorema necesitó construir los campos de desarrollo de
los polinomios.
REGLA DE LA COSADurante muchos siglos el Álgebra se llamó "Regla de la Cosa", y quiénes la cultivaban recibieron el nombre de "Cosistas".
Hace cerca de 4 000 años ya se daban problemas que nosotros resolveríamos ahora por medio de una ecuación algebraica; es así como en el Papiro de Rhind
se encuentra el siguiente problema: "MONTON, sus dos tercios, su mitad, su séptima parte, total 33". En este problema MONTON se refiere a la incógnita
(×), es decir, al número que satisface las condiciones del problema.
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ALGEBRA.
Historia del ÁlgebraEs la parte de la Matemática que estudia las cantidades de la forma más
general posible.
En la antigüedad, el Álgebra fue una parte inseparable de la Aritmética, más
tarde se separó de ella. Ésta es la razón por la que en gran parte de la
literatura científica a la hora de estudiar ambas ramas se hace de una manera
conjunta.
El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de
contar objetos.
¿En qué se diferencia el Álgebra de la Aritmética?
El Álgebra y la Aritmética se diferencian en que la Aritmética se representa por números, mientras que el Álgebra está representada por letras además de números.
Las primeras actividades matemáticas del hombre primitivo fueron hacer marcas en troncos de los árboles, la medición del tiempo y el conteo del número de animales que poseían. El origen del Álgebra es posterior. Pasaron cientos de siglos para que el hombre alcanzara un concepto básico de Álgebra.
Así el Álgebra fue expandiéndose por todo el mundo, ahora conoceremos algunas escuelas donde difundieron el Álgebra.
1. La Escuela de Bagdad
Los árabes fueron los verdaderos sistematizadores del Álgebra. A fines del
siglo VIII floreció la Escuela de Bagdad, a la que pertenecían: Al Juarismi; Al
Batani y Omar Khayyan. Al Juarismi, persa del siglo IX escribió el primer
libro del Álgebra, y le dio nombre a esta ciencia. Al Batani sirio (858 - 929),
aplicó el Álgebra a problemas astronómicos. Y Omar Khayyan, persa del
siglo XII, conocido por sus poemas escritos en "rubayat", escribió un
Tratado del Álgebra.
2. El Álgebra en el antiguo Egipto
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ALGEBRA.
En Egipto, encontramos los primeros vestigios de desarrollo de una ciencia
matemática que debido a las inundaciones del río Nilo no llegaron a
perfeccionar el Álgebra.
En el papiro de Rhind, existe el más antiguo y valioso documento
matemático que presenta problemas y soluciones de ecuaciones de
segundo grado.
PRÁCTICA Nº 1
I. Completar correctamente:
1. P(x;y) = 7x9y6 2. M(y;z) = 3x9y4z3
Variables: ______ Variables: ______
3. P(a;x) = ax2 + a2x + a3 4. N(x) = a2b3x4
Variables: ______ Variables: ______
5. La operación de multiplicación se puede representar de tres formas que son:
× se llama __________________; ejemplo: _______ × _______• se llama __________________; ejemplo: _______ . _______
( ) se llama __________________; ejemplo: ( ) ( )
6. Los signos de agrupación son:
( ) se llama _____________________[ ] se llama _____________________{ }se llama _____________________
II. a. ¿Cuál es el número que aumentado en 3 resulta 8?
En el enunciado anterior la incógnita es el: ___________________
b. La edad de María disminuido en 4 es 6.
En el enunciado anterior la incógnita es la: _______________
c. Si 4 kilogramos de azúcar cuesta 10 nuevos soles, ¿cuánto costará un kilogramo de azúcar?
En el enunciado anterior la incógnita es: _______________________
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ALGEBRA.
d. Determinar el tiempo que demora un auto en recorrer 20 kilómetros, si se sabe que su velocidad es de 10 kilómetros por hora.
En el enunciado anterior la incógnita es: ___________________
La incógn ita se puede reem plazar porcualqu ier variab le ( letra, com o por ejem plo "x")
CARACTERÍSTICAS FÍSICAS:
Notación: Es la representación que nos indica las variables de la expresión matemática.
R (x) = -3x6
notación
Variable: x
R (x; y) = - 3x y z4 5 4
notación
Variables: x, y
Ejemplos:
• F(x;y;z) = 4x9y7 + x8z4 • R(m;n;p) = am2 + bn2 + cp3
variables: ______________ variables: ______________
• H(a;b) = ax3 + bx2 + ab
variables: ______________
TÉRMINO ALGEBRAICO
Es el conjunto de números y letras que se encuentran relacionados por los
signos operativos de multiplicación, división, potenciación y radicación.
• Partes de un término algebraico
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ALGEBRA.
M (x) = - 5 x4
signo
partenum érica
(coeficiente)
parteliteral
exponente
variab le
Completar:
• M(x;y) = -7x3y4 Parte literal: __________
Parte numérica: __________
Variables: __________
Exponentes: __________
• R(x;y) = -4x6y11 Parte literal: __________Parte numérica: __________Variables: __________Exponentes: __________
CLASIFICACIÓN DE TÉRMINOS ALGEBRAICOSEl término algebraico se clasifica en:
1. Término racional: Es cuando todos los exponentes de sus variables son números enteros y pueden ser:
a. Término Racional Entero: Es cuando todos los exponentes de sus variables son enteros no negativos.
b. Término Racional Fraccionario:Es cuando al menos un exponente de sus variables es entero negativo.
2. Término irracional: Es cuando al menos un exponente de una de sus variables es fraccionario.
Ejemplos: Clasificar los siguientes términos algebraicos:
• P(x;y) = 4x4y3 ______________________________
• F(x;y;z) = 3x9y6z-2 ______________________________
• R(x;y) = -4x1/2y-3 ______________________________
• A(a;b) = ______________________________
• B(m;n) = ______________________________
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ALGEBRA.
Recuerda: ¡En teros no negativos sign ifica
m ayo r o igual a cero !
EXPRESIÓN ALGEBRAICAEs el conjunto de números y letras, relacionados por los signos operativos de adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Ejemplo: • P(x;y) = 3x2 + 4y3 + 2xy tiene 3 términos
•42 x
31
x2x3)x(R tiene ____ términos
• P(x;y;z) = 932 xz5yx3 tiene ____ términos
Ejemplo: P(x;y) = 3xy + 2x + 6
En esta operación algebraica existen tres términos algebraicos, donde:
• "3xy" : es el primer término, siendo "3xy" el producto de la constante 3
con las variables "x" e "y".
• "+ 2x" : es el segundo término, siendo "+ 2x" el producto de la constante
+ 2 por la variable "x".
• "+ 6" : es el tercer término, siendo "+ 6" una constante.
• Además P(x;y) es la notación matemática.
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ALGEBRA.
O bservaciones:
1. Recordar que:
1x = x
1x y = x y2 3 2 3
S i algún térm ino no está prece-
d ido por n ingún s igno se supone
que tiene el s igno ( + )
2.
E jem plo : 3x
6xy
7x y
ab c
3 2
2 3
+ 3x
+ 6xy
+ 7x y
+ ab c
3 2
2 3
AHORA HAZLO TÚ
1. En cada una de las siguientes expresiones algebraicas señale su respectiva parte literal:
• x2y • 3xy2z3 • 5z8
• x3y4z5 • 100400
x
2. En las siguientes expresiones algebraicas, diga cuáles son los exponentes de cada una de sus variables:
• x2 • y3 • x3y4
• 5x4z5 • z8 • 7xyz2
• 100x15z
3. En cada una de las siguientes expresiones, indique el significado de sus
respectivos coeficientes:
Ejemplo: 3a2 = a2 + a2 + a2
• 2x • 4y2 • 3xy
• 5x2y3 • 6z • 7x5y6
• 6xy3
4. En cada una de las siguientes expresiones, indique el significado de sus
respectivos exponentes:
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ALGEBRA.
Ejemplo: x2y3 = x.x.y.y.y
• x3 • x4y3z5 • x5yz
• z3y3x3 • z7 • x6y6
• 83x4y3
5. En cada uno de los siguientes términos algebraicos señale sus elementos:
• + 7x3 • - 8y5 • - z4 • x
6. Clasifica los siguientes términos:
- P(x;y) = -4x7y-3 ______________________________________
- R(x;y;z) = -5x9z4 ______________________________________
- F(x;y) = 7x1/2y4 ______________________________________
- Q(x;y) = 3x9y-2z1/2 ______________________________________
- H(x;y) = 4x3y4z-2 ______________________________________
COEFICIENTE NATURAL
Se dice que dos o más términos son semejantes con coeficiente natural cuando
tienen las mismas partes literales (las mismas variables afectadas a los
mismos exponentes).
Ejemplo:
a) 3a2b3x5 ; 5a2b3x5 ; 2a2b3x5
b) 9x2m4 ; 6m4x2 ; 3m4x2
c) 5x4 ; 7x4 ; x4 ; 4x4
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
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ALGEBRA.
Reducir dos o más términos semejantes, significa expresar a todos ellos
mediante un solo término, mediante la adición o sustracción.
Ejemplo:
a) 2a + 5a = 7a
b) 8b - 3b = 5b
c) 5x2 - 2x2 = 3x2
R ecuerda:* Cantidades del m ism o signo se sum an y se po ne e l
m ism o s igno.E j .: -7 - 4 = -11
* Cantidades de signos co ntrarios se restan y se pone el signo del m ayor.E j .: -9 + 7 = -2
AHORA HAZLO TU
A. Reducir los siguientes términos semejantes:
1. x0 + x0 + x0 + x0 11. x5y3 + 2x5y3 + 4x5y3
2. x + x + x + x + x 12. 7ab + 6ab + 3ab
3. 2x0 + 3x0 + 5x0 + x0 13. 8nb2 + 15nb2 + 6nb2
4. 3x + 7x + 2x + x 14. 9q2t + 6q2t + 5q2t
5. +3x + 5x + 10x + 50x 15. 8xy + 2xy + xy
6. +x2 + 2x2 + 3x2 + x2 16. 8y2z4 + 2y2z4 + 5y2z4
7. +5x3 + x3 + x3 + x3 + 3x3 17. 30ab + ab + ab + 8ab
8. x5 + 3x5 + x5 + 7x5 18. 7xy2 + 18xy2 + xy2
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ALGEBRA.
9. 100x6 + 200x6 + x6 + 2x6 19. 2a2b2 + a2b2 + 7a2b2 + a2b2
10. 8m + 16m + 7m 20. 28nb + 7nb + 12nb + nb
B. Reducir los siguientes términos semejantes:
1. x + 2x - x + 3x - 3x 11. 3q + 5a + 10a - 2q - 3a
2. 3x - 3x + x - 3x 12. 17ab - 3ab + 5ab + 3x + aq
3. 2x2 + 5x2 - 4x2 - x2 13. 28nb + 7nb - 12nb - 3nb
4. 5x2 - 4x2 + 7x2 - 6x2 14. 2b2a - b2a + 3x2y - x2y
5. 6x3 - 6x3 + 13x3 - 2x3 15. 7x + 2pq + 3pq - 7x
6. 5x + 3x2 - 3x2 + 3x 16. 4x2 + 3y2 + 5x2 + x2 - 3y2
7. 7x3 + 3x + 7x - 3x3 - x3 17. z4 + z3 + 2z4 + 3z3 - z3
8. 10x4 - 3x4 + 3x + x4 - x 18. 30x0 + 3x - 26x0 + 3x - x0
9. 6x - 3x + 2x2 +3x + x2 19. axy + 3axy + 3xyz - axy
10. 3m + 2p + m + 2p - m 20. x2y2z2 + 3x2y2z2 + 3x - 2x
Lee y completa:
COEFICIENTE FRACCIONARIO
• Reducción
Para reducir términos semejantes de coeficiente fraccionario se sigue el
mismo procedimiento que para reducir términos semejantes de coeficiente
natural.
Ejemplos: Reducir:
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ALGEBRA.
a.x
21
x23
x21
b.
222 x52
x51
x53
luego los 3 términos son semejantes: luego los 3 términos son semejantes
12
+32
+12
x
52
x
35
+15
-25
x2
25
x2
c.x
31
x21
d.
22 x51
x21
12
+ 13
x3 + 2
6x
12
- 15
x2 5 - 210
x2
x
65
2x103
AHORA HAZLO TÚ
A. Reducir los siguientes términos semejantes:
1.x
23
x21
6.
333 x96
x95
x91
2.x
105
x101
x103
7.
4444 x61
x63
x61
x62
3.222 x
51
x57
x54
8.
4444 x103
x101
x101
x102
4.222 x
71
x72
x73
9.
x111
x113
x112
x115
COLEGIO TRILCE Página 14
ALGEBRA.
5.555 x
87
x83
x8
16
10.2222 x
123
x127
x127
x121
B. Reducir los siguientes términos semejantes:
1.x
31
x21
6.
22 x41
x83
2.x
41
x21
7.
33 x43
x27
3.x
61
x51
8.
33 x91
x35
4.22 x
41
x81
9.
33 x62
x105
5.22 x
101
x53
10.
44 x83
x72
Afina tu destreza a través de estos ejercicios propuestos.
A. Reducir:
1. 5x2 + 3x - 3x2 - x 6.
222 x21
x23
x21
2. 2x2 + 7x - 2x2 - 7x 7.x
47
x41
x43
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ALGEBRA.
3. 16x + 3x2 - 8x - 3x + x2 8.x
51
x52
x51
x53
4. 5x3 - 3x3 + 7x2 - 3x2 - 2x3 9.
222 x106
x103
x107
5. 36x0 + 24x - 16x0 - x0 + x 10.333 x
102
x103
x108
B. Reducir los siguientes términos semejantes:
1.x
31
x21
6.
22 x51
x108
2.x
21
x53
7.
22 x81
x43
3.x
51
x43
8.
22 x31
x27
4.x
21
x107
9.
33 x41
x103
5.x
41
x62
10.
33 x63
x75
C. Problemas:
1. Si son términos semejantes: xay7 ; x5yb
hallar: b - a
2. Si los términos:
P(x;y) = axa - 1y7
Q(x;y) = bx6yb + 2
son semejantes, calcular la suma de coeficientes.
3. Dados: 3xa + by6 ; 2x10yb + 4
si son términos semejantes, hallar "a"
4. Si se cumple: bx5 + 2xa = 7xc
COLEGIO TRILCE Página 16
ALGEBRA.
calcular: a + b + c
CRUCIGRAMA
I. Complete el siguiente divertigrama:
1. Es una de las partes de la Matemática que estudia a las cantidades haciendo uso de números y letras a la vez.
2. Las ....................... se emplean para representar toda clase de cantidades ya sean conocidas o desconocidas.
3. Términos ................................., son aquellos que tienen la misma parte literal, afectado de los mismos exponentes.
4. Son signos de colección o agrupación:
a) ....................................................b) ....................................................c) ....................................................
Recomendaciones:
* Primero se recomienda suprimir los signos de agrupación.
* En segundo lugar se procede a reducir los términos semejantes.
• Ejemplo 1Reducir:
COLEGIO TRILCE Página 17
1 2
4c
3
4a
4b
ALGEBRA.
3x + 5x + ( 7x - 3x - x) [Com o delante del paréntesis hay un signo (+ ) , el
paréntesis se suprim e y los térm inos de su in terio r
conservan su respectivo s igno]
3x + 5x + 7x - 3x - x [Se reduce los térm inos sem ejantes]
11x
• Ejemplo 2Simplificar:
4x + 7x - (4x + 2x - 6x - x) [Com o de lante de l paréntesis hay un s igno ( - ) , el
paréntesis se suprim e y lo s térm inos de su in terio r
cam bian su signo ]
4x + 7x - 4x - 2x + 6x + x [Se reduce los térm inos sem ejantes]
12x
AHORA HAZLO TÚ
1. 2x + 4x + (8x + 3x - 10x) 11. 4a + 3a + (2a - 9a)
2. [3x + 10x - (5x + 2x)] 12. 14b + (21b - 10b)
3. 6x - 3x - (2x + 5x) + x 13. [3c - 2c ] - c + c
4. 15x - 2x - (13x + 10x) 14. 6b3 + [5b3 + 7b3]
5. -(-3x - 5x - 10x) - 12x 15. 6m - (-8m - 3m - m)
COLEGIO TRILCE Página 18
ALGEBRA.
6. -(-2x2 - 3x2 - x2) - (-2x2 - 5x2) 16. -(-m - 2m - 8m) - (-4m - m)
7. -(7x2 - x2 - x2) - (-3x2 - 10x2) 17. 18y + (7y - 5y - 2y) - 18y
8. -{-[-(-2x - 5x)]} 18. 7a + (3a - 2a + 5a) - 6a
9. -{-[-(-18x2 - 3x2 - x2)]} 19. 5p3 + 3p3 - [-3p3 - 2p3 + 5p3]
10. +(7x3 - 4x3) - (7x3 - 4x3) 20. 3z - 2z - [-z + 6z]
A. Resolver las siguientes operaciones combinadas:
1. 60 - (8 + 7 + 5)
2. (9 + 5 + 3) + 8
3. 150 - (14 - 6)
4. (8 - 6) + (7 - 4)
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ALGEBRA.
5. (8 + 4 + 3) + (6 + 5 + 11)
6. (8 + 7 + 4) - (3 + 9 - 2)
7. 500 - {14 - [7 - (6 - 5 + 4)]}Rpta. 488
8. 856 + {19 - 3 - [6 + (5 - 3) - (2 + 1) + (5 - 3)]}Rpta. 865
9. [8 + (4 - 2)] + [9 - (3 + 1)]Rpta. 15
10. [(6 - 4) - (3 - 2)] - [(9 - 7) - (6 - 5)]Rpta. 0
B. Reducir los siguientes términos semejantes:
1. 250x - [(6x + 4x) - (3x - x) + 2x] + {16x - [(18x + 3x) - (12x - 10x)]}
Rpta. 237x
2. 8x + [9x - {6x - (5x - 4x)}] + 14x - {11x - [7x - (3x - 2x)]} Rpta. 21x
3. [(6x - 4x) - (3x - 2x)] - [(9x - 7x) - (6x - 5x)] Rpta. 0x = 0
4. 40y + [25y - (3y + 2y)] Rpta. 60y
5. 60y + [(4y + 2y) - 5y] Rpta. 61y
6. 150y - [(5y - y) - (4y - 3y)]Rpta. 147
7. 250a + [(7a - 2a) + (4a - a) + (3a - 2a)]Rpta. 259a
8. 450a - [6a + {4a - (3a - a)}]Rpta. 442a
9. 520a + [8a - 3a + {9a - (4a + 2a - a)}]Rpta. 529a
10. (150b - 5b) - {14b + (9b - 6b + 3b)}Rpta. 125b
11. 500b - {6b + [(14b - 6b) - (7b - 2b) + (4b - b)]}Rpta. 488b
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ALGEBRA.
12. 500x2 - {14x2 - [7x2 - (6x2 - 5x2 + 4x2)]}Rpta. 488x2
13. 856x3 + {19x3 - 3x3 - [6x3 + (5x3 - 3x3) - (2x3 + 1x3) + (5x3 - 3x3)]}
Rpta. 865x3
14. [8x2y + (4x2y - 2x2y)] + [9x2y - (3x2y + x2y)]Rpta. 15x2y
15. a2 + (2a2 - 4a2) - (4a2 - 5a2)
16. -m3 - 2m3 + [3m3 + 5m3 - (2m3 + m3) - 5m3]
17. 2a5 - [8b2 + 5b2 - 4a5 - (2b2 + 3b2)] - (3a5 - 8b2)
18. -3z - [-2z + 8x - 3z] - (4x - 5x + 2z)
19. {2x2y3 - [(3x3y4 - 4x3y4) + (x2y3 - 3x2y3)] - x2y3}
20. -{-3[-6a + 6x + (a - 5x)] - [15a + 10x - 6a - (7x - 6a)]}
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